Outras Transforações de Imagens
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ComputerVision
Outras Transforações de Imagens
Paulo Sérgio RodriguesPEL205
ComputerVision Transformada Discreta de Cosseno
1
0 2
12cos)()()(
:como definda é (DCT) 1D Cosseno de Direta daTransformaA
N
x N
uxxfuauC
u = 0,1,2,...,N-1
Similarmente, a Transformada Inversa DCT é definida como:
1
0 2
12cos)(
N
u N
uxuCuxf
para x = 0,1,2,...,N-1
ComputerVision Transformada Discreta de Cosseno
1
0 2
12cos)()()(
N
x N
uxxfuauC
1
0 2
12cos)(
N
u N
uxuCuxf
N
Nu2
1
se u=0
se u=1,2,...N-1
ComputerVision Transformada Discreta de Cosseno
1
0
1
0 2
12cos
2
12cos),()(),(
N
x
N
y N
vy
N
uxyxfvuvuC
1
0
1
0 2
12cos
2
12cos,),(
N
u
N
v N
vy
N
uxvuCvuyxf
O par correspondente bidimensional da DCT é:
para u=v=0,1,2,...,N-1
para x=y=0,1,2,...,N-1
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Transformação de Hotelling
A Transformação de Hotteling, também conhecida como Autovetor, Análise dos Componentes Principais (PCA) ou Transformação Discreta de Karhumen-Loève, possui váriasPropriedades estatísticas de uma representação vetorialque a tornam importante não somente para Processamentode Imagens mas para diversas outras áreas da ciência.
ComputerVision Transformação de Hotelling
Considere um conjunto de vetores da forma:
nx
x
x
x2
1
xEm
éconjuntodomédiovalorcujo
x
:
onde E{arg} é o valor esperadodo argumento arg
ComputerVision Transformação de Hotelling
Assim, a matriz de covariância de uma população de vetores é obtida tomando-se o valor esperado decada elemento:
Txxx mxmxEC
onde T indica transposição
ComputerVision Transformação de Hotelling
Txxx mxmxEC
Uma vez que x é n-dimensional Cx é uma matriz n x n,onde cada elemento cii é a variância de xi e cada elementocij, para i ≠ j é a co-variância entre os elementos xi e xj
A matriz Cx é também uma matriz real e simétrica
Se os elementos xi e xj não são correlacionados cij = cji = 0
ComputerVision Transformação de Hotelling
Se o número de vetores de uma população for M, o vetor médio e a matriz de co-variância podem seraproximados por:
M
k
Txx
Tkkx
M
kkx
mmxxM
C
e
xM
m
1
1
1
1
ComputerVision Transformação de Hotelling
Sendo Cx real e simétrica, sempre é possível encontrar um conjunto n autovetores ortonormais.
Então, sejam ei e λi, para i = 1,2,...,n, os respectivos autovetores e correspondentes autovalores de Cx
Seja A a matriz cujas linhas correspondem aos autovetores de Cx
Por conveniência, a primeira linha de A corresponde ao maior autovalor, e as demais em ordem decrescente de autovalorescorrespondentes.
ComputerVision Transformação de Hotelling
Suponha que A é uma matriz de transformação que mapeiacada elemento de x em um outro espaço denotado aqui por y:
xmxAy
Essa transformação de mapeada por A é chamada Transformaçãode Hotteling, cuja matriz de co-variância pode ser obtida em termosde A e Cx como:
Txy AACC
ComputerVision Transformação de Hotelling
Uma observação importante é que Cy é uma matriz diagonalcujos elementos dessa diagonal são justamente os autovaloresde Cx, isto é:
n
yC
0
0
2
1
ComputerVision Transformação de Hotelling
O principal efeito da Transformação de Hotteling é o alinhamento do eixo principal dos dados com o maior autovalor encontrado em um novo sistema de coordenadas cuja origem é o centróide da população.
Essa observação mostra que a Transformação de Hotteling alinha os dados com os autovetores.
x1
x2
y1
y2
x1
x2
e2
e1
ComputerVision Transformação de Hotelling
Um propriedade importante da Transformada de Hotelling é que o vetor original pode ser reconstruído a partir de A, uma vez que A = AT por ser formado de colunas de vetores ortonormais. Assim:
xmxAy
xT myAx *
ComputerVision Transformação de Hotelling
No entanto, suponha que ao invés de usar todos os autovetores, usemos somente os k correspondentes aos k maiores autovalores. Chamemos essa matriz de Ak
Isso gera uma tranformação k x n. Y pode então ser k dimensional, e a reconstrução não será mais exata. Os valores originais reconstruídos usando Ak são representados equacionalmente como:
xTk myAx *ˆ
ComputerVision Transformação de Hotelling
Pode-se mostrar, no entanto, que o erro médio quadrático quese comete ao substituir A por Ak na transformação inversa será:
n
kjj
n
j
k
jjjmse
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