OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2014

Título: Investigação Matemática Aplicada aos Números Irracionais

Autor: Mônica Élem Rocha

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Santos Dumont E.M. e

Normal

Município da escola: São Tomé

Núcleo Regional de Educação: Cianorte

Professor Orientador: Prof.ª Dr.ª Clélia Maria Ignatius

Nogueira

Instituição de Ensino Superior: UEM

Relação Interdisciplinar Não há

Resumo:

Ao longo dos anos de minha atuação como professora de Matemática pude perceber que não foram raras as vezes em que trabalhei com um determinado conteúdo e não obtive o resultado esperado, acredito que muitas das dificuldades encontradas com a aprendizagem no decorrer das aulas de Matemática, estejam relacionadas à metodologia utilizada, para tanto tenho como objetivo neste projeto, trazer para as aulas de Matemática o apoio da Investigação Matemática como forma de abordagem pedagógica do conteúdo Números Irracionais.

Espero que a metodologia Investigação Matemática contribua para que aconteça a ampliação do conhecimento.

Palavras-chave: Educação; Matemática; Números Irracionais;

Investigação Matemática;

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

Alunos do 1º ano do Ensino Médio

APRESENTAÇÃO

A produção Didática Pedagógica que hora é apresentada é resultado dos

estudos desenvolvidos no Programa de Desenvolvimento Educacional PDE/2014,

programa esse de formação continuada, ofertado pela Secretaria de Estado e

educação do Estado do Paraná.

O presente material didático está apresentado em forma de unidade

didática e tem como título Investigação Matemática Aplicada aos Números

Irracionais. Esta se destina aos alunos de 1º ano do Ensino Médio, com

implementação prevista para o 1º semestre de 2015 no Colégio Estadual Santos

Dumont - Ensino Fundamental, Médio e Normal.

Esta proposta de trabalho toma como perspectiva metodológica a

Investigação Matemática, buscando com ela melhoria na qualidade das aulas

desta disciplina.

A problemática foi levantada diante das dificuldades encontradas no

trabalho em sala de aula, pois o conteúdo de Números Irracionais não desperta o

interesse do aluno. Para tanto, a Investigação Matemática será utilizada neste

projeto de estudo para que os alunos tenham uma possibilidade maior de

aprendizagem e assim possam atribuir novos significados aos conteúdos

estudados.

O presente projeto de intervenção tem como objetivo a seguinte

questão: Trazer para as aulas de Matemática o apoio da Investigação Matemática

como forma de abordagem pedagógica com os Números Irracionais.

OBJETIVOS

Discutir a importância das etapas da Investigação Matemática;

Proporcionar a aplicação do conteúdo Números Irracionais, utilizando a

metodologia de Investigação Matemática;

Analisar o empenho dos alunos durante a realização das atividades e no

decorrer da aplicação do projeto;

Avaliar os resultados atingidos no final da aplicação do presente projeto.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Os números estão presentes na vida do homem desde os tempos mais

remotos, eles têm grande serventia em nossas vidas. Os antigos iniciaram a

representação dos números por sinais gráficos, riscados no próprio solo, sobre

tabuletas de argila, pedras, folhas de papiro ou pedaços de cerâmica, dando

origem às primeiras representações numéricas escritas de nossa história. “Esta

história começou faz muito tempo, não se sabe muito bem onde. O homem, então

incapaz de conceber os números em si mesmos, não sabia ainda “contar”. No

máximo era capaz de conceber a unidade, o par e a multidão” (IFRAH, 1997, p.

8).

Utilizamos números também para mensurar volume, distância,

profundidade, idade, tempo, pressão arterial, se o salário é condizente com o que

se gasta e muito mais. Contudo este caráter instrumental não esgota o sentido e

nem define o número, pois, de acordo com Mendes (2006), os números são

construções mentais construídas ao longo da história da humanidade.

Este caráter instrumental do número, suas aplicações e utilidade na vida

cotidiana, particularmente em contagens e medidas já é sobejamente conhecido.

Mas, será que podemos afirmar o mesmo em relação aos Números Irracionais?

Por acreditar que o aluno faz parte desse momento histórico e também por

entender que só o algoritmo não dará conta de novas construções mentais e do

entendimento de novos conceitos é que esse projeto busca no fazer pedagógico

com Números Irracionais, conteúdo que muitas vezes é ministrado sem se dar o

devido valor, uma aproximação do aluno com a Matemática com a preocupação

de levar este aluno a novas reflexões.

Para tanto é necessário, inicialmente, que nós professores nos situemos

sobre este conteúdo segundo o nosso sistema de ensino. A Educação Básica no

Brasil tem como documento oficial os Parâmetros Curriculares Nacionais. No

Estado do Paraná temos as Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática, que

norteiam o trabalho em sala de aula. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para

o Ensino Médio (Brasil, 2000, p 120-121) consideram que os Números Irracionais

devem ser relacionados com geometria e medidas e que o aluno seja capaz de

diferenciar valores exatos e aproximados com materiais que lhe são oferecidos.

Já nas Diretrizes Orientadoras do Estado do Paraná, o conteúdo números

irracionais está contido no estudo do conjunto dos números reais e, segundo

Rezende (2013, p. 84) fica a cargo das “[...] Propostas Pedagógicas Disciplinares

de cada instituição e professores atribuir menor ou maior ênfase aos números

irracionais, no decorrer do ensino dos números reais”.

No colégio em que esta Unidade didática será implementada seguindo as

orientações das Diretrizes Curriculares, os números irracionais pertencem ao

Conteúdo Estruturante Número e Álgebra e está implícito no conteúdo “Números

Reais”, ficando sob o julgamento do professor e também do autor do livro didático

utilizado maior ou menor destaque em relação a esses números.

A aplicação da metodologia de Investigação Matemática ao conteúdo

acima citado tem a preocupação de tornar o ambiente das aulas propício ao

desenvolvimento cognitivo dos alunos, para que assim haja ensino e

aprendizagem do conteúdo proposto. Como dizem Ponte, Brocardo e Oliveira

(2003, p. 47), “[...] é fundamental garantir que os alunos se sintam motivados para

a atividade a realizar”.

As Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do Estado

Paraná (2008), dentre outras recomendações, propõem assumir a Educação

Matemática como campo de estudos que possibilita ao professor determinar sua

ação docente, fundamentado numa ação crítica que conceba a Matemática como

atividade humana em construção.

Mesmo tendo este conhecimento não é fácil para o professor sair da sua

zona de conforto, muitas vezes já sedimentada e na qual se pratica uma

Matemática centrada em exercícios repetitivos. Nesse tipo de aula o algoritmo é

sempre destaque e isto, muitas vezes, não faz sentido ao aluno. Entretanto, a

Matemática não é essencialmente procedimental e, ainda mais, a sua importância

não reside neste aspecto, como nos lembra Selbach (2010):

A Matemática é uma das mais importantes “ferramentas” para humanidade e, sem ela, o homem jamais seria capaz de sair das cavernas para, tempos depois, inventar o computador e viajar pelos espaços siderais. Portanto ensinar Matemática é ensinar a viver, é capacitar o aluno a perceber seu próprio corpo no espaço físico, estabelecendo relações de semelhança e diferenças e deslocando-se com segurança em diferentes direções (SELBACH, 2010, p.39).

Para que a Matemática realmente alcance essa dimensão é necessário

inovar, buscando uma metodologia de ensino que possibilite a aplicação de

conteúdos matemáticos, que leve o aluno a analisar e estabelecer as relações em

diferentes contextos. “Devemos encontrar meios para desenvolver, nos alunos a

capacidade de ler e interpretar o domínio da Matemática” (BIEMBENGUT e HEIN,

2005, p.9).

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de

Matemática (2008), os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de

tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática

docente. Acreditando nesta possibilidade, o presente trabalho utiliza a tendência

Investigação Matemática.

Conforme Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p.13) investigar é procurar

conhecer o que não se sabe “[...] é descobrir relações entre objetos matemáticos

conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas

propriedades”. Podemos perceber que na Investigação Matemática os alunos são

chamados a apresentar resultados, discutir, argumentar com os colegas de classe

e professor.

As Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do Estado

do Paraná explicitam que:

A investigação é um problema em aberto e, por isso, as coisas acontecem de forma diferente do que na resolução de problemas e exercícios. O objeto a ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral, de maneira que o aluno compreenda o significado de investigar. Assim, uma mesma situação apresentada poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos (PARANÁ, 2008, p.67).

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) apontam que uma aula de investigação

matemática se desenvolve em pelo menos quatro momentos diferentes. No

primeiro se reconhece a situação e elabora questões; num segundo momento o

aluno é levado a redigir conjecturas; já o terceiro momento inclui a realização de

testes e se necessário aprimoramento de suas conjecturas; no quarto e último

momento acontecem a demonstração, a argumentação e também a avaliação do

trabalho que foi realizado.

É importante salientar que alguns desses momentos podem acontecer

simultaneamente, ou seja, esta sequência não se constitui em uma regra. Em

todos os momentos podem acontecer interações entre os alunos e o professor.

Outra parte importante deste trabalho é quando o professor informa os

alunos sobre a atividade a ser realizada. Este momento não deve tomar muito

tempo da aula. É necessário que a atividade a ser realizada seja pertinente, para

que o aluno se envolva. Também é fundamental que ele tenha o entendimento do

que lhe é pedido como produto final, para que se sinta motivado.

Para que a realização de uma aula de Investigação Matemática, seja um

momento significativo de aprendizagem para os alunos, é indispensável que o

professor prepare bem suas aulas. Os caminhos diferentes que os alunos podem

seguir são imprevisíveis, daí a necessidade de se ter um bom conhecimento do

conteúdo a ser trabalhado.

De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 50), uma das situações

em que o professor é levado a raciocinar matematicamente de modo espontâneo

ocorre quando os alunos formulam uma conjectura em que esse não havia

pensado e que não é muito evidente.

Cabem também ao professor uma atitude investigativa e uma reflexão

acerca dos objetivos que ele quer atingir com a aula de Investigação Matemática.

Sendo assim o professor deve pensar em diferentes aspectos como: materiais

que irá utilizar, a abordagem melhor para desencadear a investigação, as

possíveis inferências que poderá fazer para ajudar na construção do

conhecimento.

Com relação à preparação das aulas de investigação matemática Fonseca,

Brunheira e Ponte apontam que:

A importância desta fase é tanto maior quanto menor for à experiência do professor na realização de trabalho investigativo, pois ela constitui um reforça bastante significativo para a segurança que sente em seu desempenho, durante estas aulas. Contudo é preciso não esquecer que esta é apenas uma base de trabalho e que o professor deve estar preparado para alterar a sua agenda consoante o rumo dos acontecimentos, sendo que a capacidade de reflexão na ação particularmente importante (FONSECA, BRUNHEIRA e PONTE, 2003, p. 23).

Considerando os autores acima, trabalhar com investigação matemática

demanda mudança e estudo até mesmo do próprio conteúdo a ser ministrado e

ainda assim pode acontecer de surgirem direcionamentos, que não eram

esperados. Por isso a reflexão sobre os acontecimentos são relevantes.

PROPOSTA DE ATIVIDADES

A proposta de trabalho elaborada para a primeira atividade envolve

conceitos das Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná e de livros didáticos de

Matemática. Nesta atividade serão observados quais os conceitos que os alunos

possuem sobre os Números Irracionais. Sabemos que o aluno aprende quando

seus recursos cognitivos são instigados para alcançarem um determinado

objetivo.

Sondagem

Objetivos:

Verificar o que os alunos já sabem ou entendem sobre os Números

Irracionais

Comparar número irracionais em suas formas decimal e radical;

Reconhecer que o número π (pi), não pode ser representado na reta

numérica utilizando régua e compasso.

1 Nas representações numéricas a seguir, identifique, escrevendo nos espaços,

se os números são racionais ou irracionais:

a) √4

b) 0,42

c) √5

d) 2√9

e) √7

f) Π

g) -√

h)

2 Represente na reta numérica os números indicados no item anterior:

0 1 2 I I

3 Observe os resultados obtidos na 2ª questão e complete os espaços usando os

sinais de >, ou < ou = :

a)√ 0 _____ 3,163

b)√8 _____ 2,828

c)√5 _____ 2,237

d)√3 _____ 1,731

4 No triângulo da figura abaixo estão indicadas as medidas dos lados numa

unidade de comprimento. Calcule o perímetro desse triângulo.

√28

√ 75

√ 2

5 Daniela é arquiteta , ao fazer a planta de uma casa, deparou-se com a seguinte

situação: Se a altura da parede é de 6 metros qual deve ser a medida do

comprimento da escada?

2ª Atividade:

Objetivo:

Iniciar o trabalho com a investigação matemática e ao mesmo tempo

levantar os primeiros questionamentos sobre os Números Irracionais.

Em trios os alunos respondem as questões abaixo, para facilitar registrando as

respostas por todos os elementos do grupo. As questões estão divididas em

blocos para facilitar o levantamento de hipóteses e suas reflexões. Após o término

estes compartilharão suas respostas com todos da turma e a professora irá

realizando as inferências necessárias para instiga-los.

1º Bloco

a) Os números sempre existiram?

b)Qual é a função dos números 3 e 9, ou para que servem estes números?

2º Bloco

a)Já falamos sobre a existência e função dos números (...) agora observem estes

e justifiquem sua existência, isto é para que servem:

raiz de três:

raiz de nove:

π:

3,14:

0,333... :

0,10100100010000...:

2:4:

-4:

raiz de -4:

b)Pense em um número inteiro positivo (exemplo 2, 3, 4, 5 , 9, 11...). O número

que você escolher passará a ser a área de um quadrado. Determine o valor do

lado desse quadrado.

b.1)Que tipo de número é esse? Existe outra maneira de representar o valor deste

lado? O número que você encontrou pertence a reta numérica? Justifique sua

resposta.

3º Bloco

a)Qual é o significado dos três pontinhos (...) que aparecem em determinados

números, assim como nos números 0,333... e 0,10100100010000...

b)Você saberia dizer se existem mais números racionais ou mais números

irracionais. Por quê? (Rezende, 2013, p.111).

c)Agora vamos utilizar a calculadora:

Tecle o número dois na calculadora seguido da tecla Ѵ. Qual o número que

aparece no visor da calculadora?

Podemos afirmar que √2 é igual ao número que apareceu no visor da

calculadora, ou seja que a √2 = 1,414213562 é verdadeira?

Quanto é (√2)2ao quadrado?

Quanto é ( ,4 423562)2 ?

Compare os valores encontrados no dois últimos itens propostos. Por que

você acha que os resultados foram diferentes?(Rezende, 2013, p. 138).

3ª atividade

Objetivos: Levar o aluno a:

ponderar sobre as infinitas casas decimais de alguns números;

retomar os conhecimentos sobre o número π;

Esta é uma atividade muito rica do ponto de vista conceitual. De fato, o que ocorre

é que π pode ser representado como uma fração, mas divisor e numerador não

serão números inteiros. Ou seja, certamente, ou o comprimento, ou o diâmetro da

circunferência em questão será irracional. Este é o erro de raciocínio. Além disto,

é importante salientar que matematicamente falando, não existem frações de

números que não sejam inteiros, ainda que possamos utilizar a mesma

representação.

Nesta atividade ao trabalhar com aproximações, é interessante usar

diferentes calculadoras e informar os alunos a respeito dos cálculos que são feitos

em computadores de grande porte, que produzem o valor de π com milhões de

dígitos sem que haja o aparecimento de um período na expansão decimal (PCN,

1998. 106).

a) Os alunos deverão estar divididos em grupos, cada grupo terá alguns

objetos em formato circular de tamanhos diferentes. Solicitar que com uma

fita métrica os alunos meçam o comprimento e o diâmetro desses objetos.

Após os alunos deverão calcular a razão entre as medidas obtidas e

responder a seguinte questão: O que tem em comum com os valores

encontrados? O que significa este resultado? Por que isto acontece?

Justifique sua resposta.

4ª atividade

Objetivo:

Perceber a existência dos números irracionais e para que eles servem.

A atividade será desenvolvida em duplas, na qual procurarão responder os

seguintes questionamentos:

É possível encontrar a diagonal do retângulo abaixo?

O que significa o resultado encontrado?

Alguns vestígios dos números irracionais

Os números irracionais geravam medo no passado. Era o medo do

indescritível, aquilo que não podia explicar até então. A descoberta dos irracionais

foi muito perturbadora e provocou a primeira crise nos fundamentos da

Matemática da Escola Pitagórica. De acordo com Souza (2013, p.42) a

“descoberta” desse tipo de número trouxe grande desconforto aos integrantes da

denominada Escola Pitagórica, que custavam a aceitar medidas incomensuráveis.

Os gregos ficaram sem resposta por muito tempo. Com a constatação dos

números irracionais, a crença da escola de que tudo era representado por

números inteiros não era mais verdadeira. Os pitagóricos tentaram manter esta

questão em segredo. Segundo Rezende (2013, p.39) [...] o número irracional foi

revelado somente no século XIX.

Atividade:

Tem-se um quadrado de lado igual a 1. Quer-se construir um quadrado

com o dobro da área do quadrado inicial. Qual é a medida do lado desse novo

quadrado?

A demonstração de Euclides de que (√2) é irracional

O Objetivo de Euclides era mostrar que a (√2) não poderia ser escrita

como uma fração. Como ele estava usando o método da prova por contradição

seu primeiro passo era presumir que o oposto fosse verdade, ou seja, que (√2)

pudesse ser escrita como alguma fração desconhecida. Esta fração hipotética é

representada por p/q em que p e q são dois números inteiros. Souza (2013, p. 40-

41).

Euclides trabalha presumindo que a fração p/q existe e então explora as

consequências de sua existência:

(√2) = 𝑝

𝑞

Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, então:

2 = 𝑝

𝑞

Esta equação pode ser rearrumada rapidamente para dar:

2q = p

Agora do princípio (1) nós sabemos que p deve ser um número par. Além

disso, do que foi dito em (2), nós sabemos que p também deve ser par. Mas se p

é par, então ele pode ser escrito como 2m, em que m é outro número inteiro

qualquer. Isto segue o que foi dito em (1). Coloque tudo de volta na equação e

temos:

2q = (2m) = 4m

Dividindo ambos os lados por 2, conseguimos:

Q = 2m

Mas pelos mesmos argumentos que usamos antes, nós sabemos que q2

deve ser par, e assim o próprio q deve ser par. Se for o caso, então q pode ser

escrito como 2n, onde n é algum outro número inteiro. Se voltarmos ao início

então:

(√2) = 𝑝

𝑞 = 2m/2n

O 2m/2n pode ser simplificado dividindo o numerador e o denominador por

2, e assim obtemos:

(√2) = 𝑚

𝑛

Agora temos uma fração 𝑚

𝑛, que é mais simples do que

𝑝

𝑞.

Contudo, agora nos encontramos numa posição onde podemos repetir

exatamente o mesmo processo em m/n, e no final poderemos produzir uma

fração ainda mais simples, chamada 𝑔

ℎ. Podemos repetir esse processo

infinitamente.

Mas nós sabemos, pela declaração (3), que uma fração não pode ser

simplificada para sempre. Deve sempre existir uma fração mais simples. Mas

nossa fração hipoteticamente original 𝑝

𝑞 não parece obedecer a esta regra.

Portanto, podemos dizer que chegamos a uma contradição. Se a (√2) pudesse

ser escrita como uma fração, então as consequências seriam absurdas e

podemos dizer, com certeza, que a (√2) não pode ser escrita como uma fração.

Portanto, a (√2) é um número irracional.

5ª Atividade

Objetivo:

Levar o aluno a perceber a infinitude existente neste intervalo;

Para que este objetivo seja alcançado é importante que o professor leve o aluno a

novas indagações durante a realização das atividades.

Encontre o menor número entre 4 e 5.

Sequência de Fibonacci

Para explorar e ampliar ideia sobre os números irracionais apresentaremos

a sequência de Fibonacci, utilizando o problema dos coelhos. Nesta sequência

podemos destacar duas propriedades interessantes:

A primeira estabelece que cada termo, a partir do 3º, é igual à soma dos

dois termos anteriores. E a segunda propriedade que a partir do 2º termo, ao

dividirmos um termo qualquer pelo imediatamente anterior a ele, obteremos

valores aproximados para o número irracional Φ (lê-se “fi”), sendo Φ= 1,61803...

Quanto maior a posição dos termos da sequência, mais próximo de Φ está essa

razão. Após as primeiras discussões sobre as possibilidades de respostas, será

passado o vídeo A sequência de Fibonacci até o momento da resolução do

problema, pausar o vídeo e deixar que os alunos concluam a atividade. Somente

após a conclusão da problematização dar continuidade ao vídeo.

Considere um casal de coelhos que, a partir do segundo mês de vida, gera

um novo casal todos os meses, que se reproduzem da mesma maneira.

Determine se possível o número de coelhos ao final de 5 meses, justificando sua

resposta.

Encontradas as soluções pelos alunos concluir o vídeo. Dando

continuidade na exploração do vídeo o professor pode indagar aos alunos:

a) de acordo com o vídeo o número Φ pode ser escrito na forma 𝑎

𝑏 , na qual a

ᴇ Ζ e b ᴇ Ζ* ?

b) se for possível escreva os próximos 3 termos da sequência de Fibonacci.

Depois encontre a razão entre cada um e o termo anterior. Das razões

encontradas diga qual está mais próxima do valor de Φ.

Ainda, em relação a esta atividade, o professor poderá propor outras

aplicabilidades, como por exemplo, atividades com o número áureo.

REFERÊNCIAS

BIEMBENGUT, MARIA SALETE; HEIN, NELSON. Modelagem matemática no ensino. 4ª ed. São Paulo: Contexto, 2005. BRASIL. Ministério da Educação. Secretária de Educação. Parâmetros

Curriculares Nacionais: Matemática Brasília, 1998 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 2000. IFRAH, GEORGES. História Universal dos Algarismos, volume I: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução de Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. MENDES, IRAN ABREU. Números: o simbólico e o racional na história. São Paulo: Editora Livraria da Física,2006. PONTE, JOÃO PEDRO DA PONTE; BROCARDO, JOANA; OLIVEIRA HÉLIA. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo horizonte: Autêntica, 2003 SELBACH, SIMONE. Matemática e didática. Petrópolis, RJ: Vozes, 2010. PARANÁ. Diretrizes curriculares de matemática. Curitiba: Secretaria de Estado da Educação, 2008. REZENDE, VERIDIANA. Conhecimentos sobre números irracionais mobilizados por alunos brasileiros e franceses: um estudo com alunos concluintes de três níveis de ensino. 2013. 210 f. Tese (Doutorado) Programa de Pós-Graduação para Ciência e Matemática do Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá. 2013.

SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar: Matemática. 2 ed. São Paulo: FTD,

2013.

Sequência de Fibonacci: http://www.youtube.com/watch?v=QaWepnGWRs8