Parabola

d

LICENCIATURA EM MATEMTICA

PARBOLA: UM ESTUDO ALM DA FUNO QUADRTICA

KEILLA LOPES CASTILHOLUANA SIQUEIRA S

CAMPOS DOS GOYTACAZES / RJ2007



CAMPOS DOS GOYTACAZES / RJ2007

Monografia apresentada ao Centro Federal de EducaoTecnolgica de Campos como requisito para a conclusodo Curso de Licenciatura em Matemtica.

Orientadora: Mrcia Valria Azevedo de Almeida Ribeiro Mestre em Educao Matemtica / USU / RJ.

C352p Castilho, Keilla Lopes. Parbola: um estudo alm da funo quadrtica./ Keilla Lopes Castilho, Luana Siqueira S. Campos dos Goytacazes, RJ: [s.n.], 2007.

87 f.: il.

Orientadora: Mrcia Valria Azevedo de Almeida Ribeiro.

Bibliografia: f. 57-60Monografia (Licenciatura em Matemtica). Centro

Federal de Educao Tecnolgica de Campos

1.Geometria analtica Estudo e ensino. 2.Matemtica -Estudo e ensino. I. S, Luana Siqueira. II. Ribeiro, Mrcia Valria Azevedo de, orient. III. Ttulo.

CDD 516.3

Este trabalho, nos termos da legislao que resguarda osdireitos autorais, considerado propriedade institucional.

permitida a transcrio parcial de trechos do trabalho oumeno ao mesmo para comentrios e citaes desde que notenha finalidade comercial e que seja feita referncia bibliogrficacompleta.

Os conceitos expressos neste trabalho so de responsabilidadedas autoras Keilla Lopes Castilho e Luana Siqueira S.

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Monografia apresentada ao Centro Federal deEducao Tecnolgica de Campos Universidade doTrabalho e Tecnologia como requisito parcial paraconcluso do Curso de Licenciatura em Matemtica.

Aprovada em 17 de abril de 2007

Banca Avaliadora:

Prof.Ms. Mrcia Valria Azevedo de Almeida Ribeiro (orientadora)Mestre em Educao Matemtica / USU / RJ

Centro Federal de Educao Tecnolgica de Campos / RJ

Prof. Ms. Gilmara Teixeira BarcelosMestre em Cincias da Engenharia / UENF / RJ

Centro Federal de Educao Tecnolgica de Campos / RJ

Prof. Ms. Mnica Souto da Silva DiasMestre em Educao Matemtica / USU / RJ

Faculdade de Filosofia de Campos / RJ

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AGRADECIMENTOS

Agradecemos primeiramente a Deus, o nosso Criador, por ter nos dado vida,sade e disposio para a realizao desse trabalho monogrfico;

Agradecemos a Mrcia Valria, por ter aceitado ser nossa orientadora e estarsempre conosco na composio do trabalho, nos ensinando, incentivando eapoiando;

s nossas famlias pela pacincia, dedicao, incentivo e apoio dadosdurante toda a trajetria do curso;

Ao amigo e companheiro Victor Jachelli pela compreenso, apoio e incentivoem todos os momentos;

amiga Fernanda pelo apoio e ensino na confeco do Abstrat;

Ao grupo de alunos que participou da pesquisa. Sem eles, no poderamosconcretizar este trabalho;

A todos professores dessa Instituio que, direta ou indiretamente, estiveramnos apoiando e ensinando a beleza da Matemtica durante todo o percurso nafaculdade;

Aos nossos colegas de turma que estavam sempre preocupados e dispostosa ajudar no projeto, em especial, ao nosso amigo Flvio de Freitas Afonso pelaspalavras de nimo nos momentos difceis e pela contribuio na elaborao daatividade, utilizando o recurso tecnolgico.

A todos que de alguma forma contriburam na concretizao do sonho dagraduao, bem como da elaborao do trabalho monogrfico.

Nosso muito obrigado!

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RESUMO

CASTILHO, Keilla Lopes; S, Luana Siqueira. Parbola: um estudo alm da funoquadrtica. Campos do Goytacazes, RJ. Centro Federal de Educao Tecnolgicade Campos, 2007. Monografia (Licenciatura em Matemtica).

Palavras chaves: parbola, cnica, aplicao.

O presente trabalho tem como proposta o estudo da Parbola no somente como ogrfico de uma funo quadrtica, mas como uma cnica que possui importantescaractersticas e aplicaes. Tal proposta deve-se ao fato de acreditarmos que ascnicas constituem um tema interessante e enriquecedor, mas que infelizmentemuitas vezes, pouco valorizado nos currculos escolares. O objetivo do trabalho ,atravs da Geometria Analtica, fazer uma abordagem das propriedades mtrica erefletora da parbola e suas importantes aplicaes. A postura adotada nestamonografia, a partir de atividades criteriosamente elaboradas, teve como finalidadedespertar o interesse do aluno e proporcionar uma oportunidade de enriquecer seusconhecimentos. As atividades preparadas foram aplicadas no primeiro semestre de2006 para um grupo de cinco alunos que estavam cursando um pr-vestibular naCidade de Campos dos Goytacazes.

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ABSTRACT

CASTILHO, Keilla Lopes; S, Luana Siqueira. Parbola: um estudo alm da funoquadrtica. Campos do Goytacazes, RJ. Centro Federal de Educao Tecnolgicade Campos, 2007. Monografia (Licenciatura em Matemtica).

Key words: parable, conic, application.

The objective of the present paper is to study the parable not only as a graphic of aquadratic function, but also as conic that has important characteristics andapplications. This subject was chosen due to our belief that the studying the conicswill be interesting and enriching, although it sometimes is not valued in thecurriculums of the schools. This papers aim is through Analytic Geometry todevelop an approach to the metrical and the reflective proprieties of the Parable andits important applications. The methodology adopted in this paper, from carefullyelaborated activities, intended to awake students interest and to give themopportunity to enrich their knowledge. The activities were applied in the first semesterof 2006 to a group five students that were attending to a pr-vestibular in the city ofCampos dos Goytacazes.

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1: Latus rectum da parbola......................................................... 16FIGURA 2: Propriedade da parbola.......................................................... 16FIGURA 3: Grfico de uma elipse............................................................... 17FIGURA 4: Grfico de uma hiprbole.......................................................... 18FIGURA 5: Reta t tangente parbola em P.............................................. 20FIGURA 6: Propriedade refletora................................................................ 21FIGURA 7: Esquema do raio incidente e do raio refletido........................... 22FIGURA 8: Antena parablica..................................................................... 23FIGURA 9: Telescpio de Newton.............................................................. 23FIGURA 10: Forno solar numa comunidade rural....................................... 24FIGURA 11: Forno solar.............................................................................. 24FIGURA 12: Farol de um automvel........................................................... 24 FIGURA 13: Catedral da Sagrada Famlia em Barcelona.......................... 24FIGURA 14: Catedral de So Paulo em Londres........................................ 24FIGURA 15: Cone de acrlico com as cnicas............................................ 27FIGURA 16: Fotografia do cone de duas folhas.......................................... 28FIGURA 17: Alunos realizando a Atividade I............................................... 30FIGURA 18: Aluno traando a parbola...................................................... 30FIGURA 19: Fotografia dos alunos realizando a atividade de simetria....... 32FIGURA 20: Fotografia de um aluno esboando uma parbola................. 33FIGURA 21: Traado da parbola............................................................... 35FIGURA 22: Atividade III............................................................................. 36FIGURA 23: Imagem da translao feita por um aluno............................... 46FIGURA 24: Material elaborado para a experincia.................................... 51FIGURA 25: Experincia............................................................................. 52

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LISTA DE QUADROS

QUADRO 1: Atividade I.................................................................................. 29QUADRO 2: Atividade II................................................................................. 34QUADRO 3: Atividade III................................................................................ 36QUADRO 4: Pr-requisitos............................................................................ 38QUADRO 5: Atividade IV............................................................................... 39QUADRO 6: Generalizando........................................................................... 42QUADRO 7: Atividade de translao............................................................. 44QUADRO 8: Atividade V................................................................................ 46QUADRO 9: Exerccios.................................................................................. 53

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SUMRIO

LISTA DE FIGURAS...................................................................................... 07LISTA DE QUADROS.................................................................................... 08INTRODUO............................................................................................... 10CAPTULO I...................................................................................................1.1: Um pouco de histria..............................................................................1.2: Por que os nomes elipse, hiprbole e parbola?....................................

141415

CAPTULO II..................................................................................................2.1: Propriedade refletora da parbola...........................................................2.2 Aplicaes da propriedade refletora da parbola..................................

202023

CAPTULO III................................................................................................. 3.1: Desenvolvimento.....................................................................................3.1.1: Primeiro encontro.................................................................................3.1.2: Segundo encontro................................................................................3.1.3: Terceiro encontro.................................................................................3.1.4: Quarto encontro...................................................................................3.1.5: Quinto encontro....................................................................................

26262734384248

CONCLUSO................................................................................................. 55REFERNCIAS.............................................................................................. 57APNDICES................................................................................................... 61APNDICE I: Obtendo as seces cnicas atravs de cortes em cone........ 62APNDICE II: Transparncias utilizadas no quinto encontro........................ 65APNDICE III: Latus rectum da elipse........................................................... 69ANEXOS......................................................................................................... 72ANEXO I: Atividades aplicadas...................................................................... 73

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INTRODUO

A Educao vem sendo motivo de preocupao e discusso tanto a nvelmundial quanto nacional.

A transformao e inovao da humanidade esto diretamente relacionadas necessidade de proporcionar ao ser humano uma educao de qualidade integradaa questes polticas, sociais e culturais, pois o homem necessita da educao e doconhecimento para o seu desenvolvimento como cidado.

Educao passa a ser o espao e o indicador crucial dequalidade, porque representa a estratgia bsica de formaohumana, educao no ser, em hiptese nenhuma, apenasensino, treinamento, instruo, mas especificamente formao,aprender a aprender, saber pensar, para poder melhor intervir,inovar.(DEMO, 1994, p. 20)

Apesar de tantos congressos, discusses e movimentos voltados para aeducao, o que se tem percebido uma educao ainda com falhas, maispreocupada com o cumprimento do currculo do que com a formao do homemenquanto cidado.

No Brasil, muitas vezes, as falhas na educao so apontadas como asprincipais causas dos problemas que a sociedade vem enfrentando. (SAVIANI,2000) No entanto, a educao no pode ser vista apenas como a causa ou omotivo das crises do pas, ela deve ser vista como uma soluo, ela precisa servalorizada e incentivada para formar cidados conscientes, capazes de investir nasabedoria, de inovar e de raciocinar buscando solues plausveis frente aosproblemas.

Entretanto, de acordo com Saviani (2000), apenas ter a educao como abase das solues para as questes nacionais uma atitude ingnua, pois oprocesso educacional possui falhas e que so raramente resolvidas e,conseqentemente, vo sendo agravadas.

Ser que os problemas educacionais encontram-se no profissional daeducao, no desinteresse dos alunos, na falta de apoio governamental ou na forma

de ensino? Perguntas como essas nem sempre possuem respostas imediatas.Acreditamos na necessidade de buscar estratgias de ensino, em que osprofessores procurem novas perspectivas na educao e os alunos, por sua vez,sejam motivados a buscar o conhecimento, preparando-se para a vida.

Segundo Delors (2001), a melhoria na qualidade da educao consiste emaprimorar a formao, as condies de trabalho e o conhecimento dos professores,pois se eles estiverem motivados, com competncias e conhecimentos requeridos,ensinaro com maior prazer, desenvoltura e propondo inovaes na vida profissionale acadmica do educando.

Nesse sentido, o professor tem um papel muito importante na vida do aluno,sendo ele o mediador entre o saber e o aprendiz propiciando que esse venha adesenvolver o conhecimento de forma crtica, selecionando as informaesnecessrias para a sua existncia, obtendo discernimento entre o certo e o errado e,principalmente, compreendendo o que se aprendeu, pois de acordo com Hernandez(1998, p.25) se no se compreende o que se aprende, no h uma boaaprendizagem.

A Educao como um todo abrange diversas reas do conhecimento, dentreas quais podemos destacar a Matemtica como forte aliada para a formao docidado. To importante quanto ela o papel do professor de Matemtica que, deacordo com DAmbrsio (1996), tem a incumbncia de ajudar o aluno a apreciar oconhecimento da cincia e da tecnologia em estudo, pondo em destaque sua prpriacidadania e seus princpios ticos.

DAmbrsio (1996) afirma ainda que cada um de ns pode aprenderMatemtica, porm sem perder o conhecimento de si prprio e sem colocarobstculos entre os indivduos.

Segundo os Parmetros Curriculares Nacionais, o aluno deve perceber aMatemtica como um sistema de cdigos e regras que a tornam uma linguagem decomunicao de idias que permite modelar a realidade e interpret-la. (BRASIL,2002, p.253)

Muitos temas matemticos apresentam aplicaes interessantes emotivadoras, no entanto, na maioria das vezes estes no so enfatizados comodeveriam, deixando uma lacuna no currculo de Matemtica que pode ocasionarprejuzos no decorrer dos estudos. Dentre os diversos contedos matemticos,

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podemos citar como exemplo as seces cnicas que possuem um amplo leque deaplicaes.

Dessa forma, pensamos como tema para a nossa monografia o estudo daParbola enfocando suas propriedades mtrica e refletora e suas aplicaes nocotidiano.

O objetivo desse trabalho consistiu em explorar as propriedades mtrica erefletora da Parbola e suas aplicaes sob o aspecto da Geometria Analtica,possibilitando mostrar ao estudante que a Parbola no apenas o grfico de umafuno quadrtica, mas sim uma cnica com propriedades especficas e diversasaplicaes.

Para tanto, foram elaboradas atividades voltadas para a construo daParbola utilizando lpis e papel bem como, atravs da Tecnologia de Informao eComunicao (TIC), usando o software Wingeon como um recurso metodolgicoauxiliar.

O Wingeon um software gratuito que pode ser obtido atravs de downloaddisponvel no stio da Internet. 1 Ele trabalha com lugares geomtricos, em especial,na rea de Geometria Analtica, possui uma interface de fcil acesso e botes deferramenta simples de manusear.

Para que a utilizao do computador possa ser uma ferramenta auxiliar nocampo de aprendizagem do aluno necessrio que o professor esteja familiarizadocom o software educacional o qual pretende utilizar alm de ter conhecimento sobreos potenciais educacionais do computador.

necessrio o professor recontextualizar aquilo que aprendeuno seu contexto de trabalho. Essa recontextualizao implicaintegrar diferentes ferramentas computacionais e os contedosdisciplinares, possibilitando colocar em prtica os fundamentostericos e recriar dinmicas que permitam lidar, ao mesmotempo, com as inovaes oferecidas pela tecnologia, suasintenes educacionais e os compromissos do sistema deensino. (VALENTE, 2003, p.22)

1 Disponvel em http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html

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Alm das atividades de construo da parbola, foram elaboradas questespropondo desenvolvimento de equaes da parbola, definio da propriedaderefletora e mtrica e exerccios de aplicao.

Durante os encontros, pde-se realizar uma experincia com a finalidade devisualizar a propriedade refletora enfocando as aplicaes da mesma no cotidiano,alm disso, foram expostas transparncias com algumas aplicaes da propriedaderefletora.

As atividades dessa monografia foram aplicadas para um grupo deestudantes de um pr-vestibular da cidade de Campos dos Goytacazes.

Esta monografia est estruturada em trs captulos da seguinte maneira: nocaptulo I, relatamos um pouco da histria das cnicas; no captulo II, tratamos dapropriedade refletora e suas aplicaes e, no captulo III detalhamos todas asatividades desenvolvidas.

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Captulo I

1.1 Um pouco de histria

Na Histria da Matemtica grandes nomes se destacaram no estudo dascnicas dentre os quais vale ressaltar Euclides (330 290 a.C.), Menaechmus (380 320 a.C.) e Apolnio de Perga (262 190 a.C).

Segundo pesquisas, foi o astrnomo e gemetra da Academia de Platonascido em Alopeconnesus, na sia Menor, Menaechmus, discpulo de Aristteles(384 322 a. C.), quem deu incio ao estudo dos diferentes tipos de seces planasde um cone circular, por volta de 350 a.C. Ao estudar o problema de Delos daduplicao do cubo (construir com rgua e compasso a aresta de um cubo cujovolume seja o dobro do volume do cubo cuja aresta a dada), Menaechmusobservou que sua soluo seria encontrada atravs de curvas denominadascnicas, pois eram obtidas a partir de cortes (seccionamentos) em superfciescnicas, dependendo dos diferentes ngulos formados entre a geratriz e o eixo docone.

Cem anos aps o estudo de Menaechmus sobre a soluo da duplicao docubo, Apolnio foi o primeiro gemetra que provou que as trs cnicas podem serobtidas atravs de um nico cone, no necessariamente reto, apenas variando ainclinao do plano de seco. Posteriormente substituiu o cone de uma folha porum de duas folhas, sendo assim o primeiro a perceber a existncia dos dois ramosde uma hiprbole.

A nomenclatura hoje usada para as cnicas foi introduzida por Apolnio,utilizando palavras j usadas pelos pitagricos. Por exemplo, ele designou parbola(indicando colocar ao lado ou comparao) que corresponde a igual, para a cnicaobtida pela seco paralela geratriz da superfcie cnica.

Apolnio nasceu em Perga, na Panflia da sia Menor e viveu em Alexandrianos fins do sculo III a.C. Foi astrnomo e um grande matemtico. Ficou conhecidocomo O Grande Gemetra, por aprofundar os estudos das cnicas.

O Grande Gemetra redigiu um tratado denominado As Cnicas,considerado sua obra-prima, que era constitudo por oito livros, sendo que o ltimo

se perdeu. Dos sete que chegaram aos nossos dias, os quatro primeiros existem nalngua original, o grego, e os ltimos trs possuem traduo em rabe. Alm disso,todos os sete foram traduzidos para o latim por Edmund Halley em 1710.

As razes que levaram Apolnio a estudar e escrever sobre as cnicasencontram-se no prefcio geral da obra, onde ele diz que:

... levei a cabo a investigao deste assunto a pedido de Neucrateso gemetra, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quandotinha trabalhado os oito livros, dei-lhos de imediato,apressadamente, porque ele estava de partida; no foi possvelportanto rev-los. Escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando areviso at ao fim. (HEATH,p.129 apud AS CNICAS)

Foi Apolnio quem, pela primeira vez, exps muitas propriedades sobre ascnicas, entre elas, a igualdade e a semelhana de cnicas.

1.2 Por que os nomes elipse, hiprbole e parbola?

Os termos elipse, hiprbole e parbola para as cnicas foram utilizados porApolnio de Perga e, provavelmente, so oriundos de terminologias pitagricasrelacionadas com reas. (SILVA, 1985)

A palavra parbola vem do grego e significa igualdade, comparao.(VENTURI, 2003)

Sem perda de generalizao, consideremos uma parbola no sistemacartesiano ortogonal, com eixo de simetria sobre o eixo x, vrtice na origem e

concavidade voltada para a direita. A equao dessa parbola 4pxy2 = , sendo pa distncia do vrtice V ao foco F da parbola e tambm a distncia do vrtice V diretriz . Chamemos de o comprimento do latus rectum da parbola (segmentoperpendicular ao eixo da parbola e que passa pelo foco). Podemos observaratravs da figura 1 que, sendo A e B extremidades do latus rectum e tambm pontosda parbola, temos que d(A,) = d(A,F) = 2p e d(B,) = d(B,F) = 2p, sendo assim o

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comprimento do latus rectum igual a 4p. Dessa forma, podemos escrever a

equao 4pxy2 = da seguinte maneira: xy2 = .

Figura 1 - Latus rectum da parbola

De acordo com a equao xy2 = temos que o termo parbola significacomparao, igualdade, pois dado qualquer ponto P(x,y) da parbola, a rea doquadrado de lado y ser sempre igual rea do retngulo de dimenses e x.

Figura 2 - Propriedade da parbola

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A parbola tem a propriedade que para qualquer ponto sobre ela o quadradosobre a ordenada igual ao retngulo sobre a abscissa x e o parmetro .

(BOYER, 2001, p.108)

O termo elipse vem do grego e significa falta, omisso. (VENTURI,2003)

Consideremos uma elipse no sistema de eixos ortogonais com um de seusvrtices na origem, centro em O = (a,0), eixo maior de medida 2a contido no semi-eixo positivo OX e eixo menor de comprimento 2b paralelo ao eixo OY . A

equao dessa elipse ( ) 1by

a

ax2

2

2

2

=+

.

Figura 3 - Grfico de uma elipse

Desenvolvendo a equao ( ) 1by

a

ax2

2

2

2

=+

temos:

2

2222

2

222

2

2

2

2

2

2

a

bxa

x2by

a

a2xaxaby

a

a2xax1by

=

+=

+=

2

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Sabendo que o comprimento do latus rectum da elipse (corda que passa por

um foco e perpendicular ao eixo maior da elipse) igual a a

2b2 (apndice III), logo,

2

222

a

bxxy = , o que mostra que xy2 < .

Sendo assim, dado um ponto P(x,y) qualquer na elipse a rea do quadrado delado y menor do que a rea do retngulo de dimenses e x. Portanto, a cnicaelipse nomeada de tal modo por exprimir falta.

A palavra hiprbole vem do grego e significa excesso, exagero.(VENTURI, 2003)

Consideremos uma hiprbole construda no sistema de eixos ortogonais, comum dos vrtices na origem, centro em O = (-a,0), eixo transverso de comprimento2a, sobre o eixo x e eixo conjugado medindo 2b paralelo ao eixo y. A equao dessa

hiprbole ( ) 1by

a

ax2

2

2

2

=+

.

Figura 4 - Grfico de uma hiprbole

Ao desenvolver a equao anterior, temos:

18

ax2ba

bxy

11a

2xa

x

by

1by

a

a2xax

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

22

+=

++=

=

++

Tal como na elipse, na hiprbole, o comprimento do latus rectum a

2b2= ,

assim 222

2

a

bxxy += , o que mostra que xy2 > .

Dessa forma, dado um ponto qualquer P(x,y) na hiprbole, o quadrado delado y ter rea maior do que a do retngulo de dimenses e x. Portanto, acnica hiprbole nomeada de tal modo por exprimir excesso.

Os termos elipse, hiprbole e parbola so utilizados na lngua portuguesacomo figuras de linguagem.

A elipse uma figura de linguagem que ocorre quando h ocultamento deum termo, que fica subentendido pelo contexto e que facilmente identificado.(PASCHOALIN, 1989 p. 365).

Ex.: direita da estrada, sol, esquerda chuva, e nosso carro deslizava entreum e outro. (omisso da forma verbal estava: estava o sol, estava a chuva)(PASCHOALIN, 1989 p. 365).

A hiprbole a figura que atravs do exagero procura tornar mais expressivauma idia.(PASCHOALIN, 1989 p. 363).

Por exemplo: Ele possua um mar de sonhos.O termo parbola utilizado como comparao, em geral, usando uma

histria para transmitir valores morais. Por exemplo, nos textos bblicos dosevangelhos, Jesus sempre ensinava por meio de parbolas, ou seja, em linguagemfigurada com ocorrncias comuns, vestia a verdade de um carter penetrantetransmitindo grandes ensinamentos.

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Captulo II

2.1 - Propriedade refletora da parbola

Em 1668, Isaac Newton construiu seu primeiro telescpio de reflexo no quala concentrao da luz, em vez de ser feita com uma lente, era obtida pela reflexonum espelho parablico e exibiu essa experincia academia Royal Society no anode 1671. Este telescpio utilizado at hoje nos observatrios profissionais. Por queparablico?

Se uma fonte de luz colocada no foco de uma parbola os raios oriundosdesta fonte e incidentes sobre a parbola sero refletidos segundo retas paralelasao eixo de parbola.(LEHMANN, 1982, p.145).

Segundo Lehmann (1982), se um refletor parablico colocado de maneiraque seu eixo seja paralelo aos raios de uma fonte luminosa, tais raios incidentessobre o refletor sero refletidos de maneira que todos eles passaro pelo foco.

Quando os raios de luz incidem em um ponto de uma superfcie parablica,eles so refletidos segundo um plano tangente superfcie nesse ponto, conforme aconhecida lei da Fsica: o ngulo de incidncia igual ao ngulo de reflexo.

Consideremos numa parbola de foco F e diretriz , um ponto P qualquer, e

tambm, uma reta t, bissetriz do ngulo RPF^

. A reta que passa por P e R

perpendicular reta diretriz e R projeo ortogonal de P sobre a reta , conformea figura abaixo.

Figura 5 - Reta t tangente parbola em P

A seguir demonstraremos que a reta t tangente parbola em P. Pelapropriedade mtrica da parbola )PRmed()PFmed( = , portanto o tringulo FPR

issceles, e a reta t, bissetriz do ngulo RPF^

, tambm mediatriz do segmento FR.

Seja Q, um ponto qualquer da reta t, distinto de P. Se R a projeo de Qsobre , temos:

med(QF ) = med(QR ) (I)med(QR ) > med( 'QR ) (II)De (I) e (II), temos que med(QF ) > med( 'QR ), portanto Q exterior

parbola, ou seja, o ponto P da reta t pertence parbola e os demais pontos dareta t so exteriores, logo t tangente parbola em P.

Sendo a tangente parbola em P bissetriz do ngulo RPF^

, a

R)P(H med H)P(F med ^^ = . O ngulo RPH ^ e o ngulo NPM ^ (ver figura 6) possuem a mesmamedida, pois so opostos pelo vrtice. Portanto, med

H)P(F ^ = med( NPM^ ).

Figura 6 - Propriedade refletora

Por isso, todo sinal recebido paralelamente ao eixo da parbola direcionadopara o foco e todo sinal que sai do foco da parbola refletido paralelamente aoeixo.

21

Tal fato ocorre de acordo com a famosa lei da reflexo: o ngulo deincidncia igual ao ngulo de reflexo que utiliza o Princpio de Fermat, enunciadoda seguinte maneira: O tempo gasto pela luz para ir de um ponto qualquer A atoutro ponto qualquer B o menor possvel. (BARSA, 1987,v7 p.317).

Consideremos um raio de luz partindo do ponto A para o ponto B, passandopor P localizado sobre um espelho plano, conforme a figura a seguir.

Vamos provar a lei da reflexo mostrando que o caminho APB mais curtoquando = .

Chamaremos a soma das distncias de A at P e de P at B de L.O ponto P pode ocupar diversas posies no espelho, e estas ficam definidas

pelo valor de x, sendo assim, conforme mostra a figura 7, L ser igual a

( )2222 xcbxa +++ , sendo a a distncia do ponto A ao espelho, e b a distncia doponto B at o espelho. Desta forma temos a funo:

( )2222 xcbxaL(x) +++=Queremos que L seja mnimo, sendo assim:

( ) ( )( ) ( )( )2222

21

2221

22

xcbcx

xa

x

dxdL

2c2x.xcb21

.2xxa21

dxdL

+

++

=

+++=

Fazendo a derivada de segunda ordem de L, encontramos:

( ) ( )[ ]23222

23

22

2

2

2

xcb

b

xa

a

dxLd

+

+

+

=

c

Figura 7 - Esquema do raio incidente e do raio refletido

A B

P

a b

x c - x

22 xa +

( )22 xcb +

espelho

22

Como podemos observar 0dx

Ld2

2

> para qualquer valor de x, sendo assim, L

ser mnimo quando 0dxdL

= , ou seja:

( )2222 xcbxc

xa

x

+

=

+( I )

A partir da figura 7, podemos dizer que:

22 xa

xcos

+=

e ( )22 xcbxc

cos+

= ( II )

Logo, de (I) e (II), temos que coscos = e sendo e ngulos agudostemos que = como queramos demonstrar.

2.2 Aplicaes da propriedade refletora da parbola

O princpio que Newton utilizou para construir o telescpio de reflexo (Figura9), tambm utilizado nas antenas parablicas, onde o receptor de sinais posicionado exatamente no foco da parbola. Os satlites emitem ondasmagnticas, que chegando paralelas ao eixo da parbola, sero refletidas para ofoco da parbola onde est localizado o receptor de sinais que transmite compreciso as imagens para o televisor (Figura 8).

Figura 9 - Telescpio de NewtonFonte: http://astro.if.ufrgs.br/telesc/node2.htm

Figura 8 - Antena parablicaFonte: http://mat.ufmg.vilabol.uol.com.br/parabola.html

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Essa propriedade, alm de ser aplicada em antenas parablicas, tambmempregada em foges solares(Figura 10 e 11) que tm amesma estrutura da antena,sendo que suasuperfcie coberta com ummaterial refletor comoalumnio polido ou o Mylar (tipo de plstico auto-adesivo). Os raios solares emitidos paralelamente ao eixo da parbola so refletidospara o foco, onde fica a base do fogo com o alimento a ser aquecido. Esse tipo defogo solar consegue atingir at 393 C.

Em faris de automveis (Figura 12), lanternas e holofotes afonte luminosa posicionada no foco e os raios luminososincidem na superfcie espelhada e so refletidosparalelamente ao eixo da parbola.

A arquitetura e a engenharia tambm exploram a forma parablica emnotveis construes, como podemos observar a seguir:

Figura 10 - Forno solar numa comunidaderural

Fonte: http://mat.ufmg.vilabol.uol.com.br/parabola.html

Figura 12 - Farol de um automvel


Figura 11 - Forno solarFonte: http://www.aondevamos.eng.br/textos/texto03.htm

24

A propriedade refletora tambm pode ser utilizada em auditrios, teatros eigrejas, proporcionando boas condies de acstica. Como exemplo, temos aCatedral de So Paulo em Londres (Figura 14).

As antenas parablicas, os foges solares e os faris de automveis citados,bem como o teto mostrado na figura 14, tm a forma de um parabolide derevoluo, gerado a partir da rotao de uma parbola em torno do seu eixo desimetria, cujos cortes contendo esse eixo so parbolas.

Vale ressaltar que a propriedade refletora se aplica tambm para ondassonoras e eletromagnticas.

Figura 13 - Catedral da Sagrada Famlia emBarcelona

Fonte:http://www.velho.lis.ulusiada.pt/html/mestrados/matematica/trabalhos/grupo02/favorite.htm

Figura 14 - Catedral de So Paulo emLondres

Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/artigos/PA-21-TC.pdf

25

Captulo III

3.1 - Desenvolvimento

As atividades dessa monografia (ANEXO I) foram aplicadas no primeirosemestre do ano de 2006 para um grupo de cinco vestibulandos, dos quais apenasdois ainda estavam cursando o 3. Ano do Ensino Mdio.

Optamos por este grupo de alunos devido ao fato do contedo a sertrabalhado exigir alguns conhecimentos adquiridos nas sries anteriores.

Para a aplicao das atividades foram necessrios cinco encontros comdurao de duas horas cada um.

Inicialmente, as atividades foram voltadas para a construo da parbola,utilizando lpis e papel, bem como atravs de Tecnologias de Informao eComunicao (TIC), usando o software Wingeon, que agilizou e auxiliou apercepo dos alunos sobre o que estava sendo trabalhado.

As atividades subseqentes exploraram as equaes da parbola a partir dapropriedade mtrica e tambm o estudo da propriedade refletora da parbola e suasimportantes aplicaes no cotidiano.

Finalizando, os alunos tiveram a oportunidade de resolver exerccios deaplicao, utilizando os conhecimentos adquiridos nas atividades anteriores.

Durante a realizao das atividades, os alunos estavam sempre em grupo, oque possibilitava a troca de experincias e facilitava o desenvolvimento do estudo.

Apesar dos alunos estarem em grupo, os seus registros escritos eram feitosindividualmente a partir de discusses entre eles.

3.1.1 PRIMEIRO ENCONTRO

No primeiro encontro, os alunos foram questionados se conheciam algumacnica. Percebemos que eles ficaram surpresos e todos responderam que nuncatinham ouvido falar nesse termo.

Sendo assim, perguntamos se eles conheciam parbola. Eles nos relataramque conheciam parbola como grfico de uma funo quadrtica.

Falamos para o grupo de alunos que a parbola uma cnica, pois pode serobtida atravs de um corte em uma superfcie cnica.

Para que os alunos pudessem visualizar o que estava sendo explanado,utilizamos um cone circular reto de acrlico que apresentava vrios cortes (figura 15),permitindo visualizar no s a parbola, mas tambm a circunferncia, a elipse e ahiprbole.

Dessa forma, comentamos que, quando o corte perpendicular ao eixo docone, a curva obtida a circunferncia. Para obter a elipse, devemos inclinar o planode corte de modo que este corte todas as geratrizes do cone. A parbola pode serobtida fazendo um corte de modo que o plano seja paralelo a uma geratriz do cone.

Conforme dito anteriormente, as explicaes dadas eram facilitadas a partirda visualizao e manuseio do material concreto, cuja fotografia se encontra nafigura 15.

Figura 15 - Cone de acrlico com as cnicas

27

Finalmente, falamos da hiprbole, uma curva de dois ramos, que obtidaatravs de um corte em um cone de duas folhas, quando o plano cortante seccionaas duas folhas do cone, no necessariamente sendo paralelo ao eixo do cone.

Na figura 16 temos uma fotografia do material utilizado, que representa umcaso particular, em que o plano de corte paralelo ao eixo do cone.

Comentamos que cada curva pode ser obtida dependendo de como o ngulode inclinao do plano cortante com o eixo do cone e o ngulo formado pelo eixo euma geratriz do cone esto relacionados (Apndice I).

Sendo assim, as curvas citadas recebem o nome de cnicas, pois podem serobtidas por meio de seccionamentos em uma superfcie cnica.

Ainda no primeiro encontro foi desenvolvida a atividade I, com o objetivo detraar uma parbola utilizando, como recurso metodolgico, lpis e papel.

O quadro 1 apresenta a atividade I que foi aplicada.

Figura 16 Fotografia docone de duas folhas

28

Quadro 1 Atividade I

ATIVIDADE I

1- Material necessrio:

2- Procedimentos:2.1- Sobre a folha de papel fixada na prancheta de isopor, prenda a rgua conformemostra a fotografia abaixo;

2.2- Amarre a tachinha em uma dasextremidades do barbante e prenda a outraponta do barbante na extremidade de um doscatetos do esquadro, que corresponde a umngulo agudo, de modo que o barbante fiquecom comprimento igual medida do catetoescolhido;

.

2.3- Apie o outro cateto do esquadro sobre argua presa na prancheta de isopor e fixe a

tachinha em um ponto F, conforme mostra afoto abaixo;

2.4- Deslize o esquadro sobre a rgua,mantendo com um lpis ou caneta, o barbantebem esticado e encostado no cateto.

Comestes

procedimentos voc desenhar uma curva querecebe o nome de parbola.

Ao traar a parbola, o que vocobservou em relao a cada ponto da curva

F

F

29

30

Para a realizao desta atividade os alunos estavam dispostos em grupo, oque facilitou a troca de idias e a interao entre eles. Os alunos se mostrarammuito interessados. A figura 17 mostra os alunos desenvolvendo a atividade I.

Figura 17 Alunos realizando a Atividade I

Ao traarem a parbola, alguns alunos comentaram a falta de um referencialcartesiano, pois estavam acostumados a traar parbolas como grficos da funoquadrtica no plano xoy.

A figura 18 mostra um dos alunos traando a parbola.

Figura 18 Aluno traando a parbola

A construo da parbola, utilizando o material e os procedimentos sugeridosna atividade I, propiciou que os alunos fizessem observaes em relao a cadaponto da curva, levando-os deduo da propriedade mtrica da parbola.

Observamos que ao expressar seus pensamentos, os alunos apresentavammaior desenvoltura na linguagem oral do que na escrita.

Aps o traado da parbola, perguntamos aos alunos o que eles observaramem relao a cada ponto da curva. Eles retomaram o traado, discutiram entre si echegaram concluso de que escolhido qualquer ponto P na parbola, a distnciade P ao ponto F igual distncia entre P e a borda da rgua.

Comentamos com os alunos que o ponto F, onde foi fixada a tachinha, recebeo nome de foco da parbola e a reta traada sobre a borda da rgua denominadareta diretriz.

A partir da foi possvel conceituar parbola como o conjunto de pontos de umplano que so eqidistantes de uma reta dada e de um ponto fixo no pertencente reta.

A estratgia metodolgica utilizada, partindo da construo da parbola parachegar propriedade mtrica, fez com que os alunos assimilassem, de formanatural, o conceito de parbola.

Ao comentarmos sobre a propriedade mtrica da parbola, um alunopercebeu que a razo entre a distncia de um ponto qualquer da parbola ao foco ea distncia desse ponto qualquer reta diretriz igual a um. Os outros alunosouviram o que foi dito e, aps anlise do traado, concordaram com a afirmao.

Tendo como base o comentrio anterior, foi possvel falar para os alunos quea razo observada recebe o nome de excentricidade, sendo assim, a parbola acnica que possui excentricidade um.

Outro aluno fez o seguinte comentrio, a partir do traado:Um lado da curva correspondente ao outro lado, o que fiz de um lado

aconteceu do outro lado.Esse comentrio nos chamou ateno. Percebemos que, mesmo

intuitivamente, a noo de simetria estava presente nela.Sendo assim, sugerimos que os alunos, a partir de dobras na folha de papel,

com a curva traada por eles, explorassem a simetria da parbola, como mostra afigura 19.

31

Figura 19 - Fotografia dos alunos realizando a atividade de simetria

Os alunos perceberam que a parbola uma curva simtrica, possuindoapenas um eixo de simetria.

Um aluno falou:Se eu colocar um espelho sobre o eixo de simetria uma parte da parbola

coincide com a outra.Atravs dos comentrios e do que eles observaram com o traado, foi

possvel concluir que o eixo de simetria da parbola uma reta que contm o foco e perpendicular reta diretriz.

Pedimos que eles observassem, a partir do traado, se o eixo de simetriaintersecta a parbola. Eles afirmaram que havia um nico ponto comum.Ressaltamos que este ponto de interseco recebe o nome de vrtice da parbola eque a distncia do foco reta diretriz denomina-se parmetro da parbola.

Para finalizar a aula, cada aluno recebeu uma folha de papel contendo umareta e um ponto fora dela. Propositadamente as distncias entre o ponto e a reta noeram iguais em todas as folhas recebidas pelos alunos.

Foi pedido aos mesmos que esboassem uma parbola, utilizando apropriedade mtrica.

Aps o esboo da parbola, cada aluno pde comparar o seu traado com odo colega e observar que quanto mais distante o ponto (foco) estiver da reta, maiorser a abertura da parbola.

32

Figura 20 Fotografia de um aluno esboando uma parbola

33

3.1.2 SEGUNDO ENCONTRO

Neste encontro, foram realizadas as atividades II e III, utilizando o softwareWingeon.

A seguir apresentamos a primeira atividade desenvolvida:Quadro 2 Atividade II

Atividade II1 Clique no menu janela e selecione aopo 2-dim;2 Selecione no menu Ponto a opoCoordenada. A seguir digite 3 para o valorde x e 1 para o valor de y e clique emmarcar. Dessa forma ser marcado o pontoA (3,1);3 Usando o mesmo procedimento do itemanterior, marque o ponto B (-3,1) e depoisclique em fechar;4 No menu Reta/Retas... digite AB eclique OK (com este procedimento sertraada a reta AB). A reta AB a diretriz daparbola;5 Em Ponto/Ponto aleatrio selecionesobre o segmento... . Clique OK na janelaque aparece. Utilizando esses passos, oprograma ir marcar um ponto sobre a retaAB, distinto dos j marcados;6 Conforme item 2, marque o ponto D(0,3). O ponto D o foco da parbola;7 Clique em Botes/segmentos e tracecom a ajuda do mouse o segmento CD ;8 Selecione em Reta/Perpendiculares aopo Mediatriz, digite CD na janela quese abre e clique OK. Sendo assim ser

traada a reta mediatriz de CD ;

9 Construa uma reta perpendicular a ABpassando pelo ponto C. (Selecione Geral emReta/Perpendiculares. Digite AB paraperpendicular e C para o ponto, clique emdesenhar e em seguida fechar);10 Em Ponto/Interseo selecione Reta-Reta... e digite para reta: CG e EF. Clique emmarcar e a seguir fechar. Com esteprocedimento aparecer o ponto H, interseo de

CG e EF ;

11 Conforme o item 7, construa DH ;12 Selecione o menu Medidas, digite CH etecle enter. Digite tambm DH e tecle enter.Assim, nesta janela, aparecero as medidas dossegmentos pedidos. Fechando essa janela, asmedidas estaro disponveis na tela;13 Clique em Anim/Trao temporrio e nacaixa de texto que se abrir digite H. Clique OK;14 Na opo botes selecione arrastarvrtices e com o mouse movimente o ponto C;15 Ao movimentar o ponto C, o que voc

observa em relao s medidas de CH e DH?

34

Os pontos que aparecem na tela quando o ponto C movimentado descrevem umaparbola.

35

Atravs da atividade II os alunos puderam construir uma parbola e visualizara sua propriedade mtrica, utilizando o recurso computacional.

Figura 21 Traado da parbola

Ao movimentar o ponto C, p da reta perpendicular reta AB, o ponto H sedeslocava ao longo da curva e as medidas dos segmentos CH e DH eram vistas nocanto esquerdo superior da tela do computador. (Figura 21).

Sendo assim, os alunos puderam notar que para cada posio assumida peloponto H, a medida do segmento CH era igual do segmento DH, isto , o ponto Hpermanecia sempre eqidistante da reta AB (reta diretriz) e do ponto D (foco).

Eles ainda perceberam que os tringulos CHD formados a partir dodeslocamento do ponto C eram sempre issceles, pois med(CH ) = med(DH ).

Aps a realizao da atividade II, os alunos desenvolveram a atividade III(Quadro 3).

Quadro 3 Atividade III

Atividade III

1 - No software Wingeon marque doispontos A e B, clicando o boto direito domouse;

2 - Trace a reta AB;3 -Marque um ponto C no pertencente reta AB, conforme o item 1;4 - Em Unidades/Cnicas com 3 pontos...digite AB para a reta diretriz, C para o foco eselecione a opo excentricidade 1, escolhauma cor para a parbola que serdesenhada, clique em desenhar e fechar;

5 - Trace o eixo de simetria da parbola,construindo uma reta perpendicular retaAB, passando pelo ponto C;6 - No menu Botes selecione Arrastarvrtices e movimente o foco da parbola,afastando-o e aproximando-o da reta diretrizAB;7 - O que voc percebeu ao movimentar ofoco da parbola?

Com essa atividade os alunos tiveram a oportunidade de visualizar ocomportamento da parbola ao movimentar o ponto C correspondente ao foco.

A figura 22 mostra uma parbola traada a partir desta atividade.

Figura 22 Atividade III

36

Os alunos observaram que medida que o foco se afastava ou seaproximava da reta diretriz, a abertura da parbola se alterava.

A seguir temos a resposta dada por um aluno para a pergunta feita no item 7desta atividade.

O grupo de alunos possua uma noo bsica de informtica e apenas doisdeles haviam tido contato com um software matemtico que foi o winplot. Noentanto, no demonstraram dificuldades durante a utilizao do software Wingeon,visto que este possui comandos de fcil manuseio.

medida que as atividades desse encontro se desenvolviam os comandos doWingeon, necessrios para a realizao do trabalho, iam sendo apresentados.

O Wingeon um programa gratuito e est disponvel para download noendereo .

37

3.1.3 TERCEIRO ENCONTRO

Neste encontro, iniciamos a atividade IV. Para desenvolver esta atividade foinecessrio trabalhar alguns pr-requisitos, como distncia entre dois pontos edistncia entre um ponto e uma reta no plano, conforme a seguir:

Quadro 4 Pr-requisitos

Pr-requisitos1 Distncia entre dois pontos no IR.

Sejam os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2)representados abaixo:

Exemplo:Calcule a distncia entre os pontos A(2,-5)e B(8,3).

2 Distncia entre um ponto e uma reta no IR.

Sejam o ponto ),( 00 yxP e a reta0: =++ cbyaxr

.

A distncia entre o ponto P e a reta r

dada por:

Exemplos:1- Calcule a distncia de P(1,2) reta r: 3x 4y 5 = 0.2- Encontre a distncia de P(2,3) reta r: y = 2.

Deduzimos, com os alunos, como encontrar a distncia entre dois pontos noIR, utilizando o teorema de Pitgoras, porm a frmula para encontrar a distnciaentre um ponto e uma reta foi fornecida sem demonstrao.

Os exemplos dados possibilitaram a fixao dos pr-requisitos que foram degrande valia, pois os alunos, com exceo de um, no tinham conhecimento do quefoi abordado.

A quarta atividade foi voltada para a deduo das equaes das parbolascom vrtice na origem e eixo de simetria sobre os eixos coordenados.

Utilizando a propriedade mtrica e o que foi visto como pr-requisito, osalunos chegaram s equaes das parbolas representadas na questo inicial daatividade IV (Quadro 5)

38

2200

,

bacbyaxd rp

+

++=

x

y

y1

2y

x x1 2

A

B

Quadro 5 Atividade IV

Atividade IV 1 Encontre a equao das parbolas representadas abaixo:

a)

b)

c)

d)

O item a foi explicado por ns, como exemplo inicial. Os demais itens foramresolvidos pelos alunos, que nos solicitavam auxlio sempre que necessrio.

Aps as resolues, os alunos chegaram a equaes do tipo y = ax e x = aycom a > 0 ou a < 0, como podemos observar a seguir, nas resolues apresentadaspelos alunos.

39

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

x

y

F

v

4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Fv

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

x

y

Fv

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

x

y

F

v

Item a:

Item b:

Item c:

Item d:

40

Ao chegar s respostas dos itens a e b, os alunos perceberam que asequaes encontradas eram familiares, pois tinham sido vistas por eles quandoestudaram a funo Quadrtica, porm nos itens c e d, eles perceberam que asequaes apresentavam y ao invs de x como nas anteriores.

Pedimos aos alunos que comparassem, em cada item, a medida nomeadapor p que correspondia distncia do foco ao vrtice da parbola ou distncia dovrtice reta diretriz, com o valor do coeficiente a encontrado nas equaes do tipoy = ax2 ou x = ay2.

A partir de anlises e discusses, os alunos fizeram alguns comentrios,dentre os quais destacamos:

O valor de a 41 de p .

Sem explicitar que esse raciocnio estava incorreto, pedimos aos alunos que oanalisassem melhor. Eles retornaram aos itens, substituram os valores de p e

perceberam que 41 de p no resultava em a.

Sendo assim, continuaram interagindo na busca de uma relao correta e umaluno fez o seguinte registro, a partir da observao dos itens a e c:

Explorando essa idia, foi possvel concluir que o valor de a igual a p41

(itens a e c) ou p41

(itens b e d).A segunda parte da atividade IV foi realizada no quarto encontro.

41

42

3.1.4 QUARTO ENCONTRO

Iniciamos esse encontro realizando a segunda etapa da atividade IV (Quadro6).

Quadro 6 - Generalizando

Generalizando...

I)

II)

III)

IV)

Essa etapa da atividade IV teve como objetivo a generalizao das equaesdas parbolas com vrtice na origem e eixo de simetria sobre os eixos coordenados.Os alunos tiveram a oportunidade de formalizar o que foi observado por eles noencontro anterior.

Sabendo que p a distncia entre o foco e o vrtice da parbola e tambm adistncia entre o vrtice e a reta diretriz, considerou-se, no item I, F(0, p) como ofoco da parbola e a equao da reta diretriz sendo r: y = p. Utilizando apropriedade mtrica da parbola, foi encontrada a equao xy 4 =p ou

2x41yp

=.

Na equao 2x41yp

= , fazendo ap =41

obtivemos y = ax, a > 0. Vale

ressaltar que a > 0, pois como p distncia, o seu valor ser sempre positivo.

x

y

x

y

x

y

x

y

Os demais itens foram resolvidos de maneira anloga, sendo possvel chegaraos seguintes resultados:

No item II, foi encontrada a equao 4py = x ou 2x41yp

=. Substituindo

p41

por a na equao 2x41y p

= , obtivemos y = ax, a < 0. Sendo p um

nmero positivo, ento para este caso, a = p41

um nmero negativo.

No item III, foi encontrada a equao 4px = y ou 2y4p1

x =. Substituindo

p41

por a na equao 2y41

xp

= , obtivemos x = ay, a > 0.

No item IV, foi encontrada a equao 4px = y ou 2y41

xp

=. Substituindo

p41

por a na equao 2y41

xp

= , obtivemos x = ay, a < 0.

Analisando as equaes encontradas em cada item, foi possvel perceber

que, tendo a parbola de vrtice V(0, 0) e concavidade voltada para cima ou parabaixo, sua equao ser do tipo y = ax e, sendo o vrtice V(0, 0) e a concavidadevoltada para a direita ou para a esquerda, a equao ser do tipo x = ay.

Tambm foi observado, pelos alunos, que quando as parbolas tm

concavidade voltada para cima ou para a direita, o valor de a positivo e quando

elas apresentam concavidade voltada para baixo ou para a esquerda, a assume

valor negativo.

A seguir temos a resoluo dada por um aluno para o item IV.

Alm da ltima etapa da atividade IV, trabalhamos nesse encontro a atividade

V intitulada Translao.

Para introduzir a atividade V, os alunos receberam uma folha com o grfico da

equao 2x41y =

ou 4yx2 = (Quadro 7). Quadro 7 Atividade de Translao

2x41y =

ou 4yx2 =

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Pedimos aos alunos que, utilizando o papel vegetal, decalcassem a parbolae a movesse de modo que ela passasse a ter vrtice no ponto (6,3), conservando oeixo de simetria paralelo ao eixo y.

Falamos para os alunos que ao deslocarem a parbola, estavam fazendouma translao2.

Aps o deslocamento da parbola, transladamos tambm os eixoscoordenados e fizemos, junto com os alunos, a deduo da equao da parbola devrtice V(6, 3).

Para isso, consideramos os eixos x e y como sendo as translaes dos eixosx e y, respectivamente. Em seguida, escolhemos um ponto P qualquer na novaparbola e consideramos P(x,y), tendo como referencial os eixos x e y , mas se oreferencial for os eixos x e y, o ponto ser P(x,y) e a parbola assumir a equao

2)(x'41y'=

ou 4y')(x' 2 = .

A seguir podemos observar a atividade de um aluno com o registro do que foidito anteriormente.

A partir da translao, obtivemos as seguintes relaes:

2 A translao determinada pelo vetor v a transformao :Tv que leva cada ponto A do

plano no ponto vAA' += desse plano. A translao transforma toda reta em outra paralela epor ser uma isometria, transforma qualquer figura em outra congruente. (WAGNER, 2000, p. 71)

ATIVIDADE V

TRANSLAOI)

+=

+=

y'3yx'6x

ou seja x = x 6 e y = y 3.

Substituindo x = x 6 e y = y 3 na equao 4y')(x' 2 = foi possvelescrever 3)4(y6)(x 2 = . Esta equao representa a parbola com vrtice V(6, 3),eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para cima.

Este trabalho introdutrio facilitou o desenvolvimento da atividade V (Quadro 8). Quadro 8 Atividade V

Nesta atividade, foram feitas translaes de parbolas cujas equaes eramdo tipo x2 = 4py e y2 = 4px .

No item I, foi pedido que os alunos fizessem um deslocamento na parbolarepresentada, de modo que essa passasse a ter vrtice em um ponto (x0,y0),conservando o eixo de simetria paralelo ao eixo y.

x

y

x

yII)

Figura 23 Imagem da translao feita por um aluno.

Conforme fizemos na atividade introdutria, deduzimos que a equao daparbola com vrtice V(x0,y0), eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidadevoltada para cima do tipo )y4p(y)x(x 020 = .

De forma anloga, deduziu-se no item II que a equao da parbola comvrtice V(x0,y0), eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade voltada para adireita )x4p(x)y(y 020 = .

Falamos aos alunos que, utilizando o mesmo procedimento, podemos chegar

a )y4p(y)x(x 020 = , que representa a equao da parbola com vrtice V(x0,y0),eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para baixo e tambm a

equao )x4p(x)y(y 020 = , que representa a equao da parbola com vrticeV(x0,y0), eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade voltada para a esquerda.

A seguir, temos o desenvolvimento do item II, realizado por um aluno:

No prximo encontro foram desenvolvidas as equaes das parbolastransladadas neste encontro.

48

3.1.5 QUINTO ENCONTRO

O quinto encontro iniciou-se com uma breve reviso do que foi visto naatividade V.

Fizemos com os alunos o desenvolvimento da equao )y4p(y)x(x 020 = ,chegando a y = ax + bx + c, a > 0 (equao familiar para os alunos devido aoestudo da funo Quadrtica no Ensino Mdio) e tambm da equao

)x4p(x)y(y 020 = , obtendo x = ay + by + c, a > 0.A seguir apresentamos o desenvolvimento de )y4p(y)x(x 020 = :

A partir do desenvolvimento anterior, foi possvel deduzir que a equaoc bx ax y ++=

representa parbolas com abscissa e ordenada do vrtice,

respectivamente, xo = 2ab

e yo = 4a

, sendo 4acb 2 = , conforme podemos

observar a seguir.

As frmulas encontradas para abscissa e ordenada do vrtice eram familiaresaos alunos, visto que essas tinham sido abordadas em seus estudos anteriores.

A seguir temos o desenvolvimento da equao )x4p(x)y(y 020 = :

O desenvolvimento anterior permitiu deduzir a equaoc by ay x ++= , e que esta representa parbolas com ordenada e abscissa do

vrtice, respectivamente, yo = 2ab

e xo = 4a

, sendo 4acb 2 = .

Os alunos acharam interessante que a frmula usada por eles para abscissae ordenada do vrtice das parbolas que representam a funo quadrtica seaplicam, neste caso, para a ordenada e abscissa do vrtice, respectivamente.

Falamos para o grupo de alunos que de forma anloga, o desenvolvimento de

)y4p(y)x(x 020 = ir resultar na equao y = ax + bx + c, com a < 0, pois

4p1

a = , sendo xo= 2ab

e yo = 4a

, 4acb 2 = e que desenvolvendo

)x4p(x)y(y 020 = obteremos x = ay + by + c, com a < 0, pois a = 4p1

, sendo

yo = 2ab

e xo = 4a

, 4acb 2 = . Estes desenvolvimentos ficaram a cargo dos

alunos.Foi possvel concluir que, quando a parbola apresenta eixo de simetria

paralelo ao eixo y, ela pode ter concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo

(a < 0) e o vrtice o ponto

=

4a

,

2abV

e, quando apresenta eixo de simetria

paralelo ao eixo x, ela pode ter concavidade voltada para direita (a > 0) ou para

esquerda (a < 0) e o vrtice

=

2ab

,

4aV

.

Diante disso, um aluno fez o seguinte comentrio:Quando eu tinha que encontrar o vrtice ia direto na frmula, mas agora

preciso ver a posio da parbola.Nesse encontro, tambm apresentamos a propriedade refletora da parbola e

suas aplicaes. Para tanto, foi feita uma experincia utilizando uma prancha demadeira com uma tira espelhada encurvada, acompanhando o traado de umaparbola (Figura 24).

Ao colocarmos no foco da parbola uma fonte luminosa voltada para a tiraespelhada, os alunos puderam observar que os raios luminosos que incidiam nessatira espelhada eram refletidos paralelamente ao eixo de simetria da parbola.

Figura 24 Material elaborado para a experincia

Em seguida, emitimos raios paralelos ao eixo de simetria da parbola. Dessavez foi possvel observar que esses convergiam para o foco da parbola.

Figura 25 - Experincia

Essa experincia despertou o interesse dos alunos e tornou possvel aobservao da propriedade refletora da parbola.

Falamos para os alunos que, quando os raios de luz incidem em um ponto deuma superfcie parablica, estes so refletidos segundo um plano tangente superfcie nesse ponto, sendo o ngulo de incidncia igual ao ngulo de reflexo,sendo assim, todo sinal recebido paralelamente ao eixo da parbola refletido parao foco e todo sinal que sai do foco refletido paralelamente ao eixo da parbola(Captulo II).

Comentamos que a propriedade refletora da parbola apresenta muitasaplicaes, dentre elas destacamos: antenas parablicas, telescpios, fornossolares, holofotes e faris de automveis.

Tambm apresentamos para os alunos a foto da catedral de So Paulo, emLondres, cujo teto um parabolide de revoluo, exemplificando que a propriedaderefletora da parbola se aplica tambm para ondas sonoras. Falamos para os alunosque um parabolide de revoluo uma superfcie gerada a partir da rotao deuma parbola em torno do seu eixo de simetria.

As aplicaes citadas, bem como algumas curiosidades, foram apresentadaspara os alunos por meio de transparncias que se encontram no apndice II.

Os alunos se mostraram motivados e demonstraram que em seus estudosanteriores nenhuma abordagem deste tipo tinha sido feita.

Consideramos que as cnicas so um tpico interessante e enriquecedor e,particularmente, a parbola apresenta aplicaes em nosso dia-a-dia que podemservir para despertar o interesse do aluno e motivar o seu estudo.

Aps o estudo desenvolvido sobre a parbola, os alunos tiveram aoportunidade de resolver alguns exerccios de aplicao (Quadro 9), utilizando osconhecimentos adquiridos nas atividades anteriores.

Quadro 9 - ExercciosExerccios

1 Uma antena parablica projetada com2,80m de abertura e45cm de profundidade.O tcnico que irinstalar a antenacolocar o receptor desinais no foco. Sendoassim, a que distnciado vrtice ficar oreceptor?

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm15/paginic.htm

2 O arco de uma ponte tem a forma deuma parbola, conforme observa-seabaixo. De acordo com os dados indicadosna figura, determine a distncia entre ospilares P1 e P2.

Fonte:adaptada de http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/

3 Para aquecer a gua, pode-se usar umcoletor solar, com a forma de um parabolide derevoluo. A gua circula numa conduta quepassa pelo foco, onde est o receptor. De acordocom os dados fornecidos na figura abaixo,determine a distncia do foco F ao vrtice V.

Fonte: adaptada de http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/

4 - (UFMG 00) A seco transversal de um tnel tem a forma de um arco de parbola, com 10m delargura na base e altura mxima de 6m, que ocorre acima do ponto mdio da base. De cada lado, reservado 1,5m para passagem de pedestres, e o restante dividido em duas pistas para veculos. As autoridades s permitem que um veculo passe por esse tnel caso tenha uma altura de, no mximo, 30cm a menos que a altura mnima do tnel sobre as pistas para veculos. Calcule a altura mxima que um veculo pode ter para que sua passagem pelo tnel seja permitida.

Assim como nas outras atividades, os alunos estavam dispostos em grupo, oque facilitava a interao e a troca de experincias entre eles e, quando necessrio,nos solicitavam esclarecimentos.

Ao ler o primeiro exerccio, os alunos entenderam que precisavam encontrar ovalor de p (distncia do vrtice ao receptor), porm tiveram dvidas em relao ao

P2

P1

F F

F

que deveria ser feito. Discutiram entre si e nos solicitaram ajuda. Sugerimos, ento,que localizassem de forma conveniente a parbola mencionada, num sistema deeixos coordenados, para que sua equao fosse encontrada e assim chegassem aoque foi pedido.

A seguir apresentamos a resoluo dada por um aluno para a primeiraquesto:

Percebemos que, a cada exerccio, os alunos progrediam, demonstrandodesenvoltura na resoluo das questes e chegando s respostas esperadas.

CONCLUSO

Muitos educadores afirmam que possvel fazer ligao entre muitoscontedos escolares e o cotidiano, para tanto, buscamos trabalhar um tema em queessa ligao est muito presente.

Atravs desse trabalho, percebemos que as cnicas constituem um temapouco visto no Ensino Mdio e, em se tratando de um tpico relevante eenriquecedor para o currculo, enfocamos particularmente o estudo da cnicaparbola, que apresenta aplicaes interessantes e motivadoras.

O estudo realizado nesta monografia possibilitou que os alunos percebessemque a parbola no somente uma curva que representa uma funo quadrtica,mas uma cnica que possui caractersticas especficas e aplicaes importantes nonosso dia-a-dia.

A primeira atividade aplicada para a construo da parbola, utilizandobarbante, tachinha, esquadro e rgua, fez com que os alunos percebessem apropriedade dos pontos desta cnica, assimilando de forma natural o conceito deparbola.

A propriedade mtrica observada atravs da primeira atividade, tambm pdeser visualizada por meio do software Wingeon, que desempenhou um papel auxiliarna construo dos conceitos envolvidos.

Continuando o estudo, foi possvel chegar s equaes das parbolas,localizando-as em um sistema de eixos ortogonais e fazendo translaes. A partirda estabelecemos relaes entre o que estava sendo trabalhado e o que j tinhasido estudado pelos alunos em anos anteriores sobre a funo quadrtica,mostrando assim que possvel integrar diversas partes da Matemtica.

Os alunos visualizaram a propriedade refletora da parbola, a partir de umaexperincia realizada com material concreto. Atravs da observao dessapropriedade, foi possvel comentar sobre algumas das suas diversas e importantesaplicaes em antenas parablicas, radiotelescpios, refletores, fornos solares, etc.Eles ficaram muito interessados com as aplicaes apresentadas, pois no tinhamconhecimento delas.

Finalizando, os alunos tiveram a oportunidade de fazer exerccios deaplicao envolvendo os conceitos tratados nesse estudo.

Durante a aplicao das atividades, os alunos se mostraram bastanteinteressados, dialogando com seus colegas e compartilhando as experinciasvivenciadas, tornando a sala de aula um ambiente propcio para uma aprendizagemparticipativa e dinmica.

As atividades apresentadas e a utilizao do material criteriosamenteescolhido desempenharam um papel fundamental no desenvolvimento da percepoe visualizao, levando o aluno a refletir, generalizar e construir o conhecimento.

Percebemos que a cada atividade os alunos apresentavam progressossignificativos, assimilando os novos conhecimentos e incorporando-os aos jadquiridos.

Constatamos a surpresa dos alunos diante de um tema que deveria ter sidovisto e, no entanto, passou desapercebido em sua trajetria no Nvel Mdio.

As aplicaes, bem como as propriedades da parbola, despertaram no grupode alunos o interesse em aprender mais sobre as outras cnicas.

A partir do exposto, consideramos que o objetivo inicial deste trabalho foiatingido satisfatoriamente.

BIBLIOGRAFIA

AFONSO, Flvio de Freitas. Projeto: Tecnologias de Informao e Comunicao noprocesso de ensino e aprendizagem de matemtica. Centro Federal de EducaoTecnolgica de Campos. Campos dos Goytacazes. 2005.

ANTENA PARABLICA. Disponvel em: http://www.celta-telecomunicacoes.com.br/catalog/images/2005.jpg. ltima consulta em 03 maio2007.

APLICAES DE CONCORDNCIA, TANGNCIA E CURVAS CNICAS NAARQUITETURA. Disponvel em:. ltima consultaem 31 mar. 2006

APLICAES DAS CNICAS. Disponvel em:. ltima consulta em 23 dez.2005

APOLNIO. Disponvel em:.ltima consulta em 18 ago. 2005

AS CNICAS. Disponvel em:http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/apolonio/conicas.htm. ltimaconsulta em 18 jan. 2006

AS CNICAS. Disponvel em:http://www.matematica.br/historia/conicas.html. ltima consulta em 22 out. 2006.

AS CNICAS. Disponvel em:http://www.velho.lis.ulusiada.pt/html/mestrados/matematica/trabalhos/grupo02/favorite.htm. ltima consulta em 31 de mar. 2006.

BOULOS, Paulo e CAMARGO, Ivan de. Introduo geometria analtica no espao.So Paulo: Makron Books, 1997.

BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria Analtica. So Paulo: PrenticeHall, 2005.

BOYER, Carlos B. Histria da Matemtica. So Paulo: Editora Edgard BlucherLTDA, 2001.

BRASIL, MEC, SEMTEC (2002) Parmetros Curriculares Nacionais: Ensino Mdio.Braslia: 1v.

DAMBROSIO, Ubiratan. Educao Matemtica: Da Teoria Prtica. Campinas, SP:Papirus, 1996.

DELORS, Jacques. Educao: um tesouro a descobrir. So Paulo: Cortez; Braslia,DF: MEC: Unesco, 2001.

DEMO, Pedro. Educao e Qualidade. Campinas, SP: Papirus, 1994.

EDWARDS, C. H. Jnior; PENNEY, Davids E. Clculo com Geometria Analtica. Riode Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1997.

ESTUDO SOBRE AS PROPRIEDADES GEOMTRICAS DAS CNICAS E SUASAPLICAES. Disponvel em:http://www.famat.ufu.br/revista/revistaabril2005/artigos/ArtigoPatriciaLucia.pdf.ltima consulta em 26 mar. 2006

GLENN, Albert Jacques Van Amson. (et al.). Ensino Mdio. So Paulo: Anglo, 2002.

GONALVES, Zzimo Menna. Geometria analtica plana: tratamento vetorial. Rio deJaneiro: LTC Editora S/A, 1978.

GRANDE Enciclopdia Barsa. 3 ed. v 7. So Paulo: Barsa Planeta InternacionalLtda, 1987.

GRANDE Enciclopdia Barsa. 3 ed. v 11. So Paulo: Barsa Planeta InternacionalLtda, 1987.

HERNANDEZ, Fernando. Transgresso e mudana na educao: os projetos detrabalho. Porto Alegre: Artmed, 1998.

HISTRIA DA MATEMTICA. Disponvel em:http://www.saopauloescolas.com.br/historia_da_matematica.htm. ltima consulta em15 jan. 2006

IEZZI, Gelson, (et al.). Matemtica: Cincia e Aplicaes. Ensino Mdio. So Paulo:Atual, 2004.

LEHMANN, Charles H. Geometria Analtica. Rio de Janeiro: Globo, 1982.

LIMA, Elon Lages. Meu professor de matemtica e outras histrias. Rio de Janeiro:SBM, 2004.

LINDQUIST, Mary Montgomery. SHULTE, Albert P. (orgs). Aprendendo e EnsinandoGeometria. So Paulo: Atual, 1994.

MACHADO, Antnio dos Santos. lgebra Linear e Geometria Analtica. So Paulo:Atual, 1982.

MENAECHMUS. Disponvel em:http://www.sobiografias.hpg.ig.com.br/Menaecmu.html. ltima consulta em 22 jan.2006

O FOGO SOLAR NA ATIVIDADE DA VIDA HUMANA. Disponvel em:http://www.aondevamos.eng.br/textos/texto03.htm. ltima consulta em 31 mar. 2006.

PASCHOALIN, Maria Aparecida. Gramtica Teoria e Exerccios. So Paulo: FTD,1989.

PEREIRA, Aldina Siqueira de Souza. (et. al). Projeto de Laboratrio: Parbola emFoco. Faculdade de Filosofia de Campos. Campos dos Goytacazes. 2000.

POR QUE AS ANTENAS SO PARABLICAS. Disponvel em:http://mat.ufmg.vilabol.uol.com.br/parabola.html. ltima consulta em 02 abr. 2006.

REFRATOR OU REFLETOR. Disponvel em: http://astro.if.ufrgs.br/telesc/node2.htm. ltima consulta em 13 de abr. 2006.

RIBEIRO, Mrcia Valria Azevedo de Almeida. Uma abordagem para o ensino daelipse no curso de Licenciatura em Matemtica. Dissertao de Mestrado.Universidade Santa rsula. Rio de Janeiro, 1998.

SAVIANI, Dermeval. Educao Brasileira Estrutura e sistema. Campinas, SP:Autores Associados, 2000.

SILVA, Geni Schulz da. Por que elipse, parbola e hiprbole. REVISTA DOPROFESSOR DE MATEMTICA. Sociedade Brasileira de Matemtica. 1985, n7,p.43 .

SIMMONS, George F. Clculo com Geometria Analtica. So Paulo: Makron Books,1987.

SMOLE, Ktia Cristina Stocco. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemtica Ensino Mdio. So Paulo: Saraiva, 2003.

SWOKOWSKI, Earl William. Clculo com geometria analtica. So Paulo: MakronBooks, 1994.

UMA CURTA HISTORIA DAS CNICAS E SUA RELAO COM A GEOMETRIA PROJETIVA. Disponvel em: http://piu.unemat.br/faciex/professores/nelo/arquivos/curta_historia_das_conicas.pdfltima consulta em 26 ago. 2005.

VALENTE, Jos Armando (org). Formao de educadores para o uso da informticana escola. Campinas, SP: UNICAMP / NIED, 2003.

VENTURI, Jacir J. Cnicas e Qudricas. Curitiba: Unificado, 2003.

WAGNER, Eduardo. Por que as antenas so parablicas. REVISTA DOPROFESSOR DE MATEMTICA. Sociedade Brasileira de Matemtica. 1997, n.33.

WAGNER, Eduardo. Construes Geomtricas. Rio de Janeiro, RJ: SBM, 2000.

WINGEON. Disponvel em:http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html. ltima consulta em 01 de jun. 2006.

APNDICES

APNDICE IObtendo as seces cnicas parbola, elipse e hiprbole atravs de cortes em um cone circular

reto.

Obtendo as seces cnicas parbola, elipse e hiprboleatravs de cortes em um cone circular reto.

A obteno de cada uma das cnicas depende de relaes entre o ngulo formado entre o plano de corte e o eixo de um cone circular reto e o ngulo formado pelo eixo e uma geratriz do cone.

Segundo o teorema de Dandelin Quetelet: a seco de um cone por um planoque no passa pelo vrtice o lugar geomtrico dos pontos do plano cuja razo dasdistncias a um ponto fixo e uma reta fixa de um mesmo plano constante.(GONALVES, 1978 apud RIBEIRO, 1998, p. 71).

O ponto fixo recebe o nome de foco, a reta fixa a diretriz e a razo aexcentricidade.

Alguns livros de Geometria Analtica, que se encontram nas refernciasbibliogrficas deste trabalho, demonstram que a razo citada no Teorema de

Dandelin Quetelet a constante cos

cos, denominada excentricidade. Dessa forma:

Se = (plano de corte paralelo uma geratriz do cone), temos que

coscos = , logo 1cos

cos= , ou seja, temos uma cnica cuja excentricidade igual

a 1. Essa cnica chamada de parbola.

Se > , temos que coscos < , logo 1cos

cos< , a cnica determinada uma

elipse.

V

Se < , temos que coscos > , logo 1cos

cos> ,a cnica gerada uma

hiprbole.

Vale lembrar que o plano de corte nos casos anteriores no passa pelo

vrtice V do cone e ainda que 00 900

APNDICE IITransparncias utilizadas no quinto encontro

Algumas aplicaes da parbola:

Engenharia e Arquitetura

Oscar Niemeyer em seus projetos utilizava as cnicas. Abaixo temos uma desuas obras que apresenta em seu traado formas que se assemelham a arcos deparbola.

Conjunto da Pampulha. Igreja de So Francisco Belo Horizonte, 1940. Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/artigos/PA-21-TC.pdf

A propriedade refletora daparbola est presente emauditrios, teatros e igrejas,proporcionando boas condies deacstica. Como exemplo, temos aCatedral de So Paulo emLondres, cujo teto possui a forma deum parabolide de revoluo, e astorres parablicas da catedral daSagrada Famlia em Barcelona.

Fonte: http://www.velho.lis.ulusiada.pt/html/mestrados/matematica/trabalhos/grupo02/favorite.htm

Fonte:http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99

/icm15/paginic.htm

Propriedade Refletora

Todo o raio que incide paralelamente ao eixo de simetria da parbola reflete passando pelo foco.

Ex: Antenas parablicas, fornos solares, telescpios e microfones de campo de futebol.



Todo o raio que sai do foco reflete-se paralelamente ao eixo de simetria da parbola.

Ex: Faris de navegao e de automveis, lanternas e holofotes.



Fonte: http://www.celta-telecomunicacoes.com.br/catalog/images/2005.jpg

Curiosidade

Conta-se a histria que Arquimedes, conhecedor da propriedade refletora daparbola, utilizou espelhos parablicos posicionados de forma que seus inimigosficassem no foco e o Sol paralelo ao eixo de simetria dos espelhos. Assim, eleconseguiu incendiar as naves romanas que cercavam Siracusa.

Fonte: http://www.velho.lis.ulusiada.pt/html/mestrados/matematica/trabalhos/grupo02/favorite.htm

APNDICE IIILatus rectum da elipse

Latus rectum da elipse

Latus rectum da elipse uma corda que passa por um foco e perpendicularao eixo maior da elipse.

Consideremos uma elipse de centro C(x0,y0), eixo maior de medida 2a,paralelo ao eixo x e eixo menor de medida 2b, paralelo ao eixo y. Seja 2c a distnciafocal.

Obedecendo s condies acima, a elipse ter equao

( ) 1b

)y(ya

xx2

20

2

20

=

+

. Sejam A e B as extremidades de um latus rectum da elipse,

relativo ao foco F2 e o seu comprimento. Sendo assim, o ponto A ter

coordenadas (x0+c, y0+ 2 ).

Como A pertence elipse, temos:

( )

)c(ab4

a

bcba4

a

ba4

abc

1b4

a

c

1b

y2

y

a

xcx

22222

222222

2222

22

2

2

2

2

2

2

00

2

200

=

=

=+

=+

=

+

++

Na elipse temos que 222 cba += , sendo assim 222 bca = , logo

a

2ba

4b

bb4

a

2

2

42

2222

=

=

=

Caso considerssemos o latus rectum relativo ao foco F1 tambm

encontraramos a

2b2= .

De forma anloga, chega-se concluso de que cada latus rectum de umahiprbole (corda que contm um foco e perpendicular ao segmento focal), cujoeixo transverso mede 2a e o eixo conjugado 2b, ter comprimento tambm igual a

a

2b2.

ANEXO IAtividades aplicadas

Atividade I

1- Material necessrio:

2- Procedimentos:

2.1- Sobre a folha de papel fixada na prancheta deisopor, prenda a rgua conforme mostra a fotografia aolado.

2.2- Amarre a tachinha em uma das extremidades dobarbante e prenda a outra ponta do barbante naextremidade de um dos catetos do esquadro, quecorresponde a um ngulo agudo, de modo que obarbante fique com comprimento igual medida do cateto escolhido.

2.3- Apie o outro cateto do esquadro sobre a rgua presa na prancheta de isopor e fixe a tachinha em um ponto F, conforme mostra a foto ao lado.

2.4- Deslize o esquadro sobre a rgua, mantendocom um lpis ou caneta, o barbante bem esticado eencostado no cateto.

Com estes procedimentos voc desenhar uma curva que recebe o nome deparbola.

Ao traar a parbola, o que voc observou em relao a cada ponto dacurva?

Aluno: ____________________________________________________________

F

F

Atividade II

Traado da Parbola utilizando o Software Wingeon.

1 Clique no menu janela e selecione a opo 2-dim.

2 Selecione no menu Ponto a opo Coordenada. A seguir digite 3 para ovalor de x e 1 para o valor de y e clique em marcar. Dessa forma ser marcado oponto A (3,1).

3 Usando o mesmo procedimento do item anterior, marque o ponto B (-3,1) edepois clique em fechar.

4 No menu Reta/Retas... digite AB e clique OK (com este procedimento sertraada a reta AB). A reta AB a diretriz da parbola.

5 Em Ponto/Ponto aleatrio selecione sobre o segmento... . Clique OK najanela que aparece. Utilizando esses passos o programa ir marcar um pontosobre a reta AB, distinto dos j marcados.

6 Conforme item 2, marque o ponto D (0,3). O ponto D o foco da parbola.

7 Clique em Botes/segmentos e trace com a ajuda do mouse o segmentoCD .

8 Selecione em Reta/Perpendiculares a opo Mediatriz, digite CD na janelaque se abre e clique OK. Sendo assim ser traada a reta mediatriz de CD .

9 Construa uma reta perpendicular a AB passando pelo ponto C. (SelecioneGeral em Reta/Perpendiculares. Digite AB para perpendicular e C para o ponto,clique em desenhar e em seguida fechar).10 Em Ponto/Interseo selecione Reta-Reta... e digite para reta: CG e EF.Clique em marcar e a seguir fechar. Com este procedimento aparecer o pontoH, interseo de CG e EF .

11 Conforme o item 7, construa DH .

12 Selecione o menu Medidas, digite CH e tecle enter. Digite tambm DH etecle enter. Assim, nesta janela, aparecero as medidas dos segmentos pedidos.Fechando essa janela, as medidas estaro disponveis na tela.

13 Clique em Anim/Trao temporrio e na caixa de texto que se abrir digiteH. Clique OK.

14 Na opo botes selecione arrastar vrtices e com o mouse movimente oponto C.

15 Ao movimentar o ponto C, o que voc observa em relao as medidas deCH e DH ?

Aluno: ____________________________________________________

Os pontos que aparecem na tela quando o ponto C movimentado descrevem umaparbola.

Atividade III

1 No software Wingeon marque dois pontos A e B, clicando o boto direito domouse.

2 Trace a reta AB.

3 Marque um ponto C no pertencente reta AB, conforme o item 1.

4 Em Unidades/Cnicas com 3 pontos... digite AB para a reta diretriz, C parao foco e selecione a opo excentricidade 1, escolha uma cor para a parbolaque ser desenhada, clique em desenhar e fechar.

5 Trace o eixo de simetria da parbola, construindo uma reta perpendicular reta AB, passando pelo ponto C.

6 No menu Botes selecione Arrastar vrtices e movimente o foco daparbola, afastando-o e aproximando-o da reta diretriz AB.

7 - O que voc percebeu ao movimentar o foco da parbola?

Aluno: ____________________________________________________________

Pr-requisitosAluno: ____________________________________________________________

1 Distncia entre dois pontos no IR.

Sejam os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) representados abaixo:

Exemplo:Calcule a distncia entre os pontos A(2,-5) e B(8,3).

2 Distncia entre um ponto e uma reta no IR.

Sejam o ponto ),( 00 yxP e a reta 0: =++ cbyaxr .

A distncia entre o ponto P e a reta r dada por:

Exemplos:

3-Calcule a distncia de P(1,2) reta r: 3x 4y 5 = 0.

4-Encontre a distncia de P(2,3) reta r: y = 2.

2200

,

bacbyaxd rp

+

++=

x

y

y1

2y

x x1 2

A

B

Atividade IVAluno: ____________________________________________________________

1 Encontre a equao das parbolas representadas abaixo:

a)

b)

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

x

y

F

v

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

x

y

F

v

c)

d)

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

x

y

Fv

4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Fv

Generalizando...

I)

II)

x

y

x

y

III)

IV)

x

y

x

y

Atividade VAluno: ____________________________________________________________

2

41

xy = ou yx 42 =

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Atividade V

Aluno: ____________________________________________________________

TRANSLAO

I)

II)

x

x

y

y

ExercciosAluno:__________________________________________________________

1 Uma antena parablica projetada com 2,80m de abertura e45cm de profundidade. O tcnico que ir instalar a antenacolocar o receptor de sinais no foco. Sendo assim, a quedistncia do vrtice ficar o receptor?

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm15/paginic.htm

2 O arco de uma ponte tem a forma de umaparbola, conforme a figura ao lado. De acordocom os dados indicados na figura, determine adistncia entre os pilares P1 e P2.


P1 P2

3 Para aquecer a gua, pode-se usar um coletorsolar, com a forma de um parabolide de revoluo.A gua circula numa conduta que passa pelo foco,onde est o receptor. De acordo com os dadosfornecidos na figura ao lado, determine a distnciado foco F ao vrtice V.


4 - (UFMG 00) A seco transversal de um tnel tem a forma de um arco deparbola, com 10m de largura na base e altura mxima de 6m, que ocorre acima doponto mdio da base. De cada lado, reservado 1,5m para passagem de pedestres,e o restante dividido em duas pistas para veculos. As autoridades s permitemque um veculo passe por esse tnel caso tenha uma altura de, no mximo, 30cm amenos que a altura mnima do tnel sobre as pistas para veculos. Calcule a alturamxima que um veculo pode ter para que sua passagem pelo tnel seja permitida.

F

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