OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: www. · Uma confeitaria produz dois tipos de bolos ... Laura...

OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: www.elitecampinas.com.br

(19) 3251-1012 O ELITE RESOLVE UNICAMP 2010 – 2ª FASE – MATEMÁTICA E INGLÊS

1

MATEMÁTICA

QUESTÃO 01 Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo. a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?

Resolução a) Para produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B, a quantidade de açúcar necessária é:

7 0,4 18 0,2 6,4 kg× + × = Como a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar, esse ingrediente está disponível em quantidade suficiente. Já a quantidade de farinha necessária é dada por:

7 0,2 18 0,3 6,8 kg× + × = Como a confeitaria dispõe de somente 6 kg de farinha, esse ingrediente não está disponível em quantidade suficiente. Assim, conclui-se que não é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B, pois a quantidade de farinha disponível é insuficiente. b) Vamos denotar por a a quantidade (em kg) de bolo do tipo A e por b a quantidade (em kg) de bolo do tipo B que serão produzidos. Para consumir todo o açúcar e toda a farinha disponível, montamos o sistema:

0,4 0,2 10 22,50,2 0,3 6 5

a b aa b b⋅ + ⋅ = =⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨⋅ + ⋅ = =⎩ ⎩

Isto é, devem ser produzidos 22,5 kg de bolo do tipo A e 5 kg de bolo do tipo B.

QUESTÃO 02 Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem

volume2

cal (3 )3hV R hπ

= − , em que h é a altura da calota e R é o raio

da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por cal 2A Rh= π . Atenção: não use um valor aproximado para π.

a) Supondo que / 2h R= , determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que / 2h R= , determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.

Resolução a) Na figura, sendo H R= a altura do cilindro, temos:

R2

R

r

H

No triângulo retângulo assinalado:

2 22 2 2 3 3

2 4 2R R Rr R r r⎛ ⎞+ = ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Assim, fazemos: anel esfera cal cilindro2V V V V= − ⋅ −

3 2 2anel

4 2 (3 )3 3

V R h R h r Hπ= ⋅ π ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − π ⋅ ⋅

Substituindo 2Rh = para a calota e H R= para o cilindro, temos:

2 23

anel4 32 33 3 2 2 4

R R RV R R Rπ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ π ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − π ⋅ ⋅ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3anel 6

V Rπ= ⋅

b) A área da parte externa da peça corresponde à área da superfície da esfera menos a área de duas calotas, enquanto a área da parte interna corresponde à área lateral do cilindro que foi retirado. Assim:

anel externa interna esfera cal lateral do cilindro2A A A A A A= + = − ⋅ + 2

anel 4 2 2A R R h r H= ⋅ π ⋅ − ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅

Substituindo novamente 2Rh = para a calota e H R= para o cilindro:

2anel

34 2 2 22 2R RA R R R⎛ ⎞= ⋅ π ⋅ − ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅ ⇔⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) 2anel 2 3A R= + ⋅ π ⋅

QUESTÃO 03

Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.

Resolução

a) Vamos tentar fazer o recorte com a tira na horizontal e mantendo os 10 cm de base. Sabendo que o raio do semi-círculo é igual a 6 cm, temos:

Se o valor de AB = x for maior do que 2,5 cm, então o retalho semicircular poderá ser usado para a obtenção da tira. Para o cálculo

10cm

5cm

A

B

6cm O

x



2

de x, basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo AOB. Assim,

= + ⇒ = >2 2 26 5 11 2,5x x . Portanto, a tira pode ser obtida a partir do retalho semicircular. b) Vamos tentar fazer o recorte da tira como no caso anterior, ou seja, com a tira na horizontal e mantendo os 10 cm de base. Vamos verificar se assim a tira terá altura maior ou igual a 2,5 cm.

Podemos verificar a semelhança entre os triângulos ABC e ADE pelo caso AA (pois como DE é paralelo a BC , o ângulo ADE é congruente ao ABC , e o ângulo AED é igual ao ACB , por serem alternos internos). Sendo assim, podemos fazer:

−= ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

6 6 6 96 16 60 16 36 2,2510 16

AM x x x x cmDE BC

Como o valor de x é menor do que 2,5cm, não podemos fazer o recorte da maneira acima. Outros recortes: Se pensássemos em usar AC ou AB (do retalho triangular) como base para o retângulo (pois AC=AB=10 cm por Pitágoras), perceberíamos que parte do retângulo não caberia neste retalho. Assim, o retalho triangular não pode ser usado para se obter a tira retangular.

QUESTÃO 04 Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos( ) 0,99α = . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.

Resolução

a) Após 100 pedaladas, Laura terá percorrido 100 3,15 315⋅ = metros.

Além disso, se cos( ) 0,99α = , pela relação fundamental temos que 2 2 2sen cos 1 sen 1 0,99 0,01 sen 0,1α + α = ⇒ α = − = ⇒ α =

Assim, analisando a figura fornecida, podemos ver que:

sen 315.0,1 31,5 m315

h h hα = ⇒ = ⇒ =

b) Observe a figura a seguir:

A B

C D

Analisando o triângulo BCD, podemos ver que = ° − ° + ° = °180 (77 24 ) 79DCB , e assim,

= ° − ° + ° = °180 (79 26 ) 75ACB Portanto, para calcularmos o valor de b, basta aplicarmos a Lei dos Senos no triângulo ABC:

sen30 sen75a b

=° °

Como sen75 sen(30 45 ) sen30 cos45 sen45 cos30

1 2 2 3 2 62 2 2 2 4

° = ° + ° = ° ⋅ ° + ° ⋅ ° =

+= + =

Temos que 22 1 2 622 11 ( 2 6) cm1 2 42 62 4

b b b+= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ +⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

QUESTÃO 05

O valor presente, Vp, de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.

p n

pV =r1+

100⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp, e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.

Resolução a) Calculemos primeiramente o valor presente da parcela de 200 reais a ser paga daqui a 1 mês (n = 1). Como a taxa de juros é de 1%,

então r = 1 e assim temos = = = ≈⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

200 200 198,021,0111 1

100 100

n

pVr

.

Sendo assim, o valor presente da mercadoria é Vp = 200 + 198,02 = 398,02 reais.

b) O valor presente da primeira parcela é = =⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 1,0111100

pp pV e o da

segunda é = =⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 21,0111100

pp pV . Sendo assim, o valor presente da

mercadoria é de = + = + = ≈1 2 2 2

2,01. 1,971,01 1,01 1,01p p p

p p pV V V p .

Portanto, o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista é de 2 1,97 1,5%

2p p

p−

= .

QUESTÃO 06

Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado.

a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de

10 cm B

6 cm

A

C

(6 – x)

x D E

M



3

um aparelho da empresa receberá um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00. b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n × p.

Resolução a) Por hipótese, podemos montar a seguinte tabela que indica o total de cupons adquiridos por cada proprietário em função do preço do aparelho comprado:

Preço do aparelho (R$) Número de cupons adquiridos 150 1 180 1 250 2 320 3

Já que não podemos ter uma fração do cupom, usamos a parte inteira

da divisão de p100

, onde p é o preço do aparelho, e indicamos essa

parte inteira por p100⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Assim, o total de cupons que concorreram ao

sorteio foi: (1 78 1 70 2 52 3 36) 1000× + × + × + × × = 360 000 cupons

O total de cupons adquiridos por pessoas que compraram aparelhos com preço superior à R$ 300,00 é o total de cupons adquiridos por pessoas que pagaram R$ 320,00 no aparelho, que é de:

3 36 000 108 000 cupons× = Portanto, a probabilidade pedida é de:

( ) 108 000P p 300360 000

> = ⇔ ( ) 3P p 30010

> =

b) De acordo com o enunciado, chamando de r(p) a função a ser analisada, temos:

( ) 2r(p) n(p) x p 115 0,25p p 0,25p 115p= = − ⋅ = − +

Assim, tal função r(p) tem como gráfico uma parábola de concavidade voltada para baixo, sendo as raízes

0 e 115 4600,25

=

O valor de p que maximiza a receita será dado pela abscissa xv do vértice da função r(p):

1150,5Vx = − ⇔−

230Vx =

Logo, o valor de p que maximiza a receita é de R$ 230,00 .

QUESTÃO 07 Sejam dadas as funções 2( ) 8 / 4 xf x = e ( ) 4xg x = . a) Represente a curva ( )y f x= no gráfico abaixo, em que o eixo vertical fornece 2log ( )y . b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações

( ) ( )( ) / ( ) 1

f z g yf y g z

=⎧⎨

=⎩

Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.

FOLHA DE RESPOSTAS:

Resolução

a) Reescrevendo as funções f e g, temos: 3

3 42 2 2

2 2

8 2( ) 24 (2 )

( ) 4 (2 ) 2

xx x

x x x

f x

g x

−⎧= = =⎪

⎨⎪ = = =⎩

Como o gráfico fornece, no eixo das ordenadas, o logaritmo de

( )y f x= na base 2, fazemos: 3 4

2 2 2log log ( ) log 2 3 4xy f x x−= = = − Assim, o gráfico de 2log y em função de x é uma reta decrescente, de coeficiente angular 4− , representada abaixo:

r (p)

p 0 460

xV

3

34



4

b) O sistema pedido, sendo ( ) 0g z ≠ , z∀ ∈ , é dado por:

3 4 2

3 4 2

( ) ( )( ) ( ) 2 2

( ) 1 ( ) ( ) 2 2( )

z y

y z

f z g yf z g y

f yf y g z

g z

−

−

=⎧ ⎧= =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨= = =⎪⎩⎪ ⎩⎩

3 4 2 2 4 33 4 2 4 2 3

z y y zy z y z

− = + =⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨

− = + =⎩ ⎩

1212

y

z

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

QUESTÃO 08

O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura abaixo mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.

a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.

Resolução a) Observe a figura abaixo:

30° 30°

M

A área do quadrilátero ABCD pode ser calculada como a soma das áreas dos triângulos ABD e BCD. Para calcularmos essas áreas, vamos obter antes as medidas de DB e AM, lembrando que a pipa é simétrica com relação a AC (M é a intersecção de AC com BD ). Observe que o triângulo ABD é um triângulo isósceles e portanto os ângulos em relação à base BD são congruentes. Como o ângulo

ˆBCD é 60º, fica evidente que os ângulos restantes são também iguais a 60º (para a soma dos ângulos internos ser 180º) e portanto o triângulo ABD é também equilátero, com 50BD = Já o triângulo BDA é retângulo em A (pela simetria). Assim, por Pitágoras, 2 2 2BD AB AD= + . Temos ainda pela simetria que AB AD= (e portanto o triângulo é isósceles) e que, portanto,

2 250 2 25 2AD AD= ⇒ = Agora podemos fazer:

( )2 350 5025 2(60 ) 22 2 2 2

625 625 3 625( 3 1)

ABD BCDAB AD BC CD senA A A

A A cm

Δ Δ

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ °= + = + = +

= + ⇒ = +

b) Sabemos que a vareta que liga os vértices B e D é um arco de circunferência que tangencia as arestas AB e AD em B e D respectivamente. Para encontrar o comprimento dessa vareta, vejamos antes onde se encontra o centro desse arco (chamemos de

O) e o ângulo que ele faz ( DOB ). Pela simetria, sabemos que o centro se encontra sobre a reta AC e, devido à tangência, sabemos que o ângulo entre o raio OD e o segmento AD deve ser reto. Sendo assim, o ponto O deve pertencer ao interior da pipa, como na figura abaixo, já que > °90ADC .

O

M 45º

45º

45º 25 2

Note ainda que o ângulo 45ADM = ° pois o triângulo ABD é isósceles e que por isso 90 45ADO MDO= ° ⇔ = ° . Analisando a figura, observamos que o triângulo DAB é congruente ao triângulo DOB. Sendo assim, o valor do raio (OD) é igual a

= 25 2AD cm . Sendo assim, o comprimento do arco, que mede 90°, é:

90 25 22 25 2360 2

c c cm= π ⋅ ⋅ ⇒ = π

QUESTÃO 09

Considere a matriz 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, cujos coeficientes são

números reais. a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A , calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. b) Suponha, agora, que 0ija = para todo elemento em que j i> , e

que 1ija i j= − + para os elementos em que j i≤ . Determine a matriz

A , nesse caso, e calcule sua inversa, 1A− . Resolução

a) Dada uma matriz 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, seu determinante é dado por

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det .= + + − − −A a a a a a a a a a a a a a a a a a a Observando os índices dos elementos que estão em cada parcela, percebemos que cada um desses elementos pertencem a uma única linha e a uma única coluna. Note que, ao alocar os elementos nulos, caso três deles estejam em uma mesma linha ou em uma mesma coluna, o valor do determinante é necessariamente nulo. Precisamos agora analisar os casos em que todas as linhas e todas as colunas apresentam ao menos um elemento não nulo. Para a matriz 3x3 com 3 elementos não nulos, isso só é possível se tivermos exatamente um elemento não nulo em cada linha e em cada coluna. Provemos então que o determinante dessa matriz é o produto dos termos não nulos, eventualmente com uma troca de sinal: Suponha, por exemplo, que 11 0,≠a 22 0≠a , 33 0≠a e os outros elementos são nulos. Substituindo tais valores no determinante, temos:

11 22 33 22 11 33 11 22 33det 0.0.0 0.0.0 0. .0 .0.0 0.0.= + + − − − =A a a a a a a a a a Como 11 22 33 0a a a ≠ , isso implica que o valor do determinante é não nulo. Analogamente para os demais casos de matrizes com exatamente um elemento não nulo em cada linha e em cada coluna, podemos chegar ao mesmo resultado. Assim, chega-se à conclusão de que, para que o determinante seja não nulo, devemos alocar cada elemento não nulo em uma única linha e em uma única coluna.



5

Logo, temos: 9 possibilidades de alocar o primeiro elemento não nulo na matriz; 4 possibilidades de alocar o segundo elemento não nulo na matriz; 1 possibilidade de alocar o terceiro elemento não nulo na matriz, produzindo 9.4.1 = 36 possibilidades. O espaço amostral é o total de maneiras de colocar três elementos em 9 lugares (visto que os demais lugares são necessariamente ocupados por zeros), que é dado por 9.8.7 = 504 possibilidades

Assim, a probabilidade pedida é de 36 1P504 14

= =

b) A partir da lei de formação da matriz A, dada no enunciado, temos que:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 30 , 2 2 1 1, 3 2 1 2.0 0 3 3 1 1

a a aa a aa a a

⎧= − + = = − + = = − + =⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪= = − + = = − + =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= = = − + =⎩ ⎩⎩

Portanto, 1 0 02 1 03 2 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e, pela definição de A– 1, temos:

1

1 0 0 1 0 02 1 0 0 1 03 2 1 0 0 1

a b cA A I d e f

g h i

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = ⇒ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Podemos obter os elementos da inversa resolvendo os sistemas abaixo:

112 0 2

3 2 0 1

002 1 1

3 2 0 2

002 0 0

3 2 1 1

aaa d d

a d g g

bbb e e

b e h h

ccc f f

c f i i

⎧ == ⎧⎪ ⎪+ = ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪+ + = =⎩⎩⎧ == ⎧⎪ ⎪+ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + = = −⎩⎩⎧ == ⎧⎪ ⎪+ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + = =⎩⎩

Logo, 11 0 0

A 2 1 01 2 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

QUESTÃO 10

Suponha que :f → seja uma função ímpar (isto é, ( ) ( )f x f x− = − ) e periódica, com período 10 (isto é, ( ) ( 10)f x f x= + ). O gráfico da função no intervalo [ ]0,5 é apresentado abaixo. a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [ ]10,10− , e calcule o valor de (99)f . b) Dadas as funções 2( ) 4g y y y= − e ( ) ( ( ))h x g f x= , calcule (3)h e determine a expressão de ( )h x para 2,5 5x≤ ≤ . FOLHA DE RESPOSTAS:

Resolução a) Observando que se a função f é ímpar, seu gráfico é simétrico em relação à origem, de modo que o gráfico no intervalo [ ]5,0− é dado por:

Como o intervalo [ ]5,5− tem comprimento 10, que é exatamente o período da função f, o restante do gráfico já está determinado pela periodicidade da função:

Além disso, novamente pela periodicidade da função, temos:

(99) (89) (9) ( 1)f f f f= = = = − Vamos, então, calcular ( 1)f − :

No intervalo 5 5,2 2

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦, a função f tem como gráfico um segmento de

reta, passando pelos pontos ( )0,0 e 5 ,52

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, cujo coeficiente angular

vale: 5 0 25 02

m −= =

−

Portanto, como esse segmento passa pela origem (coeficiente linear nulo), nesse trecho a função f assume a expressão ( ) 2f x x= . Assim:

( 1) 2 ( 1) 2f − = ⋅ − = − ⇔ (99) 2f = −

b) No intervalo 5 ,52⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, a função f tem como gráfico um segmento de

reta, passando pelos pontos 5 ,52

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e ( )5,0 , cujo coeficiente angular é

dado por: 0 5 255

2

m −= = −

−

Como passa pelo ponto ( )5,0 , segue que, nesse intervalo: 0 ( 2) ( 5) 2 10 ( ) 2 10y x y x f x x− = − ⋅ − ⇔ = − + ⇔ = − +

Portanto, fazendo a composição ( ) ( )h x g f x= :

[ ] [ ] [ ] [ ]22( ) ( ( )) ( ) 4 ( ) 2 10 4 2 10h x g f x f x f x x x= = − ⋅ = − + − ⋅ − + ⇔ 2( ) 4 32 60h x x x= − +

QUESTÃO 11

No desenho abaixo, a reta y ax= ( 0a > ) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2,0) , resolva as questões abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a



6

b) Supondo, agora, que 3a = , determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.

Resolução

a) Sendo a reta OA de equação reduzida y a x= ⋅ , com 0a > , seu

coeficiente angular é a. Como a reta BC é perpendicular à reta OA ,

temos que 1BCm

a= − . Além disso, como o ponto (2,0)B = pertence à

reta BC , sua equação reduzida será dada por: 1 1 2( ) 0 ( 2)B BC By y m x x y x y xa a a

− = ⋅ − ⇔ − = − ⋅ − ⇔ = − ⋅ +

O ponto C, sendo um ponto do eixo das ordenadas, tem abscissa nula ( 0Cx = ). Como ele também pertence à reta BC , substituindo suas coordenadas na equação da reta segue que:

1 2 20C Cy ya a a

= − ⋅ + ⇔ =

Assim, 20 ,Ca

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

b) Se 3a = , a reta OA tem equação 3y x= , enquanto que a reta

BC tem equação 1 23 3

y x= − ⋅ + . Sendo o ponto A comum às duas

retas (intersecção), fazemos: 135

1 2 33 3 5

A A A

A AA

y x x

y x y

⎧= =⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨= − ⋅ +⎪ ⎪ =⎩ ⎪⎩

1 3,5 5

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Para que uma circunferência centrada em A seja tangente ao eixo das

abscissas, seu raio deve ser igual à ordenada de A, 35Ay = .

yA

Assim, a equação reduzida dessa circunferência é dada por:

2 2 2( ) ( )A Ax x y y r− + − = ⇔2 2 21 3 3

5 5 5x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

QUESTÃO 12 Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes no período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?

Resolução Por hipótese, o total de participantes do site A é a soma dos termos de uma PG cm a0 = 150, a1 = 100 e q = 2 a partir de a1; Já o total de participantes do site B é a soma dos termos de uma PA com b0 = 2200, b1 = 100 e r = 100 a partir de b1.

Assim, após n semanas, cada site terá: ( )

n1

n 0

1 nn 0

a (q 1)A aq 1

b b nB b

2

⎧ −⎪ = +⎪ −⎨

+⎪= +⎪⎩

, onde bn

é o termo geral da PA que vale ( )1 1 100nb b n r n= + − = . Com isso, podemos obter uma expressão para cada site em função de n:

( )( ) ( )

nn n1

n 0

1 n 2n 0

a (q 1)A a 150 100 2 1 50 100 2 (I)q 1

b b n 100 100n nB b 2200 50n 50n 2200 (II)

2 2

⎧ −⎪ = + = + ⋅ − = + ⋅⎪ −⎨

+ +⎪= + = + = + +⎪⎩

a) Após 6 semanas (para 6n = ), substituindo em (I), temos que o total de associados ao site A será de 6

6 50 100 2 6450A = + ⋅ = ; Já o número total de membros atraídos na sexta semana pode ser calculado pela subtração da quantidade total de membros na sexta e na quinta semanas:

( ) ( )6 56 6 5 50 100 2 50 100 2 100 32 3200a A A= − = + ⋅ − + ⋅ = ⋅ =

Logo o site A espera atrair 3200 novos membros daqui a 6 semanas e ter 6450 associados. b) Para saber a semana na qual B terá 10 000 membros, basta fazer

1000nB = . Logo, da expressão (II):

2 2 12 ou 50 50 2200 10000 156 0

13n

n n n nn=⎧

+ + = ⇔ + − = ⇔ ⎨= −⎩

Descartando a raiz negativa, temos que na 12ª semana o site B terá 10 000 membros.



7

INGLÊS

QUESTÃO 13

(Adaptado de http://cityroom.blogs.nytimes.com/2008/09/17/a-new-license-for-more-than-

just-driving/. Acessado em 02/10/2009)

a) O texto acima corresponde ao modelo de um documento. De que documento se trata? Qual seria a cor dos olhos da sua pretensa portadora? b) Em que mês a pretensa portadora do documento teria nascido e a que se refere a data expressa pela sequência numérica ”09-30-08”?

Resolução a) O documento se trata de uma carteira de habilitação. Para chegar a essa conclusão, o candidato precisa conhecer o termo driver license, que corresponde à nossa carteira de motorista. Quanto aos olhos da portadora, pode-se concluir que são castanhos através da informação BR que completa a categoria EYES (olhos). BR faz alusão a brown, que significa marrom/castanho em português. b) Para acertar a primeira parte da questão, o candidato precisa conhecer o significado de date of birth (data de nascimento), de forma a encontrar a informação necessária, e a especificidade da notação de datas do inglês. Em inglês, as datas são escritas no formato (mês/dia/ano) ao invés do padrão brasileiro (dia/mês/ano). No modelo de documento apresentado, a data que completa a categoria date of birth é 06-09-85. Observamos, então, que a pretensa portadora teria nascido no mês 06, ou seja, junho. A segunda parte da questão depende do conhecimento do termo issued, que significa “emitido”, “expedido”. Assim, a seqüência numérica 09-30-08 se refere à data de emissão do documento.

QUESTÃO 14

(http://leloveimage.blogspot.com Acessado em 19/09/2009.)

a) O que, segundo o texto acima, é inevitável que aconteça? b) Isso que é inevitável pode, de acordo com o texto, ser apenas uma situação temporária ou pode se manter para o resto da vida. Em que outras circunstâncias essa situação pode acontecer?

Resolução a) Segundo o texto, é inevitável que um cara e uma garota se apaixonem, um pelo outro. Para acertar a questão, o aluno deve ter conhecimento da expressão fall for, que significa “apaixonar-se por”. Para esclarecer as alternativas a e b, segue a tradução do texto: “Um cara e uma garota podem ser apenas amigos, mas em um momento ou em outro, eles irão se apaixonar um pelo outro... talvez temporariamente, talvez no momento errado, talvez tarde demais, ou talvez para sempre.” b) A questão pede pela simples identificação de informações dadas pelo texto. Por meio da tradução na resolução do item a, observamos que, além de poder ser temporária ou para o resto da vida, a situação também pode ocorrer no momento errado ou ocorrer tarde demais.

QUESTÃO 15 O excerto abaixo foi adaptado do conto “True Love” de Isaac Asimov. My name is Joe. That is what my colleague, Milton Davidson, calls me. He is a programmer and I am a computer. I am Milton’s experimental model. His Joe. Milton has never married, though he is nearly 40 years old. He has never found the right woman, he told me. One day he said, “I’ll find her yet, Joe. I’m going to find the best. I’m going to have true love and you’re going to help me. I’m tired of improving you in order to solve the problems of the world. Solve my problem. Find me true love.”

(T. Kral (org.), Being People – An Anthology. Washington, D.C.: USIA, s/d, p. 183.)

a) Do que Milton Davidson está cansado? b) Por que Milton Davidson não se casou e o que ele espera que Joe faça por ele?

Resolução a) Milton Davidson está cansado de melhorar seu computador de forma a resolver os problemas do mundo. Para chegar à resposta, o candidato precisava encontrar e compreender o seguinte trecho: I’m tired of improving you in order to solve the problems of the world. (“Estou cansado de melhorá-lo de forma a resolver os problemas do mundo”). Além disso, o candidato precisava saber que Davidson está se referindo ao computador no trecho, o que ele deve perceber pelo resto do excerto, em que Joe se apresenta como o computador de Davidson. b) Milton Davidson não se casou porque ele nunca encontrou a mulher certa. Essa informação é encontrada no trecho He has never found the right woman, he told me. Ele espera que Joe encontre o verdadeiro amor para ele. Essa informação, por sua vez, é encontrada no fim do texto, e completa o sentido do trecho referente ao item a (Solve my problem. Find me true love – “Resolva o meu problema. Encontre para mim o amor verdadeiro”).

QUESTÃO 16

(http://icanread.tumblr.com/post/160718206/by-unbeingdead Acessado em

21/09/2009.)

a) O texto faz referência a uma expectativa derivada de um fato ocorrido no passado. Que fato foi esse e qual era a expectativa? b) No caso relatado no texto, essa expectativa se concretizou? Justifique sua resposta.

Resolução a) O fato ocorrido foi a garota ter ficado grávida aos 19 anos e gerou a expectativa de que este acontecimento arruinaria sua vida. Para responder esta questão o candidato deveria ter um conhecimento básico de vocabulário, pois na primeira frase temos got pregnant, que significa ficar grávida, e também o cognato ruin, que significa arruinar. b) Não, pois a garota em questão afirma que na verdade a criança salvou sua vida, como vemos na segunda frase, em que a mãe se dirige a criança dizendo :The truth is, you saved it – A verdade é, você a salvou (referindo-se à sua vida).



8

QUESTÃO 17

Although people around the world wash their hands with water, very few wash their hands with soap at critical moments. Global Handwashing Day will be the centerpiece of a week of activities that will mobilize millions of people across five continents to turn handwashing with soap before eating and after using the toilet into an ingrained habit. This could save more lives than any single vaccine or medical intervention, cutting deaths from diarrhea by almost half and deaths from acute respiratory infections by about a quarter.

(Adaptado de http://www.globalhandwashingday.org/Global_Handwashing_Day_2nd_Edition.pdf.

Acessado em 16/07/2009.) a) Que hábito a campanha descrita no texto pretende incentivar? b) Segundo o texto, em quanto esse hábito pode reduzir as taxas de mortalidade?

Resolução a) A campanha descrita no texto é a Global Handwashing Day, que traduzindo, seria Dia Mundial de Lavar as Mãos, campanha esta que visa mobilizar as pessoas do mundo todo através dos cinco continentes, para transformar o ato de lavar as mãos com sabão antes das refeições e após utilizar o banheiro em um hábito arraigado. Para chegar a esta conclusão o candidato deveria dominar o phrasal verb turn into = transformar, e também a palavra ingrained = arraigado/enraizado, palavra que podia ser inferida pelo contexto. b) Segundo o texto, este hábito poderia salvar mais do que vacinas simples ou intervenções médicas, reduzindo os números de mortes por diarréia em quase metade e as mortes por infecções respiratórias agudas em um quarto, como podemos ver neste trecho: This could save more lives than any single vaccine or medical intervention, cutting deaths from diarrhea by almost half and deaths from acute respiratory infections by about a quarter.

QUESTÃO 18

If software were less expensive, would peoplepirate less? Research conducted to answer thisquestion suggests that many people pirateprograms regardless of their price tag. Theeconomic factor provides the pirate with a meansto justify his or her actions, but it isn't a realmotivator. A common justification for this kind ofbehavior is that software companies are enormous

and make billions of dollars; making one single unauthorized copy of the software wouldn't hurt them.

(Adaptado de http://computer.howstuffworks.com/pirate-software1.htm. Acessado em

10/11/2009.) a) Segundo o texto, o que o resultado da pesquisa relacionada à pirataria de software sugere? b) Por que, de acordo com o texto, as pessoas acham que é moralmente justificável piratear programas de computadores produzidos por grandes empresas?

Resolução a) A pesquisa sugere que as pessoas pirateiam programas de computador independentemente de seus preços (Research conducted to answer this question suggests that many people pirate programs regardless of their price tag). Além disso, sugere que o fator econômico é apenas usado pelas pessoas que pirateiam como um meio de justificar suas ações (The economic factor provides the pirate with a means to justify his or her actions, but it isn’t a real motivator). b) De acordo com o texto, uma justificativa comum para esse tipo de comportamento é que as companhias de software são enormes e ganham bilhões de dólares; fazer uma única cópia não-autorizada do software não as causaria dano (A common justification for this kind of behavior is that software companies are enormous and make billions of dollars; making one single unauthorized copy of the software wouldn’t hurt them).

QUESTÃO 19

(Adaptado de http://www.post-

gazette.com/robrogers/Default.asp?m=5& d=31&y=2005. Acessado em 21/09/2009.)

a) A terceirização de empregos é fonte de preocupação de um dos personagens do cartum. Identifique dois outros problemas do “mundo real” apontados pelos personagens. b) Na quarta fala, a palavra “real” é utilizada como um advérbio para enfatizar a reação do personagem face aos problemas apontados. Qual é essa reação?

Resolução a) A terceirização é exposta pela segunda fala (outsourced jobs). Nessa mesma fala, pode-se citar dois problemas: custos realmente altos de moradia e assistência médica (real high housing and health care costs). Na terceira fala, há outra possibilidade: pensões que estão realmente diminuindo (real vanishing pensions – referindo-se a planos de previdência oferecidos por empresas, cada vez menos concedidos). b) O personagem responsável pela quarta fala está desanimado em relação ao mundo “real” (aquele depois da escola), devido aos problemas apontados pelas falas precedentes, sendo que sua reação é sentir-se realmente tentado a permanecer na escola. (I’m real tempted to stay in school).

QUESTÃO 20 ACTIVE DUTY PERSONNEL, 1998

Pie charts should rarely be used. It is more difficult for the eye to discern the relative size of pie slices than it is to assess relative bar length. In the example above, it is difficult to figure out from the pie chart whether the Navy or Air Force is larger whereas from the bar chart it is obvious.

(Adaptado de http://lilt.ilstu.edu/gmklass/pos138/datadisplay/badchart.htm. Acessado em 21/09/2009.) a) A que se referem as porcentagens informadas nos gráficos? b) Por que, segundo o texto, os gráficos de barra são considerados mais eficazes do que gráficos de setores circulares (popularmente denominados “gráficos de pizza”)?

Resolução a) A porcentagem se refere ao pessoal na ativa do exército (army), na força aérea (air force), na marinha (navy) e os fuzileiros navais (marines) no ano de 1998. b) Segundo o texto, os gráficos de barra são mais eficazes do que os gráficos circulares (“gráficos pizzas”), pois é mais difícil discernir o tamanho relativo das “fatias da pizza” do que o comprimento das barras (bar length). Principalmente quando as fatias estão bem próximas em tamanho, como na figura acima (na qual, segundo o texto, é difícil descobrir - através do quadro circular - qual seria maior: a Marinha ou a Força Aérea, enquanto que, no gráfico de barras, isso fica bastante óbvio). Nesta questão, o candidato deveria novamente dominar os phrasal verbs, que aqui aparecem representados pelo figure out (“descobrir”), além disso, o candidato deveria ter conhecimento das conjunções whether (“se”), e whereas (“enquanto que”).

Global Handwashing Day October 15, 2009



9

QUESTÃO 21 Cocooning Cocooning describes a phenomenon whereby people will want to stay inside the safety and comfort of their homes in gated communities. This is partially due to the constant circulation of frightening images in the mass media. Thus, people will do more from their homes; they will spend more money to make their homes comfortable and complete. As a result, jobs related to home entertainment systems and home remodeling will abound.

(Adaptado de http://www.careerplanner.com/Career-Articles/Hot_Jobs.cfm#HotJobs. Acessado em 18/10/2009.) a) A que fenômeno se refere o termo “cocooning”? b) A que se deve esse fenômeno, segundo o autor do texto?

Resolução a) Para identificar a resposta desse item, é preciso apenas traduzir corretamente o trecho em que a informação está localizada (no caso, a primeira frase do texto): Cocooning descreve um fenômeno segundo o qual as pessoas irão querer ficar dentro da segurança e do conforto de suas casas em condomínios fechados. (Cocooning describes a phenomenon whereby people will want to stay inside the safety and comfort of their homes in gated communities). Palavras que podem gerar confusão são: whereby (“segundo o qual”, possível de ser compreendida pelo contexto) e gated communities (“condomínios fechados”). b) Seguindo o modelo do item anterior, é necessário entender e traduzir corretamente o trecho que se segue ao pedido no item a: Isso se deve parcialmente à circulação constante de imagens aterrorizantes na mídia de massa (This is partially due to the constant circulation of frightening images in the mass media)

QUESTÃO 22

This playful satire is the third novel by Brazilian singer and composer Buarque. The plot revolves around Jose Costa, a Brazilian writer who ends up in Budapest, where he becomes absorbed by the Hungarian language. As he scans a Hungarian grammar book, he meets a woman named Krista, who offers to teach him the language and later becomes his lover.

Although its plot is fanciful, Buarque’s novel raises serious questions about recreating one's life in a foreign language as exotic as Hungarian, said to be the only one on earth respected by the devil. Recommended for readers of imaginative fiction and the linguistically curious -- Jack Shreve. (Adaptado de http://www.hclib.org/pub/bookspace/discuss/?bib=1055640&Tab=Reviews. Acessado em 12/09/2009.) a) Para o autor da resenha acima, o romance Budapeste, apesar de ser uma sátira divertida, levanta questões sérias. Sobre o que seriam essas questões? b) Como a língua húngara é qualificada por Jack Shreve e o que, segundo esse autor, costumam dizer sobre essa língua?

Resolução a) Ele levanta questões sérias sobre a recriação da vida de alguém em uma língua estrangeira tão exótica quanto o húngaro. Essa informação está contida no seguinte trecho: Buarque’s novel raises serious questions about recreating one's life in a foreign language as exotic as Hungarian. b) Como o trecho do item a deixa claro, Jack Shreve qualifica a língua húngara como muito exótica. Além disso, ele afirma que costumam dizer que o Húngaro é a única língua na terra a ser respeitada pelo demônio (said to be the only one on earth respected by the devil).

QUESTÃO 23

Stefan Zweig was a celebrated European intellectual and writer. Because he was Jewish, in 1934 he was forced by the Nazis to flee his country of birth, Austria, and became stateless. He wrote about being stateless in his autobiography The World of Yesterday: “The fall of Austria brought with it a change

in my personal life: my Austrian passport became void and I had to request an emergency white paper from the English authorities, a passport for the stateless... Every foreign visa on this travel paper had, after that, to be specially pleaded for, because all countries were

suspicious of the 'sort' of people of whom I had suddenly become one: a man without a country. Since the day when I had to depend upon identity papers or passports that were indeed alien, I ceased to feel as if I quite belonged to myself.” (Adaptado de C. Pouilly, Stateless Achievers, em Refugees Magazine, 147, n. 3, 2007, p. 19.)

a) O que o escritor Stefan Zweig teve que fazer em 1934? Por quê? b) Que tipo de passaporte Zweig teve que obter depois de 1934? Esse novo passaporte o fez se sentir como?

Resolução a) Pelo fato de ser judeu, Stefan Zweig foi forçado pelos nazistas a abandonar seu país de origem, a Áustria, e se tornou um despatriado (Because he was Jewish, in 1934 he was forced by the Nazis to flee his country of birth, Austria, and became stateless). b) Como seu passaporte Austríaco se tornou nulo (void), Stefan teve que pedir um passaporte para despatriados (an emergency white paper) às autoridades Inglesas. Cada visto (visa) neste passaporte tinha que ser especialmente requerido (pleaded), porque todos os países estavam desconfiados do tipo de pessoa que ele tinha se tornado: um homem sem um país (because all countries were suspicious of the 'sort' of people of whom I had suddenly become one: a man without a country). Com esse novo passaporte ele parou de sentir como se ele pertencesse a si mesmo, como podemos ver na última frase: I ceased to feel as if I quite belonged to myself.

QUESTÃO 24 THE SLOW FOOD REVOLT The “slow food” movement is a revolt against the fast pace forced on us by industrial civilization, specifically fast-food culture. This frenetic pace results from the notion that productivity outweighs all else. To counteract the ill effects of frenzied living, the movement proposes replacing industrial agriculture with organic agriculture, nurturing more discriminating palates and promoting fair financial reward for conscientious food producers.

(Adaptado de https://www.adbusters.org/magazine/slow-food-revolt.html. Acessado em 16/07/2009.) a) Que tipo de vida o movimento tratado no texto tenta combater? Que idéia, segundo o texto, orienta esse tipo de vida? b) Indique duas propostas concretas do movimento descrito no texto para melhorar a qualidade de vida das pessoas.

Resolução a) O movimento tenta combater um tipo de vida de ritmo rápido, exemplificado e impelido pela cultura fast-food (The “slow food” movement is a revolt against the fast pace forced on us by industrial civilization, specifically fast-food culture). Esse tipo de vida acelerado é orientado pela idéia de que a produtividade pesa mais do que todo o resto (This frenetic pace results from the notion that productivity outweighs all else). b) Temos algumas propostas do movimento: - Substituir da agricultura industrial pela agricultura orgânica (replacing industrial agriculture with organic agriculture). - Promover recompensas financeiras justas para produtores conscienciosos/meticulosos de alimentos (promoting fair financial reward for conscientious food producers). - Nutrir paladares mais discriminantes (nurturing more discriminating palates). Note que as duas últimas propostas são também consequências da substituição da agricultura industrial pela orgânica, que parece ser a proposta mais concreta das três.

OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: www. · Uma confeitaria produz dois tipos de bolos ... Laura...

Documents

Transcript of OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: www. · Uma confeitaria produz dois tipos de bolos ... Laura...