Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM

Prof.: Daniel Oliveira Veronese

Cônicas

O que é uma Superfície Cônica?

Uma superfície cônica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de uma reta (geratriz) em torno de outra reta (eixo), formando com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta completa). Ao ponto comum à geratriz e ao eixo chama-se vértice.

O que é uma Cônica?

É chamada de Cônica toda curva que se obtém como interseção de um plano com uma superfície cônica.

Obs.: Quando o plano que intersecta a superfície cônica passa pelo vértice, a seção obtida é uma cônica degenerada. Caso contrário, obtemos cônicas não degeneradas.

Cônicas Não Degeneradas

ELIPSE: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e intersecta todas as posições da geratriz e o eixo. Além disso, é oblíquo em relação ao eixo.

Se, em particular, o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência.

Hipérbole: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e é paralelo ao eixo;

Parábola: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e é paralelo apenas a uma posição da geratriz.

Cônicas Degeneradas

Ponto(Elipse degenerada)

Duas retas concorrentes(hipérbole degenerada): neste caso, o plano secante é paralelo ao eixo e passa pelo vértice.

Reta(parábola degenerada): neste caso, o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz e passa pelo vértice.

Enfatizaremos o estudo das cônicas não degeneradas, ou seja, elipse, hipérbole e parábola.

Parábola

Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d.

Definimos parábola como sendo o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de F e d.

Figura 7.1

Figura 7.2

Observando a figura 7.2 vemos que uma condição necessária e suficiente para que o ponto P pertença à parabola é:

d(P,F)=d(P,P').

Elementos da Parábola

Foco: ponto F Diretriz: reta d

Eixo: reta que passa pelo foco sendo perpendicular à diretriz.

Vértice: é o ponto V de interseção da parábola

com seu eixo.

Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema

1º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos y

Figura 7.3

Da definição de parábola obtemos:

ou seja:

Sendo assim, obtemos:

ou, simplesmente:

que é equação reduzida da parábola neste caso.

Concavidade voltada para cima

dasf

Concavidade voltada para baixo

2º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos x

Nesse caso, de modo análogo o que foi feito no primeiro caso, concluímos que:

Concavidade voltada para a direita

Concavidade voltada para a esquerda

Observação

O número p(que é diferente de zero) é chamado parâmetro da parábola.

Translação de Eixos

Consideremos no plano xOy um ponto O'(h,k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, por meio de uma translação de eixos.

Pela figura anterior vemos que:

ou:

que são as fórmulas de translação e que

permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.

Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema

1º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y

Do que já vimos, sabemos que:

mas:

e daí:

que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao dos y.

2º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x

Neste caso, de modo análogo ao caso anterior, obtemos:

Equação da Parábola na Forma Explícita

1º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos y

2º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos x

Exemplos

Serão feitos no caderno!!!!!!