Otimizao sem restries:

Suponha que a funo ( ) : nf x r de classe 2kC > tenha um extremo, mximo ou mnimo ou ponto de sela, em *x x=

r r. Vamos transformar o problema de n dimenses em um problema

de uma dimenso atravs da parametrizao: *x x th= +rr r

onde t e 0h r r

. Nesse caso a

funo de uma varivel ( ) ( )*g t f x th= + rr tem extremo em 0t = para h r . A condio de primeira ordem para ser ponto de mximo, mnimo ou sela que ( )0 0g = . Derivando ( )g t obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )* * *1 1 2 21 2

n nn

d f d f d f dg t x th x th x thdt x dt x dt x dt

= + + + + + +

L

( ) 1 21 2

nn

d f f fg t h h hdt x x x

= + + +

L

Logo, para ser um ponto extremo preciso que:

1 21 2

0nn

f f fh h hx x x

+ + + =

L

Agora, essa igualdade deve ser verdadeira para qualquer hr

. Escolhendo

( )0 0 0 0 0ih h =r L L ento 0j ij j i

f fh hx x

= =

implica que

( )* 0if x

x

=

r

. Fazendo 1,2, ,i n= L percebe-se que ( )* 0if x

x

=

r

para i . Em termos

vetoriais isso pode ser escrito da forma:

( )* 0f x = rr . Condies de Segunda Ordem:

Se o ponto extremo for de mximo ento ( )0 0g < , e se for de mnimo ento ( )0 0g > . Em outras palavras a condio de segunda ordem dada pelo sinal da segunda derivada:

( )0 1sign g = ponto de mximo, e ( )0 1sign g = + ponto de mnimo. Calculando a segunda derivada temos:

( )2 2

2 i i i ji i i ji i j i

d d f d f fg t h h h hdt x dt x x xdt

= = =

Ou seja:

( )2 2

2 i ji j j i

d fg t h hx xdt

=

A matriz Hessiana definida como: 2

ijj i

fHx x

=

. Trata-se de uma matriz simtrica pois

2 2

ij jij i i j

f fH Hx x x x

= = =

. Podemos escrever essa derivada na forma de uma

multiplicao de matrizes como ( )2

2d g t h H hdt

=

r r. Algumas pessoas usam a notao

2H f= , mas no gostamos dessa notao na fsica porque mesma do Laplaciano 2

22

i ix

= =

que um operador escalar e no tensorial como o Hessiano.

( )11 12 1 1

21 22 2 21 2

1 2

n

ni ij j n

i j

n n nn n

H H H hH H H h

h H h h h h

H H H h

=

L

LL

M M O M M

L

Nesse caso a condio para o ponto extremo ser de mximo que ( )2

2 0d g t h H hdt

= r r

, o que significa que a matriz Hessiana deve ser definida positiva. Se

a matriz Hessiana no for nem definida positiva, nem definida negativa, ento o ponto de sela. Anlise da definio de matrizes simtricas apresentada no apndice xxx. O fato de que a

definio da matriz Hessiana define a concavidade da curva apresentado no apndice xxx sobre srie de Taylor de funes multivariadas.

Teorema da funo envelope:

Suponha que desejamos achar o extremo de uma funo de xr que depende de um parmetro , ou seja o problema :

( ){ },extremo f x r sem restries. As condies de primeira ordem so:

( )*, 0ii

f f xx

= =

r

onde *xr o ponto extremo. Vamos definir uma funo de dada por

( ) ( )* ,f x = r . Note que se o problema for de mximo ento, para um xr fixo, [ ] ( ),f x r , s tocando a curva ( ) quando ( )*x x =r r . Se for de mnimo ento

[ ] ( ),f x r . Por isso a funo ( ) uma funo envelope para a funo [ ],f x r . Pergunta : quanto vale d

d

?

Incluir figuras da funo envelope!!

( )* *, ii i

f x dxd fd x d

= +

r

Entretanto ( )*,

0i

f xx

=

r

nos extremos, logo chegamos ao resultado do teorema da funo

envelope:

d fd

=

.

Otimizao com restrio de igualdade:

Suponha agora a seguinte problema: otimizar ( )f xr sujeito restrio ( )g x c=r , ou ( ) 0g x c =r . Agora nem todo xr permitido, s os que satisfazem restrio ( )g x c=r .

Existe um raciocnio intuitivo simples que nos permite resolver esse problema. O gradiente de uma funo perpendicular s curvas de nvel da mesma. Por um lado sabemos que 0df = porque na curva de nvel f constante. Por outro lado, das regras do clculo sabemos que:

( )1 2 1 21 2 1 2

, , , , , ,n n

n n

f f f f f fdf dx dx dx dx dx dxx x x x x x

= + + + =

L L L

O que significa que 0f d =rl , que nos leva concluso de que f d rl , com drl sendo um deslocamento infinitesimal na curva de nvel. A restrio ( )g x c=r uma curva de nvel da funo g . Alm disso, como a prpria restrio s deslocamentos sobre a mesma so possveis. Figura xxx mostraem vermelho a restrio e os gradientes da funo g . No mesmo grfico desenhamos em preto diferentes curvas de nvel da funo f e seus respectivos gradientes nos mesmos 3 pontos da restrio. Note que no ponto de encontro mais esquerda existe uma componente do gradiente da f ao longo da curva de restrio para direita. Isso significa um deslocamento para direita ao longo da curva de restrio aumentar o valor da funo f . J no ponto mais direita a componente do gradiente de f ao longo da curva est na direo esquerda, assim um deslocamento na curva de restrio nessa direo aumenta o valor de f . Apenas no ponto em que a restrio tangencia uma curva de nvel, com ambos os gradientes

paralelos, impossvel aumentar o valor de f atravs de deslocamentos na restrio.

Esse argumento nos indica, ento, que no ponto extremo com restrio os dois gradientes, da restrio e da funo f devem ser paralelos. Matematicamente isso escrito como f g = , ou ainda como ( ) 0f g = . A constante chamada multiplicador de Lagrange. Assim percebe-se que podemos definir uma funo Lagrangeana dada por:

( ) ( ) ( ), x f x g x c = r r rL Que se comporta como o problema da otimizao sem restries, ou seja:

( ), 0x =rL Assim as condies de primeira ordem para um extremo da funo f sujeito restrio

g c= so que ( ), 0 1,2, ,i

x i nx

= =

rLL . Essa equao deve ser resolvida em conjunto

com a restrio g c= . Entretanto, notamos que ( ) 0f g c

= implica em

( ) 0g c = , ou seja, a prpria restrio. Dessa forma, usando a funo Lagrangeana o nosso problema resolver o conjunto de equaes simultneas:

( ), 0 1,2, ,i

x i nx

= =

rLL

( ), 0x

=

rL

Uma demonstrao mais rigorosa desse resultado incluindo as condies de segunda ordem apresentado no apndice Otimizao com Restries: demonstrao rigorosa. Exemplos tambm so apresentados no apndice Exemplos de Otimizao com Restrio.

Teorema da funo envelope com restries:

Suponha que desejamos achar o extremo de uma funo de xr que depende de um parmetro , ou seja o problema :

( ){ },extremo f x r com a restrio ( ), 0g x c =r . Cujas solues so dadas por:

( )*, , 0ii

xx

= =

rL L e ( )*, , 0x = rL Novamente definimos a funo envelope por ( ) ( )* ,f x = r e

( )* *, ii i

f x dxd fd x d

= +

r

. S que agora ( )*,

0i

f xx

r

. Mas a restrio continua valendo, ou

seja, ( )*, 0g x =r , logo: ( )* *,

0ii i

g x xdg gd x

= + =

r

. Subtraindo esse zero na derivada de

temos:

( ) ( ) ( ) ( )* * * ** **

, , , ,i i

i ii i

i

i i i

f x f x g x g xdx dxdd x d x d

dxf g f gx x d

= + =

= +

r r r r

Agora sim 0i i

f gx x

= no extremo, logo:

d f gd

= =

L

dd

=

L

.

Esse teorema nos permite extrair uma interpretao do significado do multiplicador de Lagrange . Note que devido ao fato de que a restrio nula, ( ), 0g x c =r , a funo objetivo que se deseja otimizar ( ),f x r tem o mesmo valor de ( )f g c= L . Se derivamos em relao ao parmetro c vemos que ( )d c

dc c = =

L

. Ou seja, ( )c o preo por unidade c da restrio que se paga em no melhorar o objetivo por conta da restrio. Se ( ) 0c < poderamos aumentar a funo objetivo diminuindo o valor da restrio c , j se ( ) 0c > poderamos aumentar a funo objetivo aumentando o valor da restrio c , e se ( ) 0c = o mximo com restrio coincide com o mximo sem restrio e no h qualquer penalidade devido restrio.

Dualidade nos mtodos de otimizao.

Suponha o problema de otimizao, sem especificar priori se de mximo ou de mnimo:

Otimizar ( )f xr sujeito restrio ( ) og x g=r .

Condies de primeira ordem:

Achamos o Lagrangeano

( ) ( ) ( )1 , ox f x g x g = r r rL e procuramos a soluo das equaes:

1

j j j

f gx x x

= L

ento 0j j

f gx x

=

logo j j

f gx x

=

.

( )1 og x g

= +

rL ento ( ) og x g=r .

Resolvendo esse conjunto de equaes encontramos *xr , * e ( )*otf f x= r , no qual, obviamente, ( )* og x g=r .

Condies de segunda ordem:

O Hessiano orlado dado pelas derivadas segundas do Lagrangeano

2 2 21

ij iji j i j i j

f g f gx x x x x x

= =

L,

21

ii i

g gx x

= =

L

e 2

12 0

=

L

com as quais construmos a matriz:

1 2

1 11 11 12 12 1 1

2 12 12 22 22 2 2

1 1 2 2

0n

n n

n n

n n n n n nn nn

g g gg f g f g f g

H g f g f g f g

g f g f g f g

=

L

L

% L

M M M O M

L

.

Denotando um subdeterminante por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 11 11 12 12 1 1

2 12 12 22 22 2 2

1 1 2 2

0

det

k

n k

n kk

k k k k k kk kk

g g gg f g f g f gg f g f g f g

g f g f g f g

=

L

L

L

M M M O M

L

Se a soluo for um ponto de mximo ento:

2 0 > , 3 0 < , 4 0 > , ou seja, [ ] ( )1 kksign = . J o ponto for de mnimo ento todos os subdeterminantes so negativos e:

[ ] 1ksign k = .

Problema DUAL.

Vamos inverter as funes objetivo e restrio e trocar o problema para:

Otimizar ( )g xr sujeito restrio ( ) maxf x f=r .

Agora o Lagrangeano dado por:

( ) ( ) ( )2 max, x g x f x f = r r rL e encontramos a soluo atravs das equaes:

2j j j

g fx x x

= L

ento 0j j

g fx x

=

logo j j

g fx x

=

.

Comparando com a situao anterior 1j j

g fx x

=

vemos que basta fazer 1 = para voltar

absolutamente s mesmas equaes anteriores. A restrio ser, obviamente, ( ) maxf x f=r .

( )2 maxf x f

= +

rL

Isso mostra que o mesmo ponto *xr , com **

1 = , ( )*maxf f x=r

, no qual sabemos que

( )* og x g=r , soluo das equaes de Lagrange. O problema dual, portanto, fornece a mesma soluo do problema original. Resta saber se mantm maximizao/minimizao ou se troca, maximizao se torna minimizao e vice-versa. Para isso precisamos das condies de segunda ordem.

Vejamos como fica o Hessiano orlado agora.

2 2 22

ij iji j i j i j

g f g fx x x x x x

= =

L

Usando o fato de que 1 = re-escrevemos essa derivada segunda como:

( )2 2 1 1ij ij ij iji j

g f f gx x

= =

L

2 22 11

i j i jx x x x

=

L L

As orlas so obtidas atravs de:

22

ii i

f fx x

= =

L

.

Por outro lado i i

g fx x

=

logo 1i i if g g= = ento:

22

ii

gx

=

L

2 22 1

i ix x

=

L L

Claro que 2

22 0

=

L

.

O Hessiano orlado, ento, muda para:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 11 11 12 12 1 1

2 12 12 22 22 2 2

1 1 2 2

01 1 1

1 1 1

1 1 1

n

n n

n n

n n n n n nn nn

g g g

g f g f g f g

H g f g f g f g

g f g f g f g

=

L

L

% L

M M M O M

L

.

No qual o sub-determinante de ordem k dado por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 11 11 12 12 1 1

2 12 12 22 22 2 2

1 1 2 2

01 1 1

1 1 1det

1 1 1

k

n k

k n k

k k k k k kk kk

g g g

g f g f g f g

g f g f g f g

g f g f g f g

=

L

L

% L

M M M O M

L

Sabemos que multiplicar uma linha ou uma coluna por uma constante multiplica o determinante pela mesma constante, assim podemos pegar a primeira linha e colocar em evidncia, e para

cada uma das demais linhas colocar 1 em evidncia. Nesse caso temos que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 22

1 11 11 12 12 1 12

2 12 12 22 22 2 2

21 1 2 2

0

1 det

k

n kk

n kk

k k k k k kk kk

g g gg f g f g f gg f g f g f g

g f g f g f g

=

L

L

% L

M M M O M

L

Agora colocamos 2 na primeira coluna para obter:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 11 11 12 12 1 12

2 12 12 22 22 2 2

1 1 2 2

0

1 det

k

n kk

n kk

k k k k k kk kk

g g gg f g f g f gg f g f g f g

g f g f g f g

=

L

L

% L

M M M O M

L

Ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 1 11 11 12 12 1 1

2 12 12 22 22 2 23

1 1 2 2

0

1 det

k

k n k

n kk k

k k k k k kk kk

g g gg f g f g f gg f g f g f g

g f g f g f g

+

=

L

L

% L

M M M O M

L

Assim mostramos que:

( ) 13

1 kk kk

+

= %

Aqui temos dois casos:

1. Multiplicador de Lagrange positivo 0 >

Nesse caso o termo 31k no muda o sinal e

( ) [ ]11 kk ksign sign+ = % .

Se o soluo do problema 1 foi de mximo ento [ ] ( )1 kksign = e se foi de mnimo ento [ ] 1ksign = .

O problema dual ento ser:

( ) ( )11 1 1k kksign k+ = = % de mnimo quando o original mximo.

( ) ( ) ( )11 1 1k kksign + = = % , de mximo quando o original mnimo.

2. Multiplicador de Lagrange negativo 0 <

Nesse caso = e ( ) 3 33 1 k kk = portanto:

( )( ) [ ] ( ) [ ]

14

31

11

k

k k kksign sign sign+

= =

%,

[ ]k ksign sign = % Isso mostra que se o multiplicador de Lagrange negativo o problema dual tem a mesma caracterstica do que o problema original, ou seja, problema dual de maximizao tambm de maximizao e de minimizao tambm de minimizao.

Significado do sinal do multiplicador.

Quando o multiplicador positivo os gradientes de ambas as funes, ( )f x e ( )g x apontam na mesma direo, ou seja, no so apenas paralelos. Isso significa que ( )f x e ( )g x crescem/decrescem na mesma direo. J se o multiplicador negativo os gradientes apontam em direes opostas. Se uma das funes cresce em determinada direo a outra decresce. Figura xxx mostra intuitivamente o efeito do sinal de no problema dual.

Otimizao com restrio de desigualdade:

Suponha agora a seguinte problema: otimizar ( )f xr sujeito restrio ( )g x cr e compar-lo como problema otimizar ( )f xr sujeito restrio ( )g x c=r . Vamos usar a mesma figura

Conside a figura xxx. A regio vermelha a regio ( )g x b , significando que o gradiente da restrio aponta para fora dessa regio. Se o gradiente da funo f tambm aponta na mesma direo quer dizer que o mximo da funo estar na fronteira ( )g x b= e a restrio colou. Por outro lado se o gradiente de f est na direo contrria o mximo estar dentro da regio

( )g x b< e a restrio no tem qualquer efeito, ou seja, no colou. Nesse caso se procura o mximo sem restrio. No caso da restrio de igualdade, ( )g x b= , o ponto extremo tem que estar obrigatoriamente na fronteira, mas no no caso da restrio de desigualdade, ( )g x b . Note ento que no problema de achar mximo a restrio s cola se f g = se f e g estiverem na mesma direo, isto , 0 > . Vale notar que no problema de achar mnimo isso se inverte. Se se f e g estiverem na mesma direo podemos diminuir a funo entrando na regio de desigualdade. No caso de minimizao ento a restrio cola se 0 > .

Comparando ento com o problema de maximizao com restrio de igualdade temos que se 0 > a restrio colou e deve-se resolver o sistema de equaes:

{ }

( )

0 1,2, ,

0i i

f g i nx x

g x c

=

>

=

L

r

Por outro lado se a restrio no colou temos um problema de maximizao sem restrio e s

temos que resolver as equaes { }0 1,2, ,i

f i nx

=

L . Podemos escrever essas duas

possibilidades em um conjunto de equaes apenas da forma:

{ }( )

0 1,2, ,

00

i i

f g i nx x

g x c

=

=

L

r

Note que agora a condio ( ) 0g x c = r leva a apenas duas opes: 1. 0 ento ( ) 0g x c = r e a restrio colou, logo:

{ }( )

0 1,2, ,

00

i i

f g i nx x

g x c

=

=

L

r

2. ( ) 0g x c r e 0 = levando ao sistema { }0 1,2, ,i

f i nx

=

L .

Com esse exemplo podemos extrair as regras:

1. Maximizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= r rL e devemos resolver as equaes: 0

ix

=

L

, ( ) 0g x c = r e 0 .

2. Maximizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= + r rL e devemos resolver as equaes: 0

ix

=

L

, ( ) 0g x c = r e 0 .

3. Minimizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= r rL e devemos resolver as equaes: 0

ix

=

L

, ( ) 0g x c = r e 0 .

4. Minimizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= + r rL e devemos resolver as equaes: 0

ix

=

L

, ( ) 0g x c = r e 0 .

Note que restries do tipo ( )g x cr podem ser transformadas em ( )g x c r , logo o problema pode sempre ser tratado com a restrio do tipo ( )g x cr para maximizao e ( )g x cr para minimizao bastando redefinir ( )g xr e c . Dessa forma o Lagrangeano sempre ser do tipo

( ) ( )f x g x c= r rL , sempre exigindo que ( ) 0g x c = r e 0 . Essa regra ecvita ter que trocar o sinal de no Lagrangeano.

Otimizao com restries mistas:

1. Maximizar ( )f xr s.r. ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; m mh x c h x c h x c= = =r r rL e ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; k kg x b g x b g x b r r rL ento construmos o Lagrangeano dado por:

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1 1 1k k k m m mf x g b g b h c h c = r L LL Devemos resolver as equaes:

1. 0i

ix

=

L

2. ( ) 0j j jg x b j = r ou 0jj

=

L

3. h c= l l l

4. 0j j

5. ( )j jg x b j r 2. Minimizar ( )f xr s.r. ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; m mh x c h x c h x c= = =r r rL e

( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; k kg x b g x b g x b r r rL ento construmos o Lagrangeano dado por:

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1 1 1k k k m m mf x g b g b h c h c = r L LL Devemos resolver as equaes:

1. 0i

ix

=

L

2. ( ) 0j j jg x b j = r ou 0jj

=

L

3. h c= l l l

4. 0j j

5. ( )j jg x b j r As condies de segunda ordem mudam se a restrio cola, usam-se ento as regras do Hessiano orlado, ou no cola, usam-se as regras do Hessiano sem orlas.

Problema de Kuhn-Tucker:

Kuhn-Tucker querem solues para variveis que se podem ser positivas, com um problema do tipo:

Maximizar ( )f xr s.r. ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; m mg x b g x b g x b r r rL e 1 20; 0; ; 0nx x x L . Usando a tcnica anterior oLagrangeano seria dado por:

( ) ( )j j j i ij i

f x g x b x = + r rL

As equaes conjuntas a serem resolvidas seriam:

1. 0jj iji i i

gf ix x x

= + = L

2. ( ) 0j j jg x b j = r ou 0jj

=

L

3. 0j jx j =

4. 0j j

5. 0j j

O Lagrangeano de Kuhn-Tucker no inclui as desigualdades { }0 1, 2, ,ix i n L , no considear os multiplicadores de Lagrange r , sendo escrito apenas como:

( ) ( )KT j j jj

f x g x b = r rL

Note que KT i ii

x= + L L . As equaes de Kuhn-Tucker so:

0 0KT KTi ii i ix x x

= + = = L L L

Como 0i ento 0KTix

L

. Se a restrio 0ix = cola escrevemos 0KTii

xx

=

L

0KTi

L

; 0KTii

=

L

; 0i e 0ix .

Equaes de Kuhn-Tucker:

1. 0KTix

L

2. 0KTii

xx

=

L

3. 0KTi

L

4. 0KTii

=

L

5. 0i

6. 0ix

Incluir exemplos de fixao!!

Clculo das Variaes:

Clculo das Variaes comea com o problema da curva brachistocrona levantado por Johann Bernoulli, chamando a ateno de seu irmo Jakob Bernoulli. Leonhard Euler trabalhou sobre o problema e seu livro Elementa Calculi Variationum gerou o termo Clculo das Variaes. Lagrange foi outro nome importante nesse campo e Legendre se preocupou com as condies de segunda ordem para discriminar mximos e mnimos.

Todo o clculo das variaes est baseado na regra de Leibnitz para derivada de integrais demonstrada no apndice Regra de Leibnitz. Essa regra afirma que:

( )( )

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ),, , ,

h x h x

g x g x

f x td dh dgf x t dt dt f x h x f x g xdx x dx dx

= +

Funcional:

Um funcional associa um nmero cada funo ( )y t de um domnio de funes. O domnio pode restringir os tipos de funes, apenas as diferenciveis, por exemplo, ou funes que possuem determinados valores em determinados pontos, etc. A expresso abaixo representa um funcional:

( )2

1

, ,

t

t

J f t y y dt= & onde ( ) ( )dy t y tdt=&

Sabendo f e dada uma trajetria ( )y t , sabemos calcular ( )y t& , substituir em f e calcular o valor J obtido aps a integrao.A questo tpica do Clculo das Variaes se existe uma trajetria especial ( )*y t que torna o valor de J o maior possvel, ou o menor possvel, ou um extremo?

Vamos comear com 1t e 2t fixos e restringir o domnio das funes quelas trajetrias que passam nos pontos ( )1 1,t y e ( )2 2,t y com ( )y t diferenciveis. Nesse caso podemos parametrizar J tornando-a funo univariada de um parmetro da seguinte forma:

( ) ( ) ( )*y t y t t= + Onde ( )*y t a trajetrio tima e ( )t um desvio da trajetria tima. Como ( )y t e ( )*y t so diferenciveis, ento ( )t tambm diferencivel. Alm disso as restries dos pontos inicial e final da trajetria implica que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

*

1 1 1

*

2 2 2

0

0

y t y t y t

y t y t y t

= = =

= = =

Assim podemos construir a funo univariada da varivel :

( ) ( )21

* *, ,

t

t

J f t y y dt = + + &&

Que sabemos possuir um extremo em 0 = , ou seja, ( )0

0d Jd

=

= como condio de

primeira ordem. Alm disso as condies de segunda ordem so ( )2

20

0d Jd

=

< se o extremo

for de mximo e ( )2

20

0d Jd

=

> se o extremo for de mnimo.

Com os limites , 1 2,t t fixos a derivada da integral facilita, desprezando os termos das derivadas dos limites de integrao. Nesse caso:

( ) ( )21

* *, ,

t

t

d J f t y y dtd

= + +

&&

( )2

1

t

t

d f fJ dtd y y

= + &

&

Agora, 22 2

1 11

tt t

t tt

f f d fdt dty y dt y

=

&& & &

aps fazer a integral por partes com vd dt= & e fuy

=

&. O

termo uv nulo porque ( ) ( )1 2 0t t = = . Ento ( )0

0d Jd

=

= implica em:

( )2

1

0t

t

f d ft dt

y dt y = &

Em princpio o fato de que uma integral nula no significa que o integrando seja nulo. Entretanto no nosso caso a integral deve ser nula para qualquer funo arbitrria

( )t significando que a nica forma da integral ser nula sempre que:

0f d fy dt y

=

&

Essa a famosa equao de Euler-Lagrange.

A equao de Euler-Lagrange representa a condio de primeira ordem para que o funcional seja um extremo. Se de mximo ou de mnimo ser discutido no apndice Condies de Segunda Ordem do Clculo Variacional. O problema de otimizao do funcional liberando as condies de pontos fixos no incio e ou fim da trajetria discutido no apndice Condies de Transversalidade.

Generalizaes:

1. Mais de uma varivel dependente ( )2

1

1 2 1 2; , , , ; , , ,t

n n

t

J f t q q q q q q dt= & & &L L . Neste caso

temos uma equao de Euler-Lagrange para cada varivel:

( )0 1,2, ,k k

f d f k nq dt q

=

L

&

2. Mais de uma varivel independente da forma:

( )( )21

1 2 1 2 1 2, , , ; , , , ; , , ,t

n n n jjt

qJ f t t t q t t t q q q dt com qt

= =

L L L

Neste caso a equao de Euler-Lagrange deve ser estendida para cada t:

1 1 2 2

0k n n

f f f fq t q t q t q

=

L

& & &

3. Otimizao com restries do tipo 1. Achar o extremo de:

( )2

1

, ,

t

t

J f t q q dt= & sujeito restrio ( )2

1

, ,

t

t

g t q q dt C= & .

Agora usamos a parametrizao para criar duas funes de :

( ) ( )2

1

, ,

t

t

J f t q q dt = &

( ) ( )2

1

, ,

t

t

I g t q q dt C = = &

E usamos a tcnica dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o extreme. Nesse caso:

( ) ( )L J I C =

As solues so dadas pelas equaes 0L J I

= =

e ( ) 0I C

= =

L

. Agora:

2

1

0t

t

J f d f dty dt y

= = & e

2

1

0t

t

I g d g dty dt y

= = &

portanto:

2

1

0t

t

L f g d f g dty y dt y y

= =

& &

de onde extramos que:

( ) ( ) 0df g f gy dt y

= &

Assim percebemos que basta criar o Lagrangeano ( ) ( ), , , ,f t q q g t q q= & &L com sendo o multiplicador de Lagrange, nest caso, independente do tempo, e resolver a nova equao de Euler-Lagrange:

0dy dt y

=

&L L

4. Otimizao com restries do tipo 2. Achar o extremo de:

( )2

1

, ,

t

t

J f t q q dt= & sujeito restrio ( ), , 0g t q q =&

Agora como ( ), , 0g t q q =& podemos mudar para o tipo 1 fazendo ( ) ( )2

1

, , 0t

t

t g t q q dt = & , e o

multiplicador de Lagrange agora pode ser funo do tempo. Novamente camos na equao de Euler-Lagrange na forma:

( ) ( ) ( ), , , ,f t q q t g t q q= & &L e 0dy dt y

=

&L L

.

Teoria do Controle timo: A teoria do Controle timo uma matemtica do sculo XX e no mais a matemtica do sculo XIX. O matemtico russo L. S. Pontryagin publicou Princpio de Mximo com o qual ganhou o prmio Lenin em 1962, mesmo ano em que seu trabalho foi traduzido para o ingls. O matemtico americano Magnus R. Hestenes da Rand Corporation produziu um report Interno da Rand chamado A general Problem in the Calculus of Variations with Applications to Paths of Least Time.Mais tarde ele publicou um paper estendendo os resultados de Pontryagin com o ttulo On variational theory and Optimal Control Theory, Journal of SIAM, series A, vol.3 p23-48 (1965), e o livro Calculus of Variations and Optimal Control Theory, Wiley&Sons, NY (1966).

L.S. Pontryagin Magnus Hestenes

A teoria do Controle timo est focada em encontrar a melhor trajetria para uma varivel de controle ( )u t , sobre comando do controlador, que leva a varivel ( )y t a uma trajetria maximizadora/minimizadora de uma determinada funo objetivo. A varivel de controle ( )u t precisa, obviamente, interferir na trajetria de ( )y t , chamada de varivel de estado. O problema matemtico achar o extremo de:

( )0

, ,

T

J f t y u dt= sujeito restrio ( ), ,y g t y u=&

Exemplo: Suponha que exista um estoque S de petrleo e que a taxa de extrao, sobre comando do operador do sistema, seja ( )E t , definindo a relao entre estoque e taxa de extrao dada por:

( )dS E tdt

=

Com extrao nula no h consumo e a reserva de petrleo no gera qualquer bem estar. Por outro lado, a extrao vai exaurindo a reserva e diminuindo o consumo no futuro. O futuro vale

menos do que o presente e a funo bem estar acumulada pode ser calculada com uma taxa de desconto da forma:

( )0

Tt

acumU U E e dt=

O problema de otimizao, portanto, pode ser colocado na forma: Maximizar

( )0

Tt

acumU U E e dt=

Sujeito s restries ( )dS E tdt

= e ( )0 oS S= . Nesse caso ( ) ( ), , tf t S E U E e = e a restrio ( )S E t= & . A varivel de controle ( )E t e a de estado ( )S t .

O problema mais geral do controle timo colocado da seguinte forma: otimizar

( )0

, ,

T

J f t y u dt= sujeito restrio ( ), ,y g t y u=& dados ( )0y e condies sobre T e ( )y T .

A varivel de controle pode ser descontinua por partes, mas com descontinuidades finitas. Exemplo tpico o ligar e desligar da maioria dos controles de temperatura. J a varivel de estado deve ser contnua, notando que u atua na derivada de y , mas no diferencivel porque a derivada pode ser descontnua. A teoria mais geral do que o clculo das variaes, portanto, pois capaz de lidar com funes no diferenciveis. Alm disso capaz de manusear restries sobre a varivel de controle e admite solues de canto. Por exemplo, suponha o caso on-off em que { }0,1u , s pode assumir valores 0 (desligado) ou 1 (ligado). A trajetria tima para u pode ser do tipo:

( )1

*

1 2

2

1 [0, )0 [ , )1 [ , ]

t t

u t t t t

t t T

=

Vamos resolver esse problema com um multiplicador de Lagrange e denominamos:

( )u t varivel de controle ( )y t varivel de estado

( )t varivel de co-estado [costate variable] Nosso problema :

Otimizar:

( ) ( )0

, , ,

T

V y u f t y u dt=

sujeito s restries:

( ), ,y g t y u=& ( )0 oy y=

( ),T y T livres.

A restrio ( ), ,y g t y u=& pode ser re-expressa como ( ), , 0g t y u y t = & logo:

( ) ( )0

, , 0T

t g t y u y dt t = &

Logo podemos som-la na funo objetivo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

, , , , ,

T

V y u f t y u t g t y u t y dt = + &

Definindo um Hamiltoniano da forma:

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,H t y u f t y u t g t y u = +

e integrando por partes ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 0

0 0T T T

Tt y dt y y dt T y T y y dt = + = + + & && re-

escrevemos o problema como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

, , , , 0 0T

V y u H t y u y dt T y T y = + + &

A parametrizao feita da seguinte forma:

( ) ( ) ( )*u t u t p t= +

( ) ( ) ( )*y t y t q t= + *T T T= +

( ) *y T y y= + ( )t varivel de co-estado [costate variable]

A funo objetivo univariada dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

* * * * *

0

, , 0 0T T

V H t y q u p y q dt T T y T T y

+

= + + + + + + + &

Vamos impor ( )0

0d Vd

=

= :

( ) ( ) ( ) ( )*

* *

0

Td d dV H y dt H y T T y y T Td d d

= + + + + + + & & & &

( )*

*

0

T H Hq p q dt H y T y y Ty u

+ + + + + & & & &

( ) ( ) ( ) ( )*

* *

0

T

TH Hq t p t dt H T T T yy u

+ + + &

usando y T y = &

Como ( )q t e ( )p t so arbitrrias cada um de seus multiplicadores no integrando devem ser nulos independentemente, assim:

0H Hy y

+ = =

& & e 0H

u

=

Existe ainda uma equao escondida nesse sistema:

( )H f g g y

= + = =

& ou seja Hy

=

& .

Condies de transversalidade:

Se y livre, arbitrrio, ento, ( )* 0T =

Se 0T = , tempo limite especificado, ento ( )* 0H T Se T livre ento ( )* 0H T =

Assim, o problema de achar o extremo de ( ) ( )0

, , ,

T

V y u f t y u dt= sujeito s restries

( ), ,y g t y u=& e ( )0 oy y= , nos leva s seguintes equaes de movimento:

Defina o Hamiltoniano H f g= + e resolva o conjunto de equaes:

H y

=

&

; Hy

=

& ; 0Hu

=

e ( ) 0T = .

Ou seja, sempre se escolhe u que maximiza H em todo momento, e resolve-se H y

=

&

;

Hy

=

&.

Alm disso ainda existe a seguinte propriedade importante na trajetria tima: dH H H H H H H H H Hy udt t y u t y y

= + + + = +

&& &

dH Hdt t

=

Isso significa que se o Hamiltoniano no depende explicitamente do tempo ento 0dHdt

= e

H cte= uma constante, ou seja, existe uma lei de conservao.

Clculo das Variaes como um caso particular da Teoria do Controle timo: No clculo das variaes o problema de Lagrange era:

( )2

1

, , 0t

t

J t q q dt = = &L

Dando origem equao de Euler-Lagrange:

0dy dt y

=

&L L

Vamos re-expressar esse problema no formalismo Hamiltoniano:

Achar o extremo de ( ) ( )2

1

, , ,

t

t

V q u t q u dt= L sujeito restrio q u=& .

Neste caso H u= +L logo:

0 0Hu u u

= + = =

L L

Hq q

= =

& &L por outro lado d

dt u =

& L

portanto 0dq dt u

=

L L

lembrando

que u q= & recuperamos a equao de Euler-Lagrange:

0dq dt q

=

&L L

Exerccios de fixao da operacionalidade da teoria do controle timo esto apresentados no apndice. Exemplos de fixao da Teoria do Controle timo.

Apndice: Srie de Taylor A Srie de Taylor de uma funo de classe C , i.e., infinitamente diferencivel, pode ser explicada da seguinte forma simples e intuitiva. Desejamos aproximar a funo ( )f x em torno de

ox x= por uma srie de potncias na forma no

nn xxaxf )()(

0=

=

. O ndice n define a

ordem da aproximao, com ( ) of x a= para aproximao de ordem zero, ou seja, uma reta horizontal, ( ) ( )1o of x a a x x= + , ou seja uma reta com coeficiente angular 1a , para aproximao de ordem 1, ( ) ( ) ( )21 2o o of x a a x x a x x= + + para a aproximao de ordem 2, e assim por diante. intuitivo que a melhor aproximao seja aquela em que, no ponto

ox x= tanto

a funo quanto sua aproximao sejam idnticas. Nesse caso:

oxxn

on

n axxa o = =

=

|)(0

, logo ( )o oa f x= . Para determinar os outros coeficientes

na tambm vamos exigir que os valores das derivadas da

funo e da aproximao sejam idnticos em o

x x= , como mostra o grfico da figura 4, abaixo, para uma aproximao de ordem 2.

Srie de Taylor

x

f(x)

f(x)ordem 0ordem 1ordem 2

Figura 4. Srie de Taylor.

Podemos demonstrar que os coeficientes !

)()(n

xfa o

n

n = , onde n

nn

dxfd

xf =)()( , atravs dos seguintes passos:

1. nkxxkn

nxxknnnxx

dxd kn

okn

on

k

k= 0)( 0

3. !)( 0 nxxdxd n

n

n

=

4.

=

=

=

nk

nkok

k

kokn

n

xxkn

naxxa

dxd )()!(

!)(0

5. nk

xxk

okn

n

anxxadxd

o!|)(

0

=

==

6. Impondo que

=

==

0

)( |)()(k

xxk

okn

n

on

oxxa

dxd

xf chegamos a: !

)( 0n

xfa

n

n = .

Dessa forma, a Srie de Taylor, dada por: 1 2 ( )

0 0 0 0 0 00

'( )( ) ''( )( ) ( )( )( ) ( )1! 2! !

n nf x x x f x x x f x x xf x f xn

= + + + + +K L

Que pode ser escrita na forma condensada como: ( ) ( ) ( )

0( )

!

nno

o

n

f xf x x xn

=

=

Um caso particular da srie de Taylor a srie de Taylor-McLaurin, para a qual 0ox = :

LK +++

+++= nn

xn

fx

fx

fx

ffxf!

)0(!3

)0(!2

)0(''!1

)0(')0()()(

32

Que pode ser escrita na forma condensada como: ( ) ( )

0

0( )!

n

n

n

ff x xn

=

=

Em princpio essa uma srie infinita. Entretanto, uma srie infinita s ser til se for possvel mostrar que ela converge, ou seja, que pode ser truncada em determinado nmero de termos e

que o erro cometido com essa truncagem tende a zero medida que o nmero de termos includos cresce. O erro cometido com essa truncagem chama-se Resto. Uma srie de Taylor truncada em n s pode ser utilizada para funo diferencivel, pelo menos, n vezes. Mas isso relaxa a condio de que a funo deve ser infinitamente diferencivel.

Casos Particulares:

Funo exponencial: 0 !

kx

k

xe

k

=

=

A expanso da exponencial ( ) xf x e= imediata se notarmos que xxkk

eedxd

= e que, portanto,

1)0()( =kf . Nesse caso:

...

!...

!3!21

!

32

0++++++==

= kxxx

xkx

ek

k

kx

.

Binmio de Newton Generalizado:0 0

!( )!( )!

n nn n k k n k k

k k

nna x a x a x

kk n k

= =

+ = =

Lembrando da frmula do binmio de Newton ( ) ( )0 0!

! !

n nn n k k n k k

k k

nna b a b a b

kk n k

= =

+ = ==

.

Considere a expanso em srie de Taylor-McLaurin da funo ( ) ( )nf x a x= + , com n inteiro positivo. Nesse caso, sabemos que ( ) !(0) ( )!

k n knf a se n kn k

= >

, e ( ) (0) 0kf se k n= > e a srie de Taylor-McLaurin se torna um polinmio de grau n naturalmente truncada em k n= .

Ento, vale a igualdade: 0 0

!( )!( )!

n nn n k k n k k

k k

nna x a x a x

kk n k

= =

+ = =

, que o prprio binmio

de Newton. Os coeficientes dos primeiro e ltimo termos valem 1 pois ! 10 0!( 0)!n n

n

= =

e

! 1!( )!

n n

n n n n

= =

, uma vez que 0! 1= . 1 A srie de Taylor no agregou muito valor ao caso

das funes de potncia em que a expanso binomial de Newton j era muito conhecida.

1 A propriedade dos fatoriais que 1! 1= e ( )1 ! !n n n = . Fazendo 1n = temos que ( )1 1 1 ! 1! = que leva a 0! 1= . Fatoriais

de nmeros inteiros negativos divergem pois fazendo 0n = temos que ( )0 1 ! 0! = ou ( ) 11 !0

= .

Entretanto ela pode ser usada para generalizar o binmio de Newton para valores de n negativos ou no inteiros, em que a srie se torna infinita. A sim, ela agrega grande valor. Se n

negativo no escrevemos )!(!)1)...(2)(1(kn

nknnnn

=+ pela dificuldade dos

fatoriais de nmeros negativos. Nesse caso melhor colocar ( )1 em evidncia em cada termo e usar:

)!1|(|)!1|(|)1()1)...(2)(1(

+=+

n

knknnnnk

Caso particular do binmio de Newton para 1n = :

!)1()!11()!11()1()11)...(3)(2)(1( kkk k

k=

+=+

Esse resultado pode ser usado para a expanso de ( ) ( ) 11f x x = + . Nesse caso:

...1)1(!

!)1()1()( 3200

1 ++==

=+=

=

=

xxxxxk

kxxf

k

kk

k

kk

J para ( ) ( ) 11f x x = obtemos:

...1)(!

!)1()1()( 3200

1 ++++==

==

=

=

xxxxxk

kxxf

k

k

k

kk

.

Caso particular do binmio de Newton para 12n = :

Nesse caso teramos que calcular ( )

( )1 !2

1! !2k k

( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1! 1 2 1 !2 2 2 2 2 21 1! !2 2

11 1 1 1 1 3 5 2 11 1 2 1 1 2 1 !!2 2 2 2 2 2 2 2 2

kk k

k

k k

k k

kk k

+ = =

= + + + = =

L

L L

Onde ( )( ) 1!! 2 42

n n n n

=

L . Nesse caso:

( ) ( )120

( 1) 2 1 !!( ) 1 (1 )2 !

kk

kk

kf x x x xk

=

= + = + =

Agora notamos que:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 !! 2 0 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 !k kk k k k k k k k= + + = =L L E escrevemos a srie como:

( ) ( )( )0( 1) 2 1 !!( ) 1

2 !!

kk

k

kf x x xk

=

= + = .

Logaritmo:1

1

( 1)(1 )k k

k

xLn xk

=

+ =

Para o caso do logaritmo, ( ) ( )0 ln 1 0f = = , e 1)1()( += xxf , as derivadas podem ser facilmente calculadas usando: kkk

kk xkx

dxd

xf

+=+= )1()!1()1()1()( 111)1(

)(, para

obter )!1()1()0( 1)( = kf kk . Desse resultado mostra-se que:

...

432)1(

!)!1()1()1(

432

1

1

1

1++=

=

=+

=

=

xxxx

kx

xkk

xLnk

kk

k

kk

e:

...]432

[)(!

)!1()1()1(432

11

1++++==

=

=

=

xxxx

kx

xkk

xLnk

k

k

kk

.

Apndice: Clculo do Resto da srie de Taylor Para calcular o Resto da Srie de Taylor, precisaremos do Teorema do Valor Mdio de

Cauchy. Partimos do teorema de Rolle: se ( )f x contnua e diferencivel em ( ),a b e ( ) ( )f a f b= ento existe um nmero entre a e b em que a primeira derivada dessa funo

igual a zero. Pode existir mais de um no intervalo, mas o teorema garante que existe pelo menos um.

Teorema do Valor Mdio de Cauchy (TVM) Tomemos duas funes diferenciveis ( )f x e ( )g x tal que ( ) ( )f a f b e

( ) ( )g a g b . Com elas construmos uma nova funo ( ) ( ) ( )F x f x g x= + e determinamos que obriga a ( )F x satisfazer as condies do Teorema de Rolle, ou seja, que ( ) ( )F a F b= , ou seja, ( ) ( ) ( ) ( )f a g a f b g b + = + . Resolvendo para obtemos )()(

)()(agbgafbf

= . Isso

significa ento que ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )f b f aF x f x g xg b g a

=

, satisfaz as condies do Teorema de Rolle.

Nesse caso, existe um nmero ( , )a b , i.e., a b , em que ( ) 0F = . Por outro lado )(')()(

)()()(')(' xgagbgafbf

xfxF

= , logo ( , ) / '( ) 0a b F = , ou seja:

( ) ( )'( ) '( ) '( ) 0( ) ( )

f b f aF f gg b g a

= =

.

O teorema do Valor Mdio de Cauchy afirma que: ( ) ( ) ( )( , ) / ( ) ( ) ( )

f f b f aa b

g g b g a

=

.

No caso particular em que ( )g x x= , ( ) 1g x = o TVM ele se reduz a ab

afbff

=

)()()(' . Resto da Srie de Taylor

Seja ]!

))((!1

))(('!0

))(([)()()(10

n

xbxfxbxfxbxfbfxFnn

++

+

= K o erro

cometido na truncagem da srie de Taylor at ordem n e seja )!1()()(

1

+

=

+

n

xbxG

n

. Como

( )F x e ( )G x satisfazem as condies do TVM de Cauchy ento:

)()()()(

)()(/),(

aGbGaFbF

GFba

=

. Por outro lado, derivando diretamente a funo ( )F x , obtemos:

]!

))((!2

))(('''!2

))(('''!1

))((''!1

))((''!0

))(('!0

))(('[)(')1(22

1100

n

xbxfxbxfxbxf

xbxfxbxfxbxfxbxfxF

nn

++

+

+

=

+

K

Como os termos intermedirios se cancelam [soma telescpica]:

!))(()('

)1(

n

xbxfxF

nn

=

+

.

Derivando diretamente ( )G x obtemos !

)()!1(

))(1()('n

xbn

xbnxG

nn

=

+

+= . Usando esses

resultados no TVM de Cauchy: ( 1)

( 1)

( )( )'( ) ! ( )( )'( )

!

n n

n

n

f bF n f

bGn

+

+

= =

Percebendo que ( ) ( ) 0F b G b= = , ento ( 1)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nF b F a F a f

G b G a G a+ = =

. Logo,

nn

n abn

faGfaF )(

!)()()()(

)1()1(

==

++ . Fazendo x a= na ( )F a obtemos:

)!1())((]

!))((

!1))((')([)(

1)1()(1

+

=

++

+++

n

abfn

abafabafafbf

nnnn K ,

de onde tiramos que existe a b tal que: 1 ( ) ( 1) 1

'( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1! ! ( 1)!

n n n nf a b a f a b a f b af b f an n

+ + = + + + +

+ K .

O erro em truncar com n termos, tambm chamado de resto, dado por ( 1) 1( )( )

( 1)!n n

on

f x xRn

+ +=

+

e tende a zero quando n tende a infinito para valores de x suficientemente prximos de ox .

Apndice. Srie de Taylor de Funes Multivariadas:

Vamos comear com uma funo bivariada ( ) 2, :f x y e queremos a expanso em srie de Taylor de ( ),f x h y k+ + . Tomando y constante sabemos expandir:

( ) ( ) ( ), , ,! ! !

n n mn m nx y x

n n m

h h kf x h y k f x y k f x yn n m

+ + = + =

( ) ( ), ,! !

n mm ny x

n m

h kf x h y k f x yn m

+ + =

Claro que se tivssemos comeado com y constante teramos obtido:

( ) ( ), ,! !

n mn mx y

n m

h kf x h y k f x yn m

+ + =

Como no pode haver diferena entre as duas formas se percebe que

( ) ( ), ,m n n my x x yf x y f x y = . Agora vamos re-expressar a srie da forma:

( ) ( ) ( ), , ,! !

m mn nyx

n m

khf x h y k f x y T f x yn m

+ + = =

onde

! !

m mn nyx

n m

khTn m

= o operador srie de Taylor.

Agora queremos a srie em ordem crescente em l , de tal forma que n m+ = l , ento

( ) ( )0

1 !, ,

! ! !n n n n

x yn

f x h y k h k f x yn m

=

+ + =

ll l

l

l

l

Por outro lado, lembrando que que as derivadas so operadores lineares, sabemos que o operador

0

!! !

n n n nx y x y

n

h k h kn m

=

+ = ll l ll

Logo a srie de Taylor pode ser expressa como:

( ) ( ) ( ), ,!

xf x h y k f x y

+ + =

l

l

uur

l

O processo pode ser rapidamente generalizado para dimenses maiores do tipo

( ) : nf x r onde queremos a expanso em srie de Taylor de ( )f x x+ uurr . ( ) ( )1 21 2

1 2

1 2 11 2 1

1 2! ! !

nn

n

mm mmm m

m m m n

x x xf x x f xm m m

+ =

uurr rL

Agora fazemos 1 2 nm m m+ + + =L l e multiplicamos e dividimos por !l para obter:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2

1 1 2 20 0 01 2 1 2

1!

!! ! !

n

n

mm m

n nm m mn n

m m m

f x x x x x f xm m m

= = =

+ + + =

+ =

l l l

l

L l

uurr rL

l

lL

L

Por binmio de Newton sabemos que:

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2

1 1 2 2 1 1 2 20 0 01 2 1 2

!! ! !

n

n

m nm m

n n n nm m mn n

m m m

x x x x x xm m m

= = =

+ + + =

= + + +

l l l

L l

L Ll

LL

Ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2

1 1 2 20 0 01 2 1 2

!! ! !

n

n

nmm m

n nm m mn n

m m m

x x x xm m m

= = =

+ + + =

=

l l l

L l

uurL

lL

L

A srie de Taylor em n variveis dada portanto por:

( ) ( ) ( ),!n

n

xf x x f x y

n

+ =

uuruurr

At ordem 2 podemos escrever a srie de Taylor multivariada como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212!f x h f x h f x h f x+ = + + r r rr r r r

Ou ainda como:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

12!

n n n

i i i ij ji i j

f x h f x h f x h f x h= = =

+ = + + rr r r r

A matriz ( ) ( )2

ij iji j

H f x f xx x

= =

r r

chamada de Matriz Hessiana.

Apndice. Convexidade de uma curva:

Funo cncava: uma funo cncava se para ( ) ( ) ( )1 2,x x x f x R x > onde ( )R x a reta secante que une os pontos ( )1 1,x f x ( )2 2,x f x . Esse o caso da figura 2(a). Funo convexa: uma funo convexa se para ( ) ( ) ( )1 2,x x x f x R x < onde ( )R x .Esse o caso da figura 2 (b).

Figura 2. (a) Funo cncava. (b) Funo convexa.

Vamos construir um ( )1 2,x x x atravs de um parmetro ( )0,1 da forma ( ) ( )2 11x x x = + . Se 0 = ento ( ) 10x x= e se 1 = ento ( ) 21x x= . Alm disso ( ) ( ) ( )2 1 2 2 21 1x x x x x x = + + = e ( ) ( ) ( )2 1 1 1 11 1x x x x x x = + + = , logo

( )1 2x x x< < pertence ao intervalo ( )1 2,x x . A equao da reta secante que passa pelos pontos ( )1 1,x f x e ( )2 2,x f x dada por ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

1 2 1

R x f x f x f xx x x x

=

, ou seja,

( ) ( ) ( ) ( )11 2 12 1

x xR x f x f x f xx x

= +

ou, em termos de ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 11 2 1 1 2 12 1 2 1

1x x x x xR f x f x f x f x f x f xx x x x

+ = + = +

, que nos

leva, finalmente, a: ( ) ( ) ( ) ( )2 11R f x f x = + .

Da afirmamos que:

1. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f x x f x f x + > + para ( )0,1 ento a funo ( )f x estritamente cncava

2. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f x x f x f x + < + para ( )0,1 ento a funo ( )f x estritamente convexa.

Generalizao da convexidade para funes de n :

Seja 1 2( , , , )nX x x x=r

L um vetor em n e ( ) : nf X r uma funo escalar que associa um nmero real a um vetor. Ento:

1. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f X X f X f X + > + r r r r para ( )0,1 ento a funo ( )f xr estritamente cncava.

2. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f X X f X f X + < + r r r r para ( )0,1 ento a funo ( )f xr estritamente convexa

Apndice Otimizao com Restries: demonstrao rigorosa.

Se ( )* 0n

gx

x

r

ento existe uma funo inversa local implcita tal que

( )1 2 1, , ,n nx x x x = L que pode ser utilizada para eliminar a varivel nx e camos em funes de 1n variveis dadas por:

( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , ,n n nG x x x g x x x x x x = L L L e

( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , ,n n nF x x x f x x x x x x = L L L Note que a F j inclui a restrio, automaticamente satisfeita quando fizemos

( )1 2 1, , ,n nx x x x = L . Ento as condies de ponto extremo da F so as usuais:

[ ]0 1,2, , 1iF i n

x

=

L e

21 1

1 1

21 1

1 1

0 max

0 min

n n

i ji j i jn n

i ji j i j

F h hx x

F h hx x

= =

= =

Agora 0i i n i

G g gx x x x

= + =

pois G c= , o que significa que i

i

n

gx

x gx

=

. Por outro

lado 0i i n i

F f fx x x x

= + =

, ento 0n

i i

n

fxf g

x xgx

=

. Como n

n

fx

gx

=

uma

constante, calculada no ponto *xr

temos que:

0i i

f gx x

=

ou ainda que [ ] 0 1,2, , 1if g i n

x = =

L .

Por outro lado [ ] 0nn n n n n n n

n

fxf g f g f ff g

x x x x x x xgx

= = = =

automaticamente. Portanto podemos estender a condio para

( ) 0 1,2, ,i

f g c i nx

= = L .

Definindo a funo Lagrangeana dada por: ( ) ( ), x f g x c = r rL vemos que as condies de primeira ordem para um extremo so que ( ), 0 1,2, ,

ix i n

x = =

r

LL . Essa

equao deve ser resolvida em conjunto com a restrio, mas notamos que

( ) 0f g c

= implica em ( ) 0g c = , ou seja, a prpria restrio. Usando a

funo Lagrangeana o nosso problema resolver o conjunto de equaes simultneas:

( ), 0 1,2, ,i

x i nx

= =

rLL

( ), 0x

=

rL

A condio de segunda ordem um pouco mais complicada. Vamos usar a notao jj

f fx

=

para simplificar. Nesse caso temos:

j j n j

j j n j

F f fG g g

= +

= +

Sabemos que 0j j n jG g g = + = , logo j j jF F G= e ij ij ijF F G= . Por outro lado:

( ) ( )( ) ( )

ij ij nj i in nn i j n ij

ij ij nj i in nn i j n ij

F f f f f fG g g g g g

= + + + +

= + + + +

Subtraindo as duas equaes obtemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )ij ij ij ij in in j nj nj i

nn nn i j n n ij

F G f g f g f gf g f g

= + + +

+ +

Agora:

0nn n n nn

ff g f gg

= =

Ento:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

n n n n n n

ij ij i j ij ij i j in in i j ji j i j i jn n n n

nj nj j i i nn nn i i j jj i i j

F G h h f g h h f g h h

f g h h f g h h

= = = = = =

= = = =

= + +

+ +

Definindo um 1

1

n

n i ii

h h

=

= e usando o fato de que n

ii

gg

= temos que 1

1

1 nn i i

inh g h

g

=

= ,

ou seja, 1

10

n

i i n ni

g h g h

=

+ = , i.e., 1

0n

i ii

g h=

= nos garante que hr

est na curva ( )g x h c+ =rr . Nesse caso temos que:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1 1

1 1 1 1 11

1

n n n n n

ij ij i j ij ij i j in in i ni j i j in

nj nj j n nn nn n nj

F G h h f g h h f g h h

f g h h f g h h

= = = = =

=

= + +

+ +

Assim conclumos que:

( ) ( )1 1 1 11 1 1 1 1 1

n n n n n n

ij i j ij ij i j ij ij i ji j i j i j

F h h F G h h f g h h

= = = = = =

= =

Hessiano orlado:

O Hessiano orlado definido como:

1

1 11 1

1

0 nn

n n nn

f ff H H

H

f H H

=

L

L%

M M O M

L

. Note as duas orlas nas

primeira linha e primeira coluna da matriz Hessiana. A condies de segunda ordem dos pontos de mximo e mnimo sero dadas pela definio do Hessiano orlado discutido no apndice Definio de matrizes simtricas com restrio. Note que o Hessiano orlado poderia sair diretamente do Lagrangeano se incluirmos como uma varivel pois:

( ) ( )2 ,i i

x g xx x

=

r rL e

( )22,

0x

=

rL

Apndice. Definio de matrizes simtricas:

Dizemos que a matriz

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nn n

n n nn

m m m

m m mM

m m m

=

L

L

M M O M

L

definida positiva se 0h Mh >r r

para qualquer 0h r r

. A matriz ser definida negativa se 0h Mh r r

ento 0kkM > e se 0h Mh , ou ainda, [ ]det 1ksign M = para qualquer [ ]1,k n .

b. Se M definida negativa ento [ ] ( ) 1det 1 kksign M += , ou seja, o sinal do determinante vai alternando na forma ( ) + + L .

A melhor forma de prova esse teorema diagonalizar as submatrizes, mas instrutivo analisar o caso de uma matriz 2 2 e outra 3 3 com a tcnica de completar quadrado.

Matriz 2 2 :

( ) 11 1212 22

m m hq h k

m m k

=

( ) 11 12 2 211 12 2221 22

2m h m k

q h k m h m hk m km h m k

+ = = + + +

2 21211 22

112mq m h hk m km

= + +

2 22 2 2 212 12 12

11 2211 11 11

2 m m mq m h hk k k m km m m

= + + +

2 22 2 2 212 12 12

11 2211 11 11

2 m m mq m h hk k m k km m m

= + + +

2 2212 11 22 12

1111 11

m m m mq m h k km m

= + +

( ) ( )( )2*2 2

11

detdet

detM

q M h kM

= + onde * 1211

mh h km

= + .

Se 0q > e como *2 0h > e 2 0k > preciso que 1det 0M > e 21

det 0det

MM

> o que implica

em 1det 0M > e 2det 0M > . Por outro se 0q < preciso que 1det 0M < e 21

det 0det

MM

<

o que implica em 1det 0M < e 2det 0M > .

Matriz 3 3 :

( )11 12 13

12 22 23

13 23 33

m m m hq h k l m m m k

m m m l

=

( )11 12 13

12 22 23

13 23 33

m h m k m lq h k l m h m k m l

m h m k m l

+ +

= + + + +

2 2 211 12 13 22 23 332 2 2q m h m hk m hl m k m kl m l= + + + + +

[ ]2 2 211 12 13 22 23 332 2q m h m k m l h m k m kl m l= + + + + +

( ) ( )

( )

2211 12 13 12 132

11 11

2 2 212 13 22 23 33

11

1 12

1 2

q m h m k m l h m k m lm m

m k m l m k m kl m lm

= + + + + +

+ + + +

( )2

22 212 1311 22 12 13 23 33

11 11

1 2m k m lq m h m k m k m l m kl m lm m

+= + + + + +

( ) ( ) ( )

212 13

1111

2 2 2 211 22 12 11 23 12 13 11 33 13

11 11 11

1 1 12

m k m lq m hm

m m m k m m m m kl m m m lm m m

+= + +

+ + +

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

212 13

1111

2 211 22 12 11 23 12 13 11 23 12 132 2

22 211 11 22 12 11 22 12

2 211 22 12 11 23 12 13 2 2 2

11 33 132211 1111 22 12

2

1

m k m lq m hm

m m m m m m m m m m mk kl l

m m m m m m m

m m m m m m ml m m m l

m mm m m

+= + +

+ + + +

+

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

22211 22 12 11 23 12 1312 13

11 211 11 11 22 12

22 2 211 22 12 11 33 13 11 23 12 132

11 11 22 12

1

m m m m m m m lm k m lq m h km m m m m

m m m m m m m m m m lm m m m

+ = + + + +

+

( ) ( )( )

( )

22211 22 12 11 23 12 1312 13

11 211 11 11 22 12

2 2 2 2 211 22 33 11 22 13 11 12 33 12 13 2

2 2 2 2 211 11 22 12 11 23 11 12 13 23 12 13

12

m m m m m m m lm k m lq m h km m m m m

m m m m m m m m m m ml

m m m m m m m m m m m m

+ = + + + +

+

+

+

( ) ( )( )

( )( )

22211 22 12 11 23 12 1312 13

11 211 11 11 22 12

2 2 211 22 33 12 13 23 11 23 22 13 12 33 2

211 22 12

2

m m m m m m m lm k m lq m h km m m m m

m m m m m m m m m m m ml

m m m

+ = + + + +

+ +

( ) ( )( )( )( )

32*2 *2 21

1 2

detdetdet

det detMM

q M h k lM M

= + +

Ento se 0q > exigimos que 1det 0M > , 21

det 0det

MM

> e 3

2

det 0det

MM

> o que implica em

1det 0M > , 2det 0M > e 3det 0M > . Mas se 0q < preciso que 1det 0M < ,

2

1

det 0det

MM

< e 3

2

det 0det

MM

< o que implica em 1det 0M < , 2det 0M > e 3det 0M < .

No entanto a melhor forma de provar o caso geral usar a tcnica de diagonalizao de matrizes.

J sabemos que se a matriz M definida positiva ou negativa ento as sub-matrizes kM possuem a mesma definio. Sabemos que uma transformao de similaridade do tipo

1M S M S = preserva o determinante e queremos descobrir o sinal de k k kq h M h=r r

. Seja kS a matriz que diagonaliza kM , simtrica, ou seja k k k kS M S D = , ento podemos fazer

k k k k k k kq h S S M S S h =r r

, ou seja, k k k k kq h S D S h =r r

. Agora definimos *k k kh S h=r r

logo

*k k kh h S=r r

logo * *k k kq h D h=r r

.

Mas

1

2

0 00 0

0 0

k

k

D

=

L

L

M M O M

L

ento *2

1

ki i

iq h

=

= . Logo se 0q > ento 0i i > , mas

se se 0q < ento 0i i < . Se 0i i > ento det 0kD > , mas se 0i i < ento [ ] ( )det 1 kksign D = . Como a transformao de similaridade preserva os determinantes

ento, a condio 0q > implica em [ ]det 1ksign M k= + e a condio 0q < implica em [ ] ( )2det 1ksign M k= .

Apndice: Definio de matrizes simtricas com restrio.

Suponha agora que os vetores possveis devem obedecer a uma restrio do tipo:

1 2 0f h f k+ = . Nesse caso as duas variveis h e k no so mais independentes, mas devem obedecer a relao 2

1

fh kf= .

Assim 2

2 2 2 2 22 211 12 22 11 12 222

112 2f fq A h A hk A k A k A k A kff= + + = +

22 2

2 11 1 2 12 1 22 21

2 kq f A f f A f A f = +

E o sinal de q ser definido pelo sinal de ( ) ( )2 22 11 1 2 12 1 222sign q sign f A f f A f A= + . Agora percebemos que

1 22 2

1 11 12 2 11 1 2 12 1 22

2 12 22

0det 2

f ff A A f A f f A f Af A A

= +

logo em

lugar de encontrar os sinais de dois subdeterminantes encontramos o sinal de apenas um mas com uma orla.

Generalizando:

Sem restrio com uma matriz Hessiana n n da forma

11 12 1

12 22 2

1 2

n

n

n n nn

H H HH H H

H

H H H

=

L

L

M M O M

L

ento

a matriz definida positiva se ( )1 11det detH H= , 11 12212 22

det detH H

HH H

=

,

11 12 1

12 22 2

1 2

det det

k

kk

k k kk

H H HH H H

H

H H H

=

L

L

M M O M

L

at

11 12 1

12 22 2

1 2

det det

n

nn

n n nn

H H HH H H

H

H H H

=

L

L

M M O M

L

forem

todos positivos. A matriz ser definida negativa se 2 1det 0kH + < e 2det 0kH > .

Com restrio:

1

1 11 1

1

0 nn

n n nn

f ff H H

H

f H H

=

L

L%

M M O M

L

ser definido positivo se os determinantes

3det 0H

Apndice. Definio de Matrizes e concavidade das curvas:

A definio da matriz Hessiana tambm define a concavidade da funo. Se ( )f xr estritamente cncava ou convexa ento:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1

f x x f x f x concavaf x x f x f x convexa

+ > +

+ < +

r r r r

r r r r para x e xr r

.

Ento tambm vale para x x h = +rr r

com 0h r r

mas com 0h r

. Nesse caso

( ) ( )1 1x x x x h x h + = + + = +r rr r r r r ento: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1

f x h f x f x h concavaf x h f x f x h convexa

+ > + +

+ < + +

r rr r r

r rr r r

Agora, por srie de Taylor at segunda ordem sabemos que:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

12!

n n n

i i i ij ji i j

f x h f x h f x h f x h= = =

+ = + + rr r r r

Que pode ser escrita como:

( ) ( ) ( ) 12f x h f x h f x h Hh + = + +r r r rr r r

Fazendo h hr r

temos que:

( ) ( ) ( ) 22f x h f x h f x h Hh + = + +r r r rr r r

Logo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

112 2

112 2

f x h f x h Hh f x f x h f x h Hh concava

f x h f x h Hh f x f x h f x h Hh convexa

+ + > + + +

+ + < + + +

r r r r r rr r r r r

r r r r r rr r r r r

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

22 2

2 2

f x h f x h Hh f x h f x h Hh concava

f x h f x h Hh f x h f x h Hh convexa

+ + > + +

+ + < + +

r r r r r rr r r r

r r r r r rr r r r

2

22 2

2 2

h Hh h Hh concava

h Hh h Hh convexa

>

e a concavidade definida por: 00

h Hh concavah Hh convexa

r r

r r

ou seja, se o Hessiano for definido negativo a funo cncava e se for definido positivo a funo convexa. intuitivo que funes cncavas possuam mximos enquanto funes convexas possuam mnimo.

Apndice. Exemplos de Otimizao com Restrio:

1. Maximizar 1 2y x x= s.r. 1 24 16x x+ = .

( ) [ ]1 2 1 2, 4 16x x x x x = + rL

( )21

0 1xx

= =

L

( )12

4 0 2xx

= =

L

( ) ( )1 24 16 0 3x x

= + =

L

Das equaes (1) e (2) temos que 12 4x

x = = logo 1 24x x= . Jogando essa relao na restrio [equao (3)] temos ( )2 2 2 14 4 16 0 2 8 2x x x x + = = = = A matriz Hessiana orlada

2 2 2

21 1

2 2 2

1 221 1 212 2 2

21 1 2 2

0 1 41 0 14 1 0

x x

H x e xx x xx

x x x x

= =

%

L L L

L L L

L L L

.

Entre os sub-determinantes 0 1 2,D D e D s o 2D interessa pois uma restrio comea no 1+1+1=3, e troca-se o sinal em relao ao determinante sem restrio. determinante

2

0 1 4det 1 0 1 4 4 8 0

4 1 0D

= = + = >

.

Como 2 0D > com uma restrio o 2D sem restrio seria negativo, matriz definida negativa. Assim ponto de mximo.

Esse problema tambm fcil de resolver por substituio. Da restrio temos que ( )1 24 4x x= . Substituindo na funo objetivo ( )2 24 4y x x= , logo

( )2 2 22

4 4 4 16 8 0dy x x xdx

= = = e 2 2x = e ( )1 4 4 2 8x = = . A segunda derivada 2

22

8 0d ydx

= < , logo o ponto de mximo.

2. Maximizar ( ), ,f x y z xz yz= + s.r. 2 2 1y z+ = e 3xz = .

( ) ( ) ( )2 21 2, 1 3x xz yz y z xz = + + rL ( ) ( )2 21 0 1z z z

x = = =

L

( )12 0 2z yy

= =

L

( )1 22 0 3y x z xz

= + =

L

( ) ( )2 21

1 0 4y z

= + =

L

( ) ( )2

3 0 5xz

= =

L

Da equaes (1) ou 2 1 = ou 0z = . Mas 0z = entra em contradio com 3 0 3xz = = . Logo, obrigatoriamente, 2 1 = .

12 0z y =

12 0y z =

Extraindo z e substituindo ( )2 21 14 1 4 0y y y = = com duas opes 0y = ou ( )211 4 0 = . Novamente se 0y = ento 0z = em contradio com 3xz = . Logo 21 14 = e

112

+ = e 112

= .

Para 11 2 02 2

y z y z+ = = =

Para 11 2 02 2

y z y z = + = =

Em qualquer um dos dois casos y z= a restrio 2 2 21 2 1y z z+ = = , logo 12

z = , 12

y = e 3 3 2xz

= = . Assim temos 4 pontos extremos:

( )

( )

( )

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1, , , , 3 2, , , ,1

22 21 1 1

, , , , 3 2, , , ,122 2

1 1 1, , , , 3 2, , , ,1

22 21 1 1

, , , , 3 2, , , ,122 2

x y z

x y z

x y z

x y z

=

=

=

=

Agora vamos ao Hessiano Orlado:

2 2 2 2 2

21 2 1 1 11

2 2 2 2 2

21 2 2 2 222 2 2 2 2

21 2

2 2 2 2 2

21 2

2 2 2 2 2

21 2

x y z

x y z

Hx x x y x zx

y y x y y zy

z z x z y z z

=

%

L L L L L

L L L L L

L L L L L

L L L L L

L L L L L

( )

( )2

1

2 1

0 0 0 2 20 0 00 0 0 12 0 0 2 12 1 1 2

y zz x

z

yz x

=

.

Como 2 1 = ento

1

1

0 0 0 2 20 0 00 0 0 02 0 0 2 12 0 1 2

y zz x

H zyz x

=

%

So 3 variveis e 2 restries ento s o sub-determinante total 4D interessa. Podemos usar a coluna ou a linha 3 cheia de zeros para diminuir a ordem do determinante:

11

11

0 0 0 2 20 0 2 2

0 0 00 0 0

det det0 0 0 02 0 2 1

2 0 0 2 12 1 2

2 0 1 2

y zy z

z xz

zzy

yz x

z x

=

Agora usamos a linha 2 para diminuir mais uma ordem:

( )4 11

0 2 2det 2 2 1

2 1 2

y zD z z y

z

=

( ) ( )2 2 2 2 2 24 1 1 14 4 8 8 8D z zy zy z y z zy z y = + + + = + + como 2 2 1y z+ = ento:

[ ]24 18D z zy = + Para 21 1

1 1 1 1 12 2 2 2

z y zy z zy = = = = + = + = portanto 24 8 0D z= <

logo se trata de ponto de mximo.

Para 1 11 1 1 1 12 2 2 2

zy zy = = + = = portanto 24 8 0D z= > logo se trata

de ponto de mnimo

Assim os pontos ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2

x y z =

e ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2

x y z =

so pontos de

mximo enquanto os pontos ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2

x y z =

e ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2

x y z =

so

pontos de mnimo. Voltando funo objetivo vemos que 1 1 1 1 1 1 73 2, , 3 2 3

2 22 2 2 2 2f = + = + =

logo 72

o valor mximo. J

1 1 1 1 1 1 53 2, , 3 2 32 22 2 2 2 2

f = = =

m logo 52

o valor mnimo.

Apndice. Regra de Leibnitz:

Seja ( ) ( )( )

( ),

h x

g x

F x f x t dt= . Queremos calcular ( )d F xdx .

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ), ,

h x x h x

g x x g x

F x f x x t dt f x t dt+

+

= +

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ), , , ,

g x h x h x x h x

g x x g x h x g x

F x f x x t dt f x x t dt f x x t dt f x t dt+

+

= + + + + +

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ), , , ,

h x h x x g x x

g x h x g x

F x f x x t f x t dt f x x t dt f x x t dt+ +

= + + + +

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ), , 1 1

, ,

h x h x x g x x

g x h x g x

F x f x x t f x tdt f x x t dt f x x t dt

x x x x

+ + + = + + +

Agora, seja ( ),P x t tal que ( ) ( ), ,P x t f x tx

=

, ou seja, ( ) ( ), ,P x t f x t dt= , ento:

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

, ,1,

, ,

, ,

x x

x

P x x x x P x x xf x x t dtx x

P x x x x P x x x x x xx x x x

P d dx x f x x

dx dx

+ + + + + = =

+ + + + = =

+

= =

Ento:

( )( )

( )( )( )1 , ,

h x x

h x

dhf x x t dt f x x h xx dx

+

+ = +

( )( )

( )( )( )1 , ,

g x x

g x

dgf x x t dt f x x g xx dx

+

+ = +

Logo:

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ), , ,

h x

g x

dF x f x t dh dgdt f x h x f x g xdx x dx dx

= +

Ou seja, a regra de Leibnitz de derivar integrais :

( )( )

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ),, , ,

h x h x

g x g x

f x td dh dgf x t dt dt f x h x f x g xdx x dx dx

= +

Casos particulares?

1. Os limites no dependem de x . Nesse caso:

( ) ( ),,b b

a a

f x td f x t dt dtdx x

=

2. O integrando no depende de x . Nesse caso:

( )( )

( )( )( ) ( )( )

h x

g x

d dh dgf t dt f h x f g xdx dx dx

=

Apndice. Condies de Segunda Ordem do Clculo Variacional:

J sabemos que ( )21

t

y yt

dJ f f dtd

= + & & onde yffy

=

e y

ffy

=

& &. Aplicando a segunda derivada

temos:

( )21

22 2

2

t

yy yy yy yyt

d J f f f f dtd

= + + + & & & && & &

Que pode ser escrito na forma matricial:

( )2

1

2

2

tyy yy

yy yyt

f fd J dtf fd

=

& & &

&

&&

Assim:

2

2 0d Jd > se a matriz

yy yy

yy yy

f ff f

& & &

&

for definida positiva e o extremo de mnimo.

2

2 0d Jd < se a matriz

yy yy

yy yy

f ff f

& & &

&

for definida negativa e o extremo de mximo.

Logo, usando as regras dos determinantes das matrizes definidas positivas e negativas, temos que o extremo ser de mximo ou mnimo se ( )2 0yy yy yyf f f >& & & . Se essa condio no for satisfeita o ponto de sela. Ser mnimo se 0yyf >& & e mximo se 0yyf

Apndice. Condies de Transversalidade:

Suponha agora o problema de encontrar o extremo de ( )0

, ,

T

J f t y y dt= & sem a exigncia de que

T e ou ( )y T sejam fixos. Para simplificar vamos manter o ponto inicial fixo em ( ) ( )1 1, 0, ot y y= . A nova parametrizao,considerando ( )*y t a trajetria tima, *T o tempo final timo e ( )* * *fy y T= o y final timo, ser:

( ) ( ) ( )*y t y t t= + ( )*T T t T= +

*

f fy y y= + Agora o funcional dado por:

( ) ( )*

* *

0

, ,

T T

J f t y y dt

+

= + + &&

E devemos derivar tambm o limite de integrao usando a regra de Leibnitz, da forma:

( ) ( )*

*

0

T Td f fJ dt f T T Td y y

+

= + + + &

&

Logo

( ) ( )*

*

00

Td f fJ dt f T Td y y

=

= + +

&&

A integral por partes agora tambm deve ser feita com cuidado porque o termo uv no mais nulo:

( ) ( )*

* * *

* *

0 0 00

TT T Tf f d f f d fdt dt T T dty y dt y y dt y

= =

&& & & & &

Substituindo no resultado anterior temos:

( ) ( ) ( ) ( )*

* * *

00

Td f d f fJ dt T T f T Td y dt y y

=

= + +

&& &

Agora ( ) ( )* * * *f fy y y y T T y T = = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

* * * *

* * * * * * * *

* *

y T T y T T T T

y T T y T y T T y T T T

y y T T T

+ = + + +

+ = + + +

= + + &

Logo

( )* *T T y y T + = & e no limite 0 ( )* *T y y T = & . Substituindo na equao acima temos:

( ) ( )* *

*

00

Td f d f f fJ dt T y f y Td y dt y y y

=

= + +

& && & &

O extremo ser dado pela condio:

( )* *

*

0

0T f d f f fdt T y f y T

y dt y y y + + =

& && & &

Novamente a funo ( )t arbitrria significando que a integral e os outros dois termos devem ser nulos independentemente. Para a integral ser nula continua valendo a equao de Euler-Lagrange:

0f d fy dt y

=

&

Mas a ela devemos acrescentar as condies de transversalidade:

( )*

* 0f fT y f y Ty y

+ = &

& &

Exemplos de fixao:

Considere o problema de encontrar a distncia origem em um plano ,x y . A trajetria agora ( )y x e manteremos a notao fazendo x t= . Nesse caso 2 2 21d dt dy y dt= + = + &l e

2

0

1T

y dt= + &l . A funo objetivo ( ) 2, , 1f t y y y= +& & . Nesse caso 0yf = e

2 2

1 22 1 1

yy yfy y

= =

+ +&

& &

& &. Note que ( ) ( ) ( )

22 2 2

2 3 32 22 22

11 1 1

1 11yy

yy yy y yf

y yy

+ + +

= = =

+ ++& &

&& &

& & &

& &&

o que

significa que 0yyf >&& sempre, e o problema de mnimo.

Equao de Euler-Lagrange 0y ydf fdt

=& nos leva a 0yd fdt

=& ou seja yf c=& , logo

21y

cy

=

+

&

&. Assim ( ) 22 2 2 2 2 21 1 1

c cy c y y y ac c

= + = = =

& & & & . Se y a=& ento

y at b= + . Como ( )0 0y = , ento 0b = e a reta y at= que passa na origem uma soluo. Retas gerando distncias mnimas so esperadas. Falta determinar o coeficiente angular da reta.

Caso 1. 2T t fixo= = e ( ) 2y T y= , ento 2 2y at= , logo 22

ya

t= e a reta ( ) 2

2

yy t tt

= a

trajetria de menor distncia entre a origem e o ponto ( )2 2,t y .

Caso 2. 2T t fixo= = mas ( )y T livre= , ento vamos impor que ( ) 0yf T =& . Mas 21yyfy

=

+&

&

&

, y a=& logo 21

yaf ta

= +

& logo 0a = e a reta horizontal ( ) 0y t = a trajetria de menor distncia entre a origem e o ponto ( )2 ,0t . Caso 3. T livre= mas ( ) fy T y= , ento vamos impor que ( ) ( ) 0yf T yf T =&& . Mas 2 21 1f y a= + = +& , y a=& e

21y

af ta

= +

& logo

( ) ( ) 22 2

111 1

yaf T yf T a aa a

= + =+ +

&& 0a = . Entretanto, para que

2

1 01 a

=

+ preciso

que a e a reta horizontal ( ) 0y t = e 0yyTa

= . A trajetria a reta vertical entre a

origem e o ponto ( )0, fy . Caso 4. O ponto final deve cair na reta ( )T T = + . Nesse caso impomos a condio

( ) ( ) 0yf T yf T =&& , com =& temos que a condio dada por ( ) yf y f= &&& ,. Mas ( )2

21

1a

a aa

+ = +

, logo 2 21 1a a a a + = = e 1a = . Nesse caso 1y t= a reta perpendicular ( )T T = + que passa pela origem. O ponto de encontro

das retas dado por 1 T T = + ou seja 2 1T

+= , ou seja, 21T

= + .

Exerccio: Considere o problema da trajetria de menor distncia da origem at o crculo ( ) ( )2 2 2o oy y T T R + = . Mostre que a trajetria a reta que passa pela origem e pelo centro do crculo ( ),o oT y . Determine T e ( )y T .

Apndice. Exemplos de fixao da Teoria do Controle timo: Exemplos de fixao:

1. Maximizar ( )12 20

1T

V u dt= + s.r. y u=& e ( )0y A= .

Nesse caso ( )12 21H u u= + + , ( ) ( )12 21 1 2 02

Hu u

u = + + =

logo

21u

u=

+,

ento:2 2

2 2 2 2 2 22 2 21 1 1

uu u u u

u

= = + = =

+

0Hy

= =

& logo o = constante. Como ( ) 0T = ento 0 = , logo 0u = . Neste caso

0y =& e y A= .

2. Vamos apresentar um problema em que a varivel de controle pode ser descontnua.

Maximizar ( )2

0

2 3V y u dt= s.r. y y u= +& ; ( )0 4y = ; ( )2y livre= e ( ) [ ]0, 2u t .

Nesse caso ( )2 3H y u y u= + + .

Maximizar H em relao u : 0 3

30 3

seHseu

> >

= = < o u que maximiza H ser 2u = , o maior valor permitido para o u . J se 3 < o u que maximiza H ser 0u = , o menor

valor permitido. Dessa forma podemos escrever:

( )* 2 30 3

seu t

se

>=

Notando que o fato de que H uma funo linear de u implica que Hu

=

sempre, para

qualquer u , e a condio 0Hu

=

sempre, no pode valer nesse caso para determinar u . O

critrio claro que escolhendo u que maximiza H o tempo todo teremos Hdt mximo.

Encontrando :

2Hy

= =

& logo 2 + = & uma equao diferencial de primeira ordem. Usando a

soluo 1t

oe = + , temos que 1 2t to oe e + + = , ou seja, 1 2 = e ( )1 0toe + = , ou

seja, 1 = . Dessa forma 2toe = .

Por outro lado as condies de transversalidade impem que ( )2 0 = logo 2 2 0oe = e 22o e = , portanto, ( )22 1te = . Para 0t = ( ) ( )20 2 1 12.778 3e = > e, claro, ( )2 0 = . O

tempo limite em que ( )* 3t = definido por ( )*22 1 3te = , ou seja, *2 52te = . Aplicando o logaritmo de ambos os lados, *2 ln 5 ln 2t = , ou seja, * 2 ln 5 ln 2 1.084t = + . Com isso temos:

( )* 2 0 1.0840 1.084 2

tu t

t

Usando a condio inicial ( )0 4Iy = tiramos que 1 2 4a = logo 1 6a = . A outra condio que ( )y t contnua, ento ( ) ( )* *I IIy t y t= , logo * *26 2t te a e = de onde extramos que

( )*2 2 3 ta e= . Finalmente temos:

( ) ( )( )**

*

*

2 3 1 0

2 3 2

t

t t

e t ty t

e e t t