Otimização+com+Restrição+de+Igualdade

8/16/2019 Otimização+com+Restrição+de+Igualdade

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MÉTODOS QUANTITATIVOS I | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | UDESC ESAG | 2016/1| PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO


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EFEITOS DE UMA

RESTRICAO

A

enquanto variáveisde escolha dá origem a umótimo restrito. Exemplo: limitar a

escolha de uma firma,que produz o bem 1 naquantidade e o bem 2na quantidade àrestrição que + 90. O que a restrição faz é

estreitar o domínio da funçãoobjetivo


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ACHANDO OS VALORES

ESTACIONÁRIOS

MÉTODO DO MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

A essência do método do multiplicador de Lagrange é converterum problema de extremo restrito em uma forma tal que a condiçãode primeira ordem do problema do extremo livre ainda possa seraplicada.

O símbolo representa algum número ainda não determinado e édenominado multiplicador (indeterminado) de Lagrange.

Se de algum modo pudermos ter certeza de que a restrição sejasatisfeita, então o último termo do lagrangeano se anulará

independentemente do valor de . O valor de ∗ fornece uma medida da sensibilidade de ℒ à uma

mudanca na restrição.


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ACHANDO OS VALORES

ESTACIONÁRIOS

INTERPRETAÇÃO PARA O MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

O valor de solução do multiplicador de Lagrange constitui umamedida do efeito de uma variação na restrição por meio doparâmetro sobre o valor ótimo da função objetivo.

Na função objetivo a única variável exógena disponível é , umavez que , e são endógenas. Uma variação em causaria um deslocamento da curva de

restrição no plano e, por conseguinte, alteraria a soluçãoótima.

Um aumento em (um orçamento maior ou uma quota deprodução maior) indicaria como a solução ótima é afetada porum abrandamento da restrição.


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ACHANDO OS VALORES

ESTACIONÁRIOS

CASOS COM N VARIÁVEIS E MÚLTIPLAS RESTRIÇÕES

Função Objetivo: , , … , Sujeita à: , , … , e , , … , Lagrangeano:

ℒ , , … , + − , , … , + − , , … , Condições de primeira ordem:ℒ

−

−

0 ∀ 1 , 2 , … ,

ℒ − , , … , 0

ℒ

− , , … , 0


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CONDICÕES DE

SEGUNDA ORDEM

Para um extremo restrito de

(, ), sujeito a

(, ) , a

condição necessária de segunda ordem será:

0

ℒ ℒ ℒ ℒ

Onde é o determinante da matriz hessiana-orlada.

< 0 se o ponto extremo é um mínimo

> 0 se o ponto extremo é um máximo


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QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

Para um problema de extremo livre, saber se uma função objetivoé côncava ou convexa elimina a necessidade de verificar acondição de segunda ordem.

Novamente é possível prescindir da condição de segunda ordemse a superfície ou a hipersuperfície tiver o tipo adequado de

configuração. Mas, dessa vez, a

(em vez de concavidade) para um máximo,(em vez de convexidade) para um mínimo.

A quase-concavidade (quase-convexidade) é uma condição maisfraca que a concavidade (convexidade).



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA

A quase-concavidade e a quase-convexidade, assim como a concavidade e aconvexidade, podem ser ou estritas ou não-estritas.

Sejam e quaisquer dois pontos distintos no domínio de uma função econsidere o segmento de reta no domínio que dá origem ao arco nográfico da função, tal que o ponto e mais alto ou tenha a mesma altura doponto . Então, diz-se que: é quase-côncava se todos os pontos sobre o arco , exceto e ,

forem mais altos que ou tiverem a mesma altura do ponto . Ainda, éestritamente quase-côncava se todos os pontos sobre o arco , exceto e , forem estritamente mais altos que o ponto .

é quase-convexa se todos os pontos sobre o arco , exceto e ,forem mais baixos que ou tiverem a mesma altura do ponto . Ainda, é estritamente quase-convexa se todos os pontos sobre o arco , exceto e , forem estritamente mais baixos que o ponto .

Qualquer função estritamente quase-côncava (estritamente quase- convexa) équase-côncava (quase-convexa), mas a recíproca não é verdadeira.



(b)

QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

O formato do gráfico de uma função quase-côncava que não é também côncava é

aproximadamente um sino ou uma parte de um sino. É admissível ter segmentos côncavos e convexos no sino. Essa natureza mais

permissiva da caracterização faz da.

(a) e (b) retratam funções crescentes, pois contem todas as porções ascendentes de

um domo e de um sino, respectivamente.

(a)

(a) é estritamente côncava

(b) com certeza não éestritamente côncava (poiscontem porções convexas pertoda base do sino), mas éestritamente quase-côncava

(todos os arcos sobre asuperfície) satisfazem a condiçãode que todos os pontos sobrecada arco entre os dois pontosdas extremidades são mais altosque o ponto da extremidade maisbaixa.



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

DEFINIÇÃO ALGÉBRICA

Uma função é quase-côncava se, e somente se, para qualquer par de pontosdistintos e no domínio de , e para 0 < < 1:

≥ ⇒ + 1 − ≥ Uma função é quase-convexa se, e somente se, para qualquer par de pontos

distintos e no domínio de , e para 0 < < 1: ≥ ⇒ + 1 − ≤

Para adaptar essa definição a quase-concavidade e a quase-convexidade estritas,as duas desigualdades fracas da direita devem ser trocadas para desigualdadesestritas (> e < ).



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

Teorema I (negativa de uma função)

Se () for quase-côncava (estritamente quase-côncava), então −() é quase-convexa (estritamente quase-convexa).

Teorema II (concavidade versus quase-concavidade)

Qualquer função côncava (convexa) é quase-côncava (quase-convexa), mas arecíproca não é verdadeira. De modo semelhante, qualquer função estritamentecôncava (estritamente convexa) é estritamente quase-côncava (estritamentequase-convexa), mas a reciproca não é verdadeira.

Teorema III (função linear) Se () for uma função linear, então ela é quase-côncava, bem como quase-

convexa.



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

EXEMPLO:

Verifique a quase-concavidade e quase-convexidade de ≥ 0 .



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

PARA FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS

Se for diferenciável, contudo, a quase-concavidade e a quase-convexidade podem ser definidasalternativamente em termos de suas derivadas primeiras. Uma função diferenciável de uma só variável, (), é quase-côncava se, e somente se, para

qualquer par de pontos distintos e no domínio: ≥ ⇒ ′()( − ) ≥ 0

Uma função diferenciável de uma só variável, (), é quase-convexa se, e somente se, paraqualquer par de pontos distintos e no domínio: ≥ ⇒ ′()( − ) ≥ 0

Uma função diferenciável , , … , é quase-côncava se, e somente se, para qualquer doispontos distintos , , … , e , , … , no domínio:

≥ ⇒ ()( − )

=≥ 0

Uma função diferenciável , , … , é quase-convexa se, e somente se, para qualquer doispontos distintos , , … , e , , … , no domínio:

≥ ⇒ ()( − )

=≥ 0

Para a quase-concavidade e a quase-convexidade estritas, a desigualdade fraca da direita deve

ser mudada para a desigualdade estrita.



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE

EXEMPLO:

Verifique a quase-concavidade de , ≥ 0 .



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE


Por fim, se uma função , , … , for continuamente diferenciável duas vezes, a quase-concavidade e a quase-convexidade podem ser verificadas por meio das derivadas parciais primeirase segundas da função, arranjadas no determinante aumentado:

0

… …

⋮

⋮

… ⋮

⋱…

⋮

Os menores principais líderes de são:

Esse determinante aumentado é parecido com ohessiano aumentado para um problema de ótimorestrito ( ). Diferentemente deste, entretanto, o acréscimo

em é composto das derivadas primeiras dafunção em vez de uma função de restrição .

0 0

...



QUASE CONCAVIDADE E

QUASE CONVEXIDADE


Assim: Para que , , … , seja quase-côncava para todo , , … , ≥ 0 , é necessário que:

≤ 0 , ≥ 0 , ≤≥ 0 í

Para que , , … , seja estritamente quase-côncava para todo , , … , ≥ 0 , é

suficiente que:

< 0 , > 0 , 0 í

Para que , , … , seja quase-convexa para todo , , … , ≥ 0 , é necessário que:

≤ 0 ,

≤ 0 ,

≤ 0

Para que , , … , seja estritamente quase-convexa para todo , , … , ≥ 0 , ésuficiente que:

< 0 , < 0 , < 0



MAXIMIZAÇÃO DA UTILIDADE E

DEMANDA DO CONSUMIDOR

Suponha que o consumidor pode escolher hipoteticamente entresomente dois bens e que ambos tem funções utilidade marginalcontinuas e positivas.

Os preços dos dois bens são determinados pelo mercado,portanto, são exógenos.

Se o poder de compra do consumidor for uma dada quantidade B(de "budget" — orçamento), o problema apresentado será o demaximização de uma função utilidade:

max, ( , ) ( , > 0) sujeito à: +


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LEITURA OBRIGATÓRIA• CHIANG, A. C. Matemática para economistas. Rio de Janeiro:

ELSEVIER, 2006. Capítulo 12.

Obrigada!

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