Oscilações · Applet “Damped” (sem fricção) (mudar m e k e observar x(t)) [Esperar gráfico...
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Oscilações
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Oscilações
https://www.youtube.com/watch?v=U39RMUzCjiU
Período, Frequência e Frequência Angular
𝑇 [s]
𝑓 =1
𝑇[s−1 = Hz] Número de oscilações completas
por segundo
𝜔 =2𝜋
𝑇[rad/s]
Períodos Típicos
T ~ 10-21 s (oscilações nucleares);
T ~ 10-15 s (oscilações eletrônicas em
átomos);
T ~ 10-13 s (oscilações atômicas em
moléculas);
T ~ 1 s (pêndulos e molas comuns)
Oscilação 1D de partículas
𝑥
𝑡
A cada 𝑇, tanto a posição 𝑥 como a velocidade 𝑣 se repetem.
Oscilação 2D de partículas
𝑦
𝑥
A cada 𝑇, tanto a posição 𝐫 como a velocidade 𝐯 se repetem.
Oscilação Harmônica Simples
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 2𝜋𝑇𝑡 + 𝜙
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔2cos 𝜔𝑡 + 𝜙 = −𝜔2𝑥(𝑡)
0 𝐴−𝐴𝑥
Amplitude Período
Fase
Reconhecendo 𝐴, 𝑇 e 𝜙 no gráfico de 𝑥 𝑡
𝑇𝐴
−𝐴
2 m 2 = 2 cos𝜙
𝜙 = ±𝜋
4
𝑣 0 > 0
− sin𝜙 > 0
𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔sin 𝜔𝑡 + 𝜙
𝜙 = −𝜋
4𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑥 𝑡 = (2 𝑚) cos2𝜋
(1 𝑠)𝑡 +𝜋
4𝑥 𝑡 = (2 𝑚) cos
2𝜋
(1 𝑠)𝑡 −𝜋
4
Molas e o OHS
Que tipo de oscilação uma massa presa a uma mola executa?
Applet “SpringSHM” (Graphs, Displacement)
Parece um OHS, mas é mesmo?
Para responder tenho que verificar se 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 +
Lei de Hooke (1678)
By Svjo - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25398333
“Uma mola faz uma força proporcional ao quanto ela foi
esticada ou comprimida”
Lei de Hooke em forma matemática
𝑥𝑒𝑞𝑥
𝐹 𝑥 = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒𝑞)
Obs: a mola faz força nos dois extremos
𝐿𝑒𝑞 𝐿𝑒𝑞𝐿𝑒𝑞
𝐅 = 𝑘 Δ𝐿 𝐅 = 𝑘 Δ𝐿′
Δ𝐿 Δ𝐿′
Lei de Hooke só vale para deformações modestas
By Svjo - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25795521
deformação
forç
a
O que determina o 𝑘 da mola?
𝑘~𝑑4
𝑛𝐷3
𝑑
𝐷
𝑛 = 6
𝑑
𝐷
𝑛 = 3 ou 4
A equação de Newton
𝑚𝑎(𝑡) = −𝑘𝑥(𝑡)
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Uma massa 𝑚 sujeita a uma força elástica de constante 𝑘 executa
uma OHS com 𝜔 = 𝑘/𝑚 em torno do ponto de equilíbrio
0 𝑥
𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔2cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Testando uma possível solução:
Só é solução caso: 𝑚𝜔2 = 𝑘
Construindo intuição sobre 𝑇 = 2𝜋𝑚
𝑘
Applet “Damped” (sem fricção) (mudar m e k e observar x(t)) [Esperar gráfico completar, alterar A ou v(0) e apertar Start de novo. Vai desenhar o novo gráfico sobre o antigo]
As condições iniciais 𝑥 0 e 𝑣(0) fixam 𝐴 e 𝜙
Applet “Damped” (sem fricção)[Esperar gráfico completar, alterar Amplitude ou v(0) e apertar Start de novo. Vai desenhar o novo gráfico sobre o antigo]
Applet “SpringSHM” (variar condições iniciais)
Conexão entre OHS e MCU
Energia Potencial Elástica
𝑑𝑊 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥
𝑊𝐴→𝐵 = 𝑥𝐴
𝑥𝐵
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
Força elástica−𝑘𝑥 é conservativa e 𝑈 𝑥 =𝑘𝑥2
2
O trabalho da força elástica
𝑑𝑥𝐹
𝑥 𝑥𝐹𝑑𝑥
= 𝑥𝐴
𝑥𝐵
−𝑘𝑥 𝑑𝑥 = −1
2𝑘𝑥𝐵2 +
1
2𝑘𝑥𝐴2
= 𝑈 𝑥𝐴 − 𝑈(𝑥𝐵)
Mola relaxada, 𝑈 = 0
Mola comprimida, 𝑈 =𝑘𝑑2
2
Mola esticada, 𝑈 =𝑘𝐷2
2
Caso geral: 𝐹 𝑥 = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒𝑞) e 𝑈 𝑥 =𝑘(𝑥−𝑥𝑒𝑞)
2
2
𝑥𝑒𝑞𝑥
𝑑
𝐷
Conservação de Energia só acontece quando apenas forças conservativas trabalham
𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝑊𝐴→𝐵𝑐 +𝑊𝐴→𝐵
𝑛𝑐 = 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵
0
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Checando a conservação da energia
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 + 𝜙
𝐸 𝑡 = 12𝑘𝑥 𝑡 2 + 1
2𝑚𝑣(𝑡)2
= 12𝑘𝐴2cos2 𝜔𝑡 + 𝜙 + 1
2𝑚𝐴2𝜔2sin2 𝜔𝑡 + 𝜙
𝜔 = 𝑘/𝑚
= 12𝑘𝐴2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(apenas força elástica presente)
O que fixa o valor constante da energia?
𝑚𝑎 𝑡 = −𝑘𝑥(𝑡)
0 𝑥𝐴−𝐴
12𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2 = 12𝑘𝐴2
𝐾
ℎ𝑚𝑎𝑥
𝐾
0 𝐴−𝐴
𝐸
12𝑘𝑥2
𝑥
𝑚𝑔𝑦
𝑦
𝐸
Análise do movimento com o gráfico de 𝑈(𝑥)
Problema desafio
Applet “bar_oscillator”: qual é o período da oscilação da barra?
