Otimalidade de Pareto

Prof. João Manoel Pinho de MelloDepto. de Economia, PUC-Rio

jmpm@econ.puc-rio.br

Agosto, 2006

Referência: capítulo 29, Varian

O problema Dois agentes 1 e 2, dois bens A e B

(e1A, e1

B) = dotação inicial do agente 1 (e2

A, e2B) = dotação inicial do agente 2

Dotação Agregada da Economia eA = e1A + e2

A, eB = e1B + e2

B

u1(x1A, x1

B) são as preferências do agente 1, u2(x2A, x2

B) são as preferências do agente 1 Impomos que os agentes não se importam com o consumo do

outro agente• Não há altruísmo• Não há externalidades

(x1A, x1

B, x2A, x2

B ) é uma alocação

A pergunta Um planejador central que fosse

OnipotenteOnisciente

alocaria os bens entre os dois agentes? Pergunta imediata:

Alocaria segundo qual critério? • Ele gosta mais de qual agente? • Ele se incomoda com desigualdade

Eficiência de ParetoUma alocação (x1

A, x1B, x2

A, x2B ) é dita eficiente do

ponto de vista de Pareto se não existe nenhuma outra alocação (z1

A, z1B, z2

A, z2B ) tal que:

com desigualdade estrita para ao menos um i

2,1 para ,, ixxuzzu Bi

Aii

Bi

Aii

A caixa de Edgeworth

Uma representação gráfica (e1

A, e1B), (e2

A, e2B) : dotações iniciais

x1B

x1A

x2A

x2B

e1A

e1B

e2A

e2B

eA = e1A + e2

A

eB =

e1 B +

e2 B

Agente 1

Agente 2

e2B

Dotação inicial

Eficiência de Pareto, graficamente

x1B

x1A

x2A

x2B

e1A

e1B

e2A

e2B

eA = e1A + e2

A

eB =

e1 B +

e2 B

Agente 1

Agente 2

e2B

Dotação inicial

Jargão Loteria = distribuição de probabilidade Estados da natureza

Cara Coroa

Consumo contingente Na loteria 1, o consumo é 10,000 contingente a sair cara Na loteria 2, o consumo é 5,000 contingente a sair coroa

Outro exemplo Você tem R$100.000, sendo que destes K reais estão

na forma de um carro Com probabilidade p (0,1), o carro é roubado Mas você pode fazer um seguro, pagando reais

Loteria 1 (comprando seguro) (100.000 – , 1; 100.000 – , 1)

• Já sei, é uma loteria meio boba, que se chama de degenerada

Loteria 2 (sem seguro) (100.000 – K, p; 100.000 , 1 - p)

Outro exemplo Estados da natureza

Consumo contingentes

Seguro e transferência de consumo Suponha agora que você pode comprar unidades de

consumo, por por unidade de seguro comprado O seguro permite transferir consumo do estado da

natureza “não roubo” para o estado da natureza “roubo”

Seja CR o consumo quando há roubo e CNR o consumo quando não há roubo

Seja S a quantidade de seguro comprada Imagine que K = 35.000

Seguro e transferência de consumo Comprando seguro

(CR = 100.000 – K – S + S ; CNR = 100.000 –S) Sem comprar seguro (dotação inicial)

(CR = 100.000 – K ; CNR = 100.000)CNR

CR

100

65

100 - S

65 + (1 - )S

Dotação inicial

Cesta de compra S de seguro

Vender seguro

Seguro e transferência de consumo Seja θ a inclinação da linha

Pense em consumo no estado não roubo (CNR) e no estado roubo (CNR) como dois bens quaisquer.

Pense em

como o preço relativo

1SS

S

1

NR

R

C

C

PP

Seguro e transferência de consumo Aí temos uma restrição orçamentária igual ao

que tínhamos na Teoria do Consumidor normal

Nos falta Uma teoria razoável de preferência a respeito de

diferentes teorias• Colocar as curvas de indiferença

Dizer algo sobre como este preço relativo aparece

Teoria da Utilidade Esperada

Preferência a respeito de loterias Missão: “colocar as curvas de indiferença” Em Teoria do Consumidor normal, geralmente

pensávamos que preferências razoáveis seriam: Crescentes nas quantidades de cada bem Mas à taxas decrescentes

Agora vamos impor mais estrutura Quer dizer: exigir mais coisas de uma preferência razoável

Utilidade esperada: idéias gerais A cesta de bens é o consumo contingente em cada estado da

natureza: (C1, C2) Probabilidades dos estados da natureza: π1 e π2, que somam 1

Gostaríamos que nossa teoria (modelo) para escolha sob incerteza tivesse as seguintes características: Eu valorizo mais consumo em estados mais prováveis

• Eu gostaria de muito consumo em um estado improvável para abrir mão de um pouco de consumo em um estado provável

Minha atitude frente ao risco seja facilmente caracterizável a partir de minhas preferências

Preferências sobre loterias: o modelo geral Dois estados da natureza, mutuamente exclusivos e

exaustivos: 1 e 2 Consumo contingente: (C1, C2) Probabilidades: π1 e π2, π1 + π2 = 1 Utilidade, formato geral:

2121 ,;, ccU

Consumo contingente, os bens

probabilidades, os parâmetros

Exemplos de preferências

21212121 ,;, Douglas-Cobb ccccU

22112121 ,;,Linear ccccU

22112121 lnln,;,linear -Log ccccU

Utilidade esperada Preferências sobre loterias estão na forma de utilidade

esperada se são a soma ponderada (pelas probabilidades) da utilidade do consumo contingente, que é dada pela função u(•)

Também chamada de utilidade de von Neumann-Morgenstern

A função u(•) é chamada de utilidade de Bernoulli

22112121 ,;, cucuccU

Utilidade esperada: forma versus representação Preferências representam preferências de utilidade

esperada se podem ser transformadas para a forma de utilidade esperada através de transformações monótonas

22112121 lnln,;,linear -Log ccccU

está na forma de utilidade esperada

21212121 ,;, Douglas-Cobb ccccU

não está na forma de utilidade esperada

Mas representa preferências de utilidade esperada porque pode ser transformada na forma de utilidade esperada por transformações monótonas (em realidade só uma é necessária)

Utilidade esperada: forma versus representação Exemplos:

652

19812121 ,;, ccccU 212121 )exp(,;, ccccU Está na forma de utilidade esperada?Representa utilidade esperada?Está na forma de utilidade esperada?Representa utilidade esperada?

Utilidade esperada: bom modelo? Para estar na forma de utilidade esperada é crucial que

Seja separável nos consumos nos estados da natureza• Utilidade do consumo se chove não depende da quantidade de consumo

se faz sol• O que não ocorreu não importa

• Chove, faz sol ou vai para SP no fim de semana• Café, açúcar e água• Chama-se isto de suposição de independência

Que a função u seja a mesma• Suponha eventos equiprováveis

• A utilidade de consumir se faz sol é igual à utilidade de consumir se chove Utilidade dependente do estado

Atitude frente ao risco

Você gosta de risco? Alguém tem uma moeda justa que:

Se sai cara, você ganha 10.000 Se sai coroa: você não ganha nada Quanto você estaria disposto a pagar pelo direito de jogar

esta moeda? O que você prefere?

Uma moeda justa que paga 0 com probabilidade ½, e 20.000 reais com probabilidade ½

Uma moeda justa que paga 8.000 com probabilidade ½, e 10.000 reais com probabilidade ½

Utilidade da média versus média das utilidades Loteria: 0 com probabilidade ½, 10.000 com

probabilidade ½ Suponha que:

Então o agente é dito avessa ao risco 021000.10

210

21000.10

21 uuu

Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga 5.000 com

certeza

Utilidade média (ou esperada)

Aversão ao riscoUtils

$0 10.0005.000

u(·)

½u(0) + ½u(10.000)

Utilidade média

u(5.000) = utilidade da

média Função de Bernoulli

Amor ao riscoUtils

$0 10.0005.000

u(·)

½u(0) + ½u(10.000)

Utilidade média

u(5.000) = utilidade da

média

Função de Bernoulli

Neutralidade ao riscoUtils

$0 10.0005.000

u(·)

½u(0) + ½u(10.000)

u(5.000) =

Função de Bernoulli

Resumo Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 0),

então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = ln(c), u(c) = c½

Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = exp(c), u(c) = c2

Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = c, u(c) = 10+34c

Exemplo: demanda por seguro Exemplo anterior:

100.000 patrimônio, 35.000 em um carro, que é roubado com probabilidade p

Pode comprar seguro por γ por unidade segurada Problema: quanto segurar (S)

( ) ( ) ( )Sγ-up -Sγ -+SpuS

1001+65max

Exemplo: demanda por seguro CPO

Suponha que o seguro seja “atuarialmente” justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se reduz a

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )γ-p

p-γSγ-'u

Sγ-'uSγ-'up-γ-Sγ-'uγ-p

11

=100

1+65↔0=10011+651

( )( )( ) ( )( ) ( )Sγ-'uSγ-'u

Sγ-'uSγ-'u

100=1+65→1=100

1+65

Exemplo: demanda por seguro Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) Então u’ é decrescente Para que

é preciso que 65 + (1 – γ)S = 100 – γS Ou seja, S = 35 O que isto significa?

( )( ) ( )Sγ-'uSγ-'u 100=1+65

Exemplo: demanda por seguro Checando a condição de 2ª ordem

O que ocorreria se u´´ > 0, ou seja, se o agente é amante do risco?

0'' que dado035100''1

|100''1165''1 35

uuSuSu S

Mensuração da aversão ao risco

Aversão ao risco Na maioria esmagadora das situações

imaginamos que os agentes não gostam de risco

Geralmente os agentes “neutros” ao risco o são porque em realidade não enfrentam risco Seguradoras e a Lei dos Grandes Números

Quanto? u’’ nos diz que o agente é avesso ao risco

Mas quanto? Curvatura de u

Os coeficientes de aversão relativa e absoluta ao risco

Equivalente em certeza Prêmio de probabilidade

Equivalente em certeza Suponha que você tem uma loteria que paga:

K1 com probabilidade p K2 com probabilidade 1 – p K1 > K2 > 0

O equivalente em certeza é

11 1 KupKpuECu

Equivalente em certeza Se EC < pK1 + (1 – p)K2, então o agente é

avesso ao risco Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza

tais que ECi < ECj diz-se que i é mais avesso ao risco que j

O equivalente em certeza é quanto você está disposto a abrir mão de média para evitar o risco

A idéia pode ser generalizada para qualquer loteria L

Equivalente em certezaUtils

$0 10.0005.000

u(·)

½u(0) + ½u(10.000)

Função de Bernoulli

Equivalente em certeza

EC

CurvaturaUtils

$0 10.0005.000

u(·)

½u(0) + ½u(10.000)

Equivalente em certeza

ECEC

Equivalente em certeza

u(·)

O coeficiente de aversão absoluta ao risco Defina:

ρa é chamado de coeficiente de aversão absoluta ao risco

A primeira derivada no denominador serve para tornar o índice insensível a unidades

wuwuwa '

''

O coeficiente de aversão absoluta ao risco Se u é tal que ρr(w) é constante em w então,

diz-se que o agente tem aversão absoluta ao risco constante

Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 100 da riqueza (w) com probabilidade e ganha 100 com probabilidade ½ não muda com w

Exemplo: u(w) = exp(-ηw)

O coeficiente de aversão relativa ao risco Defina:

ρr é chamado de coeficiente de aversão relativa ao risco

Como no caso de ρa, a divisão pela primeira derivada faz com que o índice seja insensível à unidade de mensuração de w

wwu

wuwr '''

O coeficiente de aversão relativa ao risco Se u é tal que ρr(w) é constante em w então,

diz-se que o agente tem aversão relativa ao risco constante

Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 10% da riqueza (w) com probabilidade e ganha 10% com probabilidade ½ não muda com w

Exemplo: