Otimização Linear

Profª : AdrianaDepartamento de Matemática

adriana@fc.unesp.brwwwp.fc.unesp.br/~adriana

Teoria da Otimização Linear

Transformação de problemas na forma padrão

1 1i in n ia x a x b

ai1x1 + ...+ ainxn + xk = bi

xk ≥ 0

ai1x1 + ...+ ainxn - xk = bi

xk ≥ 0

1 1i in n ia x a x b

variável xi irrestrita de sinal no problema

, com 0, 0.i i i i ix x x x x

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 2

Teoria da Otimização Linear

minimizar f (x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn

Sujeito a:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

x1 0, x2 0,..., xn 0

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Teoria da Otimização Linear

Solução factível satisfaz todas as restrições e as

condições de não-negatividade do problema de

otimização linear;

Região factível é conjunto de todas as soluções

factíveis define uma região no Rn;

Solução ótima é uma solução factível e fornece o

menor (maior) valor à função objetivo;

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Teoria da Otimização Linear

Os vértices são determinados pela intersecção de

duas (ou mais) retas que definem a fronteira da

região factível;

Os vértices são soluções de sistemas de equações

lineares;

Se um problema de otimização linear tem uma

solução ótima, então existe um vértice ótimo;

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Soluções básicas

Considere a seguinte região factível no R2

Variáveis de folga

Forma padrãoAdriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 6

Soluções básicas

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 7

Soluções BásicasFactível?? Não-negatividade??

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 8

Soluções BásicasFactível?? Não-negatividade??

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 9

Soluções BásicasFactível?? Não-negatividade??

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 10

Restrição Ativa

Folga nula

Soluções BásicasFactível?? Não-negatividade??

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Vértice da

região factível

Alguns pontos

• Apenas as coordenadas (x1, x2) pode ser

visualizadas;

• As coordenadas (x3, x4 , x5) medem as folgas em cada

restrição;

• Os pontos A e B estão no interior da região factível

(todas as variáveis de folga são positivas).

• Uma solução está na fronteira se e somente se xj = 0,

j = 3, 4, 5Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 12

Fronteira da região factível

• Alguma variável se anula!

• Variáveis nulas indicam restrições ativas!

• Mais de uma variável se anula: vértice (mais de uma restrição

ativa)! Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 13

Pontos InfactíveisRespeitam o sistema Ax = bCondição de não-negatividade!

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 14

Pontos InfactíveisRespeitam o sistema Ax = bCondição de não-negatividade!

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Região ConvexaUm conjunto S é convexo se para qualquer par de elementos x, y de S e qualquer [0; 1], então:

x + (1 - )y S.

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Região Convexa

A região factível de um problema de programação linear é um conjunto convexo.

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Vimos que...

• Os vértices são soluções de sistemas de equações lineares;

• Sempre que existe uma solução ótima, existe um ponto extremo ótimo;

• Uma maneira de encontrar a soluções ótima seria visitar os pontos extremos sucessivamente;

• Como determinar pontos extremos sem o auxílio do gráfico??

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Pontos Extremos

Duas restrições ativas:

duas variáveis nulas

n-m variáveis nulas

Ponto D:

3 equações, 3 incógnitas

1

2

5

5

1

13

x

x

x

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Pontos Extremos

Ponto F:

1

4

5

6

2

15

x

x

x

2

3

0

0

x

x

1

1 4

1 5

6

4

3 3

x

x x

x x

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Pontos Extremos

Infactíveis

Ao fixar (n-m) variáveis em zero, a resolução do sistema resulta em ao menos um valor negativo para as variáveis restantes. (Ex. ponto F)

Factíveis:Ao fixar (n-m) variáveis em zero, a resolução do sistema resulta em valores positivos para as variáveis restantes. (Ex. ponto D)

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Escrevendo o sistema

Apesar de fixarmos m - n variáveis em zero (no ex., x3 e x4)

continuamos escrevendo-as no sistema, porém de forma isolada:

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 22

Escrevendo o sistema

Índices:

B = (B1, B2, B3): B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5

N = (N1, N2): N1 = 3, N2 = 4

Índices das colunas da matriz A

que pertencem a B e a N

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Notação

Índices:B = (B1, B2, B3): B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5N = (N1, N2): N1 = 3, N2 = 4

Colunas associadas:

= [a1, a2, a5]

= [a3, a4]

1

2

3

1

2

5

x

B

B B

B

x x

x x

xx

1

2

3

4

xN

N

N

x x

x x

1 2 3=(a ,a ,a )B B BB

1 2=(a ,a )N NN

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 24

Reescrevendo o sistema

Minimizar f(x) = cT x

Ax = bx 0

Ax = b BxB+NxN = b

➢ No exemplo, as variáveis de xN foram fixadas em 0, portanto,

o sistema resultante, BxB = b, possui o mesmo número de

equações e incógnitas (m).

➢ Se as variáveis da solução desse sistema são 0, temos um

ponto extremo factível, caso contrário, o ponto é infactível.Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 25

Revisando...• Se a matriz B do sistema for invertível, a solução é

bem determinada.

• E se a matriz B não for invertível?Sempre é possível selecionar m colunas da matriz A que formem uma matriz B invertível. As demais variáveis são fixadas.

• Quando consideramos um problema de otimização linear na forma padrão, admitimos que m < n (é comum m << n). Assim o sistema linear Ax = b tem infinitas soluções e o grau de liberdade é n – m.

• Se m = n o sistema tem solução única e o problema é trivial de ser resolvido.

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 26

Partição Básica (Matriz Básica)

Bm×m : matriz básica formada por m colunas da matriz A

e invertível.

B pode ser escrita como:

em que B1, B2,..., Bm são os índices das colunas

escolhidas da matriz A que pertencem a B (índices

básicos)

A = [B, N]

1 2= a ,a ,...,a

mB B BB

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 27

Partição Básica (Matriz Não-Básica)

Nm×(n-m) : matriz não-básica formada por n – m colunas

restantes da matriz A.

N pode ser escrita como:

em que N1, N2,..., Nn-m são os índices das colunas da

matriz A que pertencem a N (índices não-básicos)

A = [B, N]

1 2 ( )= a ,a ,..., a

n mN N NB

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 28

Partição Básica – Partição das Variáveis

• A partição de A em [B N] cria uma partição no vetor das variáveis:

variáveis básicas

variáveis não-básicas

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 29

Solução Geral do Sistema

A última expressão de xB é conhecida como solução geral do sistema.

bx

xNBbAx

N

B

bNxBx NB

N

11

B NxBbBx

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 30

Solução Básica

➢ Considerando a partição básica A = [B N], uma

solução é dita básica quando:

0x̂

bBx̂

N

1

B

Se ou seja, se todas as variáveis básicassão não-negativas, dizemos que é uma soluçãobásica factível.

0 1 bBxB

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 31

Voltando ao Exemplo...

0,,,

33

4

6

4321

521

421

321

xxxx

xxx

xxx

xxx

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 32

Voltando ao ExemploNo ponto Dvariáveis básicas: x1 , x2 e x5

variáveis não-básicas: x3 e x4

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 33

Voltando ao ExemploNo ponto Fvariáveis básicas: x1 , x4 e x5

variáveis não-básicas: x2 e x3

Solução básica não-factível.

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 34

Teoria BásicaPropriedade 1:

Seja S a região factível. S = { x ∈ Rn / Ax=b, x 0}.

Um ponto x ∈ S é um vértice de S se e somente se x foruma solução básica factível.

Propriedade 2:

Se um problema de otimização linear tem uma soluçãoótima, então existe um vértice ótimo.

“Se existe uma solução ótima, então existe uma soluçãobásica factível ótima”

Basta que se procure o ótimo entre todas as soluçõesbásicas factíveis.

Adriana Cherri_____________________________________________________________________________________35

Método possível..Enumerar todas as soluções básicas (vértices da região):x1, x2, ..., xk

Escolher aquela com melhor função objetivo.

Problema: k pode ser muito grande

Idéia:

Partir de uma solução básica factível

Visitar apenas as soluções básicas factíveis melhoresque ela.

Método SimplexAdriana Cherri_____________________________________________________________________________________ 36