2e édition

Outils mathématiques pour physiciens et ingénieursRappels de cours et exercices corrigés

Jean-Marc Poitevin

9782100758883-FM.indd 1 11/28/16 8:36 PM

© Dunod, 2012, 2017

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

ISBN 978-2-10-075888-3

Illustration de couverture : © Ninog/Fotolia

9782100758883-FM.indd 2 11/28/16 8:36 PM

III

© D

unod

– T

oute

rep

rodu

ctio

n no

n au

tori

sée

est u

n dé

lit.

1 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites 1

1. Nombres réels 1

1.1 Catégories 1

1.2 Décomposition en facteurs premiers 2

1.3 Puissances de 10 3

2. Nombres complexes 3

2.1 Représentation d’un point dans un plan 3

2.2 Les deux notations 4

2.3 Calculs avec les complexes 4

3. Identités remarquables 5

4. Suites arithmétique et géométrique 6

L'essentiel 7

Entraînez-vous 8

Solutions 10

2 Trigonométrie, Fonctions hyperboliques, Développements en série 16

1. Sinus, cosinus, tangente 16

1.1 Définitions, variations 16

1.2 Valeurs particulières 17

1.3 Angles opposés, supplémentaires ou complémentaires 17

2. Relations trigonométriques 18

3. Fonctions trigonométriques inverses 19

4. Fonctions trigonométriques complexes 19

5. Fonctions hyperboliques 20

6. Développements en série 20

6.1 Développements au voisinage de zéro 20

6.2 Développements auprès d’une valeur quelconque 21

L'essentiel 22

Entraînez-vous 23

Solutions 26

Table des matières

9782100758883-FM.indd 3 11/28/16 8:36 PM

Table des matières

IV

3 Fonctions de variables réelles ou complexes 39

1. Fonctions réelles de variables réelles 39

1.1 Fonctions cartésiennes 39

1.2 Fonctions paramétriques 40

1.3 Fonctions polaires 40

2. Dérivées, étude des variations 40

2.1 Dérivée d’une fonction cartésienne 40

2.2 Dérivée d’une fonction paramétrique 41

2.3 Dérivée d’une fonction polaire 41

2.4 Quelques dérivées usuelles 41

2.5 Tableau de variation 42

3. Limites 42

4. Fonctions complexes de variables complexes 43

4.1 Définition 43

4.2 Représentation 44

4.3 Dérivation 44

L'essentiel 46

Entraînez-vous 47

Solutions 51

4 Séries et transformations de Fourier 63

1. Série de Fourier 63

1.1 Notation réelle 63

1.2 Notation complexe 64

1.3 Spectre de fréquences 64

1.4 Égalité de Parseval 64

2. Intégrale, ou transformée de Fourier 65

2.1 Définitions 65

2.2 Égalité de Parseval 65

2.3 Spectre 65

L'essentiel 66

Entraînez-vous 67

Solutions 72

5 Équations différentielles 90

1. Équations différentielles du 1er ordre 90

1.1 Principe général 90

9782100758883-FM.indd 4 12/7/16 1:02 PM

V

Table des matières©

Dun

od –

Tou

te r

epro

duct

ion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.

1.2 Équation linéaire à coefficients constants 91

1.3 Équation à variables séparées 91

1.4 Équation à variables séparables 92

1.5 Équation homogène 92

1.6 Différentielle exacte 92

1.7 Équation de Bernoulli 93

1.8 Équation de Riccati 93

2. Équations différentielles du 2e ordre 93

2.1 Principe général 93

2.2 Équation ou y ne figure pas 94

2.3 Équation sans second membre ou x ne figure pas 94

2.4 Équation linéaire à coefficients constants 94

2.5 Équation de Legendre 95

2.6 Équation de Laguerre 96

2.7 Équation de Tchebychev 96

2.8 Équation de Bessel 96

L'essentiel 98

Entraînez-vous 99

Solutions 104

6 Intégrales de fonctions réelles et complexes, Convolution 124

1. Primitives 124

2. Surface, primitive, intégrale 125

2.1 Surface délimitée par une courbe 125

2.2 De la primitive à l’intégrale 126

3. Intégrales définies et non définies 126

4. Méthodes d’intégration 127

5. Intégrales de fonctions complexes 128

5.1 Formulation générale 128

5.2 Lemmes de Jordan 128

5.3 Théorème de Green 128

5.4 Fonctions holomorphes, théorème de Cauchy 128

5.5 Intégrale de Cauchy 129

6. Méthode des résidus 129

6.1 Série de Taylor 129

6.2 Série de Laurent 130

6.3 Résidu 130

9782100758883-FM.indd 5 11/28/16 8:36 PM

Table des matières

VI

6.4 Théorème des résidus 130

6.5 Intégrales sur des arcs de cercles 131

7. Convolution 131

7.1 Définition et propriétés 131

7.2 Convolution et transformée de Fourier 132

L'essentiel 133

Entraînez-vous 134

Solutions 141

7 Systèmes d’équations linéaires, Calcul matriciel 170

1. Systèmes d’équations 170

1.1 n variables et n équations 170

1.2 n variables et p équations 171

2. Méthodes de résolution 171

2.1 Par substitution 171

2.2 Par combinaison 171

3. Notation matricielle 171

4. Calcul matriciel 173

4.1 Addition 173

4.2 Multiplication par un nombre 173

4.3 Multiplication de deux matrices 173

4.4 Inversion 174

4.5 Transposition 174

4.6 Déterminant 175

4.7 Valeurs et vecteurs propres 176

L'essentiel 177

Entraînez-vous 178

Solutions 182

8 Transformation de Laplace, transformée en z 199

1. Définition 199

2. Propriétés 200

3. Table des transformées usuelles 201

4. Passage de f(p) à f(t) 202

4.1 Décomposition en éléments simples 202

4.2 Théorème de Heaviside 203

9782100758883-FM.indd 6 11/28/16 8:36 PM

VII

Table des matières©

Dun

od –

Tou

te r

epro

duct

ion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.

5. Convolution et transformée de Laplace 203

6. Transformée en z 203

6.1 Principe, définition 203

6.2 Propriétés 204

6.3 Table des transformées usuelles 204

6.4 Passage de X(z) à x(n) ou x(t) 205

L'essentiel 207

Entraînez-vous 208

Solutions 214

9 Analyse vectorielle 243

1. Systèmes de coordonnées 243

1.1 Coordonnées cartésiennes (x, y, z) 243

1.2 Coordonnées cylindriques (r, j, z) 244

1.3 Coordonnées sphériques (r, q, j ) 244

2. Vecteurs 245

2.1 Définitions 245

2.2 Addition, soustraction 246

2.3 Produit scalaire 246

2.4 Produit vectoriel 246

2.5 Autres produits 246

3. Gradient, divergence, rotationnel, laplacien 246

4. Relations entre opérateurs 248

5. Théorème de la divergence (d’Ostrogradsky) 248

6. Théorème du rotationnel (de Stokes ou Ampère) 248

7. Signification des opérateurs 249

7.1 Gradient 249

7.2 Divergence, rotationnel 250

L'essentiel 252

Entraînez-vous 253

Solutions 257

Index 277

9782100758883-FM.indd 7 12/7/16 1:02 PM

En fin de chapitre

• L'essentiel : les points clés pour réviser les connaissances essentielles

• Des exercices pour tester ses connaissances et s’entraîner

• Les corrigés des exercices

3

En fin d'ouvrage4

Un index

À la découverte de votre livre

1

© D

unod

– T

oute

repr

oduc

tion

non

auto

risée

est

un

délit

.

ChapitreNombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites

Après des millénaires de notations malcommodes, nos chiffres actuels sont apparus en Inde quelques siècles avant notre ère, puis vinrent leurs combinaisons en nombres au milieu du premier millénaire et leur apport en Occident par les Arabes. Aujourd’hui très efficaces dans tous nos usages, ils n’ont été adoptés qu’après de longues interrogations sur l’exis-tence des nombres négatifs ou celle de ceux que nous appelons imaginaires.

Connaître les différentes sortes de nombres, leurs rôles, représentations, formulations et utilisations.

Identifier et résoudre facilement quelques difficultés dues à la notation complexe.

Définir les lois utiles, règles et méthodes efficaces pour des calculs simples.

Expliquer que retenir quelques relations fondamentales redonne toutes les autres sans effort et qu’un dessin permet de lever un doute.

1 Nombres réels.

2 Nombres complexes.

3 Identités remarquables.

4 Suites arithmétique et géométrique.

5 Exercices, problèmes.

1 Nombres réels

1.1 Catégories Ce sont les nombres de la vie courante qui servent par exemple à exprimer une longueur, une masse, ils sont positifs ou nuls, étendus aux valeurs négatives. Ils sont entiers :

… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

ou décimaux : dans ce cas, ils correspondent à une fraction de dénominateur 10n :

-8,5, -2,13, 68,405, soit -85 / 10, -213 / 100, 68 405 / 1 000.

Sous forme fractionnaire, avec un dénominateur différent de 10n, ils sont rationnels :

-2 / 11, 5 / 28, 63 / 957.

Introduction

Objectifs Plan

1

9782100758883-Ch01.indd 1 11/17/16 8:35 PM

Ouverture de chapitre

Elle donne :

• une introduction aux sujets et aux problématiques abordés dans le chapitre

• un rappel des objectifs pédagogiques

• le plan du chapitre

1

Le cours

Le cours, concis et structuré, expose le programme. Il donne :

• un rappel des définitions clés

• des schémas pour maîtriser le cours

• des exemples et des exercices d'applications reliés au cours

2

Chapitre 9 • Analyse vectorielle

250

––

–

7.2 Divergence, rotationnel

La signification de ces opérateurs apparaît clairement à l’aide des théorèmes de la diver-gence et du rotationnel. Le premier indique que le flux d’un vecteur au travers d’une surface entourant un volume est nul si la divergence de ce vecteur est nulle dans cette région de l’espace, c’est le cas du dessin de gauche : le cercle est la trace, dans le plan, d’une sphère ou d’un cylindre, les vecteurs ont tous même norme et même direction, le flux entrant par la moitié gauche, négatif, est exactement compensé par le flux sortant par

la moitié droite, positif, donc � ���

∫ ⋅ =A sd 0S

et par conséquent

∫ τ =τ

Adiv d 0 et

=Adiv 0.

Le dessin du centre montre des vecteurs qui sortent tous du volume, qui divergent (d’où le nom de l’opérateur) depuis l’axe ou le centre du volume, celui-ci se « vide », le flux est positif car

� ���⋅ >A sd 0, ceci correspond à

>Adiv 0, à l’inverse le volume de droite se « remplit », le flux est négatif puisque

� ���⋅ <A sd 0,

<Adiv 0. En ce qui concerne le dessin de gauche ci-dessous, les vecteurs ne passent pas au

travers de la surface dont la trace est indiquée en tirets, la divergence est nulle, par contre la circulation du vecteur le long de ce cercle est positive : le vecteur

A est dans le sens positif de l’angle j des coordonnées cylindriques ou sphériques, comme le vecteur 

9782100758883-Ch09.indd 250 11/18/16 12:56 PM

Chapitre 6 • Intégrales de fonctions réelles et complexes, Convolution

128

5 Intégrales de fonctions complexes

5.1 Formulation générale L’intégrale d’une fonction complexe f(z) = X + jY le long d’un chemin C reliant deux points comporte une partie réelle et une partie imaginaire soit, au total, quatre intégrales :

( ) ( )( ) ( ) ( ).∫ ∫ ∫ ∫= + + = − + +f z z X Y x y X x Y y Y x X yd j d jd d d j d dC C C C

5.2 Lemmes de Jordan Si f(z) est une fonction continue sur un arc de cercle g de rayon R et centre z0 :

∫

∫

( )

( )

− = ⇒ =

− = ⇒ =γ

γ

→ →

→∞ →∞

( ) ( ) ,

( ) ( ) .

z z f z f z z

z z f z f z z

lim 0 lim d 0

lim 0 lim d 0

R R

R R

0 0 0

0

5.3 Théorème de Green Il s’agit de la transcription du théorème de Stokes, ou théorème du rotationnel en analyse vectorielle (cf. § 9.6 et ex. 6.12.1), soit avec D un domaine limité par la courbe fermée C :

X x Y y Yx

Xy

x yd d d dC D

( ) .∫ ∫∫+ =∂∂

−∂∂

5.4 Fonctions holomorphes, théorème de Cauchy Le résultat de l’intégration dépend du chemin choisi, sauf si la fonction est holomorphe (définie et dérivable en tout point du domaine dans lequel se situe C), alors pour un contour fermé C (ceci correspond au champ vectoriel fonction d’un gradient de potentiel, cf. chapitre 9, ex. 9.7) :

f z zd 0C

( ) .∫ =

En effet (cf. § 6.5.1 et 6.5.3) :

f z z X x Y y Y x X y I Id d d j d dC C C 1 2

( ) ( ) ( ) ,∫ ∫ ∫= − + + = +

∫ ∫ ∫( )= − = + − = −∂∂

−∂∂

I X x Y y X x Y y Y

xXy

x yd d d d d dC C D1

( ) ( ) ,

or, la fonction étant holomorphe, ∂X / ∂y = -∂Y / ∂x (cf. § 3.4.3), par conséquent I1 = 0, de même pour I2 car ∂X / ∂x = ∂Y / ∂y :

∫ ∫= + =∂∂

−∂∂

=I Y x X y X

xYy

x yd d d d 0C D2

( ) .

9782100758883-Ch06.indd 128 11/18/16 12:24 PM

10

Solutions1.1 Pour A il suffit de multiplier dénominateur et numérateur par le dénominateur :

= = = =( )

.A 26

2 66

2 66

632

Pour B il faut multiplier dénominateur et numérateur par la quantité conjuguée du dénominateur :

= ++

= + −+ −

= + − −−

= − +−

= −

( )( )( )( )

( )( )

B 1 2 35 3

1 2 3 5 35 3 5 3

5 10 3 3 2 35 3

1 9 325 3

9 3 122

2

2 2

1.2 1. = +( )z 2 3 4 j .

2. ρ = + =4 3 512 2 , ρ = + = = ,2 5 29 5 3852

2 2 , ρ = + = =2 3 4 2 25 102 2 . q1 = Arc tan (3 / 4) = 0,6435 rad = 36,87°, q2 = Arc tan (5 / 2) = 1,190 rad = 68,2°, q = Arc tan (4 / 3) = 0,9273 rad = 53,13°.

1.3 1. = = + + = − + + = − +( )( ) ( )z z z 4 3j 2 5j 8 15 j 6 20 7 26j1 2 , ρ = − + =( ) ,7 26 26 922 2 , q = Arc tan (26 / -7) = -1,308 rad = -74,93° -75°. 2. ρ ρ ρ= = = ,5 29 26 921 2 , q = q1 + q2 = Arc tan (3 / 4) + Arc tan (5 / 2) = 1,833 rad 105°. La véritable valeur de q est bien 105°, la valeur -75° est due à ce que la partie réelle de z est négative et la partie imaginaire positive. Ceci fait que la droite passant par l’origine et le point d’affixe z coupe l’axe mesurant les tangentes du côté négatif, ce qui peut corres-pondre à -75° et à 105° (105° - (-75°) = 180°), la position du point montre que la vraie valeur est 105°. Une autre méthode consiste à toujours écrire z en mettant en facteur le signe de la partie réelle soit z = -(7 - 26 j) = ejp(7 - 26 j) et q = p + Arc tan (-26 / 7) = p - 1,308 = 1,833 rad = 105°. Conclusion : faites attention à la position du point d’affixe z avant de conclure sur son argument, et utilisez la somme des arguments dans le cas d’un produit.

–

9782100758883-Ch01.indd 10 11/17/16 8:35 PM8

Entraînez-vous

1.1 Éliminer les racines carrées du dénominateur d’un rapport.

Transformez les écritures de =A 26

et de = ++

B 1 2 35 3

de façon à ne plus avoir de radical au dénominateur.

1.2 Addition, module et argument d’un binôme complexe.

1. Calculez = +z z z1 2 avec = +z 4 3 j1 et = +z 2 5 j2 . 2. Calculez le module et l’argument de z1, z2 et z, sans dépasser quatre chiffres significatifs.

1.3 Multiplication, module et argument (attention à la détermination) en notation exponentielle.

1. Calculez =z z z1 2 avec pour z1 et z2 les binômes complexes de l’exercice 1.2, déduisez-en le module et l’argument de z. 2. Donnez r et q en utilisant les expressions exponentielles de z1 et z2 (cf. ex. 1.2), quel est le résultat correct ?

1.4 Division, module et argument (attention à la méthode) en notation exponentielle.

1. Mettez = /z n n d d1 2 1 2 sous la forme d’un binôme puis calculez le module r et l’argument q de z, avec = − + = + = + = −, , , .n n d d3 2 j 1 3 j 1 j 2 3 j1 2 1 2 2. Calculez à nouveau r et q en calculant d’abord les modules et arguments de n1, n2, d1, d2. Quelle est la bonne valeur de q ?

1.5 Comment obtenir la courbe décrite par l’affixe d’un nombre complexe.

1. Les calculs de trigonométrie montrent que θ = − +θ θ θ θ− −( ) / ( )tan e e j e ej j j j , en utili-sant q2, argument du dénominateur montrez que = + +( ) / ( )z a b x a b xj j1 1 2 2 peut s’écrire :

= + θ− .z A Be 2 j 2 2. Commentez cette expression pour indiquer qu’il s’agit de celle d’un cercle ou d’une portion de cercle, selon les valeurs de q2, précisez son centre et son rayon selon que B > 0 ou B < 0 en modifiant si besoin l’expression obtenue pour z. Tracez la courbe pour q2 variant de 0 à p / 2 avec a1 = 100, a2 = b1 = 1 et b2 = 0,1. 3. Tracez cette même courbe à partir de l’équation paramétrique obtenue en mettant z sous la forme d’un binôme, somme d’un terme réel et d’un terme imaginaire (méthode générale).

1.6 Moins d’identités remarquables à retenir en les déduisant les unes des autres.

En écrivant -b = +(-b) vérifiez que les développements de −( )a b 2 et −( )a b 3 s’obtiennent à partir de ceux de +( )a b 2 et +( ) .a b 3 Qu’en est-il pour celui de −( )a b n ?

9782100758883-Ch01.indd 8 11/17/16 8:35 PM

277

© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

Aaffixe (complexe) 3, 10, 11

lieu 12angles

complémentaires 17doubles, etc. 2α, 3α, 4α 18, 28, 29opposés 17particuliers 26, 27supplémentaires 17

approximationdéveloppement approché 56

arc de cercle, longueur 55arcsinus, arcos, arctan 19, 31argument (complexe) 4, 10, 11axe réel, imaginaire 3

BBernoulli (équation) 93, 115, 116Bessel (équation) 96, 121, 122, 123

CCauchy

intégrale 129, 162théorème 128

causalefonction 200, 209

cercle trigonométrique 17changement

de repère 257de variable 127

circulation d’un vecteur 263, 264, 267, 268cofacteur 180combinaison 5combinaisons 14complexe

puissance n 5racine ne 5trigonométrie 19, 29, 30

complexe

nombre 3convolution 132

fonctions gaussiennes 167, 168

rectangle et exponentielle 167rectangles 167transformée de Fourier 132, 219

Convolution 131coordonnées

curvilignes 260relations entre elles 257

coordonnées cartésiennes 243coordonnées cylindriques 244coordonnées sphériques 244cosinus 16, 17, 18, 19, 26, 27, 28, 29, 30Cramer

méthode 186

Ddécomposition en éléments simples 127, 218,

219, 221, 222, 223, 224, 227Décomposition en facteurs premiers 2dérivée 41dérivée cartésienne 40dérivée paramétrique 41dérivée polaire 41dérivées

exponentielle, trigonométrie, trigonométrie inverse 51

fonction complexe 44, 59, 60, 61Dérivées 40dérivées usuelles 41déterminant

d’une matrice 175système d’équations 183, 184

développementarc sinus, arc cos, arc tan 24, 35développement approché 56en série 32en série de Laurent 130, 163en série de Maclaurin 20

Index

9782100758883-Index.indd 277 11/28/16 7:49 PM

9782100758883-FM.indd 8 12/5/16 6:34 AM

1

© D

unod

– T

oute

repr

oduc

tion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.Chapitre

Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites

Après des millénaires de notations malcommodes, nos chiffres actuels sont apparus en Inde quelques siècles avant notre ère, puis vinrent leurs combinaisons en nombres au milieu du premier millénaire et leur apport en Occident par les Arabes. Aujourd’hui très efficaces dans tous nos usages, ils n’ont été adoptés qu’après de longues interrogations sur l’exis-tence des nombres négatifs ou celle de ceux que nous appelons imaginaires.

Connaître les différentes sortes de nombres, leurs rôles, représentations, formulations et utilisations.

Identifier et résoudre facilement quelques difficultés dues à la notation complexe.

Définir les lois utiles, règles et méthodes efficaces pour des calculs simples.

Expliquer que retenir quelques relations fondamentales redonne toutes les autres sans effort et qu’un dessin permet de lever un doute.

1 Nombres réels.

2 Nombres complexes.

3 Identités remarquables.

4 Suites arithmétique et géométrique.

5 Exercices, problèmes.

1 Nombres réels

1.1 Catégories Ce sont les nombres de la vie courante qui servent par exemple à exprimer une longueur, une masse, ils sont positifs ou nuls, étendus aux valeurs négatives. Ils sont entiers :

… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

ou décimaux : dans ce cas, ils correspondent à une fraction de dénominateur 10n :

-8,5, -2,13, 68,405, soit -85 / 10, -213 / 100, 68 405 / 1 000.

Sous forme fractionnaire, avec un dénominateur différent de 10n, ils sont rationnels :

-2 / 11, 5 / 28, 63 / 957.

Introduction

Objectifs Plan

1

9782100758883-Ch01.indd 1 11/28/16 1:26 PM

Chapitre 1 • Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites

2

Certains nombres sont dits irrationnels car ils ne peuvent pas s’exprimer sous la forme d’une fraction de nombres entiers et leurs expressions consistent en suites de chiffres infinies :

2 2 1 4142136 57 57 11 3116221 2 35 3 5= = = =, ..., , ...,/ /

les nombres e et p entrent dans cette catégorie

(2,718 281 828 459 05…, 3,141 592 653 589 79…).

Les nombres premiers sont des entiers à partir desquels peuvent s’obtenir tous les autres par additions ou multiplications, ils sont divisibles uniquement par eux-mêmes ou par 1, ce sont (jusqu’à 100) : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, d’où leur utilité pour effectuer des simplifications (cf. § 1.1.2).

En physique la façon d’écrire un nombre possède une signification, ainsi 12,1 m, 12,10 m, 12,100 m, indiquent qu’à douze mètres s’ajoute un décimètre à peut-être quelques centimètres près, puis dix centimètres à quelques millimètres près, enfin cent millimètres à quelques dixièmes de millimètres près.

Quand un nombre se présente sous la forme a a a a2 3 3, , , , il faut le laisser sous cette forme pour poursuivre les calculs. Hormis en mathématiques, le résultat final doit par contre être exprimé sous forme décimale.

Conduire des calculs à partir de données à, par exemple, quatre chiffres significatifs ne peut donner un résultat à cinq chiffres significatifs ou plus. Ceci signifierait un résultat plus précis que les données or ceci est impossible, la précision pouvant même être dégradée

Une façon simple de représenter les nombres réels est de les situer sur un axe, l’axe des réels, Ox

� �� ou x x� ��′ .

1.2 Décomposition en facteurs premiers Cette décomposition est intéressante quand un nombre se présente sous forme fraction-naire, elle permet une simplification. Par exemple :

48 510124 509

2 3 5 7 113 7 11

2 3 57 11

6077

2 2

3 2= × × × ×

× ×= × ×

×= .

Le calcul s’effectue en essayant de diviser par tous les nombres premiers successifs :

48 510 2 124 509 3 24 255 3 41 503 7 8 085 3 5 929 7 2 695 5 847 7 539 7 121 11 77 7 11 11 11 11 1 1

9782100758883-Ch01.indd 2 11/28/16 1:26 PM

3

© D

unod

– T

oute

repr

oduc

tion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.2 • Nombres complexes

1.3 Puissances de 10 Un nombre décimal s’exprime avantageusement en utilisant les puissances de 10, posi-tives (10n) ou négatives (10-n = 1

10n ). Les valeurs de n peuvent être uniquement des multiples de 3, notation courante dans le domaine technique :

0,0026 = 26 ⋅ 10-4 = 2,6 ⋅ 10-3, 15 300 = 153 ⋅ 102 = 15,3 ⋅ 103.

Ceci facilite les calculs approchés, les calculs de produits et de rapports :

2,6 ⋅ 10-3 × 15,3 ⋅ 103 = 2,6 × 15,3,

2,6 ⋅ 10-3 / 15,3 ⋅ 103 = 2,6 ⋅ 10-6 / 15,3,

49 10 544 1069 10 133 10

49 544 1069 133 10

49 54469 133

10

7 2 3 73 23 3 7

10 2 73 23

10 5669

10

2 3

4 2

5

23

2 3 2

2 23

33 3

⋅ × ⋅⋅ × ⋅

= × ×× ×

= ××

×

= × × ×× × ×

× = ××

× = ×

−

.

2 Nombres complexes

2.1 Représentation d’un point dans un plan

Une première façon de positionner un point M consiste à donner son abscisse xM et son ordonnée yM, nombres réels des axes perpendiculaires Ox

� �� et Oy� ��

. La position du point M peut aussi être donnée par le vecteur OM

� ��� de longueur r faisant

l’angle q avec l’axe Ox� ��

. Les vecteurs OM� ����

′ = xM ex���

et OM� ����

′′ = yM ey���

, composantes de OM� ���

, ont les longueurs xM = r cos q et yM = r sin q, ex

��� et ey���

sont les vecteurs élémentaires de longueur unité.

On peut encore conserver Ox� ��

comme axe réel et définir Oy� ��

comme axe imaginaire. Les unités sont 1 sur l’axe réel et j sur l’axe imaginaire (i en mathématique, correspond généralement, en physique, à une intensité). M est l’image du nombre complexe z et z est l’affixe de M donnée par :

z = zM = xM + jyM ,

cette notation algébrique remplace la notation vectorielle :

OM� ���

= OM� ����

′ + OM� ����

′′.

9782100758883-Ch01.indd 3 11/28/16 1:26 PM

Chapitre 1 • Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites

4

2.2 Les deux notations Le nombre complexe z peut s’écrire comme ci-dessus, d’où son module et son argument :

z = x + jy, |z| = r = x y2 2+ , Arg z = q = Arc tan (y / x) ⇔ tan q = y / x.

Le nombre réel y est devenu le nombre imaginaire jy à 90° du précédent. Multiplier à nouveau par j provoque une nouvelle rotation de 90° et met donc le nombre du côté négatif de l’axe réel soit -y.

En écrivant que x = r cos q et y = r sin q il est possible de passer à la notation exponentielle (vérifiable § 2.6.1, développements en série) :

ρ θ θ ρ= + = θz cos jsin e j( ) ,

le nombre j peut donc s’écrire π /e j 2 soit le nombre 1 ayant subi une rotation de p / 2.Mettre j au carré donne πe j soit 1 ayant subi une rotation de p, et ainsi de suite, d’où :

j 1 j j j 12 3 4= − = − =, , .

2.3 Calculs avec les complexes Le nombre conjugué de z x yj e jρ= + = θ est z x yj e jρ= − = θ− , il intervient dans de nombreux calculs. Le produit de z par son conjugué donne :

zz x y x y x yj j 2 2 2ρ= + − = + =( )( ) , ou e ej j 2ρ ρ ρ=θ θ− .

Addition et soustraction obéissent aux lois habituelles :

= += +

z x yz x y

jj

1 1 1

2 2 2 ⇒

z z x x y yz z x x y y

jj

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

+ = + + +− = − + −

( ),( ),

Multiplication et division peuvent s’effectuer de différentes façons, avec la notation exponentielle si le module et l’argument sont les grandeurs intéressantes, avec le binôme complexe s’il faut séparer les parties réelle et imaginaire du résultat :

z z ze ej1 2 1 2

j 1 2ρ ρ ρ= = =θ θ θ+( ) ⇒ 1 2 1 2ρ ρ ρ θ θ θ= = +, ,

z z z z1 2 k= ... ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = + + +... , ... .z z z z z z z zArg Arg Arg Arg1 2 k 1 2 k

z z z x y x y x x y y x y x yj j j1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1= = + + = − + + =( )( ) ( ) Re(z) + jIm(z) .

z zz

e ee

ej 1

2

1j

2j

1

2

j1

21 2ρ ρ

ρρρ

= = = =θθ

θθ θ− ,( ) ⇒ 1

21 2ρ ρ

ρθ θ θ= = −, ,

et si n1, n2, … nj, d1, d2, … dk sont des nombres complexes et si z = (n1 n2 … nj) / (d1 d2 … dk) :

zn n nd d d

1 2 j

1 2 k=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

......

,

= + + + − + + +z n n n d d dArg Arg Arg Arg Arg Arg Arg1 2 j 1 2 k... ( ... ),

9782100758883-Ch01.indd 4 11/28/16 1:26 PM

5

© D

unod

– T

oute

repr

oduc

tion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.3 • Identités remarquables

pour séparer les parties réelle et imaginaire il faut effectuer des calculs du type suivant :

z zz

x yx y

x y x yx y x y

x x y y x y x yx y

jj

j jj j

j1

2

1 1

2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1

22

22

= = ++

= + −+ −

= + + − ++

( )( )( )( )

( ) ,

Re(z) = ++

x x y yx y

1 2 1 2

22

22

, Im(z) = − ++

x y x yx y1 2 2 1

22

22

.

Avec la forme exponentielle le calcul de la puissance ne d’un nombre complexe donne :

ρ θ θ( )= + ,z n ncos jsinn n

quant à la racine ne elle tient compte de ce que changer q en q + 2 kp ne change pas la position de M(z) dans le plan complexe, il apparaît donc plusieurs solutions :

ρ ρ θ θ( )= = + π + + πθ π+ ( / / ) ( / / ) ./ / ( / / ) /z n k n n k ne cos 2 jsin 2n n n k n n1 1 j 2 1

Les racines de z correspondent à n points espacés de 2 p / n sur un cercle de rayon r1 / n et centre O, avec le point de départ à l’angle q / n. Le dernier point est confondu avec le premier car alors k = n et l’angle q / n a augmenté de 2 np / n = 2 p. Ci-contre n = 6.

3 Identités remarquables Certaines expressions possèdent des développements caractéristiques (remarquables), elles sont indiquées ci-après.

a b a ab ba b a a b ab b

23 3

2 2 2

3 3 2 2 3

+ = + ++ = + + +

( ) ,( ) ,

a b a ab ba b a a b ab b

23 3

2 2 2

3 3 2 2 3

− = − +− = − + −

( ) ,( ) .

Pour passer de a + b à a - b il suffit d’écrire -b = + (-b) et ces relations ont une forme générale :

a b C a bn

p

n

np n p p

0∑+ =

=

−( ) , avec pour p n C np n p

0 np≤ ≤ =

−, !

!( )!,

les factorielles ci-dessus ont une particularité, nécessaire pour obtenir des développements corrects, elles s’écrivent en effet :

k k k k1 2 3 2 1= × × × × − × − ×! ... ( ) ( ) , et 0 1=! .

ππ

π

π

π

π

9782100758883-Ch01.indd 5 11/28/16 1:26 PM

Chapitre 1 • Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites

6

Les coefficients des termes successifs du développement de a b n+( ) sont également donnés par le triangle de Pascal, calculés à l’aide d’additions comme indiqué par les flèches :

======

nnnnnn

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 1

Les autres identités remarquables sont les suivantes avec, là encore, une forme générale :

a b a b a b a b a b a ab b2 2 3 3 2 2− = − + − = − + +( )( ), ( )( ),

a b a b a a b a b bn n n n n k k n1 2 1 1( )− = − + + + + +− − − − −( ) ... ... .

4 Suites arithmétique et géométrique Une suite de nombres ai dont chacun est donné par ai = ai-1 + r, soit a0, a1 = a0 + r, … an = a0 + nr, est une suite arithmétique de raison r et de somme (cf. ex. 1.9) :

S n a nr2 2n 0= +( ) / .

Si chacun des nombres est donné par ai = qai-1, soit a0, a1 = qa0, … an = qna0, il s’agit d’une suite géométrique de raison q dont la somme est (cf. ex. 1.9) :

S a qq

11n

n

0

1= −

−

+.

9782100758883-Ch01.indd 6 11/28/16 1:26 PM

7

L’essentiel

Nombres réels•Entiersnaturels: 0;1;2;3;etc.•Entiersrelatifs:…−3;−2;−1;0;1;2;3;etc.•Décimaux:A/10n=A×10−n,Aentierrelatif,nentiernaturel.•Rationnels:A/B, AetBentiersrelatifs.• Irrationnels : ne peuvent s’exprimer sous aucune des formes précédentes

(π,e, 2 ,…).•Premiers:divisiblesuniquementpareux-mêmesoupar1pourunrésultatentiernaturel,lesadditionneretmultiplierdonnetouslesentiersrelatifs.

Nombres complexes•Nombreimaginaire:j 1,= − soitj 12 .= − •Nombres complexes : jz x y= + , représentation algébrique d’un vecteuravecxréelenabscisseetyréelenordonnée,peutaussis’écrire e jz ρ= θavec

2 2x yρ = + et Arctan( / )y xθ = .

ρ ρ θ θ( )= = +θz n nn n n ne cos j sinj ,

ρ θ θ( )= + + +( / ) ( / )/ /z n k n n k nn n cos / 2 π j sin / 2 π1 1 .

Identités remarquablesQuelesnombressoientréelsoucomplexes,

0

( ) ,a b C a bnnp

p

nn p p∑+ =

=

− ( ) ( ) ,a b a bn n( )− = + −

!!( )!

,Cn

p n pnp =

− 1 2 3 2 1! ... ( ) ( ) ,k k k k= × × × × − × − × 0 1! .=

1 2 1 1( )( ... ... ).a b a b a a b a b bn n n n n k k n− = − + + + + +− − − − −

Suites•Arithmétique: 2 2 20 0 0 0 0( ) ( ) ... ( ) ( ) / .S a a r a r a nr n a nrn = + + + + + + + = +

•Géométrique:110 0

20 0 0

1... .S a qa q a q a a

qqn

nn

= + + + + =−

−

+

9782100758883-Ch01.indd 7 12/5/16 7:04 AM

8

Entraînez-vous

1.1 Éliminer les racines carrées du dénominateur d’un rapport.

Transformez les écritures de =A 26

et de = ++

B 1 2 35 3

de façon à ne plus avoir de radical au dénominateur.

1.2 Addition, module et argument d’un binôme complexe.

1. Calculez = +z z z1 2 avec = +z 4 3 j1 et = +z 2 5 j2 . 2. Calculez le module et l’argument de z1, z2 et z, sans dépasser quatre chiffres significatifs.

1.3 Multiplication, module et argument (attention à la détermination) en notation exponentielle.

1. Calculez =z z z1 2 avec pour z1 et z2 les binômes complexes de l’exercice 1.2, déduisez-en le module et l’argument de z. 2. Donnez r et q en utilisant les expressions exponentielles de z1 et z2 (cf. ex. 1.2), quel est le résultat correct ?

1.4 Division, module et argument (attention à la méthode) en notation exponentielle.

1. Mettez = /z n n d d1 2 1 2 sous la forme d’un binôme puis calculez le module r et l’argument q de z, avec = − + = + = + = −, , , .n n d d3 2 j 1 3 j 1 j 2 3 j1 2 1 2 2. Calculez à nouveau r et q en calculant d’abord les modules et arguments de n1, n2, d1, d2. Quelle est la bonne valeur de q ?

1.5 Comment obtenir la courbe décrite par l’affixe d’un nombre complexe.

1. Les calculs de trigonométrie montrent que θ = − +θ θ θ θ− −( ) / ( )tan e e j e ej j j j , en utili-sant q2, argument du dénominateur montrez que = + +( ) / ( )z a b x a b xj j1 1 2 2 peut s’écrire :

= + θ− .z A Be 2 j 2 2. Commentez cette expression pour indiquer qu’il s’agit de celle d’un cercle ou d’une portion de cercle, selon les valeurs de q2, précisez son centre et son rayon selon que B > 0 ou B < 0 en modifiant si besoin l’expression obtenue pour z. Tracez la courbe pour q2 variant de 0 à p / 2 avec a1 = 100, a2 = b1 = 1 et b2 = 0,1. 3. Tracez cette même courbe à partir de l’équation paramétrique obtenue en mettant z sous la forme d’un binôme, somme d’un terme réel et d’un terme imaginaire (méthode générale).

1.6 Moins d’identités remarquables à retenir en les déduisant les unes des autres.

En écrivant -b = +(-b) vérifiez que les développements de −( )a b 2 et −( )a b 3 s’obtiennent à partir de ceux de +( )a b 2 et +( ) .a b 3 Qu’en est-il pour celui de −( )a b n ?

9782100758883-Ch01.indd 8 11/28/16 1:27 PM

9

© D

unod

– T

oute

repr

oduc

tion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.Entraînez-vous

1.7 Utiliser quelques identités remarquables pour en déduire d’autres.

1. Écrivez le développement de −a b5 5 en utilisant la formule donnée § 1.3, vérifiez en effec-tuant le produit. 2. Développez sous la forme de produits de trois facteurs −a b4 4 et −a b6 6 en utilisant l’expression de − .a b2 2 3. Quel est le développement en un produit de deux facteurs de +a b2 2 ?

1.8 Binôme à la puissance n et triangle de Pascal.

En analyse combinatoire Cnp désigne le nombre de combinaisons de n éléments identiques pris

p à p, autrement dit le nombre de façons d’épuiser un stock de n éléments en les prenant par paquets de p éléments. Retrouvez les cinq premières lignes du triangle de Pascal en utilisant n éléments identiques désignés néanmoins par A, B, C ou D, n prenant les valeurs successives de 0 à 4. Vérifiez que ces résultats sont ceux donnés à chaque fois par le calcul de Cn

p. Dernière vérification, calculez (a + b)n en effectuant toutes les multiplications.

1.9 Calculer les sommes des suites arithmétique et géométrique, ainsi que celle des puissances successives de x.

En écrivant deux sommes arithmétiques identiques en sens opposés, calculez la somme de cette suite, pour calculer la somme d’une suite géométrique écrivez deux suites identiques en multipliant la deuxième par la raison q. Inspirez-vous de ces calculs pour trouver la somme de la série x0, x1, x2, … xn, que se passe-t-il si x = 1 (ou q = 1 pour la suite précédente) ?

1.10 Faites la connaissance d’un nombre particulier.

1. Trouvez le rapport b / a tel que les rapports des grands côtés et petits côtés des rectangles de la figure ci-dessous soient tous identiques.Déduisez de vos calculs les propriétés du nombre φ = b / a (nombre d’or).À quoi peut servir l’arc de cercle centré sur le milieu de la base du carré ?2. Tracez un cercle de rayon b et diamètre AB puis, avec pour centre le point A, les arcs de cercles de rayons a = b / φ et a + b qui coupent le cercle en C, F, D et E.Tracez les segments CD, DB, BE, EF et FC. Qu’obtenez-vous ? Même question pour les segments CB, BF, FD, DE et EC.

–

9782100758883-Ch01.indd 9 11/28/16 1:27 PM

10

Solutions1.1 Pour A il suffit de multiplier dénominateur et numérateur par le dénominateur :

= = = =( )

.A 26

2 66

2 66

632

Pour B il faut multiplier dénominateur et numérateur par la quantité conjuguée du dénominateur :

= ++

= + −+ −

= + − −−

= − +−

= −

( )( )( )( )

( )( )

B 1 2 35 3

1 2 3 5 35 3 5 3

5 10 3 3 2 35 3

1 9 325 3

9 3 122

2

2 2

1.2 1. = +( )z 2 3 4 j .

2. ρ = + =4 3 512 2 , ρ = + = = ,2 5 29 5 3852

2 2 , ρ = + = =2 3 4 2 25 102 2 . q1 = Arc tan (3 / 4) = 0,6435 rad = 36,87°, q2 = Arc tan (5 / 2) = 1,190 rad = 68,2°, q = Arc tan (4 / 3) = 0,9273 rad = 53,13°.

1.3 1. = = + + = − + + = − +( )( ) ( )z z z 4 3j 2 5j 8 15 j 6 20 7 26j1 2 , ρ = − + =( ) ,7 26 26 922 2 , q = Arc tan (26 / -7) = -1,308 rad = -74,93° -75°. 2. ρ ρ ρ= = = ,5 29 26 921 2 , q = q1 + q2 = Arc tan (3 / 4) + Arc tan (5 / 2) = 1,833 rad 105°. La véritable valeur de q est bien 105°, la valeur -75° est due à ce que la partie réelle de z est négative et la partie imaginaire positive. Ceci fait que la droite passant par l’origine et le point d’affixe z coupe l’axe mesurant les tangentes du côté négatif, ce qui peut corres-pondre à -75° et à 105° (105° - (-75°) = 180°), la position du point montre que la vraie valeur est 105°. Une autre méthode consiste à toujours écrire z en mettant en facteur le signe de la partie réelle soit z = -(7 - 26 j) = ejp(7 - 26 j) et q = p + Arc tan (-26 / 7) = p - 1,308 = 1,833 rad = 105°. Conclusion : faites attention à la position du point d’affixe z avant de conclure sur son argument, et utilisez la somme des arguments dans le cas d’un produit.

–

9782100758883-Ch01.indd 10 11/28/16 1:27 PM

11

Solutions

1.4 1. = − + ++ −

= − − + −+ + −

= − −−

( )( )( )( )

( )( )

z 3 2j 1 3j1 j 2 3j

3 6 j 2 92 3 j 2 3

9 7 j5 j

= − + +− +

= − ++

= − + = − −( )( )( )( )

.z 9 7j 5 j5 j 5 j

38 44 j5 1

19 22j13

19 22j132 2

D’où ρ= = + =/ ,z 19 22 13 2 2362 2 et, apparemment, Arg z = q = Arc tan (-22 / -19) = 0,8584 rad = 49,2°. 2. = = = =, , , , , , , ,n n d d3 606 3 162 1 414 3 6061 2 1 2 Arg n1 = 2,553 rad, Arg n2 = 1,249 rad, Arg d1 = 0,7854 rad, Arg d2 = -0,9828 rad, soit ρ θ= = = + − −/ ,n n d d n n d d2 236 et Arg Arg Arg Arg1 2 1 2 1 2 1 2 # 4 rad = 229,2 °. Cette deuxième méthode de calcul de q est la plus sûre et donne toujours la bonne valeur. Avec la méthode utilisée à la première question il aurait fallu examiner la position du point d’affixe z ce qui aurait montré que la valeur de q devait être augmentée de 180 °, il était aussi possible de remarquer que z pouvait s’écrire (cf. § 1.2.2 et deuxième méthode) :

− + = +π ,19 22j13

e 19 22j13

j

d’où q = p + Arc tan (22 / 19) # 4 rad = 229,2 °.

1.5 1. θ = / ,b x atan 2 2 2 cette expression s’introduit dans celle de z en écrivant : θ

θ= +

+= +

+//

( / ) .z aa

b x ab x a

aa

a b a b1 j1 j

1 j tan1 jtan

1

2

1 1

2 2

1

2

2 1 1 2 2

2

tan q2 étant remplacée par son écriture complexe, z s’écrit désormais :

= + − ++ − +

= + + −+ + −

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

− −

− −

− −

− −

( / )( ) / ( )( ) / ( )

( / )( ) .

z aa

a b a b

aa

a b a b

1 j e e j e e1 j e e j e e

e e e ee e e e

1

2

2 1 1 2j j j j

j j j j

1

2

j j2 1 1 2

j j

j j j j

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

En regroupant les termes et en divisant numérateur et dénominateur par θe j 2  :

z aa

a b a b a b a b

aa

a ba b

a ba b

1 e 1 e2e

21 1 e

1

2

2 1 1 2j

2 1 1 2j

j

1

2

2 1

1 2

2 1

1 2

2 j

2 2

2

2

( / ) ( / )

.

= + + −

= + + −

θ θ

θ

θ

−

−

9782100758883-Ch01.indd 11 11/28/16 1:27 PM

12

Chapitre 1 • Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites

2. La nouvelle expression de z est la somme d’un terme réel constant, = +

,A a

aa ba b2

11

2

2 1

1 2

et d’un deuxième en notation exponentielle complexe dont le module B est constant et l’argument -2q2 variable, = −

,B a

aa ba b2

11

2

2 1

1 2 -2q2 = -2Arc tan (b2x / a2). Le point d’affixe

z décrit donc un arc de cercle de rayon B centré sur le point de l’axe réel d’abscisse A, si B < 0 il faut écrire :

B aa

a ba b

aa

a ba b2

1 e2

11

2

2 1

1 2

j 1

2

2 1

1 2,= − −

= −

π

z aa

a ba b

a ba b2

1 1 e1

2

2 1

1 2

2 1

1 2

j 2 2 ,( )= + + −

π θ−

l’arc de cercle est toujours centré sur le point d’abscisse A mais le rayon a pour longueur -B et fait l’angle p - 2q2 avec l’axe réel au lieu de -2q2. Avec les valeurs numériques A = 55, B = 45, l’angle -2q2 varie de 0 à -p, d’où la courbe. Celle-ci passe par les points suivants :

zz

2 0 2Re 100 55 10Im 0 45j 0

2 : , / , ,( ) : , , ,( ) : , , .

θ− −π −π

−

Le point M d’affixe z est sur l’arc de cercle, à l’angle -2q2, OM donne le module et l’argument de z, r et q.

––

–

3. Mis sous la forme d’un binôme z devient :

= + −+ −

= ++

+ −+

z a b x a b xa b x a b x

a a b b xa b x

a b a b xa b x

j jj j

j1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 22

22

22 2

2 1 1 2

22

22 2

( )( )( )( )

( ) ,

avec les valeurs numériques et Re(z) = X, Im(z) = jY, la courbe est donnée sous forme paramétrique par :

= + + = − +( , ) / ( , ), / ( , ).X x x Y x x100 0 1 1 0 01 9 1 0 012 2 2

0 ≤ −2 q2 ≤ -p correspond à x variant de zéro à l’infini, le tracé à l’aide d’une calculatrice ou d’un ordinateur n’est donc réalisable que jusqu’à x très grand, par exemple 1 000 ou 10 000

9782100758883-Ch01.indd 12 11/28/16 1:27 PM