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A TERRA ESFÉRICA Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR Parte II Trigonometria Esférica, Ortodrômica e Loxodrômica GA116 Sistemas de Referência e Tempo

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A TERRA ESFÉRICA

Profª. Érica S. Matos

Departamento de Geomática

Setor de Ciências da Terra

Universidade Federal do Paraná -UFPR

Parte II – Trigonometria Esférica, Ortodrômica e Loxodrômica

GA116 – Sistemas de Referência e Tempo

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TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

Triângulos esféricos compostos por 3 arcos de circunferência máxima.

ângulos (diedros) መ𝐴, 𝐵, መ𝐶e lados 𝑎, 𝑏, 𝑐

medidas angulares

መ𝐶

መ𝐴

𝐵

𝑎

𝑏

𝑐

Características

✓ Todos os lados são menores que 180°

(triângulo euleriano)

✓ A soma dos ângulos internos

180° < መ𝐴 + 𝐵 + መ𝐶 < 540°

✓ Excesso esférico

𝜀 = መ𝐴 + 𝐵 + መ𝐶 − 180°

✓ Área do triângulo esférico

𝐴Δ = 𝜀 𝑟𝑎𝑑 . 𝑅2

O que “sobra” do

180° do 𝚫 plano

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TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

Resolução de um triângulo esférico

Principais formulas

LEI DOS SENOS2 lados e 2 ângulos opostos

sen 𝑎

sen መ𝐴=𝑠𝑒𝑛 𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑠𝑒𝑛 መ𝐶

መ𝐶

መ𝐴

𝐵

𝑎

𝑏

𝑐

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Resolução de um triângulo esférico

Principais formulas

LEI DOS COSSENOSAplicada aos lados do triângulo esférico

3 lados e 1 ângulo

cos 𝑎 = cos 𝑏 . cos 𝑐 + sen 𝑏 . sen 𝑐 . cos መ𝐴cos 𝑏 = cos 𝑎 . cos 𝑐 + sen 𝑎 . sen 𝑐 . cos 𝐵cos 𝑐 = cos 𝑎 . cos 𝑏 + sen 𝑎 . sen 𝑏 . cos መ𝐶

TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

መ𝐶

መ𝐴

𝐵

𝑎

𝑏

𝑐

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Calcule o lado c do seguinte

triângulo esférico

𝑎 = 78°12′52"𝑏 = 50° 31′18"መ𝐶 = 81°48′40"

cos 𝑐 = cos 𝑎 . cos 𝑏 + sen 𝑎 . sen 𝑏 . cos መ𝐶

TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

መ𝐶

መ𝐴

𝐵

𝑎

𝑏

𝑐

SOLUÇÃO

𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (cos 𝑎 . cos 𝑏 + sen𝑎 . sen 𝑏 . cos መ𝐶)𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (0,237483339)

𝒄 = 𝟕𝟔°𝟏𝟓′𝟒𝟑"

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መ𝐶

መ𝐴

𝐵

𝑎

𝑏

𝑐

Resolução de um triângulo esférico

Principais formulas

FÓRMULA DAS COTANGENTES2 lados e 2 ângulos não opostos

TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

sen 𝑎 . cotg 𝑐 = sen 𝐵 . cotg መ𝐶 + cos 𝑎 . cos 𝐵sen 𝑎 . cotg 𝑏 = sen መ𝐶 . cotg 𝐵 + cos 𝑎 . cos መ𝐶

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

sen 𝑏 . cotg 𝑎 = sen መ𝐶 . cotg መ𝐴 + cos 𝑏 . cos መ𝐶sen 𝑏 . cotg 𝑐 = sen መ𝐴 . cotg መ𝐶 + cos 𝑏 . cos መ𝐴

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

sen 𝑐 . cotg 𝑎 = sen 𝐵 . cotg መ𝐴 + cos 𝑐 . cos 𝐵sen 𝑐 . cotg 𝑏 = sen መ𝐴 . cotg 𝐵 + cos 𝑐 . cos መ𝐴

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መ𝐶

መ𝐴

𝐵

𝑎

𝑏

𝑐COMPLEMENTOS

𝜷 = 𝟗𝟎° − 𝜶

TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

cos 90° − α = sen αsen 90° − α = cos αtg 90° − α = cotg(α)

-----------------------------------------

cotg 90° − α = tg(α)sec 90° − α = cossec αcossec 90° − α = sec α

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Tráfego aéreo – 24 horas

https://www.youtube.com/watch?v=LrxalYXXBfI

Tráfego marítimo – 30 dias

https://www.youtube.com/watch?v=Vb-uniqYd7Q

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LOXODRÔMICA

É a linha na superfície da Terra, faz um

ângulo constante (rumo/azimute) com

todos os meridianos. Tem o formato de

espiral

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ORTODRÔMICA

Fonte: R.E. DEAKIN and

M.N. HUNTER,2010

É a menor distância entre dois pontos na esfera.

Possui rumo/azimute variável.

É um arco de círculo máximo.

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Los Angeles

(LAX)

Londres

(LHR)

Rota Distância (km)

Ortodrômica (Great Circle) 8755,7

Loxodrômica (Rhumb Line) 9727,5

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https://blogs.esri.com/esri/arcgis/2012/03/05/mercators-500th-birthday/

PROJEÇÃO DE MERCATOR

Representação

• Ortodrômica (Great Circle Route) curva

• Loxôdromica (Rhumb Line) reta

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https://blogs.esri.com/esri/arcgis/2012/03/05/mercators-500th-birthday/

PROJEÇÃO GNOMÔMICA

Representação

• Ortodrômica (Great Circle Route) reta

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Exemplo: Radioamadorismo

http://www.voacap.com/11m/index.html

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CURITIBA

𝝋 = 𝟐𝟓°𝟐𝟔′𝑺𝝀 = 𝟒𝟗°𝟏𝟔′𝑾

http://www.voacap.com/11m/index.html

~12.153 km

MOSCOU

𝝋 = 𝟓𝟓°𝟒𝟓′𝑵𝝀 = 𝟑𝟕°𝟑𝟕′𝑬

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A

17942

CURITIBA

𝝋 = 𝟐𝟓°𝟐𝟔′𝑺𝝀 = 𝟒𝟗°𝟏𝟔′𝑾

PEQUIM

𝝋 = 𝟑𝟗°𝟓𝟒′𝑵𝝀 = 𝟏𝟏𝟔°𝟐𝟒′𝑬

~17.942 km

http://www.voacap.com/11m/index.html

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http://www.voacap.com/11m/index.html

MIAMI

𝝋 = 𝟐𝟓°𝟒𝟕′𝐍𝝀 = 𝟖𝟎°𝟏𝟑′𝑾

TÓQUIO

𝝋 = 𝟑𝟓°𝟒𝟏′𝑵𝝀 = 𝟏𝟑𝟗°𝟒𝟐′𝑬

~12.007 km

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Distância esférica (𝒅𝑨𝑩)

Distância esférica é a distância entre dois pontos A e B, na

superfície da esfera, considerando a medida sobre um

arco de circunferência máxima.

ORTODRÔMICA

2 soluções possíveis

é a menor distância

entre dois pontos na

superfície esférica

Ou seja 𝒅𝑨𝑩 ≤ 𝟏𝟖𝟎°

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𝜑𝐴

𝜑𝐵𝒅𝑨𝑩

𝜆𝐴𝜆𝐵

A

G’

G

Q’Q

PN

PS

O

Δ𝜆

B

Distância esférica

(𝒅𝑨𝑩)

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𝟗𝟎° − 𝝋𝑨

𝜑𝐵𝜆𝐴

𝜆𝐵

A

G’

G

Q’Q

PN

PS

O

Δ𝜆

B

Δ𝜆

𝜑𝐴

𝟗𝟎° − 𝝋𝑩

lei dos cossenos

𝒅𝑨𝑩

Distância esférica

(𝒅𝑨𝑩)

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lei dos cossenos

𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝜑𝐴) . 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝜑𝐵) + 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝜑𝐴) . 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝜑𝐵) . 𝑐𝑜𝑠 Δ𝜆

Então:

Onde

𝑑 é um comprimento expresso

em arco de circunferência

Δ𝜆 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴

E para expressar na forma linear:

𝐷𝐴𝐵 = 𝑅 ∙ 𝑑𝐴𝐵

Com

𝑅 = 6372,000 𝑘𝑚𝑑𝐴𝐵 expressa em radianos

𝒄𝒐𝒔𝒅𝑨𝑩 = 𝐬𝐞𝐧(𝝋𝑨) . 𝐬𝐞𝐧(𝝋𝑩) + 𝐜𝐨𝐬(𝝋𝑨) . 𝐜𝐨𝐬(𝝋𝑩) . 𝐜𝐨𝐬𝜟𝝀

Distância esférica (𝒅𝑨𝑩)

𝒅𝑨𝑩 ≤ 𝟏𝟖𝟎°

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Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩) de uma ortodrômica

Ângulo diedro formado entre o meridiano e a ortodrômica

no ponto considerado.

É contado a partir do ponto cardeal norte, no sentido

horário e varia de 0° a 360°.

ORTODRÔMICA

É a menor distância, mas de azimute variável (não constante)

Azimute constante LOXODRÔMICA

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𝜑𝐴

𝜑𝐵𝒅𝑨𝑩

𝜆𝐴𝜆𝐵

A

G’

G

Q’Q

PN

PS

O

Δ𝜆

B

𝑨𝒛𝑨𝑩

Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩)

de uma ortodrômica

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𝟗𝟎° − 𝝋𝑨

𝜑𝐵𝜆𝐴

𝜆𝐵

A

G’

G

Q’Q

PN

PS

O

Δ𝜆

B

Δ𝜆

𝜑𝐴

𝟗𝟎° − 𝝋𝑩

𝒅𝑨𝑩

𝑨𝒛𝑨𝑩

cotangentes

Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩)

de uma ortodrômica

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Onde

Δ𝜆 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴

𝑨𝒛𝑨𝑩 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠𝐬𝐞𝐧𝜟𝝀

𝐜𝐨𝐬 𝝋𝑨 . 𝐭𝐠 𝝋𝑩 − 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝑨 . 𝐜𝐨𝐬𝜟𝝀

Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩) de uma ortodrômica

Análise de sinal do numeradores edenominador(definição de quadrantes)

𝑨𝒛𝑨𝑩

cotangentes

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EXERCÍCIO

Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372,0 km, calcule o comprimento

da ortodrômica e o azimute inicial para navegar do ponto A (São Paulo) até o

ponto B (Cidade do Cabo). As coordenadas de ambos os pontos são

fornecidas.

Cidade do Cabo (B)

φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸

São Paulo (A)

φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W

𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆

cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos𝛥𝜆

𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos𝛥𝜆

𝒅𝑨𝑩

𝑨𝒛𝑨𝑩

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DICA ARMAZENANDO VALORES NA MEMÓRIA DA CALCULADORA

1. Digite o valor a ser armazenado

2. SHIFT STO A

“variável em rosa”

3. Para usar o valor armazenado em A numa

fórmula, basta digitar ALPHA A

O valor da tela é o

seno de 23°35’39”

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DICA LIMPANDO OS VALORES NA MEMÓRIA DA CALCULADORA

1ª opção: Armazenar um novo valor para a

variável

2ª opção: limpar a memória

SHIFTCLRALL(3)

A função CLR, em muitas calculadoras,

está posicionada junto ao botão MODE

(1ª linha embaixo da tela)

Atenção: Variações entre modelos de

calculadoras podem ocorrer! É bom verificar

como funciona a sua...

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EXERCÍCIO

Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372,0 km, calcule o comprimento

da ortodrômica e o azimute inicial para navegar do ponto A (São Paulo) até o

ponto B (Cidade do Cabo). As coordenadas de ambos os pontos são

fornecidas.

Cidade do Cabo (B)

φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸

São Paulo (A)

φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W

𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆𝐴𝐵

cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos 𝛥𝜆𝐴𝐵

𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos 𝛥𝜆𝐴𝐵

𝒅𝑨𝑩

𝑨𝒛𝑨𝑩

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𝑅 = 6372,0 𝑘𝑚

Δ𝜆𝐴𝐵 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 = 18°34′11" − (−46°32′01")Δ𝜆𝐴𝐵 = 65°06′12“

Sejam os valores parciaissen 𝜑𝐴 = −0,400344589

sen 𝜑𝐵 = −0,561269116cos(𝜑𝐴) = 0,91636467

cos 𝜑𝐵 = 0,82763336cos 𝛥𝜆𝐴𝐵 = 0,420983043

Que podem ser inseridos na fórmula:

𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos𝛥𝜆𝐴𝐵cos 𝑑𝐴𝐵 =0,543980475 → 𝑑𝐴𝐵 = arccos(0,543980475)

𝑑𝐴𝐵 = 57° 02′41,93"

Convertendo para medida linear:

𝐷𝐴𝐵 = 𝑅. 𝑑𝐴𝐵.𝜋

180°= 57° 02′41,93". 6372.

𝜋

180°

𝑫𝑨𝑩 = 𝟔𝟑𝟒𝟒, 𝟏 𝐤𝐦

Cidade do Cabo (B)

φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸

São Paulo (A)

φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W

SOLUÇÃO

comprimento da ortodrômica

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𝑅 = 6372,0 𝑘𝑚

Δ𝜆𝐴𝐵 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 = 18°34′11" − (−46°32′01")Δ𝜆𝐴𝐵 = 65°06′12“

Sejam os valores parciaissen 𝜑𝐴 = −0,400344589

cos 𝜑𝐴 = 0,91636467

𝑡𝑔 𝜑𝐵 = −0,678161542𝑠𝑒𝑛 Δ𝜆𝐴𝐵 = 0,907068507cos 𝛥𝜆𝐴𝐵 = 0,420983043

Que podem ser inseridos na fórmula:

𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆𝐴𝐵

cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos 𝛥𝜆𝐴𝐵

𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctg −2,002778767 analisando sinais 2º Q

𝐴𝑧𝐴𝐵 = 180° − 63°28′00"Az𝐴𝐵 = 116°32′00"

Cidade do Cabo (B)

φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸

São Paulo (A)

φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W

SOLUÇÃO

+

-

Azimute inicial AB

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EXERCÍCIO

E o azimute inicial da ortodrômica, para sair do ponto B e navegar em direção

ao ponto A?

Cidade do Cabo (B)

φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸

São Paulo (A)

φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W

𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆

cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos 𝛥𝜆

𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos𝛥𝜆

𝒅𝑨𝑩

𝑨𝒛𝑩𝑨

inverter AB e BA

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𝑅 = 6372,0 𝑘𝑚

Δ𝜆𝐵𝐴 = 𝜆𝐴 − 𝜆𝐵 = −46°32′01" − 18°34′11“Δ𝜆𝐵𝐴 = −65°06′12“

Sejam os valores parciaissen 𝜑𝐵 = −0,561269116

cos 𝜑𝐵 = 0,82763336

𝑡𝑔 𝜑𝐴 = −0,436883484𝑠𝑒𝑛 Δ𝜆𝐵𝐴 = −0,907068507cos 𝛥𝜆𝐵𝐴 = 0,420983043

Que podem ser inseridos na fórmula:

𝐴𝑧𝐵𝐴 = arctgsen𝛥𝜆𝐵𝐴

cos 𝜑𝐵 . tg 𝜑𝐴 − sen 𝜑𝐵 . cos 𝛥𝜆𝐵𝐴

𝐴𝑧𝐵𝐴 = arctg +7,239488041 analisando sinais 3º Q

𝐴𝑧𝐵𝐴 = 180° + 82°08′08"Az𝐵𝐴 = 262°08′08"

Cidade do Cabo (B)

φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸

São Paulo (A)

φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W

SOLUÇÃO

-

Azimute inicial BA

-

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NAVEGAÇÃO ENTRE PONTOS

DERROTA MISTA: aproximar a rota à ortodrômica (menor caminho),

por um conjunto de loxodrômicas (azimute constante).

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Cálculo das coordenadas do ponto de rota (waypoint)

Para calcular as coordenadas do ponto W (1° ponto de rota) saindo de

A, a uma distância d (arco de circunferência):

𝑠𝑒𝑛 𝜑𝑊 = sen 𝜑𝐴 . cos 𝑑 + cos(𝜑𝐴) . 𝑠𝑒𝑛 𝑑 . cos(𝐴𝐴𝐵)

tg Δ𝜆 =sen(𝐴𝐴𝐵)

cos 𝜑𝐴 . cotg 𝑑 − sen 𝜑𝐴 . cos(𝐴𝐴𝐵)

𝜆𝑊 = 𝜆𝐴 + Δ𝜆 1 m.n. = 1’ = 0°01’

A

B

𝑨𝒛𝑨𝑩𝑨𝒛𝑨𝑩

A

WW