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Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6 Cadernos PDE OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Artigos

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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

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UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL NO

ENSINO DE FUNÇÕES

Alexandre Pacheco de Souza 1

Luciana Gastaldi Sardinha Souza2

Resumo

Com uma abordagem computacional, este trabalho propõe um estudo do

conteúdo de funções abordadas no primeiro ano do ensino médio. Pretende-se com

isso, promover um ambiente alternativo de aprendizagem para os alunos. A

construção de figuras planas também é trabalhada utilizando gráficos de funções

matemáticas.

Palavras-chaves: funções; Geogebra; desenho; mídias tecnológicas; artes.

1. INTRODUÇÃO

O ensino de Matemática, na última década, passa por vários

questionamentos no que se refere aos seus objetivos finais. Uma discussão

fervorosa toma conta dos professores de matemática quando o assunto é como se

ensinar matemática hoje no ensino básico no Brasil. Com intuito de buscar métodos

alternativos para melhorar o ensino da Matemática, o presente trabalho visa

melhorar a aprendizagem do conteúdo de funções dos alunos do ensino médio da

cidade de Porecatu – PR, investigando as suas dificuldades e implementando

metodologias alternativas como, por exemplo, o uso de tecnologias e softwares

educacionais.

Diante dos avanços tecnológicos ocorridos nas últimas décadas, as mídias

tecnológicas têm invadido as escolas. A escola que antes era detentora exclusiva de

todo conhecimento produzido, agora tem que compartilhar a fonte dos

1 Professor da Rede Pública de ensino do estado do Paraná.

e_mail: [email protected] 2 Orientadora: Profª. Drª. Luciana Gastaldi Sardinha Souza - Universidade Estadual de Londrina.

e_mail: [email protected]

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conhecimentos com as mídias tecnológicas. Os alunos, fascinados por essas

tecnologias, estão cada vez mais antenados e conectados às redes sociais, à

internet, aos jogos digitais, às mensagens de texto e de voz, aos livros digitais e aos

celulares (smartphones). Frente a todas essas fontes de informação, esses alunos

estão cada vez mais atraídos por essas mídias que mostram imagens, sons variados

e que possibilitam a comunicação a todo instante com seus pares. Neste cenário

tecnológico, o ambiente tradicional da sala de aula com apenas quadro negro e giz

não mais atrai esta geração conectada ao mundo digital.

2. REVISÃO LITERÁRIA

Segundo D’Ambrósio (1993), a disciplina de Matemática deve ser abordada

em uma perspectiva investigativa na qual o aluno possa compreender a sua

importância na realização de uma leitura crítica dos fenômenos que acontecem no

cotidiano. O professor deve conceber a Matemática como uma ciência em constante

evolução que se molda no seu tempo, resolvendo problemas oriundos das

inquietudes do ser humano. A Matemática deve ser capaz de investigar problemas e

apontar soluções, levando os alunos a uma experiência de descoberta, buscando no

entendimento das demonstrações matemáticas a contribuição para o seu

desenvolvimento intelectual e, consequentemente, para a construção do

conhecimento científico. Neste sentido, a essência do processo de aprendizagem

está na ação ativa do aluno, desde a identificação do problema, passando por todo o

processo de pensar matematicamente a estratégia para a resolução e chegando à

conclusão que será a resposta. Para que isto ocorra, o professor não pode privar o

aluno de participar do ansioso processo investigativo no qual dará início à busca da

solução de tal problema. Deste modo, o aluno passa a experimentar toda aquela

situação envolvente e necessária para a resolução do seu problema, ou seja, o

aluno participa efetivamente da construção e solução deste, diferentemente do que

acontece no ensino tradicional de Matemática, quando o aluno apenas reproduz a

resolução de um exercício baseando-se em fórmulas e exemplos de exercícios

similares.

A fim de promover a participação interativa do aluno, o professor deve

incentivar o uso de materiais didáticos que facilitem a abordagem do problema.

Neste sentido, o uso das mídias tecnológicas com instrumento motivador, deve ter o

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papel de auxiliar alunos e professor no trabalho em grupo, fortalecendo o debate e a

investigação. D’Ambrósio (1989) comenta a respeito da metodologia de

investigação:

Acredita-se que metodologia de trabalho desta natureza tem o poder de dar ao aluno a autoconfiança na sua capacidade de criar e fazer matemática. Com essa abordagem a matemática deixa de ser um corpo de conhecimentos prontos e simplesmente transmitidos aos alunos e passa a ser algo em que o aluno faz parte integrante no processo de construção de seus conceitos. (D’Ambrosio, 1989, p.5)].

Marcelo C. BORBA e Miriam G. PENTEADO (2003) comentam a história das

mídias e a necessidade que a humanidade sempre teve de estender a sua memória.

Para explicar esta necessidade, o autor remete em uma perspectiva histórica a três

grandes técnicas associadas ao conhecimento: à oralidade, à escrita, e à

informática. Por meio da primeira, a oralidade, o conhecimento era guardado por

meio de mitos, ou seja, era necessário passar tal conhecimento por meio de

histórias contadas. Com o advento da escrita, surgem os primeiros livros e a

memória se estende um pouco mais. Desta forma, a humanidade ganha uma técnica

importantíssima para o arquivamento e também para a divulgação do conhecimento.

É importante salientar que o surgimento desta nova técnica não extinguiu a primeira,

pelo contrário, ela apenas completou uma dificuldade que a oralidade apresentava

no arquivamento do conhecimento. O mesmo acontece com o surgimento da

tecnologia informática, esta permite que a memória se amplie ainda mais, fazendo

com que o conhecimento seja investigado com novas formas de abordagem que

envolvam simulações e experimentações, apontando para uma nova interpretação

do problema estudado. Neste sentido, o autor diz que:

A perspectiva histórica, a qual abraçamos, sugere que os seres humanos são constituídos por técnicas que estendem e modificam seu raciocínio e , ao mesmo tempo, esses mesmos seres humanos estão constantemente transformando essas técnicas.[...]. Mais ainda, entendemos que o conhecimento só é produzido com uma determinada mídia, ou tecnologia da inteligência. É por isso que adotamos uma perspectiva teórica que se apoia na noção de que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por-seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias [...]. (BORBA E PENTEADO, 2003, p.48).

Perceba que o papel do computador não é o de substituir o ser humano,

mesmo porque ele não teria condições para isto. A função do computador, nesta

perspectiva, é de reorganizar o trabalho pensante do sujeito permitindo ao mesmo

uma flexibilidade maior na abordagem de determinada situação-problema. Por

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exemplo, quando se vai estudar o comportamento de uma função por meio da

análise do seu gráfico, o estudo torna-se muito mais produtivo se o fizermos

utilizando um computador com programa específico. Imagine a construção do gráfico

de dez funções exponenciais em papel quadriculado, o tempo imenso gasto e a

repetição exaustiva de cálculos necessários para se fazer estes gráficos: isto

retiraria totalmente o foco da análise comportamental da função, enquanto se estes

forem feitos com auxílio das mídias digitais, toda a atenção e energia poderão ser

empregadas na análise do comportamento dessa função.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná (DCEs), há vários conteúdos a serem trabalhados na disciplina de

Matemática, entre eles, destacamos o conteúdo funções, abordando os seguintes

tipos: função afim, função quadrática, função exponencial, função logarítmica e

função modular.

Segundo as Diretrizes,

As abordagens do Conteúdo Funções no Ensino Médio devem ser ampliadas e aprofundadas de modo que o aluno consiga identificar regularidades, estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem matemática para descrever e interpretar fenômenos ligados à Matemática e a outras áreas do conhecimento. O estudo das Funções ganha relevância na leitura e interpretação da linguagem gráfica que favorece a compreensão do significado das variações das grandezas envolvidas. (PARANÁ, 2008, p.59)

Sobre o Geogebra

O Geogebra é um software de código aberto (livre), multiplataforma (pode ser

instalado no sistema operacional Windows, Linux ou Mac Os), criado por Markus

Hohenwarter em 2002 (GEOGEBRA, 2002) durante a sua pesquisa de mestrado.

Desenvolvido para o ensino de Matemática, é um software bastante interativo,

permitindo ao usuário várias formas de entrada de dados, seja referente ao

conteúdo de geometria, álgebra ou cálculo. O Programa apresenta uma interface

com múltiplas janelas, permitindo uma visualização dinâmica do conteúdo estudado.

A construção de polígonos, linhas, pontos, vetores, seções cônicas e funções são

apresentados tanto na janela de Álgebra como também na janela de visualização

gráfica, na qual pode-se colocar eixos (abscissa e ordenada) do plano cartesiano.

Um ponto, por exemplo, pode ser determinado utilizando o ícone da barra de

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ferramentas, ou no campo de entrada via teclado ou também pode ser apontado

diretamente com o mouse na janela de visualização. Na Figura 1, é possível

observar o ponto “A” na janela de álgebra escrito na forma de par ordenado e na

janela gráfica com suas coordenadas cartesianas.

Figura 1 – Janela de Álgebra e Janela Gráfica

3. FUNÇÕES COM O GEOGEBRA

Função Quadrática

Considera-se função quadrática a função 𝑓: ℝ → ℝ, que associa a cada

𝑥 ∈ ℝ o valor 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ∈ ℝ, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 números reais e com 𝑎 ≠ 0. Para

a construção dos gráficos no Geogebra, tomou-se a função quadrática na forma

canônica,

𝑓(𝑥) = 𝑎 ∗ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑘, (𝑎 ≠ 0)

na qual, 𝑚 = −𝑏

2𝑎 e 𝑘 = −

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎 , quando relacionados com os coeficientes

𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐.

Esta forma de escrever a função Quadrática é interessante para o nosso

trabalho, pois ela permite um posicionamento do gráfico da parábola no plano

cartesiano a partir de seu vértice dado pelo ponto de coordenadas 𝑉(𝑚; 𝑘),

facilitando a escolha da região do plano que se deseja desenhar o gráfico.

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Completando Quadrados

Podemos utilizar este método para reescrever uma equação da forma geral

𝑦 = 𝑥2 + 𝑘𝑥 para a forma de quadrado perfeito, sendo esta segunda equivalente à

primeira.

Dada a equação

𝑦 = 𝑥2 + 𝑘𝑥 (1)

Na equação (1), vamos dividir o coeficiente 𝑘 de 𝑥 por 2, obtendo 𝑘/2 e

vamos somar (𝑘/2)2 a ambos os membros, obtendo a equação:

𝑦 + (𝑘

2)

2

= 𝑥2 + 𝑘𝑥 + (𝑘

2)

2

(2)

Podemos reescrever o segundo membro da equação (2) como:

𝑦 + (𝑘

2)

2

= (𝑥 +𝑘

2)

2

Subtraindo (𝑘/2)2 em ambos os membros da equação (2), temos:

𝑦 = (𝑥 +𝑘

2)

2

− (𝑘

2)

2

Substituindo 𝑦 por 𝑥2 + 𝑘𝑥 temos a equação para completar quadrados:

𝑥2 + 𝑘𝑥 = (𝑥 +𝑘

2)

2

− (𝑘

2)

2

(3)

Exemplo 1: Vamos completar quadrados 𝑦 = 𝑥2 + 10𝑥.

Utilizando a equação (3), podemos encontrar o valor de 𝑘 dividindo o

coeficiente 10 de 𝑥 por 2 (𝑘 = 10/2) e assim, escrevemos diretamente

𝑥2 + 10𝑥 = (𝑥 + 5)2 − 25

Exemplo 2: Vamos completar quadrados em 𝑦 = −4𝑥2 + 𝑥.

Inicialmente, vamos colocar o coeficiente -4 em evidência,

𝑦 = −4 (𝑥2 −𝑥

4)

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Em seguida, vamos aplicar a equação (3)

−4 (𝑥2 −𝑥

4) = −4[(𝑥 −

1

8)

2

− (−1

8)

2

]

−4 (𝑥2 −𝑥

4) = −4[(𝑥 −

1

8)

2

−1

64]

Exemplo 3: Vamos aplicar quadrados em 𝑦 = 2𝑥2 − 10𝑥 + 12.

Antes de aplicarmos a equação 3, vamos dividir o segundo membro da

equação por 2,

𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6

Em seguida, determinando o valor de 𝑘 = −5, obtemos (𝑘

2)

2

= 25/4

Aplicando a equação (3),

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 −5

2)

2

−25

4+ 6

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 −5

2)

2

−1

4

Função Modular

Chama-se função modular a função 𝑀: ℝ → ℝ, que associa a cada 𝑥 ∈ ℝ o

seu módulo, isto é, 𝑀(𝑥) = |𝑥|. Sendo assim, a função modular genérica para a

construção de gráficos no Geogebra, foi descrita como,

𝑀1(𝑥) = 𝑎. |𝑥 − 𝑏| + 𝑐,

na qual (𝑎 ≠ 0)e os coeficientes "𝑏 𝑒 𝑐" quando diferentes de zero, provocam uma

translação horizontal (𝑏) e vertical (𝑐) no gráfico da função modular, quando

comparados com o gráfico de 𝑀(𝑥) = |𝑥|.

Função Exponencial

Considerando um número real (𝑎 > 0) e (𝑎 ≠ 1), chama-se função exponencial de

base 𝑎, a função 𝐸: ℝ → ℝ+∗ , que associa a cada 𝑥 ∈ ℝ o valor 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥.

Para as construções dos gráficos no Geogebra, a função utilizada é:

𝐸(𝑥) = 𝑎. 𝑏(𝑥+𝑐) + 𝑑, (𝑎 ≠ 0)

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na qual, o coeficiente “𝑏”, correspondente à base é um número real positivo. O

coeficiente “c” permite um movimento de translação do gráfico na direção do eixo “x”.

O coeficiente “d” permite um movimento de translação do gráfico na direção do eixo

“y”. O coeficifiente “a” altera o comportamento da função , fazendo com que o gráfico

se alongue ou se comprima.

Função Logarítmica

Chama-se função Logarítmica de base 𝑎, a função 𝑓: ℝ+∗ → ℝ, que associa

um número 𝑥 ∈ ℝ+∗ ao valor 𝐿(𝑥) = log𝑎 𝑥 ∈ ℝ. Para construção do gráfico no

Geogebra, pode-se escrever a função genérica,

𝐿(𝑥) = 𝑏. log𝑎(𝑥 + 𝑐) + 𝑑 , (𝑏 ≠ 0)

na qual, a base “a” é um número positivo (𝑎 > 0) e diferente de zero(𝑎 ≠ 1).

Também são utilizados os coeficientes “𝑏”, “𝑐”, “𝑑” sendo números pertencentes ao

conjunto dos reais. Alterando os valores de “c” temos um movimento de translação

do gráfico na direção horizontal e alterando os valores de “d” temos um movimento

de translação vertical do gráfico em relação ao plano cartesiano.

4. A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Desenvolvida com a turma de primeiro ano do ensino médio, período

matutino, do Colégio Prof. Malvino de Oliveira da cidade de Porecatu – PR, esta

intervenção pedagógica teve como objetivo levar aos alunos uma abordagem

diferencida sobre o extenso conteúdo de funções, próprio para o primeiro ano do

ensino médio. De início, foi apresentada a emenda do curso para os alunos e a

proposta de se abordar tais conteúdos, por meio do software Geogebra. A ideia de

se trabalhar com o computador gerou uma certa ansiedade aos alunos, mas

também,os deixaram bastante curiosos. Diante de uma sondagem sobre a relação

que os alunos tinham com o computador, constatou-se que a maioria possuía

computador e que, na maior parte do tempo, eles o utilizavam para navegar nas

redes sociais, baixar musicas e assistir videos. Quando perguntados sobre o

Geogebra, os alunos não tinham conhecimento e também não tinham ouvido falar a

respeito. Então, em uma aula de apresentação do programa, montei o notebook com

o projetor na sala de aula e apresentei-o. Procurei mostrar aos alunos o potencial

geométrico e algébrico que ele possuía, mas sempre retornando ao contexto de

funções, pois este era o objetivo principal. A partir desta aula de apresentação, ou

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seja, desde o inicío do conteúdo de funções, o notebook sempre esteve montado

com o projetor na sala de aula. Às vezes, a intervenção com o programa era de

apenas cinco minutos e daí, seguia-se a aula. Em outras vezes, o tempo de uso era

maior, como por exemplo, quando estávamos analisando o comportamento dos

gráficos das funções ao alterar os coeficientes de suas funções, ou então, quando

corrigíamos exercícios com auxílio do programa. Depois do conteúdo ser

apresentado em sala, os alunos eram levados para o loboratório de informática para

a prática com Geogebra. Ali, sentados em grupos de três, eles começavam a discutir

as atividades propostas e a executá-las. As primeiras três aulas no laboratório foram

muito agitadas e o entusiasmo do “novo” tomou conta da maioria dos alunos.

Passado este primeiro contado, os alunos se acomodaram e se tranquilizaram, e as

aulas no laboratório começaram a fluir bem melhor. O interesse por aprender

começou a tomar conta também daquele aluno mais apático e sem motivação. Após

várias aulas, quando os alunos já estavam mais acostumados com o Geogebra, foi

proposto que eles baixassem e instalassem o programa em seus computadores de

casa. Formamos grupos de quatro alunos e propusemos o primeiro trabalho em

casa. Nesta etapa, com o intuito de instigar a exploração dos alunos frente aos

comandos do programa, foi proposto ao grupo que construíssem no plano cartesiano

do Geogebra algumas figuras planas. Para esta construção poderiam utilizar

qualquer comando que encontrassem e julgassem interessante para a sua

construção. O resultado foi satisfatório, visto que era a primeira atividade realizada

sem o apoio presencial do professor.

Figura 2 - Elaborado pelos alunos do 1º ano ensino médio.

Figura 3 - Elaborado pelos alunos do 1º ano ensino médio.

Para o segundo trabalho em grupo, foi poposto que a construção das figuras

contivesse os traços de algumas funções já estudadas. A proposta deste segundo

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trabalho é de mostrar aos alunos a relação que pode existir entre a abcissa e a

ordenada e que elas podem formar uma relação de dependência por meio de uma

função. Deste modo, pode-se verificar se o gráfico de uma curva é ou não uma

função e a relação entre a variável independente contida no conjunto domínio e a

variável dependente contida no conjunto imagem pode ser melhor compreendida.

Ainda com alguma dificuldade nos comandos do Geogebra, as primeiras

funções comeram a surgir no trabalho da segunda etapa, como pode-se verificar a

seguir, nas figuras 4 e 5.

Figura 4 - Elaborado pelos alunos do 1º ano ensino médio.

Figura 5 - Elaborado pelos alunos do 1º ano ensino médio.

Para o terceiro trabalho, um comando em especial do Geogebra foi muito

utilizado,

“Função[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ]”,

pois nos permitiu “cortar” o gráfico de funções em um determinado intervalo. Por

exemplo, é possível “cortar” o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2, restringindo o seu

domínio, para que seu gráfico apareça somente no intervalo de [−2; 2], conforme

mostrado na Figura 6.

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Figura 6 - 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 , 𝒄𝒐𝒎 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟐]

O combinado nesta etapa foi de utilizar apenas os gráficos das quatros funções

estudadas até então, função Afim, Função Quadrática, Função Modular, Função

Exponencial.

O conceito de função crescente (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)) e função

decrescente (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)) foram estudados por meio da análise de seus

respectivos gráficos.

O conceito de ponto de máximo local e mínino local das parábolas e das

funções modulares ficou evidente e seu cálculo pode ser melhor entendido.

A caracteristica das funções pares (𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)) como, por

exemplo, 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑥2 e 𝑓(𝑥) = 𝑘. |𝑥| e sua simetria em relação ao eixo y e a

caracteristica das funções ímpares (𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)) como, por exemplo,

𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑥 e sua simetria em relação ao ponto de origem podem ser percebidas e

verificadas geometricamente.

A classificação das funções também foi outro conceito abordado com auxílio

do Geogebra. A função injetora (𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)) pode ser analisada

olhando o seu gráfico juntamente com a sua definição 𝑓: ℝ → ℝ, ou seja, seu

domínio e sua imagem. Sabemos que, se a função é injetiva, não há elementos do

conjunto imagem que seja imagem de mais de um elemento do domínio. Assim,

imaginando linhas horizontais cortando o gráfico, essas linhas só podem cruzar o

gráfico uma única vez para cada valor de 𝑦.

Para classificar uma função como sobrejetora, também deve se verificar a

sua definição e constatar que o conjunto imagem é igual ao contra-domínio (𝐼𝑚(𝑓) =

𝐶𝐷). Esta verificação pode ser comprovada no gráfico, quando observamos que o

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traço da função, respeitando o seu domínio, comprenda a sua imagem por todo o

contra-domínio pré definido.

A classificação de uma função em função bijetora acontece quando ela é

classificada em função injetora e sobrejetora.

Observe nas Figuras 7 e 9, o desenho formado pelos gráficos das funções

constante (que pode ser considerada como uma afim com coeficiente angular zero),

quadrática, modular e exponencial. Utilizando o conceito de inequação foi possível

determinar ou colorir os espaços entre os gráficos, produzindo assim esta “pintura”

no plano cartesiano para a formação da figura de um barco.

Figura 7 - Construção do Barco e suas funções.

Colocamos em destaque na Figura 8 as funções que foram utilizadas na

construção do barco.

Figura 8 - Funções utilizadas

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Figura 9 - Barco

Esta atividade foi considerada difícil pelos alunos. Segundo eles, a

quantidade de informação que eles tiveram que lidar, comandos do Geogebra e

conceitos matemáticos, foram muitos e teriam que ser trabalhados com mais tempo

de estudo para uma melhor compreensão.

Diante desta questão, pude perceber um grau acentuado de dificuldade por

parte dos alunos, sendo necessárias muita cautela e paciência na administração do

conteúdo para a elaboração deste trabalho nesta etapa final. De qualquer modo, o

trabalho foi bem aceito pelos alunos, gerando muita curiosidade e promovendo o

estudo em grupo. Aqueles alunos que mais se identificaram com o conteúdo,

começaram uma nova discussão para a construção de outras figuras.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O propósito deste trabalho foi promover um ambiente de aprendizagem no

qual pudéssemos abordar o conceito de função de uma forma mais dinâmica, isto é,

de uma forma a utilizar gráficos computacionais para uma melhor compreensão das

suas propriedades e dos tipos de função. Observamos que os alunos só utilizavam

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o computador para acessar redes sociais e sites de jogos e a experiência de levar

para a sala de aula o programa Geogebra, permitiu-nos mostrar a estes alunos

como o computador pode auxiliá-los.

O fato de se construir figuras planas a partir dos gráficos de funções gerou

uma curiosidade investigativa nos alunos que tiveram de entender os conceitos

matemáticos envolvidos para que os seus gráficos ficassem da forma como haviam

imaginado. Esperamos que haja futuros trabalhos com o uso de mídias tecnológicas,

uma vez que estas foram muito bem aceitas pelos alunos e pelo professor.

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Referências

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IEZZI, Gelson.[et al.] Matemática: ciências e aplicações. v.1 – 7 edição –

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PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática para as Séries Finais do

Ensino Fundamental e Ensino Médio do Estado do Paraná. Paraná. 2008.