Oscilações

Estudo:● Movimento Harmônico Simples● Lei do MHS – Massa Mola● Pêndulo Simples● Pêndulo de Torção● Pêndulo Físico

Movimento Harmônico Simples

A figura abaixo é uma sequência de fotos de um sistema massa mola, vertical, colocado para oscilar a uma dada amplitude (University Physics With Modern Physics - W. Bauer, G. Westfall (McGraw-Hill, 2011) BBS).

O sistema massa mola é um dos poucos sistema mecânicos que, do ponto de vista físico – matemático, executam oscilações harmônicas simples.

Um Oscilador Harmônico Simples (OHS) se trata de um tipo especial de oscilador cuja a posição do corpo oscilante executa um movimento no tempo que corresponde a uma função seno/cosseno da forma

Movimento Harmônico Simples

A escolha da função cosseno é meramente pessoal, visto que

Voltando a função do Movimento Harmônico Simples

Constante de fase

Frequência angular

Amplitude do movimento

Movimento Harmônico Simples

Amplitude: o quão longe do ponto de repouso o corpo se desloca em seu movimento

Movimento Harmônico Simples

Frequência Angular: Está relacionada a quantidade de oscilações realizadas pelo corpo, a cada segundo.

A frequência angular se relaciona com o período da oscilação. Se usarmos o fato de que x(t) = x(t+T):

Aqui a fase foi feita zero por conveniência. Observe que está última expressão só é verdadeira se ωT = 2π:

Movimento Harmônico Simples

Constante de Fase: basicamente define como o oscilador inicia seu movimento.

Uma fase negativa desloca a senoide para direita no eixo do tempo, atrasando a oscilação.

Uma fase positiva desloca a senoide para esquerda no eixo do tempo, adiantando a oscilação.

Velocidade

Derivando a posição no tempo

Observe que a oscilação da velocidade possui a mesma forma da posição, apenas adiantada de π/2.

Aceleração

Derivando a velocidade no tempo

Já a aceleração possui a mesma forma da oscilação, antecipada de π.

Lei do MHS

Suponha um sistema massa-mola, colocado para oscilar ao longo do eixo horizontal, sobre uma superfície sem atrito, onde uma massa M e a mola possui uma constante elástica k. Um estudo do movimento através da segunda lei de Newton dará:

Substituindo a aceleração da página anterior,

Lei do MHS

Como x(t) em geral é diferente de zero, para satisfazer a igualdade o termo entre os parênteses deve ser nulo,

A forma adequada de se resolver este problema é resolvendo a equação diferencial

Onde se mostra que a solução desta equação diferencial é uma oscilação senoidal, como a apresentada no início

Lei do MHS

“O movimento harmônico simples é um movimento criado por uma força restauradora, proporcional ao deslocamento”, como a força de uma mola.

Este tipo de força leva ao movimento do tipo senoidal

E a um potencial da forma

Energia

A energia cinética do corpo

Como

A energia potencial armazenada na mola.

EnergiaA energia total do oscilador é a soma da potencial mais a cinética

Assim a energia potencial elástica e cinética podem ser rescrita como

EnergiaOs gráfico a seguir mostram a evolução temporal das energia potencial e cinética atuando no sistema massa mola.

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,000,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

U(t) K(t) E

Tempo (s)

En

erg

ia (

J)

EnergiaComo a energia total do sistema é uma constante, a energia cinética e potencial em função da posição pode ser expressa pela equação:

Usando que

E que a energia total, E, é uma constante, a energia cinética pode ser escrita em função da posição como:

-6,00 -4,00 -2,00 0,00 2,00 4,00 6,000,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

U(x) K(x) E

Posição (cm)