ParábolaTrabalho de Matemática

Asaph ViniciusCesar AugustoFelipe Barbato

Gabriel BalthazarGabriel Romão

Jhonatan TomazJorge M. AbdallaRicardo Soares

Definição Geométrica• Parábola é uma curva cônica;

• Formada com os pontos que pertencem simultaneamente a um cone e a um plano que o cortou.

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Regra• Suponha um eixo d vertical e dois pontos F e V, de acordo com a representação:

• A distância entre a reta vertical d e o ponto V deve ser a igual à distância entre os pontos V e F. Determinaremos uma sequência de pontos os quais deverão estar à mesma distância de F e d. Observe:

• A parábola é formada pela união de todos os pontos do plano que estão à mesma distância do ponto F (foco) e da reta vertical d. 3

Estrutura

• FOCO: É o ponto fixo da parábola

• EIXO: É o eixo de simetria da parábola

• DIRETRIZ: É a reta que dá a condição a uma curva ser uma parábola

• VÉRTICE: É o ponto que a parábola tem em comum com o eixo

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Formulas• A equação de uma parábola depende da

posição da reta diretriz;

• Pode ser paralela ao eixo y ou ao eixo x;

• A equação também depende da localização do foco, que pode estar à direita, à esquerda, acima ou abaixo da reta diretriz.

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Foco à direita • y² = 2px

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Foco à direita• O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e foco (x0 + p/2, y0) (Imagem

Anterior).

• A equação da reta diretriz é x = x0 - p/2 ou x - x0 + p/2 = 0. Sabemos que a distância de um ponto qualquer P = (x, y), que pertença a essa parábola, até o foco é igual a distância de P até a reta d.

• Assim:

• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:

• Desenvolvendo essa expressão obtemos a equação da parábola:

• (y - y0)² = 2p×(x - x0) ou y2 = 2px7

Foco à esquerda• y² = -2px

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Foco à esquerda• O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e o foco é (x0 - p/2, y0) (Imagem

anterior).

• A equação da reta diretriz é x = x0 + p/2 ou x - x0 - p/2 = 0.

• Tomando um ponto qualquer P = (x, y), pertencente a essa parábola, temos:

• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:

• Desenvolvendo essa expressão obtemos a equação da parábola:

• (y - y0)² = - 2p×(x - x0) ou y² = -2px 9

Foco acima • x²=2py

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Foco acima • O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e o foco é (x0, y0 + p/2) (Imagem anterior).

• A equação da reta diretriz é y = y0 - p/2 ou y - y0 + p/2 = 0. Sabemos que a distância de um ponto qualquer P = (x, y), que pertença a essa parábola, até o foco é igual a distância de P até a reta d.

• Assim:

• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:

• Simplificando essa expressão obtemos a equação da parábola:

• (x - x0)² = 2p×(y - y0) ou x²=2py

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Foco abaixo• x²= - 2py

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Foco abaixo• O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e seu foco é (x0, y0 - p/2) (Imagem

anterior).

• A equação da reta diretriz é y = y0 + p/2 ou y - y0 - p/2 = 0.

• Considerando um ponto qualquer P = (x, y) pertencente a essa parábola, temos:

• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:

• Simplificando essa expressão obtemos a equação da parábola:

• (x - x0)² = - 2p×(y - y0) ou x²= - 2py 13

Exercícios resolvidos• Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) =

2x²– 4x + 6.• Solução: Analisando a função f(x) = 2x² – 4x + 6, obtemos:• a = 2, b = – 4 e c = 6

• Segue que:

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• Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x² + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros.

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Exercícios resolvidos

• Solução:• Temos que: • a = – 9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos:

• Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros.

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Exercícios resolvidos

• Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna

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Exercícios resolvidos

Exercícios resolvidos• Solução:Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações, observe:

• Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador, nesse caso item (II)

• Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item (V)

• Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y², item (I)

• Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV)

• Parábola: temos só x² ou só y², item (III)

• Resposta: I, IV, II, V e III 18

Aplicações práticas

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Faróis de carros • Ao ligar faróis de carro, os raios de luz, provenientes da lâmpada que se

encontra no foco da parábola, incidem num espelho parabólico e são refletidos paralelamente ao eixo de simetria

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Antenas parabólicas• Ela reflete o sinal vindo do espaço, que vem

em todas as direções, para o centro da antena

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Pontes Pênseis

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Lançamentos de projéteis

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Conclusão• A importância da parábola em diversos

segmentos;

• A variável aplicação;

• Não é apenas mais um calcula matemático chato.

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