SERVIÇO DE PÕS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP ccj

Data d . ito44? 1 li

Assinatura.

Os Duais de Hipersuperffcies Genéricas

José Carlos de Souza Junior 1

Orientadora: Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas

)issertaçâo apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Compu-tação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitas para obtenção do título de "Mestre em Ciências - Área de Matemática".

USP - São Carlos Abril - 1999

'Este trabalho teve suporte financeiro da FAPESP

Aos meus pais José Carlos e Elvira

À minha irmã Maria Cláudia

Agradecimentos

Antes de mais nada agradeço a DEUS por ter me dado esta oportunidade.

À toda a minha família por sempre terem dado o seu apoio e em especial aos

meus queridos pais.

À minha orientadora, Maria Aparecida Soares Ruas os meus mais sinceros

agradecimentos, por ter acreditado no meu trabalho desde o segundo ano da

minha graduação e principalmente pela participação efetiva na realização deste

projeto de mestrado.

A todos os colegas e funcionários do ICMC-USP.

A todos aqueles que direta ou indiretamente colaboraram para a realização

deste trabalho.

À FAPESP

Resumo

Neste trabalho estudamos os contatos genéricos de superfícies com famílias de

hiperplanos e utilizamos os resultados para descrever os duais destas superfícies

e as singularidades da aplicação de Gauss.

Apresentamos duas abordagens para este estudo: o estudo dos teoremas de

genericidade para famílias de funções altura definidas em hipersuperficies em

espaços euclidianos, e os correspondentes resultados para hipersuperficies proje-

tivas. A interpretação geométrica das singularidades destas famílias é discutida

nos casos especiais de curvas planas, superfícies em R' e superfícies em IN. Co-

mo aplicação, descrevemos os conjuntos duais nestas dimensões e estudamos as

cúspides da aplicação de Gauss projetiva.

Abstract

In this work we study the generic contacts of hypersurfaces with families of

hyperplanes and we use these results to describe the duals of these surfaces and

the singularities of the Gauss map.

We discuss the genericity theorems for the family of height functions of em-

beddings of hypersurfaces in euclidian spaces and the corresponding results for

projective hypersurfaces. The geometric interpretations of the singularities of

these families are presented for the cases of plane curves, surfaces in R' and pro-

jective hypersurfaces in IN. As final example, we study the cusps of the projective

Gauss map.

Sumário

1 Material Introdutório 1

1.1 Germes e jatos 1

1.2 Equivalência de germes e jatos 3

1.3 Desdobramentos versais

1.4 Transversalidade e genericidade 7

1.5 Classificação de singularidades 9

1.6 Classificação dos germes de funções 13

1.6.1 Singularidades de Morse e Lema da Decomposição 13

1.6.2 Singularidades de corank 1 15

1.6.3 Singularidades de corank 2 16

1.6.4 Singularidades simples 18

1.6.5 Classificação dos germes R2,0 R2,0 20

2 Duais de hipersuperfícies genéricas em Ir 25

2.1 A família de funções altura 26

2.2 Curvas planas 30

2.3 Superfícies em R3 32

3 Duais de hipersuperficies projetivas 39

3.1 A família de funções altura: definições básicas e resultados preliminares 41

3.2 O teorema de genericidade local 46

3.3 O teorema de genericidade multilocal 53

3.4 Considerações finais 65

A Geometria Algébrica Projetiva 69

A.1 O Espaço Projetivo e as Variedades Projetivas 69

A.2 Correspondência entre Ideais Projetivos e Vari- edades Projetivas . 75

A.3 A Geometria das Hipersuperfícies Quádricas 87

11

Introdução

O objetivo deste trabalho é estudar os contatos genéricos de hipersuperfícies

com famílias de hiperplanos e utilizar os resultados para descrever os duais destas

superfícies e as singularidades da aplicação de Gauss.

Este estudo é apresentado em duas abordagens: no contexto de subvariedades

em espaços euclidianos Rn+1 e para hipersuperfícies projetivas em Tn+1. A

primeira situação tem sido amplamente estudada do ponto de vista da Teoria

de Singularidades. O resultado clássico de Looijenga estabelece que para um

conjunto residual de mergulhos de subvariedades de dimensão menor ou igual a

5, as singularidades da família de funções altura são localmente versais. No tra-

balho, discutimos este teorema e a interpretação geométrica das singularidades

da família para curvas planas e superfícies em R'. Os correspondentes teoremas

de genericidade para hipersuperfícies projetivas são menos conhecidos e a sua

discussão detalhada é a principal parte do trabalho.

No capítulo 1, abordamos noções e resultados básicos da teoria de singu-

laridades, como por exemplo, os conceitos de transversalidade e genericidade,

métodos de classificação de singularidades e a classificação dos germes simples de

funções.

No capitulo 2, estudamos a família de funções altura definida em subvarie-

dades do espaço euclidiano Irl. Apresentamos o Teorema de Genericidade de

Looijenga, e discutimos a maneira de aplicar este resultado ao estudo dos contatos

de uma subvariedade genericamente mergulhada com a família de hiperplanos de

IR''. Também analisamos a relação entre as singularidades da família de funções

altura, a geometria do conjunto dual das hipersuperfícies afins e as singularidades

da aplicação normal de Gauss.

A interpretação geométrica das singularidades da família de funções altura é

discutida nos casos especiais de curvas em R2 e superfícies em lie. As singulari-

dades dos conjuntos duais e da aplicação de Gauss são apresentadas.

O capítulo 3 contém a principal parte do trabalho. Nele apresentamos um

estudo detalhado dos teoremas 3.2.1, 3.3.1 e 3.3.2, os quais correspondem respec-

tivamente aos teoremas 2.4, 2.8 e 2.10 do artigo "The Duals of Generic Hypersur-

face" , de J. W. Bruce [13], referentes aos contatos genéricos de hipersuperfícies

algébricas reais e complexas com famílias de hiperplanos em IP"+]. Como apli-

cação vimos alguns resultados relacionados com as cúspides da aplicação de Gauss

proj etiva.

O trabalho contém também um apêndice com uma apresentação dos resulta-

dos básicos da geometria algébrica projetiva, incluindo em especial um estudo das

hipersuperfícies quádricas. A leitura deste apêndice não é essencial para a com-

preensão do trabalho, mas pode ser útil para uma iniciação à geometria algébrica

proj e tiva.

Capítulo 1

Material Introdutório

Neste capítulo apresentaremos conceitos e resultados básicos em teoria de singu-

laridades que serão necessários para os capítulos seguintes do trabalho. Começaremos

apresentando um breve relato sobre germes e jatos, passando então a descrever .4-

equivalência entre germes. Em seguida voltamos nossa atenção às deformações versais

de um germe, e à questão de genericidade. Finalizando, falamos um pouco sobre clas-

sificação de singularidades.

1.1 Germes e jatos

Sejam x E R" e f,g : U1 C R" RP aplicações diferenciáveis definidas em

uma vizinhança aberta Ui de x. Dizemos que f e g são equivalentes e escrevemos

f r.s g se existir uma vizinhança U x em R" tal que f IU = gIU, ou seja, se f e g

coincidem numa vizinhança U de x. Esta relação de equivalência e suas classes de

equivalência são chamadas germes de aplicações diferenciáveis de R" RP em x,

1.

e os elementos de uma classe são chamados representantes do germe. Se f e g são

representantes do mesmo germe então devemos ter f (x) = g(x) e, portanto qualquer

outro representante deve assumir o mesmo valor em x, digamos y. É comum usar-se

a notação f : IR", x —> Ir para indicar um germe de aplicação.

Consideremos, em particular, os germes em x de aplicações Rn —> R. Usando as

operações da meta IR, podemos somar e multiplicar tais aplicações e, assim, vemos que

o conjunto de seus germes em x adquire uma estrutura de um anel que denotaremos

por Em. Este anel tem um ideal .A4z constituido pelos germes de funções 4, : IR", x

IR, O, ou seja, funções 4, com 0(x) = O. Este ideal é um ideal maximal. Na verdade

A/tx é o único ideal maximal de Ez que é, portanto um anel local. Dado um germe

de aplicação f : Rn,x —> RP teremos f = , fp) com o Ex-módulo (livre) Ep =

x x E, (p cópias). Desta forma, os espaços de germes podem ser identificados

com espaços lineares, e considerando-os como variedades podemos identificá-los com

seus próprios espaços tangentes.

Vamos agora introduzir uma outra relação de equivalência entre aplicações Ir

Ir. Sejam x E IR" e f,g:U c Ir IR" aplicações definidas em uma vizinhança U de

x. Dizemos que f e g têm o mesmo k-jato em x se f (x) = g(x) e para algum sistema

local de coordenadas em x E Rn e f (x) E Ir todas as derivadas parciais de ordem

< k das componentes de f e g coincidem em x. Observe que esta definição depende

apenas do germe de f e g. Fixando x E Rn, y = f (x) E IRP e coordenadas locais em

x E Ir e y E IR", segue que o k-jato de f é determinado pelos termos de grau < k nas

expansões de Taylor das componentes de f com respeito a estas coordenadas. Estes

são os k-jatos de aplicações Rn, O IRP, O. O conjunto de todos tais k-jatos denota-

se por Jk(n,p) o qual é um espaço vetorial de dimensão p(er) —1). O conjunto

Jk (R", IRP) de todos os k-jatos (em todos os pontos) de todas as aplicações Rn —> Ir é

um fibrado sobre IR" x IRP com fibra Jk(n,p). Dada então uma_aplicação f : Rn IRP

temos definida uma aplicação ik f : Ir —> Jk(Rn, IR!) que a cada ponto x E Ir associa

2

o k-jato de f em x, ik f (x). Esta aplicação é chamada aplicação k-jato.

No caso particular em que p = 1 pode-se mostrar que as derivadas parciais de

ordem < k de E Er se anulam em x se e somente se, E mri. Assim, podemos

identificar o espaço dos k-jatos em x de aplicações IR" IR" com o espaço

Logo, no caso geral, tem-se

E. (n,P) = x x (p cópias) mri mr

1.2 Equivalência de germes e jatos

As relações de equivalência fundamentais para o problema de classificação de ger-

mes são a K- e a À- equivalência, onde C denota o grupo de contato e À é o subgrupo

de 1C de mudanças de coordenadas na fonte e na meta do germe. É este último grupo

que nos interessa no momento e é sobre ele que discutiremos a seguir.

Seja R. = Di f f , x) o grupo de germes de difeomorfismos : IR", x IR", x

(ou seja, 0E72.é uma mudança de coordenadas locais). Este grupo age sobre Ef por

composição à direita:

x Ef Ef

(O, f ° 0-1

Assim, dizemos que os germes f, g : IR", x RP são R.- equivalentes, e escrevemos

f -1-e g, se existir E R. tal que f = g o 0-1.

3

Da mesma forma, o grupo .0 = Dif f (RP, y) age sobre Ef, agora por composição

à esquerda

.0 x Ef Ef

(0, f) f,

e dizemos que dois germes f,g: IR", x IRP são .C- equivalentes, e escrevemos f g

se existir ip E .0 tal que f = 1,bo g. A R- equivalência (resp. .C- equivalência) é também

chamada equivalência à direita (resp. à esquerda), dai o uso da letra 7Z (abreviação

de right em inglês) (resp. .0 (abreviação de left em inglês)). O grupo A de mudanças

de coordenadas na fonte e na meta é então definido pelo produto A = 7Z x .0 e este

grupo age sobre Ef por composição à direita e à esquerda da seguinte forma:

A x Ef Ef

((0,'0), f °O-1

Definimos então a seguinte relação de equivalência, chamada de A- equivalência

(ou equivalência à esquerda e à direita). Dois germes f, g E ef são A-equivalentes (ou equivalentes à esquerda e à direita) se existir (h, k) E A, ou seja, germes de

difeomorfismos hERekE .0 tais que o seguinte diagrama comuta:

Ir • RP

14ik

Ir IRP

Passamos agora a descrever o espaço tangente à ação do grupo A. Para isto vamos

descrever separadamente os espaços tangentes às ações dos grupos 7Z e .C. Começamos

com o grupo 7Z. Vamos trabalhar aqui com a fonte e a meta fixas digamos x = O

e y = O. Neste caso, usamos a notação En ao invés de Ex para indicar o anel dos

germes de funções Rn,0 IR e Mn para o respectivo ideal maximal. Dado então

um germe f E E„ seja 0(f) o conjunto de todos os germes na origem de campos de

vetores ao longo de f, isto é de germes de aplicações ( (como no diagrama abaixo)

4

com o C= f:

T(IR'')Tf

T(W)

rin / I Hp

L> RP

onde T(R") é o fibrado tangente de Ir, 11,, é a projeção natural e Tf é a aplicação

tangente induzida por f. Se denotarmos por 0(n) o conjunto de germes na origem

de campos de vetores do R' (ou seja, campos de vetores ao longo da identidade

in : IR", O Ir, O), um elemento x E 0(n) será aplicado por Tf ao campo tf(x) =

Tf o xE 0(f), e portanto fica definida uma aplicação tf : 0(n) 0(f). Observe que

0(n) = 0(14 é o Eri-mádulo livre com base {O/Oxi,... , Wezn}. Logo tf : 0(n)

0(f) é a aplicação Eu-linear com matriz

\.axi)

Definimos então o espaço tangente à direita de f, ou o R.-espaço tangente de f

como sendo

tf (M„O(n)),

ou seja, a imagem de tf dos campos de vetores que se anulam na origem. Por outro

lado, se 77 E 0(p) então a composição com f, ij o f E 0(f), define uma aplicação

wf : 0(p) 0(f). Também aqui 0(p) = 0(4) é o E,,-mádulo livre gerado por

{a/aYi, • • • ,a/ayp}, e wf é simplesmente a aplicação induzida por f. : Ep en, f(g). go f Definimos então o espaço tangente à esquerda de f como sendo

wfimp(9(p)).

O A-espaço tangente de f é então definido por

TAf =TRI +Trf

5

Voltemos agora ao caso de jatos. O 1v-jato de uma composta ho k depende somente

dos respectivos k-jatos das aplicações h e k. Assim, as ações de R, .C, A sobre o espaço

de germes induzem ações dos grupos de Lie (de dimensão Emita) JkR., Jk.C, J kA sobre

Jk(n,p) (a fibra de Jk (R", Ri') sobre o ponto (0,0)). Como estamos num caso finito-

dimensional os espaços tangentes a cada uma destas ações podem ser tomados no

sentido usual, e apesar de ao nível de germes termos apenas expressões formais para

os espaços tangentes, os respectivos espaços tangentes às órbitas das ações induzidas

são obtidos tomando-se a imagem dos respectivos espaços tangentes ao nível de germes

em M.„0(f)1A4r10(f). Assim, temos

TRic f := TR. f im ,

T.Ck f

T Ak f := TAf /Mri

Os espaços tangentes definidos acima se referem ao caso em que a fonte e a meta

dos germes são fixas (no caso fixamos x=0ey= 0). Se permitirmos que estas

variem definimos então os espaços tangentes estendidos por

f := t f (0(n)),

f := w f (0(p)),

TA, f TRef. + T Ca f

1.3 Desdobramentos versais

Passamos agora a discutir o conceito de desdobramento de um germe f e, na seção

seguinte discutiremos o conceito de genericidade. Estes dois conceitos são de certa

forma relacionados um com o outro.

Seja f : R", O x R, O um germe diferenciável. Um desdobramento a s parâmetros

de f é uma aplicação F : R" x R°,0 —) IRP x 0, F(x, A) = (fix, A), A) tal que

6

F(x, O) = (f(x),0),Vx. A aplicação f(x, À) = fA(x), por sua vez, é denominada

uma deformação de f. Em outras palavras, um desdobramento de f é simplesmente

uma família de germes de aplicações contendo o germe de f. Dentre os desdobra-

mentos de um germe f destacam-se os desdobramentos g-versais (g = A /c, A A)

de f, que são de central importância no estudo da geometria do mesmo. Dizemos

que um desdobramento F do germe f é g-versal se dado qualquer desdobramento

G (x, u) = (9(x, u), u) de f , para cada parâmetro u E Rr a aplicação 9.„ : litn, R", O,

dada por g(x) = g(x,u), é g-equivalente a fa(u) onde a : R' é uma apli-

cação diferenciável. Neste caso, dizemos também que j é uma deformação versal.

O número mínimo s de parâmetros em um desdobramento versal de F é chamado

de ge-codimensão de f.Uma deformação versal com o número mínimo de parâmetros

é chamada deformação miniversal. Algébricamente os desdobramentos versais são

caracterizados pelo seguinte teorema devido a Martinet [1].

Teorema 1.3.1 F: Rn x R', O IR P é um desdobramento g-versal = do germe f se, e somente se,

Tgef +R{fa = O(f),

onde 'MA=-2-L(x 5 O) é a velocidade inicial da deformação 7, i =1,... , s. oui

Neste trabalho estaremos principalmente interessados nos grupos g = A e R-

1.4 Transversalidade e genericidade

Fortemente relacionado com o conceito de versalidade está o conceito de generi-

cidade. Dizemos que uma propriedade é genérica em C'(M, N) se ela se verifica

7

para um conjunto residual de aplicações. Lembremos que um conjunto residual é

uma interseção enumerável de abertos densos. Sendo C" (M , N) um espaço de Baire,

tais conjuntos são densos. A definição mais precisa deste conceito é em termos de

resultados de transversalidade, que descrevemos a seguir.

Definição 1.4.1 Sejam M e N variedades diferenciáveis e f M IsT uma apli-

cação C". Seja W uma subvariedade de Nex EM. Então f intercepta W transver-

salmente em x se

(i) f (x) W , ou

(ii) f (x) E W e Tfix)N = Tf(x)W + (df)x(TxM)•

Dizemos que f é transversal a W se f é transversal a W em x para todo x E M.

Lema 1.4.1 (Lema de transversalidade de Thom) Sejam M,N e P variedades

diferenciáveis, W c P uma subvariedade eF:N x M P uma aplicação C". Se

F é transversal a W então para quase todo yeM a aplicação F y N P; F(x) =

F(x, y) é transversal a W.

Teorema 1.4.1 (Teorema de transversalidade de Thom) Sejam Q1,..., Q3 sub-

variedades diferenciáveis do espaço de jatos Jk(Rn,RP). O conjunto de todas as apli-

cações diferenciáveis f : Rn —+ RP para as quais fkf Rn jk (Rn, Etin.p) é transversal

a Q1, Q2, ,Qi é denso em

8

1.5 Classificação de singularidades

Quando estudamos a geometria de superfícies é muito comum precisarmos clas-

sificar germes de aplicações sob alguma relação de equivalência até uma certa codi-

mensão. Por exemplo, para estudarmos o contato de superfícies em R3 com planos,

precisamos de antemão classificar os germes de aplicações R', O —> IR, Ode ile-codimen-

são < 2. Este processo de classificação envolve basicamente duas etapas: a primeira

delas é determinar quais são os "jatos relevantes" em Jk(n,p) e então testar se estes

jatos são "finitamente determinados" ou não. Este processo é o que chamamos de

processo indutivo via jatos, e se baseia em três pontos chaves que são: o conceito

de transversal completa introduzido por Bruce, du Plessis e Kirk em [5], o lema de

Mather e os teoremas de determinação finita. Destes três pontos o mais conhecido é

o lema de Mather que, quando aplicado, reduz os jatos a formas mais simples. Seu

enunciado é o seguinte:

Teorema 1.5.1 (Lema de Mather [61) a) Seja G um grupo de Lie agindo suave-

mente sobre a variedade M e suponha que a subvariedade S C M tem as seguintes

propriedades:

1. para cada x E S,TzS c TzGx;

2. a dimensão de Gx é independente da escolha de x E S;

3. S é uma variedade conexa.

Então S está inteiramente contida em uma única G-órbita.

b) Suponha que ti : M1 —> M2 é uma G-submersão, e seja S = 1.1-1(x0) para al-

gum xo E M2. Se (1) e (3) de (a) se verificam, então S está contida em uma única

G-órbita.

A técnica de classificação, como já dissemos, é o método indutivo de classificação

via jatos até que um jato suficiente (e portanto um germe finitamente determinado)

9

seja obtido. Comecemos então falando um pouco sobre determinação finito.. Dado

um grupo g de equivalências entre germes, dizemos que um germe f : R", O IR?, O

é k-g-determinado se, para qualquer germe g, tal que jkg(0) = n(0) tivermos g

g-equivalente a f. Dizemos ainda que f é g-finitamente determinado se ele for k-

determinado para algum k. Um k-jato é dito suficiente se ele é o k-jato de algum germe

k-determinado Resultados importantes sobre determinação finita que dão condições

necassárias e, em alguns casos, também suficientes para a determinação finita podem

ser encontrados em [7]. Um resultado central da teoria é o critério infinitesimal para

a determinação finita:

Teorema 1.5.2 ( [7] ) Seja g um dos grupos usuais da teoria de singularidades TC, A

C, /C, A. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. f é g-finitamente determinado;

2. para algum k Tg f jNe0(f);

3. para algum k Tgef j ..KO(f);

4. cod( f , g) = dim,R{M„O(f ) ITg f} coo;

5. ge-cod( f , g) = dimR{9(f)1Tgen c oo;

Mais precisamente, pondo e = 1 para g = R., C, /C, e e = 2 para A A, temos:

I. se f é r-g-determinado então Tg f D Mr10(f).

2. se Tg f D AVIO( f) então f é (e- +1)— g-determinado.

3. se cod( f, g) = d então Tg f D Mtle0(f).

Alguns resultados de determinação finita utilizam o subgrupo g1 c g de mudanças

de coordenadas cujo 1-jato é a identidade. Em geral dado o grupo g de mudans

de coordenadas, ficam definidos os subgrupos g, c g de mudanças de coordenadas

cujo 8-jato é a identidade. Nesta direção Bruce, du Plessis e Wall em [8] encontram

condições necessárias e suficientes para a determinação finita de germes para uma

classe bem abrangente de subgrupos de /C, a saber subgrupos unipotentes. O principal

10

resultado lá contido é o seguinte teorema, sobre o qual não entraremos em detalhes,

por envolver conceitos e técnicas que vão além dos objetivos de nosso trabalho. Antes

de enunciarmos o resultado, colocamos um conceito do qual os autores fazem uso no

teorema. Diz-se que um subgrupo 7-1 C é fortemente fechado em 0 se Q. C 7-1 para

algum s e fild é um subgrupo fechado de J80. Se além disso J37-1 é um subgrupo

algébrico diz-se que 7-1 é fortemente Zarislci fechado.

Teorema 1.5.3 ([8]) . Seja 0 um dos grupos 12,£,C,K ou A. Sejam 7-1 um sub-

grupo fortemente Zariski-fechado de 0 e f t, O —+ FP, O um germe Cr (aqui F =. R

ou C); r = oo (aplicações C°°, com F = R) ou 1- = IR — co (aplicações analíticas

reais), ou T -= C — co (aplicações analíticas complexas, F — C). Então para qualquer

r < oo, f é r-7-1-determinado se, e somente se, existe um subgrupo de 0 fortemente

fechado U c 7-1, com Jibt unipotente para o qual tem-se

M;.:1-10(f) c TU f.

Passamos agora a descrever a outra ferramenta que precisamos no processo de

classificação que é o conceito de transversal completa desenvolvido primeiramente

por J. W. Bruce e A. A. du Plessis e posteriormente junto com N. Kirk [5]. O

resultado central daquele artigo é o seguinte teorema:

Teorema 1.5.4 (Teorema das transversais completas [5]) Seja 7-1 um subgrupo

de Lie de Qi e seja f um 1v-jato em Jk (n,p). Se T C Hk+1(n, p) é um subespaço ve-

torial de Hk+1(n,p) tal que

Hk+1(n, p) C T + Thk+1 f

então todo (k +1)-jato F com jk F = fé Ik+1_ rt equivalente a algum (k +1)-jato da

forma f + t, para algum f E T

11

Bastante útil é a variante deste teorema que se obtem fazendo-se 7-1 =

Proposição 1.5.1 Seja f um k-jato no espaço de jatos Jk(n,p). Seja ainda T um

subespaço vetorial do Hk+1(n,p) de jatos homogêneos de grau k +1 tal que

Hk+i p‘

)cT+T.At+1 f

Então qualquer (k 1)-jato F com jk F = f é .41-equivalente a f + t para algum

t E T.

Neste ponto cabe um exemplo para ilustrar o método.

Exemplo 1 Consideremos aqui .4-equivalência e aplicações f : R2, O —> R2, O de

corank 1 (ver [9]). Um tal germe f deve ter 1-jato da forma a = (x, O). Vamos

determinar uma 2-transversal completa para a. Como podemos ver facilmente, os

geradores do espaço tangente T.Ma são (x2,0), (xy, O), (y2, O), (O, x2). Assim, pode-

mos tomar como subespaço T no teorema 1.5.4 o subespaço de 112(2,2) gerado pelos

vetores (0, xy), (O, y2). Portanto de acordo com o mesmo teorema qualquer 2-jato

sobre (x,0) é .4-equivalente a (x, aixy + a2y2), com ai, a2 E IR. Teremos então 3

casos a considerar: a2 O; a2 = O com al O; ou al = a2 = O. Chegamos então

aos três possíveis 2-jatos que são (x, y2), (x, xy), (x, O). O primeiro deles é 2-.41-

determinado. Poderíamos agora continuar, por exemplo, a classificar os germes so-

bre o 2-jato (x,xy) ou (x, O) em codimensões baixas. Por exemplo, um dos três jatos

sobre (x, O) é (x, y3). Pensando este 3-jato como um k-jato (com k > 3) e analisando

o seu espaço tangente T.At+1 f , vemos que o único termo de grau k +1 que não está

presente é o vetor (O, xky). Logo uma transversal completa em Jk+1(2, 2) é dada por

(x, y3 -I- axky), com a E IR. Se a O com mudanças de escalas na fonte e na meta

podemos reduzi-la às formas normais (x, y3 ± xk y) para k par e (x, y3 + xky) para k

ímpar. Estes germes são .4-finitamente determinados ([9]) e, portando, temos uma

lista completa dos germes .4-finitamente determinados com 3-jato (x, y3).

12

Na seção seguinte listamos alguns resultados importantes de classificação, dos

quais faremos uso nos capítulos seguintes.

1.6 Classificação dos germes de funções

Seja f : R", O —> R, O um germe de uma função suave. Se Vf (0) O, então

f xl. Se f é singular em O, o objetivo é determinar uma lista de singularidades

finitamente determinadas. É claro que não podemos obter todos os germes finitamente

determinados, portanto, restringimo-nos ao caso dos germes simples.

A classificação dos germes de funções (ou de aplicações) é obtida por indução sobre

o espaço de k-jatos. Dado um ik f usamos o teorema da Transversal Completa para

obter uma parametrização dos (k-I-1)-jatos que tem o k-jato igual a ik f . Podemos usar

o Lema de Mather para produzir as órbitas dentro desta parametrização. Aplicamos

o teste da determinação finita a cada órbita no (k 1)-jato (cuja k-jato é ik f ). Se o

germe é finitamente determinado paramos o processo. Se não, consideramos o (k +2)-

jato. No caso de funções precisamos dos resultados que apresentaremos na sequência,

e cujas principais referências são [3] e [12]

1.6.1 Singularidades de Morse e Lema da Decomposição

Definição 1.6.1 Um germe f E mn é dito de Morse se j2 f é uma forma quadrática

não degenerada.

Lema 1.6.1 Um germe de Morse é R.-equivalente a Ein_i ±x?.

13

Seja f E TN., então o 7Z-espaço tangente estendido de f é dado por Tne.f =

J(f), onde J(f) denota o ideal Jacobiano de f. Segue do teorema fundamental dos

desdobramentos versais (ver Teorema 1.3.1) que um desdobramento de f é Reversal

se, e somente se,

J(f) +R{1.1,• • • ,1t} =S.

Isto implica na seguinte proposição.

Proposição 1.6.1 Uma deformação Re-nainiversa/ de um germe de Morse f é dada

por f (x , u) = f (x) + u.

Observação 1.6.1 No caso do grupo At ou A um germe de Morse é estável.

Definição 1.6.2 Um germe f E mn2 tem corank q se a matriz Hessiana (ô2flaxiax,(0))

tem rank p = n — q.

Lema 1.6.2 ("Splitting Lernma"ou Lema de Decomposição) Se f E m2„ é urna sin-

gularidade de corank q, então f é 7Z-equivalente a um germe da forma

Q(xl, • • • ,xp) + g(xp+i, • • • ,xn),

onde p + q = n, Q uma forma quadrática não degenerada e j2 g = O.

Demonstração: Podemos supor que j2 f é dado por uma forma quadrática não

degenerada Q(xl, • • • , xi,), e considerar f como um desdobramento de Q. Como Q+u

é miniversal, segue que f é isomorfo a g' (Q + u) por algum germe g : Rn-P O -1 R, O.

Isto é, existe um difeomorfismo ck tal que

f (0(x 1, • • • , xn)) = (xi, • • • , xp) + g(xp+i, • • • , xn).

14

Observemos que a singularidade de f é completamente determinada pela singu-

laridade de g. A vantagem do uso do Lema de Decomposição é que g tem um número

menor de variáveis. Podemos classificar agora os germes de funções usando o Teorema

da Transversal Completa e o Teorema 1.5.1 da determinação finita, a saber, se

mkn-en C TR. f

então f é k — R.-determinado.

1.6.2 Singularidades de corank 1

Usando o Lema de Decomposição, temos f = g(x) + q(x2, • • • ,x„), onde q é uma

forma quadrática não degenerada. Então o problema neste caso se reduz a classificar

funções de uma só variável.

Se g(0) = = g(k) = mas g(k+i) O, então não é difícil mostrar que g é

(1c + 1)-determinado e, portanto,

g

A singularidade ±rk+1 é chamada Ak. Ela é de Re-codimensão k. Um desdobra-

mento versal é dado por

±xlc+1 Uk_ IX/c-1 ± • • • ± U1X UO.

A constante uo representa os níveis de f.„(x). Em alguns casos somente a singu-

laridade de f é de interesse. Neste caso, é definido o desdobramento versai "poten-

cial" como um desdobramento que satisfaz

J(f) R{A, • • • = mn•En•

15

No caso da singularidade ±xk+1, um modelo de um desdobramento potencial é

Uk-iXk-1 + • • • + UIX. Uma outra maneira de eliminar o termo constante

é considerar o grupo K ou A. Nestes casos podemos obter o termo constante no

desdobramento usando o grupo .C.

1.6.3 Singularidades de corank 2

Pelo Lema de Decomposição temos que considerar germes de funções de duas

variáveis g(x,y) com j2g = O.

Seja j3g = a0x3 a1x2y a2xy2 a3y3. Podemos mudar variáveis e escrever g na

forma x3 ± xy2 se g possui uma ou três raízes reais

xy2 se g possui urna raiz dupla

3 se g é uma cúbica perfeita

O se g = O

O 3-jato x3 ± xy2 é 3-determinado pois

m3(x, y) C m(x, y) <3x2 ± y2, ±2xy > +m4 (x, y).

Esta singularidade é chamada 1)4 e tem Re-codimensão 4. Um desdobramento

versai é dado por

X3 ± xy2 U3X2 U2X uly no.

Como no caso anterior, não precisamos do termo ao no caso de um A-desdobramento.

O 3-jato xy2: Suponha ik-2 f = xy2, k > 5. Então

Jk-1(m2(x, y) <y2, 2xy >) n Hk-1(x,y)+R.{xk-1} = Hk-1(x, y).

16

Segue do teorema da Transversal Completa que todos os (k-1)-jatos cujos (k — 2)

jatos são iguais a xy2 são equivalentes a xy2+axk-1 para algum a E R. Uma mudança

de coordenadas mostra que as órbitas nesta familia são

xy2 xk-1 e xy2.

A singularidade xy2 ± xh-1 é (k — 1)-determinada, pois

mk-1(x, y) C m(x, y) <y2 ± (k — 1)xk - 2 ,2xy > +mk (x, y).

Esta singularidade é chamada Dk e tem Re-codimensão k. Um desdobramento versal

é dado por

2 k-1

xy2 x + Uk-iXk-2 ± • • • ± U2X ttlY UO.

O 3-jato x3: Temos h = 3x2 e fy = o,

j4 (7712(X, y) <3x2, >.‘)

U n H4(x, y) + R.{xy3, y4} = H4(x, y).

Então um elemento g de J4(2,1) com j3g = f é equivalente a x3 + axy3 + by4 para

algar' par a, b E R.

• Se b O, então g x3 + axy3 ± y4. Seja V = {x3 + axy3 ± y4, a E R} um

espaço vetorial em M = J4(2,1) e seja G = J47Z. Aplicando o Lema de Mather

segue que V está contido em uma só órbita, o que mostra que g x3 ± y4. Esta

singularidade é 4-determinada e é denotada por E6. Ela tem Recodimensão 6 com

um desdobramento versal dado por

X3 ±y4 ± usxy2 +U4? + u3xy + u2x + uly + uo.

• Se b = O e a O, então g r2R, X3 ± xy3. Esta singularidade é 5 determinada e é

denotada por E7. Tem 7Z6-codimensão 7 com um desdobramento versal dado por

x3 ± x713 u6714 u5y3 1L4x7j2 u3y - 2 2b2xy ttix

17

• Se a = b = O, então um 5-jato cujo 4-jato é x3 é equivalente a x3 + cxy4 dys.

Se d O, então g eLs-.' x3 + 9. Esta singularidade, denotada por Eg, é 5-determinada e

tem Re-codimensão 8. Um desdobramento versal é dado por

x3 ± y5 ± urxy3 -I- u6y3 -I- U5Xy2 ±u4y2 ± u3xy+ u2x + u1Y4 -I" U0 •

1.6.4 Singularidades simples

Definição 1.6.3 Uma singularidade finitamente determinada f E rnE(n,p) é dita

g-simples se existe uma vizinhaça V de ik f (k grande) em Jk(n,p) tal que V contém

um número finito de órbitas de Jkg em Jk(n,p).

Exemplo 2 (1) n = p = 1, f (x) = ±xk+1 é 7Z-simples, pois para 1 > k + 1, urna

vizinhança de ji f que contém só as órbitas A., s < k. (Ver o desdobramento versal

de Ak)

(2) Nem todos os germes são 7Z-simples. Seja

ft(x,y) = xy(x + y)(x — ty).

O conjunto f-1(0) é formado por 4 retas passando pelo origem. Podemos mostrar

que ft é finitamente determinado mas ft e ft, não são 7Z-equivalentes para t t'.

Proposição 1.6.2 Se f E m„ é 7Z-simples, então cor ank(f) < 2.

Demonstração: j2f define uma forma quadrática de rank r em R2. O espaço nulo

desta forma quadrática é um subespaço vetorial de dimensão n — r. j3 f define uma

forma cúbica em V que é independente do sistema de coordenadas. Se et. E 7Z então

18

DO(0) leva V3 2 f a '<p(fs). Então a ação de J3R sobre P(n, 1) induz uma ação de

GL(n — r, R) sobre o espaço das formas cúbicas de (n, — r)-variáveis. Assim, se as

formas cúbicas definidas pelos germes f,g de rank r não são GL(n—r, R)-equivalentes,

então f e g não são 1Z-equivalentes.

O espaço de cúbicas de (n — r)-variáveis é de d ( n — r + 2 )

imensão . Mas 3

— dinzGL(n — r, R) = (n — r)2; logo se n — r > 3, então ( n r + 2 )> (n — r)2, e

3 portanto as Órbitas de GL(n — r, R) têm codimensão > 1. Isto é qualquer vizinhança

encontra um número infinito de órbitas.

O número R,-cod( f , R) = diirest{8 (f )1 TR, f} é um importante invariante no es-

tudo das singularidades de funções e é chamado o número de Milnor de f e denotado

por p(f), ou simplesmente p.

Teorema 1.6.1 (Arnold [10]) As singularidades R.-simples em m„ são:

Ak, k > 1 cuja forma normal é ±x"' e p = k

Dk, k > 4 cuja forma normal é xy3 ±xic-1 e p = k

E6 cuja forma normal é x3 ± y4 e p = 6

E7 cuja forma normal é x3 ± xy3 e p = 7

Es cuja forma normal é x3 + y5 e p = 8

Demonstração: Usando os desdobramentos versais das singularidades no teorema,

podemos mostrar que estas singularidades são simples. Segue da Proposição 1.6.2 que

só precisamos considerar os germes de corank < 2.

19

Se corank(f) = 1, então f ±xk+1 que é simples.

Se corank(f) = 2, então se f tem uma singularidade Dk, E6, E7 OU Eg, f é

simples. Caso contrário, usando o Lema de Mather podemos mostrar fácilmente que

f não é simples.

Podemos agora desenhar o diagrama de adjacências das singularidades simples:

A1 4—• A2 4- A3 A4 4-- Ag 4-- A6 A7 4-- Ag • • •

▪ T N T T 134 e— D5 D6 e— D7 Dg

\ I \ \ I E6 E7 Eg

Observação 1.6.2 1. A relaçcio entre as singularidades simples e as álgebras de Lie

simples designadas pelos mesmos nomes ou grupos gerados pelas reflexões é estudada

em [VI. Arnold, Remarks on the stationary pho,se methods and the Coxeter numbers,

Russian Maths. Surveys,28:5, 19-48J.

2. Um germe de função é Á-simples se, somente se, é 1C-simples se, somente se, é

R-simples.

1.6.5 Classificação dos germes R2,0 —> R2,0

A teoria de singularidades começou com os trabalhos de Whitney (1955) sobre a

classificação de singularidades estáveis do plano no plano. Muitas listas de germes

R2, 0 —+ R2, 0 seguiram, a mais longa até hoje é aquela apresentada por Rieger MJ.

20

Daremos uma classificação dos germes de corank I e codimensão < 2 usando a técnica

da Transversal Completa.

Seja F : R2, O R2, O um germe de uma aplicação suave. Se corank(F) < 1,

então podemos mudar coordenadas e escrever F na forma

F (x , y) = (x , f (x, y)).

Pretendemos classificar germes sob a ação do grupo A que tem Ae — cod < 2.

Seguimos o mesmo método da classsificação de funções, a saber classificar pela in-

dução sobre os espaços de jatos.

Denotamos por aki o coeficiente do monômio xk-iyi na serie de Taylor de f.

Se a1,1 0 O então F é um germe de um difeomorfismo, portanto F A (x, y).

Assim, suponhamos que a1,1 = O.

Lema 1.6.3 As J2A-órbitas singulares em J2(2,2) são (x, y2), (x, xy) e (x, O).

Demonstração: j2f -= (X) a110x+a2,0x2+a2,1xy+a2,2y2). Podemos eliminar o termo

a110 usando a ação à esquerda. Se a2,2 0 O, então a mudança y 1-4 y — 2,Aa x elimina

o termo xy. Para eliminar o termo x2, usamos uma mudança de variáveis na meta

da forma (u, v) 1-4 (u, v — cxu2). O germe final é da forma (x,a2,2y2)• Uma mudança

escalar reduz ao germe (x, y2).

Se a212 = O e a2,1 0 O, então a mudança Y = azox 4- a2,1Y, reduz a (x,xY)•

Se a212 = a211 = O, então. j2 f (x,0).

Proposição 1.6.3 O germe F(x, y) = (x, y2) é 2-A-determinado e é ;te- estável.

21

Classificação dos germes com o 2-jato igual a (x, xy)

Considere um k-jato cujo 2-jato é (x, xy). Usando uma mudança de coordenadas

da formaY = y—p(x,y) podemos eliminar todos os termos divisíveis por x na segunda

componente exceto xy. Então este k-jato é equivalente a (x, xy +

Proposição 1.6.4 Os germes de ..ite — cod < 2 com o 2-jato igual a (x, xy) são

equivalentes a um dos seguintes germes

Cúspide (x, xy + y3) .4e — cod = O

Rabo de andorinha (x, xy + y4) 1

Borboleta (x, xy + ys + y7) 2

Classificação dos germes com o 2-jato igual a (x, O)

Lema 1.6.4 As J3A-Orbitas singulares em p(2, 2) que têm o 2-jato equivalente a

(x,0) são (x, y3 ± x2y), (x, y3), (x, xy2) e (x, O).

Demonstração: Seja J3F ••=. (x, a3,0x3 + a3,ix2y + as,2xy2 + ci3,3Y3)•

• Se a3,3 O, então usando a mudança Y = y — 3, e eliminando o termo x3 por 3a3

uma mudança de coordenadas na meta, reduzimos j3 F a (x, (3a3ja3,3— 42)/a3,3x2y+

a3,3y3) .

Se 3a30/3,3 — 42 O, então uma mudança escalar reduz a (x, y3 ± x2 y)• Se não,

j3F (x, y3).

• Se a3,3 = O e a3,2 O, então usando o Lema de Mather podemos mostrar que

j3F (x, a3,2xy2) (x, xy2).

22

• Se a3,3 = a3,2 = O e a3,1 O, então usando o Lema de Mather j3F (x,x2y).

• Se todos os coeficientes se anulam, então j3 F = (x, O).

Proposição 1.6.5 Um (k + 1)-jato cujo k-jato (k > 3) é equivalente a (x, y3) é

equivalente a (x, y3 ± xk y) ou (x, y3). O germe (x, y3 ± xk y) (k > 2) é (k + 1)-

determinado é tem Á,— cod igual a (k —1).

Podemos mostrar que um k-jato cujo (k— 1)-jato (k > 3) é equivalente a (x,xy2)

é equivalente a (x,xy2 E¡k_4 yi) . Se a4,4 O, então o 4-jato é equivalente a

(x, xy2 + y4) .

Proposição 1.6.6 As órbitas finitamente determinadas da "raiz"(x,xy2 + y4) são

dadas por (x,xy2 + y4

) k > 2. Este germe é (2k + 1)-determinado e tem

.At — cod igual a k — 2.

Observação 1.6.3 Os demais germes conduzem a k-jatos de codimensão > 2.

Em conclusão temos

Proposição 1.6.7 Os germes de codirnensão < 2 de aplicaçõesR2,0 R2, O e seus

desdobramentos At-versais são os seguintes:

23

Nome Forma Normal Desdobramento Versal — cod

Submersão (x, y) (x,Y) o Dobra (x , Y 2) (x, y2) o Cúspide (x , xy + y3) (x , xy + y3) o Rabo de andorinha (x, xy + y4) (x, xy + y4 + uy2) 1

Ldbios/Bicos (x , y 3 ± x2 y) (x, Y3 ± x2 Y + uY) 1

Borboleta (x, xy + y5 ± y7) (x , xy + y5 + y" + uy2 + vy3) 2

Ganso (x , y3 + x3y) (x, y3 + x3y + uy + vxy) 2

Gaivota (x, xv2 +y4 +y5) (x, xy2 + y4 + y5 + ity + vy3) 2

24

Capitulo 2

Duais de hipersuperficies genéricas

em Rn

A teoria de singularidades não somente rei nterpreta resultados clássicos da geome-

tria diferencial local das subvariedades em espaços euclidianos, como também permite

a descoberta de novos resultados sobre esta geometria. Os novos resultados seguiram

da sugestão de Renê Thorn que consiste em estudar o contato das superfícies com

conjuntos especiais tais como planos, linhas, esferas, círculos, etc.. Uma resenha dos

resultados nesta área nos ultirnos 20 anos é feita por J. W.Bruce em 1116).

Neste capítulo, estudamos os contatos genéricos de subvariedades de Rn com

famílias de hiperplanos. A referência principal para este estudo é o artigo The duais

of generic hypersurface,s de J. W. Bruce [13).

25

2.1 A família de funções altura

Seja Sn = .9 a esfera unitária em Rn+1 e seja N uma variedade diferencidvel.

Dado um mergulho f : N —>Rn+1, considere a família de funções

N x I- -14R xSAS onde Hf(x,u)= (f (x)• u, u), rr(c, u) = u

para (x, u, c) E N x x IR e o "ponto" denota o produto interno usual em

A família H1 chamada "família de funções altura" associada a f, descreve os

contatos de N com a família de hiperplanos ortogonais a u E S. Quando não houver

perigo de confusão, omitiremos o índice f. Para cada u E S, indicaremos por Hu a

aplicação

Hu : N R

x H(x) = H(x,u)

O conjunto dos pontos críticos EH de H é o conjunto {(x,u);x é um ponto crítico

de Hu : N —>R}, que é o fibrado normal unitário a N.

Quando N é compacta de dimensão n, N separa R"' e a projeção ri : EH N

é um recobri mento duplo, cada uma das folhas correspondendo a uma orientação para

os vetores normais a N.

Indicaremos por E+ o subconjunto de EH correspondente aos vetores normais a

N, que apontam para fora.

Definição 2.1.1 O dual de N é o conjunto dos valores craicos de H, isto é, o

conjunto H(E±).

A aplicação de Gauss está associada a H pela composição

G:N---+ E —*RxSAS

26

Como foi definida, a família de funções H depende da posição de N com respeito

à origem. Contudo é fácil verificar que qualquer translação de N dá uma família

equivalente de funções no seguinte sentido:

Duas famílias suaves de funções Fi : N x S = 1,2 são equivalentes se

existirem difeomorfismos h1,h2,h3 comutando o seguinte diagrama:

NxS F1IRS S

Ihi

Ihs Ihs

NxS F2IRS flS

onde Fi(x,y) = (fi(x,y),y) e r éa projeção canónica. Observe que a comutatividade

do diagrama mostra que a segunda componente de h2 depende só de x.

h2(t, x) = ((Mi, (h2)2)(t, x) = ((h2)i(t, x), h3(x))

já que ír o h2(t,x) = h3 o ír(t , x) = h3(x). Segue assim que existe um difeomorfismo

de IR x S levando o dual de N no dual transladado de N. A aplicação de Gauss, fica

inalterado,.

O relacionamento entre as singularidades da família Hf e as singularidades da

aplicação normal de Gauss fica evidente no seguinte lema, provavelmente devido a

Milnor:

Lema 2.1.1 O ponto yeN é um ponto regular de G: N S com G(y) = use e

somente se a função altura lin : N IR tem uma singularidade A1 em y.

Demonstração: É suficiente considerar o caso u = (O,,.. ,1), isto é, Hu é a função

altura xn±1. Claramente podemos escrever N localmente como x„+1 = h(xl, , xn)

para algum h = H. Então

( ah ah ) c(x,,... ,x.„,h(xi,... ,x4). p — • • • , — axn,1

27

onde p — {O} —> 5 é tal que p(x) = x , onde • é a norma Euclidiana.

Quando restringimos à qualquer hipetplano não passando pela origem p atua como

um difeomorfismo local. Então u é um valor regular de G se e somente se uzirj é não singular. Então h tem singularidade A1 se o rank da hessiana é máximo <=> a

jacobiana de Gauss é máxima.

Podemos agora formular varias questões. Por exemplo, que tipo de funções altura

His se deve esperar; o que o dual de N parece genericamente? Quais as correspon-

dentes singularidades da aplicação de Causa?

Com relação à primeira questão, a resposta é dada pelo teorema de genericidade

de Looijenga.

Definição 2.1.2 Se x = UXj é um subconjunto estratificado do espaço de multijatos

rtlk(N,R), dizemos que f é tangente transversa à x se o jato rjf1 f : Nfr) x S

,...1k(N,R) é transversal à cada Xj C x, onde N(t) = {(xl,... ,x,.) E Nr tal que

xi xj para i j}.

Teorema 2.1.1 (Looijenga [19]) Dado x = UXj como acima, o conjunto de mer-

gulhos f E C'(N,1811+1) com Hf tangente transversa à x é residual.

Os subconjuntos estratificados x = UXj c ,.Jk (N, R) de interesse são subconjun-

tos em ,...1k(N,R) invariantes pela ação do grupo A(k) = R(k) x r(k) dos k-jatos de

difeomorfismos na fonte e na meta. A aplicação do teorema é feita da seguinte forma:

Obtemos primeiramente uma classificação de todas as singularidades em ..1k(n,l) de

Ace,odimensão < n = dim(S) (dimensão do espaço de parâmetros).

Suponhamos que obtivemos um número finito de órbitas nesta classificação. Es-

tratificamos, então, o espaço de jatos (e também o de Traultijatos) ,...1k(N,R) obten-

do X1, X2, . . . X „ e também o complementar destas órbitas. Este complementar

28

pode ser decomposto em um número finito de variedades de codimensão maior que

2n (dim(N)± dim(S)), X84-21 , X. Aplicando então o teorema 2.1.1, a esta

estratificação, obtemos para cada X1, o conjunto

Rxi = {f E C"(N,Rn+1), f mergulho, rj11.11f é transversal a Xf} é residual

Logo o conjunto R := nRx, é ainda residual.

Observe que para um mergulho f E R, a aplicação k-jato associada a f evita os

estratos Xt para i>s e é transversal a Xt, para i < s. Uma tal imersão é chamada

uma imersão genérica para a situação que se está considerando. Assim um mergulho

genérico f: N --+ R dá origem a uma composta, Hf : Nx5 R, a qual apresentará

somente aquelas singularidades que aparecem na classificação cuja Ae-codimensão

seja no máximo n = dimS. A transversalidade às órbitas nos assegura, então, que

estas singularidades serão versalmente deformadas (ou desdobradas), ou seja, que a

familia II f é localmente versal.

Pode acontecer que, feita a classificação, tenhamos chegado a um número infinito

de órbitas, isto é, tenhamos encontrado algum germe modal. Neste caso, devemos

reunir estas órbitas em estratos e considerar então, não a codimensão individual das

órbitas, mas sim a codimensão do estrato associado. Também não poderemos mais

esperar que a aplicação k-jato seja transversal às órbitas.

Quando n < 5, as únicas singularidades de codimensão < TI em Jk(n,l) são

as singularidades simples, classificadas por Arnold. Com efeito, cada estrato X f é

uma -órbita de codimensão < 5 se e somente se Xf é simples. Mais ainda, se f

é simples com número de Milnor g, o subconjunto X correspondente em Jk (N, R)

terá codimensão n+ 11-1, de modo que tais singularidades ocorrem quando 11-1 < n.

Para as informações sobre o dual de N, é preciso investigar as singularidades genéricas

que ocorrem quando n < 5, para germes (caso r = 1) e também para multigerrnes

29

(caso r > 1)

Para uma melhor discussão da geometria do mergulho genérico f : N R_y n+1, o

seguinte teorema, que complementa o resultado obtido no lema 2.1.1, é essencial:

Teorema 2.1.2 (Looijenga [19], Wall 1.201) Seja f: N Rn-f-z um mergulho

de N para o qual a família Hf associada é localmente versai. Então, a aplicação

normal de Gauss associada a este mergulho G: N —> 5, é localmente estável.

Nas próximas seções estudamos a caracterização geométrica para as singularidades

da função altura quando ri = 1 e2eas correspondentes singularidades do dual de N

e da aplicação normal de Gauss.

2.2 Curvas planas

Seja C uma curva regular em R2 . O contato de C com retas em R2 é dado pela

família

H : C x —+ R

(p, u) 1—>< p , u >

Para cada u. E 51 fixo, 1-4, descreve o contato de C com a reta que passa por p e é

ortogonal a u. Como consequência do teorema de Looijenga nesta dimensão, segue-se

que para um mergulho genérico de C em R2 , as singularidades da função H são as

singularidades de germes e nzultigermes de codimensão < 1. Assim, podem ocorrer

as seguintes singularidades A1 (Morse), A2 (dobra) e também as singularidades

que correspondem a dois pontos críticos não degenerados de mesma altura.

Para interpretar geometricamente estes resultados, tomemos coordenadas de forma

que numa vizinhança da origem a curva seja dada pelo gráfico e projetando o mesmo

30

na direção do vetor normal (0,1) obtemos: t —f (t, f (t)) 4 f (t), onde f (0) = O =

.f'(0)• Com as hipóteses anteriores teremos que a singularidade será. estável (A1)

.(=> f"(x) O.

E a singularidade será A2 <=> f" (0) := O, f'"(0) O

Vamos analisar o dual para os pontos parabólicos (ou de inflexão): Seja g :R —f R

dada por g(x) = x3, e H(x,u) = (ux — x3,u). O dual H(E) é portanto {(2x3,3x3)}

Considerando os multijatos, as singularidades genéricas que podem ocorrer são

do tipo Mi e o dual correspondente possui ponto duplo como singularidade. De

31

fato, escolhendo pontos críticos de Morsa com a mesma altura: fi(t) = t2, f2(t) = t2.

Os possiveis desdobramentos versais são: (t2 + u,t2) ou (t2, t2 + u). Considerando

H(t,u) = [(t2 + u, u); (t2, u)] obtemos o dual H(E) = {ftu,u);(0,u)1}

2.3 Superfícies em Ire

Seja M uma superfície suave emle . O contato de M com planos em R3 é dado

pela família de funções altura

H : M x S2 R

(p,u) < p,u >

Para u fixo, a função Hu é a função altura na direção u. Em p E M esta função

descreve o contato de M com o plano pelo ponto p cujo vetor normal é u.

Escolhamos coordenadas locais em torno de po, tais que po = (0,0) e a superfície

M é dada como o gráfico da função z = f (x,y). Suponhamos que as direções em 52

são em torno de u = (O, O, 1). Estas direções podem ser parametrizadas por (a, b,1).

Então a família (alterada) de funções altura é dada, localmente, por

H : R2 x R2 ,0 R

((x, y), (a, b)) f (x, y) + ax + by

com Ho(x,y) = f(x,y). Queremos identificar geometricamente os tipos de singu-

laridades da função f e verificar se a família H é um desdobramento versai destas

32

singularidades. Como H é uma deformação a .2 parâmetros de f, somente as sin-

gularidades de codimensão < 2 de f podem ser desdobradas versalmente por H, ou

seja, somente as singularidades A1, A2 e A3 .

As singularidades estáveis são do tipo Ais A1(1) (sela), A1(2) (Max/Min). O

conjunto dos pontos para os quais o plano tangente encontra a superfície em uma

singularidade A1(1) são os pontos hiperbólicos e o conjunto dos pontos para os quais

o plano tangente encontra a superfície em uma singularidade A1(2) são os pontos

elípticos. De fato, f é singular na origem se, e somente se, f(0, O) = h(0, O) =

4(0,0) = O, ou seja, se, e somente, se a direção (0,0,1) é a direção normal a M em

Po• Fazendo a expansão de Taylor de f temos:

f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 + R(x, y), onde ordem(R(x, y)) > 3

Com uma rotação de forma a colocar os eixos nas direções principais obtemos:

kl 2 k2 2 f (x, y) = x + iy + R(x, y)

onde k1 e k2 são as curvaturas principais em (0,0). Assim, se o ponto é hiperbólico,

ki e k2 possuem sinais opostos. Logo numa vizinhança da origem, f (x, y) se comporta

como uma "sela". Portanto uma pequena translação do plano tangente na direção da

normal faz com que este encontre a superfície localmente em uma hipérbole. Se o

ponto é elíptico, então k1 e k2 possuem o mesmo sinal e então (O, O) é um ponto de

mínimo ou máximo não degenerado da função altura. Neste caso, nossa singularidade

é do tipo A1(2). Ambos os casos descrevem a geometria das singularidades estáveis,

isto e, singularidade de Morse numa vizinhança da origem.

Existem três tipos de singularidades genéricas em um ponto parabólico, isto é,

ponto para o qual tt = 0. Supondo k2 = 0, M(x,y) será dado por

kl 2 M (x, y) = (x, y, ix + R(x , y))

33

Fazendo mudanças de variáveis, podemos supor f (x, y) = X2 +cxy2 + dy3 + R(x, y),

onde a ordem(R) > 3.

Se d 0 O, f (x,y) = x2 + 9 + È(x,y). Como X2 + y3 é 3-determinado, podemos

desprezar .1?.(x,y) na classificação da singularidade de f, que neste caso é do tipo A2.

Observemos que o plano tangente encontra N em uma curva com cúspide. Pode-

se verificar facilmente que a família H(x,y, a, b) = x2 + y3 + az + by é versai, isto

é , TA,(f) + = O. . Com cálculos simples utilizando a forma normal,

podemos verificar que a condição d O significa geometricamente que a única direção

assintótica no ponto parabólico é transversa/ a este conjunto.

Se d = O, tomamos f (x, y) = x2 + xy2 ± y4, que é uma singularidade de tipo A3.

Observe que x2 + xy2 ± y4 é R-equivalente a X2 ± y4 e sua Arcodimensão é igual a 2.

Além disso, a família H(x,y) = X2 + xy2 ± y4 + ax + by é um desdobramento versal

de f (x,y) = x2 + xy2 ± y4. Com efeito, temos:

< 2x + y2, 2xy 4y3 > +R{x, y} =c x , y >

Vamos calcular o dual destas singularidades.

Para a família H(x,y) = (a, b, X2 + 9 + az + by), temos que o conjunto E(H) =--

{(x,y,a,b);(x,y) é ponto crítico de H o : R2, O —> R, O} é definido pelas equações

2x+a=0

3y2+b=0

34

Portanto H(E) pode ser descrito pela parametrização

(x, y) (-2x, —3y2, —x2 — 2y3)

A aplicação de Gauss em uma vizinhança de (O, O) é dada por

G :R2 ,0 R2 ,0

(x, y) (-2x, —3y2)

Observe que a singularidade de G em (O, O) é uma dobra.

Para a família H(x,y) = (a, b, x2+ xy2 ±y4 + ax + by), o conjunto E(H) é definido

pelas equações:

2x + y2+a=0

2xy ± 4y3 + b = O

Portanto H(E) = (-2x — y2, —2xy 4y3, —x2 — 2xy2 3y4)

35

E a aplicação de Gauss G numa vizinhança de (O, O) é dada por

R2, O R2, O

(x, y) (-2x — y2, —2xy 4y3)

Note que (O, O) é um ponto de cúspide.

Nas proposições seguintes resumimos os resultados discutidos acima:

Teorema 2.3.1 Seja f um mergulho genérico de IV em i1+1. Seja p um ponto

singular de Hu : N R. Então:

(a) u é direção normal a N em p

(b) (i) P é de tipo A 1 K (p) O

(ii) p é de tipo A2 p é um ponto parabólico; o conjunto dos pontos parabólicos

II é uma curva regular e a única direção assintótica em p é transversal ao conjunto

dos pontos parabólicos II.

(iii) p é de tipo A3 < > p é ponto parabólico; o conjunto dos pontos parabólicos II

é urna curva regular e a única direção assintótica em p é tangente a r1.

Proposição 2.3.1 Nas hipóteses acima, seja u um vetor normal a N em p.

(i) p é de tipo A1 para Hu <=;• p é ponto regular para a aplicação normal de

Gauss.

(ii) p é de tipo A2 para Hu -4=> p é ponto de dobra para G

(iii) p é de tipo A3 para Hu p é um ponto de cúspide para a aplicação de

Gauss.

Proposição 2.3.2 (a) O dual de M é localmente difeornorfo a

• urna superfície suave nos pontos Ai

36

• um edge cuspidal nos pontos A2

• um rabo de andorinha num ponto A3

(b) A imagem do conjunto parabólico na esfera de Gauss é localmente difeornorfa a

• gama curva suave nos pontos A2

• uma cúspide em pontos de tipo A3

Urna análise análoga dos multigernies de Accodimensão < 2 mostra que:

Proposição 2.3.3 As singularidades genéricas são dois pontos singulares com a

mesma imagem:

(i) Ai(1)211(1); (ii)A1(1)211(2); (iii) Ai(2)A1(2); (iv) Ai(1)A2; (v) A1(2)A2;

ou três pontos singulares com a mesma imagem:

(vi) A1(1)211(1)211(1); (vii) A1(1)A1(1)A1(2); (IMO A1(1)211(2)A1(2); (ix) A1(2) A 1(2)A1(2).

Os correspondentes duais são cúspide x reta; ponto duplo x reta; pontos triplos e

rabo de andorinha (correspondente as singularidades do tipo A3(1) e A3(2)).

37

A S AAA_ 11

fil<aailemnr.

Observação 2.3.1 O livro "Cusps of the Gauss mappings"de T. Banchoff, T. Gaffney

e C. McCrory [21), descreve várias caracterizações geométricas para as cúspides da

aplicação de Gauss.

Destacamos a seguir uma destas caracterizações que será útil na parte final do

trabalho:

Teorema: Para uma superfície regular genérica, as cúspides da aplicação de Gauss

são precisamente os pontos parabólicos os quais são os limites dos pontos de inflexão

das curvas assintótica.s.

38

Capitulo 3

Duais de hipersuperfícies

projetivas

Neste capítulo, demonstraremos teoremas de genericidade para os contatos de

hipersuperfícies algébricas reais e complexas com famílias de hiperplanos de IP"±1.

A principal referência é o artigo "The Duals of Generic Hypersurfaces"de J. W.

Bruce 1113].

Sejam K o corpo dos números reais ou complexos, Pn+1 o espaço projetivo real ou

complexo de dimensão n +1, e Km o espaço vetorial dos polinômios homogêneos de

grau d em n+ 2 varidveis (m. = (n+d-En d

)) e {F = O} urna hipersuperfície não singular em

Queremos discutir a estrutura dos duais de hipersuperfkies projetivas "genéricas"{F =

O} , e como estamos trabalhando no espaço projetivo precisamos tomar cuidado pois

as funções altura scio objetos Euclidianos. Contudo, transversalidade é um fenômeno

locai, de modo que podemos dar uma definição local de transversalidade tangente.

Para fazer isto, selecionaremos uma carta afim de IP"±1 e é claro que nossa definição

39

de transversalidade tangente deve ser independente da carta e de qualquer outra es-

colha desejada. Como no capítulo anterior, consideraremos apenas subvariedades de

singularidades naturais do espaço de jatos e rnultijatos resultantes das 12.(k) x

subvariedades invariantes Xi c E c „Ik(n,1), e a definição de transversahdade tan-

gente assegurará que para uma hipersuperfície não singular V = {F = 0} transversa

tangente a X. o conjunto {x e V; a função altura normal à x é do tipo Xj} é uma

subvariedade de V da dimensão correta.

Os principais resultados discutidos em 1-131 e apresentados neste capítulo são os

teoremas abaixo, que são respectivamente, os teoremas de genericidade para germes e

multigerrnes.

Teorema 3.2.1: Seja D c Km o subconjunto das formas que definem hipersu-

perfícies singulares. Cada F e Km — D possui uma vizinhança U c Km—De no caso K = C (respectivamente K = R) urn subconjunto subanalítico (respectivamente

real subanalítico) B c U de codirnensão real > 1, tal que para todo GE U—B a

hipersuperfície {G = 0} é tangente transversa à X c Jk(n, 1) desde que k < d.

Teorema 3.3.2: Seja K = C. Seja {F = 0} uma hipersuperfície não singular

com tangênciás em posição geral. Então dada uma uma estratificação natural x C

E C Jk(n, 1), existe uma vizinhança aberta U de F e uma família enumerável de

subconjuntos reais subanalíticos Be c U, com cod(Be)> 1 tal que para G E U —uBe

a hipersuperfície {G = 0} é tangente rnu/titransversa a x desde que k <

Nosso objetivo é apresentar as provas detalhadas destes teoremas e aplicar os

resultados ao estudo dos duais de hipersuperfícies projetivas.

40

3.1 A família de funções altura: definições básicas

e resultados preliminares

Seja D C KM o subconjunto algébrico das formas que definem hipersuperfícies

singulares, ou seja, nclo possuem rank máximo, e seja FE KM — D.

Se PF = {(x, L) E Tin+1 x Tin+1; x E Ln {F = 0}} e 11F : 1pn+1 é a projeção

canônica, então o conjunto singular de 11F,E1IF = {(x, L); L é o plano tangente à

{F = O} em x}.

Definição 3.1.1 O dual de {F = O} é o conjunto dos valores críticos de IIF, isto é

11F(EIIF).

Proposição 3.1.1 O dual de IIF é um conjunto algébrico.

Demonstração: A projeção IIF jpn+1 x pn+1 1pn+1 é fechada na topologia de

Zariski quando K = C (ver /11J), logo, leva conjuntos fechados em conjuntos fechados

e neste caso os duais são algébricos.

Seja x e Ir e escolha uma carta afim Kn+1 C Ir+1 contendo x, seja 14 =

V n Kn+1. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = O E Kn+1

A variedade irredutível afim 14 será o conjunto de zeros de algum polinômio irre-

dutível f e podemos escolher uma parametrização local de V1 no ponto O, h:

(de modo que f o h(a) O).

Se (K7.9* é o dual de K"', seja df (0) E (1C+1)* a diferencial de f em O.

Escolheremos então uma aplicação linear L: Kn (Kn+1). de modo que

ind, e Sp{df (0)} = (K"1).

41

Observe que ImL é um subespaço vetorial de (K"+1)* de dimensão n

Definimos então um germe de uma família a n parâmetros de funções 14: K" —>

K por H( f , h, L) : (Kn X K" , O) (K, O) onde H ( f , h, L)(a, a) --- (df (0)+ L(a))(h(a))

Lema 3.1.1 (1) H é independente das escolhas da equação f, da parametrização h

e da aplicação linear L, isto é,* quaisquer duas escolhas dão famílias equivalentes.

(2) Seja EH = {(a, a); a é um ponto crítico de Ha}. Então o conjunto dos pontos

críticos de H é regular e a projeção EH —> , (a, a) —> a é um difeomorfismo local.

Demonstração: (1)(a) Como V1 é uma variedade afim irredutível, qualquer outra

equação definindo V1 é da forma Àf = O, para algum À E K — {0}. Usando as

mudanças de coordenadas 0(a, a). (a, Àa) e çb(c) = Àc, temos que:

çb o H (f , h, L)(ce, a) = çb((df (0) + L(a))(h(a))) = À(df (0) + L(a))(h(a))

Por outro lado, temos:

H (À f , h, L) 0(a, a) = H (À f , h, L)(ce, Àa) = À(df (0) + L(a))(h(a))

Portanto, çb o H (f , h, L)(a, a) = H(À f , h, L) o 0(a, a).

(b) Quaisquer duas parametrizações h1, h2 de V1 no ponto O diferem por um difeo-

morfismo h: (K",0) —> (K' ,O) tal que h2 = h1 oh. Uma mudança de coordenadas

0(a, a) = (h(a), a) nos fornece:

(H ( f , hi, L) o 0)(a, a) = H (f hi, L)(h(a), a) = (df (0) + L(a))(hi(h(a)) =

= (df (0) + L(a)) (h2 (a)) = H(f, h2, L)(a, a)

(c) Suponha que temos duas aplicações lineares L1, L2 como acima. Podemos escrever

Li(a) = 0(a)df (0) + w(a) para alguma aplicação linear O : K" IC e w :

ImL2. Note que w é um isomorfismo. De fato, suponha que w não seja, então

42

existe a O, a E IC" tal que yo(a) = O. Como Li(a) O (Li é isomorfismo) e

0(a) 0, segue que Li(a) = 0(a)df (0), o que é absurdo devido à hipótese de que

ImL2 El) Sp{df (0)} = (.1r+1)* .

Através das seguintes mudanças de coordenadas: 0(a, a) = (a , L2-1 (2)),

sP(c, a) — (14.,) e usando o fato de que Li(a) = 0(a)df (0) + yo(a), obtemos:

0(11(f , h, Li)(a, a), a) = .0((df (0) + L1 (a)) (h(a)) , a) =

sp((df (0) + 0 (a)df (0) + yo(a))(h(cx)), a) = .0((1 + 0 (a))df (0) + yo(a))(h(cx)), a) =

(df (0) + (1 + 0(a))-1w(a))(h(cx))

Por outro lado, temos

(H ( f , h, L2) o IP)(cx, a) = H (f h, L2) (a, 112 1 (1}(0%))) =""

= (df (0) + L2 (L2-1 (1 :(0%))) (h(a)) =

= (df (0) + (1+ 0(a))-1w(a))(h(cx))

Portanto,

sP(H ( f , h, L1)(a, a), a) = (H ( f , h, L2) o 0)(a, a)

(2) Temos H ( f , h, L)(ce, a) = (df (0) + L(a))(h(cx)) . Assim, Tal ( f h, L) = Ta(df (0)+

L(a)) o n/, = (df (0) + L(a)) o Tch. Como h: K" K"1, temos Tch : Tale'

Th(c)Kn+1, mas Tair K71 e Th(c)Kn4-1 Ir+1, assim obtemos o seguinte diagra-

ma:

Kn Ta h df (0)+L(a) K

Vamos definir a aplicação induzida de Tch da seguinte forma:

(Tch)* : (K"4-1)* (Kn).

A (Tch)* (A) = A o Tch

Assim, o conjunto dos pontos críticos de H ( f , h, L) fica definido pelo conjunto

E = {(a, a); (Th) (df (0) + L(a)) = 0}

43

Escrevendo e(a,a) = (Tah)*(df (0) + L(a)), vemos que 2(0,0) = (Toh)*L :

—> (K"), que é invertível, então pelo Teorema da Função Implícita, podemos

parametrizar E como (a, /3(a)) para algum )3, seguindo assim, o resultado.

Vamos deixar de lado os parênteses (f,h,L) e considerar a aplicação

it Ha : (Kn X Kn, (0,0)) —> (Jk (K", K), jik11(0,0))

(a, a) jklic,(a)

Definição 3.1.2 Uma hipersuperfície projetiva V c IPn+1 é tangente transversa à

R(k) x £(k)estratificação invariante x = UXi C E C Jk(n,l) se para cada x E V

pudermos escolher uma carta afim e uma vizinhança A1 X A2 de (0,0) E K" X K"

de modo que a aplicação jH0 : A1 X A2 —> Jk(Kn,K) é transversal à correspondente

subvariedade k C Jk (K", K).

Segue do lema 3.1.1 acima que se ,O-Ix : A1 X A2 —> Jk(K",K) é transversal à Xi então para um y suficientemente próximo de x, My também será transversal a

Proposição 3.1.2 Se X é uma subvariedade R,(k) x £(k)invariante de E C Jk(n, 1)

e V C IPn+1 é tangente transversa à X, então o conjunto V(X) = {x E V; a função

altura normal à x é do tipo X} é regular e cod V (X) em V é igual à cod X em E.

(Observe que esta proposição segue do lema 3.1.1 e do lema da trunsversalidade.)

Queremos mostrar que as hipersuperfícies {F = 0} que não são tangente transver-

sas a algum subconjunto invariante X C E são escassas. Para obter um resultado

forte, assumiremos que no caso real X é semi-algébrico e no caso complexo X é

construtível.

44

Primeiramente vamos definir o que vem a ser um conjunto semialgébrico e um

conjunto construtível:

Definição 3.1.3 ([3]) Um conjunto A c Ir é semialgébrico quando ele pode ser

obtido através da combinação de um número finito das seguintes operações: in-

terseção, união e diferença de conjuntos, a partir de conjuntos da forma {x E R"; f (x) >

O} com f : lEtn R uma função polinomial.

Definição 3.1.4 ([14]) Um subconjunto S de C" ou IP" é construtível se ele per-

tence a uma álgebra Booleana gerada por conjuntos algébricos fechados, ou equivalen-

temente, se S é uma união disjunta T1 U U 7),, onde Ti é localmente fechado, isto

é, 1 = 27 — Tf, onde Tf é um conjunto algébrico fechado e c Tf um conjunto algébrico menor.

Teorema 3.1.1 (Teorema de Chevalley [23]) Seja A um anel Noetheriano e B

uma A-álgebra de tipo finito. Seja q5 : A —> .13 o isomorfismo canônico; Seja X =

Spec(A),Y = Spec(B) e f = q5* : Y X, então a imagem f(r) de um conjunto

construtível Y' em Y é construtível em X .

Teorema 3.1.2 ([14]) Seja S c Cu x Cm um conjunto construtível. Então 7r2(S) C

Cm é um conjunto construtível. Em particular, se S é uma subvariedade de C"' e

r2(S) é o fecho de Zariski da imagem, enteio 7r2 (S) contém um conjunto aberto Zariski

em 7r2 (S)

As seguintes definições serão utilizadas:

Seja A um anel de funções de valores reais definidas em um conjunto E. Seja

S(A) os subconjuntos de E que são descritos por A, isto é, a menor família de

45

subconjuntos de E contendo todos {f (x) > O}, f E A, que é estável com relação à

interseção finita, união finita e complemento.

Equivalentemente, S(A) representa os subconjuntos de E da forma X = 14„,. n:=1

4, onde cada X é {f(x) = o} ou {f3(x) > o}, fii E A.

Seja M uma variedade real analítica. Se U é um subconjunto aberto de M, seja

0(U) o anel das funções reais analíticas em U.

Definição 3.1.5 ([22]) Um conjunto X de M é semianalítico se para todo a E M

existir uma vizinhança U tal que Xn UE S(0(U)).

Definição 3.1.6 ([22]) Um subconjunto X de M é subanalítico se cada ponto de M

admite uma vizinhança U tal que X nU é uma projeção de um conjunto semianalítico

relativamente compacto (isto é, existe uma variedade real analítica N e um subconjunto

A CM x N, onde A é semianalítico relativamente compacto tal que X n U = r(A),

onde ir: M x N M é a projeção).

As propriedades básicas destes conjuntos são também discutidas em /22.1

3.2 O teorema de genericidade local

Teorema 3.2.1 Cada F E K" — D possui uma vizinhança U C Km — D e no

caso K = C (respectivamente K = R) um subconjunto subanalítico (respectivamente

real subanalítico) E c U de codimensão real > 1, tal que para todo G E U—B a

hipersuperfz'cie {G = O} é tangente transversa à X C J' (n, 1) desde que k < d.

46

Usando o fato que {F = 0} C Fn+1 é compacto, a demonstração do teorema segue

da seguinte afirmação:

Afirmação 3.2.1 Para cada F E Km — D, e x(0) E {F = 0} podemos encontrar

vizinhanças A (respectivamente U) de x(0) E ipn±i (respectivamente F E Km — D) e

um conjunto ruim B C U como acima, de modo que para GE U—B ey E An{G = 0}

o germe de aplicação j'i 14 (para {G = 0}) é transversal à .k.

Para mostrarmos esta afirmação, usaremos o lema 1.4.1 de Thom. Mas neste

caso, as famílias de deformações serão obtidas variando as hipersuperfícies {G = 0} .

Demonstração da afirmação 3.2.1: Sem perda de generalidade, vamos supor que x(0) =

(1,0, ... ,0), vamos também supor que o plano tangente a F = O em x(0) é x1 = O

e por simplicidade, nesta seção, usaremos a notação x(0) = (1, O), sempre que não

houver perigo de confusão. Em particular, estamos assumindo que r(1,0) 0, 1 <

j<nee (1,0) 0. Usaremos a carta afim usual em (1,0,...,0) E IP'.

Considere a aplicação g : K m x Kn K, g(u,x) = F(1, x)+E l uiçoi(1,x), onde

{(p i, . m} é uma base monomial para o espaço vetorial das formas homogêneas em

n + 2 variáveis de grau d. Sem perda de generalidade, podemos assumir que soi = xá'

(logo, çoi(1,0) = 1).

Desejamos parametrizar estas superfícies (pelo menos numa vizinhança de O E

Kn+1) de modo que procuramos h: Km x Kn K tal que g(u, h(u, a), a) 0. Mas

•

— + Eu.2- ' logo 'a.i

ag aF (o,o) = -.(1,0) 0,

axi axi

Assim, pelo teorema da função implícita tal função analítica h existe e para valores

pequenos deu, a hipersuperfície g(u, x) = O, é dada por (h(u, a), a).

Note que guando aplicamos o T.F.I., podemos considerar uma família de gráficos na

47

qual h(u, O) = O, ou seja, h(u, a2, a , n) = h(0, a) + uku,a), onde h(0, O) = O e

"h(u, O) = O. Segue ainda que e(n, O.

Agora, temos que escolher a aplicação linear L:

,a„) = L(a) = aixi.n.

Vemos que esta é uma escolha admissivel para Ou = O próximo a x(0) tomando-se

ti suficientemente pequeno. Com efeito,

M AI n uwi

dg(0) 1u(0) =O,F(1,0) , 0

0xFn(1,0) + Lu—( ,0)

oxi ex„

No nosso caso, e(1,0) = O, 1 < < n

AI A

dg(0) = AÉI oxl

1 0 x1

UWn 1

Logo, L satisfaz a condição

ImL e Sp{dgu(0)} = (Kn+1)*

para ti próximo a zero.

Assim, temos duma familia de funções H: Km X Kri X Kn —› K,

H (u, a, a) = (dgu(0) + L(a))(h(u, a), a) =

(45 -(1 O) + m E O) E -(1 O)) (h(u, a), a)-1- ozi 2 I 17X1 7 2 7 7 7 2 1

m U7

+(E7 j+i)(h(u, a), a) =

(F (1, O) -I- Er ui 2-±(1, O)) (h(u , a)) + E:111_1 ETI-2 nt ( 0)a5 nn 2,1 aixi.Hai+i

o que nos leva à uma aplicação

71= .1k H)(a): Km x Kn X Kn —> Ji (Kn K) = Kn X K x t(n,1) (*)

48

O principal resultado que precisamos mostrar é que?) é uma submersão em (O, O, O)

se k < d.

Podemos tomar k = d. Como g(u, h(u, a), a) =- O, derivando com relação a ui,

obtemos:

ag ag ah (i) (u, h (u, a), a) + —„(u, h(u, a), a) — (u, a) a O axi aui

Temos que mostrar que a aplicação tangente

Ton :KM x K" x K" Kn x K x Jd(n,l)

é sobrejetora. Aqui, estamos identificando um espaço vetorial com seu espaço tangente

no ponto. Observe que Ton(0 x x O) contém Knx0x0

Se ui é a coordenada correspondente ao monômio xod temos:

L(o -te(0)C(0,0)+ -C(1, 0)h(0, 0)±

+zvfu,e(1,0),e(0,0)± tie (1, 0)cei

Assim, e(0, O) = -e (o)e(0,0)

Pelo teorema da função implícita segue que

como 197(0, O) = 4(0,0), âzi

c(0,0)=-e(0,0)=_401(1,0).

Assim, é suficiente mostrar que = {o E KM; uiwi não possui termos envol-

vendo xi e nem o termo xg} é levado sobrejetivaraente por Ton em Jd(n,1). (Note

que ambos os espaços e J" (n, 1) possuem a mesma dimensão.)

49

A seguinte igualdade se verifica:

Og (ii) (--, (u, 0)h(u,$) — (O, 0)h(u, O)) = —

a(H(u, 8, 0) — H (u, 0,0))

ox1 cal

De fato, ternos:

4-(H (u, O, O) — H(u,O, O)) =

=[e(1,0)e(tt,$)+ e (1, 0)14u, + ui e(1, 0)e (u, +

[IP: o) —Oh(u,0) +.2 (1,0) h(u,0) +El ui—?—(1,0) —Oh

(u, 0) m a , ou. az' ,......„.„, az' ani ,....1r.,

Portanto

(a) é(H(u,fl, O) — H(u, O, O)) = e(1, 0)-put(u,$) +Emi uie (1,e(u,$))+

+e (1, 0)h(u,$)

Por outro lado, ternos:

44÷k(e(u,0)h(u,$)— e(0, 0)h(u, O)) =

=0 _

Oxieui 4; (1,0

02g (u, O) h(u, + e(u,0)en(u,13)+

— S—(0,0) h(u , O) — (0 0)h (u 0) = lati ex 1 Ni

=0 =0

(U, O) (u, + (1, 0)h(u, (b)

50

Como e(u, O) = e(1,0)+Emi uie(1,0), segue que (a) = (b) e consequente-mente, (ii) está mostrado! Assim,

— H(u,O, O)) = (C(1,0) (u, + Eml uie (1,0) f(u, O)) +

e(1, 0)h(u, O)

Og Oh e

O u

Oui(H(u„ 3,0) — H(u,0,0)) = —, , ( ,0) (u,,e) + (1,0)h(u, fi)

mi oxi Lembrando que estamos trabalhando com o conjunto .C, temos

221(1=O 0X1

(u, O) = 1 O) ± E/Al -4,x-749(12i (1, O) =Ozi (0)

••••.„.re"

=0

Por (i) temos que

= — h(u, a), a) (-80.M

Assim, na diferença temos:

(H(u, 0,0) — H(u, O, O)) = (0)(--,Z1„ (z,h(u, fi), 0) 1(1,x))

1(1(°,)x) h(u 0), 13))

Olhando para e(u,h(u,fl),,e) e fazendo u = O, obtemos um polinômio em O:

Og (0, h(0, 13) = wi(13) aui

Uma vez que10.) é um elemento invertível, o rank{jd(*)}u coincide com

o rank{e} , e segue-se então que Toq e sobre.

Assim, r7 é uma submersão em alguma vizinhança U x A1 X A2 de O E KM X Kn X

oui (t(u, a) = --9--(u, h(u, a r9 ), a) ( z _ ,h(u,a),a) 1

51

K". Tomemos U, A1, A2 vizinhanças fechadas, reais subanalíticas (por exemplo, bolas

fechadas), e U' uma vizinhança aberta de U x A1 X A2 na qual 77 é uma submersão.

—> Jd(K",K) é transversal à Á" então ) n U' é uma subvariedade

diferenciável de U'. Seja II : Km X ri X K" —> Km a projeção canônica e E o

conjunto dos pontos singulares de 11i n--1(2)nU, • Como 77 e II são aplicações analíticas e para K = R, k" é semialgébrico (para K = C,

é construtível) E é semi-algébrico.

: U x A1 X A2 -> U é própria então B = II(E n (U x Az x A2)) é real subanalítico.

Este conjunto tem, pelo teorema de Sard, medida nula e consequentemente possui

codimensão > 1.

Segue do lema 1.4.1 que para 77. E U—B a aplicação 7h : Az x A2 —› ,fi(K",K) é

transversal a k. , então para todo a E A1 o ponto y = (h(u, a), a) E {gt = 0} satisfaz

a condição de tangente transversa dada na definição acima. Podemos escolher a

vizinhança A de x(0) = (1,0,... ,0), de forma que (h, 1)-1(A) C U X Al

Corolário 3.2.1 Seja f k-deternzinada com número de Milnor p (entôo k < p+1).

Se d > k então para quase toda hipersuperfície {G = 0} = V C 113'1+1 de grau d,

o conjunto V (f) = {x E V; a função altura normal à x possui uma singularidade

A-equivalente à f} é regular e tem dimensão n +1 — p.

Exemplo 3 (i) n = 1. Se d > 3, as únicas singularidades tangentes são as simples

(A1) e cúspide (A2). (Os casos d= 1,2 são triviais)

(ii) n = 2. Se d > 4, as únicos singularidades tangentes são as simples (A1) (dois

tipos no caso real), cúspide (A2) e tacnode (A3) (dois tipos no caso real).

(Novamente os casos d = 1,2 são fáceis. Vamos argumentar o caso d = 3: A1, A2 são

3-determinadas e a órbita do 2-jato x2 E J3(2,1) tem codimensão 2. As outras órbitas

possuem codimensão > 2. Então para G tangente transversa às órbitas singulares de

J3(2,1) obtemos tangências (A1) em um conjunto aberto, tangências cuspidais (A2)

52

em uma curva e pontos isolados onde a função altura tem 2-jato x2. Mas como {G =

O} é uma cúbica não singular, qualquer seção plana pode ter apenas singularidades

do tipo A1, A2, A3, 134, então os pontos isolados são do tipo A3).

3.3 O teorema de genericidade m.ultilocal

Embora o teorama 3.2.1 acima descreva os tipos de singularidades tangentes que

ocorrem em hipersuperfícies genéricas de grau suficientemente alto e este teorema seja

suficiente para a discussão dos respectivos duais, para o caso de multitransversalidade

vamos precisar mostrar que os pontos de tangência genericamente estão em posição

geral nos hiperplanos tangentes.

Definição 3.3.1 Dados K pontos pl., ,pk E IP", dizemos que eles estão em

posição geral se as retas correspondentes em Cn+1 formam subespaços linearmente

independentes, então em particular k < n + 1. Vamos denotar por L(pi, ,pk) os

(k — 1)-planos em IP" gerados por Pi, .•• ,pk. O ponto Po E L(ph , pk) está em

posição geral com relação a pi, ,pk se pç não está em nenhum subespaço determi-

nado por um subconjunto próprio de {pi, • • • , Pio } •

Definição 3.3.2 Uma hipersuperfície {F = O} C IPn+1 tem tangências em posição

geral se dado um hiperplano L tangente em {pb. . . ,pk} c {F = O} os pontos

pi, , pk estão em posição geral L.

Proposição 3.3.1 O conjunto X1(k) = {F; F = O possui k singularidades em

posição geral} é um conjunto construtível de codimenscio k cujo fecho é irredutível.

53

Demonstração: Se e; denota o i-ésimo vértice de referência em IP11+1, ou seja, ei

(0, , 0, 1, O, . , 0) com 1 na i-ésima posição, o subconjunto de CM consistindo das

hipersuperfícies com singularidades em e11. , ek é um espaço linear L, pois este

subconjunto consiste de hipersuperfícies com singularidades nos mesmos pontos.

Se ço : GL,,±2 x Cm é a ação do grupo GL 2 = GL(n + 2, C) (mudanças de

coordenadas lineares na fonte), então X1 = w(GL„+2 x L) é construtível pelo teorema

de Chevalley [3.1.11. Se pensarmos em GL„+2 C C(11+2)2 então existe uma extensão

natural da ação de ço em C(11+2)2 , e é claro que

w(GL„±2 x L) c w(GL,2+2 x L)

(onde a barra denota o fecho com respeito à topologia de Zariski).

Temos que GLk+2 e L são irredutíveis pois, GL„+2 = Mn-I-2 o qual é irredutível e

L é um espaço linear. Então w(GL,2+2 x L) e w(GL,2+2 x L) são irredutíveis. Clara-

x L é aberto Zariski. Vamos considerar o seguinte

G L,2+2 x L x Cm

(g, F) 7-1+ (g, F o g)

w\/1-2

F o g

onde ço = r2 o n.

Segue do teorema de Chevalley, que w(GL„+2 x L) é construtível. Note que GL,4-2

é um conjunto construtível pois, seu complementar (GL,2+2)` é o conjunto das matrizes

mente GLk+2 x L c GL,2-1-2 diagrama:

54

de determinante nulo, que é portanto um conjunto algébrico fechado.

GL,n+2 = Mn+2 (aLln+2)c •-se•-•• conj.alg.fechado conj.alg.fechado

Assim, segue que

n(aTin+2 X L) =rrt -Ln+2 X W(aTin-1-2 X L) é construtivel

construtível construtível

Pelo teorema 3.1.2, w(GL,i+2 x L) contém um subconjunto aberto Zariski de

W(Glin+2 x L), o que implica que dirn(W(Glin+2 x dirn(W(GL,+2 x L)). Por

outro lado, temos

Glin+2 X L caL,t+2 x L

Z-aberto GL,j+2 x L é construtível

Assim pelo teorema 3.1.1, w(GL,t+2 x L) é c,onstrutível L„+2 x w(GL,i+2 x L)

é construtível, pelo teorema 3.1.2, w(GL.+2 x L) contém um aberto da topologia de

Zariski em w(G.Ln+2 x L), portanto

dirn(w(GLn+2 x L)) = clini(W(GL.+2 x L))

Assim,

x L) = w„±2 x L)

o qual já vimos que é irredutível.

Para concluir a demonstração, precisaríamos ainda verificar que a codirnensão de

X1(k) é exatamente k. Vamos fazer com detalhes o caso n + 2 = 2

Considere X1(k) = {F E CM; F = O tem k singularidades em posição geral

}, k = 1, 2

55

(i) k = 1. Mostremos que cod(Xi(1)) = 1. Seja F(x1, x2) = aoxl + x11-1x2 +

+ adxg, onde F E X1(1).

O fato de F possuir um ponto singular implica que F possui uma raiz de multi-

plicidade 2. Com efeito, todo polinômio homogêneo de grau d F(x1,x2) em C[x1,x2]

se decompõe em fatores lineares, isto é, F(x1,x2) = bix2). Se os fatores

são distintos então x1 = x2 = 0 é a única singularidade de F = O. Sem perda de

generalidade, podemos supor que x2 = O não é solução de F = O. Assim, podemos

fazer a nossa análise para o polinômio

F (x1,1) = aoxli + aixff + + ad

O fato de F ter uma raiz multipla nos diz que p(ao, ,ad) = O, onde p é a

resultante entre F(x1,1) e 19-e. Assim, X1(1) pode ser reescrito da seguinte forma:

X1(1) = {F E Cm; p(ao, ,ad) = O}, onde p é a resultante entre F e •K, ambos

desomogenizados com relação a x2.

Note que p(ao, ,ad) = O define uma hipersuperfície em CM, cuja parte regular

é determinada exatamente pelas equações:

p = O

grad(p) O

Portanto cod(X1(1)) =1.

(ii) k = 2. Mostremos que cod(X1(2)). 2.

Seja F(xi, x2) = aoxg + aixtlx2 + + adx5, onde F E X1(2). O fato de F

possuir uma singularidade nos permite escrevê-la da seguinte maneira:

F(xl, x2) = (alxi + a2x2)2 (xl, x2)

(.) (*) = parte determinada por uma das singularidades

56

Agora, analisando Gi(xi, x2) de forma análoga ao caso (i), obteremos uma equação

= O a qual pode ser escrita em termos de a0,... , ad, onde p1 é a resultante entre

Gi e eaR • X

Repetindo o processo, colocando desta vez a parte relativa a outra singularidade

em evidência, obteremos:

F(xi, x2) = (f1X1 /3212)2G2(Xl? x2)

Novamente, a partir de G2, obtemos uma equação p2 = O, onde p2 é a resultante

entre G2 e azi

Assim, a melhor situação ocorre quando pi = O intercepta p2 = O transver-

salmente, o que corresponde a termos duas singularidades em posição geral.

X1(2) = {F E CM; = O ocorre transversalmente Grad(Pi) 0 n (graPd2(p =2)°0 O)

Portanto cod(X1 (2)) = 2.

Proposição 3.3.2 Seja X2 o subconjunto de X1, definido na proposição anterior,

que consiste das hipersuperfkies que possuem uma singularidade adicional que está

no (k —1)-plano gerado pelas k anteriores, e está em posição geral a elas. Afirmamos

que X2 é construtível de codimensão > k +1

Demonstração: A construtibilidade segue como na proposição anterior. Para mostrar

que X2 possui codimensão maior do que X1, afirmamos que é suficiente mostrar que

X1 — X2 tem codimensão k. De fato, inicialmente vamos assumir que cod(Xi — X2) =

k. A hipótese de construtibilidade de um conjunto X nos garante que dim(X — X) <

dim(X) = dim(X).

57

Agora, suponha que dini(X2) = dini(X2), então dini(X2) = dini(X2), como X1 é

irredutível segue que XI. = X2, e então, X — X2 = X2 — X2. Então

N — k = dini(X2 —X2) < — X2) = dini(X2 — 2(2) < dini(X2) =

= dini(Xi) = dini(Xi) = N — k

o que é absurdo. Então dado que cod(X]. — X2) = k segue que cod(X2) > k.

O fato de que cod(Xj. — X2) = k segue da proposição 3.3.1.

Proposição 3.3.3 Dado qualquer k,1 < k < n+2, existem hipersuperfícies F E CN

com {F = O} tendo k singularidades em posiçõ.o geral, e nenhuma outra singularidade.

Demonstração: Usaremos indução em n. Para n = O as formas

d-2 d-4 F = —1x2) (respectivamente, F = xMll(xi — 1x2))

possuem raizes repetidas em 1 (respectivamente 2) pontos.

Para n = 1 tomaremos d = 3 e consideremos

F = x1x2x3 + x + x (respectivamente, F = x3(x — xix2), F = x1x2x3)

Estas F 's possuem respectivamente uma, duas e três singularidades em posição

geral.

Agora, desejamos produzir hipersuperfícies {F = O} C Fn+1 tendo apenas k

singularidades em posição geral, 1 < k < n + 2. Por indução podemos encontrar

Gk(xi,. ,xn+i) com {G1, = O} C Fn tendo apenas k singularidades em posição

geral, 1 < k < n + 1. A forma Gk x +2 cuida dos rasos 1 < k < n+ 1. Para

k = n +2 afirmamos que

(71-1-1

Gn+2 -= G 1 + xd„—+22 E aix?

58

para (ai, . . • ,a..44 genéricos possui precisamente n+2 singularidades. Basta mostrar-

mos que

{Gn+1 + E aixi2. ..-= O C Cn+1

possui apenas uma singularidade (na origem) para (a1,... , a,-+i) genéricos. Deste

modo, o ponto (O, , 0,1) será uma singularidade de {F = O} c 1P+1, conseguindo

assim, as n + 2 singularidades em posição geral desejadas.

Considere a aplicação

G: (Cn+1 — 0) x cn-1-1 —> C, (x, a) )—) Gn±i (X) + E ai4 = Ga(X)

Note que G é uma aplicação regular, de fato, calculando o gradiente de G temos

que:

G' G— (aGn+1 (x) + 2xi, , (x) +2xn-i-1,4 • • • , Ox1 ,xn2+1 OG.-14

como estamos trabalhando em Cn+1 — O temos que pelo menos um xi O, 1 < i <

n + 1 => VG O. Portanto, G é regular. Pelo lema de Thom 1.4.1, temos que

G. : Cn+1 — {O} —> C é regular para quase todo a E Cn+1. Logo, {G. = O} C Cn+1 — O

não possui pontos singulares, como desejávamos.

Teorema 3.3.1 O conjunto das F cujos tangências não estão em posição geral for-

mam um conjunto construtível de codimensão > 1.

Demonstração: Suponha que {F = O} tem um plano tangente T com k + 1 pontos

tangentes po, , pk com p1,... ,pk em posição geral e po E , pk) em posição

geral com relação à Pi, ••. ,pk. Começaremos considerando o caso especial pi = e, 1 <

n+1

59

i k, po = ,1,O, • • • ,0) (k uns) e = {x„+2 = O}, ou seja,

qualquer i =1, . . . , n + 1 e jp---,,2(p2) — 1. Então podemos escrever

n+2 F = (x • • • xk) + Eximxi,••• ,x.+2)

k+1

Temos,

(Pi) = O para

F = O oF _ j_ v•m+2x a.

,xn+2)=0 , —

para 1 < i < k em Po, , ek. Em particular, f = = O nestes pontos.

Portanto CN c Cm é o conjunto das formas de grau d nas variáveis x1,. , xk e

X2 é o subconjunto de CN discutido na proposição 3.3.2, assim, f E X2.

Além disso, fj = O em , ek para k+ 1 < j < n +1, pois continuando com

as derivadas, Ei(ei) = h(ei), como g(ei) = O, pois o plano Xn+2 = O é tangente

comum, isto é, grad(F(ei)) = (O, ,O,1), segue que fi(ei) = O, 1 = 1, . . ,k; j =

k+1,...n+1.

rn+1 t Então, h = xilii e n+2 n+1

F=f+ E E xixifii j=k+li=k+1

A coleção destas F 's é um produto X2 X L para algum espaço linear L.

Mas estamos interessados na cp(GL,2+2(X2 x L)), mais ainda, queremos obter

codep(GL+2(X2 x E))). O espaço tangente a X2 X L, satisfaz a:

r = m(X2 x L) c T. f.X2 + Sp{x0P; grau(0) = d — 1, k + 1 < i < n + 2}

Com relação a cp(GE,2+2(X2 x E)) temos

GL3/41+2 X (X2 X L) -`4 Cm

(1, F) 1—* cp(I , F)

60

Assim,

Cbp(u) := = (W(GLk x X2)) + Sp{xilb; grato') =d-1, k+1<i<n+ +

+Sp{xie; 1 < j < n + 2}

Fazendo a interseção com CN (xj = 0,k + 1 Si < n + 2)

c" n ri c Tf(so(GLk x x2)) + ,xk,o, , 0),1 5i < k}

(pois f1 = 0 quando fazemos xi = 0 para k + 1 < j < n + 1).

Vimos na proposição 3.3.2 que cod(w(GLk x X2)) em Cm é maior que k. Portanto

cod(CN n r') em C" é> 1.

Teorema 3.3.2 Seja K = C. Seja {F = 0} uma hipersuperfície não singular com

tangências em posição geral. Então dada uma uma estratificação natural xCEC

Jk(n, 1), existe uma vizinhança aberta U de F e uma família enumerável de subcon-

juntos reais subanaliticos Ba c U, com c,od(Ba) > 1 tal que para G E U — UBa a

hipersuperfície {G = O} é tangente multitransversa a x desde que k <

Antes de fazermos a demonstração, vamos dar uma idéia da prova:

Como de costume temos uma família natural de perturbações fornecida pela própria

familia de hipersuperfícies. Suponha que temos pontos de tangência x(1), . . . , x(r)

com um plano tangente comum xo = 0. Como os x(j) estão em posição geral, vamos

supor que eles são os pontos ei+i (1 na (j + 1)-ésima posição e zero nas demais).

No caso em r = 1, x(1) = (0,1,0, ... ,0). Na demonstração deste caso (Teorema

3.2.1), vimos que apenas os monômios de grau d em x0,... ,x,2+1 que não envolvem

xo ou o termo xt eram suficientes para mostrar que a aplicação?) em questão era uma

submersão, ou seja, utilizamos apenas uma face do (n+ 1) simplexo de monômios de

•grau d em, xo, ,x, 1.

61

No caso geral, desde que k < 1.1, nós podemos em ej, obter todos os monômios

em xl, ,x,„ de grau < k, sem usar qualquer monômio da face do

simplexo duas vezes. De fato, seja di o grau do monômio x, então temos que

di + (dl + + di, + + d„) = d

queremos que d1 + . di+1+ + A, < k. Assim,

(15 > d — k > d — d —1 2 —

d +1

2

Logo, quando desomogenizamos com relação a uma mitra variável, obteremos di <

elf , deste modo não repetiremos nenhum monômio, como queríamos.

x,'

A principal diferença entre este caso e o caso r = 1 é que VO") não é compacto,

apenas separável. Então quando estamos trabalhando localmente emll(r) precisamos

sempre usar alguma vizinhança fixa U de F. Isto significa (lembrando nossa demons-

tração do teorema 3.2.1) que dado x E V, precisamos encontrar parametrizações hu

válidas para Fu E U. Como estamos trabalhando com multijatos, também queremos

garantir que estas parametrizações locais não se interceptam.

Demonstração do teoretna 3.3.2

Afirmação: Podemos escolher Q = (n + 1)2 + 1 planos L1, . . . , LQ de modo que

dados quaisquer n+1 pontos po,. ,p„ E rn+1 um dos planos Li não contém nunhum

ponto pi.

62

De fato, escolha os planos Li em posição geral (isto é, quaisquer p < n, ± 2 planos

fornecem p planos em posição geral em 1C+2 ). Note que cada pi pertence a no máximo

• 1 planos, corno ternos n ± 1 pontos, estes ocuparão no máximo (n 1)2 planos,

corno Q é superior a este número o resultado segue.

Agora, dado um hiperplano L c IPTN-1 ternos que IPn+1 — L K"1. Escolha urna

bola fechada .Bi c IP"1 — L suficientemente grande de modo que IPTI+1 — Bi não

contém n, 1 pontos. Seja V = {F = O}, escolha Li e Bi corno acima mas com urna

propriedade adicional de que a interseção de V com a interseção de quaisquer n 1

complementos IPn+1 — .8; é vazia, ou seja,

V n (nn."(1Pn4-1 — Bi)) = 0

V n (IPn+1 — u +1/3) = O

Logo, V C Un+iBi

Portanto, (Bi) é urna cobertura de V.

Escolha urna vizinhança U1 de F de modo que G e U1 tem as mesmas propriedades

que F com relação as coberturas B1, . . , BQ acima descritas. Escolha urna carta x0, xn em prt-1-1 Li e seja Bi n V = V com equação h = o; seja

Ni = {(x, v) x Kn+1; v = À (040° (x),... , (x))}

e considere a aplicação E: Kn-bi E(x v) = x v. Com a nossa notação E é

localmente a aplicação

(a, À) h(a) À H(h(ce)) . . . h a) axo " axn

ah « )) O f -

e claramente E é um difeornorfismo local. Usando o fato que Vi é compacto escolha

e > O tal que a restrição E : n (V; x ./3€)

urna bola de raio e centrada em o e Kn+1. Agora escolha U2 C U1 tal que para

K"1 é um mergulho, onde B, é

63

qualquer G E U2 o conjunto Wi = A n {G = O} está contido na vizinhança E(Ni n

(v; x BE)).(Estritamente falando, devemos trabalhar com duas bolas grandes .133,gi.

para evitarmos dificuldades na fronteira). Escolha um aberto U C U2 COM U C U2

compacto de modo que para GEUeyE {G = o} ni3; com y = E(x, v) o vetor v não pertence a TvWi, isto é, G é suficientemente próximo de F para que os espaços

tangentes também sejam próximos (Basta perceber que a vizinhança tubular de G =

O está contida na vizinhança tubular de F = O e que perturbações suficientemente

pequenas da F vão dar perturbações suficientemente pequenos de (a,... , 2-)). Segue para qualquer x E Vi (o qual supomos ter espaço tangente xo = O) podemos

escolher uma vizinhança A1 de O E Kn e uma família de parametrizações

h x Ai Kn+1 , h(u, a) = (h' (u, a), a)

com hu parametrizando Ft = O. Mais ainda, como h(T-1 x O) C {E(h(0),v)} dados

x(1), x(2) E yi com parametrizações locais h1:r1 x 4 x Kn+1, j = 1,2,

hlCU x O) n h2CU x o) =0

então se necessário, podemos diminuir os 24-11 e supor que 1.11=112h5(f X 4) = 0.

Agora sejam (x(1),... ,x(r)) E {F = 0}(r),r < n +1 possuindo plano tangente

comum e seja L : Kn —> (Kn+1)* como de costume. Escolha um A com x(i) E A,1 < i< r, e parametrizações locais hi :U x AI —> Kn+1 com

hi(U x n h(U x = 0, i j

Considere a aplicação ij: Al x x Ar, x U x Kn —>fl1 Jk(Kn, K)

n(a(1),... , a(r), u, a) = LER jatos em a(i) dos

—> (dfi(x(j))± L(a))(hi(u, a(i))) =

= fri(jf`Hi(u, a(i), a))

Afirmamos que 77 é transversal a r(x). Se jPHi(u,a(i),a) E' E para algum i,

então

n(a(1),... ,a(r),u, a) çi Ar(x)

64

Se o jitHi(u, ce(i), a) E E, mas os hi(u,a(i)) não possuirem um plano tangente

comum, então

n(a(1), , a(r), u, a) 0 Ar(x)

Contudo, se eles possuirem um plano tangente comum dado por

(dfi(a(i)) + L(a))(hi(u, a(i))) = c

então os hi(u,a(i)) estão em posição geral neste plano. Segue da observação acima

que 17 é uma submersão em (a(1),... , a(r),u, a) e assim, transversal a Ar (x). Então

existe um conjunto ruim real subanalítico c U de codimensão > 1 tal que para

uEU—.8 a aplicação

:114 x J ( , K )

é transverval a Ar(x). Agora, usamos o fato que {G = 0}(r) é separável para obter

uma quantidade enumerável de conjuntos ruins a .

3.4 Considerações finais

Nesta última seção comentaremos alguns exemplos de cúspides da aplicação de

Gauss projetiva. A principal referência é o artigo "Cusps of the projective Gauss

Trzap"[17].

Seja M uma superfície algébrica regular em IP3 tal que a família H é localmente

versal. Sabemos que neste caso, a aplicação de Gauss G: M IP3 é estável. Ou seja,

as únicas singularidades que ocorrem são dobras e cúspides. Mais ainda, EG é uma

reunião disjunta de curvas, contendo pontos isolados que são os pontos de cúspide.

Em [17J, Clint McCrory e Theodore Shifrin estudam as citspides da aplicação

65

de Gauss de superfícies em ]P3. Os principais resultados obtidos são os seguintes

teoremas:

Teorema 3.4.1 Para uma superfície projetiva regular genérica mergulhada em

as cúspides da aplicação de Gauss são precisamente os pontos parabólicos os quais

são os limites dos pontos de inflexão das curvas assintóticas.

A demonstração deste teorema pode ser reduzida ao caso afim, caso em que o re-

sultado é bastante conhecido. A demonstração apresentada pelos autores usa métodos

da Geometria Diferencial projetiva.

Teorema 3.4.2 A aplicação de Gansa de uma superfície projetiva genérica de grau

d em IP3 possui 2d(d — 2)(11d —24) cúspides.

A prova do teorema acima utiliza ferramentas da Teoria Enumerativa e escapa do

alcance desta dissertação.

Nos exemplos de superfícies de grau d = 2, 3 é possível verificar diretamente o

resultado do teorema 34E:

Exemplo 4 Superfícies Quddricas

Se M c IP3 é uma quddrica genérica (ver apêndice)

F (xi, x2, x3, x4) = O

A equação dos pontos parabólicos da aplicação de Causa é dada por

{F = O

Hess(F) = O

66

Como F é homogênea de grau 2, Hess(F) = constante, e portanto, vemos que

genéricamente a aplicação de G auss não possui singularidades.

Exemplo 5 Superfícies Cúbicas ([24J, [25»

Seja M uma cúbica genérica em IP3. Segue do teorema 3.4.2 que M tem 54

cúspides, mas é possível neste caso, argumentar diretamente.

Sabemos que existem 27 retas contidas em M. Evidentemente, cada reta é uma

direção assintótica em M. Por outro lado, todos os pontos de uma tal reta L c M

são pontos de inflexão. Assim, aplicando o teorema 3.4.1, vemos que os pontos do

conjunto parabólico II nos quais uma reta L de M é tangente a II correspondem aos

pontos de cúspide da aplicação normal de Gavss G.

Não é difícil mostrar o seguinte resultado: "Cada reta de M intercepta a curva

parabólica em dois pontos e é tangente à essa curva nestes pontos".

De fato: Seja L c M eH um plano contendo L. Então HnM é uma curva de

grau 3 contendo L, logo HnM=LUC, onde C é uma cônica.

Observemos que C pode ser redutível, mas LUC não pode conter uma linha dupla,

pois neste caso M seria singular.

O número de interseções de LeC é2 (Teorema de Bezout [24)), e evidentemente

H é tangente a M em cada um destes pontos p, i =- 1,2 de L n C

67

Se Li indica a reta tangente a C em p, os pares de retas (L, L1) e (L, L2) são

as direções assintóticas de M em h e p2, respectivamente. (Estas são as retas com

maior contato com M em n). Quando estes dois pontos p1 e p2 coincidem, isto é, L

é tangente a C, o ponto p = = p2 é ponto parabólico de MeL éa única direção

assintótica.

Agora definimos urna involução a de L como segue. Dado p E L, TM n M é

tangente a M em outro ponto q, e definimos a(p) = q. A involução a é algébrica, e

pelo teorema do ponto fixo de Lefschetz, a possui dois pontos fixos, os quais são os

dóis pontos parabólicos em L.

Exemplo 6 A cúbica de Fertnat zg+4+4+4 = 0 é um exemplo de urna superfície

projetiva que não é genérica. A curva parabólica II é dada por x0x1x2x3 = 0. Os

pontos singulares da curva fl = 0 são obtidos a partir da solução dos determinantes

dos menores 2 x 2 da matriz

Note que o ponto (1,0,0,0) é um ponto singular de II = 0. Portanto, M não é

urna superfície genérica.

Pode-se mostrar mais precisamente que II é uma curva redutível com 18 pontos

singulares (pontos duplos) e que se perturbarmos a cúbica de Fertnat cada um dos 18

pontos duplos võo dar origem a 3 cúspides da aplicação de Ganas.

(34 3x2 34 34 )

X X2 X3 X0X2 X3 XoXi X3 XOXI X2

68

Apêndice A

Geometria Algébrica Projetiva

A.1 O Espaço Projetivo e as Variedades Projetivas

Definimos uma relação de equivalência --, em pontos não nulos de Kn+1 da seguinte

forma: (x'0, . . . , (xo, . . ,x) se existe um elemento não nulo A E K tal que

(x/o, . . . , x'„) = A(x0, ,x)

Definição A.1.1 Um espaço projetivo n-dimensional sobre um corpo K, denotado

IPn(K), é o conjunto das classes de equivalência de « em K71+1 — {O} . Assim,

IP'(K) = (Kn+1 — {0})1

Cada n-upla não nula (xo, ,x„) E K71+1 define um ponto p E rn(K), e dizemos

que (xo, , xn) são as coordenadas homogêneas de p.

Existe uma correspôndencia 1-1 entre pontos de 1Pn(10 e retas passando pela

origem em Kn+1. De fato, todas as coordenadas homogêneas de p E IPn(K) são

69

dadas por Ap., A E K — {O}, e note que todos estes pontos pertencem a mesma reta

passando pela origem em Kn+I. Como p O temos a garantia de que esta reta

existe. Por outro lado, dada qualquer reta 1, passando pela origem em Kft+1, um

ponto p E L — {O} nos fornece as coordenadas homogêneas de um único ponto em

IPn(K).

Proposição 21.1.1 Para cada i -=• O, ,n, seja Ui = Exo, • • • ,x) E Pin xi O}

(i) Os pontos de cada Ui estão em correspondência 1-1 com os pontos de K".

(ii)IP"(K) K" U Fiz-1(K)

(iii) Temos 1P"(K) = Ur_oUi

Demonstração:

(i) Para cada i = O, , n considere Oi : K" —> Ui dada por

çbi(xl., • • • xn) = (X1, • • • ,x, 1, Xi+1) • • xn)

e :U —> K" dada por

lixo Xi—i Xn) 1Pi(X0, • • • xn.) = • • • ,

Xi Xi Xi Xi

Primeiro devemos mostrar que rfri está bem definida. Sejam (xo, . • • ,xn) e (Yo, • • • , yn) coordenadas homogêneas de p E Uo. Assim temos que (yo,... , yn) = A(x0,... , x„)

,Az). Então:

(Yo, • • • Yn) = 1Pi(Axo, • • • Axn) • • • , À x = = xi_, ri+,

xi ' • xi , • • • = ih(xo, • • • ,x).

Além disso,

çbi(lPi(xo, • • • xn)) = çbi (e, • • • ,?, tri , • • • ,e) = (azi, • • • , „ , " • , = (X0, Xi_i, Xi, Xj+1, xri)

70

• ,x4) = 11)&1, • , xi,l, xi+1, • • • xn) = est = (x1, • • ,x)

ri+i Ia) = , • " , 1 3 • • •

3 1

Portanto ib e •P são aplicações inversas, o. que estabelece a correspondência 1-1

desejada.

(ii) Pela definição de Ui, temos que

1P'1(K) = U U g, onde g = {p E 1P"(K);i-ésima coordenada é nula}

Os pontos em g estão em correspondência 1-1 com as classes de equivalência

(x0, , xn), onde duas n-uplas representam o mesmo ponto de g se

uma. for um escalar não nulo multiplicado pela outra. Em outras palavras, Hi é uma

"cópia"de IP"-1(K), o espaço projetivo de dimensão menor.

IP" (K) Kn 111:1"-1 (()

(iii) Como cada Ui C IP" (K), O < i < n, pela própria definição de Ui, segue que

IfiLoUi C Ir (K). Falta apenas mostrar quelPn(K) C 1.11:_0Ui. Seja p E 1P"(K), logo,

p = (x0,... , xn), onde x0, , x„ são não simultaneamente nulos, assim, p E Ui para

algum i, portanto p E Ur_oUi.

Nosso próximo objetivo é estender a definição de variedades no espaço afim

para o espaço projetivo.

Definição A.1.2 Seja K um corpo e sejam f , fs, polinômios em K[xh...

Então o conjunto

Vefh • • • fs) -= {(ai, • • • >an) Kn; fi(a1,... , an) .= 0; para todo 1 < < s}

é chamado de variedade afim definida por • • • , fs•

71

Definição A.1.3 Um polinômio é homogêneo de grau d se todos os termos de f

possuem grau d.

Exemplo 7 f = x2 + 2xy + y2 é homogêneo de grau 2.

Observe que se f E K[xo, , x„j é um polinômio homogêneo que se anula em

alguma coordenada homogênea de um ponto p E ]Pn(K), então f se anula em todas

as coordenadas homogêneas de p.

Definição A.1.4 Seja K um corpo e sejam , h E K[xo, , xn] polinômios

homogêneos.

V( • • • , h) = {(ao, • • • , a.) E IP"(K); , an) = O; para todo 1 < i < s}

Chamamos V(fi, , h) a variedade projetiva definida por ,f.

As variedades projetivas V(f) definidas por uma única equação homogênea são

conhecidas como hipersuperfícies. Estas são geralmente classificadas de acordo com

o grau que definem suas equações. Assim se f possui grau 2 em K[x0,. ,x,2],

chamamos V (f) de hipersuperfície quetdrica ou quádrica.

Análogartzente, hipersuperfícies definidas por equações de grau 3,4 e 5 são con-

hecidas como cúbicas, quárticas e quínticas respectivamente.

Proposição A.1.2 Seja V = , fa) uma variedade projetiva. Então W

vnuo pode ser identificado com a variedade cifrai/ (91, • • • , 94 C K", onde gi(yi,. ,y,2) = fi(1, yi, . • • , Y.) para cada 1 < < s.

72

Demonstração: Seja p = (1, ai, • • • ,a) E W = vnuo. Usando a aplicação 7P0 : II0 K" (da intima proposição), temos que 00(p) = (a1,. • , an) e como para cada i, temos

g,(ai,.. ,an) = f(1, a1,... ,a) = O, segue que 00(p) E ,g3). Por outro

lado, se (ai,. • • ,an) E V (gi, ,g4, então o ponto com coordenadas homogêneas

(1,a1,... , an) pertence a U0 e satisfaz as equações f(1, • • • , an) = gi(ai, • • • , an) = O. Assim, 0(V(g1,. ,g)) c W. Como as aplicações e 7P são inversas, os pontos

de W estão em correspondência 1-1 com os pontos de V(gb. , g „

Exemplo 8 Considere a variedade projetiva V = V(4. — x2x0, x — x34,) c F3 (R).

Para interseccionar V com 110, nós desomogenizamos as equações que definem V, o

que dará a variedade afim V(4 — x2,4 — x3) C R3.

Note que também podemos desomogenizar com relação à outras variáveis.

Uma idéia natural é reverter o processo de desomogenização descrito anteriomente

e "homogenizar"as equações que definem a variedade afim. Por exemplo, considere a

variedade afim W = V(x2 — x + 4) em U0 = R2. A equação que define W não é

homogênea, de modo que não obtemos uma variedade projetiva em F2 (R) diretamente

desta equação. Mas podemos usar uma variável extra x0 para tornar o polinômio

f = x2 — 4 + 4 homogêneo. Como f possui grau 3, modificamos f de modo que

todos os seus termos possuam grau 3. Isto nos leva ao polinômio homogênio fh =

x24 — x + 4x0. Mais ainda, note que a desomogenização de fh nos devolve o

polinômio original f em xl, x2.

Agora, note que dada qualquer variedade afim W = V (gi, ,g4 C Kn, podemos

homogenizar as equações que definem W de modo a obter a variedade projetiva V =

,g) c l'n(K). Mais ainda, V n Uo = W. Assim, nossa variedade afim

original W é a porção afim da variedade projetiva V.

73

Exemplo 9 Neste exemplo, escreveremos as coordenadas homogêneas dos pontos em

1P2(K) como sendo da forma (x, y, z). Numerando estas coordenadas como O, 1, 2,

vemos que U2 é o conjunto dos pontos com coordenadas (x, y, 1). Agora considere a

variedade afim

w = V(g) = V (y — x3 + x) C U2

Sabemos que W é a porção afim V n U2 da variedade projetiva V = V(gh) = V (yz2 — x3 + x.z2). A variedade V consiste de W junto com os pontos no infinito

V r1V(z). A porção afim IV é o gráfico de um polinômio cúbico, o qual é uma curva

regular. Os pontos no infinito, os quais forniam um complemento de W em V, são

dados pelas soluções das equações:

{

y z2 — x3 + x.z2 = 0

z = 0

É fácil ver que as soluções são z=x=0 e como estamos trabalhando em 1P2 (K),

tomamos o único ponto p = (0,1,0) em V n V (Z). Assim, V = W U {p}

Vejamos o que acontece quando desomogenizamos a equação de V com relação a

y e estudamos a intersecção V n

= V n U1 = V(gh(X2 1,y)) = V(Z2 x3 ± x.z2)

Através da teoria de singularidades, podemos facilmente verificar que p, que cor-

responde ao ponto (x, z) = (0,0) E WÇ é um ponto singular de W'.

Assim, mesmo começando com uma variedade afim suave, homogenizando as

equações e tomando a correspondente variedade projetiva podemos obter um objeto ge-

ométrico mais complicado, pois, não estávamos "vendo toda a figura"na porção afim

original da variedade. Em geral, dada uma variedade projetiva V c IP"(K), como

IPh(K) = Ur_oUi, precisamos considerar V n U para diversos valores de i = O, , n para vermos toda a figura.

74

A.2 Correspondência entre Ideais Projetivos e Vari-

edades Projetivas

Definição A.2.1 (Ordem Lexicográfica); Seja a = (ai, • • • , an) e = (Oh • • . , fin) E

Z;•0. Dizemos que a >isx fl se no vetor diferença a — fl E Z%, o valor não nulo mais

à esquerda é positivo. Escrevemos xec >isx xe se a > lex

Definição A.2.2 (Ordem Graduada Lex). Sejam a, fl E Z;10. Dizemos que a -> - grelex

,3 se iai = E•r—tai > = A ou, 1,31 = lal e a >ie. fi•

Definição A.2.3 Seja I c K[xi,.. • ,x] um ideal não nulo.

(i) O termo de liderança de um polinômio f (LT(f)), é o monômio de f que possui

maior grau.

(ii) Denotamos por LT(I) = {cxce; existe f E 1 com LT(f) = cxce}

(iii) Denotamos por < LT(I) > o ideal gerado pelos elementos de LT(I)

Definição A.2.4 Fixe uma ordem monomial. Um subconjunto finito G = {g1, . . . , g s}

de um ideal I é uma base de Gráebner se

,LT(gs) >=< LT(I)>

Definição A.2.5 Um ideal I em K[xi, ,x,2] é homogêneo se para cada! E I, as

componentes homogêneas fi de f também estiverem em 1.

75

Teorema A.2.1 Seja I c K[x0, ,x] um ideal. Então são equivalentes:

(i) I é um ideal homogêneo de K[x0,. . • , xn]

(ii) I =< ,f3 >, onde , f3 são polinômios homogêneos.

Demonstração: (ii) (i)

Seja g E I, então g = Ai fi. Agora suponha que expandimos cada Ai como

soma de suas componentes homogêneas: Ai = fiEj fkl_ fim. Portanto, g

e d

j=1 k=1

Podemos reagrupar os termos de g que possuem mesmo grau da seguinte forma: s+d

g= E f < < d,1 < k < d j+k=2

Note que as componentes homogêneas de g pertencem à I, logo I é um ideal ho-

mogêneo.

(i) (ii) Seja I um ideal homogêneo. Pelo Teorema das Bases de Hilbert, temos

I =< F1,... ,F3 > para alguns polinômios Fi E K[x0,... , xn] (não necessariamente

homogêneos). Se escrevermos Fi como a soma de suas componentes homogêneas,

digamos Fi = EFii, então cada Pipi E I pois I é homogêneo. Seja I' o ideal gerado

pelos polinômios homogêneos Fii. Então I c l' pois cada Fi d uma soma dos geradores

de I'. Por outro lado, I' c I pois cada componente homogênea de Fi está em I. Isto

mostra que I = P e segue que I possui uma base de polinômios homogêneos.

Observação A.2.1 Seja I c K[x0, ,x,i] um ideal homogêneo e suponha que

I =< . . . , f, >, onde h, . ,f3 são homogêneos. Então é fácil ver que

,f3)

de modo que V (I) é uma variedade projetiva.

76

Proposição A.2.1 Seja V C Fn(K) uma variedade projetiva e seja

I(V) = {f E K[x0, • • • xn]; f (ao, • • , an) = O, V(ao, • • • ,a,) E V}

(Isto significa que f se anula para todas as coordenadas homogêneas de todos os pontos

em V).

Se K é infinito, então 1(V) é um ideal homogêneo em K[xo, ,x,z]

Demonstração: Note que I(V) é fechado com relação à soma e com relação ao pro-

duto por elementos de ;fixo,. • • , x,•j•

Assim, I(V) é urra ideal em ;fixo,— ,x,d. Agora, pegue f E I(V) e fixe um ponto

p E V. Por hipótese, f se anula em todas as coordenadas homogêneas (ao, ,a,.)

de p.

Como K é infinito, segue que cada componente homogênea A de f se anula em

(ao, . • • , an)•

De fato, podemos escrever f = EA como a soma de suas componentes ho-

mogêneas A

f = fo + + • • + fn

Como pEV e (ao,... , an) é coordenada homogênea de p segue que

f (ao , • • , an) = fo(ao,... , an) + (ao, • , an) + + fn (ao, • • , an) = O

f(2a0, • • • ,2an) = fo(ao, an) + 2fi (ao , • , an) + + 2nfn (ao, , an) O

f ((n + (ao , , an)) = fo (ao, • • . , an) + (n + 1)Rao, , an) + +

+(n 1)nfn(ao, an) = O

77

Note que o nosso sistema é representado por

(1

1

1

21

(n+ 1)1 ... (n

1

2"

ir/

(fo(ao, ... ,a)

Mao, • • , a.)

o \

o

\o/

Matriz de Vandermonde => det

Logo o sistema possui solução única. Como (O, , O) é uma solução segue que

fo(ao, • , a.) = O

fn(ao, • • • , an) =-- o

Isto mostra que A E I(V) e assim, I(V) é homogêneo.

Teorema A: Seja K um corpo infinito. Então as aplicações

Variedades Projetivas Ideais Homogêneos

Ideais Homogêneos 1 > Variedades Projetivas

são inclusões reversas. Além do mais, para qualquer variedade projetiva, temos

V (I(V)) = V de modo que I é sempre 1-1.

Demonstração: Mostremos que I e V são inclusões reversos:

(i) Se II c 12 então V(12) C V(II)

Seja p um ponto pertencente à V(12). Isto significa que para todo f E /2, f se anu-

la em todas os coordenados homogêneos (ao, , an) de p. Como II C 1 => V g E II, g

se anula em todos os coordenados homogêneas (a0,... ,a) de p => PC V(./1).

(ii) VI C 172 então 1(V2) C 1(V1)

Seja f E I(V2), logo f se anula em todos os coordenados homogêneas de todos

os pontos de 12, como V1 c 1/2 temos que f se anula em todas as coordenadas ho-

mogêneas de todos os pontos de V1 => f E /(Vi)

78

Resta mostrar que V(I(V)) = V, quando V = V (fi,. , f„) é uma variedade

projetiva. Como todo f E I(V) se anula em todas as coordenadas homogêneas dos

pontos de V, a inclusão V c V(I(V)) segue diretamente da definição de V.

Por outro lado, note que ,f3 E I(V) pela definição de 1, e assim, <

f , f3 >C 1(V). Como V é inclusão reversa, segue que V (I (V)) c V(< f , f3 >

) = V. Isto mostra a igualdade desejada V(I(V)) = V e consequentemente, I é 1-1.

Definição A.2.6 O radical de um ideal é o ideal:

= { f E K[x0,... ,x]; f" E I para algum n > 1}

Proposição A.2.2 Seja I c K[xo,... ,x.] um ideal homogêneo. Então Nrl também

é um ideal homogêneo.

Demonstração: Se f E Vi, então fia E I para algum m > 1. Agora, decompondo f

nas suas componentes homogêneas

f =E = + E fi onde fina. é a componente homogênea não nula de maior grau em f. Expandindo a

potência f'n , é fácil ver que

(r)... = (f..)771 Como I é um ideal homogêneo, (r)... E I. Assim, (fm43)7n E I, o que mostra

que hna. E .V.7. Se considerarmos g = f — fin= E Nrl e repetirmos o argumento,

teremos que gma. E Vi. Mas gm„. também é uma componente homogênea de f. Aplicando repetidamente este argumento, mostramos que todas as componentes ho-

mogêneas de f estão em Vi. Como isto vale para todo f E .17, temos que Nrl é um

ideal homogêneo.

79

Agora vamos recordar o Nullstellensatz Fraco e o Nullstellensatz Forte no caso

afim:

Seja I um ideal contido em K[xi,... , xa]

• (O Nullstellensatz Fraco) V.(I)= 0 em Kn <=>1 = K[X12 • • • 2 xn]

• (O Nullstellensatz Forte) VI = Ia(Va(I)) em Kixi, • • • , xn]

(Para evitar confusão, usaremos Ia e Va para denotar as versões afim de I e V).

É natural questionarmos se estes resultados se estendem à variedades projetivas e

ideais homogêneos.

A resposta é não. Em particular o Nullstellensatz Fraco falha para certos deais

homogêneos. Por exemplo, considere o ideal I =< xo, . . . ,xa >C C[x0,. ,xa].

Então V(I) C Fn(C) é definido pelas equações xo = • • • = xa = 0. A única

solução é (O, , O), mas isto é impossível, pois não é permitido que todas as coorde-

nadas homogêneas se anulem simulteineamente.

Segue que V(I) = 0 e ainda, I C[xo,. ,xa] (1+ xo I).

Felizmente, é possível caracterizar os ideais para os quais isto acontece.

A seguinte versão do Nulltellensatz Fraco descreve todos os ideais homogêneos sem

soluções projetivas.

Teorema A.2.2 (O Nullstellensatz Fraco Projetivo) Seja K olgebricamente

fechado e seja I um ideal homogêneo em Kko, , xal. Então são equivalentes:

(i) V(1) C IP"(K) é vazio

(ii) Para cada O < i < n, existe um inteiro rni > O tal que ximi E /.

(iii) Existe algum r > 1 tal que < xo,.. ,xa >rc I

80

Demonstração: (ii) (i)

Segue que < , ,xn"'" >C 1, assim, aplicando V, temos que V(I) está

contido em V(< >) = 0 pois estamos em IPn(K), logo V (I) = 0.

(iii) (ii)

É claro que se < xo, . ,x,. >rC I então x.ir E Ni.

Para mostrar (i) (iii), trabalharemos com a variedade afim C„ = Va(I) C Kn +

como interpretamos pontos em IPIK) como retas passando pela origem em

então Co é a união das retas determinadas por V. Em particular, C„ contém todas

as coordenadas homogêneas dos pontos de V.

Então, observe que se V = 0 C„ C {(0, , O)} em K+1. Obtemos então

({(0, ,O)}) c is(C„) = 1,,(14,(1))

Mas 4,({(0,.. ,0)}) =< xo,... ,x„ >.

Pela versão afim do Nullstellensatz forte, temos que

4(C„) = In(Va(I)) = Vi

Assim, < x0,. . ,x, >C VI, logo existe r > 1 tal que < xo,.. ,xn >rC I.

Teorema A.2.3 (O Nulltellensatz Forte Projetivo.) Seja K um corpo algebri-

carnente fechado e seja I um ideal homogêneo em K[xo, , xn]. Se V =V(I) é uma

variedade projetiva ndo vazia em IP" (K), então temos

i(v(.0) =

Demonstração: Como na dernostração do teorema anterior, trabalharemos com a var-

iedade projetiva V =V(I) C IP" (K) e seu cone afim C.„ = Va(I) C Kn+1 . Primeiro

afirmamos que

(*) In(Cn) = I(V) quando V 0 0

81

Para ver isto, suponha que f E Ia(C„). Dado p E V, qualquer coordenada ho-

mogênea de p pertence à C,„ de modo que f se anula em todas as coordenadas ho-

mogêneas de p. Por definição, isto implica f E I(V).

Por outro lado, tome f E I(V). Como todo ponto não nulo de C, fornece coorde-

nadas homogêneas para um ponto em V, segue que f se anula em C„ — {0}. Resta

mostrar que f se anula na origem.

Como I(V) é um ideal homogêneo, sabemos que as componentes homogêneas A de f

também se anulam em V. Em particular, o termo constante de f, o qual é homogêneo

na componente fo de grau zero, se anula em V. Como V O, isto força fo = O, o

que significa que f se anula na origem. Assim, f E Ia(C„) e (*) está mostrado.

Pela forma afim do Nullstellensatz Forte, sabemos queV.7 = Ia(Va(I)). Então

usando (*), obtemos:

V.7 = Ia(Va(I)) = Ia(Ca) = I(V) = I(V (I))

O que completa a demonstração do teorema.

Agora podemos completar a correspondência projetiva ideal-variedade.

Como no caso afim, temos uma correspondência 1-1 entre variedades projetivas

e ideais radicais homogêneos com excessão dos casosV.1 =< xo, , xn > e VI =<

1>.

Teorema A.2.4 Seja K um corpo algebricamente fechado. Se restringirmos as cor-

respondências do teorema A a variedades projetivas não vazias e ideais radicais ho-

mogêneos própriamente contidos em < x0,... , xn > então:

Variedades Projetivas não vazias Ideais Rad. HOM. própr. contidos em < xo,.. •

Ideais Rad. HOM. própr. contidos em < xo, , xn > X 4 Variedades Projetivas não vazias

82

Demonstração: Note que uma consequência do Nullstellensatz Fraco projetivo é que os

únicos ideais radicais homogêneos I com V (I) = 0 são < xo, , xn > e K[xo, , xn].

Uma segunda observação é que se I é um ideal homogêneo diferente de K[xo, • • • , xn],

então I C< xo, • • • xn >•

Estas observações mostram que os ideais radicais homogêneos com V(1) 0 são

precisamente aqueles que satisfazem I estritamente contido em < xo, ,xn > . E a

relação segue do Nullstellensatz Forte projetivo.

Definição A.2.7 Seja I um ideal em K[xi,... , x,4. Definimos a homogenização

de I como sendo o ideal

lh =< .fh;.f E >C K[x0,... ,x]

onde fh é a homogenização de f.

Proposição A.2.3 Para qualquer ideal I C ,x,], a homogenizaçii o Ih é

um ideal homogêneo em K[xo, . • ,x,i]

Demonstração: O ideal Ih possui um conjunto finito de geradores e pela própria

definição de Ih, estes geradores são polinômios homogêneos. Logo Ih é um ideal

homogêneo.

Exemplo .10 Considere I =< h, h >=< x2-4, x3-x>, o ideal da cúbica torcida afim. Se homogenizarmos f f2 então teremos o ideal J =< x2x0 — x, x3x3 — >

em R[xo, x 1, x2, x3].

Afirmamos que J . Para mostrarmos isto, considere o polinômio f3 = f2 —

x1f1 = x3 — x1x2 E 1 f = x0x3 - x1x3 E P. Agora note que ft não pode ser obtido como combinação de ft e ft . Logo, ftØ J J

83

Precisamos então, de um método para calcular um conjunto finito de geradores

para o ideal 1.

Teorema B: Seja I um ideal em K[xl, ,x,] e seja G = ,g3} uma base de

Grbebner para I com respeito a uma ordenação monomial graduada em 1<[x1, . • • , xn] •

Então = , gah} é uma base para lh C K[xo, • • • ,xn]

Para ilustrar o teorema, considere novamente o ideal I =< x2 — x3 — > da

cúbica torcida afim W c R3.

Calculando uma base de Grãebner para I com respeito a ordem grlex, temos:

a= {x21 — X2, XI.X2 — X3, Xi. X3 —

Pelo teorema B, a homogenização destes polinômios gera 1". Assim,

111 =',.< — X0X2, X1X2 — X0X3, X1X3 — 4 >

Discutiremos agora o significado geométrico da homogenização de um ideal.

Definição A.2.8 Dada uma variedade afim W C Kn, o fecho projetivo de W é a

variedade projetiva

W = V (la(W)h ) c IP" (K)

onde Ia(W)h C K[zo,. ,xa] é a homogenização do ideal I(W) C K[xi, • . • ,x]

Proposição 24.2.4 Seja W c Kn uma variedade afim e seja W c IPn(K) seu fecho

projetivo. Então W é a menor variedade projetiva em IPn(K) contendo W.

Demonstração: Precisamos mostrar que se V é uma variedade projetiva contendo W,

então W C V.

84

Suponha que V = V (Fi, , F8). Então os Fi's se anulam em V, de modo que

sua desornogenização f = Fi(1, x l, . . . , x n) se anula em W. Assim, A E In(W) e

logo, fih E Li(W)h. Isto mostra que fp se anula em W =

Mas, Fi = fih para algum inteiro e.

De fato, seja F(x0,... ,xn) um polinômio homogêneo de grau d e seja e a maior

potência de x0 dividindo F. Então f = ,xn) é um polinómio de grau

— e). Assim,

d—e

f h = xn)x,(d—e)—i, onde F5 é o termo de grau j de F .1=0

Portanto,

d—e

Xg fh = xi, ,x.)xod—, = F(xo, xl, ,x) .1=0

poL hora. de grau d

Assim, Fi se anula em W e como isto é válido para todo i, segue que W C V.

Vejamos agora um exemplo.

Exemplo 11 Considere a cúbica torcida afim W C R3

Sabemos que In(W) =< x2 — —x>

Usando o teorema B, temos que

Ia(W)h =< x — X0X2, XiX2 — X0X3, X1X3 — >

Segue assim que a variedade

V = V(x — X0X2, X1X2 — X0X3, X 1X3 —

é o fecho projetivo da cúbica torcida afim W.

O principal obstáculo da definição do fecho projetivo é que precisamos conhecer

In(W). Seria muito mais interessante se pudéssemos calcular o fecho diretamente de

85

qualquer ideal definindo W. Quando K é algebricamente fechado, isto sempre pode

ser feito.

Teorema C: Seja K um corpo algebricamente fechado, e seja I C K[xi,. ,x„] um

ideal. Então V(P) c IP"(K) é o fecho projetivo de Va(I) C K".

Demonstração: Seja W = Va(I) c e Z = V(Ifi) C IP"(K). Fazendo Z n Uo, teremos a porção afim de V(Ih), ou seja, fazendo x0 = 1 obtemos Va(n = W.

Assim, temos que Z é uma variedade projetiva contendo W.

Demonstraremos agora que Z é a menor variedade projetiva contendo W.

Seja V = V(Fh... , F5) uma variedade projetiva qualquer contendo W. Temos

que a desomogenização f = Fi(1,x1,... ,x,•,) E 4(W). Como K é algebricamente

fechado, o Nullstellensatz implica que Ia (W)= i, de modo que fr E I para algum

inteiro m. Isto nos diz que (fit E Ih e, consequentemente, (fir")h se anula em Z.

Mas, (fr)h = (fih)m, e segue que fp se anula em Z. Então Fi = xgi fih também se

anula em Z. Donde concluímos que Z c W. Isto mostra que Z é a menor variedade

projetiva contendo W. Como o fecho projetivo TV possui a mesma propriedade, segue

que Z =W .

Se combinarmos os teoremas B e C, teremos um olgorítmo para calcular o fecho

projetivo de uma variedade afim sobre um corpo algebricamente fechado:

Dado W c K" definida por fi = = f, = O, calculamos uma base de Grãebner

G de < fi, • • • , f, > com respeito a uma ordem graduada, e então o fecho projetivo

em IP"(K) é definido por V(Ch)

86

A.3 A Geometria das Hipersuperfícies Quádricas

Definição A.3.1 Uma variedade V = V(f) C IP"(K), onde f é um polinômio

homogêneo não nulo de grau 2, é chamada hipersuperfície quádrica, ou simplesmente

quádrica

Definição A.3.2 Dadas V e W duas variedades projetivas em IP"(K), dizemos que

V é projetivamente equivalente a W se existir uma matriz invertível A E G L(n+1, K)

tal que V = A(W).

Observação A.3.1 Através dos resultados de álgebra linear, sabemos que as equações

que definem uma quádrica são equivalentes à uma equação da forma c0x8+ ...+c„x„2 ,

e se K for algebricamente fechado, então a hipersuperfície quádrica de rank p +1 é

projetivamente equivalente à quádrica definida pela equação x8 + + Xp2 = O.

Discutiremos a seguir algumas propriedades interessantes de quádricas não singu-

lares em IP2, IP3 e IP5.

Para o caso de F2 considere a aplicação F : F1 —› F2 definida por F(u, v) =

(u2 ,uv, v2), onde (u, v) são coordenadas homogêneas em IP1. Observe que os pontos

de FUN) satisfazem a equação x0x2 — = O, mais ainda, a aplicação F

V(x0x2 — x) é uma bijeção, de modo que esta cônica é uma cópia de IP1 em ]P2. De

fato, mostremos que F é sobre:

Seja (wo, w2) E 17(xox2 — xi), logo w0w2 — w? = O. Sem perda de general-

idade, podemos supor que /ao O, então (wo,wi) é um ponto de IP1. F(wo,w].) =

(4), wowl, w?) = (wg w0w1, wow2) = (too, w1, w2) •

87

F é injetora. De fato, basta mostrarmos que todo ponto (u, v) E TI tal que

F(u,v) = (Wo,Wi,w2) E V, é equivalente ao ponto (wo,w1), pois como vimos an-

teriormente F (u, v) = W11 W2) = F (WO) ) • Logo, F (u, v) = (u2 , uv , v2) =

A(wO,wowi,w?). Como wo 0,A O segue que u2 = Atuo u O. Assim, uu =

Awowo u = A WO. Seja Ti = Asu . Analogamente, temos uv = Awowi v = fiw1.

Logo (u, v) = fi(wo, w1) (u, v) r.t (w0, wi) em IP1.

Quando vemos quádricas em IP3 a situação é mais interessante. Considere a

aplicação F: x IP' IP3 que leva um ponto (xo,x1, yo, vi) E T1 X IP1 no ponto

(xoYo , xoYi, xiyo, xiYi) E IP3. Esta aplicação é chamada aplicação de Segm.

Proposição A.3.1 A aplicação de Segre F : x IP1 IP3 é um-a-um e sua

imagem é a quádrica não singular V(zoz3 — ziz2).(Note que esta é uma maneira de

enxergar o toro em IP3

Demonstração: Usaremos (zo, z1, z2, z3) como coordenadas homogêneas em IP3. Note

que os pontos de F(IPlx inl) satisfazem a equação z0z3—z1.z2 = O assim, F(1P1 x1P1) C

V(zoz3 — ziz2). Para mostrar a igualdade, suponha (w0,w1,w2, w3) E V(zoz3 — ziz2)•

Se wo O, então (WOI W2, WO, W1) E IP1 xIP1 e F(wo, W2) WO, W1) = (Wg, WOW12 WOW2, W1W2)•

Contudo, como w0w3 — w1w2 = O, segue que:

F(wo, w2, wo, wi) = (24, wowi, wow2, wow3) = (wo, %oh w2, w3)

Quando uma coordenada diferente é não nula, a demonstração é similar e segue

que F(IP1 x IP1) = V(zoz3 — zi.z2)•

F é injetiva. De fato, sem perda de generalidade, podemos supor wo O. Bas-

ta mostrarmos que todo ponto (uo,u1,u2, u3) E T1 XI?' tal que F(uo,ui,u2,213) =

Wi, W2, w3) E V é equivalente ao ponto (wo,W2,Wo,wi) E IN X IP1, pois co-

mo vimos na parte anterior da demonstração, F(wo,w2,wo,wi) = (wo,w1,w2,w3) =

88

F (uo , ui, u2 , u3) . Assim, devemos mostrar que (wo, w2 wo, wi) •-•• (uo ui , u2, u3) em

IP1 x IN, ou seja, (wo,w2) •-•• (uo,u3) e (wo,wi) •-•• (u2,u3) em IN. Aplicando

F temos que (uou27uou3,u1u2,uiu3) = A(tvg,w0w1,w0w2,w1w2), u0u2 = Awd, co-

mo too # O 220 # O e u2 # O 220 = .Aswo, seja a = = awo • U2 U2

UIU2 = À/D0W2 u1 = CW2 u1 = aw2. Assim, (uo,u3) •-•-, (wo, W2). Por

outro lado, temos u0u2 = Awowo u2 = )sal wo, seja )3 = u2 = Mu°, uo uo u0u3 = Awowl u3 = )ssau. to' u3 = )3w1. Logo (u27 u3) « (wo,w3). Portanto F é

injetora.

Vamos agora mostrar que o conjunto de retas projetivas em IP3 se identifica com

uma quádrica em IP5.

Dois pontos p 0 q em IP3 dão vetores Li. p = (ao, ai, a2, a3) e q = (b0,b17 b2,b3) em K4. Agora considere a aplicação F: IP' IP3 dada por

(V) F(u, v) = (aou — bov, ctiu — b1v, ct222 — b2v, a3u — b3v)

Como p e q são linearmente independentes, aou—bov, aiu—biv, a2u—b2v, , a3u—b3v

não podem se anu/ar simultâneamente, de modo que E está definida para todo IP'. A

imagem de F é uma variedade L c IP3 definida por equações lineares que determinam

um plano em K4, logo, uma reta em IP3. Chamamos L de reta projetiva determinada por p e q.

Lembre que uma reta L C IP2 Pé definida por uma única equação A0X0 + A1X1 + A2X2 = O. Note que (A0, A1, 42) pode ser observado como as "coordenadas ho-

inogêneas"de L e que o conjunto de todas as retas formam o espaço projetivo dual Ip2o

Faz sentido questionarmos a Mesma coisa para IN. Em particular, podemos en-

contrar "coordenadas hamogeneaS"para retas em 1P3?

89

a3)

b3

Sabemos que urna reta L C 1P3 pode ser parametrizada projetivarnente usando dois

pontos p = (ao, al, a2, a3), q = (b0,b1,b2,b3) E K4. Então considere a matriz 2 x 4

cujas linhas são p e q

ao ai. az =

b2

• Numerando as colunas de 1-2 usando 0,1, 2, 3, então o determinante formado us-

ando as colunas i e j será denotado wii. Podemos assumir O < i < j < 3 e obtemos

os seis determinantes

(.7') =

woi = aobi — QIN

woz =- drobz — a2b0

W03 = a0b3 — a3b0

W12 = aibz — azbi

W13 ="- aibz — azbi

W23 = a2b3 — a3b2

Usaremos a notação

w(p, q) = (w01 , woz, w03, W127 W13 w23 ) E K6

Os vi são são chamados as coordenadas de Plücker da reta L. Note que toda

reta possui pelo menos urna coordenada de Plücker não nula, devido ao fato de 1-2

possuir rank 2. As coordenadas de Plücker de urna reta L não dependem dos pontos

p e q escolhidos. De fato, suponha que escolhemos um par diferente q', p' E L. Em

termos de coordanadas homogêneas, L pode ser descrito como o conjunto L = {up—

vq;(u,v) Eli:a}. Em particular, podemos escrever

p' = up — vq

q' = sp — tq

para pontos distintos (u,v),(s,t) E 1P1. Note que

( ) up — vq , u —v

sp — tq s —t (;) 90

Assim, w(p,q) = w(up — vq, sp — tq) = (sv — ut)w(p, q) em K6, onde sv — ut O

pois (u,v) e (s,t) são pontos distintos de IN. Isto mostra que w(p,q) nos da um

ponto em IP5 o qual depende apenas de L. Assim, uma reta L determina um ponto

bem definido w(L) E IP5.

Variando L sobre as retas em IP3, as coordenadas de Plücker w(L) irão descrever

um certo subconjunto de IP5. Eliminando os as e bs de (V), é fácil ver que w01w23—

wo2w13+wo3w12 = O para todos os conjuntos de coordenadas de Plücker. Considerando

O < i < j < 3, coordenadas homogêneas em IP5, segue que os pontos de w(L)

pertencem à quddrica não sigular V (zoiz23 — z02z13 + zo3zi2) C 1P5.

Teorema A.3.1 A aplicação { retas em IP3} V(zoi.z23 — z02.z13 + zoszi2) definida

por enviar uma reta L C IP3 em suas coordenadas de Plücker w(L) E V(zoizza — z02.z13 + z03z12) E 1P5 é uma bijeção.

Demonstração: A estratégia da demonstração é mostrar que uma reta L C F3

pode ser reconstruída pelas suas coordenadas de Plücker. Dados dois pontos p =

(ao, al, a2, a) e q = (b0,b1,b2,b3) em L, é fácil checar que conseguimos os quatro

vetores em 10

b2P — a29 = (w02, wn, O, —w23)

b3p — a3q = (w03, w13, w23, O)

Sempre que estes vetores forem não nulos, ele nos fornecem pontos de L.

Para Mostrar que w é 1-1, suponha que temos retas L e L' tais que w(L) = Aw(L')

para algum A não nulo. Em termos das coordenadas de Plücker, isto significa que

= Àw para todo O < < j < 3. Sabemos que alguma coordenada de Plücker

bop — aoq = (O, —woi, —w02, —wo.3)

(*) bip — agi = (wol, O, —w12, --w13)

91

de L é não nula, e por mudança de coordenadas em IP3, podemos assumir tom O.

Então (*) implica que em IP3, os pontos

P = (O, —wC,1, = (O, —Awol, —Awca, —Aw03) = (O, —22201, —22202, —ince)

Q = (win, O, —W1122 —W113) = (AW012 O, —Awn, = (wol, O, —w12, —w13)

estão ambos em L e L'. Como existe uma única reta passando por dois pontos em

IP3, segue que L = L'. Isto mostra que nossa aplicação é 1-1.

Para ver que tu é sobre, escolha um ponto (w01, w02, wos, w12, w23) E V(z01z23 —

42.213 + ZO3 Zi2). Por mudanças de coordenadas em IP3, podemos assumir wol O.

Então os dois primeiros vetores de (*) são não nulos e assim, determinam uma reta

L C IN. Vamos calcular as coordenadas de Plücker desta reta:

2 WO1 = WO1

W62 ""r= W01W02

wO3 = wo1W03

"12 = W01W12

'13 = WO1W13

"23 = W02W13 W03W12

Usando o fato de que (! ,tool, W022 W035 W12: W23) E V(Z01 Z23 Z02 Z13 + z03 z12), temos que —wo3u212 = w02w23 — w02w23 e usando isto em 243 segue:

W23 = W01 W23

Assim, w(L) = (tu.? W01W022 W01W032W01W122 W01W135 WO1W23)5 como wm O, temos

w(L) = (W012 W022 W032 W122 2013, W23)• Portanto w são as coordenadas de Plücker de

L, logo w é sobre.

92

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