CURSO DE ENGENHARIABR 110 - km 47 Bairro Pres. Costa e Silva CEP 59625-900 -Mossor - Rio Grande do Norte. Fsico - Prof. Valter Bezerra Dantas - E-mail- valter.fisic@hotmail.com http://www2.ufersa.edu.br/portal/professor/valterbezerra Apostila de mecnica 1Mecnica vetorial aplicada com texto e ilustrao e modelos de exerccios, lista de exerccio para cada capitulo.

Contedo

Apresentao da disciplina o Objetivos Introduo Esttica o Conceitos bsicos o Princpios fundamentais o Aces nas estruturas o Sistema de unidades Sistemas de vetores o Grandezas o Classificao dos vetores o Operaes vetoriais bsicas o Decomposio de um vetor em direes concorrentes Exemplos de operaes vetoriais Componentes Cartesianas de um vetor no plano Componentes Cartesianas de um vetor no espao Vetor definido pela sua intensidade e por dois pontos da sua linha de ao Exemplos de aplicao o Produto interno ou produto escalar Exemplo de utilizao o Produto vetorial a dois vetores ou produto externo Produto vetorial a dois vetores o Momento de uma fora em relao a um ponto Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um ponto o Produto misto a trs vetores o Momento de uma fora em relao a um eixo Momento de uma fora em relao aos eixos coordenados Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um eixo o Momento de binrio Binrios equivalentes Exemplos de operaes com binrios o Reduo de um sistema de foras Reduo de um sistema de foras num dado ponto Variao dos elementos de reduo relativamente a mudana do ponto de reduo Sistemas de vetores equivalentes Invariantes de um sistema de foras relativamente ao ponto de reduo Casos de reduo de um sistema de foras

Exemplos de reduo Eixo central de um sistema de foras Equao vetorial do eixo central Equao analtica do eixo central Propriedade do mnimo dos pontos do eixo central Casos de sistemas de foras equivalentes a dois vetares o Casos particulares de sistemas de foras equivalentes a uma nica fora resultante Generalizao do teorema de Varignon para sistemas de vetores equivalentes a um vetor nico Sistemas de foras concorrentes num ponto Sistemas de foras complanares Sistemas de foras paralelas Sistemas de vetores distribudos Esttica da Partcula o Equilbrio da partcula Metodologia de resoluo dos problemas Exemplos de equilbrio da partcula no plano Exemplos de equilbrio da partcula no espao Esttica do Corpo Rgido o Equilbrio do corpo rgido o Graus de liberdade. Apoios. Estatica Graus de liberdade Tipos de apoios Distribuio das ligaes. Estatia Metodologia de resoluo dos problemas Exemplos de equilbrio do corpo rgido no plano Exemplos de equilbrio do corpo rgido no espao o

ObjetivoO objetivo da disciplina da Esttica consiste em desenvolver a capacidade para analisar qualquer problema de um modo simples aplicando princpios bsicos para sua resoluo. A Mecnica descreve e prev as condies de repouso ou movimento de corpos sob ao das foras, sendo a disciplina base das Cincias de Engenharia. A Mecnica Clssica apresenta dois ramos bsicos, que so a Mecnica Terica, ou a Mecnica dos Corpos Rgidos e a Mecnica dos Meios Contnuos ou a Mecnica dos Corpos Deformveis. Esta, por sua vez, subdivide-se na Mecnica dos Slidos e na Mecnica dos Fluidos. A Mecnica dos Corpos Rgidos subdivide-se em Esttica e Dinmica. A Mecnica dos Slidos contem vrias disciplinas entre os quais Estabilidade das Estruturas, Resistncia dos Materiais, Teoria da Elasticidade, etc.

Figura 1.1: Hierarquias no contexto da Mecnica Clssica Resumindo, pode afirmar-se simplificadamente que, atravs da Mecnica Terica se obtm solues matemticas para problemas em que os corpos so considerados rgidos. Quando a deformabilidade dos corpos tomada em conta, a Teoria da Elasticidade fornece solues matemticas para geometrias relativamente complexas e comportamento material o mais simples possvel. A Resistncia dos Materiais fornece solues fsicas para problemas com geometria simples, mas pode lidar com materiais de comportamento mais complexo. Estas duas cincias completam-se.

Introduo Esttica Conceitos bsicosNa Mecnica so utilizados quatro conceitos bsicos dos quais trs aceites sem ser definidos: espao, tempo, massa e fora (definida). (Mecnica Newtoniana)

Espao: considera-se tridimensional associada a posio de um ponto num referencial com trs direes, homognea, istropo, continuo e absoluto. Unidade - unidade de comprimento em SI - M Tempo: caracteriza a sucesso e durao de um acontecimento, e independente das propriedades de corpo, absoluto, universal, uniforme e irreversvel. Unidade - em SI - S Massa: caracteriza e compara corpos com base em certas experincias - ex. atrao pela Terra de corpos de massa igual - massa gravtica ou dois corpos que oferecem a mesma resistncia mudana ao seu movimento - massa de inrcia. A massa independente e absoluta. Unidade - em SI - Kg. Na Mecnica clssica so aceites duas representaes para distribuio da massa: o Discreta - um conjunto finito de massas (partculas) o Contnua - divises infinitas ocupando o espao. Fora: usada para caracterizar a ao de um corpo sobre outro por contacto debito ou atrao. A fora depende de espao, tempo e massa. Unidade - em SI KgMs-2

Princpios fundamentais

Definies

Partcula: uma quantidade muito pequena de matria que ocupa um nico ponto no espao. Corpo rgido: combinao de um grande numero de partculas que ocupam posies fixas umas em relao aos outras

Princpios1. Regra do paralelogramo: para adio das foras - duas foras que atuam numa partcula podem ser substitudas por uma nica fora resultante. 2. Princpio de transmissibilidade: estabelece que as condies de equilbrio ou de movimento de um corpo rgido permanecero inalteradas se uma fora atuando num dado ponto do corpo rgido for substituda por uma fora com a mesma intensidade, mesma direo e mesmo sentido, mas atuando num outro ponto desde que as duas foras tm a mesma linha de ao. 3. As trs leis fundamentais de Newton: 1. 1 a lei de Newton: se a resultante das foras que atuam numa partcula nula a partcula permanece em repouso ou move-se com velocidade constante segundo uma reta. 2. 2a lei de Newton: se a resultante das foras que atuam numa partcula NO nula, esta ter uma acelerao cuja intensidade proporcional a resultante e tem o mesmo sentido: F=M x a. 3. 3a lei de Newton: as foras de ao e reao entre corpos em contacto tm a mesma intensidade e a mesma linha de ao e sentidos opostos. 4. Lei da gravitao de Newton: duas partculas de massa M e m se atraem entre si com foras de igual intensidade e sentidos opostos. F=G m/r2 onde r representa a distncia entre as partculas e G a constante gravtica. No caso da atrao da Terra F=Peso, M representa o peso da Terra e r = Raio da Terra. Para o estudo das vrias Partes da Mecnica: Esttica do Corpo Rgido: usam-se Dinmica da partcula.

Aes nas estruturasAs aes mecnicas exercidas sobre os sistemas materiais representam-se por foras atuantes e foras de ligao.

Foras: aes caracterizadas por intensidade, direo e sentido geometricamente representado por uma reta orientada (vetor) - foras ativas. Ligaes: aes resultantes das restries geomtricas e que obrigam que parte do Corpo Rgido ocupe posies fixas no espao. Cada ligao tem como correspondente um fora equivalente - foras passivas.

Modelao, esquematizao das aes.A determinao das aes o tipo e a grandeza e muito importante e regulamentada do RSA (Regulamento de Segurana e Aes para Estruturas de Edifcios e Pontes) Classificao das aes que solicitam as estruturas:

Quanto distribuio. o Fora concentrada: ao localizada em superfcies pequenas em relao dimenso do Corpo Rgido o Fora distribuda Quanto o modo de variao em tempo: o Estticas, cclicas, dinmicas, etc. o Permanentes (peso prprio), variveis ( pessoas, trmicas, do vento, dos sismos) e de acidente (exploses)

Sistema de unidadesUtiliza-se o Sistema Internacional desde 1960 que se baseia em trs conceitos fundamentais: comprimento, tempo e massa. Tabela 2.1: Sistema de Unidades SI: Grandezas Fundamentais e Derivadas Grandezas Fundamentais Comprimento Tempo Massa Grandezas Derivadas Superfcie Volume Densidade Velocidade Acelerao ngulo Velocidade angular Acelerao angular Fora Presso Momento ML T T MLT T =F =FL =FL Dimenso L T M Dimenso L L ML LT LT Unidade m s kg Unidade m m kg/m m/s m/s rad rad/s rad/s kg m/s = N (Newton) Pa = N/m (Pascal) Nm

ML T

GrandezasAlgumas grandezas fsicas so representadas matematicamente por um escalar, isto , basta uma quantidade para defini-las. (Exemplo: massa de um corpo, o seu volume, a sua superfcie, etc.) Outras so grandezas vetoriais que necessitam de trs quantidades para serem definidas num espao tridimensional. (Exemplo: foras, deslocamentos, velocidades, etc.). Um vetor uma entidade matemtica definido por intensidade, direo e sentido e geometricamente representada por uma reta orientada: direo, ponto de aplicao, sentido, e modulo

Figura 3.1: Representao de um vetor. A maioria das grandezas mecnicas representvel por vetores e por isto o instrumento matemtico se baseia nas operaes vetoriais. Outras ainda so grandezas fsicas tensoriais, que podem ser representadas por nove quantidades num espao tridimensional. ( Exemplo: estado de tenso e deformao em torno de um ponto) Definem-se (num espao tridimensional):

Escalar: o tensor de ordem 0, com Vetor: o tensor de primeira ordem, com Tensor: o tensor de segunda ordem, com

componentes; componentes; componentes;

Em geral, num espao tridimensional, um tensor de ordem n tem 3ncomponentes.

Classificao dos vetores

Os vetores podem ser classificados em:

Vetor aplicado: no pode ser movido sem modificarem as condies do problema. Exemplo - peso das vrias partculas. Vetor deslizante: o ponto de aplicao pode mover-se ao logo da linha de ao. Casos particulares de vetores deslizantes: o Vetores iguais: mesma - intensidade, direo e sentido - pode ser diferente o ponto de aplicao. o Vetores opostos: mesma - intensidade, direo - sentido oposto - pode ser diferente o ponto de aplicao.

Figura 3.2: Vetores deslizantes: iguais e opostos.

Vetor livre: podem mover-se livremente no espao

Os sistemas de vetores podem ser:

Sistema de vetores quaisquer; Sistema de vetores concorrentes: aplicados num ponto - caso dos vetores atuantes sobre uma partcula ou com linhas de ao concorrentes; Sistema de vetores complanares: vetores contidos no mesmo plano; Sistema de vetores colineares: tm a mesma linha de ao; Sistema de vetores paralelos: tm as linhas de ao paralelas;

Operaes vetoriais bsicas

Produto por um escalar: , onde C pode ser zero, positivo ou negativo. O resultado um vetor da mesma direo e ponto de aplicao.

Figura 3.3: Produto de um vetor por um escalar.

Adio de dois vetores (concorrentes): O resultado um vetor obtido utilizando a regra do paralelogramo ou regra de tringulo.

Figura 3.4: Adio de vetores - regra de paralelogramo e de tringulo. Propriedades:

Comutativa

o

Associativa Distributiva em relao aos escalares

o

Subtrao (adio do vetor oposto):

Para adio ou subtrao de dois vetores utiliza-se a regra do paralelogramo ou do tringulo - o resultado de adio de dois vetores igual a diagonal do paralelogramo construdo na base dos vetores. O resultante dos vrios vetores concorrentes obtido utilizando sucessivamente a regra do paralelogramo ou do tringulo resultando a regra de polgono: .

Figura 3.5: Adio de vetores - regra de polgono Operaes no permitidas: adio de um escalar e um vetor, diviso de dois vetores.

Decomposio de um vetor em direes concorrentesQualquer vetor pode ser decomposto em duas ou mais componentes desde que tenham o mesmo efeito. A decomposio de um vetor segundo duas direes concorrentes pode ser feita utilizando a regra do paralelogramo (tringulo) de forma inversa.

Figura 3.6: Decomposio de um vetor em duas direes concorrentes

Casos:

Conhecem-se as direes de ao dos vetores componentes 3.4.a; Conhece-se um dos vetores componentes 3.4.b; As direes de ao dos vetores componentes so perpendiculares.

A utilizao da regra do paralelogramo (tringulo) requer o uso de trigonometria (lei dos Senos ou dos Cosenos) ou a resoluo grfica.

Tringulo:o

Soma dos ngulos:

;

o

Lei dos Senos:

o

Lei dos Cosenos:

;

Caso particular

Lei da Pitgoras.

Paralelogramo:o

Soma dos ngulos:

;

Exemplos de operaes vetoriaisProblema 3.1 Adio de dois vetores:

Resoluo:

Graficamente: desenhar a escala, usar a regra de paralelogramo e medir

Resoluo trigonomtrica:

o

- Lei dos Cosenos:

- Lei dos Senos:

Direo do

-

Problema 3.2 Uma jangada puxada por dois rebocadores. Se a resultante das foras exercidas pelo rebocador for dirigida segundo o eixo da jangada, determine:

a) a fora de trao instalada em cada uma das cordas, sabendo que b) o valor de para qual a fora de trao instalada na corda 2 mnima.

;

Resoluo trigonomtrica

a):

- Lei dos Senos:

b): F ser mnimo para o ngulo =90-30=60, ou seja a reta do menor comprimento entre o ponto e a reta 1 a perpendicular baixado do ponto sobre a direo 1.

Componentes Cartesianas de um vetor no plano(Um caso particular de decomposio de um vector em duas direes concorrentes corresponde a caso quando as direes so ortogonais entre si, Figura a). (Esta particularidade simplifica as relaes trigonomtricas, sendo o paralelogramo um retngulo e o tringulo um tringulo reto.) Se estas direes coincidirem com as direes dos eixos coordenados - as componentes correspondem as componentes Cartesianas, Figura b) e c).

Figura 3.7: Componentes Cartesianas

As componentes ax, ay so as componentes Cartesianas, obtidos por projeo do vetor sobre os eixos do referencial, e podem ser expressas em funo de um vetor unitrio ou versor do respectivo eixo.

onde e

e

so versores do referencial , respectivamente.

(

) segundo os eixos

Componentes Cartesianas de um vetor no espaoO referencial Cartesiano um referencial direito - aplica-se a regra do saca-rolha ou da mo direita.

Figura 3.8: Referencial Cartesiano As componentes do vetor . no espao seguindo as direes do referencial Cartesiano so:

Figura 3.9: Componentes Cartesianas

Um vetor no espao necessita trs ngulos para definir a sua direo: x,y, z, e medidos partir da direo positiva dos eixos.

Onde se verifica a relao: cos2x+cos2 y cos2z =1 Se for o versor do vetor com os cosenos diretores cos x cos y cos z, ento possvel expressar esse vetor com a ajuda do seu versor:

O versor do vetor

obtm-se:

Vetor definido pela sua intensidade e por dois pontos da sua linha de ao

O vetor definido se conhece sua intensidade linha de ao .

e pelo menos dois pontos da sua

Figura 3.10: Vetor definido pela intensidade e linha de ao

Se versor:

for o versor do vetor

possvel expressar esse vetor com a ajuda do seu

O versor do vetor

obtm-se:

Ento o vetor

ser:

Momento de uma fora em relao a um eixoO momento de uma fora em relao a um eixo definido por um versor ,a O

projeo do vetor momento sobre o eixo, obtido em relao a um ponto desse eixo

momento do vetor em relao a um eixo representa a tendncia que a fora impe para a rotao em torno desse eixo.

Figura 3.14: Momento de uma fora em relao a um eixo

Onde misto:

um ponto no eixo

de versor

. O momento

obtido por um produto

Propriedades: 1. O momento de um vetor em relao a um eixo nulo sempre que a linha de ao do vetor e o eixo existam no mesmo plano.

Na prtica se recomenda a decomposio da fora em duas componentes, uma paralela com o eixo e a outra perpendicular sobre o eixo, sendo o momento em relao a esse eixo igual com o momento da componente perpendicular.

2. O momento do vetor

em relao a um eixo no varia escolhendo qualquer ponto do

eixo (ex. ) em relao ao qual obtido o momento mesmo que o momento em relao a o ponto difere.

mas

Operaes bsicas com vetores utilizando a representao CartesianaAs operaes vetoriais podem escrever-se utilizando a representao Cartesiana:

Exemplos de aplicaoProblema 3.3 Adio de trs vetores no plano:

Problema 3.4 Uma fora de respectivamente com os eixos

forma os ngulos de

,

e , e

, .

. Determine as componentes

Resoluo

Problema 3.5 Determine a direo e o sentido da fora:

Resoluo:

Problema 3.6 Uma placa retangular suportada por trs cabos. Sabendo que a fora de trao instalada no cabo de , determine as componentes da fora exercida na placa em B. Resoluo

A fora

tem direo

e ser decomposta segundo as direes e

. As

coordenadas dos pontos que definem a linha de ao so:

Produto interno ou produto escalarO produto interno a dois vetores d um escalar e o resultado obtido:

Propriedades:

Comutativa: Distributiva em relao adio:

Multiplicao por um escalar:

O produto interno utilizado para determinar as componentes escalares de um vetor segundo uma direo dada (projeo) e o ngulo entre dois vetores. Exemplo componentes escalares Cartesianas.

Vetores base:

Componentes Cartesianas (projees na direo dos eixos do referencial):

Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas

Exemplo de utilizaoProblema 3.7 Determine a projeo do vetor sobre a direo .

Resoluo:

Produto interno ou produto escalarO produto interno a dois vetores d um escalar e o resultado obtido:

Propriedades:

Comutativa: Distributiva em relao adio: Multiplicao por um escalar:

O produto interno utilizado para determinar as componentes escalares de um vetor segundo uma direo dada (projeo) e o ngulo entre dois vetores. Exemplo componentes escalares Cartesianas.

Vetores base:

Componentes Cartesianas (projees na direo dos eixos do referencial):

Exemplo de utilizao Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas

Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas

Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas

Exemplo de utilizaoProblema 3.7 Determine a projeo do vetor sobre a direo .

Resoluo:

Produto vetorial a dois vetores ou produto externoO resultado da operao um vetor e obtido por:

Definio:

O vetor tem carter diferente do vetor que lhe deu origem, isto do vetor graficamente ser representada por uma reta orientada com seta dupla.

, o que

Produto vetorial a dois vetoresOs elementos que definem o vetor resultante so:

intensidade (mdulo ): o ngulo representa o menor ngulo entre os vetores e . e .

dileo: direo perpendicular ao plano formados pelos vetores sentido: pela regra da saca-rolha ou regra da mo direita.

Pela regra do saca-rolha o sentido do vetor coincide com o sentido de progresso de uma saca-rolhas que rodasse acompanhando o movimento de rotao que levaria o primeiro vetor do produto externo ( ) a ir a ter com o segundo vetor ( Propriedades: )

NO comutativa: Distributiva em relao adio: Multiplicao por um escalar:

O produto vetorial utilizado para calcular o momento de um vetor em relao a um ponto e identificar um vetor perpendicular a dois vetores complanares.

Exemplo - vetores base do referencial Cartesiano (referencial direito) Os vetores base do

Produto externo expresso em termos de componentes Cartesianas

Seja o vetor

e

expressos em componentes Cartesianas:

O produto externo :

O produto externo usado para calcular o momento de um vetor em relao a um ponto.

Se o vetor representa uma fora, ento o momento a capacidade de rotao de uma fora.

Momento de uma fora em relao a um ponto

O vetor momento um vetor fixo, pelo que varia com o ponto em relao ao qual se calcula. O momento de uma fora em relao a um ponto , a capacidade de .

rotao de fora em torno do ponto representado por

, sendo a unidade

Onde

o vetor posio do ponto de aplicao do vetor

relativamente ao ponto

.

Figura 3.11: Momento de um vetor.

O vetor momento pode ser obtido atravs do produto vetorial (Seco 3.6.1), determinando a sua intensidade, direo e sentido ou utilizando a expresso analtica, produto externo (Seco 3.6.1) obtendo as componentes segundo os eixos coordenados. Propriedades: 1. O momento do vetor em relao a um ponto no varia escolhendo qualquer ponto na sua linha de ao como ponto de aplicao. Pelo princpio de transmissibilidade as foras so vetores deslizantes pelo que o seu efeito no se altera se a mesma se desloca ao longo da sua linha de ao.

Figura 3.12: Momento de um vetor: princpio de transmissibilidade da fora.

Por isso intensidade (Seco 3.6.1):

do momento

pode ser obtida pela expresso

Sendo

perpendicular a linha de ao do vetor

(

) e o seu mdulo

ao qual se d o nome de brao da fora em relao ao ponto . O brao da fora obtm-se baixando a perpendicular do ponto sobre a linha de ao do vetor .

2. O momento de um vetor em relao a um ponto nulo sempre que a linha de ao do vetor passe pelo ponto em causa, sendo os vetores e colineares ( ). 3. O momento de um vetor varia escolhendo um outro ponto em relao ao qual se calcula.

O momento relativamente ao ponto

dado por:

Figura 3.13: Variao do momento de uma fora em relao a um ponto Escolhendo um ponto , o momento em relao a esse ponto ser:

Como

: (3.1)

A equao (3.1) representa a propagao dos momentos, com a mudana do ponto relativamente ao qual se deseja calcular o momento. Observao: Se o ponto ( ) for numa linha paralela linha de ao da fora, o ( o vetor e ficaro

momento relativamente a esse ponto paralelas ou colineares).

4. O momento resultante de vrias foras concorrentes relativamente a um ponto igual soma dos momentos das vrias foras relativamente a esse ponto.

Esta relao que representa a propriedade distributiva a Teorema de Varignon.

Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um pontoProblema 3.8 Sabendo que a fora de intensidade , determine o momento em relao ao ponto . e com linha de ao

Resoluo:

Em alternativa o momento da fora utilizando o vetor de posio ponto de aplicao em .

em torno do ponto

pode ser calculada ao longo da linha com

, deslizando o vetor

Problema 3.9 Sabendo que .

determine o momento em relao ao ponto

Resoluo 1o Pelo produto externo

2 Pelo produto vetorial: Observao: No plano prefervel calcular o modulo do pela definio em vez de usar a representao cartesiana.

A direo perpendicular ao plano .

e o sentido pela regra de mo direita :

Problema 3.10 Sabe-se que para retirar o prego em necessrio uma fora vertical de Determine a) o momento produzido pela fora em relao ao ponto . b) a intensidade da fora aplicada no ponto , que produz o mesmo momento em relao ao para c) a menor fora que produz o mesmo momento

Resoluo a) Momento em relao ao ponto da fora :

Pelo produto vetorial:

Intensidade:

Direo: direo do eixo Sentido: sentido horrio (

(perpendicular ao plano

)

- pela regra de mo direita).

b) A intensidade da fora

aplicada no ponto

para

:

1 Pelo produto externo

2 Pelo produto vetorial:

3 Decompor a fora

em duas componentes, uma paralela com a direo ( ), sendo:

(

) e outra perpendicular a

Aplicando o teorema de Varignon:

c) A menor fora que produz o mesmo momento (ver alinha em que , isto

), se obtm no caso

Momento de uma fora em relao aos eixos coordenadosSeja o ponto a origem do referencial Cartesiano, o momento da forca produto externo : obtida pelo

Seja o vetor

e

expressos pelas suas componentes cartesianas:

O momento em relao aos eixos

,

e

obtm-se:

Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um eixo

Problema 3.11 Determine o momento da fora

em torno do eixo

Resoluo

Calcula-se o momento

da fora

:

com

1. Pela definio

2. Pelo produto misto:

Momento de uma fora em relao aos eixos coordenadosSeja o ponto a origem do referencial Cartesiano, o momento da forca produto externo : obtida pelo

Seja o vetor

e

expressos pelas suas componentes cartesianas:

O momento em relao aos eixos

,

e

obtm-se:

Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um eixo

Problema 3.11 Determine o momento da fora

em torno do eixo

Resoluo

Calcula-se o momento

da fora

:

com

1. Pela definio

2. Pelo produto misto:

Momento de binrio

Um binrio um sistema constitudo por duas foras de igual intensidade, com linhas de ao paralelas, mas de sentidos opostos. Um binrio representado por uma nica grandeza vetorial, o momento binrio. O momento binrio um vetor livre, tm o mesmo elemento independentemente do ponto do espao.

Os elementos de binrio so:

Plano do binrio: - o plano que contm as duas linhas de aco; Sentido: - o sentido de rotao das duas foras; Brao : a distncia entre as duas linhas de ao; Intensidade:

O resultante destas foras nulo.

O momento binrio a tendncia de rotao das duas foras:

Com:

Direo: - perpendicular ao plano do binrio; Sentido: - obtido pela regra de mo direita; Intensidade:

Binrios equivalentesDois binrios com o mesmo momento so equivalentes, isto produzem o mesmo efeito.

Operaes que garantem a equivalncia:

Translao no plano do binrio ou num plano paralelo; Rotao no plano do binrio em torno de um eixo perpendicular ao plano; Deformao do binrio - modificar o brao ou o modulo das foras mas sem modificar o momento binrio.

Soma dos binrios: rege a regra de adio dos vetores (vetores binrios).

Exemplos de operaes com binrios

Problema 3.12 Sabendo que binrio.

, determine o momento do

Resoluo Pelo produto externo

1. Pelo produto vetorial intensidade:

o

Direo: perpendicular ao plano

o

Sentido: horrio

Problema 3.13 a) Determine o vetor binrio equivalente as foras indicadas. b) Determine a intensidade de duas foras aplicadas em e que formam um binrio equivalente.

Resoluo a) Binrio equivalente: 1 Pelo produto externo

2 elo produto vetorial

b) Foras em

e

:

Os sentidos dos binrios esto representados na figura.

Reduo de um sistema de forasExistem situaes em que convm substituir um sistema de foras - que atuam sobre um corpo rgido - por outra equivalente (no efeito), s vezes mais simples. Esta operao chama-se reduo.

Substituio de uma fora aplicada num ponto por um sistema forabinrio que atua num outro pontoSeja uma fora aplicada no ponto de um corpo rgido. No ponto aplicam-se duas , o que no

foras iguais mas de sentidos opostos com linha de ao paralela a da fora altera o estado de equilbrio ou movimento.

O par das foras

e

aplicadas nos pontos

e

respectivamente forma um

binrio de momento: juntamente com o vetor

, sendo vetor livre pode ser aplicado no ponto que ``deslocada'' para esse ponto.

Qualquer fora

atuante no ponto

pode ser ``deslocada'' para um ponto arbitrrio em relao

desde que seja acrescentado um binrio de momento igual ao momento do ao ponto .

No ponto

temos um sistema fora-binrio.

Reduo de um sistema de foras num dado ponto

Definio: Qualquer sistema de foras deslizantes ( um binrio equivalentes, atuantes num dado ponto

) pode ser reduzido a uma fora e .

Fora resultante:

Momento resultante:

O vetor fora resultante

um vetor livre pelo que ser representada sem ndice, ou um vetor aplicado.

,

enquanto o vetor momento resultante

O sistema fora-binrio, equivalente ao sistema de vetores iniciais, forma os elementos de reduo em : .

Os elementos de reduo podem ser obtidos analiticamente, utilizando a representao dos vetores pelas suas componentes cartesianas. (Seco 3.4.4, Seco 3.6.1, Seco 3.7 e Seco 3.9).

Variao dos elementos de reduo relativamente a mudana do ponto de reduoFora resultante: um vetor livre pelo que independente do ponto em relao a qual se

reduz o sistema: Momento resultante: O momento resultante varia com a variao do ponto em relao a qual se efetua reduo, de acordo com a frmula de propagao dos momentos (Seco 3.7).

Propriedade projetiva: A projeo do vetor momento sobre a direo do no depende do ponto em relao ao qual obtido o momento, mesmo que o momento em relao a o ponto difere.

Pela definio a projeo do vetor

sobre a direo do vetor

dada pelo:

O vetor vetores

perpendicular sobre o plano que contm os e Sistemas de vetores equivalentes

Dois sistemas de vetores (foras) dizem-se equivalentes quando tiverem os mesmos elementos de reduo num mesmo ponto do espao. Para que dois sistemas e ou sejam equivalentes tem de se verificar as seguintes relaes:

Para que um sistema de vetores seja equivalente a zero basta verificar as seguintes relaes num ponto qualquer do espao:

Nesse caso o sistema

representa um sistema em equilbrio.

que a projeo desse vetor sobre a direo

nulo.

Invariantes de um sistema de foras relativamente ao ponto de reduoInvariantes de um sistema so elementos que no variam escolhendo um outro ponto em relao ao qual se calculam. Os invariantes de um sistema de vetores so: 1. Fora resultante: - invariante vetorial. A fora resultante de um sistema de vetores (foras) um vetor livre, no varia escolhendo qualquer ponto no espao em relao o qual se calcula. 2. Produto escalar - invariante escalar.

O produto interno dos vetores

e

no varia escolhendo qualquer ponto no

espao em relao o qual se calcula o

3. A projeo do vetor

sobre a direo do vetor

:

.

Casos de reduo de um sistema de forasQualquer sistema de vetores (foras) pode ser reduzido (substitudo) a um dos seguintes sistemas de vetores simples, identificados com base nos primeiros dois invariantes invariantes principais:

1. 2. nico 3. .

- caso geral - reduo a dois vetores no complanares. - o sistema equivalente a um vetor (fora) resultante

- o sistema se reduz a um binrio (momento idntico em qualquer ponto do espao). O sistema ainda diz-se equivalente a conjugado. - elementos de reduo nulos. Se um sistema se reduz elementos nulos equivalente a zero e ser nulo em qualquer ponto do espao. Um sistema de foras nestas condies representa um sistema em equilbrio.

4.

Exemplos de reduoProblema 3.14 a) Substitu a fora aplicada por um sistema fora-binrio aplicados em b) Determine as duas foras aplicadas em obtido em . e que so equivalentes ao momento

Resoluo

a)

b) O sentido do binrio est representado na figura. Problema 3.15 Para o sistema representado na figura determine: a)os elementos de reduo em b) os elementos de reduo em .

Resoluo a) Expresso analtica das foras:

b) Os elementos de reduo em

so:

Sendo os vetores e colineares ( ), o momento resultante do sistema no varia se o ponto de reduo for o ponto .

Eixo central de um sistema de foras

Nos casos de reduo para qual e

existem pontos

no espao em que os vetores

so colineares ou paralelas. O lugar geomtrico destes pontos corresponde a e chama-se eixo central do sistema e o momento

uma reta que tem a direo do vetor mnimo.

Equao vetorial do eixo central

Se conhecermos os elementos de reduo num ponto pela formula de propagao dos momentos:

pode determinar o momento

ou (3.2)

Nesta equao a nica incgnita o vetor

que define o eixo central, relativamente ao ambos os lados

ponto . A equao se resolve externando da esquerda com o vetor da equao (3.2):

Aplicando as formulas de Gibbs para resolver o produto externo duplo, resulta o vetor posio do eixo central:

Os elementos que definem o vetor

so:

Intensidade: Direo: perpendicular ao plano que contm os vetores Sentido: pela regra de mo direita. e

A equao vetorial do eixo central :

Equao analtica do eixo central

Substituindo os vetores expressos pelas suas componentes cartesianas, e efetuando os clculos resulta e equao do eixo central como interseco de dois planos:

As relaes representam a equao de dois planos.

Propriedade do mnimo dos pontos do eixo centralA intensidade do momento resultante relativamente aos pontos ( mnima. O momento mnimo pode ser obtido internando com o vetor equao da propagao dos momentos e resulta: ) do eixo central

ambos os lados da

O termo

sendo o produto escalar a dois vetores perpendiculares, , pelo que resulta:

Casos de sistemas de foras equivalentes a dois vetoresSeja o ponto um ponto qualquer no espao e o ponto um ponto no eixo central. Qualquer sistema de vetores (foras) pode ser equivalente a um dos seguintes casos representados na Tabela 3.1. Tabela 3.1: Casos de reduo a dois vetores

a)

em

:(

)

em I.

: mnimo -

- admite EC

b)

em

:(

)-

em

: fora resultante (

)

a) II.

Binrio (

)

b)

Elementos nulos (

) - equilbrio

Casos particulares de sistemas de foras equivalentes a uma nica fora resultantePara que um sistema se reduza a uma nica fora resultante necessrio e suficiente que:

ou Nesse caso a fora resultante atua no eixo central.

Os casos de sistemas que de modo geral se reduzem a um vetor nico so:

1. Sistemas de foras concorrentes num ponto 2. Sistemas de foras complanares (

( ou

); );

3. Sistemas de foras paralelas ( ou ). 4. Sistemas de foras distribudas. (generalizao do sistema de foras paralelas)o

Generalizao do teorema de Varignon para sistemas de vetores equivalentes a um vetor nicoPara os casos de sistemas de vetores equivalentes a um vetor nico e

ou que ou , o momento resultante igual ao momento da resultante, desde que seja convenientemente aplicada, nos pontos em que o momento resultante zero. Se for um ponto no eixo central, o momento num ponto dado pelo: qualquer no espao o

momento

Sistemas de foras concorrentes num pontoSe as linhas de ao das todas as foras concorrem no mesmo ponto equivalente a uma nica fora resultante central. que passa por , o sistema e coincide com o eixo

Se o vetor

, o sistema est em equilbrio. diferente de aplica-se o

Para calcular o momento do sistema em qualquer ponto teorema de Varignon.

Equivalncia a zero:

.

Sistemas de foras complanaresSe as foras atuarem todas no mesmo plano ( contido no mesmo plano. Se o ponto ), o sistema se reduz a um vetor nico .

no pertence ao eixo central

Se o vetor , o sistema est em equilbrio ou reduz a um binrio. Caso contrrio o sistema admite eixo central contido no plano das foras.

A equao do eixo central obtm-se aplicando o teorema de Varignon.

Equivalncia a zero: Um sistema de foras complanares est em equilbrio se verificarem uma das trs condies: 1. Tm elementos nulos em relao a um ponto qualquer ). 2. o momento resultante em relao a trs pontos ( plano nulo: . , , ) no colineares no no plano das foras (

o momento resultante em relao a dois pontos ( relao a um eixo nulo: paralelas no perpendicular ao linha e

,

) e em

. Sistemas de foras

Se os vetores todos so paralelos com a mesma direo ( ), em que a fora resultante o sistema se reduz a um vector nico paralela com a mesma direo.

Se o vetor , o sistema est em equilbrio ou re reduz a um binrio. Caso contrrio o sistema admite eixo central. A equao do eixo central obtm-se aplicando o teorema de Varignon.

Equivalncia a zero: elementos nulos em relao a um ponto qualquer foras ( ).

no plano das

Sistemas de vetores distribudosA aplicao de uma carga sobre um corpo em geral faz-se atravs de certa superfcie de contacto e segundo uma equao. As cargas podem ser distribudas em superfcie (e.g. presso hidrosttica exercido por um liquido sobre a superfcie de um corpo mergulhado nele) ou distribudas por volume (e.g. peso dos vrios pontos) ou ainda foras distribudas em linha. Interesse agora substituir um sistema de foras distribudas por um outro sistema mais simples sem alterar o seu efeito. Para calcular os elementos de reduo de um sistema de foras distribudas relativamente a um ponto, usam-se os procedimentos descritos para a reduo de sistemas em caso geral, substituindo a operao de soma por integrais das cargas elementares atuantes em grandezas elementares.

Casos de distribuio numa superfcie

A intensidade da carga elementar obtida conhecendo densidade da carga ea superfcie elementar sobre qual atua em funo das coordenadas do ponto em causa:

Os elementos da reduo relativamente ao ponto

qualquer so:

Carga distribuda numa linhaUm caso de maior freqncia o caso de cargas paralelas distribudas numa linha.

Os elementos de reduo em

so:

A posio do eixo central obtm-se aplicando o teorema de Varignon:

Na Tabela 3.2 apresentam-se alguns exemplos de sistemas de foras paralelas distribudas em linha. Tabela 3.2: Exemplos de sistemas de foras paralelas distribudas: fora resultante e posio do eixo central Sistema

,

,

,

,

Exemplos de reduo de sistemas que admitem eixo centralProblema 3.16 Para o sistema representado na figura em que e a equao do eixo central. , determine: , e

os elementos de reduo em

Resoluo a) Expresso analtica das foras:

b) Para a equao do eixo central aplica-se o teorema de Varignon.

A equao do eixo central resulta:

O eixo central intersecta os eixos coordenados

e

nos pontos

e

,

respectivamente, de coordenadas

e

.

Problema 3.17 Substitua o sistema dado por uma nica fora aplicada num ponto que fica sobre a linha . Determine a posio do ponto de aplicao desta fora.

Resoluo 1. Se o ponto . for um ponto de linha situado a uma distncia do ponto

2. O ponto pertence ao eixo central, teorema de Varignon para calcular o momento em

possvel aplicar o

Problema 3.18 Para o sistema representado na figura e determine os elementos de reduo da forma onde a linha da resultante intersecta as linhas

, . Indique os pontos

e

.

Resoluo: Os elementos da reduo em

so:

Como o sistema admite eixo central e sendo nica fora resultante atuantes no eixo central. Se o ponto central , podemos aplicar o teorema de Varignon.

o sistema se reduz a uma for um ponto no eixo

A equao do eixo central :

o que intersecta a eixo

no ponto

e o eixo

(linha

) no ponto

interseco (

. Da equao do eixo central obtm-se as coordenadas do ponto de ) do eixo central com a linha ,

Esttica da PartculaAlguns problemas reais podem ser resolvidos estudando a partcula, sempre que se verificam as condies de aplicao do equilbrio da partcula, isto as foras atuantes so concorrentes num ponto.

Conceitos:

Foras concorrentes (foras externas - aplicadas e/ou transmitidas atravs de cabos, correias, correntes etc. - foras resultantes de contacto direto entre os corpos e foras resultantes de interao dos corpos a distncia - ex. foras gravticas); Equilbrio esttico: - a velocidade de um objeto igual a zero ou constante; 1a Lei de Newton: - se a resultante das foras que atuam numa partcula nula - a partcula permanece em repouso ou move-se com velocidade constate segunda uma reta.

Equilbrio da partculaUma partcula livre est em equilbrio se o sistema de foras atuantes (externas aplicadas, gravticas e reativas) se reduz os elementos nulos.

O sistema de foras corresponde ao caso particular: de sistema de foras cor correntes num ponto que representa a partcula.

A condio de equilbrio (vetorial) : As condies de equilbrio podem ser expressas analiticamente:

Espao: (4.1)

As equaes (4.1) permitem determinar at trs incgnitas. Plano - particularizao do caso 3D: sistemas de foras concorrentes coplanares, Seo ). (4.2)

As equaes (4.2) permitem determinar at duas incgnitas.

Na realidade, de modo geral, a partcula no se encontra livre e para resolver os problemas necessrio substituir as ligaes por os seus correspondentes fsicos (foras) de modo a obter um esquema de partcula livre sob aces, chamado diagrama de corpo livre - DCL. Exemplos de foras transmitidas atravs de cabos, correias, correntes, etc., sem atrito, molas ou contacto direto entre corpos:

Foras transmitidas atravs de:

Cabos, correias sem atrito, (Figura e ), sistemas de roldanas sem atrito podem ser solicitadas a trao e a fora que atua neles constante (Figura ) Molas: resistem a trao e a compresso e a fora dada pelo , onde representa a deformao da mola (Figura ) Superfcie lisa (sem atrito): fora tem a direo normal a superfcies em contacto (Figura )