Oscilações - MHS

8/9/2019 Oscilações - MHS

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Curso: EngenhariaDisciplina: complementos de Física

Assunto: Oscilações

Introdução

OscilaçõesQuando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de um certo instante começa

a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O tempo que o corpo gasta para voltar a percorrer os mesmos pontos da trajetória é chamado de período.

No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais comoo pêndulo de um relógio ou um sistema massa - mola, quando um desses conjuntos descrevem um vai e

vem em torno das suas posições de equilíbrio; Órbita da Lua, exemplo de movimento periódico; Omovimento das marés é provocado, principalmente pela atração da gravidade lunar. O movimento dasmarés é periódico.

O movimento harmônico simples - MHSO movimento harmônico simples - MHS é movimento periódico, e portanto o objeto passa

novamente por uma dada posição depois de um período T . O objeto oscila periodicamente em torno deuma posição de equilíbrio sob a ação de uma força restauradora cuja intensidade é proporcional àdistância do ponto à posição de equilíbrio. Período (T ) é o inverso da a frequência ( f ) de oscilação:

Um exemplo típico de aparato que se movimenta segundo um MHS é sistema massa-mola. Umamola tem uma de suas extremidades presa em uma parede rígida e a outra extremidade está presa em umcorpo que está sobre um superfície sem atrito.

Quando deslocado de sua posição de equilíbrio o corpo começa a oscilar.


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À medida que o tempo evolui, o corpo ocupa as diversas posições mostradas na figuraà seguir.

Em cada posição ocupada, o corpo terá uma velocidade correspondente, como veremosmais adiante.

Também em cada posição, ele terá uma aceleração correspondente. Tanto a aceleração quanto avelocidade variam à medida que a posição se altera.

O gráfico da posição em função do tempo toma diversas formas quando modificamosa amplitude, frequência ou constante de fase.

Quando alteramos a amplitude de oscilação, o movimento se consuma paradeslocamentosmáximos diferentes, mascom mesma frequência e mesma constante de fase. Desse modo os dois movimentos alcançam osextremos no mesmo instante.


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Quando aumentamos a frequência (e consequentemente diminuímos o período), os movimentosterão a forma descrita a seguir onde a função de maior período é a vermelha e a de menor período é azul.

Quando variamos a constante de fase, a função mantém a forma, mas sofre um deslocamento,como é mostrado a seguir.

Como o movimento é periódico, teremos que as posições se repetem depois de umtempo igual ao período T , ou seja:


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Equações horárias do MHS:

Vamos considerar um corpo que descreve um movimento circular e uniforme, com velocidadeconstante v em um círculo de raio R . O vetor posição ⃗ (t) que descreve a trajetória do corpo temmódulo constante, e suas projeções nos eixos cartesianos são dadas por:

Seja o ponto Q projeção ortogonal de P no eixo orientadoOx. Enquanto P descreve a circunferência em MCU, o ponto Q semove num e noutro sentido do diâmetro horizontal orientado Ox. A

posição de Q no eixo Ox é dada pela abscissa x, que pode serobtida no triângulo OPQ. Pela definição de cosseno:

X = R . COS Como R = a, isto é , o raio da circunferência igual à

amplitude a , temos : X = a . COS . O ângulo é o espaço angular do ponto P que realizaMCU. Sendo = + .Assim a equação horária do espaço é descrita:

= .cos( + ) Um objeto que se desloca em MHS tem a sua posição descrita pela equação

Quando a constante de fase assume o valor = − /2 a equação anterior, que descreve omovimento do corpo, tem a forma:

Assim P descreve a circunferência com MCU, o ponto Q oscila em torno de O com MHS. Avelocidade angular do MCU é, no MHS denominada pulsação ou frequência angular e expressa emradianos por segundo ( rad /s ). O período T do MCU é o mesmo do MHS, pois a cada volta completa deP na circunferência corresponde uma oscilação completa de Q no diâmetro horizontal. Podemos então

escrever: = ou =


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MHS – A velocidadeA velocidade de Q em MHS pode ser obtida a partir da velocidade de P em MCU. No triângulo

destacado ABP da figura, a velocidade v de Q é a projeção da velocidade do ponto P no eixo Ox. Como osentido dessa velocidade é contrário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos ( - ).

V = -v p . sen Como v p = ou v p = a e = + ,

obtemos:

= − . ( + ) A velocidade no MHS também pode ser dado pela

variação do espaço pelo tempo, assim temos:

MHS – A aceleração

A aceleração de P’ em MHS pode ser obtida a partir daaceleração centrípeta de P em MCU. A aceleração P’ é a projeção daacp no eixo Ox. Como o sentido da aceleração é contrário ao sentido

positivo de Ox, acrescentamos o sinal negatico ( - ). = − .cos

=

.

=

.

=

+

Obtemos: = − . .cos( +) Como temos que a função horária do espaço é: = .cos( +) então podemos escrever que a aceleração

No MHS é = .

A aceleração no MHS também pode ser encontrada pela variação da velocidade pelo tempo ,assim temos:

=


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MHS – A Lei da força

Considerando um sistema massa – mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo que a resultantedas forças que atuam na massa é a força restauradora da mola, encontramos que:

Mas:

Então :

Exemplos:

1) Um bloco cuja a massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica K = 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x = 11 cm a partir da posição deequilíbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0.a) Quais são a frequência angular , a frequência e o período do movimento resultante?

b) Qual é a amplitude das oscilações?c) Qual é a velocidade máxima Vm do bloco e onde se encontra o bloco quando tem essa

velocidade?d) Qual é o módulo am

da aceleração máxima do bloco?e) Qual é constante de fase do movimento?

Solução:

a) = = /, =9,78 / = = , =1,56 = 1 = 11,56 = 0,64 640 b) Na ausência de atrito a energia mecânica se conserva assi a amplitude máxima é 11 cm, pois toda

que ele estiver nessa posição sua energia cinética será nula e a energia potencial elástica serámáxima.

c) á = . = 9,78 .( 0,11 ) = 1,1 . d) á = . = ( 9,78 ) .( 0,11 ) = 11 / e) No instante inicial temos t = 0 e x = xm assim usando a equação do espaço temos:

=

.cos(

+

)

→ =

.cos

→1=cos

assim o arco cosseno vale o rad.


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Corpo em Mola Vertical

Quando um corpo é pendurado em uma mola vertical existe uma força mg, para baixo, além daforça da mola. Se escolhemos o sentido de y positivo para baixo, então a força da mola sobre o corpo é –Ky, onde y é a distensão da mola. A força resultante sobre o corpo é , então:

= −+

Porém podemos reescrever a equação acima usando uma nova variável: (

=

+

) onde y0 =

mg/k é o que a mola é destendida quando o corpo está em equilíbrio. Substituindo y por y’ temos: = − ( + ) + → = −′− + usando o valor de y0 a equação fica: = −′−. + → = −′

Usando a 2ª Lei de Newton ∑ =. temos:− = . → − = ... → çã = cos(+ )

onde = .


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Exemplos:

1) Uma pessoa de 85 kg entra em uma carro de 2400 kg de massa, fazendo com que suas molassejam comprimidas de 2,35 cm. Se uma oscilação vertical é iniciada e supondo ausência deamortecimento, qual é a frequência de vibração, sobre as molas, do carro e do passageiro?

Solução:

→ →

2)

Um corpo de massa m está suspenso de uma mola vertical de constante de força igual a 1800 N

/m. Quando o corpo é puxado até 2,50 cm abaixo do equilíbrio e largado do repouso, ele oscilacom 5,50 Hz. a) Determine m.

b) Determine de quanto a mola está destendida, quando o corpo está em equilíbrio? c) Escreva as expressões para o deslocamento x , a velocidade vx e a aceleração ax, como funções

do tempo t. Solução:

→ → → a)

→ b) → c)

→


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Assim podemos definir a equação da frequência angular de oscilação e o período do pêndulo detorção:

Pêndulos

Os pêndulos fazem parte de uma classe de osciladores harmônicos simples nos quais a forçarestauradora está associada à gravidade, ao invés das propriedades elásticas de um fio torcido ou de umamola comprimida.

O pêndulo simples

O pêndulo simples é composto de um corpo suspenso através de um fio de massa desprezível, e

ele é posto a oscilar em torno de sua posição de equilíbrio. No seu movimento a corpo descreve um arco de circunferência. A componente do peso, tangencial

ao deslocamento é a força de restauração desse movimento, porque age no corpo de modo a trazê-lo devolta à sua posição central de equilíbrio.

A componente do peso, perpendicular ao deslocamento éequilibrada pela tração exercida pelo fio, de modo que a resultantedas forças tem a forma:

onde s é o deslocamento medido ao longo do arco quedescreve a oscilação, e o sinal negativo indica que a força age nadireção da posição de equilíbrio - como no caso do sistema massa -mola. O arco s é definido como

E temos como solução:

Assim a equação que define a frequência angular de oscilação e o período do pêndulo simples é:


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O pêndulo físico

A maior parte dos pêndulos do mundo real não é nem ao menos aproximadamente simples.Vamos considerar um objeto de forma arbitrária, que pode oscilar em torno de um eixo que passa

pelo ponto O , perpendicular à folha de papel. O eixo está a uma distância h do centro de massa, ondeatua a força peso.

Quando o pêndulo da figura ao lado é deslocado de sua posição de equilíbrio de um ângulo θ , surge um torque restaurador

com módulo:

e esse é o torque resultante, portanto:

Ou seja:

A equação abaixo define a frequência angular de oscilação e o período do pêndulofísico:


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Exemplos:

1) A figura abaixo mostra uma barra fina cujo comprimento L é 12,4 cm e cuja massa m é 135 g ,suspensa em um fio longo pelo ponto médio. O período T a do seu MHS angular é medido comosendo 2,53 s. Um objeto de forma irregular, que será chamado de objeto X, é pendurado no

mesmo fio, e o seu período T b é medido como sendo 4,76 s. Qual é o momento de inércia doobjeto X em relação ao eixo de suspensão?

Solução:

O momento de inércia tanto da barra quanto do objeto X está relacionado ao período .

Temos que primeiro calcular o momento de inércia da barra em torno

de um eixo per-pendicular passando pelo ponto médio. = = 1

12 → = 1

12 .(0,135 ).(0,124 ) → =1,73 .10 . Agora usamos a fórmula do período para barra e para o objeto X. = 2. = 2 . elevando os dois membro da equação ao quadrado temos: = 4 . = 4 .

A constante k que é uma propriedade do fio , é a mesma nos dois casos, então se dividirmos asegunda equação pela primeira podemos explicitar Io na equação resultante. Assim temos:

= 4 .4 . → = .

→ =1,73.10 .(4,76)(2,53) → = 6,12 . 2) Na figura abaixo uma régua de um metro oscila em torno de um ponto fixo em uma das

extremidades, a uma distância h do centro de massa da régua.a) Qual é o período de oscilação T ?

b) Qual é a distância L0 entre o ponto fixo O da régua e ocentro de oscilação?


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Solução:

A régua não é um pêndulo simples pois sua massa não está concentrada na extremidade ao pontofixo; A régua é um pêndulo físico.

a) Usamos a fórmula do período para um pêndulo físico;

= 2 . ℎ → = 2 . 13 2

→ = 2 . 23 → = 6,28 . 2 .1,0 3 .9,8 →

= 6,28 . 2 29,4 / → = 6,28 . 0,26 = 1,64

b) Estamos interessados em determinar o comprimento L0 do pêndulo simples desenhado nafigura (b) que possui o mesmo período que o pêndulo físico ( a régua ), assim igualando as

equações dos períodos encontramos:

= 2 . =2 . 23 → 2 3 = 2 .100 3 =66,7 MHS amortecido

Em diversas situações do nosso cotidiano, os movimentos oscilatórios têm uma duração finita,eles têm um começo e um fim. Não ficam se movendo no ir e vir de modo indefinido. Isso acontece,

basicamente, devido a atuação de forças dissipativas tais como as forças de atrito tal movimento é ditoamortecido.

Se o amortecimento é suficientemente grande como, por exemplo, um pêndulo mergulhado em ummelado, o oscilador não chega a completar nem um cicle de oscilação, retornando ao equilíbrio,limitando-se a retornar ao equilíbrio com uma rapidez que se aproxima de zero a medida que o corpo seaproxima da posição de equilíbrio. Este tipo de movimento é chamado de Super-amortecido.

Se o amortecimento é suficientemente pequeno para que o sistema oscile com uma amplitude quediminui lentamente com o tempo dizemos que o movimento é Sub-amortecido.

Se o movimento não resulta em oscilação ele é chamado de criticamente amortecido. Em uma situação simples as forças dissipativas podem ser representadas por uma função que

depende linearmente da velocidade.Vamos considerar um sistema composto de uma mola de constante elástica k com uma das

extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de massa m . Nesse corpo está presa umahaste vertical que tem a sua outra extremidade presa a um anteparo que está mergulhado em um líquido.

Quando o anteparo se move no líquido esse movimento é amortecido por uma força que surge devido àviscosidade do líquido.


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Essa força dissipativa pode ser descrita por uma equação do tipo:

FA = - bv

onde b é chamado de constante de amortecimento. A resultante das forças que atuam no corpo demassa m é dada por:

Substituindo a velocidade por dx/dt e a aceleração por d2 v/dt2 e reagrupando os termos, obtemos aequação diferencial.

A solução desta equação é:

Onde xm é a amplitude e é a frequência angular do oscilador amortecido, esta frequência angular édada por:

= − 4

A função deslocamento x ( t ) do oscilador amortecido,observamos que diminui exponencialmente.


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A amplitude de uma oscilação amortecida onde a constante de amortecimento b é igual a ( ≪ 1) pode ser encontrada pela equação: = . . A medida que a constante de amortecimento b aumenta, a frequência angular

′ diminui até se

tornar zero no valor crítico.

= 2 Quando b é maior ou igual a bc , o sistema não oscila.

Se b > bc o sistema é super – amortecido;( Um exemplo típico dessa situação é a porta dosescritórios. Quando alguém passa pela porta ela inicia a um movimento em direção ao repouso na

posição de equilíbrio) .Para um movimento Super amortecido temos:

Se b = bc , o sistema é dito criticamente amortecido e o corpo retorna ao equilíbrio ( semoscilação) muito rapidamente. ( molas da suspensão de um carro ). Frequentemente usamos oamortecimento crítico quando desejamos que um sistema não oscile mas retorne rapidamente aoequilíbrio.

Se b < bc , o sistema é dito sub – amortecido. (Um exemplo típico dessa situação é a porta dossaloons dos filmes de bang-bang. Quando alguém passa pela porta ela inicia a oscilação com umagrande amplitude, que vai diminuindo com o tempo).

Para um movimento sub – amortecido temos:

Se o oscilador é amortecido a energia mecânica não é constante e diminui com o tempo. Se oamortecimento é pequeno, podemos determinar a energia de um oscilador amortecido.() ≈ 1

2 . . /


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Exemplos:

1) Em um automóvel, a massa que as molas sustentam é de 1100 kg e a massa não sustentada é

de 250 kg. Se os quatros amortecedores são removidos, o automóvel oscila sobre as molas comuma frequência de 1,0 Hz. Qual é a constante de amortecimento associada aos quatroamortecedores se , com eles, o automóvel retorna ao equilíbrio o mais rápido possível, semoscilar, após passar por um quebra – molas?

Solução:

bc = 2 . m . → bc = 2 . 1100 . 1,0 = 2200 kg/s2) Para um oscilador amortecido de massa m = 250 g , K = 85 N/m e b = 70 g/s determine:

a) O período de movimento; b) O tempo necessário para que a amplitude das oscilações se reduza à metade do valor

inicial;c) O tempo necessário para que a energia mecânica se reduza à metade do valor inicial.

Solução:

a) = 2 → =6,28 . , / =0,34 b) A amplitude é dada pela equação: ⁄

⁄ =

temos que ln

⁄

=

− 2

⁄

− 2⁄ = 12

→ = −2 ln12 → = −(2)(0,25)(12)0,070 / =5,0 c)

⁄ = → ⁄ = → ln( ⁄ ) = − = 1

2 → = − .ln12 → = (0,25 )( 12)0,070 / =2,5


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Oscilações Forçadas e Ressonância

Até o presente momento, analisamos o caso de oscilações livres, onde não havia nenhuma fonteexterna de energia atuando sobre o sistema. Esta fonte atuava somente no início do processo, quandosistema era tirado de sua posição de equilíbrio e abandonado logo em seguida. A oscilação eraconseqüência de uma força restauradora, proporcional ao deslocamento, e o sistema oscilava com afrequência

(1)

vamos supor a existência de uma fonte de energia atuando ininterruptamente sobre o sistema. Maisainda: vamos supor que esta fonte seja periódica de freqüência

a qual, em princípio, não tem nenhumarelação com aquela dada por (1). Esta freqüência é produzida pela fonte externa, ao contrário de (1) que édefinida a partir das constantes do sistema.

Seja então a força externa que atua sobre o sistema. A equação diferencial querege o movimento será então:

(2)

todos já devem ter passado pela experiência de, ao empurrarmos um balanço, notar que este nãoresponde, de início, de forma satisfatória.

Somente após um certo intervalo de tempo é que ele balança da forma desejada. Com aparelhoselétricos isto também ocorre, ou seja, decorre um certo tempo (curto) para o aparelho operar de formaregular.

Identificamos aí dois regimes de funcionamento: um, chamado de regime transitório, onde osistema não funciona de forma regular e outro, chamado de regime estacionário, onde o sistema funcionacom a resposta esperada.

Em nosso sistema (uma massa submetida a uma força restauradora e de amortecimento) o regime

transitório deve-se à inércia bem como as forças de atrito que atuam sobre a massa as quais, em outras palavras, exercem uma resistência para tirar o corpo do equilíbrio inicial. Contudo, essa oposição leva umcerto tempo para se ajustar, e só então se passa ao regime estacionário. É justamente neste regime quecentraremos nossa atenção. Em termos de equação de movimento, solução consiste na superposição dasolução da parte homogênea de (2) adicionado de uma solução particular da não homogênea. Para umsistema amortecido o regime estacionário é descrito apenas pela solução da equação inomogênea.

Neste regime é bastante razoável supor que o sistema vibre com a mesma freqüência da fonte, poisexiste uma força externa forçando a isso. Por outro lado o sistema não necessariamente responde com amesma fase que a fonte. Poderá haver um adiantamento ou atraso na resposta em relação à fonte.

Desta forma, vamos escrever a solução estacionária na forma:

(3)

onde devemos encontrar os valores de A e de maneira que (3) possa satisfazer a equação diferencial(2). Mais uma vez ressaltamos que o ângulo de fase não tem nada a ver com o ângulo de fase inicial. Eleexpressa simplesmente o atraso ou adiantamento de x(t) com relação à força externa. Colocamos o sinalnegativo por pura conveniência, como ficará evidente mais adiante. De qualquer sorte, seu valor, positivoou negativo, será definido a partir dos dados de cada problema.


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De (3) obtemos:

A amplitude de uma oscilação forçada é dada por:

A constante de fase é dada por:

= ( − ) Lista de Exercícios

(Recomenda-se a utilização das grandezas do SI)

Lei do Movimento Harmônico Simples

1) Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm e umafrequência de 6,60 Hz?

2) Uma partícula com uma massa de 1,00 x 10 -20 kg descreve um movimento harmônico simples comum período de 1,00 x 10-5 s e uma velocidade máxima de 1,00 x 103 m/s. Calcule:a) A frequência angular

b) O deslocamento máximo da partícula.

3) Em um barbeador elétrico a lâmina se move para frente e para trás, ao longo de uma distância de

2,0 mm, em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz. Determine:a) A amplitude; b) A velocidade máxima da lâmina;c) O módulo da aceleração máxima da lâmina.

4) Um corpo de 0,12 kg executa um MHS de amplitude 8,5 cm e período 0,20.

a) Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo?

b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante elástica da mola?

5) Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um

ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância entre esses pontos é 36cm. Calcule:a) O Período?

b) A frequência?c) A amplitude do movimento?


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6) Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola de constante elástica k = 400 N/m. Emum certo instante t a posição ( medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade ea aceleração do bloco são: x = 0,1 m , v = - 13,6 m/s , a = -123 m/s2. Calcule:a) A frequência de oscilação;

b) A massa do bloco;c) A amplitude do movimento.

7) Em um certo ancoradouro as maré Fazem com que a superfície do oceano suba e desça umadistância d ( do nível mais alto ao nível mais baixo) em movimento harmônico simples com um

período de 12,5 h. Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0,250d a partir do nível mais alto?

8) Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00 kg preso a uma mola deconstante elática 100 N/m. em t = 1,00 s a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129 m e v = 3,415m/s. Qual é amplitude das oscilações?

Energia do Movimento Harmônico Simples

9) Determine a energia mecânica de um sistema bloco – mola com uma constante elástica de 1,3 N/cm e uma amplitude de oscilação de 2,4 cm.

10) Um sistema oscilatório bloco – mola possui uma energia mecânica de 1,00 J, uma amplitude de10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,20 m/s. Determine:a) A constante elástica;

b) A massa do bloco;c) A frequência de oscilação;

11) Quando o deslocamento em um MHS é a metade da amplitude (A) que fração da energia total é:energia cinética e energia potêncial

12) Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma molacom k = 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição deequilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Quaissão:a) A frequência do movimento;

b) A energia potêncial inicial do sistema bloco – mola;c) A energia cinética inicial?d) A amplitude do movimento;

13) Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a umsuporte rígido por uma mola de constante k . Uma bala de massa m e velocidade v atinge o

bloco como mostrado na figura à seguir. A bala penetra no bloco.a) Determine a velocidade do bloco imediatamente

após a colisão.

b) Determine a amplitude do movimento harmônicosimples resultante. :


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Pêndulos

14) Suponha que um pêndulo simples é formado por um pequeno peso de 60,0 g pendurado naextremidade de uma corda de massa desprezível. Se o ângulo entre a corda e a vertical é dada

por

= (

0,0800

) cos[(4,43

/

)

+

], quais são o comprimento da corda e a energia

cinética máxima do peso?

15) Na figura abaixo o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 cm e 500 g demassa preso a uma barra uniforme de comprimento L = 500 mm e 270 g de massa. Calcule:

a) Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão.

b) Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo?

c) Calcule o período de oscilação.

16) Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro, cujo ponto desuspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é 2,5 s. Determine o valor de d.

17) Uma barra fina uniforme ( massa = 0,50 kg ) oscila em torno de um eixo que passa por uma dasextremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de1,5 s . Qual é o comprimento da barra?

18) Determine o comprimento de um pêndulo simples cuja a frequência para pequenas amplitudesvale 0,75 Hz.

19) Determine o comprimento de um pêndulo simples cujo o período para pequenas amplitudes vale

5,0 s.

20 ) Se o período de um pêndulo simples de 70,0 cm de comprimento é 1,68 s, qual é o valor de g no localonde ele se encontra?

Oscilações amortecidas

21)Um corpo de 2,00 kg oscila preso a uma mola, com uma amplitude inicial de 3,00 cm. Acostante de força da mola é 400 N/m. Determine:a) O período?

b)A energia total inicial?c) Se a energia diminui 1% a cada período, determine a constante de amortecimento linear e o fator

Q?

22) Um oscilador tem um período de 3,00 s. Sua amplitude diminui 5% em cada ciclo.a) De quanto diminui sua energia mecânica em cada ciclo?

b) Qual é a constante de tempo ?c) Qual é o fator Q?


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23) A amplitude de um oscilador fracamente amortecido diminui de 3% a cada ciclo. Que porcentagem da energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo?

Respostas:

1)

37,8 m/s2

2) a)

= 6,28.10

5 rad/s b) A = 1,59 . 10

-3m

3)

a) A = 1,0 mm b) Vmáx= 0,75 m/s c) amáx = 5,7 . 102 m/s2 4)

a) F = 10 N b) K = 1,2. 102N/m5) a) T = 0,5 s b) f = 2Hz c) A = 18 cm

6) a) = 35,07 rad/s b) m = 0,325 kg7) t = 2,08 h8)

A = 0,5 m9) E = 3,7 . 10-2 J10)

a) K = 200 N/m b) m = 1,39 kg c) f = 1,91 Hz11) U = 0,25 ; K 0,7512)

a) f = 2,25 Hz b) U0 = 125 J c) K0 250 J d) A = 0,866 m

13) a)

=

b)

=

.

( )

14)

a) L = 0,499 m ; k = 9,4 . 10-4 J

15) a) I = 0,205 kg. m2 b) 0,6 m c) T = 1,5 s

16)

d = 0,056 m

17) L = 0,84 m 18) L = 44 cm 19) L = 6,2 m 20) g = 9,79 m/s2

21) a) T = 0,444 s b) E0 = 0,180 J c) Q = 628 e b = 0,0450 kg/s22) a) 10% b) = 30 s c) Q = 62,8

Oscilações - MHS

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