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interactivo en esta edición Jesús Rodríguez Franco / Elva Cristina Rodríguez Jiménez Alberto Isaac Pierdant Rodríguez

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PATRIA SERIE

UNIVERSITA

RIA

www.editorialpatria.com.mx

E M P R E S A D E L G R U P O

interactivo enesta edición

Esta obra presenta a las matemáticas financieras con un lenguaje ameno. Contiene ejercicios resueltos paso a paso cuya complejidad va aumentando, con la idea de que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los problemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera relacionado que se les llegue a presentar en su vida académica o profesional. En la actualidad la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la administración, la economía y en las políticas públicas; así como en diversas ramas en donde es empleada, por ejemplo, como auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y en general, cualquier transacción que traiga consigo un proceso de evaluación del proyecto. No solo en estas áreas de inversión es útil la matemática financiera, un pequeño inversionista puede aplicarla para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona que tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero.

De entre las características que convierten a esta obra en una lectura indispensable para el alumno que curse cualquier carrera del área de ciencias sociales, económico-administrativo, destacan las siguientes:

Cuenta con breves, pero claras, explicaciones de los fundamentos teóricos matemáticos.

Explica a detalle los pasos necesarios para resolver los problemas propuestos que se plantean a lo largo de todas las unidades temáticas.

Es flexible, el lector puede utilizarlo según sus propias necesidades.

Los ejemplos y problemas expuestos están acompañados de breves textos, destacados con la etiqueta de Alerta, cuyo objetivo es preparar al lector para que esté pendiente de detalles importantes del contenido, que le serán útiles para la resolución de problemas.

Contiene más de 500 problemas para resolver, presentados en distintas categorías, según sus características, para ser resueltos con el apoyo de tecnología o bien relacionados con la experiencia cotidiana del lector.

Se incluye al final de cada unidad una sección de problemas reto.

Como una herramienta adicional, el texto se acompaña de un CD-ROM de apoyo, donde el estudian-te puede encontrar, entre otras cosas: simuladores y respuestas a problemas seleccionados.

Jesús Rodríguez Franco / Elva Cristina Rodríguez JiménezAlberto Isaac Pierdant Rodríguez

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MATEMÁTICASFInAnCIErAS

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II

ContenidoUNIDAD 1

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Jesús Rodríguez Franco

Elva Cristina Rodríguez Jiménez

Alberto Isaac Pierdant Rodríguez

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

MATEMÁTICASFINANCIERAS

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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas

Coordinación editorial: Verónica Estrada Flores

Producción: Gerardo Briones González

Revisión Técnica: M.C. Alex Polo Velázquez

Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco ( U.A.M.)

Diseño de interiores: Jorge Martínez J. y Gustavo Vargas M.

Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx

Matemáticas Financieras. Serie Patria

© 2014, Jesús Rodríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant Rodríguez y Elva Cristina Rodríguez Jiménez

© 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

Derechos reservados:

Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca

Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Registro Núm. 43

ISBN ebook: 978-607-744-033-8 ISBN Material Impreso: 978-607-438-722-3

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra

en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México

Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

info editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx

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Grupo Editorial Patria©

Semblanza autoral

Jesús rodríguez Franco

Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X). Profesor en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (FCA-UNAM) de asignatura “B” en Matemáticas Finan-cieras y Estadística.

Estudió la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la maestría en Ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). Diplomados en: “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” (FCA-UNAM), “Formación Docente” y “La Estadística IX” (UAM-X).

Tiene 34 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática. Cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Es miembro de la Academia de Matemáticas en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM), e integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas (FCA-UNAM). También es miembro del área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” (UAM-X) y del Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP), cuenta con el reconoci-miento de Profesor Distinguido otorgado por la Facultad de Contaduría y Administración UNAM en mayo de 2013.

A la fecha ha publicado 12 libros de matemáticas como coautor, más de 15 artículos, en revistas espe-cializadas de difusión, enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, informática y educación. También ha coordinado un libro temático de matemáticas.

Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, congresos, encuentros, foros y simposios a nivel nacional e internacional. Ha participado en la organización en congresos, foros, ciclos de confe-rencias, en semanas de matemáticas y en maratones de matemáticas financieras y estadística. También ha otorgado diversas entrevistas radiofónicas en Radio Educación, Radio UAEM y MVS-Noticias.

Es fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Admi-nistración (UNAM) de noviembre de 1999 a junio 2004. Fue representante ante el Consejo Académico del Departamento de Política y Cultura (UAM-X) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales y Humanidades ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana periodo 2007-2009. Fue Jefe del área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en el periodo 2003 a 2005 (UAM-X).

Trabajó como Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en la Refinería 18 Marzo y en Dirección de Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos (1984-1989). Ha sido profesor en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus Sur.

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�I

Elva Cristina rodríguez Jiménez

Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metro-politana Unidad Xochimilco (UAM-X) y profesora definitiva de asignatura “B” Estadística I y asignatura “A” Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

Estudió la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en “Matemáticas Aplicadas a la Economía” en la Facultad de Economía, el de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” en la Facultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional Autónoma de México.

Tiene 19 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de la “Academia de Matemáticas” en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM). Es coautora de los libros: Libro electrónico Fundamentos de Matemáticas, producto PAPIME Fomento Editorial FCA-UNAM, México, 2005; Estadística para Administración, Grupo Editorial Patria, segunda reimpresión, México, 2013 y Estadística aplicada II, Estadística en administración para la toma de decisiones, Grupo Editorial Patria, México, 2010. También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferen-cias, encuentros y foros a nivel nacional.

Participó en la investigación para el desarrollo de un método fotocolorimétrico para la determinación de metionina, para la Organización de Estados Americanos (OEA) y la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Química de la UNAM (1984). Ocupó el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Ga-ses, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la Refinería 18 de Marzo (1985-1991).

Alberto Isaac Pierdant rodríguez

Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C.

Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la Maestría en Ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Es candidato a Doctor en Ciencias Sociales con especialidad en Sociedad y Educación en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco. Ha participado en diferen-tes cursos de actualización, entre los que destacan:“Evaluación Económica de Proyectos de Explora-ción de Hidrocarburos I”, en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración de Hidrocarburos II”, en la Universi-dad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Petroleum Energy” en The Institutte of Energy Economics, Japan, septiembre-noviembre 1989, Tokio, Japón.

Tiene 35 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la UAM-X y del Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP). Ha publicado cuatro libros como autor y 10 de matemáticas como coautor, también ha publicado más de 30 artículos científicos y de difusión enfocada a la educación, informática, a las políticas públicas y para la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferen-cias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional.

Fue fundador y en la actualidad director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979). Dentro de consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, ISSSTE, la Comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola FEMSA, el INBA, entre otros.

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�II

Presentación

En la actualidad, la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la admi-nistración, la economía y en las políticas públicas, así como en diversas ramas en donde se emplea como la auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y, en general, cualquier inversión que signifique un proceso en el cual debe de realizarse una evaluación del proyecto. Pero no solo en estas áreas sofisti-cadas de la inversión es útil la matemática financiera, ya que un pequeño inversionista puede utilizarla para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona que tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero.

El libro Matemáticas Financieras Serie Patria responde a los programas de bachillerato y licenciatura. Su estructura motiva al estudiante a ser el protagonista en la construcción de su aprendizaje, basado en el enfoque educativo por competencias en el ámbito constructivista, esto con el objetivo de potencia-lizar el saber qué hacer en la vida académica y profesional; lo anterior lleva al estudiante al aprendizaje significativo.

El libro presenta los conceptos con un lenguaje sencillo y ameno. Contiene de tres a cinco ejercicios resueltos (paso a paso) del ámbito nacional en cada subtema, inicia con los sencillos y aumenta su com-plejidad, con la idea que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los problemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera que se le llegue a presentar en la vida aca-démica o profesional con éxito. Al inicio de cada unidad se plantean los objetivos y la sección ¿Qué sa-bes?, en ella se exponen una serie de preguntas y problemas que permiten al estudiante recordar sus conocimientos previos o despertar la inquietud de conocer más del tema. También contiene pequeños cuadros de alerta como son: el histórico, que contiene breves biografías de personajes vinculados con la matemática o pasajes de la misma; para pensar, que encierra los pasos que se realizan mentalmente; de definiciones, para resaltar definiciones importantes, teoremas y conceptos; de advertencia, para indicar las operaciones y pasos que no deben realizarse. En las ocho unidades que conforman el libro se da una breve información teórica del subtema a estudiar y se plantean de dos a cuatro problemas resueltos paso a paso. Al final de cada unidad se cuenta con un formulario, un glosario, los problemas a resolver y la sección de problemas reto.

El contenido del texto está estructurado en ocho unidades.

Unidad 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes. En nuestro país, la realidad comercial y, so-bre todo, la financiera se han influenciado por los avances tecnológicos que más impactan a la sociedad. Dos de estos avances lo representan las calculadoras modernas y las computadoras. El manejo de estas y sus programas de cálculo permiten a los alumnos, profesores y analistas de datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera y logra al mismo tiempo un máximo beneficio que se refleja en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón nos hemos preocupado por incluir en esta unidad la forma de resolver las operaciones aritméticas básicas, exponentes, radicales, logaritmos, proporciones, regla de tres y porcentajes, utilizando estas herramientas indispensables en el aprendizaje de las matemáticas financieras.

Unidad 2 Series y sucesiones. Inicia con las sucesiones o progresiones aritméticas, al explicar la forma de encontrar el n-ésimo término y la suma de los términos de la progresión. Después

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�III

ContenidoUNIDAD 1se estudian las progresiones geométricas, se indica la forma de encontrar el n-ésimo término, número de términos y la suma total de términos en una serie.

Unidad 3 Interés simple. Comienza con la explicación del concepto de interés simple, la tasa de interés y la forma de calcularlos. Se continúa con el interés simple o real, el ordinario o comercial, el monto, el valor presente o actual y el tiempo (plazo). También se incluye el descuento simple y se estudian los siguientes casos: el valor descontado o ganancia, tasa de rendimiento, valor de vencimiento, relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento, plazo y el pagaré. Por último, se ven las ecuaciones de valor equivalentes o de valor, la diferencia entre interés ordinario y exacto, ecuaciones de valor, descuento bancario y descuento comercial.

Unidad 4 Interés compuesto. Empieza con la forma de calcular el monto compuesto, la com-paración del interés simple con el compuesto, el valor actual o presente y el tiempo. Después se estudia el concepto y forma de cálculo de las tasas de interés equivalentes, efectivas y no-minales. También se ve la aproximación a la tasa de interés y la ecuación de valor y de tiempo equivalente.

Unidad 5 Anualidades. En esta se muestra el cálculo del valor futuro, el valor presente, el plazo y la renta para las anualidades simples o vencidas, anticipadas y diferidas. Además, se incluye el estudio de la anualidad general y anualidades perpetuas.

Unidad 6 Amortización. Se inicia con la amortización gradual y tasa negativa. Se presentan casos sobre cómo es la amortización de una deuda, hipotecas, inflación, refinanciamiento de un crédito y fondos de amortización. Se continúa con la depreciación y se explica en qué activos se aplica y en cuáles no. Después, se explica la forma de utilizar los diferentes métodos como la línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos, de unidades de producción o servicio y de fondo de amortización. Tanto para la amortización como para la depreciación se enseña cómo utilizar Excel para elaborar cuadros de amortización y depreciación.

Unidad 7 Análisis de proyectos de inversión. En esta unidad se muestra la metodología em-pleada en el ámbito financiero para realizar un proyecto de inversión, como es el caso del análisis de flujo de efectivo de un proyecto y su variabilidad, al emplear los conocimientos adquiridos en las unidades anteriores. Se estudia la forma de calcular el valor presente en la metodología denominada Valor Actual Neto (VAN) y el costo de capital (TIR) para calcular el valor presente de un proyecto de inversión.

Unidad 8 Bonos y obligaciones. Se estudia lo referente a bonos y obligaciones como princi-pales mecanismos de financiamiento para proyectos de inversión pública y privada. También a conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro, las relativas a bonos de cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento.

Es importante mencionar que los resultados de los problemas resueltos pueden variar un poco debido a los que se obtengan. Esto se debe a la forma en que esté programada la calculadora con respecto a la fracción decimal o el número de fracciones decimales que utilice.

Se espera que con Matemáticas Financieras Serie Patria, nuestros lectores puedan resolver los pro-blemas financieros que se les presenten.

Los autores

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IX

UnIDAD 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes 1

1.1 Exponentes 2

1.2 Exponentes enteros 3

1.3 Exponente negativo 4

1.4 Radicales 5

1.5 Suma de radicales semejantes

1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice con subradical diferente

1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice 7

1.8 División de radicales del mismo índice 8

1.9 Redondeo

1.10 Notación científica 9

1.11 Propiedades de los logaritmos base 10 10

1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros 11

1.13 Propiedades de los logaritmos 13

1.14 Antilogaritmo 14

1.15 Logaritmos naturales 15

1.16 Tanto por ciento 16

Problemas para resolver 23Problemas reto 26

UnIDAD 2 Series y sucesiones 27

2.1 Introducción

2.2 Sucesiones o progresión aritmética 28

2.3 Progresiones aritméticas 30

Contenido

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X

Contenido

2.4 Progresiones geométricas 33

2.5 Aplicaciones 38

Problemas para resolver 42Problemas reto 43

UnIDAD 3 Interés simple 45

3.1 Introducción 46

3.2 Cálculo del monto 53

3.3 Valor presente o actual 55

3.4 Cálculo del tiempo o plazo 57

3.5 Descuento simple 59

3.6 Valor descontado o ganancia 60

3.7 Tasa de rendimiento 62

3.8 Valor de vencimiento 63

3.9 Tasa de descuento 64

3.10 Relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento 65

3.11 Plazo 67

3.12 Pagaré 68

3.13 Aplicaciones 71

3.14 Inversión en cetes 72

3.15 Inversión en udis 73

3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor 75

Problemas para resolver 80Problemas reto 84

UnIDAD 4 Interés compuesto 85

4.1 Introducción

4.2 Monto 86

4.3 Comparación del interés simple con el interés compuesto 93

4.4 Valor actual o presente 95

4.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales 100

4.6 Ecuación de valor 105

4.7 Tiempo equivalente 110

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XI

4.8 Inflación 113

Problemas para resolver 120Problemas reto 122

UnIDAD 5 Anualidades 123

5.1 Introducción 124

5.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua

5.3 Anualidades vencidas 125

5.4 Anualidades anticipadas 138

5.5 Anualidades diferidas 147

5.6 Anualidades generales 166

5.7 Anualidades generales anticipadas 176

5.8 Anualidad general diferida 177

5.9 Anualidad general variable 178

5.10 Anualidades perpetuas 183

Problemas para resolver 191Problemas reto 194

UnIDAD 6 Amortización y depreciación 195

6.1 Introducción 196

6.2 Inflación 209

6.3 Unidades de inversión (udi) 212

6.4 Fondos de amortización 213

6.5 Depreciación 216

6.6 Depreciación e inflación 226

6.7 Método de la suma de dígitos o enteros 229

6.8 Método de unidades de producción o servicio 231

6.9 Método del fondo de amortización 234

Problemas para resolver 241Problemas reto 244

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XII

Contenido

UnIDAD 7 Análisis de proyectos de inversión 245

7.1 Introducción 246

7.2 Metodologías de evaluación de inversiones 247

7.3 Método del valor actual neto (van) 248

7.4 Método de la tasa interna de rendimiento (tir) o costo de capital 252

7.5 Análisis de inversiones con van y tir 255

Problemas para resolver 262Problemas reto 263

UnIDAD 8 Bonos y obligaciones 265

8.1 Introducción 266

8.2 Bonos de descuento puro o bonos cupón cero 267

8.3 Bonos con cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento 268

Problemas para resolver 275Problemas reto

Referencias bibliográficas 276

Bibliografía final 277

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UNIDAD 1

Exponentes, logaritmos y porcentajes

OBJETIVOS

Identificar y manejar expresiones algebraicas con exponentes enteros positivos, negativos y fraccionarios.

Aprender a dividir, multiplicar y reducir expresiones con radicales.

Convertir expresiones con radicales a exponentes fraccionarios.

Conocer y comprender el sistema de logaritmos y sus propiedades.

Aprender a encontrar el logaritmo de base a, base 10 y base e.

Aprender a encontrar el antilogaritmo de base 10.

Realizar el cálculo e interpretación de los porcentajes.

Aprender a utilizar la calculadora y hoja de cálculo Excel, con exponentes radicales y logaritmos.

Comprender la trascendencia de los temas estudiados y su importancia en la aplicación en matemáticas financieras.

¿QUÉ SABES?

Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema

Encontrar el resultado de las operaciones aritméticas 9 + 6 × 4 - 5 + 48/8 = El producto de las potencias (x3)(x 6) es igual a: ______________.

Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: [(2)(6)]3 =

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2

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora:

13

3

=−

Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 893 = Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 5 7 8 7− = Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 2 11 3 483 3( ) = Completar el cuadro

Logaritmo Característica Mantisa

Log3 = 0.4771

Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: log 9993 = Andrea compró un refrigerador en $5 400.00; ella dio 20% de enganche del

precio del refrigerador. ¿Cuánto pagó de enganche (en pesos)?

1.1 Exponentes

La potenciación es la operación que toma una expresión algebraica como factor dos o más veces, y al resultado de la operación se le llama potencia.

Si x ∈ R y n ∈ N entonces:

xn = (x)(x) … (n) = n-ésima potencia de x

Ï Ô Ì Ô Ó

n factores

n entero positivo es el exponente

x es la base

■ La primera potencia de una expresión es: x1 = x ■ La segunda potencia de una expresión es: x2 = (x)(x) ■ La tercera potencia de una expresión es: x3 = (x)(x)(x)

Problema resuelto

1. a) 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 c) (x + 1)2 = (x + 1)(x + 1)

b) 123 = 12 ⋅ 12 ⋅ 12 = 1 728 d ) (x + a)n = (x + a)(x + a) …, n = 1, 2, 3…

Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias operaciones,

con números y símbolos, ejemplo: 4x2, 7x + 4a, 6 8 5x x+

En la calculadora la tecla para encontrar la potencia de una expresión es la siguiente:

yx o ∧ Encontrar la elevación a potencia.

Problema resuelto

2.

Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

a) (23) = 8 2 y x 3 = 8

b) (43) = 64 4 ∧ 3 = 64

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3

1.2 Exponentes enteros

❚ 1.2.1 Producto de potencias de igual base

(an)(am) = an + m

Problema resuelto

4. a) (32)(34) = 36 = 729 c) (a2)(a6) = a4 + 6 = a10

b) (123)(122) = 125 = 248 832 d ) (x + a)2(x + a)3 = (x + a)5

Problema resuelto

3. Con la hoja de cálculo Excel

a) Con la función = POTENCIA(número, potencia)

b) Con el acento circunflejo = número[alt gr] + [^] potencia

Problema resuelto

5.

Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

a) (22)(24) = 22 + 4 = 26 = 64 2 y x 2 × 2 y x 4 = 64

b) (43)(42) = 64 × 16 = 1 024 3 ∧ 4 × (2 ∧ 4) = 1 024

❚ 1.2.2 Elevar una potencia a otra potencia

(an)m = a(n)(m)

Problema resuelto

6. a) (42)3 = 42 · 3 = 46 = 4 096 d ) (22)6 = 22 · 6 = 212 = 4 096

b) (82)4 = 82 · 4 = 88 = 16 777 216 e) ((x + m)3)5 = (x + m)3 · 5 = (x + m)15

c) (42)3 = 4(2)(3) = 46 = 4 096 f ) (25)4 = 2(5)(4) = 220 = 1 048 576

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4

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1 ❚ 1.2.3 Producto elevado a una potencia n

El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:

[(a)(b)]n = (a)n(b)n

Problema resuelto

7. a) [(2)(3)]2 = (22)(32) = 4 × 9 = 36

b) [(4)(3)]3 = (43)(33) = 64 × 27 = 1 728

c) [(8)(5)]4 = (84)(54) = 4 096 × 625 = 2 560 000

d ) [(x + 1)(x + a)]2 = (x + 1)2(x + a)2

e) [(2)(5)]2 = (22)(52) = (4)(25) = 100

f ) [(3)(2)]3 = (33)(23) = (27)(8) = 216

❚ 1.2.4 Elevar un cociente a una potencia n

El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:

a

b

a

bb

n n

n

= ≠; si 0

Problema resuelto

8. a) 2

3

2

3

4

9

2 2

2

= = d )

87

8

7

40962401

4 4

4

= =

b) 4

7

4

7

64

343

3 3

3

= = e)

5

6

5

6

25

36

2 2

2

= =

c) 6

7

6

7

36

490 73469388

2 2

2

=

= = . f )

3

7

3

7

27

3430 078717

3 3

3

=

= = .

1.3 Exponente negativo

Se encuentra al dividir dos potencias de igual base, con un exponente menor en el numerador y mayor en el denominador.

a

aa a

2

3

2 3 1= =− −

Se conoce a 1/a como el inverso multiplicativo de a, cuando a ≠ 0.

aa

− =1 1

Problema resuelto

9. a) axa

x− =1 b) m xy

m

xy2 1

2

( )− =

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5

1.4 Radicales

❚ 1.4.1 Exponentes fraccionarios

El exponente fraccionario se obtiene de extraer una raíz a una potencia.

a an n1 = ; con a ∈ R+ y n ≠ 0

n es el índice de la raíz

a cantidad subradical o radicando

símbolo del radical

c) 4-3 = 0.015625 e) aa a2 32

3

2

44 64

− = =

d ) 31

3

19

0.11122

= = =− f )

12

1

12

1

1

2

11

512

10.001953

512

9

9 9

9

=

= =

= = =

Problema resuelto

10. a) x x3 4 34= c) ( ) ( )x a x a+ = +2 5 25

b) am a m1 3 3= d ) 8 81 2 2=

yx o x1/y o ∧ teclas para encontrar raíces con índice igual a dos o superior a dos.

Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo y debe satisfacer:

a c c an n= ⇔ =

Si c n = a y n es un entero positivo, entonces c es la raíz n-ésima de a.

Problema resuelto

11. a) (-3)2 = 9, entonces: la raíz cuadrada de 9 es +3 y -3, 9 32 = ±

b) (-2)3 = -8, entonces: la raíz cúbica de -8 es solamente -2, − = −8 23

an a la raíz es positiva y negativa

n a la raíz es solamente negativa

nSi es par y positiva entonces:

Si es impar y negativa entonces:

Si m y n son enteros, la base a diferente de cero y la potencia fraccionaria es m/n, se puede expresar como radical, en donde n es el índice del radical, a es el subradical y m el exponente del subradical.

a am n mn=

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6

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1

Con la hoja de cálculo Excel

Problema resuelto

12. a) 8 8 3253 5 3= = c) 3 6 3 36 3 36 ( 3.30 )( 3 ) 9.923 3 1 3( )= = = =

b) 1

2109

1

210 44 5 22=

=( . ) . d ) − = − = −27 27 33 1 3( )

Problema resuelto

13.

Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

a) 16 24 = 4 xn 16 = 2

b) 161/4 = 2 1 ÷ 4 = Min C 16 y x RM = 2

Para otro tipo de calculadora

c) 64 2 8284 = . 4 SHIFT x 64 = 2.828

d ) 271/3 = 3 ( 1 ÷ 3 ) = Min C 27 ∧ RM ) = 3

Problema resuelto

a) Con la función = RAIZ(número), solo se obtiene la raíz cuadrada de un número. Por ejemplo,

la expre sión 9 32 = , en Excel con la función = RAIZ(9)

b) Con el acento circunflejo = número[alt gr ] + [ ̂ ] potencia. Por ejemplo, la expresión 27 33 = , en Excel = 27 ˆ (1/3)

Problema resuelto

Problemas en Excel

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7

1.5 Suma de radicales semejantes

En los radicales semejantes se deben sumar algebraicamente los coeficientes, y la suma de estos es el coeficiente del radical común.

Problema resuelto

14. a) 2 5 4 5 2 4 5

2 54 472

− = −

= −= −

( )

.

c) 3 9 4 9 ( 3 4 ) 97( 3 )21.0

+ = +==

b) 2 7 3 7 2 3 7

5 75 2 64513 228

+ = +

== ×=

( )

..

d ) 5 6 3 6 2 6 (5 3 2 ) 6

4 64 2.44949.80

− + = − +

== ×=

1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice con subradical diferente

Problema resuelto

15. a) 2 5 3 9 2 2 236 3 34 472 94 528

− = −= −= −

( . ) ( )..

d ) 5 64 2 10 5 8 2 3 16240 6 32446 324

+ = += +=

( ) ( . ).

.

b) 4 16 3 7 4 4 3 2 6416 7 93723 937

+ = += +=

( ) ( . ).

.

e) 3 21 7 6 4 6 3 4 58 7 4 6

13 748 3 66 399

− + = + − +

= −=

( . ) ( )

..

c) 5 25 4 11 5 5 4 3 316625 13 2638 266

+ = += +=

( ) ( . ).

.

f ) 6 26 3 6 2 6 6 5 099 3 2 6

30 59 628 145

− + = + − +

= −=

( . ) ( )

.

.

1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice

En la multiplicación de radicales del mismo índice se deben multiplicar los radicales, y el resultado de esta operación es el nuevo subradical, siendo el índice el mismo en el nuevo radical.

a b a bn n n( ) = ( )( )

Problema resuelto

16. a) 5 9 5 9 45 6 7( ) = × = = . c) 3 5 4 12 3 2 236 4 3 4646 708 13 856492

( ) = [ ]==

( . ) ( . )( . )( . )

.9952

b) 3 27 3 27 81 9( ) = × = = d ) 64 10 4 2 15 8 6173 3( ) = =( . ) .

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8

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1

1.8 División de radicales del mismo índice

En la división de radicales del mismo índice se obtiene un radical con el mismo índice y el cociente de ambos radicales.

a

b

a

b

n

nn=

e) 2 81 27 2 4 32 32 12 9625 96

3 3( ) = ×==

( . )( . ).

f ) 5 25 3 18 2 5 5 3 4 24264 225 12 72792 2

( ) + = [ ] += +=

( ) ( . )( )( . )3318 198 2320 198

.

.+

=

Problema resuelto

17. a) 12

5

12

5

2 4

1 549

=

=

=

.

.

d ) 84

11

84

11

7 636

1 969

3

33

3

=

=

=

.

.

b) 9

25

925

0.36

0.6

=

=

=

e) 93

4

93

4

23 25

1 876

5

55

5

=

=

=

.

.

c) 81

27

81

27

3

1 44

3

33

3

=

=

= .

f ) 48

11

48

11

4 36364

1 445

4

44

4

=

=

=

.

.

Problema resuelto

Resuelve las ecuaciones exponenciales

18. a) 112

10 125

6

112

1

12 6

12

12

+

= +

+

=

i

i

.

( ++

+ =

= −

0 020833

112

1 13169

121 13169 1

612

12

1 12

. )

.

( . )

i

i

ii

i

i

= − =

=

12 1 13169 1

12 0 01036

0 1243

0 0833( . )

( . )

.

.

66

b) e

e

e

e

= +

= −

= −

=

10 22

61

1 03667 1

1 2412 1

0 2

6

6

.

( . )

.

. 4412

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9

1.9 Redondeo

Redondeo de una cantidad hacia arriba a cuatro cifras.

Problema resuelto

19.

Número Redondeo

a) 0.204688 0.2047

b) 9.711768 9.712

c) 0.7988745 0.7989

Problema resuelto

20.

Número Redondeo

a) 0.6184142 0.6184

b) 0.1246397 0.1246

c) 3.4161853 3.416

Problema resuelto

21.

a) 12 × 10-2 = 0.12 12 EXP - 2 = 0.12

b) 1.578E - 1 = 0.1578 1.578 EXP - 1 = 0.1578

c) 0. 9510E + 2 = 95.1 0.9510 EXP + 2 = 95.1

c) 112

10 116

4

112

1

12 4

12

12

+

= +

+

=

i

i

.

( ++

+ =

= −

0 029

112

1 1211443

121 1211443

412

12

1 12

. )

.

( . )

i

i11

12 1 1211443 112 0 0095740

0 0833iii

= − ==

( . )( . )

.

.

11149

Redondeo hacia abajo a cuatro cifras de las siguientes cantidades:

1.10 Notación científica

Cuando se trabaja con números muy grandes o pequeños utilizamos la notación científica. El punto decimal se mueve a la derecha cuando el exponente es positivo y a la izquierda si es negativo, el ex-ponente indica el número de lugares que se tiene que mover el punto decimal.

EXP o EE tecla para escribir la notación científica en la calculadora

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10

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1Forma de representar una cantidad en notación científica hacia arriba.

Problema resuelto

22.

Número Notación científica Con calculadora EXP

a) 679.19 6.7919 × 102 6.7919 × 1002

b) 48.56 4.856 × 101 4.856 × 1001

c) 5.31 5.31 × 100 5.31

d ) 258 916 2.58916 × 105 2.58916 × 1005

Problema resuelto

23.

Número Notación científica Con calculadora EXP

a) 0.3471 3.471 × 10-1 3.471 × 10-01

b) 0.0126 1.26 × 10-2 1.26 × 10-02

c) 0.00879 8.79 × 10-3 8.79 × 10-03

d ) 0.0002978 2.978 × 10-4 2.978 × 10-04

e) 793.24 7.9324 × 102 7.9324 × 1002

Problema resuelto

Ejemplos: 24. a) 90 = 1 c) 92 = 81 e) 94 = 6 561

b) 91 = 9 d ) 93 = 729 etcétera

Forma de representar una cantidad en notación científica hacia abajo.

El logaritmo de un número es el exponente al que se debe elevar otro número llamado base para obtener un tercer número.

La base es un número positivo y este es la base de un sistema de logaritmos.

Sistema de

x x

e

x xe

* Logaritmos vulgares o Briggs la base es 10 ( log log )

* Logaritmos naturales o neperianos la base es: 2.71828182845

* log ln

10 == …

=

logaritmos

Se puede tomar como base para un sistema de logaritmos cualquier número positivo.

1.11 Propiedades de los logaritmos base 10

❚ 1.11.1 Progresiones

Problema resuelto

25 a) 100 = 1 c) 102 = 100 e) 101

100 012

2

− = = .

b) 101 = 10 d ) 101

100 11

1

− = = . f ) 101

100 0013

3

− = = .

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11

1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros

Problema resuelto

27. a) log 1 = 0 c) log 3 = 0.4771 e) log 9 = 0.9542

b) log 2 = 0.3010 d ) log 8 = 0.9031 f ) log 10 = 1

Problema resuelto

26. a) log 1 = 0 c) log 100 = 2 e) log 0.01 = -2

b) log 10 = 1 d ) log 0.1 = -1 f ) log 0.001 = -3

Problema resuelto

28. a) log 100 = 2 c) log 500 = 2.6990 e) log 700 = 2.8451

b) log 200 = 2.3010 d ) log 600 = 2.7781 f ) log 1 000 = 3

El logaritmo de los números entre 1 y 10, su logaritmo se encuentra entre 0 y 1.

El logaritmo de los números entre 100 y 1 000, su logaritmo se encuentra entre 2 y 3.

Por analogía el logaritmo de los números entre 1 000 y 10 000, su logaritmo se encuentra entre 3 y 4.

Problema resuelto

29. a) log 2 000 = 3.3010 c) log 6 000 = 3.7781

b) log 5 000 = 3.6990 d ) log 10 000 = 4

Todo logaritmo de un número que no sea potencia de 10 con exponente entero, está formado de una parte entera y una parte decimal.

A la parte entera se le llama característica y a la parte decimal mantisa, por ejemplo:

AlertaLos números negativos no tienen logaritmo.

Problema resuelto

30.

Logaritmo Característica Mantisa

a) log 4 = 0.6020 0 0.6020

b) log 600 = 2.7781 2 0.7781

c) log 7 500 = 3.8750 3 0.8750

d ) log 85 000 = 4.9294 4 0.9294

Mantisa Siempre es Positiva{ ∗

Característica

Positiva si el número es mayor o igual a 10

Cero si el número es mayor o igual a 1 y menor que 10

Negativa si el número es mayor que 0 y menor que 1

∗∗∗

Para conocer la característica de un número mayor a 1, se resta una unidad al número total de cifras de la parte entera del número.

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12

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1

Para conocer la característica de un número menor a 1, se suma una unidad al número total de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa del número.

Problema resuelto

31.

Logaritmo Cifra Operación Característica Mantisa

a) log 5 = 0.6989 1 1 - 1 = 0 0 0.6989

b) log 650 = 2.8129 3 3 - 1 = 2 2 0.8129

c) log 5 700 = 3.7558 4 4 - 1 = 3 3 0.7558

d ) log 76 000 = 4.8808 5 5 - 1 = 4 4 0.8808

Problema resuelto

32.

Logaritmo Ceros Operación Característica Mantisa

a) log 0.1 = -1 0 0 + 1 = 1 -1 0

b) log 0.01 = -2 1 1 + 1 = 2 -2 0

c) log 0.001 = -3 2 2 + 1 = 3 -3 0

d ) log 0.0001 = -4 3 3 + 1 = 4 -4 0

Problema resuelto

33.

Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

a) log 57 = 1.755874856 57 log = 1.755874856

b) log 0.8735 = -0.05873709 o 1.941262909 log 0.8735 = -0.05873709

c) ln 26 = 3.2580906 ln 26 = 3.2580906

d ) ln e = 1 ln 2.718281828459 = 1

Al escribir un logaritmo, cuya característica es negativa, el signo menos se coloca sobre la caracterís-tica y nunca delante de ella, porque las mantisas son positivas, por lo tanto, un logaritmo no se debe representar como: -2.3846; la forma correcta es: 2 .3846.

En la calculadora cuando la característica de un número menor a 1, en la pantalla indicador aparece de la siguiente forma: log 0.6 = -0.2218, lo que significa que la característica es -1 y la mantisa 0.7782. Si la característica de un número igual o mayor a 1, en la pantalla aparece de la siguiente forma: log 260 = 2.414973, lo que significa que la característica es 2 y la mantisa 0.414973.

Para encontrar el logaritmo utilizando la calculadora se sigue la siguiente secuencia de tecleo depen-diendo de la calculadora.

log x o x log

ln x o x ln

El logaritmo de base a se define como:

Sea a la base del logaritmo, en donde a es un número real distinto de uno, se tiene:

y = loga x si y solo si x = ay

para toda x > 0, todo número real y

AlertaEn honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), se eligió la letra e para tomarla como base del logaritmo natural (o neperiano).

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13

Si analizamos la definición encontramos dos funciones: una logarítmica (y = loga x) y la otra exponencial (x = ay), con la misma base a.

Exponente

loga x = y ay = x

Base

De la interpretación del logaritmo como un exponente están las siguientes propiedades:

Núm. Propiedad Motivo

1. loga 1 = 0 a0 = 1

2. loga a = 1 a1 = a

3. loga ax = x ax = ax

4. aloga x = x ay = x

Problema resuelto

35. a) log (4 × 10) = log (4) + log (10) = 0.602059 + 1 = 1.602059

b) log (12 × 31) = log (12) + log (31) = 1.07918 + 1.49136 = 2.57054

c) log (231 × 51) = log (231) + log (51) = 2.36361 + 1.70757 = 4.07118

Problema resuelto

34.

loga x = y x = ay

a) log8 x = 2 82 = x

b) loga 16 = 2 a2 = 16

c) log10

x = y 10y = x

Problema resuelto

36. a) log128

log (12 ) log ( 8 ) 1.07918 0.90308 0.17609= − = − =

b) log517

log (5 ) log (17 ) 0.69897 1.23044 0.53147= − = − = −

c) log3315

log ( 33 ) log (15 ) 1.51851 1.17609 0.34241= − = − =

1.13 Propiedades de los logaritmos

❚ 1.13.1 Logaritmo del producto

El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log(A × B) = log A + log B

❚ 1.13.2 Logaritmo de un cociente

El logaritmo del cociente es igual al logaritmo dividendo menos el logaritmo divisor.

AB

A Blog log log= −

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14

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1 ❚ 1.13.3 Logaritmo de una potencia

El logaritmo del cociente es igual a la multiplicación del exponente por el logaritmo de la base.

log An = n(log A)

Problemas resueltos

40. Sea el log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de 1.1760912 es: 15

Con calculadora

a) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:

SHIFT log 1.1760912 = 15

Problema resuelto

37. a) log log ( ) ( . ) .3 5 3 5 0 47712 2 385605 = = =

b) log log ( ) ( . ) .23 4 23 4 1 36172 5 446914 = = =

c) log log ( ) ( . ) .247 3 247 3 2 39269 7 178093 = = =

Problema resuelto

39. a) Sea el log 76 = 1.88081, encontrar el antilogaritmo de 1.88081 es: 76

b) Sea el log 25 = 1.39794, encontrar el antilogaritmo de 1.39794 es: 25

c) Sea el log 397 = 2.59879, encontrar el antilogaritmo de 2.59879 es: 397

Problema resuelto

38. a) loglog

.5757

20 8779= =

b) loglog

.3939

30 53043 = =

c) loglog

.7272

40 46434 = =

❚ 1.13.4 Logaritmo de una raíz

El logaritmo de la raíz es igual al logaritmo del subradical dividido entre el índice del radical.

AA

nnlog

log=

1.14 Antilogaritmo

Cuando se conoce el logaritmo de un número desconocido x, al encontrar el valor de x a este proceso se le conoce como antilogaritmo y se abrevia antilog.

Utilizando la calculadora existen dos caminos para encontrar el antilogaritmo:

SHIFT log x o 2nf log x

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15

1.15 Logaritmos naturales

Una función logarítmica de base a(y = loga x) es la inversa de una función exponencial (x = ay). A partir de esto se puede llegar a una definición.

Cuando se sustituye la base a por la base e, se obtiene la siguiente expresión (si x > 0):

y = loge x, si y solo si x = ey

A partir de lo anterior la definición de logaritmo natural es:

ln x = loge (x), para todo x > 0

❚ 1.15.1 Leyes de los logaritmos naturales

1. ln (AB) = ln A + ln B

2. AB

A Bln ln ln

= −

3. ln An = n ln A

AlertaDefinición:El loga x se expresa de la siguiente forma:

y = loga x, si y solo si x = ay

Problemas resueltos

Con calculadora 42.

Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

antilog 1.5563025 = 36

101.5563025 = 36

SHIFT log 1.5563025 =2nf log 1.5563025 =

10 y x 1.5563025 =10 ∧ 1.5563025 =

3636

3636

43.

Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

antilog 2.1986571 = 158102.1986571 = 158

2nf log = 2.1986571 10 y x 2.1986571 =

158158

b) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:

1.1760912 2nf log = 15

41. Sea el log x = 1.30102999 y si 101.30102999 = x,

∴ x el antilogaritmo de 1.30102999, se representa como:

x = antilog 1.30102999 = 101.30102999

x = 10 ˆ 1.30102999

x = 20

Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad:

log x = log (3.21.2 × 5)

log x = log 3.21.2 + log 5

log x = 1.2 log 3.2 + log 5

Solución:

Problema resuelto

44. Encuentra el resultado de x = 3.21.2 × 5

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16

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1Es importante aclarar que ln an ≠ (ln a)n

4. An

Anln1ln=

Cambio de base:

5. xxaalog

lnln

=

Teorema:

aloga x = x ⇒ eln x = x ⇒ ln ex = x

Propiedades para cuando x = 0:

En cualquier sistema de logaritmos:

1. El logaritmo de la base (a) es uno.

e1 = e ∴ ln e = 1

2. El logaritmo de uno es cero, si la base es a se tiene:

e0 = 1 ∴ ln 1 = 0

Expresión para cambiar de base

xx

loglnln 1010 = elog

1ln 10

=

Problema resuelto

45. Encuentra el valor de x

ln x = 2.3

eln x = e 2.3

x = e 2.3

x = 9.974

Problema resuelto

Ejemplos:46. a) Si seleccionamos 6 cuadros, estos representan 6 partes de un total de 100 partes y se represen-

ta de la siguiente forma: 6/100, expresándolo en tanto por ciento: 6%.

1.16 Tanto por ciento

Todo número puede ser divisible entre una o varias partes, entonces si todo número lo podemos dividir en las partes que se nos ocurra, por ejemplo en diez partes, en veinticinco, en cien, en quinientas, en mil, etc. Cuando hablamos en un caso particular del tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que fue dividido el número.

Unidad = 1

1 2 3 . . . .

100

Cada cuadro representa un centésimo (1/100) del número (1).

AlertaEl signo de tanto por ciento (%) aparece por un error al utilizar la abreviatura de ciento (Cto.), esta siempre se empleaba en las operaciones comerciales o mercantiles.

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17

Unidad = 1

1 2 3 4 5 6

100

b) Si deseamos conocer el 3% de 80, lo que se debe hacer es dividir a 80 en cien partes iguales y de ellas se toman tres.

Unidad = 80

1 2 3

100

El 3% de 80 o 3/80 de 80 equivale a tres centésimas partes de 80.

El 100% de 80 es 80, el 3% de 80, es lo que se desea conocer x, para encontrar el valor de x se emplea la regla de tres.

Datos Tanto por ciento (%) Partes

Supuesto 100 80

Pregunta 3 x

Entonces:

x =×80 3

100

x = 2.4

El 3% de 80 es 2.4

Problema resuelto

48. ¿Qué porcentaje de:

a) 17 500 es 2 300 b) 22 500 es 13 250?

a) El 16% de 779 = 16

100

(779) = 124.64

b) El 18% de 250 = 18

100

(250) = 45

c) El 23.75% de 1 890 = 23 75

100

.

(1 890) = 448.875

Solución

Problema resuelto

47. a) Obtén el 16% de 779

b) Obtén el 18% de 250

c) Obtén el 23.75% de 1 890

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18

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1 a) x(17 500) = 2 300 b) x(22 500) = 13 250

x = 230017500

= 0.1314 = 13.14% x = 1325022500

= 0.5888 = 58.88%

Solución

a) x es la base, el 6% de x es igual a 18 b) x(0.05) = 350 c) x(0.36) = 900

x(0.06) = 18 x =

350

0 05. = 7 000 x =

900

0 36. = 2 500

x = 18

0 06. = 300

Solución

Problema resuelto

49. ¿De qué número es:

a) 18 el 6% b) 350 el 5% c) 900 el 36%?

a) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de 0.60 es igual al incremento se tiene:

x(0.60) = (5.00 - 0.60)

x(0.60) = 4.4

x = 7.3

x = 733.33%

b) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de $1.00 es igual al incremento se tiene:

x(1.00) = (1.50 - 1.00)

x(1.00) = 0.5

x = 0.5

x = 50%

Solución

Problema resuelto

50. a) El transporte en el D.F., costaba 60 centavos en 1970 y cinco pesos en 2012, ¿qué incremento ha tenido el precio del transporte? Expresarlo en porcentaje.

b) El precio del bolillo era de un peso en el año 2010 y en 2012 cuesta $1.50, ¿qué incremento ha tenido el precio del bolillo? Expresarlo en porcentaje.

El precio de venta de un producto o servicio, se determina aumentando al costo del artículo una can-tidad suficiente para cubrir los gastos de operación para poder tener una utilidad, a esta cantidad se le llama utilidad bruta. Y se conoce como utilidad neta a la cantidad que queda después de cubrir los gastos de operación.

Los gastos de operación son las cantidades que se pagan por concepto de luz, agua, renta, seguros, salarios, publicidad, etcétera.

El costo de un artículo son todos los gastos realizados para fabricar o adquirir el artículo. Mientras que el costo de un servicio son todos los gastos realizados para proporcionar el servicio.

AlertaUtilidad bruta = Gastos de operación + Utilidad neta.

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19

x es el costo de producción

Utilidad bruta = 65% de x = 0.65x

Precio de venta = x + 0.65x = 540

1.65x = 540

x = 540

1 65.

x = $327.27

Solución:

Problema resuelto

51. Un fabricante desea producir ángeles de porcelana y venderlos cada uno en $540.00. Con la experien cia de la fabricación de productos anteriores, él considera que si añade 65% del costo de producción para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta, ¿cuánto puede gastar para poder producir los ángeles?

Cuando se desea conocer la tasa de interés compuesto (i ) es necesario despejarla de la ecuación de monto de interés compuesto.

M = C(1 + i )n

Existen dos caminos para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos alternativas.

Raíz Logaritmos

M

Ci n= +( )1

M

Ci n= +( )1

M

Cin nn= +( )1

= +log log ( 1 )

M

Ci n

M

Cin = +1

= +log log ( 1 )

M

Cn i

iM

Cn=

−1 4 6.

+ =

log ( 1 )log

i

M

Cn

+ =

1 antilog

logi

M

Cn

=

−antilog

log1 4.6i

M

Cn

a

Datos:

C = $600 000.00 M = $950 000.00 n = 3 años y 4 meses n = 20 bimestres

Solución

Problema resuelto

52. El gerente de una empresa depositó en una institución financiera $600 000.00 y después de tres años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950 000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral que le dio la institución financiera a su inversión?

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20

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1

La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en “p” periodos por año.

[Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año]

Dividiendo ambos términos entre C se tiene:

C e Ci

p

ei

p

p

p

( )1 1

1 1

+ = +

= +

La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.

AlertaTasa efectiva o rendimiento anual efectivo. Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que la tasa compuesta.

Incógnita i Desarrollo

iMC

i

i

i

i

i

i

T

n 1

950000600000

1

1.583333 1

1.58333 1

1.58333 1

1.023243 1

0.023243 bimestral

2.3243% bimestral

20

20

1 20

0.05

[ ]( )

( )

=

=

= −

= −

= −

= −

=

=

Datos:

C = $22 000.00

T = 9.7% A. C. Trimestral

np = (2.5 años) (4 trimestres por año) = 10 trimestres

n = 2.5 años

p = 4 trimestres al año

Incógnita M Desarrollo

M = Ci

p

np

1+

M1 = 22 000 10 097

4

10

+

.

M1 = 22 000 1 0242510

.[ ] M1 = 22 000 (1.2707)

M1 = 27 956.47

Solución:

Problema resuelto

53. El señor Martínez invirtió $22 000.00 en Banorte, por un plazo de cuatro años, con un interés de 9.7% capitalizable trimestralmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.

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21

e

eee

= +

= −= −=

10 22

61

1 03667 11 2412 10 2

6

6

.

( . ).. 4412

24 12e anual= . %

Es lo mismo invertir al 22% capitalizable bimestralmente que al 24.12% con capitalización anual.

Solución:

Problema resuelto

54. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestral-mente.

Datos

P0 = 103.9 millones de habitantes

k = 1.3% anual

t = 8 años

Incógnita P

Sustituyendo valores

P = P0e kt

P = 103.9 [e (0.013)(8)]

Aplicando logaritmos a los dos lados de la igualdad

P P e

P e

P e

P e

P

P anti

k t

ln ln 103.9

ln ln 103.9 ( 0.013 )( 8 ) ln ( )

ln 4.643428898 0.104 (ln )

ln 4.643428898 0.104 (1)

ln 4.747428898

0

( 0.013 )( 8 )

[ ][ ]

=

=

= += += +=

P = 115.287 millones de habitantes

Solución:

Problema resuelto

55. Crecimiento de población

El crecimiento de la población en la República Mexicana en el año 2005 es de aproximadamente 103.9 millones de habitantes, la tasa de crecimiento promedio 1.3% anual. Determinar la población esperada para el año 2013.

Se sabe que el comportamiento del crecimiento de una población es aproximadamente exponencial, a partir de lo anterior resolver el problema utilizando la siguiente expresión:

P = P0ekt

En donde:

Literal Significado

P Número de habitantes de los esperados para un determinado año.

P0

Número de habitantes en el año de referencia o base.

k Tasa de crecimiento promedio anual.

t Tiempo transcurrido.

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22

Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1

a)

Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

Calcular el porcentaje de una cantidad. =

×16 1 500.00

100x 1 500 × 16 SHIFT % 240.00

=24 000.00

100x 1 500 × 16 2da. = = 240.00

x = $ .240 00 1 500 × 16 % 240.00

b)

Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

Calcular el porcentaje a que le corresponde una

parte de la cantidad.=

1660

2 880x 1 660 ÷ 2 880 SHIFT % 57.64

=1660.00

2 880.00x 1 660 ÷ 2 880 2da. = 57.64

x = 0 576. 1 660 ÷ 2 880 % = 57.64

x = 57 64. %

Solución:

Problema resuelto

Con calculadora

56. a) Calcular 16% de $1 500.00

b) Encontrar qué porcentaje es $1 660.00 de $2 880.00

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23Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

1.1 a) 26 = c) (x + 4)3 =

b) 134 = d ) (3x + a)n =

1.2 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de cálculo:

a) (53) = c) (36) =

b) (144) = d ) (56.253) =

1.3 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de cálculo:

a) (44)(43) = c) (82)(83) =

b) (3.53)(52) = d ) (8.133)(2.252) =

1.4 a) [(3)(4)]2 =

b) [(7)(5)]4 =

c) [(3x + n)(x + m)]4 =

1.5 a) 3

5

4

=

b) 5.56.35

2

=

1.6 a) z7/6 = c) (3x + 4ab)2/7 =

b) 2ab4x2/3 = d ) 8x1/3 =

1.7 a) 473 = c) 4 725ax =

b) 1

4210 = d ) − =103

1.8 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de cálculo:

a) 163 = c) 855 =

b) 161/6 = d ) 361/4 =

1.9 a) 4 6 2 9− = c) 5 21 9 6 2 7− + =

b) 8 25 5 7− = d ) 5 36 4 10 3 10− + =

1.10 a) 6 7( ) = c) 125 273 3( ) = b) 5 72( ) = d ) 3 77 393 3( ) =

1.11 a) 34

9= c)

44

19

3

3=

b) 8

13= d )

46

5

5

5=

Potencia de un monomio:

1.12 a) −( ) =5 4 3 2x a b

b) −

=

3

2

2

3

3ya b

x

c) 6 4 3 2a x( ) =

Realiza producto de potencia de igual base:

1.13 a) (3)2(3)2 =

b) (2)4(2)3 =

c) (-5)3(-5)2 =

Eleva la potencia a otra potencia:

1.14 a) (x2)4 =

b) [(-13)]4 =

c) [(-xa)2]4 =

Realiza el producto elevándolo a una potencia:

1.15 a) (3xy)4 =

b) -2(3ax)4 =

c) (-xab)4 =

1.16 a) (-xab)3 =

b) xy

2

3

=

c) xab45

2

=

Eleva el cociente a una potencia n:

1.17 a) x

ay

=

4

b) ax

x−

=

2

5

1.18 a) 4

3xb

y

=

b) −

=3

2x

ab

Realiza el cociente de dos potencias de igual base con ex­ponente diferente:

1.19 a) 16

256

2

5

abx

x=

b) 27

3

4

2

ax

x=

c) 5

5

6

4 2

ax

x( )=

UNIDAD 1Problemas para resolver

Page 37: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

24

Problemas para resolverUNIDAD 1

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

1.20 a) 256

16

6 2 6

2 2

a b x

a x=

b) 64

8

4 6 5

2 3

a b x

a x=

Exponente cero y negativo:

1.21 a) (4ax)0 =

b) a x

ax

3 2

2=

1.22 a) ( )

( )( )

4

4 4

2ax

ax ax=

b) 24

16

2 6

6c

ax

ax

=

c) ( )( )

( )

4 25

5

6

3 2

ab x

x=

Exponente fraccionario:

1.23 a) 162

3( ) =

b) 93

6( ) =

c) 23

7

7

3xa b =

1.24 a) 35

4ab mn( ) =

b) 7 33

4

4

3a x y =

c) 5

72 3

6

5m n x =

Simplifica los siguientes radicales:

1.25 a) 27 6 43 a bx =

b) 3 813 =

1.26 a) 1

3108 4x( ) =

b) 2 32 33a x =

c) ax

a b x5

108 4 2( ) =Introduce el coeficiente dentro del radical:

1.27 a) ax a2 2 =

b) 3a ax =

c) 4 3mx am =

1.28. a) x xy2 23 =

b) 4 24ax b =

Realiza la suma de radicales semejantes:

1.29 a) 2 32 2ax ax+ =

b) 4 32 2 2 2x ax x ax− =

1.30 a) x

mnx

mn5

2

535 35( ) ( )( ) + ( ) =

b) 4 33 8 33 7 334 4mn x mn x mn x− + =

Realiza la multiplicación de radicales semejantes con el mis­mo índice:

1.31 a) 2 6 34 4 4a ax ax x ax( )( ) −( ) = b) 2 823 3 3m amx m bmnx( ) − ( ) =

1.32 a) 2 33 2 3 2 3ax mxy x y bx x( )( ) ( ) ( ) =

b) −( )( ) =3 3

3

22 4 34 4 24

ax axx

xy ax a

Realiza la división de radicales del mismo índice:

1.33 a) 48

3

33

2 33

x

x y

( )( )

=

b) ( ) ( )( )8 1 1

4 1

x a a

a

− +

+( ) =

Potenciación de radicales

1.34 a) 7 2 342

a x( ) =

b) 7 3 232

a x( ) =

1.35 a) 5 22 2 332

x a y( )( ) =

b) a

y2

4 32

( )

=

Realiza la radicación de radicales:

1.36 a) a3 =

b) 625 =

c) 7293 =

Resuelve las ecuaciones exponenciales

1.37 a) (1 + x)12 = b) 700(1 + x)12 =

Page 38: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

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25Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

c) 1 500(1 + x)12 = d ) ( )

.

1 1

0 3

6+ −=

x

Completa los cuadros de acuerdo con lo solicitado en el encabezado del cuadro:

1.38

Logaritmo Cifra Operación Característica Mantisa

a) log 9 =

b) log 10 =

c) log 12 =

Operaciones con logaritmo base 10

Realiza el producto:

1.39 a) log (5 × 7) =

b) log (12 × 27) =

c) log (55 × 9) =

Encuentra el cociente:

1.40 a) log( 66 )( 94 )

=

b) log(122 )( 324 )

=

c) log( 7422 )( 6534 )

=

Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­tencia:

1.41 a) log 235 =

b) log 323 =

c) log 1203 =

Obtén el logaritmo del radical

1.42 a) log 81 =

b) log 853 =

Realiza las siguientes operaciones con logaritmo de base (las respuestas tienen: de base 10)

Encuentra el producto:

1.43 a) log (25.55 × 39.29) =

b) log (720 × 24.10) =

Obtén el cociente:

1.44 a) log( 2022 )( 3.41)

=

b) log( 32 )(1.24 )

=

Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­tencia:

1.45 a) log 235.2335 =

b) log 59.323 =

Obtén el logaritmo del radical:

1.46 a) log 81.47 =

b) log 235.853 =

c) log 4532.814 =

Encuentra el antilogaritmo:

1.47

Antilogaritmo

a) antilog (0.95424)

b) antilog (1.0000)

c) antilog (1.07918)

1.48

Antilogaritmo

a) antilog (1.62324)

b) antilog (2.17609)

c) antilog (1.44715)

Logaritmos naturales

Encuentra el logaritmo:

1.49 a) ln 28 =

b) ln 42 =

1.50 a) ln 250 =

b) ln 420 =

Operaciones con logaritmos naturales

Realiza las siguientes operaciones:

1.51 a) ln (5) + ln (7) =

b) ln (12) + ln (27) =

1.52 a) 5(ln (123)) =

b) 3(ln (32)) =

c) 3(ln (120)) =

Page 39: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

26Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

1.53 a) ln 812

=

b) ln 853

=

c) ln 281

4=

1.54 Redondea a cuatro cifras significativas:

a) 0.4118235

b) 4.8794854

c) 2.4822016

1.55 Redondea a cuatro cifras significativas:

a) 0.5158618

b) 9.677712

c) 0.4467823

1.56 Expresa las siguientes cantidades en notación cien-tífica:

Respuesta

Número Notación científica Con calculadora

a) 1 033 756

b) 0.0133756

c) 0.000018739

d ) 0.00035

Resuelve los siguientes problemas de porcentaje:

1.57 a) Obtener 16.75% de 2 600

b) Obtener 20% de 5 400

1.58 ¿Qué porcentaje de

a) 900 es 250?

b) 4 427 es 777.50?

1.59 a) ¿De qué número es 480 el 15%?

b) ¿De qué número es 4 427.50 el 16%?

c) ¿De qué número es 14 542.50 el 18.9%?

UNIDAD 1 Problemas para resolver

PROBLEMAS RETO

a) El año pasado, el señor Orozco recibía un salario de $9 500 mensuales; en este año, con la revisión salarial, tiene un pago de $10 600 mensuales. ¿De cuánto es el aumento salarial?

b) En el reparto de utilidades de una empresa, el señor Pedro Martínez recibió $12 800 y Rosa María Juárez $14 981. ¿De cuánto es la diferencia del reparto de utilidades de Pedro y Rosa María, expresado en %?

a) Se representa de la siguiente forma: 7/100, expresándolo en tanto por ciento es 7%, represéntalo en una figura.

b) Se representa de la siguiente forma: 4/80, expresándolo en tanto por ciento es 5%, representa en una figura el 5%.

a) El 1/8% de 46 es:

Utilizando la calculadora

a) Calcular 12% de $1 500.00.

Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

1500 × 12 SHIFT %1500 × 12 2da. = =1500 × 12 %

b) Encontrar qué porcentaje es $660.00 de $880.00.

Teclas en la calculadora Resultado en pantalla

660 ÷ 880 SHIFT %660 ÷ 880 2da. = =660 ÷ 880 %

1

2

3

4

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UNIDAD 2

Series y sucesiones

OBJETIVOS

Identificar las progresiones, aprender a encontrar los elementos de la progresión utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.

Aprender a encontrar los elementos de la serie aritmética utilizando fórmula, la suma de los elementos que la forman y calcular el número de elementos de las progresiones aritméticas.

Identificar las progresiones geométricas, aprender a encontrar los elementos de la progresión utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.

Aprender a encontrar los elementos de la progresión geométrica utilizando fórmula, la suma de los elementos que la forman y calcular el número de elementos.

¿QUÉ SABES?

Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema

Encuentra los 3 primeros términos y el décimo de: an n

5n n

2

a = .

Obtén la suma de los 3 primeros términos de la progresión: an = 5n - 6.

Determina los 3 primeros términos de la sucesión aritmética: an = 5n + 6.

Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 6, n = 9 y d = 3.

Halla la suma de los primeros 14 términos de la sucesión aritmética 25, 31, 37,…

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28

Series y sucesionesUNIDAD 2 Encuentra el noveno término de una sucesión geométrica: 9, 45, 225,…

Determina el valor del sexto término de la progresión geométrica: 2.5, (2.5)4,…

Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica: 9, 45, 225,...

Halla el décimo sexto término y la suma de los 17 primeros términos, si la razón es dos y el primer término es 18.

2.1 Introducción

Las series y sucesiones son una herramienta matemática básica que permite deducir algunas fórmulas que se utilizan en el aprendizaje de la matemática financiera, computación, economía, finanzas e inge-niería. Las sucesiones en matemática financiera se usan para resolver problemas de interés compuesto, de anualidades, la amortización de un crédito, las compras a plazos, etcétera.

2.2 Sucesiones o progresión aritmética

Definición

Una progresión es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de una regla; a cada número se le llama término de la sucesión y se denota con an, en donde n indica la posición del término.

a1, a2, a3, …, an

Toda progresión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos.

Problema resuelto

1. a) Las ventas anuales de los últimos 5 años de una tienda de abarrotes (en miles de pesos): 130.25, 195.38, 312.68, 437.72 en donde el primer término es 130.25 y el último 437.72.

b) La inflación anual en un país de Latinoamérica (en %): 3.2, 4.5, 4.8, 5.3, 6.7, 7.3,…

Problema resuelto

2. a) Encuentra los primeros 4 términos de la fórmula an = 3n - 1:

an = 3n - 1

a1 = 3(1) - 1 = 2

a2 = 3(2) - 1 = 5

a3 = 3(3) - 1 = 8

a4 = 3(4) - 1 = 11

b) Encuentra los primeros 3 términos:

an = 4n + 3

a1 = 4(1) + 3 = 7

a2 = 4(2) + 3 = 11

a3 = 4(3) + 3 = 15

Los ejemplos anteriores son de progresiones donde los términos no tienen relación alguna.

Con frecuencia las sucesiones se designan mediante fórmulas, por ejemplo:

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29

Una serie es la suma de los términos de una progresión y se simboliza con Sn. Si n es un número entero positivo y la sucesión a1, a2, a3, …, an; se tiene:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an

La sucesión aritmética se forma sumando al primer término una cantidad constante conocida como diferencia común para obtener el segundo término y así sucesivamente.

Término a1 4 4 + d = 4 + 4 = 8 a2 8 8 + d = 8 + 4 = 12 a3 12

Alerta

Problema resuelto

3. a) Encuentra la suma de los 3 primeros términos de la progresión:

an = 3n - 9

a1 = 3(1) - 9 = -6

a2 = 3(2) - 9 = -3

a3 = 3(3) - 9 = 0

S3 = -6 - 3 + 0 = -9

b) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la progresión:

an = 3n + (2)n + 1

a1 = 3(1) + (2)1 + 1 = 7

a2 = 3(2) + (2)2 + 1 = 14

a3 = 3(3) + (2)3 + 1 = 25

a4 = 3(4) + (2)4 + 1 = 44

S4 = 7 + 14 + 25 + 44

S4 = 90

c) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la sucesión:

an = 3n + (-1)n + 1

a1 = 3(1) + (-1)1 + 1 = 4

a2 = 3(2) + (-1)2 + 1 = 5

a3 = 3(3) + (-1)3 + 1 = 10

a4 = 3(4) + (-1)4 + 1 = 11

S4 = 30

c) Escribe los primeros 4 términos:

an

n

a

a

a

a

n =−+

=−+

=

=−+

=

=−+

=

=

1

1

1 1

1 20

2 1

2 2

1

4

3 1

3 2

2

5

1

2

3

4

44 1

4 2

3

6

−+

=

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30

Series y sucesionesUNIDAD 2

2.3 Progresiones aritméticas

Las progresiones aritméticas se construyen considerando 2 números consecutivos cualesquiera, sepa-rados por una diferencia fija también conocida como diferencia común (d ), por ejemplo: el litro de gasolina aumenta 8 centavos el segundo sábado de cada mes, con esta información puedes conocer su precio en un mes cualesquiera, teniendo en cuenta el costo del mes anterior más el valor constante de 8 centavos.

Considera la siguiente progresión aritmética cuyo primer término es a1 y su diferencia común es d: a1, (a1 + d ), (a1 + 2d ), (a1 + 3d ),…

El conjunto 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57 es una progresión, si observas con atención los elementos del conjunto, te darás cuenta de que existe una regla para conocer el elemento siguiente. Analiza cómo aplica esta regla, si al primer elemento (29) le sumas 4 unidades, entonces el segundo elemento (29 + 4 = 33), para conocer el tercer elemento suma al segundo 4 unidades (33 + 4 = 37) y así sucesiva-mente. La sucesión aritmética 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32,…, cuya regla indica que después del primer término, el precedente se obtiene restando 3 unidades al antecedente, por lo tanto, la diferencia común es de 3 unidades.

an = an - 1 + d

Problemas resueltos

5. Encuentra la diferencia común en la serie aritmética:

a) 11, 21, 31, 41,… d = 10 b) 17, 21, 25,… d = 4

c) 41, 49, 57,…, d = 8 d ) 63, 69, 75, 81,…, 111 d = 6

6. Escribe los 2 siguientes términos de la serie aritmética:

a) 43, 51, 59, … c) 34, 41, 48, …

R. 43, 51, 59, 67, 75, … R. 34, 41, 48, 55, 62, …

b) 115, 100, 85, … d ) 534, 549, 564, …

R. 115, 100, 85, 70, 55, … R. 534, 549, 564, 579, 594, …

Problema resuelto

4. Escribe los 4 primeros términos de la progresión definida recursivamente, comenzando con:

a) a1 = 0 an = an - 1 + 1.5

El primer término: a1 = 0

El segundo término: a2 = a2 - 1 + 1.5 = a1 + 1.5 = 0 + 1.5 = 1.5

El tercer término: a3 = a3 - 1 + 1.5 = a2 + 1.5 = 1.5 + 1.5 = 3

El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 1.5 = a3 + 1.5 = 3 + 1.5 = 4.5

b) a1 = 3 an = an - 1 + 3(n - 1)

El primer término: a1 = 3

El segundo término: a2 = a2 - 1 + 3(2 - 1) = a1 + 3(2 - 1) = 3 + 3 = 6

El tercer término: a3 = a3 - 1 + 3(3 - 1) = a2 + 3(2) = 6 + 6 = 12

El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 3(4 - 1) = a3 + 3(3) = 12 + 9 = 21

c) a1 = 2 an = n

2(a1 + an - 1)

El primer término: a1 = 2

El segundo término: a2 = 2

2(2 + a2 - 1) = 1(2 + a1) = 1(2 + 2) = 4

El tercer término: a3 = 3

2(2 + a3 - 1) =

3

2(2 + a2) =

3

2(2 + 4) =

18

2 = 9

El cuarto término: a4 = 4

2(2 + a4 - 1) = 2(2 + a3) = 2(2 + 9) = 22

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31

Problema resuelto 9. a) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 10, 15, 20, … , 135?

Primer paso, se encuentra la diferencia común:

d = 15 - 10 = 5

Segundo paso, se despeja a n de la fórmula:

an = a1 + (n - 1)d

Tercer paso

na a

d

n

n

n

n

n

n=−

+

=−

+

=−

+

= +

= +

1 1

135 10

51

135 10

51

125

51

25 1

== 26

na a

d

n

n

n

n

n

n=−

+

=−

+

=−

+

= +

= +

1 1

135 10

51

135 10

51

125

51

25 1

== 26

7. Encuentra los 3 primeros y el octavo términos:

a) b)

an

a

a

a

n = +

= + = =

= + =

= + = =

12

11

2

3

211

2

12

22

13

2

5

221

2

1

2

3

an

a

a

a

n n=

= =

= =

= = =

2

1

2

1

2

2

2

3

2

3

2

1

2

1

2

2

21

3

2

9

811

8

a8 18

2

10

25= + = =

a8

2

8

8

2

64

256

1

4= = =

Problema resuelto 8. Las compras de materia prima para un taller de camisetas en los últimos 7 meses es el siguiente:

43 680, 44 930, 46 180, 47 430, 48 680, 49 930, 51 180 pesos.

Mes Término Compras ($)

Primero a1

43 680

Segundo a2

44 930

Tercero a3

46 180

Cuarto a4

47 430

Quinto a5

48 680

Sexto a6

49 930

Séptimo a7

51 180

La diferencia común es: d = 44 930 - 43 680 = $1 250.

Si a1 es el primer término de una sucesión aritmética, d la diferencia común y n el total de términos.

Entonces se genera la siguiente sucesión:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, … , a1 + (n - 2)d, a1 + (n - 1)d

Siendo el último término de la sucesión aritmética el siguiente:

an = a1 + (n - 1)d

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32

Series y sucesionesUNIDAD 2

La suma de una progresión aritmética se realiza sumando los términos y se simboliza con Sn , en donde n es el número de términos de la sucesión.

Sea la sucesión a1, a2, a3, a4, … , an, n es un número entero positivo y d la diferencia común, se tiene:

S a a a a

S a

S a d

S a d

S a d

n n= + + + +

=

= +

= +

= +

1 2 3

1 1

2 1

3 1

4 1

2

3

Entonces:

Sn = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) … (an - 2d ) + (an - d ) + an (1)

Reacomodando los términos en orden inverso se tiene:

Sn = an + (an - d ) + (an - 2d ) … (a1 + 2d ) + (a1 + d ) + a1 (2)

Sumando las expresiones 1 y 2:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ··· + (a1 + an) + (a1 + an)

2Sn = n(a1 + an)

Despejando a Sn se obtiene:

Sna an n= +

2 1( )

AlertaLa sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada factor común.Términoa1 2 (2)(r) = (2)(4) = 8a2 8 (8)(r) = (8)(4) = 32a3 32

b) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética -11, -7, -3, … , 33?

Primer paso, se encuentra la diferencia común:

d = -7 - (-11) = -7 + 11 = 4

Segundo paso, encontrar el total de términos:

na a

d

n

n

n

n

n

n=−

+

=− −

+

=+

+

= +

= +

1 1

33 11

41

33 11

41

44

41

11 1

( )

== 12

Problema resuelto

10. a) Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética 13, 20, 27, …

Primer paso, encuentra la diferencia común:

d = 20 - 13 = 7

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33

2.4 Progresiones geométricas

La sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior en la sucesión por una cantidad constante llamada factor común (r).

an = an - 1(r)

Por ejemplo, la progresión 3, 6, 18, 54, 162 es geométrica, porque la regla dice que después del pri-mer término, el siguiente se obtiene multiplicando por tres al antecedente y así sucesivamente.

Problema resuelto

11.

a) Término Razón r = 4 b) Término Razón 1

2==r

a1

2 a1

6

a2

2r = 2(4) = 8 a2

6 61

23r =

=

a3

8r = 8(4) = 32 a3

3 31

2

3

21

1

2r =

= =

a4

32r = 32(4) = 128 a4

3

2

3

2

1

2

3

4r =

=

Segundo paso, encuentra el décimo término:

a

a

a

a

10

10

10

10

13 10 1 7

13 9 7

13 63

76

= + −

= +

= +

=

( )( )

( )( )

Tercer paso, encuentra la suma:

S

S

S

10

10

10

10

213 76

5 89

445

=

+

=

=

( )

( )

b) Encuentra la suma de los primeros 30 términos de la sucesión aritmética 3, 10, 17, …

Primer paso, encuentra la diferencia común:

d = 10 - 3 = 7

Segundo paso, encuentra el término 30:

a

a

a

a

30

30

30

30

3 30 1 7

3 29 7

3 203

206

= + −

= +

= +

=

( )( )

( )( )

Tercer paso, encuentra la suma:

S

S

S

302

( 3 206 )

15( 209 )

3135

30

30

30

=

+

=

=

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34

Series y sucesionesUNIDAD 2En una sucesión geométrica la razón común se encuentra dividiendo un término entre el término an-terior:

ra

an

n

=−1

Problema resuelto

13. a) Encuentra el sexto término de una progresión geométrica: 28, 84, 252,…

Primero se calcula la razón:

ra

a

r

n

n

=

= =

−1

84

283

Después se encuentra el sexto término:

a a r

a

a

a

a

nn

28( 3 )

28( 3 )

28( 243 )

6 804

11

66 1

65

6

6

=

=

=

=

=

b) Encuentra el séptimo término de una progresión geométrica: 6, 24, 96,…

Primero se calcula la razón:

r = =24

64

Problema resuelto

12. De las siguientes progresiones geométricas encuentra la razón.

a) 12, 48, 192,… b) 1, 3, 9, 27,…

ra

a

r

n

n

=

= =

−1

48

124

ra

a

r

n

n

=

= =

−1

3

13

Para saber cómo encontrar el n-ésimo término de una progresión geométrica es necesario analizar el siguiente desarrollo:

Sea a1, a2, a3, … , an una sucesión geométrica, con a1 ≠ 0 y r ≠ 0:

a a

a a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

1 1

2 1

3 2 1 12

4 3 12

1

=

=

= = =

= = =

( )

( ) 33

11

� �

a a rnn= −

AlertaTodo número real al multiplicarse por cero da como resultado cero a(0) = 0.

La división entre cero no está permitida (a/0).

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35

Propiedades de los logaritmos

■ loga (p)n = n [loga (p)]

■ loga (AB) = loga (A) + loga (B)

Para conocer el número de términos de una progresión se despeja la literal n de la siguiente expresión:

log log ( 1) log

log log ( 1) log

1log log

log

log log

log1

11

1

1

1

1

a a r

a a n r

a a n r

na a

r

na a

r

nn

n

n

n

n

=

= + −

− = −

− =−

=−

+

Después se encuentra el séptimo término:

a a r

a

a

a

a

nn=

=

=

=

=

11

77 1

76

7

7

6 3

6 3

6 729

4374

( )

( )

( )

c) Encuentra el décimo término de una progresión geométrica:

1

16

1

8

1

4, , ,...-

Primero se calcula la razón:

r =

= − = −

18116

16

82

Después se encuentra el décimo término:

a a r

a

a

a

nn=

= −

= −

= −

11

1010 1

109

10

1

162

1

162

1

1651

( )

( )

( 22

512

16

32

10

10

)

a

a

= −

= −

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36

Series y sucesionesUNIDAD 2

La serie geométrica es la suma de términos de una sucesión geométrica. Para calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica, es necesario deducir una fórmula.

Sea la progresión geométrica a1, a2, a3, … , an y “r” la razón de cambio.

S a a a a

S a

S a r

S a r

S a r

n n= + + + +

=

=

=

=

1 2 3

1 1

2 1

3 12

4 13

� �

Entonces:

S a a r a r a r a r a rnn n= + + + + + +− −

1 1 12

13

12

11� (1)

Multiplicando por r a la ecuación (1):

rS a r a r a r a r a r a rnn n= + + + + + +−

1 12

13

14

11

1� (2)

Realizando la diferencia de la ecuación (1) y (2):

S rS a a r

S r a r

n nn

nn

− = −

− = −

1 1

11 1( ) ( )

Despejando Sn:

Sa r

rrn

n(1 )

1; si 11=

−−

Problema resuelto

14. Encuentra el número de términos de las progresiones geométricas:

a) b)

a r an1 141

2

3

4= = =, ,

a r an1 12

3

4

3

8= = =, ,

log loglog

11na a

rn=−

+

log loglog

11na a

rn=−

+

log 3 4 log 14log 1 2

1n =−

+

log 3 8 log 12log 3 4

1n =−

+

log 0.75 log 14log 0.5

1n =−

+

log 0.375 log 12log 0.75

1n =−

+

n =

− −−

+0 12493 1 14612

0 301021

. .

. n =

− −−

+0 425968 1 079181

0 1249381

. .

.

n =

−−

+1 27105

0 301021

.

. n =

−−

+1 505149

0 1249381

.

.

n

n

= +

=

4 22 1

5

.

n

n

= +

=

12 05 1

13

.

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37

Problema resuelto

15. a) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica:

2, 6, 18, 54, …

Sa r

r

S

S

S

S

n

n(1 )

1

2(1 3 )1 3

2(1 59049)1 3

1180962

59048

1

10

10

10

10

10

=−−

=−−

=−−

=−

=

b) La progresión geométrica tiene 6 términos, el primero es 18 y el último 3/8 y la razón es 1/2. Calcula la suma de los 6 términos.

Datos: a1 = 18, a6 = 9

16 y r = 1/2.

Solución:

S

a r

rn

n

=−

−1 1

1

( )

S

S

S

S

S

S

S

18 1 (1 2 )

1 (1 2 )

18(1 1 64 )1 (1 2 )

18( 63 64 )1 2

1134 641 2

2(1134 )64

226864

35.4375

6

6

6

6

6

6

6

6

=− −

=−

=

=

=

=

=

c) Calcula la suma de los primeros 12 términos, si se conocen los siguientes datos: a2 = 7/4, a5 = 14.

Solución:

Se sabe que: a2 = a1r = 7/4 y a5 = a1r4 = 14 despejando de la primera expresión a1 y sustituyén-

dola en la segunda se tiene:

a

r1

7

4=

a

rr547

414=

=( )

r

74

( ) 143 =

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38

Series y sucesionesUNIDAD 2

2.5 Aplicaciones

Problemas resueltos16. El valor de una computadora en el mes de diciembre de cada año es 70% de su valor que en el mes

de enero del mismo año. Si la computadora costó 14 000 pesos, encuentra el valor final después de 4 años.

Datos: a1 = 14 000, r = 0.70 y n = 4.

a a r

a

a

a

a

nn( )

14 000( 0.70 )

14000( 0.70 )

14000( 0.343 )

$4802

11

44 1

43

4

4

=

=

=

=

=

17. Supón que el euro aumenta de precio a $0.0383 por día, hoy se cotiza en 16.7361 pesos a la venta. ¿En cuántos días alcanzará la cotización de 17.4512 pesos?

na a

d

n

n

n

n

n 1

17.4512 16.73610.0383

1

0.71510.0383

1

18.67 1

19.67 días

1=−

+

=−

+

= +

= +

=

AlertaLa inflación, el desempleo, entre otros, son factores que influyen para que una moneda, de un país, pierda su poder adquisitivo (adquirir bienes y servicios) al paso del tiempo.

r 3 14 4

7=

( )

r 3 56

78= =

r = 2

d ) Encuentra la suma de los 12 primeros términos:

S

a r

rn

n

=−

−1 1

1

( )

S r

S

S

S

S

74

1 2

1 2

78(1 2 )

1

7( 4 095 )8

286658

3583.125

12

12

12

12

12

12

12

[ ]=

=−

=−−

=

=

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39

18. En qué porcentaje disminuye el poder adquisitivo del peso en el transcurso de 3 años, si la infla-ción es de 3.5% anual.

En el primer año:

a a a

a a

a

1

1

1

0 035

1 0 035

0 965

= −

= −

=

. ( )

( . )

. pesos

En el segundo año:

a a

a a

a

2

2

2

1 0 035

0 965 0 965

0 9312

= −

=

=

( . )

( . )( . )

. pesos

En el tercer año:

a a

a a

a

3

32

3

1 0 035

0 965 0 965

0 8986

= −

=

=

( . )

( . ) ( . )

. pesos

Problema resuelto

19. El corporativo K-VISTA está formado por 20 mini-autoservicios y 4 papelerías, el corporativo tiene 8 años de antigüedad, el año pasado tuvo utilidades de 20 millones de pesos y en el primer año de 6.7 millones de pesos.

a) Calcula la tasa de incremento anual de las utilidades, partiendo de que el incremento tiene un comportamiento geométrico.

Año Utilidad

Primero U1

Segundo U2 = U

1 + U

1(r) = U

1(1 + r)

Tercero U3 = U

1(1 + r)2

Cuarto U4 = U

1(1 + r)3

. . .. . .

n-ésimo Un = U

1(1 + r)n - 1

U U r

r

r

nn= +

= +

= +

11

8 1

7

1

20 6 7 1

20

6 71

2 985074

( )

. ( )

.( )

.77 1

1 1690975 1

0 1690975

= +

= −

=

r

r

r

.

.

El incremento es de 16.91% anual.

AlertaGanancia o utilidad es el beneficio que se obtiene de la diferencia del precio de compra y de venta de un producto o servicio (sin considerar el IVA) en actividades comerciales.

Problema resuelto

20. El señor Pedro Juárez pidió prestados 15 000 pesos en el banco Axtek, acordando pagar 200 pesos al final de cada mes y pagar 28% de interés anual, sobre el saldo no pagado. Calcular la suma del interés no pagado.

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40

Series y sucesionesUNIDAD 2

❚ Fórmulas empleadas en el capítulo

Sucesión o progresión a1, a

2, a

3, … , a

n

Serie Sn = a

1 + a

2 + a

3 + … + a

n

Sucesión aritméticaa

n = a

n - 1 + d

an = a

1 + (n - 1)d

Diferencia común da a

nn=−

−1

1

Número de términos en sucesión aritmética na a

dn=−

+1 1

Serie aritmética Sna an n= +

2 1( )

Sucesión geométricaa

n = a

n - 1(r)

an = a

1rn - 1

Razón común ra

an

n

=−1

Número de términos sucesión geométrica =−

+log log

log11n

a a

rn

Serie geométrica Sa r

rrn

n( 1 )

1; si 11=

−−

❚ Terminología

Diferencia común d

Número de términos n

Razón común r

Serie aritmética y geométrica Sn

Término de la sucesión an

La posición del término n

Datos:

Tasa de interés 28% anual o 0.0233 mensual

Total de pagos mensuales 15000200

75= =

Solución:

Pago 1 2 3 75

Saldo 15 000.00 14 800.00 14 600.00 … 200.00

Interés 349.50 344.84 340.18 … 4.66

S

752

(349.5 4.66)75 = +

S

26562275 =

S75 = 13 281 pesos

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41

❚ Glosario

Bien. Cualquier objeto o servicio capaz de satisfacer una necesidad.

Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También, conjunto de bienes y servicios adquiri-dos en el acto de compra.

Costo. Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes o servicios. Precio o gasto de elabo-ración de un producto.

Cotización. Precio al que se puede efectuar en un mercado determinado de compra o venta de un bien, valor o divisa. También se aplica al precio al que compradores y vendedores están dispues-tos a cerrar operaciones, pero que no es necesariamente el precio al que realmente se cierra.

Divisa. Término que engloba la moneda de curso legal de terceros países, medios de pago y activos financieros denominados en moneda extranjera, e ingresos en monedas extranjeras originados por transacciones en el exterior.

Ganancia. Beneficio, lucro o provecho que se obtiene de la relación de un trabajo o actividad. En las actividades comerciales es el beneficio obtenido como diferencia del precio de compra de un producto y el precio de venta.

Inflación. Elevación general del nivel de precios que normalmente es medida con el índice de precios al consumidor.

Materias primas. Es un subgrupo del Plan General de Contabilidad que reconoce los elementos natu-rales, no elaborados, que se incorporan al inicio del proceso de producción para ser elaborados o transformados en productos fabricados o terminados.

Poder adquisitivo. Volumen de bienes y servicios a los que puede acceder, por término medio, una persona o grupo de personas dado su nivel de renta.

Razón. Es el resultado de la comparación entre dos cantidades; razón directa o inversa.

Renta. Cantidad que una persona denominada rentista tiene derecho a percibir periódicamente duran-te un periodo limitado (renta temporal) o durante toda su vida (renta vitalicia). Utilidad, beneficio o incremento de riqueza que una persona física o jurídica percibe en un periodo en forma de retribuciones del trabajo o rendimientos del capital o de la tierra.

Serie. Es la suma de los términos de una sucesión.

Serie aritmética. Se forma realizando la suma de los términos de la sucesión aritmética, se simboliza con Sn , en donde n es el número de términos de la sucesión aritmética.

Serie geométrica. Es la suma de términos de una sucesión geométrica.

Servicio. Acción o efecto de servir.

Sucesión. Es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de una regla; a cada número se le llama término de la sucesión.

Sucesión aritmética. Se forma sumando al primer término una cantidad constante conocida como diferencia común para obtener el segundo término y así sucesivamente.

Sucesión geométrica. Se forma multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada factor común.

Término. Cada una de las cantidades que componen un polinomio, razón, quebrado, entre otros.

Utilidad. Satisfacción que proporciona al usuario el empleo de un bien. En países latinoamericanos, beneficio o ganancia.

Valor. De un número cualesquiera sin tener en cuenta su signo. Cualidad de las cosas en virtud de la cual se da por poseerlas cierta suma de dinero o equivalente.

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42

Problemas para resolverUNIDAD 2

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

d ) La diferencia entre los términos décimo y vigésimo se-gundo en la progresión aritmética es 120, el cuarto tér-mino es -2. Encuentra los 4 primeros términos.

2.8 a) Encuentra el último término de la sucesión aritméti-ca si: a1 = 4, n = 8 y d = 4.

b) Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 7, n = 18 y d = 3.

2.9 a) ¿De cuántos términos estará formada la sucesión 3, 6, 9, … , 51?

b) Se desea conocer el número de términos de la sucesión aritmética: 19, 30, 41, … , 338, cuya diferencia común es 11.

2.10 ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la progresión aritmética, si el cuarto término es 21 y el octavo es -3?

2.11 Encuentra la suma de los primeros 20 términos de la sucesión aritmética: 19, 26, 33, …

2.12 Encuentra el primer término de una sucesión aritméti-ca cuya suma de 25 términos es 3 200, si el último término es 224.

Progresiones geométricas

2.13 a) Encuentra el noveno término de una sucesión geométrica: 12, 48, 192,…

b) Encuentra el décimo segundo término de una sucesión geométrica: 7, 14,…

c) Encuentra el quinto y el décimo término de la progresión geométrica: 3, -1, …

2.14 a) Encuentra el valor del sexto término de la progre-sión geométrica: 9, 45, 225, …

b) Encuentra el valor del sexto término de la progresión geométrica: 1.5, (1.5)4, …

c) Encuentra el valor del sexto término de la progresión geométrica: 7, 21, 63, …

2.15 a) Encuentra el número de términos de la progresión geométrica, conociendo: a1 = 12, r = 3/4, an = 3/8.

b) Encuentra el número de términos de la progresión geo-métrica: 17, 34, 68, … , 34 816.

c) Encuentra el número de términos de la progresión geo-métrica, conociendo: a1 = 8, an = 17 496 y r = 3.

2.16 El décimo y vigésimo términos de una progresión geométrica son: a10 = 1/128 y a26 = 512. Encuentra los pri-meros 4 términos.

2.17 a) Encuentra el décimo término y la suma de los 12 primeros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.

b) Determina la suma de los 15 primeros términos de la pro-gresión geométrica, si el tercero y el quinto son 12 y 48.

c) Encuentra el décimo término y la suma de los 16 prime-ros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.

Series y sucesiones

2.1 a) Encuentra los primeros 3 términos de la siguiente progresión: an = 2n + 3.

b) Escribe los primeros 3 términos y el vigésimo primero de la progresión definida por:

an

nn =− 2

2.2 a) Escribe los primeros 3 términos y el vigésimo prime-ro de la progresión definida por:

an

nn =−+

2 2

1

b) Escribe los primeros 3 términos de la progresión dada por: an = 10n2 - 3n.

2.3 a) Escribe los primeros 2 términos de la progresión dada por: an = 2 log n2.

b) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones y encuentra sus resultados:

y = 4x + 3, si x toma valores 1, 2, 3.

c) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones

y encuentra sus mx

x=

−+

1

1, si x toma valores 1, 2, 3, 4.

Progresiones aritméticas

2.4 Encuentra los valores que faltan en las sucesiones:

a) 5, ____, 11, 14, ____, 20, 23,…

b) 3, ____, 12, 24, ____, 96, 192,…

c) 15, 21, ____, 33, 39, 45, ____, 57, 63,…

2.5 Encuentra la diferencia común de las siguientes series aritméticas:

a) 7, 9, 11, … d =

b) 28, 24, 20, 16, 12, … d =

c) 155, 170, 185, … d =

2.6 Encuentra la diferencia común de las siguientes series aritméticas:

a) 10, 16, 22, 28, 34, … d =

b) 50, 45, 40, 35, 30, … d =

c) 42, 50, 58, 66, 74, … d =

2.7 a) Encuentra el décimo cuarto término de la progre-sión aritmética, siendo el primer término -3 y la diferencia común es 18.

b) Obtén el valor de x en la progresión aritmética: -3, x, 15,…

c) Encuentra el vigésimo término de la serie aritmética: -4, 16,…

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43Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

2.20 El bufete de abogados AK compró una aspiradora in-dustrial que les costó 8 500 pesos, la Secretaría de Hacienda solo les reconoce una depreciación por año de 75%, valor al principio de cada año. Calcula el valor de la aspiradora después de 10 años.

2.21 ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la progresión aritmética si el cuarto término es 21 y el octavo es -3?

Aplicaciones

2.18 La señora Josefina pide prestados 2 500 pesos y acep-ta pagar 100 pesos al final de cada mes y 12% anual de interés sobre el saldo. Calcula la suma de todo el interés pagado.

2.19 Un activo cuesta 20 000 pesos y la depreciación por año se estima en 50%. ¿Cuál es el valor del activo después de cinco años?

PROBLEMAS RETO

Encuentra los valores que faltan en las siguientes sucesiones:

a) 5, ______, 11, 14, ______, 20, 23

b) 3, ______, 12, 24, ______, 96

Sustituye cada uno de los valores de x en las siguientes expresiones y encuentra sus resul-tados:

a) y = 4x + 3, si x toma los valores de: 1, 2, 3 R. ______, ______, ______.

b) mx

x=

−+

1

1, si x toma los valores de: 1, 2, 3, 4 R ______, ______, ______, ______.

Encuentra la diferencia común de las siguientes sucesiones:

a) 4 430, 4 680, 4 930 d = ______.

b) 70, 110, 150 d = ______.

Escribe en la línea (F ) si el enunciado es falso o (V ) si es verdadero.

a) a3 representa el décimo tercer término de una sucesión. ___________ .

b) El subíndice n indica el término de una sucesión. ___________ .

c) El sexto término de la sucesión aritmética 3, 7, 11, … es 25. ___________ .

Las siguientes sucesiones son geométricas:

a) 3, 6, 12, 36, 108 Sí ___________ . No ___________ .

b) 18, 21, 25, 30 Sí ___________ . No ___________ .

Escribe los 4 primeros términos de la sucesión:

an

nn =− 2

Encuentra los 3 primeros términos de la sucesión: an = n(n - 4).

El primer término es 10 y el vigésimo primero 210, encuentra la diferencia común...

1

2

3

4

5

6

7

8

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44

Series y sucesionesUNIDAD 2¿De cuántos términos estará formada la sucesión: 3, 14, 25, … , 201?

Encuentra el último término de la sucesión aritmética: 10, 16, 22, … La sucesión está forma-da por 20 términos.

Se desea conocer el número de términos de la sucesión aritmética: 42, 51, 60, … , 168, cuya diferencia común es 9.

Supón que la udi aumenta de precio en 0.000132 por día, el día de hoy la udi se cotiza en 3.690061. ¿En cuántos días alcanzará la cotización de 3.692569?

Encuentra el número de términos de la sucesión: 17, 34, 68, … , 1 088.

Encuentra el número de términos de la sucesión: 9, 45, 225, … , 3 515 625. … .

La suma de los 12 primeros términos de una sucesión geométrica es: 531 440, la razón es 3, encuentra el primer término.

9

10

11

12

13

14

15

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UNIDAD 3

Interés simple

OBJETIVOS

Comprenderá el concepto de Interés simple y aprenderá a aplicarlo. Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado,

ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tipo de interés. Resolverá problemas de: • Interéssimple • Monto • Capitalyvalorpresente • Plazo • Tasadeinterésytipodeinterés Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: descuento simple, valor descontado,

pagaré, tasa de rendimiento. Resolverá problemas de: • Descuentosimple • Valordescontado • Tasaderendimiento

¿QUÉ SABES?

Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema

¿Qué interés simple produce un capital de $15 600.00, a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 11.9% anual?

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46

Interés simpleUNIDAD 3 Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $25 350.00 a 9.52%

en 240 días.

El dueño de la tlapalería del pueblo recibe un préstamo de $18 650.00 a dos años. Si la tasa de interés es de 1.5% trimestral, ¿cuánto pagará dentro de dos años?

Un banco entrega al licenciado Aldama la cantidad $1 255 000.00 por un préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%, ¿cuál es el capital inicial del préstamo?

Una deuda de $7 545.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque cuyo importe es de $8 800.00. Si la tasa de interés simple es de 11.75%, ¿cuánto tiempo estuvo prestado?

Sedescuentaunpréstamode$150000.00aunplazode91días,conunatasade descuento de 13% anual. Calcular:

a) ¿Decuántoeseldescuentoalmomentoderecibirelpréstamo?

b) ¿Qué cantidad recibe?

Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor de $368 056.00, con una tasa de descuento de 13% anual. Si la fecha de vencimiento es el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía?

LaseñoraMendozasolicitaunpréstamoporunadeterminadacantidaddedinero.Elplazoesdesietemesesylatasadedescuentode12%.Calcularlatasa mensual de rendimiento.

ElarquitectoRodríguezrecibelacantidadde$80500.00porunpréstamoapagar en ocho meses, con una tasa de descuento de 15% anual. ¿Qué cantidad de dinero se debe solicitar prestada?

ElseñorMartínezfirmóunpagaréelunodediciembredelañopasadoporla cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de descuento?

ElseñorMartínezfirmóunpagaréelunodediciembredelañopasadoporla cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial 18%, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?

3.1 Introducción

El interés simple se utiliza generalmente en el cálculo de operaciones financieras en préstamos de dinero a corto plazo (de un año o menos).

Definición

El interés es el pago por el uso del dinero ajeno que se hace durante un periodo determinado y se representa con la letra I.

También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma producti-va, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias.

Los prestamistas en la Edad Media cobraban a los particulares intereses hasta de 42% anual, y en operaciones comerciales el interés variaba desde 12 hasta 20% anual. En la actualidad la mayoría de los países establecen mecanismos de regulación o leyes que prohíben la usura.

A toda cantidad de dinero prestada o invertida se le conoce como capital, siendo esta una operación financiera que en el transcurso del tiempo se incrementa a un valor M.

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47

Se usarán los siguientes conceptos con la siguiente nomenclatura:

C = Capital, principal o valor presente de M, o valor presente de M, o la ganancia

M = Monto, o cantidad, o valor futuro de C, o valor acumulado de C, o valor pagadero de C

n = Tiempo

El interés se obtiene de restar al monto del capital el capital prestado inicialmente, entonces se utiliza la expresión:

I = M - C 3.1

Otra forma de calcular el interés simple cuando no se conoce el valor futuro del préstamo.

I = CnT 3.2

El interés simple, en una operación financiera pactada a un año, se obtiene al multiplicar el capital por la tasa de interés dividida entre 100 .

=

I CnT

100 3.3

T = tasa de interés o tipo de interés en tanto por ciento (T = 16% anual).

i = tasa de interés o tipo de interés en tanto por uno (i = 0.16 anual).

=iT

100 3.4

Cuando se desea calcular el interés con base en una unidad monetaria.

I = Cni 3.5

La tasa de interés simple aplica desde la fecha de inicio hasta la fecha final. Esto quiere decir que los intereses se pagan hasta el final del periodo (en la fecha final).

La tasa de interés se calcula como la razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo n (debe estar en años).

iICn

= 3.6

El plazo o tiempo es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre la fecha inicial y la fecha final en una operación financiera.

Cuando el tiempo está dado en días se calcula.

El interés simple exacto o real:

a) Año calendario en tiempo exacto es 365 días.

=

I CT n

100 365 3.7

Las instituciones financieras calculan los intereses de las tarjetas de crédito y débito, con base en el año real o exacto.

b) Año bisiesto en tiempo exacto es 366 días.

=

I CT n

100 366 3.7a

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48

Interés simpleUNIDAD 3El interés simple ordinario:

a) Año comercial en tiempo real es 360 días.

=

I CT n

100 360 3.7b

El año comercial está constituido por 12 meses y cada mes del año tiene 30 días, entonces el año comercial está formado por 360 días. Con este año las instituciones financieras acostumbran calcular los intereses.

Cuando el tiempo está en meses:

=

I CT n

100 12 3.7c

Interés simple tomando como base en días y la tasa al tanto por uno (expresada en forma men-sual).

=ICni30

3.7d

El primer banco moderno se funda en 1407 en Génova, Italia. El nombre de este banco es la “Casa de San Giorgio”.

a) El interés se obtiene sustituyendo el valor del capital y el monto en la ecuación 3.1.

Datos: Desarrollo:

C = $20 000.00 I = M - C

M = $22 348.00 I = 22 348.00 - 20 000.00

n = Un año I = $2 348.00

Incógnita I.

b) La tasa de interés

Incógnita i.

iICn

234820000

0.1174 anual= = =

c) El tipo de interés

Incógnita T.

T = (0.1174)(100)

T = 11.74% anual

Solución

Problema resuelto

1. El ingeniero Juan López abrió una cuenta de inversión en el banco al depositar $20 000.00, des-pués de un año recibe $22 348.00 por su inversión. Calcular:

a) El interés

b) La tasa de interés

c) El tipo de interés

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49

Datos: Desarrollo:

C = $2 100.00

I = $350.00 iICn

350.002100.00 ( 6 )

0.02777 anual= = =

n = 6 años

Incógnita T. T = 2.77% anual

Solución

Problema resuelto

2. ¿A qué tasa de interés simple se acumularán intereses de $350.00 por $2 100.00 a seis años?

Incógnita I

Datos: Desarrollo:

C = $219 850.00 I = Cni

T = 13.5% anual I = 219 850.00(2)(0.135)

i = 0.135 anual I = $59 359.50

n = 2 años

AlertaEn ocasiones se acostumbra expresar la tasa de interés en porcentaje sin indicar el periodo, en este caso se debe entender que el periodo es de un año o que la tasa es anual, ejemplo: tasa de 8%.

Solución

Problema resuelto

3. La doctora Martínez compra un automóvil y pacta pagarlo en dos años, a una tasa de interés de 13.5%. El automóvil cuesta $219 850.00. Determinar el interés simple a pagar por la doctora Mar-tínez.

Datos: Desarrollo:

C = $7 400.00 I = C(T/100)(n/360)

T = 4% anual I = 7 400.00(0.04)(90/360)

n = 90 días I = $74.00

Incógnita I

Solución

Problema resuelto

4. Un banco paga 4% anual en sus cuentas de inversión inmediata, los intereses simples se abonan trimestralmente. ¿Cuánto se recibirá de intereses por los primeros 90 días, si el depósito fue de $7 400.00?

Datos: Desarrollo:

C = $46 400.00 I = C(T/100)(n/52)

T = 5% anual I = 46 400(0.05)(13/52)

n = 13 semanas I = $580.00

Incógnita I

Solución

Problema resuelto

5. ¿Qué interés simple produce un capital de $46 400.00, a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 5% anual?

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50

Interés simpleUNIDAD 3

El interés simple se clasifica:

Interés simple

Ordinario o Comercial (Io)el año es de 360 días

Exacto o Real (Ie)el año es de 365 días

Tiempo exacto Tiempo aproximado Tiempo exacto Tiempo aproximado

Figura 3.1

Primer paso:

Datos: Desarrollo:

C = $1.00 I = C(T/100)(n) T = 4.8% anual I = (1)(0.048)(1) n = 1 año I = $0.048 en un año Incógnita I

Segundo paso:

Datos Desarrollo:

C = $1.00 I = C(T/100)(n ) T = 0.15% semanal I = (1)(0.0015)(1) n = 1 semana I = $0.0015 en una semana Incógnita I I = (1)(0.0015)(52) = $0.078 en un año

Lo más recomendable es invertir a 0.15% semanal.

Solución

Problema resuelto

6. Prestar un capital a 4.8% simple anual es más redituable que invertirlo a 0.15% simple semanal.

Las instituciones financieras y comerciales calculan las tasas de interés sumando puntos porcentuales a las tasas de referencia en la mayor parte de los casos.

Tasa de interés (T) = 18.75 + 15.65 = 34.40% anual

Solución

Problema resuelto

8. La tasa de interés aplicable a las personas que compran a crédito en “Puerto de Veracruz, S.A.” es la tiie de 18.75% anual más 15.65 puntos porcentuales. Encontrar la tasa de interés aplicable.

Incógnita I

Datos Desarrollo

C = $30 000.00 I = Cni T = 26.5% anual I = 30 000.00(1)(0.265) i = 0.265 anual I = $7 950.00 n = 1 año

AlertaLas tasas de interés, cuando se pide dinero prestado, son altas, por ejemplo: en créditos hipotecarios entre 10 y 14%, en préstamos personales entre 24 y 29%, con tarjetas de crédito entre 40 y 70%.

Solución

Problema resuelto

7. La licenciada Adriana recibió un préstamo personal de una institución financiera por $30 000.00 y acuerda pagarlo en un año, a una tasa de interés de 26.5%. Determinar el interés simple a pagar por la licenciada Adriana.

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51

❚ 3.1.1 Tiempo exacto

El tiempo exacto se refiere a los días que tiene cada mes del año.

Cuadro 3.1 Días de los meses del año (Tiempo real)

Mes del año Días

Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre 31

Abril, Junio, Septiembre, Noviembre 30

Febrero 28

Febrero (año bisiesto) 29

Existen dos métodos para calcular el número de días exactos:

1) Contar el día inicial para el pago de intereses y no contar el día final. Este caso se emplea en Eu-ropa.

El uno de marzo se depositan $2 000.00 en su cuenta de inversión, y el día 28 de marzo lo retira.

■ Desde el uno de marzo genera intereses hasta el día 27 de marzo.

■ El día 28 no genera intereses.

1 2 3 . . . 26 27Hoy

Marzo

Día inicialC

Día del pago finalM

Figura 3.2

2) No contar el día inicial para el pago de intereses y sí contar el día final. Este caso es el utilizado en México.

El día 28 de marzo se depositan $6 500.00 en una cuenta de ahorros, y se retiran el 20 de abril.

■ El día 28 no genera intereses.

■ A partir del día 29 marzo hasta el 20 de abril inclusive genera intereses.

29 30 (Marzo) . . . 18 19Hoy 20 (Abril)

Día inicialC

Día del pago finalM

Figura 3.3

❚ 3.1.2 Tiempo aproximado

Es el periodo en el que se considera el mes de 30 días, este caso corresponde al año comercial.

Cuadro 3.2 Días de los meses del año (Tiempo aproximado)

Mes del año Días

Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre 30

Abril, Junio, Septiembre, Noviembre 30

Febrero 30

Febrero (año bisiesto) 30

Interés real o exacto:

=IeCni365

3.8

Interés comercial u ordinario:

=IoCni360

3.9

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52

Interés simpleUNIDAD 3Relación del Interés Comercial u Ordinario (Io) y el Interés Real o Exacto (Ie).

El interés exacto es menor que el interés ordinario

Ie = 0.9863 Io 3.10

El interés ordinario es mayor que el interés exacto

Io = 1.0139 Ie 3.11

De las ecuaciones 3.10 y 3.11 se observa que el interés ordinario siempre es mayor que el interés exacto (Io > Ie).

=IeIo

0.9863 3.12

a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.

Año comercial 360 días

Tiempo exacto, el mes tiene 31 días.

Io = 10 600(0.06)(31/360) = $54.76

b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.

Año comercial 360 días

Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días.

Io = 10 600(0.06)(30/360) = $53.00

c) Interés simple, real y tiempo exacto.

Año real 365 días

Tiempo exacto, el mes tiene 31 días.

Ie = 10 600(0.06)(31/365) = $54.02

d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.

Año real 365 días

Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días.

Ie = 10 600(0.06)(30/365) = $52.27

Solución

Problema resuelto

9. ¿Qué interés produce un capital de $10 600.00 a 6% durante el mes de marzo?

a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.

Año comercial 360 días

Tiempo exacto es 325 días.

Io = 20 000(0.085)(325/360) = $1 534.72

b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.

Año comercial 360 días

Tiempo aproximado es 320 días.

Io = 20 000(0.085)(320/360) = $1 511.11

Solución:

Problema resuelto

10. Una persona invierte $20 000.00 desde el 17 de mayo de 2013 hasta el 9 de abril de 2014, a 8.5% de interés simple. ¿Cuál es el interés ganado?

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53

3.2 Cálculo del monto

El monto o valor futuro del capital se obtiene de la suma del capital más el interés simple ganado. El monto se simboliza por la letra M.

Hoy un año

C M = C + 1Tasa de interés anual (T )

Figura 3.4 Diagrama valor-tiempo para determinar el valor del monto al final del plazo.

M = C + I 3.13

M = C (1 + ni ) 3.14

Datos Desarrollo

C = $35 042.00 Ie = Cn(i/365) T = 24.32% Ie = 35 042.00(0.2432)(154/365) n = 154 días Ie = $3 595.67 Incógnita Ie

AlertaSi el tiempo de un préstamo está dado en días, se necesita convertir la tasa de interés simple anual a una tasa de interés por día.

Solución

Problema resuelto

11. Calcular el interés exacto que se paga por un préstamo de $35 042.00 al 24.32% durante 154 días.

c) Interés simple, real y tiempo exacto.

Año real 365 días

Tiempo exacto es 325 días.

Ie = 20 000(0.085)(325/365) = $1 513.69

d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.

Año real 365 días

Tiempo aproximado es 320 días.

Ie = 20 000.00(0.085)(320/365) = $1 490.41

Datos Desarrollo

C = $4 150.00 M = C(1 + ni ) T = 26% anual M = 4 150.00[1 + (0.26)(2)] i = 0.26 M = 4 150.00(1.52) n = 2 años M = $6 308 Incógnita M

AlertaForma de agrupar los meses del año:

Bimestre = 2 mesesTrimestre = 3 mesesCuatrimestre = 4 mesesSemestre = 6 mesesUn año = 12 meses

Solución

Problema resuelto

12. Calcular el monto de un préstamo de $4 150.00 a 26% de interés simple, durante dos años.

Problema resuelto

13. El profesor Álvaro Fernández Aguilera consigue un préstamo de $18 000.00 a dos años, para com-prar una computadora, la tasa de interés simple es de 4% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 12 bimestres?

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54

Interés simpleUNIDAD 3 Datos: Desarrollo:

C = $18 000.00 M = C(1 + ni )

T = 4% bimestral M = 18 000.00[1 + (0.04)(12)]

t = 0.04 bimestral M = 18 000.00[1 + (0.48)]

n = 12 bimestres M = 18 000.00[1.48]

Incógnita M M = $26 640.00

Solución

Datos: Incógnitas:

C = $33 000.00 n

T = 3.7% anual M

1. Los días transcurridos n = 25 - 6 = 19 días

2. Monto Desarrollo

M 33000.00 10.037366

(19 )= +

M = $33 063.39

AlertaLa abreviatura A.C.; significa: Anual con capitalización.

Ejemplo:

T = 10% A.C. mensual.

Solución

Problema resuelto

14. Armando Morales depositó en su cuenta de ahorros $33 000.00 el día 6 de marzo y el día 25 de marzo lo retira, la tasa de interés simple es de 3.7% anual. Calcular el monto, considerando que el año es bisiesto.

Datos: Incógnitas:

C = $7 300.00 n

T = 26% anual M

a) Los días transcurridos

Cuadro 3.3

Mes Días

Septiembre 30 - 3 = 27

Octubre 31

Noviembre 30

Diciembre 28

Total 116

b) Monto Desarrollo

M 7300.00 10.26366

(116 )= +

M = $7 901.55

Solución

Problema resuelto

15. Calcular el monto de un préstamo de $7 300.00 a una tasa de interés simple de 26% anual, con un plazo del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año bisiesto.

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55

3.3 Valor presente o actual

Se entiende por valor presente al valor del dinero en cualquier fecha que nos convenga y se simboliza con VP. La fecha de conveniencia puede ser el día de hoy o dentro de una semana o dentro de dos meses, en un semestre, entre otros.

El valor presente de un valor futuro (M) es la cantidad de dinero invertida el día de hoy a una determi-nada tasa de interés.

Para entender estos conceptos supongamos que el día de hoy nos dan un peso, el valor de este peso recibido el día de hoy no tiene el mismo valor que dentro de un año. ¿Por qué razón no tiene el mismo valor? La respuesta es debido a la inflación y esta tiene repercusiones en la economía de las personas y de los países. El dinero por si solo tiene un poder de compra, si el día de hoy se tiene un peso y existe la inflación, el peso perderá poder de compra en una fecha futura, otra forma de explicarlo es si el peso que recibimos en una fecha futura vale menos que un peso recibido el día de hoy. Ahora analicemos el caso en que un peso es invertido durante un periodo. Si invertimos un peso el día de hoy en una insti-tución financiera, ¿cuál será el valor del dinero dentro de un año? Para poder contestar correctamente es necesario plantear tres posibles resultados:

1. Si la inflación es mayor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale menos en una fecha futura (pierde poder de compra).

2. Cuando la inflación es menor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale más en una fecha futura (gana poder de compra).

3. La cuenta de inversión es contratada en udis peso más tasa de interés más inflación, entonces el peso invertido no debe perder su valor al transcurso del tiempo, porque estas cuentas de inversión están pensadas para que el peso aumente siempre su poder adquisitivo, en otras palabras el peso nunca vale menos en el transcurso del tiempo.

AlertaNo siempre coincide el valor presente con el capital originalmente prestado, por la fecha de conveniencia.

Datos: Desarrollo:

C = $18 000.00 M = C(1 + ni )

n = 18 meses

T = 12% anual M 18000.00 1

0.1212

(18 )= +

Incógnita M M = 18 000.00[1 + (0.01)(18)]

M = $21 240.00

Solución

Problema resuelto

17. ¿Qué monto hay que pagar al Monte Pio por el empeño de una pulsera de oro de 24 quilates, la cantidad recibida por el préstamo es de $18 000.00 a 12% anual, y después de 1 año y 6 meses, recupera la pulsera?

Datos: Desarrollo:

C = $35 000.00 M = C(1 + ni )

T = 26% anual ` M = 35 000[1 + (0.26)(3)]

i = 0.26 M = 35 000[1.78]

n = 3 años M = $62 300.00

Solución

Problema resuelto

16. Calcular el monto de un préstamo que solicitó Gabriel García de $35 000.00 a 26% de interés simple, durante tres años, al banco IVURSA.

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56

Interés simpleUNIDAD 3

Para interpretar el resultado anterior y el concepto de valor presente se plantean tres casos:

1. El día de hoy, los $38 000.00 son equivalentes a $40 533.30 dentro de un año, por haber sido invertidos a una tasa de interés simple de 8% anual.

2. El señor Godínez deberá de pagar $40 533.30, que son el monto o valor futuro de $38 000.00 del préstamo.

3. Los $38 000.00 del préstamo son el valor presente o actual de los $40 533.30 a pagar por el señor Godínez en un futuro.

Para calcular el valor presente, se requiere despejar a C de la ecuación 3.14, obteniéndose:

=+

CMni1

3.15

o también

C = M(1 + ni )-1 3.16

M = 38 000.00[1 + (0.08/12)(10)] = $40 533.30.

Solución

Problema resuelto

18. El señor Alfonso Godínez es el dueño de una tienda y solicita un préstamo a una institución de crédito. El día de hoy recibe $38 000.00 a pagarse dentro de 10 meses con una tasa de interés simple de 8% anual. ¿Cuál es el valor futuro (M) del préstamo?

Datos:

M = $38 000.00 Hoy 10 meses

VP = ? M = 38 000.00T = 8%

T = 8% anual

n = 10 meses VP = 38 000.00[1 + (0.08)(10/12)]-1

Incógnita VP VP = $35 625.00

Solución

Problema resuelto

19. Encontrar el valor presente de $38 000.00, pagaderos a 10 meses, con tasa de interés simple de 8%.

Datos: Desarrollo:

M = $500 000.00 C = 500 000.00[1+ (16)(0.0123)]-1

T = 1.23% trimestral C = 500 000.00(0.78125)

n = 16 trimestres C = $417 780.75

Incógnita C

Hoy 4 años

C = ? M = 500 000.00T = 1.23%

Solución

Problema resuelto

20. ¿Cuánto debe invertir la contadora Axel de la Rosa el día de hoy, si la tasa de interés es de 1.23% trimestral, para disponer de $500 000.00 dentro de cuatro años?

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57

3.4 Cálculo del tiempo o plazo

Despejando n de 3.14 obtenemos:

n

MCi

1=

− 3.17

O bien

=−

nM CCi

3.18

Datos: Desarrollo:

C = $7 800.00

M = $9 500.00

T = 11.2% anual n

MCi

19500.007800.00

1

0.1121.2179 1

0.1121.946 años=

−=

−=

−=

Incógnita n

Cálculo de los meses y días

Años = 1

Meses = 1.946 - 1 = 0.946

Meses = (0.946)(12)

Solución

Problema resuelto

23. El día de hoy depositamos $7 800.00 en una cuenta de inversión. ¿En cuánto tiempo se acumula-rían $9 500.00 a una tasa de interés de 11.2%?

Datos: Desarrollo:

M = $1 850 400.00 C = 1 850 400.00 1( 0.15 )(555 )

360

1

+

T = 15% anual C = 1 850 400.00[1.23125]-1

n = 360 + 180 + 15 C = 1 850 400.00(0.81218)

n = 555 días C = $1 502 862.94

Solución

Problema resuelto

22. El Dr. Vicente Ramírez pagó $1 850 400.00, por un préstamo bancario a un año, seis meses y quin-ce días, a una tasa de 15% por la compra de un camión de transporte de personal. Encontrar el capital inicial del préstamo.

Datos: Desarrollo:

M = $23 500 C = 23 500.00[1+ (24)(0.08)]-1

T = 0.8% bimestral C = 23 500.00[2.92]-1

n = 24 bimestres C = $8 047.94

Solución

Problema resuelto

21. ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Porto el día de hoy, a una tasa de 0.8% simple bimestral para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años?

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58

Interés simpleUNIDAD 3 Meses = 11.352

Días = 11.352 - 11

Días = (0.352)(30)

Días = 10.55

Como la tasa está dada en forma anual, el periodo también es anual, entonces el resultado está expre-sado en años.

n = 1 año 11 meses 10 días

Datos: Desarrollo:

C = $18 700.00

M = $25 000.00

T = 4.5% anual n

MCi

125000.0018700.00

1

0.0451.336898 1

0.0457.48663 años=

−=

−=

−=

n = 7 años 5 meses 25 días

Solución

Problema resuelto

24. ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $25 000.00, si el capital invertido es de $18 700.00 a una tasa de 4.5% anual?

Datos: Desarrollo:

C = $4 800.00

M = $7 550.00

T = 3.5% anual n

MCi

175504800

1

0.0351.57292 1

0.03516.369 años=

−=

−=

−=

Incógnita n n = 16 años 4 meses 13 días

Solución

Problema resuelto

25. ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $7 550.00, si el capital invertido es de $4 800.00 a una tasa de 3.5% anual?

Datos: Desarrollo:

C = $18 000.00

M = $20 500.00

T = 23.75% anual n

MCi

120 500.0018 000.00

1

0.23751.13888 1

0.23750.5848 años=

−=

−=

−=

Incógnita n n = 7 meses 1 día

Solución

Problema resuelto

26. Una deuda de $18 000.00 se liquidó el 19 de noviembre con un cheque cuyo importe es de $20 500.00, y la tasa de interés aplicada de 23.75%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado el dinero?

Problema resuelto

27. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se triplique si la tasa de interés es de 10.5% anual?

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59

3.5 Descuento simple

Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad C, se extiende un pagaré que es una promesa de pago, el cual ampara una cantidad de dinero con o sin interés, en una fecha determinada por el deudor y el acreedor o dueño del documento, este documento se suscribe a favor del acreedor.

El descuento a los documentos se puede realizar de dos maneras: el llamado descuento comercial o bancario y el descuento real o justo.

El descuento comercial o bancario o simplemente descuento, consiste en cobrar el interés en el mo-mento en que se realiza el préstamo; en otras palabras, se cobran los intereses por anticipado y no hasta la fecha de vencimiento. Este se calcula considerando el valor final del documento (valor futuro del capital).

Descuento (D )

Es la cantidad descontada, en un periodo (n), con una tasa de descuento simple (d ) de una cantidad de dinero solicitado. El monto o valor final del documento, es la cantidad solicitada en el préstamo, pero esta nunca se recibe.

D = Mnd 3.19

Como el capital inicial es C, entonces el monto al final del plazo es el doble de C (M = 3C).

M = C(1 + ni )

3C = C(1 + ni )

CC

ni3

1= +

3 = 1 + ni

3 - 1 = ni

i

n2

=

n2

0.10519 años= =

Solución

Datos: Desarrollo:

M = $4 800.00 D = Mnd = 4 800.00(7)(0.12/12) = $336.00

n = 7 meses

d = 12% anual

d = 0.12/12 = 0.01

Incógnita D

Solución

Problema resuelto

28. ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $4 800.00, a un plazo de siete meses, con una tasa de descuento simple de 12% anual?

Problema resuelto

29. ¿Cuál es el descuento que hace Bansureste a un préstamo de $29 500.00, a un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual?

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60

Interés simpleUNIDAD 3

3.6 Valor descontado o ganancia

Cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo, después de haber descontado anticipa-damente los intereses del monto, también se le conoce como valor efectivo o líquido o actual, y se calcula como:

C = M - D 3.20

C = M(1 - nd ) 3.21

Datos: Desarrollo:

M = $29 000.00 D = Mnd = 29 500.00(18)(0.24/12) = $10 620.00

n = 18 meses

d = 24% anual

d = 0.02 mensual

Incógnita D

Solución

Datos: Desarrollo:

M = $5 500.00 D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00

n = 165 días

T = 24% anual (es 24% de descuento bancario)

Incógnita D

Solución

Problema resuelto

30. Un banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular el descuento que aplica el banco al señor Cabrera.

Datos: Desarrollo:

M = $3 000.00 VP = M(1 + ni )-1 = 3 000[1 + (6)(0.01)]-1 = $2 830.19

n = 6 meses D = M - VP = 3 000 - 2 830.19 = $169.81

T = 12% anual

i = 0.01 mensual

Incógnitas VP y D

Solución

Problema resuelto

31. Calcular el valor presente de $3 000.00 a 12% de interés simple a un plazo de 6 meses. ¿Cuál es el descuento que realizó Bansureste por el préstamo?

Problema resuelto

32. El profesor Juan López solicita un préstamo a la caja de ahorro de su trabajo de $30 000.00 a un plazo de diez meses, con una tasa de descuento de 1% mensual.

a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?

b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Gómez?

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61

Datos: Desarrollo:

M = $30 000.00 D = Mnd = 30 000.00(10)(0.01) = $3 000

n = 10 meses

d = 1% mensual

Incógnitas D y C

La cantidad que recibe el profesor López es de:

C = M - D = 30 000 - 3 000 = $27 000

El profesor López recibe $27 000.00, en lugar de los $30 000.00 solicitados, pero dentro de nue-ve meses debe pagar $30 000.00, porque la caja de ahorro le aplicó el descuento comercial.

Solución

Datos: Desarrollo:

M = $6 800 000.00 D = Mnd = 6 800 000.00(3)(0.18) = $3 672 000

d = 18% anual

n = 3 años

Incógnitas D y C

La cantidad recibida por la Compañía Electrolux, S.A., es de:

C = M - D = 6 800 000 - 3 672 000 = $3 128 000

Solución

Problema resuelto

33. La Compañía Electrolux, S.A., solicita $6 800 000.00 de préstamo a Banorte, a tres años, con una tasa de descuento de 18% anual.

a) Calcular el descuento.

b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la Compañía Electrolux, S.A., por el préstamo?

Datos: Desarrollo:

M = $5 500.00 D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00

n = 165 días C = M(1 - nd ) = 5 500[1 - (0.24)(165/360)] = $4 895

T = 24 % anual (es 24% de descuento bancario)

Incógnita D

Solución

Problema resuelto

34. Un banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular la suma que recibe del banco el señor Cabrera.

Problema resuelto

35. Banejército cobra 6% de descuento bancario en préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita $60 000.00, para pagarlos con intereses en cinco años. ¿Qué cantidad debe solicitar en préstamo y cuánto paga de interés?

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62

Interés simpleUNIDAD 3

3.7 Tasa de rendimiento

En el descuento comercial, el prestamista dispone de inmediato del dinero generado por los intereses (al cobrarlos por adelantados). El deudor, al pagar por adelantado los intereses del préstamo, en rea-lidad está pagando una mayor cantidad de intereses, que la estipulada (o pactada); a esta tasa se le conoce como tasa de rendimiento (R ).

Despejando M de la ecuación 3.20 y sustituyendo el valor de D (ecuación 3.18) por el de I tenemos:

M = C + D 3.22

M = C + Cni 3.23

La tasa de descuento (d ) y una tasa de interés (i ) son equivalentes, si producen el mismo valor presente (c) para una cantidad (M) si dan como resultado la misma cantidad al pagarse en n años.

Al despejar i de la ecuación 3.23 se tiene:

=−

iM CCn

3.24

Como i = R, entonces:

=−

RM CCn

3.25

Otra forma de calcular es considerar que la tasa de descuento (d ) y la tasa de interés (i ) son equivalen-tes, se igualan las ecuaciones:

M(1 - nd ) = M(1 - nR )-1

=−

Rdnd1

3.26

Datos: Desarrollo: M = $60 000.00 M = C(1 - nd )-1 = 60 000[1 - (0.06)(5)]-1 = $85 714.28 n = 5 años I = M - C = 85 714.28 - 60 000 = $25 714.28 T = 6% anual Incógnitas C e I

Solución

a) Calculamos el monto

Datos: Desarrollo:

d = 25% anual

D = $64 120.00

n = 8 meses

MDdn

64120

0.25 8 12

641200.1666

$384720( )= = = =

b) Calculamos el valor descontado

C = M - D = 384 720 - 64 120 = $320 600

c) Se calcula el valor de la tasa de rendimiento

RM CCn

384720 320600320600 ( 8 )

641202564800

0.025=−

=−

= =

R = 2.5% mensual

Solución

Problema resuelto

36. El Banco de Centroamérica aplica un descuento de $64 120.00 a la tienda de ropa CITA, por un préstamo a ocho meses con una tasa de descuento de 25% anual, por la compra de lencería en su tienda. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?

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63

3.8 Valor de vencimiento

Cuando se desea liquidar un préstamo, es necesario sumar al capital el interés generado en el periodo, obteniendo la cantidad total a pagar o valor de vencimiento (M = C + I ).

■ Si el pagaré no genera intereses, el valor al vencimiento es el mismo que el valor nominal.

■ Cuando el pagaré genera intereses, el valor de vencimiento es el valor nominal más el interés.

VALOR DE VENCIMIENTO = VALOR NOMINAL + INTERESES

M = C + I

Datos: Desarrollo:

d = 18%

n = 9 meses R

dnd1

0.18 121 ( 0.18 12 )( 9 )

0.0150.865

0.01734=−

=−

= =

Incógnita R R = 1.73% mensual

R = 20.81% anual

Solución

Problema resuelto

39. El banco IXE cobra 18% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple le cobra el banco IXE a la señora Berenice Arámbula, por un préstamo de $4 000.00 a un plazo de nueve meses?

Datos: Desarrollo:

d = 22%

n = 6 meses 10.22 12

1 ( 0.22 12 )( 6 )0.018333

0.890.020599R

dnd

=−

=−

= =

Incógnita R R = 2.0599% mensual

R = 24.72% anual

Solución

Problema resuelto

38. El señor Jaime Moreno López solicita un préstamo por una determinada cantidad. El plazo es de seis meses y la tasa de descuento de 22%. Calcular la tasa mensual de rendimiento.

Datos: Desarrollo:

M = $35 000.00

C = $32 598.00 R

M CCn

35000 3259832598 (13 )

2402423774

0.0057=−

=−

= =

n = 13 meses R = 0.57% mensual

Incógnita R R = 6.8% anual

Solución

Problema resuelto

37. Calcular la tasa de rendimiento, si el valor descontado a los 13 meses es de $32 598.00, y el monto de $35 000.00.

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64

Interés simpleUNIDAD 3

3.9 Tasa de descuento

Las ganancias de capital se obtienen al comprar un pagaré a un valor menor y cobrarlo a futuro con su valor nominal, este tipo de operaciones es muy frecuente en valores que se venden con descuento. Entonces la diferencia que existe entre el precio de venta y el precio de cobro es la ganancia de capital.

En los pagarés que se venden a un precio inferior al que tienen a su vencimiento, el precio de venta se determina calculando la tasa de descuento.

Datos: Desarrollo:

C = $10 000.00

n = 13 meses M

Cnd1

10 0001 (13 ) ( 0.01833 )

10 0000.76166

$13 129.10=−

=−

= =

d = 22% anual

d = 0.01833 mensual

Solución

Problema resuelto

42. La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco, este le entrega la cantidad de $10 000.00, para pagar en 13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo?

Datos: Desarrollo:

C = $19 540.00

n = 6 meses MCnd1

195401 ( 6 ) ( 0.015 )

195400.91

$21472.53=−

=−

= =

d = 18% anual

d = 0.015 mensual

Solución

Problema resuelto

41. Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de 18% anual.

Datos: Desarrollo:

a) Calculamos el descuento

C = $18 679.00

n = 9 meses

DCnddn1

18679.00 9 0.01833

1 9 0.01833$3690.26

( ) ( )( )( )( )=

−=

−=

d = 22% anual

d = 0.22/12 = 0.01833

b) Calcular el valor del monto

M = C + D = 18 679.00 + 3 690.38 = $22 369.26

Solución

Problema resuelto

40. El señor José Soto descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $18 679.00, a una tasa de descuento de 22% anual, siendo el vencimiento del pagaré nueve meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento?

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65

3.10 Relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento

El descuento es:

D = Mnd 3.19

El valor descontado:

C = M - D 3.20

Sustituyendo D de 3.19 en la ecuación 3.20 obtenemos

C = M - Mnd 3.20a

Datos: Desarrollo:

C = $20 165.00 D = M - C = 23 555.00 - 20 165.00 = $3 390.00

M = $23 555.000

n = 4 meses d

DMn

3390.00( 23555.00 ) ( 4 )

3390.0094220.00

0.03598= = = =

Incógnita d d = 3.598% mensual

d = 43.18% anual

Solución

Problema resuelto

43. El dueño de la chicharronera Santa Rosa vendió al Banco del Pacífico un pagaré a cuatro meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $23 555.00 y recibió del banco la cantidad de $20 165.00. Encontrar la tasa de descuento.

Datos: Desarrollo:

C = $16 835.00 D = M - C = 18 355.00 - 16 835.00 = $1 520.00

M = $18 355.00

n = 3 meses d

DMn

1520.00(18355.00 ) ( 3 )

1520.0055065.00

0.0276= = = =

Incógnita d d = 2.76% mensual

d = 33.12% anual

Solución

Problema resuelto

45. El dueño del restaurante Toitto vendió un pagaré tres meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $18 355.00 y recibió la cantidad de $16 835.00. Encontrar la tasa de descuento.

Datos: Desarrollo:

M = $180 000.00

D = $11 240.50 d

DMn

11240.50(180000.00 ) ( 8 )

0.0078= = =

n = 8 meses d = 0.78% meses

Incógnita d d = 9.36% anual

Solución

Problema resuelto

44. El señor Luis Vega firmó un pagaré el uno de enero por la cantidad de $180 000.00, con venci-miento en agosto del mismo año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $11 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento?

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66

Interés simpleUNIDAD 3La tasa de rendimiento es:

=−

RM CCn

3.25

Sustituyendo la ecuación 3.20a en la ecuación 3.25:

( )

=− −−

RM M Mdn

M Mdn n( )( )

=−

Rddn1

3.26

Se obtiene que d y n estén expresadas en la misma unidad de tiempo, por lo que R solamente depen-de de la tasa de descuento y del tiempo que dura el préstamo.

Datos: Desarrollo:

d = 22% anual

d = 0.22/12= 0.01833 mensual R

ddn1

( 0.22 12 )1 ( 0.22 12 )(11)

=−

=−

n = 11 meses

R

( 0.01833 )1 ( 0.01833 )(11)

0.02296=−

=

R = 2.296% mensual

R = 27.55% anual

Solución

Problema resuelto

47. El banco Alajuela descuenta un pagaré de $78 000.00, con vencimiento en 11 meses y una tasa de descuento de 22%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco?

Datos: Desarrollo:

d = 20% anual

d = 0.20/12 = 0.0166 mensual R

ddn1

( 0.01666 )1 ( 0.01666 )( 9 )

0.0196=−

=−

=

n = 9 meses R = 1.96% mensual

R = 23.52% anual

Solución

Problema resuelto

46. Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo a la distribuidora de agua Cristal, a pagar en nueve meses, con una tasa de descuento de 20% anual.

Problema resuelto

48. El banco IXE-MEX ofrece $986 420.00 por una deuda de $1 000 000.00 a plazo de 91 días.

1) ¿Qué rendimiento tendrá el banco IXE-MEX:

a) con base en el descuento bancario

b) con base en el interés simple?

2) El banco IXE-MEX vendió la deuda a Nacional Financiera a 45 días y recibió $989 978.00, calcular:

c) ¿Cuál es la tasa de interés que ganó el banco?

d ) ¿Cuál es el rendimiento que tendrá el nuevo comprador con base en el descuento, hasta el final de la deuda?

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67

3.11 Plazo

Es común ofrecer un descuento a un pagaré en una fecha anterior a la de vencimiento. Cuando se decide vender el pagaré a una tercera persona se fija la cantidad deseada y se establece la tasa de descuento, entonces la pregunta que se debe hacer es: ¿en qué fecha se debe vender el documento?

=dDMn

3.27

despejando n se obtiene la ecuación de plazo:

=nDMd

3.28

Datos:

M = $1 000 000.00

C = $986 420

n = 91 días

a) D = M - C = 1 000 000 - 986 420 = $13 580

dDMn

135801000000( 91 360 )

13580252777.77

0.05372= = = =

d = 5.372%

b) iICn

13580986420( 91 360 )

13580249345.06

0.05446= = = =

d = 5.446%

c) I = M - C = 989 978 - 986 420 = $3 558

rICn

3558986420( 45 360 )

3558123302.5

0.02886= = = =

r = 2.886%

d ) dIMn

35581000000( 91 360 )

3558252777.78

0.01408= = = =

d = 1.408%

Solución

Datos: Desarrollo:

M = $90 000.00 D = M - C = 90 000.00 - 48 545 = $41 455

C = $48 545.00

d = 24% anual n

DMd

41455.0090000.00 ( 0.24 )

0.191898= = =

Plazo = 2 meses 9 días

Solución

Problema resuelto

49. La distribuidora de agua Alpina descuenta un pagaré, por el cual recibe $48 545.00, a una tasa de descuento de 24% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $90 000.00?

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68

Interés simpleUNIDAD 3

3.12 Pagaré

El pagaré o documento, es un compromiso por escrito para el pago de una determinada cantidad de dinero (la cual puede o no incluir intereses) por parte del deudor en una fecha de vencimiento deter-minada por el acreedor.

■ El deudor u otorgante es la persona que hace la promesa de pagar.

■ El acreedor o beneficiario o tenedor es la persona que cobra el pagaré.

Elementos que intervienen en un pagaré:

1. Valor nominal. Es la cantidad estipulada en el pagaré. Siempre se presenta con números y pala-bras en el documento. Existen tres casos para indicar el valor nominal:

a) Cuando en el pagaré se estipula que el capital causará intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal es el obtenido en el préstamo.

b) En caso de que en el pagaré tenga una tasa de interés cero (0%), su valor nominal es el mismo del préstamo, y corresponderá a la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento.

c) Si en el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal será el monto a pagar en la fecha de vencimiento.

2. Fecha. Es aquella fecha en la que se extiende y firma el pagaré.

3. Fecha de vencimiento. Es la fecha en que se pagará o liquidará el pagaré.

4. Plazo. Es el tiempo que transcurre entre la fecha de expedición y la fecha de vencimiento del pagaré.

5. Tasa. Es el porcentaje sobre el que se calcula el interés.

6. Valor de vencimiento o final. Es la suma de dinero que se debe de pagar (M ) en la fecha de ven-cimiento. Pueden presentarse los siguientes casos:

a) Es el valor nominal más los intereses (estos deben estar especificados en el pagaré).

0 n

Valor inicial(Nominal)

C

Valor devencimiento

M = C + IT %

Figura 3.5

Datos: Desarrollo:

M = $18 500.00

D = $4 350.00 n

DMd

435018500 ( 0.29 )

0.8108= = =

d = 29% anual n = (0.8108)(360)

n = 291.89 días = 292 días

n = 9 meses 22 días

n = 27 de septiembre del año pasado

Solución

Problema resuelto

50. Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré de $18 500.00 con vencimiento el 12 de julio del presente año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $4 350.00, con una tasa de descuento de 29% anual.

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69

Problema resuelto

51. Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a la “Compañía Sombeamex, S. A.”, el 6 de mayo de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 15%.

1. Identificar los siguientes puntos del pagaré

• En el pagaré, el señor Javier Barrera Daz es el deudor y la compañía “Sumbeamex, S. A,” es el acreedor o beneficiario.

• El valor nominal del documento es por $1 200 000.00.

• El diez de marzo de 2013 es la fecha en que fue expedido el documento, y el 18 de octubre de 2013 es la fecha de ven cimiento, el plazo es de 222 días.

2. Calcular el valor de vencimiento del pagaré

Datos: Desarrollo:

C = $1 200 000.00 I = Cni = 1 200 000.00(222)(0.28/365) = $204 361.64

n = 222 días M = C + I = 1 200 000.00 + 204 361.64 = $1 404 361.64

T = 28% anual

Incógnitas I y M

En el tercer paso se calcula el descuento y el valor descontado (valor efectivo), ya conociendo el valor de vencimiento.

Datos: Desarrollo:

M = $1 404 361.64 D = Mnd = 1 404 361.64(165)(0.15/365) = $95 227.26

d = 15% anual C = M - D = 1 404 361.64 - 95 227.26 = $1 309 134.38

n = 165 días

Incógnitas D y C

Figura 3.8

10 de marzo 18 de octubre

Valor nominalC = $1 200 000.00

Valor de vencimientoM = C + I = $1 404 361.64T = 28% anual

Valor descontado C = 1 309 134.38Descuento D = 95 227.26

6 de mayoFecha de descuento

D = 15% anual

165 días

Documento 1 de 1. No ________

México D. F. a 10 de marzo del 2013 $1 200 000.00

Por este pagaré me(nos) obligo(amos) a pagar incondicional a la orden de Compañía Sombeamex, S. A., en México D. F. el día 18 de octubre de 2013 la cantidad de: un millón doscientos mil pesos 00/100. Valor recibido a mi(nuestra) entera satisfacción en mercancía.

La suma anterior causará intereses de 28% anual hasta la fecha de vencimiento. En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos)

obliga(mos) a cubrir 48% anual por concepto de intereses moratorios, sin que por esto se entienda como prorrogado el plazo.

Nombre Javier Barrera DazDomicilio Av. Cafetales no. 56 481Colonia El Rosario.

___________________Ciudad México D. F.

Acepto(amos)C. P. 04836.

Solución

b) Cuando no se especifique ninguna tasa de interés, el valor nominal es igual al valor de venci-miento, ya que el pagaré no produce intereses (esto no es muy usual).

0 n

Valor inicial(Nominal)

C

Valor devencimiento

M = CT = 0%

Figura 3.6

c) En algunos casos al capital se le suman los intereses, dando la impresión de que el préstamo original carecería de estos. La tasa de interés no se especifica en el pagaré.

0 n

Valor inicial

C1 = C + I

Valor de vencimiento(Nominal)

M = C1

Figura 3.7

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70

Interés simpleUNIDAD 3Problema resuelto

52. Encontrar el valor descontado del pagaré del Centro Sport, S. A., del 25 de febrero de 2013, en un banco que ofrece una tasa de descuento de 20%.

En este caso no es necesario calcular el valor de vencimiento del pagaré por-que este no indica la tasa interés a pagar. Entonces se procede a calcular el descuento y el valor descontado (valor efecto), sabiendo que el valor de ven-cimiento es igual al valor nominal.

Datos: Desarrollo:

M = $2 800 000.00 D = Mnd = 2 800 000.00(131)(0.20/360) = $203 777.78

d = 20% anual C = M - D = 2 800 000.00 - 203 777.78 = $2 596 222.22

n = 131 días

Incógnitas D y C

Figura 3.9

25 de febrero 11 de diciembre

Valor inicial nominalC = $2 800 000.00

Valor de vencimientoM = C + I = $2 800 000.00

Valor descontado C = 2 596 222.22Descuento D = 203 777.78

3 de agostoFecha de descuento

d = 20% anual

131 días

Documento 1 de 1. No _______

México D. F. a 25 de febrero del 2013 $2 800 000.00

Por este pagaré me(nos) obligo(amos) a pagar incondicional, a la orden

del Centro Sport, S. A.. en Apizaco, Tlaxcala, el día 11 de diciembre de

2013, la cantidad de: dos millones ochocientos mil pesos 00/100. Valor

recibido a mi(nuestra) entera satisfacción en material.

La suma anterior causará intereses de % anual hasta la fecha de

vencimiento. En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos)

obligamos a cubrir 48% anual por concepto de intereses moratorios,

sin que por esto se entienda como prorrogado el plazo.

Nombre Remberto Jiménez Oleaga

Domicilio Calle 7 Oriente

Colonia Centro. ____________________

Ciudad Apizaco,Tlaxcala. Acepto(amos)

C. P. 08765.

Solución

Datos: Desarrollo:

C = $1 500 000.00 M = C(1 + ni ) = 1 500 000[1 + (0.24/12)(10)] = $1 800 000

n1 = 10 meses D = Mnd = 1 800 000.00(7/12)(0.24) = $252 000.00

n2 = 7 meses C = M - D = 1 800 000.00 - 252 000.00 = $1 548 000.00

T = 24% anual

Incógnita M

Figura 3.10

0 10 meses

Valor inicial

C = $1 800 000.00

Valor de vencimiento

M = C + I = $1 800 000.00T = 24% anual

Valor descontado C = 1 548 000.00Descuento D = $252 000.00

d = 24% anual

7 meses

7

Solución

Problema resuelto

53. El señor René Barbosa Hernández le firma un pagaré a la tienda Diasa, de material para construc-ción, con valor de $1 500 000.00 pagaderos a diez meses, con una tasa de interés de 24%. ¿Cuál es el valor descontado del pagaré siete meses antes de su vencimiento con la misma tasa de des-cuento?

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71

Problema resuelto

54. Del siguiente pagaré encontrar el valor de vencimiento. Si este pagaré se liquidó 12 días después de su vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar.

3.13 AplicacionesAlerta

La palabra Monte significaba banco. En 1462 nació en Perusa, Italia, el primer Monte, teniendo el nombre de Monte de Misericordia.

Datos:

C = $834 000.00 n = 316 días

d = 20% anual Incógnitas M e Im

El valor de vencimiento del pagaré es:

M 834000.00 10.20360

316 $980413.33( )= +

=

Interés moratorio: Im 980413.330.48360

12 $15686.61( )=

=

Cantidad a pagar = (capital + intereses ordinarios) + intereses moratorios

Cantidad a pagar = 980 413.33 + 15 686.61 = $996 099.94

Documento 1 de 1. No_____

México D. F. a 14 de Enero del 2013 $834 000.00Por este pagaré me(nos) obligo(amos) a pagar incondicional a la orden de Sr. Miguel Herrera Rosales en México D. F. el día 26 de Noviembre del 2013. la cantidad de: Ochocientos treinta y cuatro mil pesos 00/100. Valor recibido a mi (nuestra) entera satisfacción.

La suma anterior causará intereses al 20% anual hasta la fecha de vencimiento. En caso de que no pague(mos) puntualmente,

me(nos) obliga(mos) a cubrir el 48% anual por concepto de intereses moratorios, sin que por esto se entienda como prorrogado el plazo.

Nombre Antonio Sotelo HerreraDomicilio Av. Candelaria no. 648Colonia El Fuego Nuevo ____________________Ciudad México D. F. Acepto(amos)C. P. 04814.

Solución

M = 5 400.00[1 + (0.03)(2)] = $5 724.00

Solución

Problema resuelto

55. El día de hoy, la señora Magali acude a empeñar una Tablet marca Sell, para lo cual presenta el equipo y su factura. El valuador le ofrece un préstamo de $5 400.00. El Monte Abellaneda carga un interés mensual de 3% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar la señora Magali para recuperar su Tablet, dos meses después?

M = 2 300.00[1 + (0.018)(11)] = $2 755.40

Solución

Problema resuelto

56. El señor Armando Morales acude a empeñar una pulsera de oro. El valuador le ofrece un préstamo de $2 300.00. La casa de empeño Pesta Prend carga un interés semanal de 1.8% sobre el prés-tamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Morales para recuperar su pulsera, después de 77 días de haber realizado la operación?

Problema resuelto

57. El señor Gilberto acude al Monte Trigo el día 8 de marzo de 2014 a empeñar un refrigerador de la marca MIG, para lo cual presenta el equipo y su factura en donde indica que el valor de contado del refrigerador es de $6 799.00 y fue comprado el 20 de diciembre de 2013. El valuador le ofrece, con base en lo establecido, un tercio del valor del refrigerador (ya que tiene poco tiempo de uso y se encuentra en buenas condiciones). El monte de piedad carga un interés mensual de 2.8% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Gilberto para recuperar su refrigerador, a los 150 días de haber realizado la operación?

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72

Interés simpleUNIDAD 3

3.14 Inversión en cetes

El valor de la factura es de $6 799.00, el préstamo fue:

6 799.00/3 = $2 266.33.

M = 2 266.33[1 + (0.028)(5)] = $2 583.62

El señor Gilberto no acude el 9 de agosto de 2013 a desempeñar su refrigerador ni a pagar el refrendo. El Monte Trigo pone en remate el refrigerador y cuando este sea vendido se descuenta la cantidad prestada, los intereses más un cierto porcentaje por comisión y gastos, lo restante se le da al dueño del artículo.

La fecha de venta fue el 15 de agosto del 2014 y el precio de venta del refrigerador fue de:

$5 500.00

Menos el préstamo $2 266.00

Menos intereses generados en los 5 meses $374.24

Porcentaje por comisión y gastos 15% $339.90

La diferencia se le entrega al señor por su refrigerador $2 519.86

El señor Gilberto tiene tres meses para recoger su dinero a partir de la notificación de venta del refri-gerador.

Solución

a) Descuento (10 )( 28 )0.0435360

$0.033833=

=

b) Precio de cete = Valor nominal - Descuento

Precio de cete = 10 - 0.033833 = $9.966166

Solución

Problema resuelto

58. Calcular el descuento y precio del cete para la siguiente emisión de certificados.

Datos hipotéticos: Fecha de emisión 27 de diciembre de 2012. Fecha de vencimiento 24 de enero de 2013. Plazo 28 días Valor nominal $10.00 Tasa de descuento 4.35%

En todos los cálculos de cetes se considera el año comercial (360 días).

a) En la fecha de vencimiento el contador Benjamín Sánchez cobra la cantidad de: (10)(110 000) = $1 100 000.00

b) Su compra fue de: (110 000.00)(9.95055) = $1 094 560.50

c) Ganancia de capital = 1 100 000.00 - 1 094 560.50 = $5 439.50

Solución

Problema resuelto

59. El contador Benjamín Sánchez compra en una casa de bolsa 110 000 cetes, y pagará por cada cete la cantidad de $9.95055, a un plazo de 28 días. Calcular la utilidad de capital.

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73

3.15 Inversión en udis

Datos:

C = $950 000.00

T = 5.4% anual

n = 157 días

Valor udis 4/Ago/2013 $4.884549

Valor udis 8/Ene/2014 $5.084549

El precio de las udis el 4 de agosto se divide entre la cantidad a invertir, para saber el número de udis que se pueden adquirir con $950 000.00.

Número de950000.004.884549

194490.8322UDIS UDIS= =

Solución

Problema resuelto

61. El señor Dávila invierte el 4 de agosto de 2013 la cantidad $950 000.00 en udis. En este tipo de inversiones Bancréditos paga 5.4% de interés anual y el valor de las udis es de $4.884549.

a) Encontrar el monto acumulado al 8 de enero de 2014, si el valor de las udis es de $5.084549 (los valores de las udis son hipotéticos).

Datos:

M = $10.00 valor nominal

d = 0.048

n = 91 días

a) Valor comercial del cete

P 10.00 1 0.04891360

$9.8787( )= −

=

b) Total de certificados adquiridos:

1000000.00

9.8787101228.923 CETES=

En pesos a 91 días recibirá: 101 228.23(10.00) = $1 012 282.36

Sus utilidades sin descontar impuestos ascienden a:

1 012 289.19 - 1 000 000.00 = $12 282.36

c) Para conocer la tasa de interés anual, se despeja la tasa de la fórmula de monto de interés simple.

i

10.009.8786

1

91360

0.012280.25277

0.04858 4.858% anual=

= = =

Solución

Problema resuelto

60. El contador Tomás Rosales adquiere cetes a un plazo de 91 días, con valor nominal de $10.00 y una tasa de descuento de 4.8% anual. Encontrar el valor comercial del cete.

a) ¿A cuánto ascienden sus utilidades sin descontar impuestos, si invierte un millón de pesos?

b) ¿Cuál es la tasa de interés anual?

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74

Interés simpleUNIDAD 3Se calcula el valor del monto con la fórmula de interés simple

M C in1 194 490.83 1 0.054157360

199071.089 UDIS( ) ( )= + = +

=

Para saber el monto en pesos se multiplica el resultado anterior, por el valor de las udis el 8 de enero de 2014.

M = (199 071.089) (5.084549) = $1 012 186.71

a) Valor aforado = (1 975 194.00)(0.85) = $1 678 914.90

b) Descuento 1678914.90 550.26360

$66690.23( ) ( )=

=

c) Comisión = (1 678 914.90)(0.01) = $16 789.15

d ) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A.:

= 1 678 914.90 - 66 690.23 - 16 789.15 = $1 595 435.52

e) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A. después de cobradas las facturas:

= 1 975 194.00 - 1 678 914.90 = $296 279.10

Solución

Problema resuelto

62. Virsa casa de bordado, S. A., en estos momentos tiene un problema de liquidez y decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $1 975 194.00 y fecha de vencimiento a 55 días, a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la fábrica textil de 85%, la tasa de descuento aplicada es de 26% y le cobrará de comisión 1%.

a) Encontrar el valor aforado

b) ¿De cuánto es el descuento?

c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje?

d ) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A.?

e) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A., después de cobradas las facturas?

AlertaLa palabra factoraje proviene de factor. La palabra factor (del latín facio hacer, facere el que hace) persona que hace una cosa.

a) Valor aforado = (867 994.00)(0.90) = $781 194.60

b) Descuento ( 781194.60 )(55 )0.0485360

$5788.43=

=

Solución

Problema resuelto

63. La panificadora La Viga, S.A., decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $867 994.00 y fecha de vencimiento a 55 días a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la pani-ficadora de 90%. La tasa de descuento es igual a la tiie 4.8475% y le cobrará de comisión 0.9%.

a) Encontrar el valor aforado

b) ¿De cuánto es el descuento?

c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje?

d ) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A.?

e) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A. después de cobradas las facturas?

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75

3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor

La ecuación de valor es una igualdad, que se emplea en operaciones financieras, cuando existen dos o más transacciones diferentes y se desea cambiar una o algunas de las formas de liquidar las obliga-ciones contraídas, mediante pagos y fechas diferentes a las originales.

Para replantear las diferentes obligaciones en una ecuación de valor, en una operación única, es nece-sario trasladar todas las obligaciones originales a una sola fecha, denominada fecha focal, la cual es elegida en forma arbitraria dentro del tiempo que duran las obligaciones. En esta fecha focal todas las operaciones financieras replanteadas deben producir el mismo resultado económico y son equivalen-tes en valor a las obligaciones originales. Si la ecuación de valor equivalente está bien planteada, esta será básica para determinar cuál de las diferentes alternativas financieras es la más conveniente. Para lo cual se recomienda construir un diagrama de valor tiempo, siguiendo los pasos que a continuación se describen:

1. Trazar una línea horizontal.

2. Ubicar la fecha focal en la línea de valor-tiempo. La fecha focal está determinada en la redacción de los problemas de interés simple, ya que si se deja la alternativa a cada persona para seleccionar la fecha focal a su conveniencia, el resultado puede variar un poco.

3. En la línea de valor-tiempo, fijar las fechas de los préstamos (o deudas) y los pagos. El cero repre-senta siempre el día de hoy.

■ Las operaciones de contratación de deuda se recomienda indicarlas en la parte superior de la línea de valor-tiempo.

■ Las operaciones de pago en la parte inferior de la línea de valor-tiempo.

4. Unir con una flecha las operaciones de adeudo con la fecha focal y también las operaciones de pago.

un año

Fecha anteriorx(1 + ni)-1

Fecha posteriorx(1 + ni)1

Fecha focal(o dada)

un año

Figura 3.12

Es importante colocar las operaciones de deuda y de pago en una tabla.

Cuadro 3.4

1 2 3 4 5 6 7 8 109$4 000$8 000 x

$2 000 F. F.OPERACIONES

DEUDA PAGOS

$4 000.00 a cuatro meses a 31%.

Tres meses después $2 000.00.

Dos meses después $8 000.00.

Pago final seis meses después de la última fecha. Figura 3.13

Solución

Problema resuelto

64. Una persona firma un pagaré por $4 000.00, para ser pagados en cuatro meses a 31% anual; dos meses después contrae otra deuda por $8 000.00 para pagarla dos meses después. A los tres meses de la primera fecha ofrece pagar $2 000.00 y el resto en un solo pago final a los seis meses después de la última fecha (cuarto mes). ¿Cuál debe ser el valor del pago final, para cancelar los adeudos?

c) Comisión = (781 194.60)(0.09) = $70 307.51

d ) Cantidad que recibe la panificadora = 781 194.60 - 70 307.51 - 5 788.43 = $705 098.66

e) Cantidad que recibe la panificadora después de cobradas las facturas:

= 867 994.00 - 781 194.60 = $86 799.40

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76

Interés simpleUNIDAD 3Se debe trasladar las deudas a la fecha focal empleando la tasa de 31%, entonces la deuda de $4 000.00 debe avanzar seis meses, la deuda de $8 000.00 avanza seis meses. El pago de $2 000.00 debe avanzar del tercer mes hasta la fecha focal X. Al final todas las deudas ya tienen la misma fecha de vencimiento, se plantea la ecuación de la siguiente forma:

OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO

4000.00 1 ( 0.31)412

1 ( 0.31)612

8000.00 1 ( 0.31)212

1 ( 0.31)612

+

+

+ +

+

X2000.00 1 ( 0.31)7

12= +

+

4 000.00(1.1033)(1.155) + 8 000.00(1.05166)(1.155) = 2 000.00(1.1808) + X

5 097.24 + 9 717.34 = 2 361.66 + X

X = 14 814.58 - 2 361.66

X = $12 453.92

Cuadro 3.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9$15 000

X

F. F.XXOPERACIONES

DEUDA PAGOS

$15 000.00 en tres pagos iguales a

2% mensual.

Tres meses XSeis meses X

Nueve meses X Figura 3.14

OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO

15 000.00[1 + (0.02)(9)] = X [1 + (0.02)(3)] + X [1 + (0.02)(6)] + X [1 + (0.02)(9)]0

15 000.00[1.18] = X [1.06] + X [1.12] + X

17 700 = 3.18X

X177003.18

=

X = $5 566.03

Solución

Problema resuelto

65. El licenciado Adolfo Pérez adquirió mercancía por $15 000.00 y ofrece hacer tres pagos iguales a su acreedor. El primero dentro de tres meses, el segundo en seis meses y el último en nueve meses. Si la tasa de interés es de 2% mensual. ¿Cuál es el valor de cada uno de los tres pagos?

❚ Nomenclatura empleada

Interés simple I

Monto M

Capital C

Valor actual o presente VP

Tiempo N

Tasa de interés (al tanto por ciento) T

Tasa o tipo de interés (al tanto por uno) I

Descuento D

Descuento único Du

Precio descontado C

Interés moratorio Im

Tasa de descuento d

Tasa de rendimiento R

Valor descontado C

Valor del vencimiento M

Descuento D

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77

❚ Fórmulas utilizadas

■ Interés simple

I = M - C 3.1

I = CnT 3.2

■ Interés simple tomando como base el año comercial y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

=

I CnT

100 3.3

=iT

100 3.4

I = Cin 3.5

iICn

= 3.6

■ Interés simple tomando como base el año real y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

=

I C

T n100 365

3.7

■ Interés simple tomando como base el bisiesto y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

=

I C

T n100 366

3.7a

■ Interés simple tomando como base el comercial y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

=

I C

T n100 360

3.7b

■ Interés simple tomando como base en meses y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

=

I C

T n100 12

3.7c

■ Interés simple tomando como base en días y la tasa al tanto por uno (expresada en forma mensual).

=ICni30

3.7d

■ Relación de interés comercial y del interés real

=IeCni365

3.8

=IoCni360

3.9

Ie = 0.9863 Io 3.10

Io = 1.0139 Ie 3.11

=IeIo

0.9863 3.12

■ Monto M = C + I 3.13

M = C(1 + ni ) 3.14

■ Valor actual o presente

=+

CMni1

3.15

C = M[1 + ni]-1 3.16

■ Tiempo

n

MCi

1=

− 3.17

=−

nM CCi

3.18

■ Descuento

D = Mnd 3.19

D = M - C 3.19a

=−

DCdndn1

3.19b

■ Valor descontado

C = M - D 3.20

C = M (1 - nd ) 3.21

■ Monto

M = C + D 3.22

M = C + Cni 3.23

■ Tasa de rendimiento

=−

iM CCn

3.24

=−

RM CCn

3.25

=−

Rddn1

3.26

■ Tasa de descuento

=dDMn

3.27

■ Plazo

=nDMd

3.28

■ Tasa de interés

i

MCn

1=

− 3.29

=−

iM CCn

3.29a

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78

Interés simpleUNIDAD 3 ❚ Glosario

Acreedor. Es la persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado.

Actividad financiera. Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado.

Capital. En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (di-nero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés.

Cuentas de inversión. También conocidas como cuentas de ahorro. En estas cuentas las personas pueden hacer depósitos y retiros del capital, en cualquier momento (con tan solo solicitarlo) y los intereses son bajos.

Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También se refiere a un conjunto de bienes y servicios adquiridos en el acto de compra.

Compra a crédito. Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición, sino que en la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma de-bida. En bolsa es la adquisición de acciones financiada por medio de créditos por una autoridad bursátil.

Compra a plazos. Contrato de compraventa en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra.

Compra de contado. Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición.

Comprador. Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compraventa.

Compraventa. Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor) se obliga a entregar una cosa determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos que se revenden.

Contado. Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida monetaria en ese mismo momento.

Contrato. Negocio jurídico bilateral por el que dos o más personas físicas o jurídicas se obligan mu-tuamente a dar, hacer o no hacer algo, surgiendo entre ellas una relación obligatoria.

Crédito. Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obliga-ciones financieras.

Crédito a clientes. Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suminis-tros que reciben.

Debe. Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar un pago.

Demora. Retraso en el cumplimiento de una obligación de pago de una deuda, desde el momento en que esta venció.

Depósito a plazo. Es el dinero depositado en una cuenta bancaria por la persona o razón social; su retiro es en una sola fecha determinada, de común acuerdo por ambas partes.

Descuento. Disminución concedida por las empresas a sus clientes por diversas causas: por pronto pago, por volumen de venta, entre otros.

Descuento en precios. Reducción en el precio de venta de un producto o servicio por motivos muy diversos: campañas de promoción, ferias, rebajas estacionales, fidelidad del comprador, liquida-ción de existencias.

Descuento financiero. Operación financiera realizada por las entidades de crédito, consistente en abonar al prestatario el importe, con rebaja de intereses, de una letra de cambio u otro mercantil antes de la fecha de su vencimiento.

Descuento por pronto pago. Descuento concedido por pagar las mercancías adquiridas al contado o en un plazo menor al establecido en la transacción comercial. Se trata de un porcentaje sobre las ventas que compensan el menor riesgo de insolvencia y la inmediata obtención de liquidez por parte de la empresa. Cuando se trata de descuento sobre compras por pronto pago, se refiere a una modalidad de descuento de proveedores en el que es la empresa la que reduce la cantidad a pagar a sus proveedores por realizar el pago dentro de unos días determinados

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79

por estos. Los descuentos se registran en las cuentas de pérdidas y ganancias bajo el epígrafe ingresos financieros.

Descuento por volumen de compra. Descuento concedido a la empresa, cuando su volumen de compras con un determinado proveedor excede de una cierta cuantía en un periodo, indepen-dientemente del tamaño de los pedidos que haya ido realizando con anterioridad. Estos descuen-tos se registran en la cuenta de pérdidas y ganancias como un menor importe de la compra que los origina.

Descuento por volumen de venta. Descuento que la empresa concede a sus clientes cuando su vo-lumen de ventas con ellos en un periodo determinado supera una cierta cuantía.

Descuento sobre compras. Descuento concedido a las empresas por sus proveedores por diversas causas: volumen de compras, por pronto pago, entre otros.

Deuda. Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una obligación de pagar cierta cantidad de dinero.

Deudor. Es la persona o razón social que solicita un dinero prestado y se compromete a pagarlo pos-teriormente, extendiendo para ello un pagaré.

Dinero. Todo aquello aceptado como medio de pago o medición del valor. Las monedas y billetes de circulación son la forma final adoptadas por las economías como dinero. Es la suma de moneda circulante.

Dinero circulante. Dinero en efectivo, es decir, tesorería que la empresa en un momento determinado tiene como consecuencia de su funcionamiento. Una gestión eficiente de tesorería que maximice su rentabilidad evitando fondos ociosos, incrementará el valor de la empresa.

Dinero de plástico. Tarjetas (de crédito, débito, de prepago, etc.) que se utilizan como medio de pago sustituyendo al dinero.

Dinero en circulación. Suma del efectivo en manos del público, compuesto de billetes y moneda metálica de curso legal más los depósitos de todo tipo en el sistema bancario.

Empeñar. Entregar algo en prenda como garantía del pago de una deuda.

Empresa. Unidad económica de producción y decisión que, mediante la organización y coordinación de una serie de factores (capital y trabajo), persigue obtener un beneficio produciendo y comer-cializando productos o prestando servicios en el mercado.

Fábrica. Recinto en el que se instalan máquinas y otro tipo de equipos conjunta y ordenadamente para producción en masa de un determinado producto u objeto o para la transformación industrial de una fuente de energía.

Fabricar. Producir bienes o servicios mediante la transformación de materias primas o productos inter-medios, valiéndose de una maquinaria y organización determinadas, de unos sistemas respectivos y haciéndolo en gran volumen.

Factura. Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa, por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos persona-les de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra.

Moneda en circulación. Son las monedas constantes y sonantes (aleaciones de metales). También a los billetes se les llama papel moneda.

Rédito. Renta de un capital.

Tanto por uno. Es el rendimiento que produce una moneda.

Tasa. También llamada tipo de interés o tanto por ciento, es el rendimiento que producen 100 unida-des de moneda en una unidad de tiempo.

Tiempo. Es el número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.

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80

Interés simpleUNIDAD 3 ❚ Tipo de tasas

En el país las tasas de interés que se utilizan en las operaciones comerciales y financieras no perma-necen constantes por periodos grandes, por lo que es necesario fijar tasas de referencia. Las tasas de referencia más utilizadas son: la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), el Costo Porcentual Promedio de Capitalización (cpp), el Costo de Capitalización a Plazo (ccp) y la tasa de los Certificados de la Tesorería de la Federación (cetes).

■ Tasa de interés activas, son las tasas que los bancos cobran por los diferentes tipos de crédito a los usuarios de éstos.

■ Tasa de interés pasivas, son las tasas de interés que los bancos pagan a los ahorradores e inversionistas.

■ Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), es el punto de equilibrio entre las tasas de interés pasivas y activas; estas se obtienen a partir de la información que proporcionan diaria-mente al Banco de México (banxico) de las diferentes instituciones bancarias del país (por lo menos seis), a las 12:00 horas de la Ciudad de México.

Las tasas son precios reales que los bancos están dispuestos a pedir prestado o prestar a banxico.

Existen diferentes plazos de la tiie, el más usual es 28 días.

■ Costo Porcentual Promedio de Capitalización (cpp), mide el costo al cual se fondean los ban-cos para cubrir sus pasivos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo el día 20 de cada mes en el Diario Oficial de la Federación.

■ Costo de Capitalización a Plazo (ccp), es la estimación mensual del costo de capitalización a plazo por concepto de la tasa de interés de los pasivos a plazo en la moneda nacional a cargo de la banca múltiple y este se utiliza para la tasa de interés de créditos en pesos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo los días 21 y 25 de cada mes en el Diario Oficial de la Federación.

■ Certificados de la Tesorería de la Federación (cetes), son instrumentos financieros de inver-sión cuya tasa de interés tiene un plazo de 28, 90 o 180 días y por lo regular, dicha tasa se utiliza como tasa de referencia.

Interés

3.1 La contadora Alma invierte $5 000.00 y al término de un año recibe $5 250.00 por su inversión. Calcular:

a) El interés c) El tipo de interés

b) La tasa de interés

3.2 El señor Martínez solicitó un préstamo al issste de $18 500.00 a 9% anual durante un año. Calcular el interés simple a pagar.

3.3 ¿Cuál es la tasa de interés por un préstamo de $15 000.00 a un año, si se pagaron intereses de $1 900.00?

3.4 Un capital de $4 950 000.00 fue prestado a un fabri-cante de juguetes durante tres años, la compañía pagó un interés preferencial de $1 860 000.00. ¿Cuál fue la tasa de interés pactada?

3.5 El señor Tomás Baroja le presta a su cuñado la cantidad de $3 550.00 a una tasa de interés simple de 1.5% mensual, por 21 días. ¿Cuánto recibirá de intereses?

3.6 Si un automóvil se compra en $399 999.00 a pagarse en un año, a una tasa de interés simple de 12.4%. Calcular el interés simple y comercial correspondiente al primer mes de pago.

3.7 ¿Qué interés produce un capital de $1 500.00 a 4% du-rante el mes de marzo?

a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.

b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.

c) Interés simple, real y tiempo exacto.

d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.

Problemas para resolverUNIDAD 3

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

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81Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

Valor presente o actual

3.21 Encontrar el valor presente de $18 000.00, pagaderos a 9 meses, con tasa de interés simple de 10%.

3.22 ¿Cuál será el valor presente de $25 845.35, pagaderos a 12 meses, con tasa de interés simple de 26%?

3.23 Calcular el valor presente de $200 000.00, pagaderos a 19 meses, con tasa de interés simple de 22%.

3.24 Encontrar el valor presente de $23 480.00 de un pa-garé que vencen dentro de seis meses, si la tasa de interés simple es de 6%.

3.25 ¿Cuánto debe invertir una psicóloga el día de hoy, si la tasa de interés es de 1.75% trimestral para disponer de $450 000.00 dentro de tres años?

3.26 ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Portos, el día de hoy, para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años, a una tasa de 0.8%?

3.27 Don Jacinto pagó $1 525 300.00, por un préstamo bancario con un plazo a dos años, seis meses y 28 días, a una tasa de 17% por la compra de un camión de carga. En-contrar el capital inicial del préstamo.

3.28 Una persona compró un automóvil compacto, por el cual pagó $212 480.00 el uno de diciembre, y lo vende el 31 de agosto del año entrante en $216 500.00. ¿Es convenien-te la compra realizada si la tasa de interés que ofrece el ban-co es de 0.9% mensual?

Tiempo o plazo

3.29 El uno de septiembre se depositan $9 500.00. ¿En cuánto tiempo se acumularían $11 000.00 a una tasa de in-terés de 6%?

3.30 ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $34 500.00, si el capital invertido es de $28 800.00 a una tasa de 5.1% anual?

3.31 ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $5 740.00, si el capital invertido es de $4 287.00 a una tasa de 4.5% anual?

3.32 Una deuda de $48 000.00 se liquidó el 11 de octubre con un cheque cuyo importe es de $50 800.00, y la tasa de interés aplicada de 23.73%. ¿Cuánto tiempo estuvo presta-do el dinero?

3.33 ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se duplique si la tasa de interés es de 8.5% anual? Como el capital inicial es C; entonces el monto al final del plazo es el doble de C (M = 2C).

3.34 ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $1 500.00 alcance un monto de $3 000.00, si la tasa de interés es de 25% anual?

3.35 Encontrar el tiempo exacto y aproximado, del día 4 de mayo al 20 septiembre del mismo año.

3.8 ¿Qué interés produce un capital de $8 500.00, a 4.6% de interés simple, del 18 de mayo de 2012 al 8 de abril de 2013?

a) Interés simple, comercial y tiempo exacto.

b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado.

c) Interés simple, real y tiempo exacto.

d ) Interés simple, real y tiempo aproximado.

3.9 ¿Qué interés produce un capital de $8 500, a 16% de interés simple, del 18 de mayo de 2006 al 8 de abril de 2007?

3.10 Calcular el interés exacto si el interés ordinario es de $189.25.

Cálculo del monto

3.11 Calcular el monto de un préstamo de $3 150.00 a 16% de interés simple, durante 1.5 años.

3.12 El arquitecto Ignacio Aguilera Hernández consigue un préstamo de $9 000.00 a 15 bimestres, para comprar una computadora. La tasa de interés simple es de 2% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 15 bimestres?

3.13 El alumno Eduardo Arteaga Mora depositó en su cuen-ta de ahorros $3 000.00, lo que recibió de su beca, el día 5 de enero y el día 31 de enero lo retira para comprarse un teléfono celular. La tasa de interés simple es de 4.7% anual. Calcular el monto, considerando que el año es bisiesto.

3.14 Calcular el monto de un préstamo personal al Banco del Ejército, de $5 500.00 a una tasa de interés simple de 24% anual del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mis-mo año, considerando que el año es bisiesto.

3.15 Calcular el monto de un préstamo de $18 000.00 a 26% de interés simple, durante dos años.

3.16 ¿Qué monto hay que pagar al issste por un crédito de corto plazo de $49 000.00 pesos a 9% anual, después de 1 año y 6 meses?

3.17 Magaly recibe un préstamo de Alexa, para adquirir calzado con valor de $32 500.00, acuerda pagar la deuda cuatro meses después con una tasa de interés de 24% anual. ¿Cuánto deberá pagar Magaly después de cuatro meses?

3.18 El comunicador Jesús Miguel deposita $55 000.00 en un fondo de inversión, que da un rendimiento de 0.9% men-sual. Para comprar más equipo para su negocio, él decide retirar el depósito 28 días después. ¿Cuánto le entregarán al retirar capital e intereses?

3.19 El ingeniero Tomás Aguirre consigue un préstamo de $26 000.00 a dos años, para comprar una computadora; la tasa de interés simple es de 3% bimestral. ¿Cuánto deberá pagar dentro de dos años?

3.20 Calcular el monto acumulado al 24 de marzo de 2014, de un depósito de $22 600.00 realizado el 14 de octubre de 2013 en una cuenta que abona una tiie de 25.5% anual más 5.8 puntos porcentuales. Para dar solución al problema utili-ce el interés simple ordinario con tiempo aproximado.

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82

Problemas para resolverUNIDAD 3

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

tasa de descuento de 19% anual, por la compra de remo-delación de su despacho. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?

3.47 Calcular la tasa de rendimiento, si el valor des-contado a los 11 meses es de $22 948.00, y el monto de $24 000.00.

3.48 El abogado Amando Suárez Copel solicita un présta-mo por una determinada cantidad de dinero. El plazo es de nueve meses y la tasa de descuento de 19%. Calcular la tasa mensual de rendimiento.

3.49 El Banco IXE-MEX cobra 12% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple le cobra el Banco IXE-MEX a la señora Ana Lucía Vega, por un préstamo de $14 000.00 a un plazo de seis meses?

Valor de vencimiento

3.50 El doctor Jerry Alfaro descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $19 167.00, a una tasa de descuento de 20% anual, siendo el vencimiento del pagaré seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento?

3.51 Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de 18% anual.

3.52 Encontrar el valor de un pagaré, si ocho meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $8 450.00, a una tasa de descuento de 20% anual.

3.53 La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco, este le entrega la cantidad de $10 000.00, para pagar en 13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué can-tidad debe solicitar como préstamo?

3.54 El señor Durán solicita un préstamo al banco BANCA, este le entrega la cantidad de $20 000.00, para pagar en 12 meses, a una tasa de descuento de 23% anual. ¿Qué can-tidad debe solicitar como préstamo?

3.55 El profesor de matemáticas descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $16 766.00, a una tasa de descuento de 23% anual, siendo el vencimiento del pagaré seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento?

Tasa de descuento

3.56 El dueño de la tintorería De Héctor, vendió a un ban-co un pagaré 3 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $18 355.00 y recibió del banco la cantidad de $16 835.00. Encontrar la tasa de descuento.

3.57 El dueño de la tintorería De Héctor vendió a un ban-co un pagaré 6 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $19 355.00 y recibió del banco la cantidad de $17 855.00. Encontrar la tasa de descuento.

3.58 El señor Chavarría firmó un pagaré el uno de diciem-bre del año pasado por la cantidad de $200 000.00, con

Descuento simple

3.36 ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $3 500.00, a un plazo de seis meses, con una tasa de des-cuento simple de 20% anual?

3.37 ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un présta-mo de $19 500.00, a un plazo de 13 meses, con una tasa de descuento simple de 1.8% mensual?

3.38 ¿Cuál es el descuento que se hace en un préstamo de $8 300.00, a un plazo de ocho meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual?

3.39 ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un présta-mo de $7 500.00, a un plazo de 16 meses, con una tasa de descuento simple de 1.5% mensual?

3.40 Un banco cobra 26% de interés por adelantado al se-ñor Cabrera por un préstamo a corto plazo, de $10 000.00 del 2 de mayo al 30 de octubre del presente año. Calcular el descuento que aplica el banco al señor Cabrera.

3.41 Calcular el valor presente de $2 000.00 a 24% de inte-rés simple a un plazo de 9 meses. ¿Cuál es el descuento que realizó Invemex Banco por el préstamo?

Valor descontado o ganancia

3.42 El profesor Arriaga solicita un préstamo a Bansur de $12 000.00 a un plazo de 13 meses, con una tasa de des-cuento de 2.2% mensual.

a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?

b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Arriaga?

3.43 La “Compañía Electrohogar, S.A.”, solicita $3 500 000.00 de préstamo al banco de Sonora, a dos años con una tasa de descuento de 12% anual.

a) Calcular el descuento.

b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la “Compañía Electro-hogar, S.A.”, por el préstamo?

3.44 El administrador de la compañía papelera Gabo, S.A., solicita un préstamo al banco INBURSA de $13 500 000.00 a un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento de 1.2% mensual.

a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?

b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el administrador Gómez?

3.45 El banco Inbursa cobra 7% de descuento bancario en préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita $40 000.00, para pagarlos con intereses en seis años. ¿Qué cantidad debe solicitar en préstamo y cuánto paga de interés?

Tasa de rendimiento

3.46 Bansur aplica un descuento de $640 120.00 a la con-tadora Pamela Alfaro por un préstamo a seis meses, con una

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83Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

3.66 Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré, a la compañía Kolvi, S. A., del 30 de agosto de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 18%.

Documento 1 de 1. No_____

México D. F. a 30 de marzo de 2013 $1 300 000.00

Por este pagaré me(nos) obligo(amos) a pagar incondicional a la orden de Compañía Kolvi, S. A., en Puebla, Puebla, el día 30 de noviembre de 2013 la cantidad de: un millón trescientos mil pesos 00/100. Valor recibido a mi(nuestra) entera satisfacción en material.

La suma anterior causará intereses anual hasta la fecha de vencimiento. En caso de que no pague(mos) puntualmente,

me(nos) obligamos a cubrir el 48% anual por concepto de intereses moratorios, sin que por esto se entienda como prorrogado el plazo.

Nombre Mauricio Solís MartínezDomicilio Calle 57 OrienteColonia Centro. ____________________Ciudad Puebla.

Acepto(amos)C. P. 08765.

3.67 El agrónomo Javier Domínguez Pedrosa le firma un pagaré a la tienda de fertilizantes Viarsa con valor de $800 000.00 pagaderos a nueve meses, con una tasa de in-terés de 20%. ¿Cuál es el valor descontado del pagaré dos meses antes de su vencimiento con la misma tasa de des-cuento?

3.68 Del siguiente pagaré encontrar el valor de vencimien-to. Si este pagaré se liquidó 12 días después de su venci-miento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar.

Documento 1 de 1. No_____

México D. F. a 14 de enero de 2014 $348 000.00

Por este pagaré me(nos) obligo(amos) a pagar incondicional a la orden de Sr. Juan Barreda Suárez en México D. F., el día 26 de noviembre de 2014, la cantidad de: trescientos cuarenta y ocho mil pesos 00/100. Valor recibido a mi(nuestra) entera satisfacción.

La suma anterior causará intereses al 20% anual hasta la fecha de vencimiento. En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos)

obliga(mos) a cubrir 45% anual por concepto de intereses moratorios, sin que por esto se entienda como prorrogado el plazo.

Nombre Juan Luis Herrera RosalesDomicilio Av. Coyoacán no. 56481Colonia Árbol del Fuego. ____________________Ciudad México D. F. Acepto(amos)C. P. 04814.

vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $21 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento?

3.59 Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo so-licitado por el administrador Adrián Salvatorio, a pagar en seis meses, con una tasa de descuento de 18% anual.

3.60 Un banco descuenta un pagaré de $55 000.00, con vencimiento en 7 meses y una tasa de descuento de 22%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco?

3.61 El Banco del Bajío descuenta un pagaré de $150  000.00, con vencimiento en 9 meses y una tasa de descuento de 24%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco?

Plazo

3.62 La compañía Londres, S. A., descuenta un pagaré, por el cual recibe $28 879.00, a una tasa de descuento de 30% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $70 000.00?

3.63 La casa de ropa Adrianos descuenta un pagaré, por el cual recibe $29 887.00, a una tasa de descuento de 26% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $60 000.00?

3.64 Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré de $34 000.00 con vencimiento el 12 de julio del presente año. Como el descuento es comercial, el banco le descon-tó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $3 670.00, con una tasa de descuento de 26% anual.

Pagaré

3.65 Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a Hielo del Atlántico, S. A., el 15 de julio de 2014 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 14%.

Documento 1 de 1. No_____

México D. F. a 15 de marzo de 2014 $900 000.00

Por este pagaré me(nos) obligo(amos) a pagar incondicional a la orden de

Hielo del Atlántico, S. A. en México D. F. el día 15 de septiembre del 2014

la cantidad de: novecientos mil pesos 00/100. Valor recibido a mi(nuestra)

entera satisfacción en mercancía.

La suma anterior causará intereses al 24% anual hasta la fecha de

vencimiento. En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos)

obliga(mos) a cubrir 48% anual por concepto de intereses moratorios,

sin que por esto se entienda como prorrogado el plazo.

Nombre Oscar Calva Montes

Domicilio Av. Pacífico no. 56 481

Colonia Cafetalera. ____________________

Ciudad México D. F. Acepto(amos)

C. P. 04836.

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Interés simpleUNIDAD 3PROBLEMAS RETO

¿Qué interés produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés simple de 12% anual?

Un capital de $5 000.00 se duplica en cuatro años con un tipo de interés simple de:

La señora Prudencia solicita a una institución financiera un préstamo de $6 500.00 a una tasa de interés simple de 18% con un plazo de 55 días. Calcular el interés comercial y exacto.

¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 34% anual?

La señora Andrea López obtiene un préstamo por $3 000.00. Paga la cantidad de $3 400.00 después de siete meses. ¿Qué tasa de interés simple le cobraron?

1

2

3

4

5

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UNIDAD 4

Interés compuesto

OBJETIVOS

Comprenderá el concepto de interés compuesto.

Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado, ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tasas equivalentes.

Resolverá problemas de interés compuesto determinando el valor del dinero a través del tiempo:

• interéscompuesto

• monto

• capitalyvalorpresente

• plazo

• tasasequivalentes

¿QUÉ SABES?

Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema

¿Qué interés compuesto produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 12% anual?

Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $16 350.00, a 11.52% en 240 días.

ElarquitectoJuárezrecibeunpréstamode$48750.00adosaños,silatasadeinterésesde1.2%bimestral,¿cuántopagarádentrodedosaños?

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86

Interés compuestoUNIDAD 4 UnbancoentregaalseñorJuanÁlvarezlacantidadde$2255000.00,porunpréstamoaunaño,tresmesesyquincedías,conunatasade27%.¿Cuáleselcapital inicial del préstamo?

Unadeudade$8400.00seliquidóel29dejuniodeesteañoconunchequecuyoimporteesde$9080.00,siendolatasadeinteréssimplede11.75%.¿Cuánto tiempo estuvo prestado?

Sedescuentaunpréstamode$350870.00aunplazode180días,conunatasade descuento de 13% anual. ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?, ¿qué cantidad de dinero recibe?

Unacompañíadecidedescontarundocumentoel30deabrilconvalor$683656.00,conunatasadedescuentode10%anual.Siendolafechadevencimientoel30dejuniodeesteaño.¿Cuántodinerorecibirálacompañía?

Juan Torres recibe la cantidad de $100 000.00 por un préstamo a pagar en 10 meses, con una tasa de descuento de 10.5% anual. ¿Qué cantidad de dinero se debe solicitar?

4.1 Introducción

En la unidad de interés simple se estudió el caso en el que el capital permanece constante desde la fecha inicial de la operación hasta la fecha final. En el caso del interés compuesto el capital no per-manece constante desde la fecha inicial hasta la final del plazo, ya que el capital va a cambiar al final de cada periodo (se agrega al capital inicial los intereses al término del periodo), este nuevo capital genera intereses en el siguiente periodo y así sucesivamente mientras dure la operación financiera, entonces se dice que los intereses se capitalizan en cada periodo.

4.2 Monto

Definición

Periodo de capitalización. Es el tiempo que existe entre dos fechas consecutivas en la que los intereses se le adicionan al capital.

M = C + I 4.1

I = Cni 4.2

Analicemos el problema, si el periodo es de un año por consecuencia el plazo también lo será y la tasa de interés T = 4% anual, la expresión matemática que cumple con estas características es la del interés simple.

I = 15 000(0.04)(1) = $600

M = 15 000 + 600 = $15 600

Entonces el 2 de mayo del 2014 el abogado Martínez recibirá $600.00 de intereses más los $15 000.00 que invirtió.

Solución

Problema resuelto

1. El abogado Martínez deposita $15 000.00 el día 2 de mayo de 2013 en ICA Banco. Él retirará su dinero dentro de un año. Al retirar el capital inicial también le entregarán los intereses generados en el periodo (M = C + I ).

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87

Figura 4.1 Fecha inicial2 mayo 2013

Fecha final2 mayo 2014

C M = C + 1Periodo = Plazo = 1 año

Si el abogado Martínez decide recibir sus intereses de manera mensual, en vez de cada año, en-tonces el periodo será de un mes. Si el plazo de la inversión es de un año, se tendrán 12 periodos de capitalización mensual, de esta manera el abogado Martínez recibirá 12 pagos de intereses al transcurso de un año, en lugar de un pago único de intereses al final del año.

Figura 4.2

2Fecha inicial2 mayo 2013

5 11 120 Meses

C

Periodo ≠ Plazo

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

C10

C11

M

6 7 8 9 10431Fecha final

2 mayo 2014

a) Interés simple.

Datos Desarrollo

C = $24 000.00 I = Cni

T = 4% anual I = 24 000(3)(0.04)

n = 3 años I = $ 2 880.00

Incógnita I

El monto después de tres años será de: M = 24 000.00 + 2 880.00 = $26 880.00

b) Cálculo del interés compuesto.

• Montoinicialdelprimeraño(M1) = Capital inicial + Intereses del primer año. El monto obtenido en el primer año (M1) se convertirá en el capital inicial del segundo año.

M2 = $25 958.40

• Elmontodelsegundoaño(M2) se convertirá en el capital inicial del tercer año, como se observa en el cuadro 4.1.

Cuadro 4.1 Comportamiento del capital y el incremento del interésNúmero de periodos en años Capital al inicio del periodo ($) Intereses en el periodo ($) Capital al final ($)

1 24 000.00 960.00 24 960.00

2 24 960.00 998.40 25 958.40

3 25 958.40 1 038.34 26 996.74

Interés Simple (IS) ≠ Interés Compuesto (IC)

$26 880.00 ≠ $26 996.74

Entonces el: IS < IC

El interés simple siempre será menor que el interés compuesto.

Solución

Problema resuelto

2. Adela invierte un capital de $24 000.00 a 4% anual durante tres años en ICA Banco. ¿Qué cantidad recibe?

a) Cuando es interés simple.

b) Si es interés compuesto.

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88

Interés compuestoUNIDAD 4El comportamiento del capital se muestra en forma algebraica en el cuadro 4.2.

Cuadro 4.2 Comportamiento del capital

Números de periodos

Capital al inicio del periodo

Interés en el periodo I = Cni

Capital final M = C + I

1 C C i M

1 = C + C

i = C(1 + i )

M1 = C(1 + i )

2 C(1 + i ) C(1 + i )i M2 = C(1 + i ) + C(1 + i ) i = C(1 + i ) (1 + i )

M2 = C(1 + i )2

3 C(1 + i )2 C(1 + i )2 i M3 = C(1 + i )2 + C(1 + i )2 i = C(1 + i )2 (1 + i )

M3 = C(1 + i )3

4 C(1 + i )3 C(1 + i )3 i M4 = C(1 + i )3 + C(1 + i )3 i = C(1 + i )3 (1 + i )

M4 = C(1 + i )4

LM

nLM

C(1 + i )n - 1

LM

C(1 + i )n - 1 iLM

Mn = C(1 + i )n

Del cuadro 4.2 se ve que los valores acumulados sucesivos forman una progresión geométrica [C(1 + i ), C(1 + i )2, C(1 + i )3,…] cuyo n-ésimo término es:

M = C (1 + i )n 4.3

Donde:

C = Valor inicial, valor presente de M o valor descontado M. M = Valor compuesto de C, valor acumulado de C o monto. T = Tasa nominal de interés (anual). i = Tasa de interés en el periodo. n = Número total de periodos de capitalización que intervienen. (1 + i )n = Factor de acumulación o factor de interés compuesto.

La ecuación 4.3, solo se puede aplicar en periodos de capitalización unitarios, algunos ejemplos: un mes, un bimestre, un semestre, un año.

Datos Desarrollo C = $930.00 M = 930.00 [1 + 0.06 ]1 = $985.80 n = un bimestre T = 6% bimestral Incógnita M

Solución

Problema resuelto

3. El costo del predial en la casa de don Jesús se incrementa en 6% al bimestre. ¿Cuánto tendrá que pagar en el próximo bimestre?, si su tarifa bimestral es de $930.00.

Datos Desarrollo C = 15 930 piezas M = 15 930 [1 + 0.03 ]1 = 16 408 piezas n = un mes T = 3% mensual

Solución

Problema resuelto

4. En el taller de costura de doña Leonor la producción se incrementa en 3% mensual. Calcular la producción del taller de costura para el próximo mes, si actualmente produce 15 930 piezas men-suales.

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89

En la actualidad las instituciones financieras ofrecen diferentes planes de inversión con periodos de capi-talización menores a un año (ver cuadro 4.3). A este número de veces que en un año los intereses se capi-talizan se le conoce como frecuencia de capitalización y se denota por la letra p.

Cuadro 4.3 De periodos de capitalizaciónPeriodo Frecuencia (p)

Anual 1

Semestral 2

Cuatrimestral 3

Trimestral 4

Bimestral 6

Mensual 12

28 días 13

Catorcena 26

Quincenal 24

Semanal 52

Diario 360 o 365

AlertaEn interés compuesto la tasa de interés y el tiempo deben expresarse en la misma unidad de tiempo.

Ejemplo: si el periodo de capitalización de los intereses es bimestral, entonces el interés es capitalizable bimestralmente o es convertible bimestralmente o es compuesto bimestralmente (A.C. Bimestral).

P1año

1 trimestre12 meses3 meses

4 periodos de capitalización trimestral= = =

Solución

Problema resuelto

5. Encontrar la frecuencia de conversión de un depósito que paga 14% anual de interés capitalizable trimestralmente.

❚ 4.2.1 Tasa de interés por periodo (T )

Para conocer el interés por periodo se utiliza la siguiente fórmula:

=TInterés por periodo ( )Tasa de interés nominal

Número de periodos de capitalización en un año

❚ 4.2.2 Número de periodos

El número total de periodos por año se encuentra de la siguiente forma:

=

Número total deperiodos decapitalización

Número de periodosde capitalizaciónen un año

Númerode años

Primero encontrar el número de periodos de capitalización

P12 meses2 meses

6 periodos de capitalización bimestral.= =

Después calcular el interés por periodo:

T18%6

3% de interés bimestral.= =

Por último, se encuentra el número total de periodos de capitalización para los cuatro años:

m = 6 × 4 = 24 periodos de capitalización bimestral durante cuatro años.

Solución

Problema resuelto

6. Determinar el interés de cada periodo de capitalización y el número de periodos de capitalización, si la tasa nominal es de 18% capitalizable bimestralmente, durante cuatro años.

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90

Interés compuestoUNIDAD 4Cuando el periodo de capitalización de intereses no es anual y se desea conocer el monto de un capi-tal, se emplea la siguiente expresión:

= +

M Cip

np

1 4.4

Donde:

n = plazo en años

i = tasa de interés anual capitalizable en p periodos en un año

p = frecuencia de capitalización

Cuando el periodo tiene el componente continuo (capitalización continuamente)

M = Ce j∞(n) 4.5

Donde:

n = plazo en años j∞ = tasa de interés anual con componente continuo e = base de los logaritmos naturales = 2.718

Datos: Desarrollo:

C = $20 800.00 M = 20 800 [1 + 0.0075]12 = 20 800 (1.0938) n = 2 años M = $22 751.18 np = (2) (6) = 12 bimestres T = 0.75% bimestral Incógnita M

Solución

Problema resuelto

7. ¿Qué cantidad podrás tener dentro de dos años, si inviertes $20 800.00 en Banco Nacional y el interés que paga es de 0.75% bimestral?

a) Datos: Desarrollo:

C = $ 3 545.00 T = 28% A.C.S. M C

ip

np

1 3545 10.282

3545(1.14 ) 3545(1.6889 )2 ( 2 )

4= +

= +

= = n = 2 años np = 2(2) = 4 M = $5 987.36 Incógnita M

b) Datos: Desarrollo:

C = $3 545.00 T = 28% A.C.T. M 3545 1

0.284

3545[1.07] 3545(1.7182 )4 ( 2 )

8= +

= n = 2 años np = 2(4) = 8 M = $6 091.00 Incógnita M

Solución

Problema resuelto

8. Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de interés del:

a) 28% capitalizable semestral (A.C.S.) b) 28% capitalizable trimestral (A.C.T.) c) 28% capitalizable mensual (A.C.M.)

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91

c) Datos: Desarrollo:

C = $3 545.00 n = 2 años M 3545 1

0.2812

3545[1.023333 ] 3545[1.7394 ]12 ( 2 )

24= +

= = T = 28% A.C.M. np = 2(12) = 24 M = $6 166.17 Incógnita M

Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitalización e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c” la conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral, mientras que esta a su vez tendrá mayor rendimiento que la semestral.

a) Datos: Desarrollo:

C = $ 6 700.00 n = 3 años M 6700 1

0.082

6700(1.04) 6 700(1.26532) $8477.636

6= +

= = = T = 8% A.C.S. M 6700 1

0.082

6700(1.04) 6 700(1.26532) $8477.636

6= +

= = = i

p0.082

0.14= =

np = 3(2) = 6 Incógnita M

b) Datos: Desarrollo: C = $ 6 700.00 n = 3 años M 6700 1

0.084

6700(1.02) 6 700(1.26824) $8497.2212

12= +

= = = T = 8% A.C.T. M 6700 1

0.084

6700(1.02) 6 700(1.26824) $8497.2212

12= +

= = = i

p0.084

0.02= =

np = 3(4) = 12 Incógnita M

c) Datos: Desarrollo: C = $ 6 700.00 n = 3 años M 6700 1

0.0812

6700(1.00666) 6 700(1.006666) $8510.3836

36= +

= = = T = 8% A.C.M. M 6700 1

0.0812

6700(1.00666) 6 700(1.006666) $8510.3836

36= +

= = =

ip

0.0812

0.00666= =

np = 3(12) = 36 Incógnita M

Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitaliza-ción e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c” la conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral; esta, a su vez, tendrá mayor rendimiento que la semestral.

Solución

Problema resuelto

9. Encontrar el monto acumulado en tres años, si el capital es de $6 700.00 y se invierte a un tipo de interés del:

a) 8% anual capitalizable semestral (A.C.S.) b) 8% anual capitalizable trimestral (A.C.T.) c) 8% anual capitalizable mensual (A.C.M.)

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92

Interés compuestoUNIDAD 4

a) Con tiempo exacto

Datos: Desarrollo:

C = $ 2 500.00

T = 4.5% A.C.D. M 2500 10.045365

2500(1.0001233 ) 2500(2.459467) $6148.677300

7 300= +

= = = np = 20(365) = 7 300 días

Incógnita M M 2500 10.045365

2500(1.0001233 ) 2500(2.459467) $6148.677300

7 300= +

= = =

b) Con tiempo aproximado

Datos: Desarrollo:

C = $ 2 500.00

T = 4.5% A.C.D. M 2500 10.045360

2500(1.000125 ) 2500(2.459465) $6148.667 200

7 200= +

= = = np = 20(360) = 7 200 días

Incógnita M M 2500 10.045360

2500(1.000125 ) 2500(2.459465) $6148.667 200

7 200= +

= = =

La diferencia es de tan solo $0.01. Por esta razón los bancos utilizan el tiempo exacto para la aplicación diaria.

Solución

Problema resuelto

10. El ingeniero Roberto Valero depositó $2 500.00 en una cuenta de ahorros en el banco Serfin el 10 de febrero de 1994, a 4.5% anual capitalizable diariamente (A.C.D.). ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta el 10 de febrero de 2013?

Desarrollo:

I1 = 1 000 (0.062)(16/365) = $2.718

I2 = 1 002.718 (0.062)(26/365) = $4.428

I3 = 1 807.146 (0.062)(4/365) = $1.228

I4 = 1 808.374 (0.062)(30/365) = $9.215

I5 = 1 817.58 (0.062)(31/365) = $9.571

I6 = 1 827.16 (0.062)(15/365) = $4.657

I7 = 1 831.82 (0.062)(11/365) = $3.425

AlertaA mayor frecuencia de capitalización de intereses, se van a producir nuevos intereses y al final del plazo se tendrá un monto mayor, que el alcanzado si el número de capacitaciones es menor.

• Amayornúmerodecapitalizaciones más intereses se obtienen en el mismo plazo.

• Amenornúmerodecapitalizaciones menos intereses se tendrán en el mismo plazo.

Solución

Problema resuelto

11. Una cuenta de ahorros en banco Aztek paga un interés 6.2% al año. El banco calcula el interés diaria-mente sobre el saldo diario mínimo y se deposita el último día de cada mes. ¿Calcular el interés de los siguientes movimientos en la cuenta de Elsa Calderón del 15 de febrero al 27 de junio de 2013?

Cuadro 4.4 De movimientos e intereses generados

Fecha (año 2013)

Depósitos ($)

Capital (El día uno de cada mes)

Intereses ($) I = Cni

Monto ($) M = C + I

Plazo (en días)

Febrero 15 1 000.00 0.00 1 000.00

Febrero 15 al 28 1 000.00 2.718 1 002.718 16

Marzo 1 al 27 800 1 002.718 4.428 1 807.146 26

Marzo 27 al 31 1 807.146 1.228 1 808.374 04

Abril 1 al 30 1 808.374 9.215 1 817.59 30

Mayo 1 al 31 1 817.59 9.571 1 827.16 31

Junio 1 al 15 500 1 827.16 4.657 1 831.82 15

Junio 16 al 27 1 831.82 3.423 1 835.24 11

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93

4.3 Comparación del interés simple con el interés compuesto

Con el siguiente ejemplo se podrá comparar la diferencia que existe en la cantidad de dinero recibido con el interés simple y la cantidad recibida con el interés compuesto. Con ello podemos observar sus diferencias.

a) Cálculo del interés simple

Datos: Desarrollo:

C = $10 000.00 I = Cni = 10 000(4)(0.10) = $4 000.00

T = 10% anual

n = 4 años

Incógnita I

El monto a cuatro años será: M = C + I = 10 000 + 4 000 = $14 000.00

b) Cálculo del interés compuesto

Datos: Desarrollo:

Capital inicial $10 000.00 I = C1ni = 10 000 (1) (0.10) = $1 000.00

i = 0.10 anual

n = un año

Incógnitas I y M1

El monto al primer año es: M1 = C + I = 10 000 + 1 000 = $11 000.00

El monto obtenido en el primer año (M1) se convierte en el capital inicial del segundo año (C2).

Datos: Desarrollo:

M1 = C2 = $11 000.00 I2 = i = 0.1 anual I2 = 11 000 (1) (0.10) = $1 100.00

n = un año

Monto final del segundo año es: M2 = 11 000 + 1 100 = $12 100.00

El monto del segundo año (M2) se convierte en el capital inicial en el tercer año (C3).

Datos: Desarrollo:

M2 = C3 = $12 100.00 I3 = 12 100 (1) (0.10) = $1 210.00

T = 0.1 anual

n = un año

Monto final al terminar el tercer año: M3 = 12 100.00 + 1 210.00 = $13 310.00

El monto del tercer año se convierte en el capital inicial en el cuarto año.

Datos: Desarrollo:

M3 = C4 = $13 310.00 I4 = 13 310 (1) (0.10) = $1 331.00

i = 0.10 anual

n = un año

Monto final al terminar el cuarto año: M4 = 13 310.00 + 1 331.00 = $14 641.00

Solución

Problema resuelto

12. Una persona invierte un capital de $10 000.00 a 10% anual durante cuatro años.

a) Calcular el interés simple.

b) Calcular el interés compuesto.

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94

Interés compuestoUNIDAD 4Como observamos en los resultados del ejemplo, el interés compuesto es mayor que el interés simple, con un mismo capital, tasa y tiempo. La mejor forma de comparar los montos es dibujando la gráfica correspondiente.

Cuadro 4.5 Comparativa de interés simple e interés compuesto

AñoInterés simple M = C [1 + ni ]

Interés compuesto M = C [1 + i ]n

0 10 000 10 000

1 11 000 11 000

2 12 000 12 100

3 13 000 13 310

4 14 000 14 641

14 500

9 500

13 500

11 500

12 500

10 500

año0 4321

Interés simple

Interés compuesto

Figura 4.3 Comparativo de interés simple con interés compuesto.

El monto a interés compuesto crece en forma geométrica y su gráfica es una función exponencial, en donde para cada periodo existe un incremento que es mayor con respecto al periodo anterior, al hacer que la curva ascienda de izquierda a derecha cada vez con mayor velocidad. Su ecuación, como ya se indicó, es la de una función exponencial.

M = C[1 + i]n

En el interés simple el monto crece en progresión aritmética y la gráfica es una línea recta, en donde para cada periodo el incremento es constante. Su ecuación será la de una línea recta.

M = C + (Ci ) n

Y = b + mx

El interés compuesto siempre será mayor que el interés simple, porque el primero gana intereses por sí mismo, mientras que el segundo no.

Cuadro 4.6

Periodos Capital inicial ($) Intereses ($) Capital final ($)

1 5 000.00 350.00 5 350.00

2 5 350.00 374.50 5 724.50

3 5 724.50 400.71 6 125.21

Monto final al terminar el tercer año: M3 = 5 724.50 + 400.71 = $6 125.21

Solución

Problema resuelto

13. Melisa Reyes deposita en su cuenta de ahorro en Banejército la cantidad de $5 000.00 a una tasa de 7% durante tres años. ¿Cuál será el monto al final de los tres años?

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95

4.4 Valor actual o presente

El valor actual es un concepto muy utilizado en las matemáticas financieras, porque permite conocer el valor en un determinado momento, de una cantidad que se recibirá, que deba pagarse o que se desea reunir en un tiempo futuro.

A partir de la fórmula de monto en interés compuesto.

M = C (1 + i )n 4.3

Despejando a C se tiene:

=+

CM

i n(1 ) 4.6

O también puede escribirse como:

C = M (1 +i )-n 4.7

= +

C Mip

np

1–

4.8

C = M (e)-(nj∞) 4.9

AlertaEl valor actual o presente es el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, para llegar a tener un cierto monto.

a)

0

M

20% A.C.S.

10 000

5 años y 7 meses

Figura 4.4 Cálculo del monto por el método exacto.

Datos: Desarrollo:

C = $10 000.00

n = 5 años 7 meses M 10000 10.202

10000(1.1) 10000( 2.8969 ) $28969.5911.16

11.16= +

= = =

T = 20% A.C.S.

n = 5(12) + 7 = 67 meses M 10000 10.202

10000(1.1) 10000( 2.8969 ) $28969.5911.16

11.16= +

= = =

67 meses

6 meses por semestre11.16 semestres=

b)

0

20% A.C.S.

5 años y 7 meses

20% A.C.S.

5 años y 6 meses

Figura 4.5 Cálculo del monto por el método aproximado.

5 años y 6 meses = 11 semestres

M 10 000 10.20

21 ( 0.20 )

112

10 000(1.1) (1.016666 )11

11= +

+

=

M = 10 000 (2.85312)(1.016666) = 29 006.70

Solución

Problema resuelto

14. Calcular el monto de $10 000.00, pagaderos a cinco años y siete meses, a una tasa de 20% capi-talizable semestralmente.

a) Exacto

b) Aproximado

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96

Interés compuestoUNIDAD 4

Datos: Desarrollo:

M = $8 000.00

T = 9.4% A.C.M. C Mip

np

1 8000 10.09412

– –48

= +

= +

np = 4 (12) = 48

C = 8 000(1.00783)-48

C = 8 000(0.6876) = $5 500.87

Solución

Problema resuelto

15. ¿Qué cantidad tiene que depositar hoy en un fondo de inversión que paga 9.4% capitalizable mensualmente para tener $8 000.00 dentro de cuatro años?

Capitalización diaria:

Datos: Desarrollo:

M = $20 000.00

T = 4.2% anual C Mip

np

1 20000 10.042365

– –1460

= +

= +

np = 4 (365) = 1 460

C = 20 000(1.000115)-1460

C = 20 000(0.84536) = $16 907.24

Capitalización continua

Datos: Desarrollo:

M = $20 000.00 C = M (e)-nj∞ = 20 000 (e) -0.168

i∞ = 0.042 anual C = 20 000(0.84535) = $16 907.08

n = 4

Solución

Problema resuelto

16. Encuentra el valor presente de $20 000.00 a pagarse dentro de cuatro años a 4.2% compuesto.

a) Diariamente

b) Continuamente

Datos: Desarrollo

M = $64 000.00

n = 18 meses C Mip

np

1 64000 10.226

64000(1.03666 ) 64000( 0.723182 )9

9= +

= +

= =− −

T = 22% A.C.B.

Incógnita C C Mip

np

1 64000 10.226

64000(1.03666 ) 64000( 0.723182 )9

9= +

= +

= =− −

C = $46 283.67

El valor 18 meses antes de $64 000.00 a esa tasa de interés es de $46 283.67.

Solución

Problema resuelto

17. ¿Cuál es el valor presente de $64 000.00 invertidos 18 meses antes, a una tasa de 22% capitaliza-ble bimestralmente?

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97

❚ 4.4.1 Tiempo

El tiempo se puede calcular despejando “n” de la ecuación 4.4:

= +

M Cip

np

1 4.4

Despejando a “n”

= +

MC

ip

np

1

Aplicando logaritmos

= +

MC

ip

np

log log 1

Empleando la propiedad de logaritmos

np

MC

ip

log

log 1

=

+

n

MC

pip

log

log 1

=

+

4.10

AlertaPropiedad de los logaritmos

log (x)n = n log (x)

Datos: Desarrollo:

C = $11 873.15

M = $19 459.55

T = 20% A.C.M. n

MC

pip

log

log 1

log19459.5511873.15

12 log 10.2012

log(1.63895 )12[log(1.01666 )]

0.21456612( 0.007178 )

0.2145660.086143

=

+

=

+

= = =

Incógnita n

n

MC

pip

log

log 1

log19459.5511873.15

12 log 10.2012

log(1.63895 )12[log(1.01666 )]

0.21456612( 0.007178 )

0.2145660.086143

=

+

=

+

= = =

n = 2.4908

n = 2 años, 5 meses y 27 días

Solución

Problema resuelto

18. Un capital de $11 873.15 produce intereses a una tasa de 20% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $19 459.55?

Problema resuelto

19. ¿Cuánto tardarán $20 000.00 en acumular $36 000.00 de interés 4.9% capitalizable trimestral-mente?

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98

Interés compuestoUNIDAD 4

En la capitalización diaria.

■ Se debe entender que el mes es de 30 días, sino se indica el nombre del mes en la redac-ción del problema.

■ Cuando en la redacción del problema dice el nombre del mes, se consideran los días ca-lendario del mismo.

Ejemplo: marzo número de días 31, febrero en año bisiesto 29 días.

Datos: Desarrollo:

C = $20 000.00

M = $36 000.00

T = 4.9% A.C.T. n

MC

pip

log

log 1

log3600020000

4 log 10.0494

log(1.8 )4 [log(1.01225 )]

0.2552724 ( 0.0052878 )

0.2552720.021151

=

+

=

+

= = =

Incógnita n

n

MC

pip

log

log 1

log3600020000

4 log 10.0494

log(1.8 )4 [log(1.01225 )]

0.2552724 ( 0.0052878 )

0.2552720.021151

=

+

=

+

= = =

n = 12.06897

n = 12 años y 25 días

Solución

a) Datos: Desarrollo:

M = $1.00

C = $0.50

p = uno nlog

10.5

(1) [log(1.14 )]

log( 2 )

(1) [log(1.14 )]0.3010299

(1) ( 0.056905 )5.29=

= = = T = 14% anual

Incógnita n n = 5 años, 3 meses y 14 días

b) Datos: Desarrollo:

M = $1.00

C = $0.50

p = uno nlog

10.5

(1) [log(1.10 )]7.27254=

= T = 10% anual

Incógnita n n = 7 años, 3 meses y 8 días

c) Datos: Desarrollo:

M = $1.00

C = $0.50

p = uno nlog

10.5

(1) [log (1.05 )]

log ( 2 )

log (1.05 )14.2066=

= = T = 5% anual

Incógnita n n = 14 años, 2 meses y 14 días

Solución

Problema resuelto

20. ¿En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo a la mitad si se tiene una inflación del:

a) 14%?

b) 10%?

c) 5%?

Page 112: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

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99

Datos: Desarrollo:

C = $17 000.00 21 000 = 17 000 e0.08 (n)

M = $21 000.00

j∞ = 8% A.C. Continua e n21000

170000.08 ( )=

Incógnita n 1.235294 = e 0.08 (n)

Fórmula: M = C e j∞(n) ln (1.235294) = ln (e 0.08 (n))

ln (1.235294) = 0.08 n

0.211309 = 0.08 n

n0.211309

0.082.64 años= =

Con tiempo exacto (365 días)

Datos: Desarrollo:

j∞ = 6% A.C. Diaria

Incógnita n

n

21000 17 000 10.06365

= +

Fórmula: M Cip

pn

1= +

n2100017 000

10.06365

= +

1.235294 = (1.00016438)n

log (1.235294) = nlog (1.00016438)

0.091770373 = n (0.000071385)

n0.0917703730.000071385

=

n = 1 285.56 días

n = 3.5222 años

n = 3 años, 6 meses y 8 días

Solución

Problema resuelto

22. ¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se convierte en un monto de $21 000.00 a una tasa de 8% capitalizable continuamente y 6% capitalizable diariamente?

Datos: Desarrollo:

C = $89 999.00

M = $94 800.00

n = 4% A.C.T. n

MC

pip

log

log 1

log9480089999

4 log 10.044

log(1.053345 )

4 [log(1.01)]0.0225706

4 ( 0.00432137 )=

+

=

+

= =

Incógnita n

n

MC

pip

log

log 1

log9480089999

4 log 10.044

log(1.053345 )

4 [log(1.01)]0.0225706

4 ( 0.00432137 )=

+

=

+

= =

n0.02257060.0172855

1.30576= =

n = 1 año, 3 meses y 20 días

Solución

Problema resuelto

21. ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $89 999.00, para alcanzar la cantidad de $94 800.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 4% capitalizable trimestralmente?

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100

Interés compuestoUNIDAD 44.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales

❚ 4.5.1 Cálculo de la tasa

Es importante recordar que los periodos de la tasa de interés son periodos de capitalización y es en donde los intereses se acumulan al capital para que produzcan nuevos intereses.

La respuesta es en el Banco Aztek, porque los intereses los pagan cada trimestre y al reinvertirse se ponen a trabajar el capital cuatro veces al año. Mientras que en Banorte solo se capitalizan los intereses una vez al año.

Solución

Problema resuelto

23. Banorte ofrece una tasa de interés de 4.6% capitalizable anualmente, mientras que Banco Aztek ofrece 4.6% con capitalización trimestral. ¿En qué banco es recomendable hacer la inversión?

Para comprobar el resultado anterior, se debe conocer la tasa real de interés que se obtiene con cada inversión. Para conocer esta tasa i es necesario despejarla de la ecuación de monto.

M = C (1 + i )n 4.11

Existen dos alternativas para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos.

Raíz Logaritmos

( 1 )= +M

Ci n ( 1 )= +

M

Ci n

( 1 )= +M

Cin nn

= +log log ( 1 )

M

Ci n

1= +M

Cin

= +log log ( 1 )

M

Cn i

1=

−i

M

Cn 4.11

+ =

log ( 1 )

log

i

M

C

n

+ =

1 antilog

log

i

M

C

n

=

−antilog

log

1i

M

C

n 4.11a

Datos: Desarrollo:

C = $20 000.00

M = $80 000.00 iMC

n 18000020000

1 4 1 1.4142 1 0.41424 4=

− =

− = − = − =

n = 10 años

Incógnita i iMC

n 18000020000

1 4 1 1.4142 1 0.41424 4=

− =

− = − = − =

i = 0.4142 Anual

T = 41.42% Anual

Solución

Problema resuelto

24. Una inversión de $20 000.00 en 10 años cuadruplica su valor. Calcular la tasa anual.

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101

❚ 4.5.2 Tasas equivalentes

Las tasas equivalentes son aquellas que producen el mismo interés durante un año con diferentes periodos de capitalización.

Datos: Desarrollo:

C = $82 350.00

M = $88 640.00 iMC

n 18864082350

1 1.0763813 1 1.004611 116 16=

− =

− = − = −

n = 16 meses

Incógnita i iMC

n 18864082350

1 1.0763813 1 1.004611 116 16=

− =

− = − = −

i = 0.004611 Mensual

T = 0.4611% Mensual

T = 5.53% Anual

Solución

Problema resuelto

25. Una inversión de $82 350.00 a 16 meses alcanzó un monto de $88 640.00. Calcular la tasa anual.

Monto acumulado a un año M Ci

1121

12

= +

tasa capitalizable mensualmente.

Monto acumulado en un año a 9.5% anual capitalizable trimestral:

M C 10.09542

4

= +

Igualando los montos:

M1 = M2

Ci

C112

10.0954

12 4

+

= +

i

112

10.0954

12 4

+

= +

i

112

(1.02375 )12

12 412+

=

i

112

(1.02375 )412+ =

i12

(1.02375 ) 10.3333= −

i = 12 (1.007855 - 1)

i = 12 (0.007855)

i = 0.09426 anual convertible mensualmente

La tasa de 9.426% anual convertible mensualmente es equivalente a la tasa de 9.5% anual convertible trimestralmente.

Solución

Problema resuelto

26. ¿A qué tasa de interés compuesto mensualmente producirá el mismo monto, que a 9.5% capitali-zable trimestralmente?

Page 115: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

102

Interés compuestoUNIDAD 4

Monto acumulado a 22% convertible mensualmente M C 10.22121

12

= +

Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente M Ci

142

4

= +

Igualando los montos:

M1 = M2

C Ci

10.2212

14

12 4

+

= +

i10.2212

(1 0.25 )12

4 44+

= +

i10.2212

1 0.253

+

= +

(1.018333)3 - 1 = 0.25i

i = (1.0560145 - 1)/0.25

i = (0.0560145)/0.25

i = 0.224

i = 22.4% anual convertible trimestralmente.

La tasa de 22% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 22.4% anual capitalizable trimestralmente.

Solución

Problema resuelto

27. Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22% capitalizable mensualmente.

Monto acumulado a 6.8% convertible mensualmente M C 10.068121

12

= +

Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente M Ci

132

3

= +

Igualando los montos:

M1 = M2

C Ci

10.06812

13

12 3

+

= +

i10.06812

(1 0.333 )12

3 33+

= +

i10.06812

1 0.33334

+

= +

Solución

Problema resuelto

28. Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimestralmente a una equivalente de 6.8% capitalizable mensualmente.

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103

❚ 4.5.3 Tasa efectiva

La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en (p) pe-riodos por año.

[Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año]

Dividiendo ambos términos entre C se tiene:

+ = +

C e Cip

p

(1 ) 1

= +

−eip

p

1 1 4.12

La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.

AlertaTasa efectiva o rendimiento anual efectivo. Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que la tasa compuesta.

(1.00566667)4 - 1 = 0.3333i

i = (1.02286 - 1)/0.3333

i = (0.02286)/0.3333

i = 0.06858

i = 6.858% anual convertible cuatrimestralmente.

La tasa de 6.8% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 6.858% anual capitaliza-ble cuatrimestralmente.

T = 12% A.C. Bimestral

e 10.12

61 (1.02 ) 1 1.126162 1 0.126162

66= +

− = − = − =

e = 12.62% anual

Es lo mismo invertir a 12% capitalizable bimestralmente que a 12.61% con capitalización anual.

Solución

Problema resuelto

29. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 12% capitalizable bimestralmente.

T = 25.9% A.C. Semestral

e 10.2592

1 (1.1295 ) 1 1.27577 1 0.275772

2= +

− = − = − =

e = 27.58% anual

Es lo mismo invertir a 25.9% compuesto semestralmente que a 27.58% con capitalización anual.

Solución

Problema resuelto

30. Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 25.9% anual ca-pitalizable semestralmente.

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104

Interés compuestoUNIDAD 4

❚ 4.5.4 Tasa nominal

La tasa nominal se aplica para todo el año y es convertible en (p) periodos.

= +

−eip

p

1 1

+ = +

eip

p

1 1

+ = +eip

p 1 1

eip

p( 1) 11

+ − =

i p e p( 1) 11

= + −

4.13

AlertaAdvertencia

La tasa nominal es la tasa de interés anual fijada sin tomar en cuenta la capitalización.

T = 32.7% A.C. trimestral

e 10.3274

1 (1.08175 ) 1 1.3693 1 0.36934

4= +

− = − = − =

e = 36.93% anual

Es lo mismo invertir a 32.7% compuesto trimestralmente que a 36.93% con capitalización anual.

Solución

Problema resuelto

31. Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 32.7% anual ca-pitalizable trimestralmente.

Datos: Desarrollo

e = 9% i = 6[(0.09 + 1)1/6 - 1] = 6[(1.09)0.1666 - 1] = 6[1.01446 - 1]

p = 6 i = 6(0.01446) = 0.0868

T = 8.68%

El 8.68% compuesto bimestralmente es equivalente a 9% de interés efectivo.

Solución

Problema resuelto

32. Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 9%.

Desarrollo:

i

112

10.184

12 4

+

= +

Solución

Problema resuelto

33. ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 18% capitalizable trimestralmente?

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105

4.6 Ecuación de valor

Una ecuación de valor en interés compuesto es la igualdad de dos conjuntos diferentes de obliga-ciones, la original y la propuesta en una fecha determinada en forma arbitraria; a la cual se le conoce como fecha focal, de comparación o fecha de evaluación (F.F.).

Para resolver un problema utilizando la ecuación de valor, es necesario seguir los pasos que se descri-ben a continuación:

1. Identificar el primer conjunto de obligaciones, el conjunto original, el cual es intercambiado por un segundo conjunto de obligaciones, el propuesto, que es diferente al original en lo referente a pagos y vencimientos.

2. Trasladar los dos conjuntos de obligaciones a una fecha focal.

3. Plantear una ecuación de valor igualando los dos conjuntos de obligaciones, para ello, ambos conjuntos deben de referirse a una misma fecha focal (F.F.).

a) Cualquier suma de dinero puede determinarse a futuro con:

M = C (1 + i )n

b) Cualquier suma de dinero puede ser descontada, para poder anticipar su disponibilidad con:

C = M (1 + i )-n

i

112

(1.045 )412+ =

i 12 (1.045 ) 1412= −

i = 12[(1.045)0.3333 - 1]

i = 12(0.0148) = 0.17737

i = 17.74%

La tasa nominal de 17.74% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 18% capitalizable trimestralmente.

i

112

10.24

4

12 4

+

= +

i

112

(1.06 )4

12+ =

i = 12[(1.06)0.3333 - 1]

i = 12[1.019612 - 1]

i = 12(0.019612)

i = 0.23535

i = 23.54%

La tasa nominal de 23.54% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestralmente.

Solución

Problema resuelto

34. ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestralmente?

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106

Interés compuestoUNIDAD 4

En la figura 4.6, X1 y X2 representan las fechas de pago de las dos deudas de la compañía Viarza, F.F. ubica la nueva fecha de pago (único) la cual cubrirá las dos deudas originales y está fijada en común acuerdo por Bancrédito y la Compañía Viarza, las flechas representan el traslado de las deudas en el tiempo. Para trasladar el flujo X1 a la F.F. se uti-liza la expresión de monto C = M (1 + i )n y para el flujo X2 se utiliza la expresión de valor presente C = M (1 + i )-n.

F. F.

X1

X2

Tiempo

Figura 4.6

En las ecuaciones de valor en interés compuesto los resultados del pago único o los pagos parciales no varían al cambiar la fecha focal. En el caso ya estudiado de las ecuaciones de valor en interés simple, al cambiar la fecha focal los resultados de los pagos van a ser diferentes.

AlertaConjunto de obligaciones

Un conjunto de obligaciones puede estar constituido por una o más cantidades que se pagan o se reciben. A este conjunto de obligaciones también se le conoce como paquete de obligaciones o flujos de efectivo.

a) Se tiene que fijar un punto en el tiempo (fecha focal).

b) La fecha focal es propuesta por el administrador para cubrir la deuda en un solo pago, para ello, deberá trasladar a esta fecha (F.F.), las dos deudas, utilizando las expresiones de valor presente o el valor futuro (monto), según sea el caso. Ver figura 4.6.

Solución

Problema resuelto

35. La compañía de bordados Viraza, S. A., tiene dos préstamos que debe pagar en fechas ya acor-dadas con Bancrédito. Después de realizar un minucioso estudio el nuevo administrador de la compañía decidió modificar la forma de pago a una sola exhibición, la cual fue fijada y acordada por ambas partes (F.F.).

Datos: Desarrollo:

a) T = 11% A.C.M. C6 años = M (1 + i )-n = 92 500(1 + 0.009166)-12(3)

i = 0.009166 mensual = 92 500(1.009166)-36 = 92 500 (0.72)

Un pago de $92 500.00 C6 años = $66 600

n = 9 años

n6 = 6 años

Fecha focal: a los seis años de la fecha de contratación de la obligación.

0

F. F.

12 años

$92 000Flujo 1

6 9Flujo 2

T = 11% A.C.M.

Figura 4.7

Solución

Problema resuelto

36. El restaurante Totto tiene una obligación de $92 500.00 que vence en nueve años, a una tasa de interés de 11% convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de la deuda equivalente al final de:

a) seis años?

b) doce años?

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107

Datos: Desarrollo:

b) T = 11% A.C.M. M12 años = C (1 + i )n = 92 500(1 + 0.009166)12(3)

i = 0.009166 mensual = 92 500(1.009166)36 = 92 500(1.38885)

Un pago de $92 500.00 M12 años = $128 468.22

n = 9 años

n12 = 12 años

Fecha focal: a los doce años de la fecha de contratación de la obligación.

0

F. F.

12 años

$92 000

6 9

T = 11% A.C.M.

Figura 4.8

Es importante hacer notar que C6 años es equivalente a M12 años

Desarrollo:

C6 años = M12 años (1 + i )-6n = 128 468.22(1 + 0.009166)-12(6) = 128 468.22(1.009166)-72

C6 años = 128 468.22(0.518432) = $66 602.08

0

F. F.

12 años

$92 000

6 9

T = 11% A.C.M.

Figura 4.9

Datos: Desarrollo:

a) T = 24% A.C.T. x = 100 000(1 + 0.06)-6 + 150 000(1.06)-16

i = 0.06 trimestral x = 100 000(0.70496) + 150 000(0.3936)

Un pago x x = 70 496.05 + 59 046.94

n6 = 18 meses = 6 trimestres x = $129 542.99

n16 = 4 años = 16 trimestres

Fecha focal: el día de hoy.

0

F. F.

16 trimestres

Pago

$100 0006

Deuda

T = 24% A.C.T.

$150 000

x

Figura 4.10

Solución

Problema resuelto

37. La fábrica de hielo del Atlántico debe $100 000 pagaderos al final de 18 meses y $150 000 pa-gaderos al final de cuatro años. La tasa de interés que aplicó Bancrédito fue de 24% convertible trimestralmente. El contador de la fábrica le propuso al administrador de la misma dos alternativas para liquidar en un pago el adeudo. La primera el día de hoy y la segunda dentro de dos años.

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108

Interés compuestoUNIDAD 4 Datos: Desarrollo:

b) T = 24% A.C.M. x = 100 000(1 + 0.06)2 + 150 000(1.06)-8

i = 0.06 trimestral x = 100 000(1.1236) + 150 000(0.6274)

Un pago x x = 112 360.00 + 94 111.86

n6 = 18 meses = 6 trimestres x = $206 471.86

n16 = 4 años = 16 trimestres

Fecha focal: a los dos años = 8 trimestres.

0

$100 000 $150 000

6 8

F. F.

16 trimestres

T = 24% A.C.T.

x

Figura 4.11

Datos: Desarrollo:

T = 28% A.C. Mensual Flujo 1 = Flujo 2

Fecha focal: sexto mes. x = 37 000(1.023333)3 + 17 400(1.023333)-2

x = 37 000(1.0716) + 17 400(0.9549)

x = 39 650.86 + 16 616.57

x = $56 266.44

Flujo 1

Flujo 20

37 000 17 4003 6

F. F.

8 meses

T = 28% A.C.M.

x

Figura 4.12

Solución

Problema resuelto

38. El Centro Sport debe pagar $37 000.00 dentro de tres meses y $17 400.00 en ocho. El Centro Sport acuerda con su acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el sexto mes a una tasa de 28% convertible mensualmente. Calcular el valor del pago único.

T1 = 22% A. C. Trimestral

T2 = 24% A.C. Trimestral

Fecha focal: nueve meses.

Solución

Problema resuelto

39. Para comprar un comedor con valor de $60 000.00, el Sr. José Soto decidió realizar dos pagos de $25 000.00, uno a los seis meses y el otro a doce. Los pagos se harán más los intereses de 22% anual capitalizable trimestralmente. Después de tres meses decide renegociar la deuda y acuerda pagarla en tres pagos trimestrales: el primero de $19 000.00, el segundo de $25 000.00 y el ter-cero por la diferencia; para este caso se acordó un interés de 24% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el valor del último pago?

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109

0

60 000

25 000 + I6 12 meses

T1 = 22% A.C.T.Deuda

25 000 + IPagos

Figura 4.13

Los pagos originales serían a los seis meses de:

25 000(1 + 0.055)2 = $27 825.62

y a los doce meses de:

25 000(1 + 0.055)4 = $30 970.61

Al renegociar la deuda, queda como se muestra en la gráfica 4.14.

1

Deuda

Pagos0

19 0002 3

F. F.

4 trimestres

T2 = 24% A.C.T.

x

27 825.62

25 000

30 970.61

Figura 4.14

Desarrollo

19 000(1.06)2 + 25 000(1.06)1 + x = 27 825.62(1.06)1 + 30 970.61(1.06)-1

21 348.40 + 26 500 + x = 29 495.16 + 29 217.56

47 848.40 + x = 58 712.72

x = 58 712.12 - 47 848.40

x = $10 864.32

Datos: Desarrollo:

T = 18% A.C.M. x(1.015)12 = 100 000 + 90 000(1.015)-6

i = 0.015 mensual x(0.836387) = 100 000 + 90 000(0.914542)

Deuda 150 000 - 50 000 = 100 000 x(0.836387) = 100 000 + 82 308.7973

x182308.79730.836387

=

x = $217 971.82

0

F. F.

x6 12 meses

T = 18% A.C.M.Deuda

50 000Pagos

100 000

$90 000

Figura 4.15

Solución

Problema resuelto

40. La casa de ropa deportiva Uribe compra mercancía con valor de $150 000. Acuerda con su acree-dor realizar un pago de contado de $50 000 y $90 000 después de seis meses. La fábrica textil cobra intereses a 18% capitalizable mensualmente sobre saldos insolutos. ¿Qué pago final deberá realizar la casa de ropa deportiva al final de un año?

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110

Interés compuestoUNIDAD 44.7 Tiempo equivalente

El tiempo es equivalente cuando en una fecha determinada se puede cancelar, mediante un pago, la suma de los valores de un conjunto de obligaciones que tienen diferentes fechas de vencimiento.

El pago único se determina a través del cálculo del tiempo equivalente. Para tener una idea más clara se grafica el problema, colocando los pagos en sus respectivas fechas de vencimiento y se ubica la fecha focal.

3

Deuda

Tiempo0

$25 000

9 12

F. F.

n meses

T = 24% A.C.M.

. . . . . .

$18 000 . . . . . .$30 000

Figura 4.16

La fecha focal se determina de manera lógica, para este ejemplo se ubica en el doceavo mes, ya que en este, se cancelarán todas las obligaciones.

El pago único será de 18 000 + 25 000 + 30 000 = $73 000

El tiempo entre el pago de $73 000 y la fecha focal en n, se obtiene planteando la siguiente ecuación de tiempo equivalente.

Desarrollo:

18 000(1.02)9 + 25 000(1.02)3 + 30 000 = 73 000(1.02)n

18 000(1.195) + 25 000(1.0612) + 30 000 = 73 000(1.02)n

21 511.6662 + 26 530.20 + 30 000 = 73 000(1.02)n

78 041.866 = 73 000(1.02)n

n78041.86673000

(1.02 )=

(1.02)n = 1.069066

n log (1.02) = log (1.069066)

n (0.00860017) = 0.0290048

n0.02900480.00860017

=

n = 3.372584 meses

n = 3 meses, 11 días

Entonces, existen 3.372584 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente para el pago único será el siguiente.

Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (3 meses 11 días) = 8 meses y 19 días.

El pago será de $73 000.00 y se realizará dentro de 8 meses y 19 días.

Solución

Problema resuelto

41. La química Susana Altamirano tiene que pagar las siguientes obligaciones de $18  000.00, $25 000.00 y $30 000.00 con diferentes fechas de pago en 3, 9 y 12 meses, respectivamente. La química acordó con el banco realizar un pago único en una fecha, con una tasa de 24% capitaliza-ble mensualmente.

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111

6

Deuda

Tiempo0

$60 000

8 12

F. F.

n meses

T = 20% A.C.M.

. . . . . .

$40 000 . . . . . .$90 000

Figura 4.17

La fecha focal se ubica en el doceavo mes, ya que en este se cancelarían todas las obligaciones.

El pago único es de 40 000 + 60 000 + 90 000 = $190 000

El tiempo entre el pago de $190 000 y la fecha focal en n, se obtiene al plantear la siguiente ecuación de tiempo equivalente.

Desarrollo:

40 000(1.016666)6 + 60 000(1.016666)4 + 90 000 = 190 000(1.016666)n

40 000(1.104256) + 60 000(1.068349) + 90 000 = 190 000(1.016666)n

44 170.24 + 64 100.95 + 90 000 = 190 000(1.016666)n

198 271.19 = 190 000(1.016666)n

n198271.19190000

(1.016666 )=

(1.016666)n = 1.0435326

n log (1.016666) = log (1.0435326)

n (0.0071783) = 0.018506

n0.0185060.0071783

=

n = 2.57805 meses

n = 2 meses y 17 días

Entonces, existen 2.57805 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente para el pago único será el siguiente.

Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (2 meses 17 días) = 9 meses y 13 días.

El pago único será de $190 000 y deberá pagarse dentro de 9 meses y 13 días.

Solución

Problema resuelto

42. El talabartero Ronaldo Montero es un pequeño fabricante de carpetas y llaveros de piel, requiere introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Para ello, de-cidió contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente manera: $40 000.00 con vencimiento en seis meses, $60 000.00 a ocho y $90 000.00 en 12 meses. El talabartero Ronaldo decide renegociar su deuda para realizar un pago único, a una tasa de 20% capitalizable mensual-mente. Encontrar el tiempo equivalente.

Problema resuelto

43. La embotelladora de agua Alpina adeuda al Banco Nacional $45 000.00 con vencimiento en tres meses y $15 000.00 con vencimiento en nueve. La embotelladora desea liquidar la deuda hoy con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equivalente si la tasa de interés es de 30% capitalizable mensualmente?

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112

Interés compuestoUNIDAD 460 000(1.025)x

0 3 9 meses

45 000 15 000

Figura 4.18

Desarrollo:

60 000(1.025)n = 45 000(1.025)-3 + 15 000(1.025)9

60 000(1.025)n = 45 000(0.928599) + 15 000(0.800728)-9

60 000(1.025)n = 41 786.97 + 12 010.92

60 000(1.025)n = 53 797.89

n(1.025 )53797.8960000

=

(1.025)n = 0.89663159

nlog ( 0.89663159 )

log (1.025 )=

n0.04738596

0.0107238654.41874=

−= −

n = 4 meses y 13 días

La embotelladora debe liquidar sus préstamos con un pago único de $60 000.00 dentro de cuatro meses y 13 días.

Solución

90 000 98 000 98 000

0 6 12 meses

248 500

Figura 4.19. Primero se necesita trasladar todas las cantidades al mismo tiempo.

Valor actual de los dos pagares

C 90000 98000 10.1612

98000 10.16121

6 12

= + +

+ +

− −

C1 = 90 000 + 90 513.24 + 83 598.43

C1 = $264 111.67

Valor actual de la segunda propuesta.

C2 = 264 111.67 - 248 500 = $15 611.67

Le conviene aceptar la primera propuesta, ya que tendrá un ahorro de $15 611.67 si compra ahora el automóvil.

Solución

Problema resuelto

44. El contador Alejandro Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de com-pra. El primero consiste en pagar de contado la cantidad de $248 500.00. El segundo es pagar un anticipo de $90 000.00 y el saldo en dos pagarés de $98 000.00 a 6 y 12 meses. Si el contador invirtiera en el banco el dinero a una tasa de 16% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes le conviene?

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113

4.8 Inflación

Es importante saber de qué manera se incorpora la inflación a un análisis financiero, ya que hasta este momento se ha estudiado en los dos capítulos el manejo del dinero sin considerar la inflación, o considerando un incremento tan bajo en los precios de los bienes o servicios que prácticamente este problema no se toma en consideración.

¿Qué efecto tiene la inflación en el poder adquisitivo? La respuesta es, el valor del dinero disminuye, por tanto el poder de compra. Lo anterior también se puede entender con un ejemplo: si con $64.00 se compran ocho gomas y cada una cuesta $8.00 en el mes de enero, con los mismos $64.00 en diciembre del mismo año solo se podrá comprar siete gomas y cada una costará $8.32. Entonces, el incremento en el precio de cada goma será 4% en un año; por tanto, la inflación para el caso de los gomas será 4% anual. En la economía de un país no solo se venden y producen gomas, también diferentes bienes y servicio. La inflación se representa por lo regular en términos del porcentaje que presenta la tasa de incremento de los precios en una quincena, mes o año, con respecto a los precios de la quincena, mes o año anterior.

AlertaDefinición

La inflación es el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios que se producen en un país, se simboliza con la letra griega l (lambda).

Calcular el valor de vencimiento del pagaré.

Datos: Desarrollo: C = $583 350.00 M = 583 350(1.02)13 = 583 350(1.2936) = $754 625.43 T = 2% mensual n = 13 meses Incógnita M

Se encuentra el valor actual a la fecha de descuento.

Datos: Desarrollo: M = $754 625.43 T = 1.8% mensual C M

ip

np

1 754625.43(1.018 ) 754625.43( 0.8826 ) $666034.917= +

= = =−

n = 7 meses Incógnita C C M

ip

np

1 754625.43(1.018 ) 754625.43( 0.8826 ) $666034.917= +

= = =−

Descuento compuesto 754 625.43 - 666 034.91 = $88 590.52

Solución

Problema resuelto

45. El señor Leonardo García firma un pagaré por la cantidad de $583 350.00, a plazo de trece meses, con una tasa de interés de 2% mensual. El señor García va a descontar el documento siete meses antes de su vencimiento, con una tasa de 1.8% mensual. ¿Cuál es el valor actual del documento?

Datos: Desarrollo: l = 6.35% anual M = C (1 + i )n

C = $6 700.00 M = 6 700 (1 + 0.0635)9

n = 9 años M = 6 700 (1.0635)9

Incógnita M M = 6 700 (1.740353) M = $11 660.36

El costo de una silla de piel para escritorio en enero del año 2015 será de $11 660.36.

Solución

Problema resuelto

46. Supón que la tasa de inflación anual se mantiene constante desde enero de 2006 hasta enero de 2015 (6.35%). Encontrar el precio de una silla para escritorio de piel en el mes de enero del 2015, si en el mes de enero del año 2006 costaba $6 700.00.

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114

Interés compuestoUNIDAD 4La inflación es un problema económico que tiene causas muy complejas.

■ El incremento de monedas y billetes circulantes, sin un incremento de la producción de bienes y servicios equivalente.

■ Cuando se recurre a la emisión de dinero para cubrir el déficit presupuestal del gobierno.

■ Si la demanda de un bien o servicio es mayor que la oferta los precios suben. Esto se debe al exceso de moneda circulante, ya que la gente tiene más dinero para comprar entonces la demanda aumenta.

Al hablar de una inflación baja, se debe entender como el incremento mínimo en los precios de los bienes o servicios en un periodo determinado; por ejemplo, una inflación anual de 0.5% o de 1.2%.

La tasa de inflación se calcula con la siguiente expresión.

I1 + lI1 = I2 4.14

I1 (1 + l) = I2

λ+ =I

I1 2

1

λ = −I

I12

1

4.15

l Tasa de inflación.

I1 Índice de precios al inicio del periodo.

I2 Índice de precios al final del periodo.

AlertaDefinición

Deflación es cuando los precios de los bienes o servicios bajan.

AlertaAdvertencia

Cuando se habla de una inflación baja, no significa que se presente una deflación.

Datos: Desarrollo:

Índice Nacional de Precios al Consumidor

I

I12

1

l = −

Año Enero Índice

2009 13.11855899 I1

2014 17.98345675 I2

17.9834567513.11855899

1l = − Incógnita l l = 1.37084 - 1

l = 0.37084

l = 37.084%

Solución

Problema resuelto

47. Encontrar la tasa de inflación presentada de enero de 2009 a enero de 2014.

Datos: Desarrollo:

l = 0.3564% mensual l = (1 + l)n - 1 4.16

Incógnita l1 l = (1 + 0.003564)12 - 1

l = 1.0436164 - 1

l = 0.0436164

l = 4.36164% anual

Solución

Problema resuelto

48. ¿Qué tasa de inflación acumulada se tendrá a finales de 2016? Si la inflación en el mes de enero de 2016 fue de 0.3564%, suponer que la tasa de inflación es la misma para todo el año.

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115

Datos Desarrollo

l = (1 + l1)(1 + l2)(1 + ln) - 1l

l = (1.00003554)(1.00333173)(1.00450726) (1.00356142)(1.00002512)(1.00095988) - 1

l = 1.0124757 - 1

l = 0.0124757

l = 1.2476%

Mes Inflación

Enero 0.003554%

Febrero 0.333173%

Marzo 0.450726%

Abril 0.356142%

Mayo 0.002512%

Junio 0.095988%

Incógnita l

l = (1 + l1)(1 + l2)(1 + ln) - 1 4.17

l1, l2, ln Tasa de inflación por periodo

La inflación acumulada en los dos primeros trimestres de 2015 es de 1.2476%.

Solución

Problema resuelto

50. Encontrar la inflación en los dos primeros trimestres de 2015.

Problema resuelto

51. Este ejemplo muestra de qué manera se puede tomar una decisión para invertir el dinero en una institución bancaria con base al concepto de interés compuesto. El objetivo final de esta inversión será alcanzar a reunir la máxima cantidad de dinero a futuro para comprar o adquirir los bienes o servicios deseados.

El historiador Arturo Moreno Camargo recibió la cantidad de $500 000.00 de una herencia. Él y su esposa María de los Ángeles analizaron en qué gastarían el dinero. Decidiendo utilizar $320 000.00 para realizar arreglos a su casa, $100 000.00 guardarlos para imprevistos y $80 000.00 invertirlos en una institución bancaria, con el objetivo de utilizar ese dinero para cuando su hijo Jesús Miguel ingresara a la universidad; ya que los costos de la inscripción, mensualidades y libros se incre-mentarán conforme trascurra el tiempo. En la actualidad Jesús Miguel tiene tres años de edad, para cuando ingrese a la universidad transcurrirán 15 años. Ellos deciden visitar tres instituciones financieras para decidir en cuál depositarán el dinero, la primera que visitaron fue Banorte. Esta les ofreció invertir a plazo fijo con interés de 12.5% capitalizable bimestralmente; la segunda fue Banejército, que ofreció invertir a plazo fijo con un interés de 11.6% capitalizable trimestralmente; el último, Bonos del Ahorro les ofreció ganar 15.6% capitalizable semestralmente. Suponiendo que las tres instituciones financieras ofrecen la misma liquidez. ¿Por cuál banco deben decidirse para invertir su dinero?, con el objetivo de que dentro de 15 años alcance el máximo monto. Considerar que la tasa de interés permanece constante durante todo el plazo y no hay inflación.

Datos Desarrollo: C = $8 400.00 Costo + Inflación = Nuevo Costo n = 1 año Costo1 + l Costo1 = Costo2

l = 4.76825% anual (8 400) + (8 400) (0.0476825) = $8 800.53 Incógnita I2 (M )

Solución

Problema resuelto

49. El señor Gómez desea comprar un refrigerador para su taller en el mes de enero de 2015, el refrigerador cuesta $8 400.00, un gasto imprevisto le impide comprar el refrigerador, por lo que se pregunta cuánto le costará en el mes de diciembre del mismo año, si la tasa anual acumulada constante fue de 4.76825% anual.

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116

Interés compuestoUNIDAD 4Se tienen que calcular las tres tasas anuales compuestas por mes para poder hacer la comparación.

Pasos a considerar para tomar una decisión de inversión.

• Noesnecesarioconocerelcapitalconelquesecuenta.

• Loquesíesimportanteesconocerlatasaanualparacadaalternativaquesetenga(Banorte,Banejército, Bonos del Ahorro).

• Latasaanualsecapitalizaconlamismafrecuenciaydebeserequivalentealasalternativaspresentadas (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro).

Primero calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banorte.

Tasa i anual capitalizable cada mes M Ci

1121

12

= +

Tasa i anual capitalizable cada bimestre M C 10.12562

6

= +

Igualando M1 = M2

M1 = M2

Ci

C112

10.1256

12 6

+

= +

i

112

(1 0.020833 )12

12 612+

= +

i

112

1.1316912+ =

i

12(1.13169 ) 1

112= −

i = 12[(1.13169)0.0833 - 1]

i = 12(0.01036)

i = 12.43% anual convertible mensualmente

Después calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banejército.

Tasa i anual capitalizable cada mes M Ci

1123

12

= +

Tasa i anual capitalizable cada trimestre M C 10.116

44

4

= +

Igualando M3 = M4

M3 = M4

Ci

C112

10.116

4

12 4

+

= +

i

112

(1 0.029 )12

12 412+

= +

i

112

1.121144312+ =

Solución

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117

i

12(1.1211443 ) 1

112= −

i = 12[(1.1211443)0.0833 - 1]

i = 12(0.009574)

i = 11.49% anual convertible mensualmente

Por último, calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Bonos del Ahorro.

Tasa i anual capitalizable cada mes M Ci

1125

12

= +

Tasa i anual capitalizable cada semestre M C 10.15626

2

= +

Igualando M5 = M6

M5 = M6

Ci

C112

10.1562

12 2

+

= +

i

112

(1 0.078 )12

12 212+

= +

i

112

1.16208412+ =

i12

(1.162084 ) 1112= −

i = 12[(1.162084)0.0833 - 1]

i = 12(0.012597)

i = 15.12% anual convertible mensualmente

La mejor opción en la que conviene invertir es la de Bonos del Ahorro, ya que la tasa que ofrece de 15.6% anual capitalizable cada semestre es equivalente a una tasa de 15.12% anual capitalizable men-sualmente, esta tasa mensual fue la más alta de las tres alternativas (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro).

Para conocer la cantidad de dinero con que contarán dentro de 15 años, es necesario calcular el monto.

Datos: Desarrollo:

C = $80 000.00

T = 15.12% A.C. Mensual M Cip

np

1= +

i15.1212

1.26% mensual= =

n = 15 años M 80000 1

0.151212

( 15 )( 12 )

= +

Incógnita M M = 80 000[1 + 0.0126]180

M = 80 000[1.0126]180

M = 80 000[9.52415]

M = $761 931.86

La cantidad de dinero con que contarán después de 15 años es de $761 931.86.

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118

Interés compuestoUNIDAD 4

❚ Fórmulas empleadas

Capitalización anual:

M = C (1 + i )n 4.1

I = Cni 4.2

M = C (1 + i )n 4.3

Capitalización fraccionaria:

= +

M Cip

np

1 4.4

Cuando el periodo tiene el componente continuo (capitalización continuamente)

M = Ce j∞

(n) 4.5

Valor actual o presente:

( )

=+

CM

i n1 4.6

C = M (1 + i )-n 4.7

C = M (1 + i )-n 4.8

C = M (e)-(nj∞

) 4.9

Datos:

x el pago equitativo requerido

Alejandro de 15 años recibirá $ x dentro de nueve años.

Héctor de 18 años recibirá $ x dentro de seis años.

Mónica de 21 años recibirá $ x dentro de tres años.

La fecha focal para el cálculo de x se fija para hoy.

0

F. F.

x6 18 semestres

T = 10% A.C.S.Flujo 1

Flujo 2

$800 000

x x12

Figura 4.20

Desarrollo:

x (1.05)-6 + x (1.05)-12 + x (1.05)-18 = 800 000

x (0.7462) + x (0.5568) + x (0.4155) = 800 000

x (1.7185) = 800 000

x = $465 512.26

Solución

Problema resuelto

52. El comerciante Luis Eduardo Chavarría Barbosa cuando llevó a cabo su testamento, como acto de personalísima voluntad en una de sus cláusulas estipuló que $800 000.00 de sus bienes se aplicara en un fondo de inversión de bajo riesgo. Este dinero deberá ser entregado en partes iguales a cada uno de sus hijos como beneficiarios al cumplir la edad de 24 años. Cuando el señor Chavarría falleció sus hijos tenían 15,18 y 21 años, respectivamente. El fondo de inversión generó en prome-dio intereses de 10% con capitalizaciones semestrales.

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119

Tiempo:

n

MC

pip

log

log 1

=

+

4.10

Tasa:

=

−i

MC

n 1˘˙˚ 4.11

i

MC

nantilog

log1=

− 4.11a

Tasa efectiva:

= +

−eip

p

1 1 4.12

Tasa nominal:

i = [(1 + e)1/p] - 1 4.13

Inflación:

I1 + lI1 = I2 4.14

Tasa de inflación:

λ = −I

I12

1

4.15

Tasa de inflación acumulada constante:

l1 = (1 + l)n - 1 4.16

Tasa de inflación acumulada variable:

l = (1 + l1)(1 + l2) … (1 + ln) - 1 4.17

Tasa de inflación por periodo

l1, l2, … ln

❚ Nomenclatura

LETRA SIGNIFICADO

C Es el capital inicial (valor actual)

n Número total de periodos de capitalización

M Monto (valor futuro)

T Tasa de interés compuesto

e Tasa efectiva

i Tasa nominal

i Interés compuesto al tanto por uno

(1 + i )n Factor de acumulación o factor de interés compuesto

P Frecuencia de capitalización

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120

Interés compuestoUNIDAD 4

Problemas para resolverUNIDAD 4

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

❚ Glosario

Actualizar. Conociendo el monto se desea saber el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, durante un plazo determinado (ir del futuro al presente).

Capitalizar. Es cuando se agrega el interés al capital al final de un determinado periodo (ir del pre-sente al futuro).

Frecuencia de capitalización de intereses. Periodo en el que se van a producir nuevos intereses (mes, bimestre, trimestre, semestre, etc.). A mayor frecuencia de capitalización mensual (12) bimestral (6) en un año, se obtienen más intereses.

Interés compuesto. Es el capital al que se le acumulan los intereses devengados al final del periodo, este da origen a un nuevo capital sobre el que se generan nuevos intereses.

Liquidez. Característica de ciertos activos que son fácilmente convertibles en efectivo; como son de-pósitos bancarios a la vista, activos financieros que pueden ser vendidos instantáneamente.

Periodo de capitalización. Es un intervalo regular, en el que se generan intereses, los cuales se le agregan al capital al final de éste.

Tasa efectiva. Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que una tasa com-puesta.

Tasa nominal. Es la tasa de interés anual, sin tomar la capitalización.

Valor actual o presente. Es el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determina-da, para llegar a tener un monto al final de un periodo dado.

Frecuencia de conversión

4.1 ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito que paga un interés de 18% capitalizable bimestralmente?

4.2 ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito que paga un interés de 7% capitalizable mensualmente?

4.3 Si la tasa de interés es de 13.8% capitalizable trimestral-mente durante dos años determinar:

a) frecuencia de capitalización.

b) el interés por periodo.

c) el número total de periodos de capitalización.

4.4 Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestral-mente durante tres años determinar:

a) frecuencia de capitalización.

b) el interés por periodo.

c) el número total de periodos de capitalización.

4.5 ¿Qué cantidad podrá tener Lorena García dentro de cuatro años, si invierte $5 800.00 en Banorte y los intereses que paga son de 1.8% trimestral?

4.6 Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de interés del:

a) 28% anual capitalizable semestral (A.C.S.)

b) 28% anual capitalizable trimestral (A.C.T.)

c) 28% anual capitalizable mensual (A.C.M.)

4.7 Se desea conocer el monto acumulado, cuando el ca-pital es de $18 000.00, invertido a 18% anual capitalizable bimestralmente, siendo el plazo de 18 meses.

4.8 Se invierten $15 500.00 durante 24 meses a una tasa de 7.56%, para comprar una computadora portátil, encontrar el valor acumulado.

4.9 El señor Martínez invirtió $22 000.00 en Bansur, por un plazo de cuatro años, con un interés de 9.7% capitalizable trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión la tasa se modificó a 8% convertible mensualmente. Encon-trar el monto al final de los cuatro años.

4.10 La bióloga Roxana Hernández obtuvo un préstamo bancario por $12 500.00 a un año y con un interés de 22% capitalizable bimestralmente. Ella decidió liquidarlo en for-ma anticipada habiendo transcurrido seis meses y medio. ¿Cuál será la cantidad que debe pagar?

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121Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

4.23 ¿En cuánto tiempo se triplica un capital que se invierte al 23% capitalizable mensualmente?

4.24 En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo a la mitad si se tiene una inflación del:

a) 50%

b) 30%

c) 17%

d ) 14%

e) 10%

f ) 5%

4.25 ¿En cuánto tiempo un capital de $5 700.00 se convier-te en un monto de $7 000.00 a una tasa de 15% capitalizable diariamente?

4.26 ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $2 800.00, para alcanzar la cantidad de $3 999.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 8% capitalizable trimestralmente?

4.27 ¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se con-vierte en un monto de $19 000.00 a una tasa de 8% capita-lizable bimestralmente?

4.28 El administrador Ramón Mendieta depósito en una institución financiera $600 000.00 y después de tres años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950 000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral que le dio la institución financiera a su inversión?

4.29 Una inversión de $10 000.00 en 10 años quintuplica su valor. Calcular la tasa anual.

4.30 Una inversión de $75 000.00 a 18 meses alcanzó un monto de $82 354.27. Calcular la tasa anual.

4.31 La tasa de 14.816% anual convertible mensualmente es equivalente a la de 15% anual convertible trimestralmen-te.

4.32 Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmen-te a una equivalente de 21.8% capitalizable mensualmente.

4.33 Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimes-tralmente a una equivalente de 10.8% capitalizable mensual-mente.

4.34 Encontrar la tasa de interés convertible bimestralmen-te a una equivalente de 8% capitalizable mensualmente.

4.35 Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestralmente.

4.36 Encontrar la tasa efectiva que se paga por un présta-mo, a una tasa de interés de 18% anual capitalizable semes-tralmente.

4.37 Encontrar la tasa efectiva que se paga por un présta-mo, a una tasa de interés de 12% anual capitalizable trimes-tralmente.

4.38 Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 10%.

4.11 La socióloga Alondra Rea invierte $19 500.00 en Ba-norte a un año y medio a una tasa de interés nominal de 4.5%. ¿Qué cantidad recibe al final del plazo?

a) Con capitalización bimestral.

b) Con capitalización continua.

4.12 Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestral-mente durante tres años determinar:

a) Frecuencia de capitalización.

b) El interés por periodo.

c) El número total de periodos de capitalización.

4.13 ¿Cuál será el valor presente de $11 600.00 invertidos nueve meses antes, a una tasa de 24% capitalizable men-sualmente?

4.14 ¿Cuál será el valor presente de $28 000.00 invertidos 14 meses antes, a una tasa de 18% capitalizable bimestral-mente?

4.15 ¿Cuánto debe depositar la estudiante Alejandra Mar-tínez, si desea tener un monto de $14 600.00, dentro de tres años a una tasa de interés de 10% anual capitalizable mensualmente para su fiesta de graduación?

4.16 El contador Alejandro Herrera desea comprar un auto-móvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero, es pagar de contado la cantidad de $125 000.00, y el segundo es pagar un anticipo de $50 000.00 y el saldo en dos paga-rés de $45 210.00 cada uno a 6 y 12 meses. Si el contador invirtiera su dinero en un fondo de inversión a una tasa de 8.9% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes le conviene?

4.17 Calcular el valor actual de $69 572.00, pagaderos a un año ocho meses, con una tasa de 24% capitalizable cada tres meses.

4.18 Calcular el valor actual de $25 840.00, pagaderos a un año ocho meses, a una tasa de 20% capitalizable cada tres meses.

4.19 Calcular el valor actual de $45 000.00, pagaderos a ocho meses y 13 días, a una tasa de 24.6% capitalizable mensualmente.

4.20 La señora Amanda García firmó un pagaré por la can-tidad de $11 349.00, a plazo de un año, con una tasa de interés de 1.5% mensual. La señora García piensa descontar el documento cinco meses antes de su vencimiento, con una tasa de 18% con capitalización mensual. ¿Cuál será el valor actual del documento a los cinco meses?

Calcular el valor de vencimiento del pagaré

4.21 ¿En cuánto tiempo un capital de $700.00 se convierte en un monto de $1 000.00 a una tasa de 8% capitalizable bimestralmente?

4.22 Un capital de $19 870.00 produce intereses a una tasa de 24% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inver-sión llegará a $21 873.15?

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122Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

UNIDAD 4 Problemas para resolver

semestralmente. Después de tres meses decide renegociar la deuda y acuerda pagarla en tres pagos trimestrales: el primero de $9 000.00, el segundo de $15 000.00 y el tercero por la diferencia, para este caso se acordó un interés de 24% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el valor del último pago?

4.45 El contador Salvador Rodríguez tiene que pagar las siguientes obligaciones de $5 000.00, $10 000.00 y $20 000.00 con diferentes fechas de pago de 3, 8 y 10 me-ses, respectivamente. El contador piensa realizar un pago único en una fecha determinada, con una tasa de 18% capi-talizable mensualmente.

4.46 El ingeniero Pedro Morales es un pequeño fabrican-te de llaveros que requiere introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Decide contraer una deuda con una institución bancaria de la si-guiente forma: $20 000.00 con vencimiento en cinco meses, $30 000.00 a ocho meses y $40 000.00 con vencimiento en 12 meses. Al empresario le interesa realizar un pago único, con una tasa de 24% capitalizable mensualmente. Encontrar el tiempo equivalente.

4.47 La compañía productos de agrícola, adeuda al banco $35 000.00 con vencimiento a dos meses y $25 000.00 con vencimiento a seis meses. La compañía desea liquidar la deuda hoy con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equiva-lente suponiendo un interés de 2% mensual?

4.39 ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmen-te equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestral-mente?

4.40 ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmen-te equivalente a una tasa de 14% capitalizable trimestral-mente?

4.41 ¿Qué cantidad debe pagarse en un trimestre para sal-dar una deuda de tres pagos mensuales de $1 000.00 dada una tasa de 12% capitalizable mensualmente?

4.42 La contadora Alma Robles debe pagar $3 000.00 den-tro de tres meses y $7 400.00 dentro de seis. Acuerda con su acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el quinto mes a una tasa de 26.7% convertible mensualmente. Calcular el valor del pago único.

4.43 Un taller textil solicitará un préstamo de $2 000 000.00 dentro de dos años a pagar en uno y otro de $3 500 000.00 den- tro de cuatro. La forma de pago será de la siguiente mane-ra: el día de hoy paga $1 000 000.00 y posteriormente dos pagos iguales, el primero dentro de un año y el segundo a los tres años con una tasa de interés de 24% capitalizable bimestralmente. ¿Cuál fue el importe de cada pago?

4.44 Al adquirir un escritorio y tres libreros con valor de $30  000.00, el doctor Suárez decidió realizar dos pagos de $15 000.00, uno a los seis meses y el otro al año. Los pagos se harán más los intereses de 22% anual capitalizable

PROBLEMAS RETO

Problemas complementarios de interés compuesto

Si la tasa de interés es de 10% capitalizable semestralmente durante tres años determinar:

a) frecuencia de capitalización.

b) el interés por periodo.

c) el número total de periodos de capitalización.

El director de la escuela invirtió $42 000.00 en Bansur, por un plazo de cuatro años, con un interés de 12% capitalizable trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión la tasa se modificó a 15% convertible mensualmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.

¿Cuánto debe depositar una persona, si desea tener un monto de $16 600.00, dentro de tres años a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente para su fiesta de graduación?

¿En cuánto tiempo un capital de $7 530.00 se convierte en un monto de $7 980.00 a una tasa de 15% capitalizable diariamente?

Una inversión de $7 000.00 en tres años triplica su valor. Calcular la tasa anual.

Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22.5% capita-lizable mensualmente.

1

2

3

4

5

6

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UNIDAD 5

Anualidades

OBJETIVOS

Comprenderá el concepto de anualidad y su aplicación.

Identificará los diferentes tipos de anualidades como son las simples, vencidas u ordinarias, anticipadas, diferidas, generales y a perpetuidad.

Resolverá problemas de anualidades determinando el valor del dinero a través del tiempo:

• Monto

• Capitalyvalorpresente

• Plazo

• Renta

¿QUÉ SABES?

¿Sabes qué significa el término anualidad?

¿Qué entiendes por una anualidad a perpetuidad o perpetua?

¿Sabes cuándo se efectúan los pagos en una anualidad ordinaria?

¿Quénombrerecibirálaanualidad,enlaquelospagosserealizanalprincipiodecadaperiodo?

¿En una anualidad diferida sabes qué es el periodo de gracia o periodo de diferimiento?

Losperiodosdecapitalizacióndelatasadeinterés,sonperiodosendondelos______________.

¿Sabes cómo se llama la anualidad, cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización?

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124

AnualidadesUNIDAD 55.1 Introducción

En la actualidad, el término anualidad se encuentra muy arraigado en la matemática financiera, siendo esta una sucesión de pagos iguales que se realizan al final de cada año. El concepto de anualidad también se emplea en periodos de pago cuya frecuencia puede ser: semestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal, diaria o cualquier otra.

En los siguientes casos se efectúan una serie de pagos iguales, a intervalos iguales, en un plazo de­terminado por el deudor y acreedor. En lugar de realizar pagos anuales durante un plazo determinado.

El pago mensual por compra a crédito de un automóvil, el pago mensual a tarjeta de crédito por la compra de un servicio o artículo a meses sin intereses, el pago mensual por la renta (anticipada) de una casa habitación, el abono mensual por dividendo de acciones, los abonos a un fondo de amortiza­ción, el descuento se le realiza al trabajador vía nómina para el pago quincenal de un seguro de vida o para el pago a fonacot por un artículo del hogar adquirido por el trabajador, el pago mensual de cuo­tas al imss por parte del patrón.

Definición

La anualidad es una serie de pagos, depósitos o retiros iguales que se efectúan a intervalos iguales con interés compuesto.

Cuando los periodos de pago son menores a un año se acostumbra utilizar el término renta para realizar el pago de una anualidad.

Definición

La renta en una anualidad es el pago, depósito o retiro que se realiza en forma periódica y se simboliza con la letra R.

4 años

Plazo de la anualidad

20 31

RC RRR

Intervalo o periodo de pago

Figura 5.1 Plazo de la anualidad, renta e intervalo.

Es importante aprender el significado de los siguientes conceptos:

Periodo o intervalo de pago es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Plazo de la anualidad es el tiempo transcurrido desde la fecha inicial del primer pago hasta la fecha final del último pago.

Clasificación de las anualidades

Cuadro 5.1 Clasificación de las anualidades

Criterio Tipo de anualidad

Tiempo

Cierta Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.

Contingentes o eventual La fecha del primer pago, segundo o ambos no se determinan con anterioridad, esto va a depender de que el suceso ocurra, pero se desconoce la fecha.

InterésSimple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

General El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Pagos

Vencido u ordinario Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.

Anticipados Los pagos se efectúan al principio de cada periodo o intervalo.

Inmediatos El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la formalización del trato.

IniciaciónAnticipada Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

Diferida Se pospone la realización de los pagos. No se realizan a partir del primer periodo.

AlertaEl término anualidad o renta:

• Eslasumafijaqueseentregaorecibeenformaanual durante un periodo o enformaperpetua.

• Entérminosbancarioslaanualidadesuna cuota anual de devolución de un pago aunpréstamo,enelcualnormalmenteseincluyenelcapitalylosintereses.

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125

5.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua

Es otro tipo de anualidad, con la característica de que no se conoce cuándo se realizará el último pago de la renta (o por tiempo ilimitado).

5.3 Anualidades vencidas

Existen varios tipos de anualidades vencidas, entre las más comunes encontramos:

Anualidad simple

Se conoce así porque el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Anualidad cierta

Donde las fechas de pago se determinan con anterioridad y son fijas.

Anualidad vencida

Consiste en efectuar los pagos al vencimiento del periodo.

Anualidad inmediata

Se presenta cuando se realiza el pago en el primer periodo después de la formalización del trato.

En el cuadro 5.2 se explica cómo identificar los diferentes tipos de anualidades vencidas cuando son planteadas para resolver un ejemplo o problema:

Cuadro 5.2 Forma de identificar la anualidad vencida

Criterio Anualidad vencida Ejemplo

Tiempo (Cierta) Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad. Al final del mes (el día 28 o 30 o 31).

Plazo Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.

El plazo puede ser de dos años.

Iniciación (Inmediata)

El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato).

Al final del mes de mayo (el día 31).

Pagos Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo. •  Al final del mes.•  El día último del mes.•   El día 31 del mes (el periodo que comprende del día 

1 al día 31 de mayo).

Interés(Simple)

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Periodo de pago de un mes y la tasa de interés es de 10% anual convertible mensualmente.

❚ 5.3.1 Monto en anualidades vencidas

El ejemplo que se presenta a continuación permitirá comprender cómo calcular el monto de una anualidad mediante varios depósitos de renta fija. Primero se encontrará la solución utilizando los co­nocimientos de progresiones, interés compuesto y de ecuaciones equivalentes y después se obtendrá la expresión para calcular el monto de la anualidad vencida.

AlertaA la anualidad vencida tambiénseleconocecomoanualidad ordinaria.

Problema resuelto

1. Para incrementar el saldo promedio mensual se depositará una cantidad mínima de $150.00 mes con mes y por medio de ellos poder escalar en los niveles de ahorro que le permitan participar en sorteos bimestrales para poder ganar un premio, el alumno Alejandro Ortiz se pregunta, ¿qué cantidad de dinero necesitaría acumular en un año si depositara $150.00 al final de cada mes en una cuenta de inversión que rinde 4.8% anual convertible mensualmente?

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126

AnualidadesUNIDAD 5 Datos

T = 4.8% anual

R = $150.00

n = 12 meses

Incógnita M

2 5 11 12 meses0

M = ?

150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150

6 7 8 9 10431

Figura 5.2 Plazodelaanualidad,rentaeintervalo(detiempo).

1. Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equivalentes:

Poner los datos en el orden de la serie:

M = $150.00(1.004)11 + $150.00(1.004)10 + $150.00(1.004)9 + $150.00(1.004)8 + $150.00(1.004)7 + $150.00(1.004)6 + $150.00(1.004)5 + $150.00(1.004)4 + $150.00(1.004)3 + $150.00(1.004)2 + $150.00(1.004)1 + $150.00(1.004)0

Cambiando el orden de la serie se tiene:

M = $150.00 + $150.00(1.004)1 + $150.00(1.004)2 + $150.00(1.004)3 + $150.00(1.004)4 + $150.00(1.004)5 + $150.00(1.004)6 + $150.00(1.004)7 + $150.00(1.004)8 + $150.00(1.004)9 + $150.00(1.004)10 + $150.00(1.004)11

M = $1 840.13

Al estar el orden invertido se puede ver que el monto es una serie geométrica.

La serie geométrica se define como:

=−−

=−−

S trr

t t r

r

n n(1 )1 11

1 1

Donde:

Cuadro 5.3 Serie geométrica

S Suma

t1

Primer término

r Razón

n Número de términos

Al sustituir la simbología de anualidades en la serie geométrica se tiene:

Cuadro 5.4 Serie geométrica de una anualidad

Serie geométrica Anualidad

S Suma M Monto

t1

Primer término R Renta

r Razón (1 + t) Razón

n Número de términos n Periodo

Utilizando la siguiente forma algebraica:

=− +− +

MR R i

i

n(1 )1 (1 )

5.1

Solución

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127

Simplificando en forma algebraica se obtiene:

=+ −

M Rii

n(1 ) 1 5.2

R = pago periódico de la anualidad

n = número de periodos de conversión de interés durante el tiempo de la anualidad

i = tasa de interés por periodo de conversión

M = Valor acumulado o suma de una anualidad

Valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 cada uno valor acumulado de $1 por periodo.

Factor de acumulación de n pagos + −

ii

n(1 ) 1

La ecuación 5.2 permite obtener el cálculo del monto de una anualidad simple, cierta, vencida e inme­diata.

2. Cálculo del monto de la anualidad vencida con las fórmulas 5.1 y 5.2:

a) Se utiliza la fórmula 5.1:

=−

−=

−−

S$150.00 $150.00 (1.004 )

1 1.004$150.00 $150.00 (1.04907 )

0.004

12

S =−

−=

−−

=$ . $ .

...

$150 00 157 3605

0 0047 36050 004

18440 125.

b) Ahora se emplea la fórmula 5.2:

=−

=

=

M $150.00(1.004 ) 1

0.004$150.00

1.04907 10.004

$150.000.049070.004

12

M = $150.00(12.268) = $1 840.13

Datos:

R = $50 000 Incógnita M

T = 1.32% A.C.T.

i = 0.0033 trimestral

n = 17 trimestres

=+ −

M Rii

n(1 ) 1

=−

=

=

50000.00(1.0033 ) 1

0.003350000.00

1.058203 10.0033

50000.000.0582030.0033

17

M = 50 000(17.63735) = $921 522.16

Solución

Problema resuelto

2. El hermano del arquitecto Demetrio Duarte deposita cada tres meses $50 000.00 en su cuenta de inversión, la cual paga 1.32%. ¿Cuánto dinero tendrá después del depósito del 31 de marzo de 2017, si el primer depósito se realizó el 31 de marzo de 2013?

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128

AnualidadesUNIDAD 5

Datos Desarrollo:

R = $40 000

T = 18% A M Rii

n(1 ) 140 000

(1.18 ) 10.18

40 0002.699554 1

0.1840 000

1.6995540.181

6

=+ −

=

=

=

n = 6 años

Incógnita M M Rii

n(1 ) 140 000

(1.18 ) 10.18

40 0002.699554 1

0.1840 000

1.6995540.181

6

=+ −

=

=

=

M1 = 40 000(9.441967) = $377 678.70

Solución

Problema resuelto

3. Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $40 000 anuales durante seis años, a una tasa de interés de 18%.

1 mar 131 feb 13

400

1 feb 19 1 mar 19 1 mar 23

T = 4.5% A.C.M.$3 000 300

M = ?300400

. . . . . .. . . . . .

Figura 5.3.

M = M1 + M2 - M3

M = 4 700.98 + 32 992.33 - 15 745.15

M = $21 948.16

= +

= =M 3000 10.04512

3000(1.00375 ) 3000(1.566992 )1

120120

M1 = $4 700.98

=−

=

=

M 400(1.00375 ) 1

0.00375400

1.309303 10.00375

4000.3093030.003752

72

M2 = 400(82.48082) = $32 992.33

=−

=

=

M 300(1.00375 ) 1

0.00375300

1.96814 10.00375

3000.1968140.003753

48

M3 = 300(52.483833) = $15 745.15

Solución

Problema resuelto

4. Para abrir una cuenta de inversión en Banejército se requiere depositar $3 000 y mantener un saldo promedio de $1 500 mensuales. El capitán Antonio Suárez abre una cuenta el 1 de febrero en Banejército, a partir de 1 de marzo 2013 empieza a realizar depósitos de $400 mensuales duran­te seis años. El primero de marzo de 2019 empezará a realizar retiros de $300 mensuales durante cuatro años. ¿Cuál es el saldo que tendrá el capitán Suárez en su cuenta de inversión después de haber realizado el último retiro (1 de febrero de 2023) si la tasa de interés es de 4.5% convertible mensualmente.

Problema resuelto

5. ¿Cuál es el valor actual de una renta mensual de $2 000 si los depósitos se realizaron al final de cada mes durante seis meses en la institución financiera Banejército que ofrece una tasa de interés de 12% anual capitalizable mensualmente?

❚ 5.3.2 Valor actual (A) o presente (VP) en anualidades vencidas

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129

1 650

C = ?

2 000 2 000 2 000 2 000 2 0002 000

3 42

2 000

Figura 5.4 Anualidad,rentaeintervalodetiempo.

Datos R = $2 000 T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n = 6 Incógnita A

1. Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equiva­lentes:

a) Poner los datos en el orden de la progresión:

A = 2 000(1.01)-1 + 2 000(1.01)-2 + 2 000(1.01)-3 + 2 000(1.01)-4 + 2 000(1.01)-5 + 2 000(1.01)-6

A = $11 590.95

Cuadro 5.5 Progresión geométrica de una anualidad

Progresión geométrica Anualidad

S Suma A Valor actual

t1

Primer término R(1 + i )-1 Primer término

R Razón (1 + t)-1 Razón

n Número de términos n Periodo

b) Serie geométrica

=−−

=−−

S trr

t t r

r

n n(1 )1 11

1 1

c) Sustituyendo en la serie geométrica la simbología de anualidades término por término, se ob­tiene:

=+ − + +

− +

− − −

−A

R i R i i

i

n(1 ) (1 ) (1 )

1 (1 )

1 1 1

1

d ) Simplificando algebraicamente obtenemos la siguiente relación:

=− +

A Ri

i

n1 (1 ) 5.3

Con la ecuación 5.3 se obtiene el cálculo del valor actual de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas.

Solución:

Problema resuelto

6. Cálculo del valor actual de la renta mensual empleando la ecuación 5.3:

Datos R = $2 000.00 Incógnita C T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n = 6

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130

AnualidadesUNIDAD 5

=− +

A Ri

i

n1 (1 )

=−

=

−−

20001 1 01

0 012000

1 0 9420450

6( . ).

( . )..

..01

20000 0579547

0 01

=

A = $2 000(5.795476) = $11 590.95

Solución:

1 650

A = ?

2 500 2 300 2 300 2 300 2 3002 300

3 42

1 000

7

2 300

Figura 5.5 Anualidad.

Datos: Desarrolllo:

Enganche = $2 500 El valor actual pagado por el calentador solar sería:

R = $2 300

Séptimo pago = $1 000 A = +−

+

−−2500 2300

1 1 020 02

1000 1 026( . )

.( . ) 77

T = 24% A.C.M.

n = 6 meses A = +−

+2500 2300

1 0 8879710 02

1000 0 8705..

( . 66 ) Incógnita A i = 0.02 mensual A = 2 500 + 2 300(5.601431) + 870.56

A = 2 500.00 + 12 883.29 + 870.56 = $16 253.85

Solución

Problema resuelto

7. Encontrar el valor actual pagado por un calentador solar si se dio un enganche de $2 500 y se rea­lizaron seis pagos mensuales vencidos de $2 300 y un séptimo pago de $1 000. La tasa de interés pactada es de 24% capitalizable mensualmente.

Sea X el pago requerido al señor Juan Alberto, este debe realizar los ocho primeros pagos más el valor descontado de 60 - 8 = 52.

480

60

X480 480 480480

. . .. . .

70 81

8 pagos

9

52 pagos

Figura 5.6 Anualidad.

Solución

Problema resuelto

8. El señor Juan Alberto firmó un contrato con una mueblería por la compra de una sala, esta le pidió de enganche $4 000 y pagos mensuales de $480 durante cinco años, con una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. El señor Juan Alberto no realizó los primeros siete pagos. ¿Cuán­to debe pagar en el octavo mes para saldar el total de la deuda?

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131

=−

+

=

+

X 480(1.01) 1

0.01480

1 (1.01)0.01

4801.0828567 1

0.01480

1 0.5960580.01

8 52

X =

+

480

0 08285670 01

4800 403942

0 01.

..

.= + = +480 8 28567 480 40 394194 3 977 12 19( . ) ( . ) . 3389

X = $23 366.34

X es el precio que debe pagar el comprador. X es el valor descontado de los 72 - 36 = 36 pagos a una tasa de 15% capitalizable mensualmente.

=−

=

=

X 350001 (1.0125 )

0.012535000

1 0.639410.0125

350000.360590.0125

36

X = 35 000(28.847267) = $1 009 654.35

AlertaValor Presente Neto (VPN) o next present value (NPV)

Elvalorpresentenetosecalcularealizandola diferencia del valor presentedelasentradasdeefectivoyelvalorpresentedelassalidasdeefectivo.ElvalornegativodelVPNrepresentacostosparalaempresa.

Solución

Problema resuelto

9. La distribuidora AMAC firmó un contrato con la fábrica Tremek por la compra de herramienta. La distribuidora dio un enganche de $300 000 y pagos mensuales de $35 000 durante seis años, a una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. Al principio del cuarto año después de haber realizado 36 pagos el contrato es vendido a Banorte a un precio que rinde al comprador 15% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto debe pagar Banorte?

Para cada caso se debe calcular el Valor Presente Neto (VPN)

VPN = Valor presente de entradas en efectivo - Valor presente de salidas en efectivo

= − +− +

−−

VPN de Compras 12000(1.015 ) 80000 4001 (1 0.015 )

0.015120

120

VPN de Compras = 2 010.28 -[80 000.00 + 400(55.498454)]

VPN de Compras = 2 010.28 - (80 000.00 + 22 199.38)

VPN de Compras = 2 010.28 - 102 199.38

VPN de Compras = -$100 189.1

VPN de Renta =− +

15001 1 0 015

0 015

120( . ).

VPN de Renta = 1 500(55.498454)

VPN de Renta = $83 247.68

Como el VPN de renta es de menor valor absoluto que el VPN de compra, entonces la panifi­cadora La Espiga debe rentar la batidora.

Solución

Problema resuelto

10. La panificadora La Espiga analiza la posibilidad de adquirir una nueva batidora con valor de $80 000, se estima que el valor de salvamento sea de $12 000 al final de 10 años. Los costos de los seguros contra robo y mantenimiento del equipo $400 pagaderos al final de cada mes. La misma batidora se puede arrendar por 10 años por $1 500 mensuales de arrendamiento, este incluye el seguro contra robo y de mantenimiento, el arrendatario gana 18% capitalizable mensualmente sobre su capital. El administrador de la panadería debe tomar una decisión entre comprar o rentar la batidora.

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132

AnualidadesUNIDAD 5

❚ 5.3.3 Renta

La renta es el pago periódico de la misma cantidad que se realiza en tiempos iguales.

Para calcular el valor de una renta se analizan primero los datos del problema para identificar si se conoce el valor del monto o del valor actual.

Si se conoce el valor del valor futuro (M), se deberá despejar la renta de la ecuación 5.2:

=+ −

M Rii

n(1 ) 1 5.2

Obteniendo la ecuación:

=+ −

RM i

i n

( )

(1 ) 1 5.4

Cuando el capital o el valor actual (A) se conocen, se despeja la renta de la ecuación 5.3:

=− +

A Ri

i

n1 (1 ) 5.3

Se obtiene:

=− + −

RA i

i n

( )

1 (1 ) 5.5

800

21 Trimestres

X

800 800 389.50800. . .

170 181

18 pagos

19

un pago final

2 20

Figura 5.7 Anualidad.

=−

+ =

+

−−X 800

1 (1.06 )0.06

389.50 (1.06) 8001 0.350344

0.06389.50 (0.294155)

1821

=

+ = + = +X 800

0.6496560.06

114.573529 800 (10.8276 ) 114.57 8662.08 114.57

X = $8 776.65

Solución

Problema resuelto

11. La psicóloga María José Flores para saldar la deuda de una beca­crédito contraída con la Universi­dad del Caribe para realizar su tesis, acuerda realizar 18 pagos de $800 al final de cada trimestre y un pago final de $389.50 nueve meses después, la tasa de interés compuesto trimestralmente es de 24%. ¿Cuánto adeuda la psicóloga María José Flores?

Problema resuelto

12. ¿Cuánto debe aportar la señora Andrea Méndez al final de cada mes en la caja de ahorros de su trabajo, si desea hacerle arreglos a su baño y cocina dentro de tres años? Ella estima que en el último depósito debe contar con una cantidad acumulada de $95 000.00. La tasa de interés que aplica la caja de ahorros es de 4% mensual.

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133

Datos M = $95 000.00 Incógnita R n = 3 años = 36 meses i = 0.04 mensual

RM i

i n=

+ −=

−=

( )

( )

( . )

( . ) .1 1

95 000 0 04

1 04 1

3 800

436 1103933 1

3 800

3 1039331 224 25

−= =

.$ . mensual

Solución

Datos M = $800 000 Incógnita R n = 6 años = 72 meses i = 0.0070833 mensual

RM i

i n

( )

(1 ) 1

800 000( 0.0070833 )

(1.0070833 ) 1

5 666.641.662296 1

5 666.640.662296

$8 556.08 mensual72

=+ −

=−

=−

= =

Solución

Problema resuelto

13. ¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar el sociólogo Alejandro Fuentes durante los próximos seis años para acumular $800 000, ya que desea dar el enganche para una casa de interés social? Una institución Banorte le ofrece una tasa de interés de 8.5% convertible mensual­mente.

Datos M = 30 000(12) = $360 000 Incógnita R n = 18 meses = 36 quincenas T = 24% A.C. Quincenal

=+ −

=−

=−

= =RM i

i n

( )

(1 ) 1

360 000(0.24/24)

(1.01) 1

3600

1.430768 1

3600

0.430768$8357.15 quincenal

36

Solución

Problema resuelto

14. El Capitán Solís solicita a Banejército un crédito de seis meses de su sueldo. La cantidad que le deposita en su cuenta de inversión la Secretaría de Marina es de $30 000 quincenales. El contrato firmado con Banejército establece que los pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo de 18 meses, y una tasa de interés de 24% anual convertible quincenalmente. El pago quincenal no incluye el iva. ¿Cuánto debe pagar el Capitán Solís quincenalmente?

Datos M = $680 000 Incógnita R n = 12 años T = 4% anual

=+ −

=−

=−

= =RM i

i n

( )

(1 ) 1

680 000 ( 0.04 )

(1.04 ) 1

27200

1.601032 1

27200

0.601032$45255.47 anual

12

Solución

Problema resuelto

15. La pastelería El Globo en su sucursal de Cd. Jardín estima que será necesario cambiar el horno de pan dentro de 12 años, a un costo $680 000. ¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión si el banco ofrece una tasa 4.0% anual?

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134

AnualidadesUNIDAD 5

❚ 5.3.4 Plazo

El número de periodos (plazo o tiempo) de pago en una anualidad vencida se calcula de la siguiente manera:

Analizar los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual.

Cuando se conoce el valor actual (A) se despeja el periodo de la expresión de anualidad vencida de valor actual de la ecuación 5.3.

=− + −

RAi

i n1 (1 ) 5.5

Para obtener n se pueden utilizar las ecuaciones 5.6 o 5.6a:

=−

+n

A i

Ri

log1

1

log(1 ) 5.6

= −−

+

n

A i

R

i

log 1( )

log(1 ) 5.6a

Datos

A = $4 990.00 + iva Incógnita R

A = $4 990.00 + $798.40

A = $5 788.40

n = 12 meses

T = 1.8% mensual

RA i

i n=

− +=

−=

− −

( )

( )

. ( . )

( . )1 1

5788 40 0 018

1 0 018 12

1104 19121 0 8072846

104 19120 192715

540.

..

.$ .

−= = 665 mensual

Solución

Problema resuelto

16. El señor José Acevedo compra a crédito un multifuncional de $4 990 más iva. El señor Acevedo acuerda pagarla en 12 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés que le cobran es de 1.8% mensual?

Datos

A = $80 000 Incógnita R

n = 2 años = 24 pagos

i = 0.03 mensual

RA i

i n

( )

1 (1 )

80000( 0.03 )

1 (1.03 )

24001 0.4919337

24000.508066

$4723.79 mensual24

=− +

=−

=−

= =− −

Solución

Problema resuelto

17. ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador a la caja de ahorros del sindicato de la unam, por un crédito de $80 000 pagaderos a dos años a una tasa de interés de 3% mensual?

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135

Si se conoce el monto (M) se despeja el periodo (n) de la ecuación 5.2 de anualidad vencida de monto.

=+ −

M Rii

n(1 ) 1 5.2

Para obtener n se utiliza la ecuación 5.7:

=+

+n

MiR

i

log 1

log(1 ) 5.7

Datos

T = 11% bimestral Incógnita R

i = 0.11 bimestral

R = $3 000

A = $18 000

n

Ai

Ri

=−

+=

−log

log( )

log( .

1

1

1

1

118000 0 111

3000

1 11

1

11 980

3000

)

log( . )

log

=

=

log( . )

log.

log( . )1 11

10 341 11

= = =nlog[ 2.941176 ]

log(1.11)0.46852110.0453229

10.33 pagos bimestrales

No se pueden realizar 10.33 pagos, entonces existen dos alternativas:

1. Hacer 10 pagos de $3 000 + otro pago menor

Con n pagos bimestrales que se obtuvieron se encuentra el valor futuro del adeudo (al final de los 10 bimestres):

Si el adeudo es de $18 000, se debe calcular el valor futuro del adeudo al final de los 10 bimestres.

M = C(1 + i )n = $18 000(1.11)10 = 18 000(2.839421) = $51 109.58

Posteriormente, debemos encontrar el valor futuro de los 10 pagos realizados al final de cada bimestre.

=+ −

=

=

=

=M R

ii

n(1 ) 13000

(1.11) 10.11

30002.839421 1

0.113000

1.8394210.11

3000 (16.722 )10

M = $50 166.01

Después de realizar el pago 10 todavía se tiene un adeudo, pero se desconoce de cuánto es:

MIC - MAnualidad = 51 109.58 - 50 166.01 = $943.55

El adeudo anterior se tiene que pagar a final del bimestre 11, para lo cual es necesario calcular su valor futuro.

M = C(1 + i )n = 943.55(1.11)1

M = $1 047.34 lo que representa un pago menor para el bimestre 11

Solución

Problema resuelto

18. Se tiene que saldar una deuda al día de hoy de $18 000. Realizando pagos de $3 000 al final de cada bimestre con una tasa de interés de 11% bimestral. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $3 000 tendrá que hacer para saldar su deuda?

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136

AnualidadesUNIDAD 5 2. Hacer 9 pagos de $3 000 + otro pago mayor

Se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 9 bimestres.

M = C(1 + i )n = 18 000(1.11)9 = 18 000(2.55804) = $46 044.72

Como segundo paso encontraremos el valor futuro de los 9 pagos realizados al final de cada bi­mestre.

M Rii

n

=+ −

=

=

( ) ( . ).

1 13000

1 11 10 11

9

330001 5580 11

3000 14 1639 42490 9..

( . ) $ .

= = 00

Después de realizar el noveno pago todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la manera siguiente:

MIC - MAnualidades = 46 044.72 - 42 491.70 = $3 553.02

El adeudo anterior se tiene que pagar al final del décimo bimestre, por lo que es necesario calcular su valor futuro correspondiente:

M = C(1 + i )n = 3 553.02(1.11)1 = $3 943.85

El décimo pago es mayor al pago bimestral normal.

Datos

T = 24% A.C. Mensual Incógnita n

i = 0.02 mensual

R = $1 500.00

A = $24 000.00

Obtener los pagos mensuales vencidos (n):

n

A iRi

log1

1

log(1 )

log1

124000 ( 0.02 )

1 500

log(1.02 )

log1

14801 500

log(1.02 )

log1

1 0.32log(1.02 )

log1

0.68log(1.02 )

=−

+=

=

=

=

=

= =log(1.470588 )

log(1.02 )0.1674910.00860

19.4757 pagos mensuales

No se pueden realizar 19.4757 pagos, entonces existen dos alternativas:

1. Hacer 19 pagos de 1 500 pesos + un pago menor

Si el adeudo es de $24 000 primero se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 19 meses.

M = C(1 + i )n = 24 000.00(1.02)19 = 24 000(1.4568112) = $34 963.47

Posteriormente debemos encontrar el valor futuro de los 19 pagos realizados al final de cada mes.

M Rtt

n(1 ) 1$1 500.00

(1.02 ) 10.02

1 500.001.4568112 1

0.021 500.00

0.45681120.02

19

=+ −

=

=

=

=

 M = 1 500(22.84) = $34 260.84

Solución

Problema resuelto

19. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $1 500.00 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $24 000.00, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 24% convertible mensualmente?

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137

Cuando ya se realizó el pago 19 todavía existe un adeudo y se desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la siguiente forma:

MIC - MAnualidad = 34 963.47 - 34 260.84 = $702.63

El adeudo anterior se tiene que pagar a final del mes 20, por lo que es necesario calcular su valor futuro:

M = C(1 + i )n = 702.63(1.02)1 = $716.68 que corresponde a un pago menor en el mes 20.

2. Hacer 18 pagos de $1 500 y un pago final mayor.

Se calcula el valor futuro del adeudo al final del mes 18.

M = C(1 + i )n = 24 000(1.02)18 = 24 000(1.428246) = $34 277.90

Entonces el valor futuro de los 18 pagos realizados al final de cada mes sería.

M Rii

n(1 ) 11500

(1.02 ) 10.02

15001.428246 1

0.021500

0.4282460.02

18

=+ −

=

=

=

=

M = 1 500(21.4123124) = $32 118.47

Después de realizar el pago 18 el deudor todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente a este último adeudo se calcula en la forma siguiente:

− = + −+ −

= − =M M C i R

ii

nn

(1 )(1 ) 1

34277.90 32118.47 2159.43IC anualidades

El adeudo anterior se tiene que pagar al final del mes 19, por lo que se necesita calcu lar su valor futuro.

M = C(1 + i )n = 2 159.43(1.02)1 = $2 202.62 el cual representa un pago mayor en el mes 19

Datos

T = 18% A.C. Mensual Incógnita n

i = 0.015 mensual

R = $19 238

C = $850 000

=−

+=

=−

= −

=n

A i

Ri

log1

1

log(1 )

log1

1850000 ( 0.015 )

19238

log( 0.015 )

log1

112750

19238

log(1.015 )

log1

1 0.66275081log(1.015 )

= = =

log1

0.33724919log(1.015 )

log( 2.96516646 )

log(1.015 )0.472049080.006466042

73 pagos mensuales

Solución

Problema resuelto

20. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $19 238 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $850 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 18% convertible mensualmente?

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138

AnualidadesUNIDAD 5

5.4 Anualidades anticipadas

La anualidad anticipada puede ser:

Simple

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Cierta

Porque las fechas se determinan con anterioridad y estas son fijas.

Anticipada

Porque los pagos se efectúan al principio del periodo.

Inmediata

Porque se realiza el pago en el mismo periodo después de la formalización del trato.

En el cuadro 5.6 se indica la forma de identificar una anualidad anticipada cuando es planteada como un problema.

Cuadro 5.6 Forma de identificar la anualidad anticipada

Criterio Anualidad anticipada Ejemplo

Tiempo (Cierta)

Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.El primer día del mes.Al principio de la quincena (día 16).El día cuatro de cada mes.

Plazo Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.

Un bimestre o un semestre o un año o tres años.

Iniciación (Inmediata)

El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato o firma del crédito).

Primer día en que se inicia el periodo de pago.El día 16 de cada mes.El primer día de cada bimestre.

Pagos Los pagos se efectúan al inicio del periodo o intervalo. El primer día de semana.El día 25 de mayo de cada año.

Interés (Simple)

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Periodo de pago de un mes y la tasa de interés 12% anual convertible mensualmente o 24% convertible semestralmente.

Las figuras 5.8 y 5.9 muestran la diferencia de la anualidad anticipada y vencida.

Datos

T = 4.5% A.C.B. Incógnita n

i = 0.0075 bimestral

R = $1 000

M = $89 950

n

M iR

i

log( )

1

log(1 )

log89950 ( 0.0075 )

10001

log (1 0.0075 )

log674.6251000

1

log(1.0075 )

log( 0.674625 1)

log(1.0075 )=

+

+=

+

+=

+

=

+=

n = =log( . )

log( . )

1 674625

1 00750.223917570.003244505

69 pagos bimestrales=

Solución

Problema resuelto

21. Se desea acumular la cantidad de $89 950, para reunirla se hacen depósitos de $1 000 bimestrales vencidos, en una cuenta de inversión la cual paga 4.5% anual capitalizable bimestralmente. ¿En cuánto tiempo se reunirán los $89 950?

Page 152: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

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139

2 5

. . .

n-10 n periodos

Hoy R R R R R R R R

6 7431

R

Figura 5.8 Anualidad anticipada.

2 5

. . .

n-10 n periodos

R R R R R R R R

6 7431

R

Figura 5.9 Anualidad anticipada.

❚ 5.4.1 Monto en anualidades anticipadas

El monto se calcula con la ecuación 5.8:

=+ −

+

M Rii

n(1 ) 11

1

5.8

=+ −

M Rii

(1 ) 11

13

5.8a

En la ecuación 5.8a se plantea con 13 periodos vencidos (siendo n = 12). El pago de más está repre­sentado por -1, el cual se descuenta al utilizar la fórmula de anualidad vencida con plazo de un año.

2

Hoy

5 11 120

R13

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

6 7 8 9 10431

12 periodos

-1

R12

Figura 5.10 Anualidadanticipadavalorfuturocon13pagos(R ).

El plazo es de 12 meses y la manera de utilizar la fórmula de anualidad vencida donde solo se recorre el punto de origen de la gráfica al lado izquierdo (en -1) y el número de pagos considerados son en total de 13.

Datos R = $100 Incógnita M n = 12 meses i = 1% mensual 1.

1.1 En este primer caso se encuentra el monto utilizando la anualidad vencida durante el periodo 11, realizando para ello 12 pagos.

M Rtt

n(1 ) 1100

(1 0.01) 10.01

1000.126825

0.01$1 268.2511

12

=+ −

=

+ −

=

=

1.2 Para cubrir el plazo de un año, hace falta calcular el periodo número 12, ya que, en el cálculo anterior, el periodo inicio en el punto -1 y el cálculo del monto se realizó hasta el periodo 11.

Si, M11 = C1

M12 = C1(1 + i ) = 1 268.25(1.01) = $1 280.93

Solución

Problema resuelto

22. Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $100 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 1% de interés mensual. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?

Page 153: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

140

AnualidadesUNIDAD 5 2.

2.1 En este segundo caso utilizaremos la ecuación 5.9 que se deduce de los pasos planteados en los incisos 1.1 y 1.2:

M Rii

in(1 ) 1

(1 ) 100(1.01) 1

0.01(1.01) 1 280.931

121=

+ −

+ =−

=

3.

3.1 En el tercer caso, los cálculos se hacen con base en 12 periodos, por lo que se tendrán que realizar 13 pagos. Para calcular el monto se utiliza la ecuación de la anualidad vencida en la que se deberá restar del pago 13:

M Rti

n(1 ) 1100

(1.01) 10.01

$1 380.9313

=+ −

=

=

3.2 El monto de 13 pagos calculado con la anualidad vencida en 12 periodos es superior al calcu­lado en los incisos 1.1 y 2.1 porque se realizó un pago de más. Para corregir dicho pago, debemos corregir la ecuación de la siguiente forma:

M Rti

Rn(1 ) 1

100(1.01) 1

0.01100 1380.93 100 $1 280.93

13

=+ −

− =

− = − =

3.3 De los pasos anteriores se deduce que la ecuación para calcular el monto de la anualidad anticipada es:

=+ −

+

M Rii

n(1 ) 11

1

5.8

Si sustituimos los valores del problema, encontraremos el mismo resultado de los incisos 1.2, 2.1 y 3.2:

M 100(1.01) 1

0.011 $1 280.93

13

=−

=

Datos

R = $2 000 Incógnita M

n = 20 bimestres

T = 20% A.C. Bimestral

i = 0.0333 bimestral

=+ −

+ =−

=−

M Rii

in(1 ) 1

(1 ) 2000(1.0333 ) 1

0.033(1.033 ) 2000

1.92543387 10.033

(1.033 )120

M =

=2000 1 033 2000 280.92543378

0.033( . ) ( .00434 1 033 2000 28 96888 57 937 76) ( . ) ( . ) $ .= =

Solución

Problema resuelto

23. Encuentre el monto de 20 pagos de $2 000 que se realizan al principio de cada bimestre por la química Rosa Suárez en la compra de una centrifugadora para su laboratorio. El tipo de interés es de 20% anual capitalizable bimestralmente.

Problema resuelto

24. Encuentre el monto de ocho pagos que debe realizar el día uno de cada mes el carpintero Tomás Baroja, por la cantidad de $1 550 para adquirir herramienta para su carpintería. El tipo de interés contratado es de 24% anual capitalizable mensualmente.

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141

❚ 5.4.2 Valor actual en anualidades anticipadas

Para encontrar el valor actual de una anualidad anticipada es necesario auxiliarnos de las figuras 5.11 y 5.12.

2

1 mes

5 11 12 meses0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

6 7 8 9 10431

1 año (plazo)

-1

R12

FF

C

Figura 5.11 Anualidadanticipadavaloractualpara12pagos.

2

1 mes

5 11 12 meses0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

6 7 8 9 10431

1 año (plazo)

-1

R12

FF

C

R13

Figura 5.12 Anualidadanticipadavaloractualpara13pagos.

Utilizando la ecuación de anualidad vencida para el cálculo del valor actual se debe considerar que se realiza con base en 13 pagos vencidos. Si realizamos un ajuste al exponente, obtenemos la siguiente relación:

=− +

A Ri

i

n1 (1 )

Así que es necesario efectuar un ajuste al exponente, con lo cual se obtiene la relación siguiente:

=− +

− +

A Ri

i

n1 (1 ) 1

5.9

Ahora bien, a la ecuación debemos sumarle una renta para completar los 13 pagos para obtener el valor actual de una anualidad anticipada (5.10):

=− +

+

− +

A Rii

Rn1 (1 ) 1

Factorizando a R

= +− +

− +

A Rii

n

11 (1 ) 1

5.10

Datos

R = $1 550 Incógnita M

n = 8 meses

T = 24% A.C.M.

i = 0.02 mensual

M Rii

in(1 ) 1

(1 ) 1 550(1.02 ) 1

0.02(1.02 ) 1 550

1.1716594 10.02

(1.02 )18

=+ −

+ =−

=−

M 15500.1716594

0.02(1.02 ) 1 550 ( 8.582969 ) (1.02 ) 1 550 ( 8.754628 ) $13 569.67=

= = =

Solución

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142

AnualidadesUNIDAD 5

Datos

R = $60 000 Incógnita A n = 240 meses T = 18% A.C.M. i = 0.015 mensual

= +− +

= +

= +

− + − +

A Rii

n

11 (1 )

60000 11 (1.015 )

0.01560000 1

1 0.0284849780.015

1 240 1

= +

= + = =A 60000 1

0.9715150.015

60000[1 64.76766807] 60000 ( 65.76766807 ) $3946060.08

Solución

Problema resuelto

25. ¿Cuál es el valor de contado de una casa que compró Esmeralda en la colonia Lomas Verdes, hace 20 años, si realizaba pagos anticipados de $60 000 mensuales, con una tasa de interés de 18% anual convertible mensualmente?

Datos R = $2 855 Incógnita A n = 18 trimestres T = 17.89% A.C.T. i = 0.044725 trimestral

= +− +

= +

= +

− + − +

A Rii

n

11 (1 )

2855 11 (1.044725 )

0.0447252855 1

1 0.47529820.044725

1 18 1

A 2855 10.5247020.044725

2855[1 11.7317384 ] 2855 (12.7317384 ) $36349.11= +

= + = =

Solución

Problema resuelto

26. ¿Cuál es el valor actual de 18 pagos trimestrales anticipados de $2 855, con un interés de 17.89% anual capitalizable trimestralmente?

Datos R = $499 Incógnita A n = 24 meses T = 23.6% A.C.M. i = 0.019666 mensual

= +− +

= +

= +

− + − +

A Rii

n

11 (1 )

2855 11 (1.019666 )

0.0196662855 1

1 0.63895080.019666

1 24 1

= +

= + = =A 2855 1

0.3610490.019666

2855[1 18.35905621] 2855 (19.35905621) $55270.11

Solución

Problema resuelto

27. Encontrar el valor de contado de un teléfono celular, por el cual se realizaron 24 pagos mensuales anticipados de $499 con una tasa de interés de 23.6% convertible mensualmente.

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143

❚ 5.4.3 Renta en anualidades anticipadas

Para calcular el valor de la renta primero se tienen que analizar los datos del problema e identificar si se proporciona el monto o el valor actual.

Si se conoce el monto, deberá despejarse la renta de la ecuación 5.8, se obtiene la ecuación 5.11:

=+ −

+

M Rii

n(1 ) 11

1

5.8

=+ −

+R

M

ii

n(1 ) 11

1 5.11

Datos

R = $17 650 Incógnita A

n = 24 meses

T = 14% A.C.M.

i = 0.011666 mensual

= +− +

= +

= +

− + − +

A Rii

n

11 (1 )

17650 11 (1.01166 )

0.01166617650 1

1 0.76595750.011666

1 24 1

A 17650 10.23404250.011666

17650[1 20.06193211] 17650( 21.06193211) $371 743.10= +

= + = =

Solución

Problema resuelto

28. El chofer Francisco Méndez compró un camión a crédito de 40 asientos para transporte. Él tiene que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $17 650, con intereses de 14% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado del camión?

Datos

M = $53 726 Incógnita R

n = 12 meses

T = 24% A.C.M.

i = 0.02 mensual

=+ −

=−

=−

+ +R

M

ii

n(1 ) 11

53726

(1.02 ) 10.02

1

53726

(1.02 ) 10.02

11 12 1 13

=−

=−

=−

=R53726

1.2936 10.02

1

53726

0.29360.02

1

53726

[14.680331 1]

53726

13.680331

R = $3 927.24

Solución

Problema resuelto

29. ¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Aldama por la compra de un comedor para su casa, si él acuerda con la mueblería realizar sus pagos el día uno de cada mes? Cuando realizó su pago 12 acumuló $53 726 y la tasa de interés aplicada fue de 24% anual convertible mensualmente.

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144

AnualidadesUNIDAD 5

Datos A = 6 400 + 1 499 = $7 899 Incógnita R n = 12 meses T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual

=

+− +

=

+−

=

+−

− + − + −R

A

ii

n

11 (1 )

7899

11 (1.023333 )

0.02333

7899

11 (1.023333 )

0.023333

1 12 1 11

R7899

11 0.7759130.023333

7899

10.2240870.023333

7899[1 9.603737]

789910.603737

=+

=+

=+

=

R = $744.92

Solución

Problema resuelto

31. El sociólogo Dimas Martínez desea regalarle a su hermana, el día de su boda, una batería de co­cina de 11 piezas con un precio de $6 400.00 y también decide comprarle una olla de presión de aluminio de 6 litros con un precio de $1 499.00. ¿Cuánto debe pagar al inicio de cada mes durante 12 meses, si la tasa de interés es de 28% anual capitalizable mensualmente?

Datos M = $150 000 Incógnita R n = 36 meses T = 26% A.C.M. i = 0.021666 mensual

=+ −

=−

=−

+ +R

M

ii

n(1 ) 11

150000

(1.021666 ) 10.021666

1

150000

(1.021666 ) 10.021666

11 36 1 37

R150000

2.210196 10.021666

1

150000

1.2101960.021666

1

150000[55.859386 1]

15000054.859386

=−

=−

=−

=

R = $2 734.26

Solución

Problema resuelto

30. La diseñadora gráfica Estrella Uribe tiene que pagar $150 000 por un préstamo que solicitó para la compra de material de una maqueta que tiene que elaborar y vender, los préstamos personales que ofrece Banorte es a un plazo de tres años y la forma de pago es al principio de cada mes. ¿Cuánto debe pagar mensualmente la diseñadora Uribe, si la tasa de interés aplicada es de 26% anual convertible mensualmente?

Otra manera de conocer la renta es despejar la (R) de la ecuación del valor actual de anualidad antici­pada, con lo que obtendremos su valor con base en el capital o valor actual.

= +− +

− +

A Rii

n

11 (1 ) 1

5.10

Despejando (R) de la ecuación 5.10 se obtiene la ecuación 5.11:

=

+− +

− +R

A

ii

n

11 (1 ) 1 5.11

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145

❚ 5.4.4 Plazo en anualidad anticipada

Para conocer el número de periodos de pago en una anualidad anticipada, primero se analizan los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual.

Si se conoce el valor actual se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de valor actual.

= +− +

− +

A Ri

i

n

11 (1 ) 1

5.10

= −+ −

+

ni

AiR

i1

log (1 )

log(1 ) 5.13

Cuando se conoce el monto se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de monto:

=+ −

+

M Rii

n(1 ) 11

1

5.8

=+ +

+

+n

MiR

i

i

log (1 )

log(1 )1 5.14

Datos

A = $18 950 Incógnita R

n = 24 meses

T = 23.5% A.C.M.

i = 0.019583 mensual

=

+− +

=

+−

=

+−

− + − + −R

A

ii

n

11 (1 )

18950

11 (1.019583 )

0.019583

18950

11 (1.019583 )

0.019583

1 24 1 23

=+

=+

=+

=R18950

11 0.64014339

0.019583

18950

10.359865660.019583

18950

[1 18.3759695 ]

18950

19.3759695

R = $978.02

Solución

Problema resuelto

32. Una tienda departamental pone a la venta en el mes de diciembre motocicletas, con valor de $18 950 al contado o mediante 24 pagos mensuales anticipados. Si Margarita Rosas se decide a comprar la motocicleta a crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes, si el interés a pagar es de 23.5% anual capitalizable mensualmente?

Problema resuelto

33. El bufete de abogados Mariles, S.A., desea comprar una mesa y 18 sillas para su sala de juntas con valor de $68 000 al contado. La casa de muebles para oficina ofrece venderlos en abonos anticipa­dos mensuales de $3 699, siendo el interés de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos tendría que hacer el bufete de abogados si se decide hacer la compra?

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146

AnualidadesUNIDAD 5

Datos

A = $9 580 Incógnita n

T = 22.64% A.C.M.

i = 0.018866 mensual

R = $995

Solución

Problema resuelto

35. La tienda Benedetti vende de contado una bicicleta de montaña en $9 580 o mediante pagos mensuales anticipados de $995. El interés es de 22.64% anual convertible mensualmente. ¿Cuán­tos pagos se deben realizar si se compra a crédito?

Datos

A = $18 586 Incógnita n

T = 22% A.C.M.

i = 0.018333 mensual

R = $985

n = −−

11

0

985 00log ( . )

( ) ( . )

.018333

18 586 018333

= −

log( . )

log ( .

1 0183331

1 0183333 )..

log( . )

340 7433985 00

1 018333

= −−

= −

= −

n 1

log[1.018333 0.34593232 ]

log(1.018333 )1

log( 0.672401)

log(1.018333 )1

0.172371660.0078899598

n = 1 - (-21.847) = 22.85 pagos

Solución

Problema resuelto

34. La arqueóloga Itzayana Sotelo desea comprar un paquete de utensilios de cocina para campamen­to, el cual cuesta al contado $18 586, ella decide pagarlo en abonos con una tasa de interés de 22% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de $985 al principio de cada mes?

Datos

A = $68 000 Incógnita n

T = 26% A.C.M.

i = 0.0216666 mensual

R = $3 699

ni

AiR

i= −

+ −

+

= −1

1

11

log ( )

log( )

llog ( . )( ) ( . )

l

1 02166668000 0 021666

3699−

oog( . )

log ( . )

1 0216661

1 021666147

= −

−33 33

3699

1 021666

.

log .

= −−

= −

= −

= − −n 1

log[1.021666 0.39830585 ]

log(1.021666 )1

log( 0.62336 )

log(1.021666 )1

0.2052610.009309224

1 ( 22.05 )

n = 23.05 pagos

Solución

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147

5.5 Anualidades diferidas

Una anualidad diferida es aquella en la que el inicio de los cobros o depósitos se realizan después de que transcurrió algún tiempo desde el momento en que se formalizó la operación.

Al tiempo comprendido desde el momento inicial o de convenio hasta el inicio del plazo se le conoce como periodo de gracia o periodo de diferimiento.

En el cuadro 5.7 se describe la manera de identificar una anualidad vencida cuando es planteada en un ejemplo o problema a solucionar:

Cuadro 5.7 Identificación de una anualidad vencida

Criterio Anualidad vencida Ejemplo

Tiempo (Cierta) Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad. •  Tres meses de gracia y plazo de 18 meses.

PlazoTiempo que transcurre desde la fecha de emisión hasta la fecha de vencimiento.

•  Un año•  Seis meses•  Un trimestre

Iniciación(Diferida)

El pago o cobro se realiza después del periodo de gracia.•  Tres meses•  Un bimestre•  Dos años

Pagos Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo. •  A finales de mes, el día 30 o 31 de cada mes.

SimpleCuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

•   Periodo de pago es de un mes y la tasa de interés de 10% anual capitalizable mensualmente.

En la figura 5.13 se muestra que el primer pago de la anualidad es diferido en cuatro meses y el plazo de la anualidad es de seis meses, la renta es de $350 y se paga al final del periodo, por esta razón el comienzo del plazo de la anualidad vencida se ubica en el tercer mes.

R1

R2

R3

R4

R5

R6

Periodo de gracia

2 0 6 meses1 2 3 4 5431Hoy

2 5 11 meses6 7 8 9 10431Hoy

M = ?

Plazo

Figura 5.13. Anualidaddiferidacuatromeses,plazoseismesesyrentade$350cadames.

Para resolver los problemas de anualidades diferidas no se necesitan nuevas fórmulas, se utilizan las de anualidades vencidas o anticipadas.

❚ 5.5.1 Monto en anualidades diferidas

El monto se calcula utilizando las mismas ecuaciones de anualidades vencidas o anticipadas según sea el caso, ya que durante el periodo de gracia no se cobran intereses.

= −−

= −

n 1log (1.018866 )

( 9 580 ) ( 0.018866 )

995.00log(1.018866 )

1log (1.018866 )

180.74995.00

log(1.018866 )

= −−

= −

= −

n 1

log[1.018866 0.1816509 ]

log(1.018866 )1

log( 0.837215745 )

log(1.018866 )1

0.07716260.00811735

n = 1- (-9.50588) = 10.51 pagos

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148

AnualidadesUNIDAD 5

Datos: R = $54 800 Incógnita M n = 6 semestres Periodo de gracia un año = dos semestres T = 28% A.C.S. i = 0.02 semestral

R1

R2

R3

R4

R5

R6

Periodo de gracia

0 6 semestres1 2 3 4 5-1

M = ?

Figura 5.14 Anualidaddiferidadossemestres,plazoseissemestresyrentade$54800cadames.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al prin­cipio del periodo (pagos semestrales anticipados).

=+ −

=

−−

=

−−

+ +

M Rii

n(1 ) 11 54800

(1.02 ) 10.02

1 54800(1.02 ) 1

0.021

1 6 1 7

=−

= −

= −M 54800

1.148685668 10.02

1 548000.148685668

0.021 54800[ 7.4342834 1]

M = $54 800(6.4342834) = $352 598.73

Solución

Problema resuelto

36. El señor Fernando Valdez compró a crédito un molino de nixtamal el día de hoy para su negocio y su acreedor le concede un periodo de gracia de un año; sin embargo, realizará seis pagos semes­trales anticipados de $54 800 por la compra del molino de nixtamal, si el interés es de 8% anual convertible semestralmente, encontrar el monto.

Datos R = $999 Incógnita M T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 2 meses

R7

R9

R8

R10

R11

R12

Periodo de gracia

0 11 meses1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M = ?

R1

R2

R3

R4

R5

R6

-3 -1-2

Figura 5.15 Anualidaddiferidadosmeses,plazo12mesesyrentade$999cadames.

Solución

Problema resuelto

37. Encontrar el pago total que debe realizar el señor Héctor Serrano por la compra de una compu­tadora el día de hoy, si después de tres meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $999 con un interés de 28% anual convertible mensualmente.

Page 162: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

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149

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (al inicio de cada mes).

=+ −

=

−−

=

−−

+ +

M Rii

n(1 ) 11 999

(1.023333 ) 10.023333

1 999(1.023333 ) 1

0.0233331

1 12 1 13

=−

= −

= −M 999

1.34965438 10.023333

1 9990.349654380.023333

1 999[14.9851877 1]

M = 999(13.9851877) = $13 971.20

Datos

R = $50 950 Incógnita M

T = 23% A.C.M.

i = 0.0191666 mensual

n = 12 meses

Periodo de gracia 4 meses

R16

R17

R18

Periodo de gracia

0 12 meses1 2 3 4 5 16 17

M = ?

R1

R2

R3

R4

R5

1 2 3 4

. . .

Figura 5.16 Anualidaddiferidacuatromeses,plazo12mesesyrentade$50950cadames.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).

=+ −

=

=

M Rii

n(1 ) 150950

(1.0191666 ) 10.0191666

509501.25586377 1

0.0191666

12

=

=M 50950

0.255863770.0191666

50950[13.34941409 ]

M = $680 152.65

Solución

Problema resuelto

38. Encontrar el pago que debe realizar la astrónoma Silvia Torres por la compra de un telescopio electrónico portátil el día de hoy. Acuerda con su acreedor que después de cuatro meses realiza 12 pagos al final de cada mes de $50 950 con un interés de 23% anual convertible mensualmente.

Datos

Primer pago = después de 3 años Incógnita M

m = periodo de gracia 6 meses

Solución

Problema resuelto

39. ¿Cuál es el monto de una renta semestral de $20 000 durante ocho años, si el primer pago vencido semestral se realiza dentro de tres años y el interés es de 18% capitalizable semestralmente?

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150

AnualidadesUNIDAD 5

❚ 5.5.2 Valor presente en anualidades diferidas

En el cálculo del valor presente de una anualidad diferida los intereses generados dentro del periodo de gracia se capitalizan.

m

2 0 1 2 3 45 4 3 1

2 5 12 meses6 7 8 9 10431Hoy

n

11

FFC

T

Primer pago

5 6 7

Figura 5.18 Anualidad diferida valor actual.

Donde m es igual al periodo de gracia y n el periodo pactado para la inversión o transacción comercial.

=− +

+−

−A Ri

ii

nm1 (1 )

(1 ) 5.15

n = 16 semestres

R = $20 000

T = 18% A.C.S.

i = 0.09 semestral

R14

R15

R16

Periodo de gracia

0 16 semestres1 2 3 4 5 14 15

M = ?

R1

R2

R3

R4

R5

1 2 3 4

. . .

Figura 5.17 Anualidaddiferidatresañosymedio,plazoochoañosyrentade$20000cadames.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada semestre).

M Rii

n

=+ −

=

( ) ( . ).

1 1 1 09 10 09

16

20000 =−

200003 97030588 1

0 09.

.

=

= =M 20000

2.970305880.09

20000[ 33.00339868 ] $660067.97

Datos

Pago inicial = $6 000 Incógnita A

Primer pago después de 4 meses = $3 800

Solución

Problema resuelto

40. El dueño de una vulcanizadora compra una compresora industrial con un pago inicial de $6 000 y ocho mensualidades de $3 800 cada una, pagando la primera mensualidad después de cuatro me­ses de la compra; además, le cobran 20% de interés anual capitalizable mensualmente. Encontrar el precio del equipo.

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151

m = periodo de gracia = 3 meses

n = 8 meses

R = $3 800

T = 20% A.C.M.

i = 0.01666 mensual

2 5 11 meses6 7 8 9 104310

AEnganche ($6 000)

Periodo de gracia

R7

R8

R1

R2

R3

R4

R5

R6

Figura 5.19 Anualidaddiferidavaloractualparaochopagosmensualesde$3800.

Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).

A Ri

ii

nm1 (1 )

(1 ) 38001 (1 0.016666 )

0.016666(1 0.0166666 )

83=

− +

+ =− +

+−

−−

A 38001 0.87613559

0.016666(1.016666 ) 3800

0.12386440.016666

(1.0166666 )3 3=−

=

− −

A = 3 800(7.4318645)(0.9516215) = $26 874.82

Precio = A + Pago inicial

Precio = 26 874.82 + 6 000

Precio = $32 874.82

Datos Primer pago = finales de agosto Incógnita A m = periodo de gracia 2 meses n = 12 meses R = $2 800 T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual

Periodo de gracia

. . .

2 5 15 meses6 7 13 144310

A = ? R1

R2

R3

R10

R11

R12

R4

. . .

. . .

Mayo Agosto. . .

Figura 5.20 Anualidaddiferidavaloractualpara12pagosmensualesde$2800.

Solución

Problema resuelto

41. El director de una secundaria particular compra mobiliario para un salón de clases a crédito, en el mes de mayo, y acepta pagarlo mediante 12 mensualidades de $2 800 con una tasa de interés de 26% anual convertible mensualmente. El primer pago lo realizará a finales del mes de agosto del mismo año. ¿Cuál es el valor de contado?

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152

AnualidadesUNIDAD 5 Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el

pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).

A Ri

ii

nm1 (1 )

(1 ) 28001 (1 0.021666 )

0.021666(1 0.021666 )

123=

− +

+ =− +

+−

−−

A 28001 0.77319549

0.021666(1.021666 ) 2800

0.22680450.021666

(1.021666 )3 3=−

=

− −

A = 2800(10.4679)(0.9377199) = $25 772.94

Datos Primer pago = Después de 3 años y medio Incógnita A m = periodo de gracia 6 semestres n = 20 semestres R = $8 000 T = 18% A.C.S. i = 0.09 semestral

Periodo de gracia

2 6 20 meses7 8 18 19510

A = ? R1

R2

R3

R18

R19

R20

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

Figura 5.21 Anualidaddiferidavaloractualpara12pagosmensualesde$8000.

=− +

+ =

− +

+−

−−

−A Ri

ii

nm1 (1 )

(1 ) 80001 (1 0.09 )

0.09(1 0.09 )

206

=−

+ =

− −A 80001 0.17843089

0.09(1 0.09 ) 8000

0.82156910.09

(1.09 )6 6

A = 8 000(9.12854567)(0.59626733) = $43 544.43

Solución

Problema resuelto

42. ¿Cuál es el valor presente de una renta semestral vencida de $8 000 durante 10 años, si el primer pago semestral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de 18% capitalizable semes­tralmente?

Datos

R = $680 Incógnita M

T = 28% A.C.M.

Solución

Problema resuelto

43. Determina el valor presente por la compra de un pantalla plana el día de hoy, si después de dos meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $680 con un interés de 28% anual convertible mensualmente.

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153

❚ 5.5.3 Renta en anualidades diferidas

Para calcular el valor de la renta se deben analizar primero los datos del problema, lo que permitirá identificar si se proporciona el monto o el valor actual.

Cuando se conoce el capital o el valor actual pero se desea conocer la renta, esta se despeja de la ecuación del valor actual de la anualidad diferida (5.15).

=− +

+−

−A Ri

ii

nm1 (1 )

(1 ) 5.15

Despejando la renta de la ecuación 5.15 se obtiene:

=+

− + −R

A i

ii

m

n

(1 )

1 (1 ) 5.16

Datos

A = $900 000 Incógnita R

m = periodo de gracia = 5 semestres

n = 9 semestres

Solución

Problema resuelto

44. El papá de la alumna Andrea Martínez deposita el 5 de julio la cantidad de $900 000 en un fondo de inversión, ese mismo día inscribe a su hija en la preparatoria. El papá tiene la idea de realizar nueve retiros semestrales a partir de cuando inscriba a su hija en el mes de julio en la universidad. Encontrar el valor de cada retiro semestral que realizará si la tasa es de 8% anual capitalizable se­mestralmente.

i = 0.023333 mensual

n = 12 meses

Periodo de gracia 2 meses

Periodo de gracia

. . .

2 5 14 meses6 7 12 134310

A = ? R4

R5

R6

R10

R11

R12

. . .

. . .

. . .

R1

R2

R3

Figura 5.22 Anualidaddiferidavaloractualpara12pagosmensualesde$680.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al prin­cipio del periodo (al inicio de cada mes).

A Rii

in

m11 (1 )

(1 ) 680 11 (1 0.023333 )

0.023333(1 0.023333 )

1 12 11= +

− +

+ = +− +

+− +

−− +

A 680 11 (1 0.023333 )

0.023333(1.023333 ) 680 1

1 0.77591080.023333

(1.023333 )11

1 1= +− +

= +−

−− −

A 680 10.2240842380.023333

(1.023333 ) 680 (1 9.60383245 )( 0.977199 )1= +

= + =−

A = 680(10.60383245)(0.977199) = $7 046.20

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154

AnualidadesUNIDAD 5

Datos

A = $47 550 Incógnita R

m = periodo de gracia = 4 meses

n = 6 meses

T = 1.5% mensual

i = 0.015 mensual

R9 = ?

2 5 11 120 13 meses6 7 8 9 10431

R4

R5

R6

R1

R2

R3

R7

R8

Periodo de gracia

Figura 5.24. Anualidaddiferidavaloractualparanuevepagosmensuales.

RA i

ii

m

n

(1 )

1 (1 )

47550 (1 0.015 )

1 (1 0.015 )0.015

47550 (1.06136355 )

1 (1.015 )0.015

4

9 9=

+− +

=+

− +=

−− − −

R1094987.61

1 0.874592240.04

1094987.610.125407759

0.04

1094987.613.135193995

=−

= =

R = $349 256.73 en cada semestre

Solución

Problema resuelto

45. El señor Darío Velásquez compra una cocina integral que tiene un precio de contado de $47 550, pero él decide realizar seis pagos mensuales, el primero debe realizarse cinco meses después de la compra y el interés es de 1.5% mensual. ¿De cuánto serán las mensualidades a pagar?

T = 8% A.C.S.

i = 0.04 semestral

Periodo de gracia

. . .

2 59 semestres1 2 7 8

4310

R7

R8

R9 = ?. . .

. . .

R1

R2

R3

5 julio

0

5 julio

3

Figura 5.23. Anualidaddiferidavaloractualparanuevepagossemestrales.

=+

− +=

+

− +=

−− −R

A i

ii

m

n

(1 )

1 (1 )

900000(1 0.04 )

1 (1 0.04 )0.04

900000(1.2166529 )1 0.7025867

0.04

5

9

=−

= =R1094987.61

1 0.702586740.04

1094987.610.29741326

0.04

1094987.61

7.43533161

R = $147 268.16 en cada semestre

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155

❚ 5.5.4 Plazo en anualidades diferidas

El número de periodos de pago en una anualidad diferida se calcula analizando los datos del problema para identificar cuándo se proporciona el valor actual o el valor del monto.

■ Se calcula en valor del depósito inicial al final del periodo de gracia.

M = C(1 + i )m = A

■ Cuando se conoce el valor actual se despeja la renta de la expresión de anualidad vencida de valor actual.

=− +

A Ri

i

n1 (1 ) 5.3

( )

=− +

+n

R

R A i i

i

mlog

(1 ) ( )

log(1 ) 5.17

Problema resuelto

47. La comunicóloga Carmen Loera contrae una deuda de $125 000 por la compra de equipo para una cabina de radio para transmitir por internet. Ella acordó comenzar a pagar dentro de tres meses, realizando cuantos pagos sean necesarios de $9 000 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para saldar su deuda?

Datos

A = $100 000 Incógnita R

m = periodo de gracia = 7 bimestres

n = 24 bimestres

T = 12% A.C.B.

i = 0.02 bimestral

R24

= ?

2 5 29 300 31 bimestres6 7 8 9 10431

R1

R2

R3

R22

R23

Periodo de gracia

$100 000. . .

Figura 5.25 Anualidaddiferidavaloractualpara24retirosbimestrales.

RA i

ii

m

n=

+

− +=

+

− +−

( )

( )

( . )

( .

1

1 1

100000 1 0 02

1 1 0 0

7

220 02

100000 1 14868567

1 1 020 0

24 24).

( . )

( . ).

− −=

−22

=−

= =R114868.57

1 0.6217214880.02

114868.570.3782785121

0.02

114868.57

18.9139256

R = $6 073.23 en cada bimestre

Solución

Problema resuelto

46. El dueño del restaurante de mariscos Al Estilo Nayarita deposita el día de hoy $100 000 en una cuenta de inversiones que paga 12% anual capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimes­tres comenzará a realizar retiros bimestrales vencidos hasta completar 24. ¿De qué cantidad serán estos retiros?

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156

AnualidadesUNIDAD 5 Datos

A = $125 000 Incógnita n

R = $9 000

m = periodo de gracia = 2 meses

T = 24% A.C.M.

i = 0.02 mensual

2 5 n - 10 n meses6 7431

R1

R2

R3

Rn - 1

Rn

Periodo de gracia

$125 000. . .

R4

R5

. . .

. . .

Figura 5.26 Anualidaddiferidavaloractualparaconocerelnúmerodepagosmensualesde$9000.

=− +

+=

n

R

R A i i

i

mlog

(1 ) ( )

log(1 )

log9000

9000 [125000 (1.02 ) ]( 0.02 )

log(1.02 )

2

=−

=

n

log9000

900 [125000 (1.0404 )]( 0.02 )

log(1.02 )

log9000

9000 (130050 )( 0.02 )

log(1.02 )

=−

=

= =n

log9000

9000 2601

log(1.02 )

log9000

6399

log(1.02 )

log[1.40646976 ]

log(1.02 )0.148130399

0.0086

n = 17.22 pagos

Como n = 17.22 pagos, deberá pagar 17 pagos de $9 000 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación:

X 125000 (1.02 ) 9000(1.02 ) 1

0.02(1.02 ) 125000 (1.456811) 9000

1.400241 10.02

(1.02 )1917

= −−

= −−

= −−

= −X 125000 (1.456811) 9000

1.40024142 10.02

(1.02 ) [182101.38 9000 ( 20.012071)](1.02 )

X = (182 101.38 - 180 108.64)(1.02) = (1 992.714)(1.02) = $2 032.57

También se pueden realizar 16 pagos de $9 000, más otro de mayor cantidad:

X = −−

125 000 1 02 9000

1 02 10 02

1816

( . )( . )

.

= −( . ) ( . ).

1 02 125 000 1 428246 90001 372786 −−

10 02

1 02.

( . )

X = −

178 530 75 9000

0 3727860 02

1..

.( .002 178 530 75 9000 18 6393 1 02) [ . ( . )]( . )= −

X = (178 530.75 - 167 753.7)(1.02) = (10 777.05)(1.02) = $10 992.73

Solución

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157

Datos

A = $78 585 Incógnita n

R = $2 900

m = periodo de gracia = 5 meses

T = 26% A.C.M.

i = 0.021666 mensual

2 5 n - 10 n meses6 7431

R1

Rn - 1

Rn

Periodo de gracia

$78 585. . .

R2

R3

. . .

. . .8

Figura 5.27 Anualidaddiferida,valoractualparaconocerelnúmerodepagosmensualesde$2900.

n

R

R A i ii

mlog

[ (1 ) ]( )log(1 )

log2900

2900 [ 78585 (1.0216666 ) ]( 0.0216666 )

log(1.0216666 )

5

=− +

+=

n

log2900

2900 [ 78585 (1.11312697 )]( 0.0216666 )

log(1.02 )

log2900

2900 ( 87475.08 )( 0.0216666 )

log(1.02 )=

=

n

log2900

2900 1895.29

log(1.021666 )

log2900

1004.71

log(1.021666 )

log[ 2.8862614 ]

log(1.021666 )0.460328530.00930894

=−

=

= =

n = 49.45

Como n = 49.45 pagos, deberá pagar 49 pagos de $2 900 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación:

= −−

X 78585 (1.021666 ) 2900

(1.021666 ) 10.021666

(1.021666 )5449

= −−

X 78585 ( 3.1818727 ) 29002.85849934 1

0.021666(1.021666 )

= −

X 250047.47 29001.858499340.021666

(1.021666 )

X = [250 047.47 - 2 900(85.779532)](1.021666)

X = (250 047.47 - 248 760.64)(1.021666) = (1 286.83)(1.021666) = $1 314.71

Solución

Problema resuelto

48. Claudia Salazar contrae una deuda por $78 585 por la compra de equipo fotográfico, el que co­menzará a pagar dentro de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de $2 900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos debe realizar para saldar su deuda?

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158

AnualidadesUNIDAD 5

❚ 5.5.5 Tasa de interés en anualidades diferidas

Como ya se ha estudiado, al realizar el pago de la renta al final de cada periodo se tiene que emplear la fórmula de valor presente para anualidad vencida.

=− +

A Ri

i

n1 (1 ) 5.3

La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor pre­sente para anualidad vencida.

=− +

A Ri

i

n1 (1 )

=− + −A

Ri

i

n1 (1 ) 5.18

Como se observa en la expresión 5.18 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Entonces qué se puede hacer para conocer el valor de la tasa. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos:

1. Sustituir los valores en la expresión 5.18 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente

=− + −A

Ri

i

n1 (1 ) 5.18

=− + −

ki

i

n1 (1 )

2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado dere­cho de la expresión 5.18 sea lo más cercano al valor de k.

3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.18 para determinar el valor de i.

Para entender con mayor facilidad los pasos anteriores, se utilizará un ejemplo:

Problema resuelto

49. Gilberto debería pagar el día de hoy $22 648.28 por la compra de mercancía para su mercería. Él había reestructurado su deuda con anticipación y acordó con el banco realizar siete pagos trimes­trales de $4 500.00. ¿Qué tasa de interés le están cobrando?

También se pueden realizar 48 pagos de $2 900, más otro de mayor cantidad:

X 78585 (1.021666 ) 2 900(1.021666 ) 1

0.021666(1.021666 )53

48

= −−

X 78585 ( 3.1143962 ) 2 9002.7978805 1

0.021666(1.021666 )= −

X 244744.83 2 9001.79788050.021666

(1.021666 )= −

X = [244 744.83 - 2 900(82.98165159)](1.021666)

X = (244 744.83 - 240 646.79)(1.021666) = (4 098.04)(1.021666) = $4 186.83

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159

Datos

C = $22 648.28 Incógnita i

R = $4 500.00

n = 7 trimestres

1.

=− + −A

Ri

i

n1 (1 ) 5.18

=− + −i

i

n$22648.28

$4500.001 (1 )

=− + −i

i

n

5.032951 (1 )

2.

Si i = 0.085 entonces:

=− + −

5.032951 (1 0.085 )

0.085

7

=− −

5.032951 (1.085 )

0.085

7

=−

5.032951 0.564926

0.085

=5.032950.4350736

0.085

5.03295 = 5.118513

Si i = 0.087 entonces:

=− + −

5.032951 (1 0.087 )

0.087

7

=− −

5.032951 (1.087 )

0.087

7

=−

5.032951 0.55769

0.087

=5.032950.4423096

0.087

5.03295 = 5.084

Si i = 0.098 entonces:

=− + −

5.032951 (1 0.098 )

0.098

7

=− −

5.032951 (1.098 )

0.098

7

=−

5.032951 0.519737

0.098

=5.032950.4802630.098

5.03295 = 4.90064

Solución

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160

AnualidadesUNIDAD 5 3.

El paso siguiente es interpolar los dos valores más cercanos a 5.03295, calculados en el paso ante­rior, la interpolación nos sirve para encontrar el valor más exacto de la tasa de interés i.

En todo procedimiento de interpolación se debe realizar un diagrama el cual mostrará las con­diciones de la interpolación permitiendo analizar y comprender de una forma más clara los cálculos a realizar.

d2

4.90064 d1

5.03295 5.084

dT

0.098 d3

i 0.087

Figura 5.28 DeInterpolaciónparaelcálculodelatasadeinterés.

Con base en la figura 5.28 se realizan los siguientes cálculos:

La distancia total entre las cantidades 4.90064 y 5.084.

Distancia total (dt) = 5.084 - 4.90064 = 0.18336

La distancia (d1) entre las cantidades 4.90064 y 5.03295.

d1 = 5.03295 - 4.90064 = 0.13231

Se plantea la relación:

= =d

dt

0.132310.18336

0.721591

La distancia (d3) entre las cantidades 0.098 e i.

d3 = i - 0.098

La distancia (dT) entre las cantidades 0.087 y 0.098.

dT = 0.087 - 0.098 = -0.011

La proporción queda de la siguiente forma:

d

d

d

dT

1 2=

−=

−−

i5.03295 4.900645.084 4.90064

0.0980.087 0.098

=−−

i0.132310.18336

0.0980.011

=−−

i0.72159

0.0980.011

i - 0.098 = 0.72159(-0.011)

i - 0.098 = -0.007937

i = -0.007937 + 0.098

i = 0.090062

i = 9.0062% trimestral

Comprobación de la mejor aproximación de la tasa de interés, utilizando la ecuación 5.18.

−=

−= =

−1 (1.090062 )0.090062

1 0.54681650.090062

0.045318350.090062

5.03197

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161

Datos

A = $10 300 Incógnita i

R = $1 030

n = 12 meses

1.

=− + −A

Ri

i

n1 (1 )

$ .

$ .( )10300 00

1030 001 1

=− + −i

i

n

=− + −i

i

n

101 (1 )

2.

Si i = 0.03 entonces:

=− + −

101 (1 0.03 )

0.03

12

=− −

101 (1.03 )

0.03

12

=−

101 0.701379

0.03

=100.298620.03

10 = 9.954

Si i = 0.028 entonces:

=− + −

101 (1 0.028 )

0.028

12

=− −

101 (1.028 )

0.028

12

=−

101 0.71793

0.028

=100.2820690.028

10 = 10.073897

Solución

Problema resuelto

50. Raquel compra un calentador solar para su casa a plazos. Ella acuerda con la ferretería realizar 12 pagos mensuales de $1 030. ¿Cuál es la tasa anual efectiva, si el precio de contado del calen­tador solar es de $10 300?

El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecua­ción 5.18.

5.0319 ≈ 5.3295

La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00085 debido a las fracciones decimales en los cálculos.

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162

AnualidadesUNIDAD 5

Datos M = $400 000.00 Incógnita i R = $19 000.00 n = 20 trimestres

1.

=+ −M

Rii

n(1 ) 1 5.20

=+ −ii

n$400 000.00

$19 000.00(1 ) 1

=+ −ii

n

21.0526(1 ) 1

Solución

Problema resuelto

51. Jacinto realizó 20 depósitos trimestrales de $19 000.00 en el Banco del Atlántico, para juntar la cantidad de $400 000.00. ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente?

3. d2

10.073897 d1

10 9.954

dT

0.028 dt

i 0.03

Figura 5.29 Interpolacióncálculodelatasadeinterés.

Con base en la figura 5.29 se realizan los siguientes cálculos:

La proporción queda de la siguiente forma:

d

d

d

dt

T

1 =

i10.073897 9.954

10.073897 9.9540.028

0.028 0.03−−

=−

=−

−i0.073897

0.1198980.028

0.002

=−

−i

0.61633740.028

0.002

0.028 - i = 0.6163374(-0.002)

0.028 - i = 0.001232675

i = 0.001232675 + 0.028

i = 0.0292327

i = 2.92% efectiva mensual

La tasa efectiva anual es:

e = (1 + i )p 5.19

e = (1.02923)12 - 1

e = 1.413023 - 1

e = 0.413023

e = 41.3023% efectiva mensual

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163

2.

Si i = 0.005 entonces:

=+ −

21.0526(1 0.005 ) 1

0.005

20

=−

21.0526(1.005 ) 1

0.005

20

=−

21.05261.104895 1

0.005

21.05260.1048955

0.005=

21.0526 = 20.9791

Si i = 0.0055 entonces:

=+ −

21.0526(1 0.0055 ) 1

0.055

20

=−

21.0526(1.0055 ) 1

0.055

20

=−

21.05261.115942 1

0.055

=21.05260.1159420.0055

21.0526 = 21.0803

3.

d2

20.9791 d1

21.0526 21.0803

dT

0.005 dt

i 0.0055

Figura 5.30 Interpolacióncálculodelatasadeinterés.

Con base en la figura 5.30 se realizan los siguientes cálculos:

La proporción queda de la siguiente forma:

d

d

d

dt

T

1 =

−−

=−

−i21.0526 20.9791

21.0803 20.97910.005

0.0055 0.005

=−i0.07353

0.10120.005

0.0005

=−i

0.726580.005

0.0005

i - 0.005 = 0.72658(0.0005)

i - 0.005 = 0.000363

i = 0.000363 + 0.005

i = 0.00536329

i = 0.53633% trimestral

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164

AnualidadesUNIDAD 5

❚ 5.5.6 Tasa de interés en anualidad diferida

La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor pre­sente para anualidad vencida.

= +− +

− +

A Ri

i

n

11 (1 ) 1

5.10

= +− + − +A

Ri

i

n

11 (1 ) 1

5.21

Como se observa en la expresión 5.21 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos:

1. Sustituir los valores en la expresión 5.21 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente.

= +− + − +A

Ri

i

n

11 (1 ) 1

5.21

Si: − =− + −

ki

i

n

11 (1 )

2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado dere­cho de la expresión 5.21 sea lo más cercano al valor de k.

3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.21 para determinar el valor de i.

Comprobación

+ −=

−=

−= =

(1 0.0053633 ) 10.0053633

(1.0053633 ) 10.0053633

1.1129113 10.0053633

0.11291130.0053633

21.0525820 20

El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecua­ción 5.18.

21.0526 ≈ 21.05258

La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00002 debido a las fracciones decimales en los cálculos.

La solución de la tasa de anualidad antici­pada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.10, los cálculos se realizaron con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.

Cuadro 5.8 Cálculo de la tasa de interés en anualidad diferida (Valor actual)

Solución

Problema resuelto

52. ¿A qué tasa de interés anual de nueve pagos bimestrales anticipados de $800.00 equivalen a un valor actual de $6 788.74?

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165

La solución de la tasa de anualidad anticipada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.8, los cálculos se realizarán con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.

=+ −

+

M Rii

n(1 ) 11

1

5.8

+ =+ −

+MR

ii

n

1(1 ) 11

5.22

Cuadro 5.9 Cálculo de la tasa de interés en anualidades anticipadas (monto)

=d

d

d

dt T

1 3

−=

−−

i 0.322150.32225 0.32215

268.684022 268.561749268.806351 268.561749

=i 0.32215

0.00010.1222730.244602

Solución

Problema resuelto

53. ¿A qué tasa de interés anual de 15 pagos anuales anticipados de $1 800 acumulan un valor futuro de $481 831.24?

=d

d

d

dt T

1 3

i −

−=

−0 01450 015050 0 0145

7 502257 7 485937 5

.. .

. .

. 002257 7 48429− .

=i 0.01450.00055

0.036640.03828

i - 0.0145 = 0.95716(0.00055)

i - 0.0145 = 0.0005

i = 0.015

i = 1.5% bimestral

i = 9% anual

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166

AnualidadesUNIDAD 5

5.6 Anualidades generales

Una anualidad general tiene la característica de que el periodo de pago nunca coincide con el periodo de capitalización. Existen dos casos de anualidades generales:

■ Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización.

■ El periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago.

Cuadro 5.10 Cómo identificar una anualidad general, cuando es planteada en ejemplo o problema a resolver

Criterio Anualidad general Ejemplo

Tiempo (Cierta) Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad. Antes de realizar la firma del documento.

PeriodoTiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.

Un año.

Iniciación(Inmediata)

El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato).

Pagos Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.Al final de cada mes,El día 30 o 31.

GeneralCuando el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

El periodo de pago es de un mes y la tasa de interés de 10% anual convertible bimestralmente.

Es necesario convertir la anualidad general en una anualidad simple, para posteriormente utilizar la ecuación de anualidad vencida y calcular la anualidad general.

Para convertir la anualidad general a simple se cuenta con los dos procedimientos:

1. Calcular la tasa de interés equivalente i ′.

2. Encontrando el valor de la renta o pago periódico equivalente R ′.

I. Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización

Datos

R = $150 Incógnita M

T = 24% A.C. Mensual

i = 0.02 mensual

n = 4 bimestres

Figura 5.31 Anualidad general.

i = ?

10 2 3 4 bimestres

A R1

R2

R3

R4

i = 0.02 mensual

20 4 6 8 meses

Solución

Problema resuelto

54. Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre si el interés es de 24% anual capitalizable mensualmente.

i - 0.32215 = 0.499886(0.0001)

i - 0.32215 = 0.00004999

i = 0.32219

i = 32.219% anual

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167

II. Si el periodo de pago es más corto que el de capitalización

Datos

R = $150 Incógnita M

T = 24% A.C. Trimestral

n = 4 bimestres

a) En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses es cada tres meses, entonces, el periodo de pago es menor que el de capitalización. Para dar solución a este problema, a la anualidad general primero se le calcula la tasa de interés equivalente.

Figura 5.32 Anualidad general.

i = ?

10 2 3 4 bimestres

A R1

R2

R3

R4

i = 0.02 mensual

10 2 3 trimestres

Solución

Problema resuelto

55. Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre, si el interés es de 24% anual capitalizable trimestralmente.

En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses de un mes, entonces, el periodo de pago es mayor que el de capitalización. Para encontrar la anualidad general primero se calcula la tasa de interés equivalente.

i ′ = 6[1.0404 - 1]

i ′ = 6(0.0404)

i ′ = 0.2424

i ′ = 24.24% A.C. Bimestral

i ′ = 0.0404 bimestral

Una vez encontrada la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple.

=+ −

=

+ −

=

= =

′M R

iiB

n(1 ) 1150

(1 0.0404 ) 10.0404

1501.17165938 1

0.0404150 ( 4.249 ) $637.35

4

Encontrar la renta equivalente mensual (R ′) durante dos meses que sea equivalente a una renta bimes­tral (R ) de $150; es decir, debemos calcular a partir del monto la renta mensual utilizando la fórmula de anualidad simple.

=+ −

′M Rtt

p(1 ) 1

Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene:

=+ −

=−

= =′R150

(1 0.02 ) 10.02

150

1.0404 10.02

1502.02

$74.262

El monto MB = MM

=+ −

=

+ −

=

′M R

iiM

n(1 ) 174.26

(1 0.02 ) 10.02

$637.378

Page 181: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

168

AnualidadesUNIDAD 5

Datos

R = $550 Incógnita M

n = 10 depósitos mensuales

T = 23% A.C. Semestral

i = 11.5% efectivo semestral

Solución

Problema resuelto

56. Encontrar el monto de 10 depósitos mensuales de $550, si el interés es de 23% anual capitalizable semestralmente.

Calcular la tasa de interés equivalente:

16

10 24

4

6 4

+

= +

i ′ .

16

1 0 066

4+

= +

i ′( . )

i

16

(1.06 )46′+ =

i 6 (1.06 ) 146′ = −

i ′ = 0.23766

i ′ = 23.766% A.C. Bimestral

b) Al encontrar la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple.

=+ −

′M R

ii

n(1 ) 1

=+ −

M $150(1 0.03961) 1

0.03961

4

M = $636.60

c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de tres meses.

R Rtt

p

′ =+ −

( )1 1

R ′ =+ −

1501 0 03961 1

0 03961

0 5( . ).

.

R ′ = $630.60 trimestral

Si R ′ = R, entonces:

M =+ −

$ .( . )

.227 21

1 0 06 10 06

24 9

M = $636.60

Page 182: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

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169

a) Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 11.5% también efectivo semestral.

i = ?

20 5 8 10 meses

A R3

R7

R2

R6

i = 0.115 semestral

10 2 semestres

1 3 64 7 9

R1

R5

R8

R10

R4

R9

Figura 5.33 Anualidad general.

+

= +

′i1

121

0.232

12 2

+

= +

′i1

12(1 0.115 )

122

+ =′i

112

1.24322512 12

i ′ = 12[1.018308 - 1]

i ′ = 12(0.018308)

i ′ = 0.219695

i ′ = 21.97% A.C. Mensual

i ′ = 1.83% mensual

b) Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple.

=+ −

=

+ −

=

′M R

ii

n(1 ) 1550

(1 0.01830833 ) 10.01830833

5500.198927620.01830833

10

M = 550(10.865416) = $5 975.98

c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de seis meses.

=+ −

′′

′M R

ii

n(1 ) 1

Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene:

=+ −

=

′R 550(1 0.01830833 ) 1

0.01830833550

0.115002340.01830833

6

R ′ = 550(6.22814216) = $3 454.78

M =+ −

=3454 78

1 0 115 10 115

3454 78010 6

.( . )

..

...

19892340 115

M = 3 454.78(1.72977) = $5 975.97

Page 183: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

170

AnualidadesUNIDAD 5

Datos

Depósitos mensuales n = 9

R = $1 000

T = 2% A.C.S.

i = 0.02/2 = 0.01 semestral

a) De los datos del problema y como se muestra en la gráfica, se deduce que el periodo de capi­talización es más largo que el periodo de pago:

Figura 5.34 Anualidad general.

i = ?

20 5 8 12 meses

R3

R7

R2

R6

i = 0.01 semestral

10 2 semestres

1 3 64 7 9

R1

R5

R8

R4

R9

10 11

Determinar la tasa de interés equivalente.

Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 1% efectivo semestral.

+

= +

′i1

61

0.022

6 1

16

1 016 6+ =i ′

.

i ′ = 6[1.0016598 - 1]

i ′ = 6(0.0016598)

i ′ = 0.00996

i ′ = 0.996% mensual

b) Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple.

M Rii

n(1 ) 11 000

(1 0.00996 ) 10.00996

1 0001.104185 1

0.009961 000

0.1041850.00996

10′

′=

+ −

=

+ −

=

=

M = 1 000(10.460314) = $10 460.31

c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de capitalización de seis meses.

=+ −

′′

′M R

ii

n(1 ) 1

Despejar R ′ de la ecuación anterior se obtiene:

R 1000(1 0.00996 ) 1

0.009961 000

1.061268 10.00996

1 0000.0612680.00996

6

′ =+ −

=

=

R ′ = 1 000(6.151406) = $6 151.41

M =+ −

=6151 41

1 0 001 10 01

6151 41110 6

.( . )

..

( .. ).

...001 1

0 016151 41

0 0016670

1 666667 −

=

..01

M = 6 151.41(1.667) = $10 254.40

Solución

Problema resuelto

57. Encontrar el monto de nueve depósitos mensuales de $1 000 que realiza un alumno de la univer­sidad para comprarse una computadora, si el interés es de 2% capitalizable semestralmente.

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171

❚ 5.6.1 Valor actual en anualidades generales

Datos R = $200 Incógnita A n = 4 trimestres T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual

a) Se resuelve utilizando la tasa equivalente. Para su cálculo se considera un solo trimestre.

1 + i ′ = (1 + i )p

i ′ = (1 + 0.021666)3 - 1

i ′ = 0.0664165 trimestral

b) Para calcular el valor presente:

=− +

=

= −

− −

A Ri

i

n1 (1 )200

1 (1.0664165 )0.0664165

2001 0.77320130.0664165

4

=

= =A 200

0.22679870.0664165

200( 3.4147945 ) $682.96

c) Para calcular el monto:

=+ −

=

= −

M Rii

n(1 ) 1200

(1.0664165 ) 10.0664165

2001.293324 10.0664165

4

A 2000.29332430.0664165

200( 4.4164372 ) $883.29=

= =

O bien, si A = M entonces:

M = 682.96(1.0664165)4 = 682.96(1.2933243) = $883.29

d ) Para la renta equivalente, la solución es:

=+ −

′M Rtt

p(1 ) 1

=−

′R200

(1.021666) 10.021666

3

=

′R2000.0664160.021666

= =′R200

3.0654482$65.24 mensual

e) El cálculo del valor presente sería:

=− +

=

=

=

=

− −

A Ri

i

n1 (1 )65.24

1 (1.021666 )0.021666

65.241 0.7732013

0.02166665.24

0.2267980.021666

65.24 (10.46791)12

=− +

=

=

=

=

− −

A Ri

i

n1 (1 )65.24

1 (1.021666 )0.021666

65.241 0.7732013

0.02166665.24

0.2267980.021666

65.24 (10.46791)12

A = $682.93

Solución

Problema resuelto

58. Encontrar el valor actual de un conjunto de cuatro pagos trimestrales de $200, si el interés es de 26% anual convertible mensualmente.

Page 185: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

172

AnualidadesUNIDAD 5 f ) Para calcular el monto:

= + −

=

+ −

=

=′M R t

t

p(1 ) 1 65.24(1 0.021666 ) 1

0.02166665.24

0.2933240.021666

12

M = 65.24(13.53845) = $883.25 mensual

Encontrar la tasa efectiva bimestral equivalente a la efectiva trimestral:

(1 + i ′)3/2 = (1 + 0.03)

i ′ = (1.03)2/3 - 1

i ′ = 1.0199013 - 1

i ′ = 0.0199013 efectiva bimestral

=+ −

=

=

M 10600(1 0.0199013 ) 1

0.019901310600

(1.0199013 ) 10.0199013

106001.42576 10.0199013

18 18

=

= =M 10600

0.425760.0199013

10600 ( 21.393609 ) $226772.25

El valor presente es:

C = 226 772.25(1.0199013)-18 = 226 772.25(0.70138)

C = $159 053.52

Solución

Problema resuelto

59. ¿Cuál es el monto y el valor presente de un conjunto de 18 pagos bimestrales de $10 600 si el interés es de 3% trimestral efectivo?

❚ 5.6.2 Plazo en anualidades generales

La tasa semestral equivalente a 1.25% bimestral:

+

= +

′i1

2(1 0.0125 )

21

+

=

′i1

21.0125

22

+ =′i

12

1.00623059

i ′ = 2[1.00623059 - 1]

i ′ = 2(0.00623059)

i ′ = 0.0124612 A.C. Semestral

i ′ = 0.0124612/2 = 0.00623059 semestral

Solución

Problema resuelto

60. Una persona desea acumular $20 395 mediante depósitos semestrales de $911.90 en una cuenta que rinde 1.25% bimestral.

Page 186: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

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173

La tasa mensual equivalente a 15% efectivo anual:

+

= +

′i1

12(1 0.15 )

12

112

1 15 112+

=

i ′( . )

+ =′i

112

1.01171492

i ′ = 12(0.01171492)

i ′ = 0.0140579 A.C. mensualmente

i ′ = 0.140579/12 = 0.011715 mensual

De la expresión de valor actual de la anualidad vencida se despeja n:

A Ri

in

AiRn

=− +

∴ =−

−1 1

1

1( )

log

l′

oog( )1+ i ′

  n

log1

11950000 ( 0.011715 )

140000

log(1 0.011715 )

log1

122844.25134400

0.005058189

log1

1 0.163170.005058189

log1

0.83002790.005058189

=−

+=

= −

=

n

log1

11950000 ( 0.011715 )

140000

log(1 0.011715 )

log1

122844.25134400

0.005058189

log1

1 0.163170.005058189

log1

0.83002790.005058189

=−

+=

= −

=

nlog(1.1949858 )

0.0050581890.0773627590.005058189

15.29= = =

Tiene que realizar 15 pagos completos y un pago 16 de una cantidad menor.

Solución

Problema resuelto

61. La banda Del Recodo debe pagar un préstamo para la compra de un autobús, el costo de contado es de $1 950 000 y lo debe liquidar con pagos mensuales de $134 400 comenzando un mes des­pués de la autorización del crédito, el interés es de 15% efectivo anual. ¿Cuántos pagos completos debe hacer?

De la expresión de monto de la anualidad vencida se despeja n:

=+ −

∴ =

+

+′

′M R

ii

n

MiR

i

n(1 ) 1log 1

log(1 )

=+

+=

+

= = =n

log20395 ( 0.00623059 )

911.901

log(1 0.00623059 )

log127.07288911.90

1

0.002697516

log(1.13935 )

0.0026975160.056657

0.00269751621

Page 187: PATRIA - up-rid2.up.ac.pa:8080

174

AnualidadesUNIDAD 5

. . . . . .

10 Feb. 2016 meses

R4

R5

R6

R1

R2

R3

Periodo de gracia

AdeudoEnganche$2 000 000 $2 000 000

10 Sep. 201510 Ago. 201510 May. 201510 Feb. 2014

Figura 5.35 Anualidad diferida, cálculo de la renta.

Valor del local - enganche = 4 000 000 - 0.5 (2 000 000) = $1 000 000

Periodo de gracia tres meses

Seis pagos mensuales de = ?

Tasa equivalente

(1 + i )12 = 1 + 0.105

+ =i1 1.10512

i = 1.0083552 - 1

i = 0.0083552

El valor del adeudo al 10 de agosto de 2015

2 000 000(1.0083552)3 = $2 050 551.22

La anualidad equivalente:

=−

R2050551.221 (1.0083552 )

0.0083552

6

=−

R2050551.221 0.95130274

0.0083552

=

R2050551.220.04869730.0083552

R2050551.225.8283822

$351821.68= =

Solución

Problema resuelto

62. El 10 de febrero de 2014, el comerciante Miguel Mancera compró un local en una nueva plaza comercial en el centro de la ciudad con valor de $4 000 000, dio de enganche 50% y el resto fue en un pago único el 10 de mayo 2015. El 20 abril de 2015, el señor Mancera acuerda con Banorte cambiar la forma de liquidar el local por seis pagos mensuales, realizando el primero el 10 de sep­tiembre de 2015. La tasa de interés efectivo anual acordada es de 10.5%. ¿Cuánto tiene que pagar mensualmente el señor Mancera?

❚ 5.6.3 Renta en anualidades generales

Problema resuelto

63. La costurera María Pérez desea ahorrar $35 000 en los próximos tres años para comprar una máqui­na de tejido. Ella puede realizar depósitos semanales en una cuenta que paga 3.6% capitalizable mensualmente, ¿qué cantidad de dinero tiene que depositar María cada semana?

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175

La tasa mensual es:

(1 + i )3 = 1.0226

= − =′i 1.0226 1 0.00747733

El valor actual del adeudo

Saldo = Precio - enganche = 97 325 - 0.25 (97 325) = 97 325 - 24 331.25 = $72 993.75

=− + ′

∴ =− +

−′

A Ri

iR

A

ii

n

n

1 (1 )

1 (1 )

=− +

=−

=

= =−

R72993.75

1 (1 0.0074773 )0.0074773

72993.75

1 0.7647690.0074773

72993.75

0.2352310.0074773

72993.75

31.459288$2320.26

36

Solución

Problema resuelto

64. Un nuevo plan de ventas de la mueblería Delher para un paquete de comedor, sala, recámara, cocina y refrigerador con valor de $97 325. El plan consiste en dar 25% de enganche del precio de contado, 36 pagos mensuales y la tasa de interés de 2.26% efectivo trimestral, ¿de cuánto es cada pago mensual?

Se calcula la tasa semanal equivalente a 3.6% capitalizable mensualmente

+

= +

′i1

521

0.03612

52 12

+ =′i

152

(1.003 )1252

+ =′i

152

1.036652

= −′i

521.0006915 1

i ′ = 52(0.0006915)

i ′ = 0.03596 A.C. semanalmente

i ′ = 0.3596/52 = 0.0006915 semanal

Despejando R

=+ −

∴ =+ −

′ ′

M Rii

RM

ii

n

n

(1 ) 1

(1 ) 1

=+ −

=−

=−

=

= =′

RM

ii

n(1 ) 1

35000

(1.0006915 ) 10.0006915

35000

1.11386586 10.0006915

35000

0.113865860.0006915

35000

164.665$212.55

156

=+ −

=−

=−

=

= =′

RM

ii

n(1 ) 1

35000

(1.0006915 ) 10.0006915

35000

1.11386586 10.0006915

35000

0.113865860.0006915

35000

164.665$212.55

156

Solución

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176

AnualidadesUNIDAD 55.7 Anualidades generales anticipadas

Encontrar la tasa efectiva quincenal:

+

= +

′i1

241

0.2412

24 12

+

= +

′i1

24(1 0.02 )

2412

+ =′i

124

(1.2682418 )24

i ′ = 24[1.00995 - 1]

i ′ = 24(0.00995)

i ′ = 0.2388 A.C. quincenal

i ′ = 0.00995 quincenal

Un bimestre tiene cuatro quincenas.

n = 6(4) = 24

=+ −

∴ =+ −

+

+

′ ′

M Rii

RM

ii

n

n

(1 ) 11

(1 ) 11

1

1

=+ −

=+ −

=−

=−

=+ +′

RM

ii

n(1 ) 11

23000

(1 0.00995 ) 10.00995

1

23000

1.2808458 10.00995

1

23000

0.28084580.00995

11 24 1

=+ −

=+ −

=−

=−

=+ +′

RM

ii

n(1 ) 11

23000

(1 0.00995 ) 10.00995

1

23000

1.2808458 10.00995

1

23000

0.28084580.00995

11 24 1

=−

=−

=R23000

0.28084580.00995

1

23000

28.2257 1$844.80

Solución

Problema resuelto

65. La historiadora Nitza Aragón realiza por anticipado depósitos quincenales durante seis bimestres para acumular $23 000, a una tasa de interés capitalizable 24% cada mes.

Encontrar la tasa efectiva semestral:

+

= +

′i1

21

0.244

2 4

Solución

Problema resuelto

66. Encontrar el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $5 500 si el inte­rés es de 24% capitalizable trimestralmente.

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177

5.8 Anualidad general diferida

+

= +

′i1

2(1 0.06 )

24

+ =′i

12

(1.262477 )2

i ′ = 2 [1.1236 - 1]

i ′ = 2(0.1236)

i ′ = 0.2472 A.C. Semestral

i ′ = 0.1236 semestral

El valor actual de la anualidad anticipada:

=− +

+

=

− + − ++

=

−+

=

−+

− + −′

′A R

ii

n1 (1 )1 5500

1 (1 0.1236 ) 25 1

0.12361 5500

1 (1.1236 )0.1236

1 55001 0.0609984

0.12361

1 24

=− +

+

=

− + − ++

=

−+

=

−+

− + −′

′A R

ii

n1 (1 )1 5500

1 (1 0.1236 ) 25 1

0.12361 5500

1 (1.1236 )0.1236

1 55001 0.0609984

0.12361

1 24

A 55000.9390.1236

1 5500 ( 8.5971) 5500 $47284.05= +

= + =

La tasa de capitalización por semana equivalente a la tasa de 30% anual capitalizable mensualmente.

+

= +

′i1

521

0.3012

52 12

+

= +

′i1

52(1 0.025 )

5212

+ =′i

152

(1.344889 )52

i ′ = 52[1.005715 - 1]

i ′ = 52(0.005715)

i ′ = 29.716% A.C. semanal

i ′ = 0.005715 semanal

El valor presente de la pantalla plana una semana antes de hacer el primero de los 36 pagos de $230 a la semana.

( )=

− +

=

− + −

=

− +

=

− −

A Ri

i

n1 (1 )230

1 1 0.29716 52 36

0.29716 52230

1 (1 0.005715 )0.005715

2300.1854670.005715

36

( )

=− +

=

− + −

=

− +

=

− −

A Ri

i

n1 (1 )230

1 1 0.29716 52 36

0.29716 52230

1 (1 0.005715 )0.005715

2300.1854670.005715

36

A = 230(32.452668) = $7 464.11

Solución

Problema resuelto

67. La mueblería RC ofrece una pantalla plana con 36 abonos semanales de $230 e intereses de 30% capitalizable mensualmente, el primer pago se realiza dentro de tres meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado de la pantalla plana?

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178

AnualidadesUNIDAD 5

5.9 Anualidad general variable

Las anualidades estudiadas con anterioridad se caracterizaban porque la serie de pagos se realizaban a intervalos de tiempo iguales o uniformes a un importe constante o valor constante.

n - 1

. . .

20 431

R4

R1

R2

R3

n (años)

Rn - 1

Rn

Figura 5.36 Anualidadconimporteconstanteyuniformes(R1 = R2 = R3 = R4 = . . . = Rn - 1 = Rncadaaño).

Tasa equivalente:

+

= +

′i1

41

0.04512

4 12

+

= +

′i1

4(1 0.00375 )

412

+ =′i

14

(1.0459398 )4

i ′ = 4[1.011292234 - 1]

i ′ = 4(0.011292234)

i ′ = 0.04517 A.C. Trimestral

i ′ = 0.0112925 trimestral

4 años × 4 trimestres por año = 16 bimestres.

El valor del depósito antes de cumplir los cuatro años:

30 000(1.0112925)15 = 30 000(1.183450569) = $35 503.65

Anualidad simple:

=− + ′

∴ = −−

+ ′

A Ri

in

AiRi

n1 (1 )log 1

log(1 )

n = −−

+

log. ( . )

log(

135503 65 0 0112925

1800

1 00 0112925

1400 9251800

0 004876. )

log.

.= −

88

1 0 222736

0 0048768

0 777264= −

−= −

log( . )

.

log( . )

00 0048768.

n = −−

+

log. ( . )

log(

135503 65 0 0112925

1800

1 00 0112925

1400 9251800

0 004876. )

log.

.= −

88

1 0 222736

0 0048768

0 777264= −

−= −

log( . )

.

log( . )

00 0048768.

= =n0.10943150.0048768

22.43

Él realiza 22 retiros completos de 1 800 pesos.

Solución

Problema resuelto

68. Al día siguiente de su titulación, José Manuel deposita en su cuenta de inversión $30 000, la cual produce 4.5% capitalizable mensualmente. Él piensa realizar retiros trimestrales de $1 800 dentro de cuatro años, ¿cuántos retiros completos de $1 800 realizará?

Para conocer el precio de contado de la pantalla se tiene que encontrar el valor actual 12 semanas antes del primer pago.

C = 7 464.11(1.005715)-12 = 7 464.116(0.9339) = $6 970.74

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179

En la vida cotidiana se presentan casos en donde el importe es variable y la serie de pagos se realizan en intervalos uniformes, a estos casos se les conoce como anualidades variables.

En las anualidades variables como el importe es variables, este se puede incrementar o decremen­tar en forma de series aritméticas o geométricas y el conjunto de pagos que se realizan a intervalos iguales.

En el caso de las anualidades variables aritméticas, cada término es el resultado de sumar o restar un mismo número al número anterior.

En las anualidades geométricas, cada término es el resultado de multiplicar el anterior por un mismo número, el cual recibe el nombre de razón de la progresión geométrica r y el primer término se representa con t1.

n - 1

. . .

20 431

4R4

R1

2R2

3R3

n (años)

(n - 1)Rn - 1

nRn

Figura 5.37 Anualidadconpagosuniformeseimportevariableyuniformes(R1 ≠ R2 ≠ R3 ≠ R4 ≠ . . . ≠ Rn - 1 ≠ Rn).

La suma de los términos en una serie geométrica creciente o decreciente se encuentra utilizando las siguientes ecuaciones:

Progresión decreciente, la razón es menor a uno (r < 1).

=−−

S trrn

n111

Progresión creciente, la razón es mayor a uno (r > 1).

=−−

S trrn

n 111

Para calcular cualquier término basta con conocer el valor del primer pago (t ) y la razón de la progre­sión (r ).

U = t1r n - 1

Suma de términos:

a) Progresión creciente en este caso la razón es mayor a 1 (r > 1).

=−−

S trr

n 111

b) Progresión creciente en este caso la razón es menor a 1 (r < 1).

=−−

S trr

n111

❚ 5.9.1 Valor presente de una anualidad variable

En el cálculo del valor presente de una anualidad variable es necesario trasladar todos los términos a la fecha focal que está ubicada en punto cero como se muestra en la figura 5.38.

n - 1

. . .

20 31

R 2R 3R

n

(n - 1)R nRA

FF

Figura 5.38 Valorpresentedeunaanualidadvariable.

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180

AnualidadesUNIDAD 5En donde los n pagos al final de los periodos de interés son: R, 2R, 3R, . . . , nRn.

A = R(1 + i )-1 + 2R(1 + i )-2 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 1) + nR(1 + i )-n (5.23)

Multiplicando la ecuación (1) por (1 + i ) se tiene:

(1 + i ) A = R + 2R(1 + i )-1 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 2) + nR(1 + i )-(n - 1) (5.24)

Restando las ecuaciones 5.23 y 5.24:

iA = R[1 + (1 + i )-1 + (1 + i )-2 … + (1 + i )-(n - 1)] - nR(1 + i )-n (5.25)

Suma de la progresión geométrica

Sea Sn la suma de los n términos de la progresión geométrica siendo el primer término es t1 = 1 y la razón común (1 + i )-1.

=−−

S trrn i

n11

+ + + + + + =−−

− − − −�i i i trr

ni

n

1 (1 ) (1 ) (1 )11

1 2 ( 1)

+ + + + + + =++

− +− +

− − − −−

−�i i i

ii

i

in

n

1 (1 ) (1 ) (1 )11

1 (1 )

1 (1 )1 2 ( 1)

1

+ + + + + + = +− +

− − − −−

�i i i ii

in

n

1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )1 (1 )1 2 ( 1)

La ecuación 5.23 queda:

= +− +

− +

−−Ai R i

ii

n in

n(1 )1 (1 )

(1 )

= +− +

− +

−−A

Ri

ii

in i

nn(1 )

1 (1 )(1 ) 5.26

El valor acumulado S de la anualidad simple creciente se calcula con la siguiente ecuación:

S = A(1 + i )n 5.27

= +− +

− +

+−

−SRi

ii

in i i

nn n(1 )

1 (1 )(1 ) (1 )

=− +

+ −

−+S

Ri

ii

i nn

n1 (1 )(1 ) 1 5.28

• Comolosinteresessepaganalfinaldecadaaño,elseñorRiveratendráalfinaldelossieteaños$63 000 en el fondo de inversión.

• LosdepósitosrealizadosenEXEBancotambiénsepaganalfinaldecadaaño,perosuprimerpago de intereses será a partir del segundo año.

Solución

Problema resuelto

69. Ángel Rivera invierte $9 000 al final de cada año, durante siete años, en un fondo de inversión (fi ) que paga 10%, el fondo paga los intereses al final de cada año. La persona deposita su pago anual de intereses en una cuenta de inversión inmediata (cii)enEXEBanco,pagadeintereses4%anual.¿Cuánto dinero tendrá dentro de siete años?

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181

A = 15 400 + 15 400(1.02)5(1.08)-5 + 15 400(1.02)10(1.08)-10 + 15 400(1.02)15(1.08)-15 + …

La progresión geométrica en general: t1, t1r, t1r2, t1r

3, … entonces la suma de los n primeros términos se escribe en la forma:

=−−

S t

rrn

n111

=−−

=

−−

−S t

rr

t

r

t r

rn

n n11 1 11

1 1

Solución

Problema resuelto

70. La familia Rosales va a impermeabilizar el techo de su casa, lo cual costará $15 400; ellos también tienen la alternativa de poner piso antiderrapante plastificado, que también hace la función de impermeabilizar. Ellos saben que este gasto lo tienen que realizar cada cinco años (por siempre), se sabe que el impermeabilizante aumentará 2% anual (por siempre), ¿cuánto deben estar dispuestos a pagar los integrantes de la familia por el piso antiderrapante plastificado?, ellos pueden ganar 8% anual con su dinero.

2 50 (años)6 7431Fondo de inversión

R4

R5

R6

R1

R2

R3

R7

2 50 (años)6 7431Cuenta de inversión

R4

R5

R6

R1

R2

R3

S

900 4(900) 5(900) 6(900)3(900)2(900)

Figura 5.39 Anualidad variable.

M = 9 000(1 + i ) = 9 000(1.10) = $9 900

I = 9 900 - 9 000 = $900

Si I = R, sustituyendo en la ecuación 5.25

=− +

+ −

−+S

9000.04

1 (1 0.04 )0.04

(1 0.04 ) 66

6 1

=−

S9000.04

1 0.7903145250.04

(1.04 ) 67

=

S9000.04

0.2096854740.04

(1.315931779 ) 6

= −S9000.04

[(5.242136857 )(1.315931779 ) 6 ]

S = (22 500)[6.898294481 - 6]

S = (22 500)(0.898294481)

S = $20 211.62

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182

AnualidadesUNIDAD 5Cuando -1 < r < 1 y si n aumenta sin límite entonces el término r n tiende a cero y Sn tiende a t1/(1 - r). La suma de la progresión geométrica infinita se expresa de la siguiente forma:

=−

St

r11

Como: 0 < r = (1.02)5(1.08)-5 < 1

El valor descontado se calcula de la siguiente forma:

=−

=−

=−−

At

r1

15400

1 (1.02 ) (1.08 )

15400

1 (1.04080803 )( 0.680583197 )1

5 5

A15400

1 0.75141884215400

0.2485811573$61 951.60=

−= =

La familia Rosales debe estar dispuesta a pagar hasta $61 951.60 por el piso antiderrapante.

A = 30 000(1.046)-1 + 34 000(1.046)-2 + 38 000(1.046)-3 (1)

Multiplicando por (1 + i ) = 1.046, se obtiene:

1.046 A = 30 000 + 34 000(1.046)-1 + 38 000(1.046)-2 (2)

Restando la ecuación (1) de (2):

0.046 A = 30 000 + 4 000[(1.046)-1 + (1.046)-2 + (1.046)-3 + …] (3)

Suma de la progresión geométrica infinita

t1 = (1.046)-1

r = (1.046)-1

Suma de una progresión geométrica infinita:

(1 + i )-1, (1 + i )-2, (1 + i )-3, (1 + i )-4, (1 + i )-5, …

Donde i > 0, para este caso t1 = (1 + i )-1 y r = (1 + i )-1, (-1 < r < 1).

=+

− +=

+− +

++

=

+ −=

−S

i

i

i

i

ii i

(1 )

1 (1 )

(1 )

1 (1 )

11 1

1(1 ) 1

11

1

1

1 5.29

Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene:

+ + + =−

=

−= =− − −

−�(1.046 ) (1.046 ) (1.046 )

(1.046 )

1 (1.046 )

1.0461.046

11.046 1

10.046

21.741 12 31

1

Sustituyendo en la ecuación (3):

0.046 A = 30 000 + 4 000(21.74) = 30 000 + 86 960 = 116 960

A1169600.046

$2 542 608.70= =

Solución

Problema resuelto

71. Calcular el valor descontado de una perpetuidad creciente. La serie de pagos que se realizan son de $30 000 al final de año, iniciando el primer pago el 31 de diciembre de 2014 y se incrementan en $4 000 por siempre cada año, siendo el interés de 4.6%.

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183

5.10 Anualidades perpetuas

Esta anualidad se caracteriza porque el capital se mantiene constante y el valor de la renta es igual a los intereses generados durante el periodo (la tasa de interés nunca puede cambiar), por lo que los retiros se mantienen constantes de manera perpetua, siempre y cuando el capital original se mantenga invertido, lo cual hace que el plazo no tenga fin.

A las anualidades perpetuas también se les conoce como rentas perpetuas o a perpetuidad, por ejemplo:

Los dividendos de acciones preferentes de una empresa que son los intereses que se retiran al final de cada periodo para ser utilizados en beneficio de asociaciones civiles, centros de investigación o universidades, entre otras, son rentas perpetuas.

Algunos puntos importantes de las anualidades a perpetuidad son:

■ Desde un punto de vista idealizado los pagos de la renta nunca terminan, entonces:

No es posible conocer el valor a futuro; sin embargo, el valor presente de la renta perpetua siempre será conocido.

■ Ahora si analizamos la tasa de interés por periodo, esta puede ser simple o compuesta.

Cuando la tasa se considera compuesta, no da oportunidad a que se capitalice al final del pe­riodo, porque los intereses son retirados al final del mismo, originando que la tasa de interés compuesto actúe en la práctica como una tasa de interés simple.

■ También se puede presentar el caso en el que la renta sea menor a los intereses generados durante el periodo:

Lo que origina que el capital se incremente con el tiempo, obteniéndose un capital relativa­mente pequeño. Este caso no se tratará en este libro.

Valor de la renta

a) Se obtiene a partir de la ecuación 5.30

I = Cin

Si: R = I \

R = Cin 5.30

Como:

n = 1 periodo

\ R = Ci 5.31

Datos

R = $800 000 Incógnita C

T = 10.15% anual

R = Ci

CRi

8000000.1015

$7 881 773.40∴ = = =

Solución

Problema resuelto

72. Se tiene una renta perpetua de $800 000 pagadera al final de cada año. El interés que paga la institución financiera por la inversión es de 10.15% anual. Calcular el valor actual del legado.

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184

AnualidadesUNIDAD 5

Valor de apartado $160 000

C1 = Precio - Apartado = 1 960 000 - 160 000 = $1 800 000

El enganche 25% del valor del local:

C2 = 0.25(C1) = 0.25(1 960 000) = $490 000

Se tiene ahora que calcular la tasa de interés capitalizable por quincena equivalente a 10.5%.

Un año = 24 quincenas

+

= +

′i1

24(1 0.105 )

24

+ =′i

124

1.10524

i ′ = 24[1.0041689 - 1]

i ′ = 24(0.0041689)

i ′ = 0.100053312

Solución

Problema resuelto

75. El señor Matías González compra un local en una plaza comercial al sur de la ciudad el valor del inmueble es de $1 960 000, el señor González el día 14 de abril entrega la cantidad de $160 000 de apartado y el enganche es de 25% del valor del inmueble, este se cubrirá con seis pagos quin­cenales a una tasa de 10.5% efectiva. El señor González solicita un crédito hipotecario a Banorte por 75% del valor del local, para ello realizará 120 pagos mensuales a una tasa nominal de 9.2%.

Datos: R = $450 500 Incógnita R T = 7.5% semestral i = 0.0375 R = Ci

CRi

4505000.0375

$12 013 333.33∴ = = =

Solución

Problema resuelto

74. El empresario Ángel Licona establece que parte de sus bienes serán invertidos de tal forma que los intereses generados se paguen al Instituto Nacional de Cancerología mediante una renta perpetua de $450 500, al inicio de cada semestre. ¿Cuál es el valor presente de este legado, suponiendo que se encuentra invertido a 7.5% interés semestral?

Datos: C = $675 000 Incógnita R T = 0.85% mensual R = Ci = (675 000)(0.0085) = $5 737.50

Solución

Problema resuelto

73. ¿Cuál es el pago mensual de una perpetuidad de $675 000, suponiendo una tasa de interés 0.85% mensual?

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185

Se tiene dos anualidades:

1. De seis rentas vencidas quincenales.

2. Con 120 pagos mensuales.

=− +

′C Ri

i

n1 (1 )

=− +

′R4900001 (1 0.100053312 )

0.100053312

6

=−

′R4900001 0.5643098130.100053312

=

′R4900000.4356901870.100053312

490 000 = R ′(4.354580356)

R ′ = =490000

4 354580356112 525 19

.$ .

La segunda anualidad diferida tres periodos mensuales, y está constituida de 120 mensualidades y una tasa nominal de 9.2%.

El valor presente de la segunda anualidad es igual al valor futuro de 75% del precio del local comercial.

0.75(1 960 000) = $1 470 000 - 160 000 = $1 310 000

M = 1 310 000(1 + 0.092/12)3

M = 1 310 000(1 + 0.0076666)3

M = 1 310 000(1.023176784)

M = $1 340 361.59

Ya conociendo el valor presente del local se calcula el valor de la renta.

=− +

′C Ri

i

n1 (1 )

R1340361.591 (1 0.076666 )

0.076666

120

′=− +

R1340361.591 0.00014135

0.076666′=

R1340361.590.999858660.076666

′=

 1 340 361.59 = R ′(13.0417481)

R1340361.5913.0417481

$134126.56′ = =

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186

AnualidadesUNIDAD 5

Datos:

R = $50 Incógnita M

T = 12% A.C.M.

i = 0.01 mensual

n = 4 años

a) Con los depósitos de $50 obtendría:

M Rii

n(1 ) 11 50

(1.01) 10.01

1 500.628348

0.0111

1 48 1

=+ −

=

−−

= −

+ +

M1 = 50[62.8348 - 1] = 50[61.8348] = $3 091.74

b) Con los depósitos mensuales de $50 no podría cubrir los gastos estimados para el seminario de titulación y la fiesta de graduación dentro de cuatro años, por lo que Roberto se pregunta, ¿qué cantidad de dinero tiene que ahorrar al principio de cada mes durante cuatro años para cubrir estos gastos?

Datos:

M = $11 200 Incógnita R

n = 4 años (48 meses)

T = 12% A.C.M.

i = 0.01 mensual

c) Partiendo del presupuesto estimado de $11 200 tendríamos que:

RM

ii

n=

+ −−

=−+( )

$

( . ).

1 11

11200

1 01 10 01

1 49

−−

=−

1

11200

0 6283480 01

1

$

..

R$11200

[ 62.8348 1]$1120061.8348

$181.13=−

= =

d ) Con un depósito mensual de $181.13, Roberto alcanza la cantidad deseada de $11 200 para ayudarse a cubrir los gastos de la fiesta y del seminario de titulación.

Solución:

Problema resuelto

76. Este problema está basado en un hecho real. Roberto Mendoza, estudiante de una universidad pública, a solicitud de su profesor Jesús Rodríguez, realizó una investigación para saber cuánto dinero tendría que gastar para su titulación y fiesta de graduación dentro de cuatro años. Roberto Mendoza piensa depositar en su cuenta de inversión inmediata $50.00 a principio de cada mes. Se estima que el banco pagará en promedio una tasa de 12% anual convertible mensualmente. ¿Cuánto podría ahorrar dentro de cuatro años?

Cuadro 5.11 Presupuesto estimado con plazo de cuatro años

Concepto Costo ($)

Seminario de titulación $8 000.00

Paquete de titulación (diploma, carta de agradecimiento a los padres, etc.) $ 900.00

Foto del grupo enmarcada $ 350.00

Foto panorámica $ 500.00

Boleto para fiesta de graduación (solo del alumno) $ 550.00

Alquiler del traje (solo para la fiesta de graduación) $ 900.00

Total estimado $11 200.00

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187

a) Tasa de interés que gana la inversión:

Datos:

C = $2 500 000

= = =iRC

400000

25000000.16

b) Después de los tres primeros pagos.

Datos:

C = $2 500 000

R = ?

R = Ci = 2 500 000(0.11) = $275 000 sería el pago anual

c) Si la fundación decide seguir realizando pagos de 400 000, se procede al cálculo del número de pagos que podrá realizar.

Datos:

C = $2 500 000

R = $400 000

i = 0.11

=−

− n

2500000 4000001 (1.11)

0.11

=− − n2500000

4000001 (1.11)

0.11

6.25(0.11) = 1 - (1.11)-n

(1.11)-n = 1 - 0.6875

-n log(1.11) = log(0.3125)

-n log(1.11) = -0.50515

= =n0.505150.045323

11.15

Se pueden realizar 11 pagos anuales más los tres ya realizados (2015, 2016 y 2017).

Solución

Problema resuelto

77. Los socios de empresa de comunicación RR­Hermanos en el año 2014 deciden crear una fun­dación Apoyo Educativo para los hijos de comunicadores fallecidos, con un capital invertido de $2 500 000 a una tasa que dará pagos de $400 000 al final de cada año.

a) ¿Qué tasa de interés gana la inversión?

b) Después de pago del año 2017 se espera que la tasa cambie a 11%.

c) La fundación decide seguir realizando pagos de $400 000, ¿cuántos pagos anuales podrá rea­lizar?

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188

AnualidadesUNIDAD 5 ❚ Fórmulas empleadas

Terminología de anualidades

Anualidad

Monto M

Renta R

Razón (1 + t)

Periodo N

Valor actual A

Primer término R(1 + i )-1

Razón (1 + t)-1

Precio P

Capital C

Tasa

Tasa I

Tasa efectiva E

Tasa nominal I

Anualidades vencidas

■ Monto

=− +− +

MR R t

t

n(1 )1 (1 )

5.1

=+ −

M Rii

n(1 ) 1 5.2

■ Valor actual o presente

=− +

A Ri

i

n1 (1 ) 5.3

■ Renta

=+ −

RM i

i n

( )

(1 ) 1 5.4

=− + −

RA i

i n

( )

1 (1 ) 5.5

■ Plazo

=−

+n

AiRi

log1

1

log(1 ) 5.6

= −−

+

n

AiRi

log 1

log(1 ) 5.6a

=+

+n

MiR

i

log 1

log(1 ) 5.7

Anualidad anticipada

■ Monto

=+ −

+

M Rii

n(1 ) 11

1

5.8

=+ −

+M Rii

in(1 ) 1

(1 )1 5.8a

■ Valor actual o presente

=− +

− +

A Ri

i

n1 (1 ) 1

5.9

= +− +

− +

A Rii

n

11 (1 ) 1

5.10

■ Renta

=+ −

+R

M

ii

n(1 ) 11

1 5.11

=

+− +

− +R

A

ii

n

11 (1 ) 1

5.12

■ Plazo

= −+ −

+

ni

A iR

i1

log (1 )

log(1 ) 5.13

=+ +

+

+n

MiR

i

i

log (1 )

log(1 )1 5.14

Anualidades diferidas

■ Valor presente

=− +

+−

−A Ri

ii

nm1 (1 )

(1 ) 5.15

■ Renta

=+

− + −R

A i

ii

m

n

(1 )

1 (1 ) 5.16

■ Plazo

( )

=− +

+n

R

R A i i

i

mlog

(1 ) ( )

log(1 ) 5.17

■ Tasa en anualidad vencida

=− + −A

Ri

i

n1 ( 1 ) 5.18

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189

■ Tasa efectiva

e = (1 + i )p - 1 5.19

=+ −M

Rii

n(1 ) 1 5.20

■ Tasa en anualidad anticipada

= +− + − +A

Ri

i

n

11 (1 ) 1

5.21

MR

ii

n

+ =+

+

11

11( )

5.22

Anualidad general variable

■ Valor presente

A = R(1 + i )-1 + 2R(1 + i )-2 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 1) + nR(1 + i )-n 5.23

(1 + i ) A = R + 2R(1 + i )-1 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 2) + nR(1 + i )-(n - 1) 5.24

iA = R[1 + (1 + i )-1 + (1 + i )-2 … + (1 + i )-(n -1)] - nR(1 + i )-n 5.25

= +− +

− +

−−A

RI

ii

in i

nn(1 )

1 (1 )(1 ) 5.26

■ Suma

S = A(1 + i )n 5.27

=− +

+ −

−+S

Ri

ii

i nn

n1 (1 )(1 ) 1 5.28

■ Suma infinita

=+

− +=

+− +

++

=

+ −=

−S

i

i

i

i i i(1 )

1 (1 )

(1 )

1 (1 )

1 11 1

1(1 ) 1

11

1

1

1 5.29

Anualidades perpetuas

■ Renta

R = Cin 5.30

R = Ci 5.31

Tasa de interés

■ Tasa

=

−i

MC

n 1 5.32

=

−i

MC

nantilog

log1 5.32a

■ Tasa nominal

= + − i p e p( 1) 11 5.33

■ Tasa efectiva

= +

−eip

p

1 1 5.34

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190

AnualidadesUNIDAD 5 ❚ Glosario

Acreedor. Persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado.

Actividad financiera. Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado.

Anualidad. Cuota anual de devolución de un crédito.

Capital. En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (di­nero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés.

Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. Conjunto de bienes y servicios adquiridos en el acto de una compra.

Compra a crédito. Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición, sino que la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida. En bolsa es la adquisición de acciones financiada a través de créditos por una autoridad bursátil.

Compra a plazos. Contrato de compra­venta en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra.

Compra de contado. Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición.

Comprador. Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compra­venta.

Compra-venta. Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor), se obliga a entregar una cosa determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos que se revenden.

Contado. Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida monetaria en ese mismo momento.

Crédito. Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obliga­ciones financieras.

Crédito a clientes. Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suminis­tros que reciben.

Debe. Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar un pago.

Deuda. Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una obligación de pagar cierta cantidad de dinero.

Deudor. Persona o razón social que solicita dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormen­te, extendiendo para ello un pagaré.

Factura. Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa, por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos persona­les de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra.

Operación. Registro de una entrada o salida de dinero de un depósito bancario.

Rédito. Renta de un capital.

Saldo. Diferencia existente en un momento dado entre el debe y el haber en una cuenta corriente.

Tiempo. Número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.

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191Problemasaplicadosalarealidad Problemaspararesolvercontecnología

5.11 La fábrica textil Tacoma, S.A., está analizando qué tipo de equipo nuevo de cómputo debe comprar. El equipo se­leccionado tiene un valor de contado de $88 000, con valor de salvamento de $9 000 al final del sexto año, los costos de mantenimiento serán $400 al mes, pagaderos al final de cada mes, la fábrica textil puede ganar 18% sobre el ca­pital. Si decidieran rentar el equipo de cómputo les costaría $3 500 al mes durante los seis años, es importante recordar que el arrendatario paga el costo de mantenimiento. ¿Cuál de los dos casos es el más recomendable?

5.12 La comerciante Alba Rosales compró mercancía para miscelánea, dando un enganche de $6 000 y acuerda pagar la mercancía realizando pagos de $2 250 mensuales durante tres años, a una tasa de 24%.

a) Encontrar el valor de contado de la mercancía.

b) Después del pago 24 el contrato es vendido a una ins­titución financiera en un precio que rinde 20%. ¿Cuánto pagó la institución financiera por el documento?

5.13 Encontrar el valor presente de una anualidad de $2 400 al final de cada mes durante cuatro años, pagando una renta de $2 400 al final de cada mes durante tres años a una tasa de interés de 10.38% capitalizable mensualmente.

5.14 La pastelería La Espiga, en su sucursal de Calzada del Hueso, estima que será necesario cambiar dos hornos pe­queños de pan dentro de 10 años, a un costo $1 568 000. ¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión si el banco ofrece una tasa 4.6% anual?

5.15 ¿Cuánto debe depositar Alma al final de cada mes en cuenta de ahorros durante tres años? Alma estima acumular la cantidad de $65 000 en el momento de realizar el último depósito, si la tasa de interés que es de 1% mensual.

5.16 ¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar el administrador de un bufete de abogados en los próximos tres años para acumular $130 000, ya que desea comprar unos sillones para la sala de espera y una mesa con 12 sillas para la sala de juntas? Una institución financiera le ofrece una tasa de interés de 8.35% convertible mensualmente.

5.17 El sociólogo Olguín solicita a Banorte un crédito de tres meses de su sueldo para pagar la operación de su espo­sa en un hospital particular. El sueldo que le deposita en su cuenta de inversión la compañía Constructora del Sureste, S. A., es de $30 000 quincenales. Por política de Banorte los pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo de 18 meses, y una tasa de interés de 18% anual converti­ble quincenalmente. El pago quincenal no incluye el IVA. ¿Cuánto debe pagar el arquitecto Olguín quincenalmente?

5.18 El señor Víctor Delgadillo compra una computadora de $15 990 más iva para su hija el día de hoy a crédito. El señor Delgadillo acuerda pagarla en 12 mensualidades ven­cidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés que le cobran es de 1.5% mensual?

5.19 ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador a la caja de ahorros del sindicato del imss, por un crédito de $100 000 pagaderos a tres años y con una tasa de interés de 4% mensual?

5.1 Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $20 000 anuales durante cinco años, a una tasa de interés de 12.5%.

5.2 Encontrar el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $3 000 anuales durante cuatro años, siendo la tasa de interés de 9.5% anual capitalizable anualmente.

5.3 Carlos Hernández paga cada mes una deuda de $500 por la compra de un librero. Él se atrasó seis meses en sus pagos. Carlos llega a un acuerdo con Bancrecer para po­nerse al corriente en sus pagos en el mes de noviembre del mismo año. ¿Qué cantidad tiene que pagar en el mes de septiembre, si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente?

5.4 Juan deposita cada tres meses $5 000 en su cuenta de ahorros, la cual paga 6%. ¿Cuánto dinero tendrá después del depósito del 31 de mayo 2010, si el primer depósito se realizó el 31 de mayo 2014?

5.5 La doctora Antonia Cortés, al leer el periódico, encuen­tra un anuncio de venta de automóviles de la marca Maztra. La unidad se puede adquirir con un pago inicial de $82 000 y 36 pagos fijos mensuales de $4 616.00 (no se incluye el segu ro automotriz). La tasa de interés es de 10% anual convertible mensualmente. La fecha fijada por la empresa financiadora Maztra es el día 30 de cada mes. ¿Cuánto en realidad pagaría la doctora Cortés por el automóvil si se de­cidiera a comprarlo?

5.6 El comunicólogo Jesús Rodríguez ha depositado $5 000 al final de cada año, en su Afore durante 15 años, los depó­sitos ganaron intereses de 9.5% durante los primeros cuatro años, 8% durante los siguientes cuatro años y 7% en los últi­mos siete años. Encontrar la cantidad acumu lada en el fondo para el retiro y los intereses ganados.

5.7 Encontrar el valor actual pagado por una sala si se dio un enganche de $12 000 y se realizaron seis pagos mensuales vencidos de $2 500 y un séptimo pago de $2 000. La tasa de interés pactada es de 18% capitalizable mensualmente.

5.8 El contador Francisco Castro compró un equipo de enfriamiento para su oficina mediante 36 pagos semanales vencidos de $1 240, con una tasa de interés de 18% conver­tible semanalmente. Encontrar el valor actual.

5.9 La señora Bertha Aguilar compró un servicio de lavado Mabe para su negocio de planchado. Electro­Hogar ofreció un crédito, mediante el cual consiste en 52 pagos semanales vencidos de $540, con una tasa de interés de 18% conver­tible semanalmente (VP = $25 657.04). Al llegar a su casa escucha una promoción para la compra del mismo mode­lo de lavadora de la mueblería Villalpando Hermanos, S.A., realizando un pago inicial de $540.00 y 51 pagos semanales con una tasa de 18% convertible semanalmente. Encontrar el valor actual de esta promoción.

5.10 Francisco Javier Zamudio compró automóvil usado y paga $66 000 de enganche y $1 424.50 al final de cada mes durante tres años. Calcular el precio del automóvil, si la tasa de interés es de 18%, y calcular los intereses totales sobre el préstamo.

UNIDAD 5Problemas para resolver

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192

Problemas para resolverUNIDAD 5

Problemasaplicadosalarealidad Problemaspararesolvercontecnología

5.32 ¿Cuál es el valor de contado de una casa que com­pró la diputada Amalia González en la colonia Fuentes del Pedregal, hace 15 años, si realizaba pagos anticipados de $50 000.00 mensuales, con una tasa de interés de 28% anual convertible mensualmente?

5.33 ¿Cuál es el valor actual de 12 pagos trimestrales anti­cipados de $1 500.00, con un interés de 7.68% anual capita­lizable trimestralmente?

5.34 Encontrar el valor de contado de un sistema de vi­deojuego por el cual se realizaron 18 pagos mensuales anti­cipados de $433.00 con una tasa de interés de 13.6% capi­talizable mensualmente.

5.35 La licenciada Jimena Soria compró a crédito una ca­mioneta usada para transportar sus mercancías, teniendo que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $5 890.00, los intereses que le cobran son de 18% anual capitaliza­ ble mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la ca­mioneta?

5.36 ¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Cándido por la compra de un comedor y una sala, si él acuerda con la mueblería realizar sus pagos el día 1 de cada mes. Si cuando realizó su noveno pago acumuló $44 819.00 y la tasa de in­terés aplicada fue de 18% anual convertible mensualmente?

5.37 La psicóloga Angélica Oviedo tiene que pagar un préstamo personal de $100 000.00 en un plazo de dos años, el día de pago fijado por Bansur es primero de cada mes durante el tiempo que dure el plazo. ¿Cuánto debe pagar mensualmente la psicóloga Oviedo, si la tasa de interés apli­cada es de 18% anual convertible mensualmente?

5.38 Juan Manuel decide regalarle a su mamá una batería de cocina de 12 piezas con un precio de $3 540.00 y tam­bién decide comprarle una olla de presión de aluminio de 6 litros con un precio de $999. ¿Cuánto debe pagar al inicio de cada mes durante seis meses, si la tasa de interés es de 24% anual convertible mensualmente?

5.39 La fábrica de muebles Delgado Hermanos, S.A., pone a la venta un comedor con valor de contado de $68 000.00 o mediante doce abonos mensuales anticipados. El interés es de 16.8% anual convertible mensualmente. Encontrar el valor de cada pago.

5.40 Una Bici­mundo pone a la venta en el mes de diciem­bre bicicletas de montaña rodada 28, con valor de $7 819.50 al contado o mediante nueve pagos mensuales anticipados. Si el joven Juan de Dios se decide a comprar una bicicleta a crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes, si el interés a pagar es de 26% anual capitalizable mensual­mente?

5.41 El arquitecto Martín Morales desea comprar cuatro archiveros de tres cajones, hechos de madera, para su ofi­cina con valor de $20 000.00 al contado, el almacén tam­bién ofrece comprarlo en abonos anticipados mensuales de $1 569.15, siendo el interés de 27% anual capitalizable men­sualmente. ¿Cuántos pagos tendría que hacer el arquitecto Morales si se decide a comprar el juego de archiveros?

5.20 Una sala cuesta $27 500.00, usted puede dar un engan­che de $2 000.00 y la diferencia en pagos mensuales vencidos durante dos años. ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes si el interés es de 15% anual capitalizable mensualmente?

5.21 La licenciada Verónica Zamora ha realizado depósitos mensuales vencidos de $850.00 en su cuenta de ahorros que paga intereses de 9.25% capitalizable mensualmente. ¿Qué cantidad debe depositar mensualmente durante los próximos tres años siguientes, para alcanzar la cantidad de $108 000?

5.22 Tiene que saldar una deuda el día hoy de $980. Acuer­da diferir su adeudo realizando pagos de $165 al final de cada bimestre con una tasa de interés de 11% bimestral. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $165 tendrá que hacer para saldar su deuda?

5.23 ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $540 se ten­drían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $10 450, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 24% convertible mensualmente?

5.24 ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $3 019.25 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $500 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 12% convertible mensualmente?

5.25 El físico Javier Mendoza desea acumular la cantidad de $50 000, para reunir esta cantidad decide hacer depósi­tos de $600 bimestrales vencidos, en una cuenta de inver­sión, la cual paga 8.5% anual capitalizable bimestralmente. ¿En cuánto tiempo el físico reunirá los $50 000?

5.26. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $3 019.25 se tendrían que realizar para juntar la cantidad de $300 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 12% convertible mensualmente?

5.27 Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $50.00 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 2.3% mensual de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?

5.28 Encuentre el monto de 18 pagos que debe realizar al principio de cada bimestre el anestesista Joaquín Murillo, si la cantidad que deposita bimestralmente es de $1 985. El interés es de 15% anual capitalizable bimestralmente.

5.29 Encuentre el monto de seis pagos que debe realizar el día 1 de cada mes el plomero Feliciano Arrollo, por la cantidad de $985 de su herramienta para su negocio. El tipo de interés contratado es de 25% anual capitalizable men­sualmente.

5.30 El pianista Alfredo Cerdán desea comprar una casa den­tro de cuatro años y acuerdan guardar su dinero en un fondo de inversión realizando 24 depósitos bimestrales adelantados de $22 850.00. El interés que proporciona este fondo es de 13% anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuánto dinero ten­drá el pianista Alfredo Cerdán dentro de cuatro años?

5.31 Encuentre el monto de seis pagos de $775 que debe realizar el día 1 de cada mes el señor Enrique Pruneda, por la compra de un desayunador para su consultoría. El tipo de interés es de 25% anual capitalizable mensualmente.

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193Problemasaplicadosalarealidad Problemaspararesolvercontecnología

tral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de 16% capitalizable semestralmente?

5.52 Encontrar el valor presente por la compra de un estufa eléctrica el día de hoy, si después de tres meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $790 con un interés de 24% anual capitalizable mensualmente.

5.53 El médico Federico Toscano deposita el 13 de julio la cantidad de $500 000 en un fondo de inversión en el Banco Central, ese mismo día inscribe a su hijo a la preparatoria. El papá tiene la idea de realizar nueve retiros semestrales a partir del mes de julio, cuando quede inscrito su hijo en la universidad. Encontrar el valor de cada retiro semestral que realizará si la tasa es de 12% anual capitalizable semestral­mente.

5.54 La mueblería Hermanos Velásquez, S.A., por su aniver­sario ofrece un comedor para ocho personas con un valor de contado de $43 550, pero también se puede adquirir me­diante seis pagos mensuales, el primero de los cuales debe realizarse dentro de cinco meses después de la compra con un interés de 2.25% mensual. ¿De cuánto será la mensuali­dad a pagar?

5.55 El dueño de una pastelería deposita el día de hoy $80 000 en una cuenta de inversiones que paga 27% anual capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimestres rea­lizará 28 retiros bimestrales vencidos, ¿de qué cantidad se­rán estos?

5.56 El señor Ordóñez contrae una deuda de $15 000 por la compra de equipo de sonido. Él acordó comenzar a pagar dentro de tres meses realizando cuantos pagos sean necesa­rios de $900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 23.25% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para saldar su deuda?

5.57 Karla Díaz contrae una deuda por $48 585 por la com­pra de una pantalla plana, la que comenzará a pagar dentro de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de $1 900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos debe realizar para saldar su deuda?

5.58 ¿A qué tasa nominal capitalizable semestralmente el sociólogo Juan Molina acumulará $500 000 para el engan­che del departamento que habita actualmente? Él acordó con el dueño del departamento realizar 15 depósitos semes­trales y con el último depósito haber acumulado la cantidad acordada, para pagar la cantidad faltante por el valor del departamento, él solicitará un préstamo hipotecario al issste.

5.59 El señor Francisco Peña desea comprar una camioneta cuyo costo al contado es de $350 000. Él solicita un crédito a la agencia automotriz, realizando seis abonos mensuales de $62 000. ¿Cuál es la tasa de interés si el primer pago lo realizará dentro de un mes?

5.60 Se realizan seis depósitos anuales anticipados de $18 338.90 equivalentes a un valor actual de $55 000. ¿Cuál es la tasa de interés?

5.42 La trabajadora social Isabela compra un paquete de cocina que consta de una cafetera para 10 tazas, extractor de jugos, juego de sartenes con teflón (16 piezas). El precio de contado del paquete es de $5 866.00, Isabela decide pagar­lo en abonos con una tasa de interés de 18% anual capita­lizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de $585.00 al principio de cada mes?

5.43 La tienda Ciclo­bici vende de contado una motocicle­ta en $8 560 o mediante pagos mensuales anticipados de $995. El interés es de 19.64% anual convertible mensual­mente. ¿Cuántos pagos se deben realizar si se compra a crédito?

5.44 ¿Cuántos pagos de $1 975 debe realizar el señor Ar­teaga, el día 1 de cada mes para saldar una deuda por la compra de una estufa? Al cubrir su último pago acumuló $6 560. La tasa de interés aplicada fue de 22% anual conver­tible mensualmente.

5.45 Gabriela abre una cuenta de ahorros en Bonos del Ahorro Nacional el día de hoy. Ella acuerda con el banco realizar depósitos mensuales de $3 550, pero al inicio de cada mes. Desea reunir la cantidad $30 000. La tasa de inte­rés es de 1% mensual. ¿En cuánto tiempo reunirá la cantidad deseada?

5.46 La bióloga Adriana Dussel compró a crédito una cen­trifugadora de plasma el día de hoy para su laboratorio y su acreedor le concede un periodo de gracia de un año; sin embargo, realizará seis pagos semestrales anticipados de $34 850 por la compra de la centrifugadora de plasma, si el interés es de 19% anual convertible semestralmente, encontrar el monto.

5.47 Encontrar el pago que debe realizar la dentista Ana Karen por la compra de material dental el día de hoy si des­pués de cuatro meses realiza 18 pagos al final de cada mes de $1 950 con un interés de 18% anual convertible mensual­mente.

5.48 ¿Cuál es el monto de una renta semestral de $16 000 durante 10 años, si el primer pago vencido semestral se rea­liza dentro de tres años y medio y el interés es de 16% capi­talizable semestralmente?

5.49 El periodista Ulises Gutiérrez compra un comedor con un pago inicial de $5 000 y ocho mensualidades de $4 800 cada una, pagando la primera mensualidad después de cua­tro meses de la compra; además, le cobran 19.56% de in­terés anual capitalizable mensualmente. Encontrar el precio del equipo.

5.50 El alpinista Juan Antonio Sierra compra en el mes de abril una casa de campaña a crédito y acepta pagarla en 12 mensualidades de $3 300 con una tasa de interés de 24% anual capitalizable mensualmente. El primer pago lo reali­zará en el mes de julio del mismo año. ¿Cuál es el valor de contado?

5.51 ¿Cuál es el valor presente de una renta semestral ven­cida de $16 000 durante 10 años, si el primer pago semes­

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194

AnualidadesUNIDAD 5PROBLEMAS RETO

Al resolver los problemas del 1 al 5, se debe indicar los datos, fórmula, diagrama de valor tiempo y desarrollo.

Un préstamo de $38 000 a dos años, para comprar una televisión plana, si la tasa de interés simple es de 3% mensual. ¿Cuánto deberá pagar dentro de dos años?

¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $26 500, si el capital invertido es de $18 700 a una tasa de 6.8% anual?

Una compañía solicita $500 000 de préstamo a un banco, a dos años con una tasa de des­cuento de 12% anual.

a) Calcular el descuento.

b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la compañía, por el préstamo?

¿Cuánto recibe la señora Josefina por un pagaré de $45 600, cuatro meses antes de su ven­cimiento, con una tasa de descuento de 15% simple anual?

Un capital de $2 556 es invertido a un tipo de interés de 14% capitalizable trimestralmente. Calcular el valor futuro, si el plazo es de dos años.

1

2

3

4

5

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UNIDAD 6

Amortización y depreciación

OBJETIVOS

Comprenderá el concepto de Amortización y su aplicación.

Identificará los diferentes casos de amortización, como es el Sistema de amortización gradual, Amortización constante y Amortización con renta variable.

Aprenderá a construir e interpretar cuadros de amortización y de fondo de inversión.

Identificará los diferentes casos de depreciación de un bien, en problemas financieros, utilizando el método de Línea recta, Porcentaje fijo, Suma de dígitos, Unidades de producción o servicios y Fondo de amortización.

Aprenderá a construir e interpretar cuadros de depreciación de un bien.

¿QUÉ SABES?

Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema

¿Cómo se llama al proceso financiero mediante el cual se cancela una deuda en pagos periódicos con interés compuesto?

Cuando un acreedor recibe pagos por un bien, ¿seguirá siendo dueño de todos los derechos del mismo? y explica, ¿por qué?

¿Para qué sirve un fondo de amortización?

¿Sabes qué significa la palabra depreciación?

¿Qué entiendes por activo fijo?

Menciona un método que conozcas de depreciación.

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196

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6 ¿El método de unidades de producción o servicio es un método reconocido

por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público para ser utilizado en los libros contables?

Menciona tres activos fijos.

Menciona un método para construir una tabla de depreciación, que tú conozcas.

¿Cuál es el método de la suma de dígitos o enteros reconocido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público?

¿Sabes cómo puede depreciarse un activo fijo por el método de unidades de producción o servicio?

6.1 Introducción

La amortización es muy utilizada en la actualidad cuando se compran a crédito bienes: una casa, un de-partamento, un vehículo de transporte, maquinaria, herramienta, una cocina integral, un refrigerador, fertilizantes, granos, minerales, entre otros. En matemáticas financieras la palabra amortizar se emplea para cancelar una deuda y cada pago (o abono) que se realiza sirve para abonar los intereses y reducir el importe de la deuda.

La palabra amortización proviene del latín y significa dar muerte.

Amortización

Definición

Es un proceso financiero mediante el cual se cancela una deuda y sus intereses por medio de pagos periódicos.

La amortización es la parte del abono que se emplea para reducir la deuda (el saldo insoluto), mientras que la cantidad restante de ese saldo se utiliza para pagar los intereses que se devengan durante un periodo.

Abono = amortización + intereses 6.1

A la deuda se llama saldo insoluto o principal insoluto y es el valor descontado de todos los pagos que no se han realizado.

En la amortización de un crédito existen diferentes sistemas de amortización de una deuda, los más usuales son: el sistema de amortización gradual, amortización constante y amortización con renta variable.

Amortización gradual

Es el sistema más común para liquidar deudas con pagos periódicos, ya que estos tienen la misma frecuencia y cantidades iguales. Aquí se utilizan las anualidades ordinarias, en donde el capital que se amortiza es el valor presente. El valor de la renta debe ser mayor que los intereses producidos en el primer periodo, de lo contrario la deuda se incrementaría con el transcurso del tiempo y nunca se podría cancelar en su totalidad.

Amortización constante

Este sistema se caracteriza porque la porción del abono que amortiza al capital es constante, es la misma en todos los pagos, lo que hace que cada renta se reduzca en el tiempo, aunque este sistema no es muy usado porque en situaciones económicas con inflación alta los abonos crecen.

Amortización con renta variable

Este sistema, a diferencia de los anteriores, se caracteriza porque cada abono realizado y su correspon-diente porción de amortización son mayores. Los primeros pagos son pequeños, en algunas ocasiones

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197

no cubren los intereses del periodo, lo que origina que la deuda aumente en lugar de disminuir, pero posteriormente comienza a reducir cuando los pagos son más grandes.

La acción que ejercen las tasas de interés en operaciones de inversión y crédito son muy impor-tantes en el sistema financiero, más aún, si se considera al crédito como el punto más vulnerable. Los efectos que produce el alza significativa en las tasas de interés en los créditos contratados se muestra mediante la descomposición del pago periódico del capital y el interés. El instrumento analítico que permite ver esa descomposición es el cuadro de amortización (tabla de amortización) y también se puede apreciar cómo disminuye sustancialmente el adeudo y cómo se acumula el pago de los intere-ses a través del tiempo hasta llegar a la extinción de la deuda.

Si bien las tasas de interés provocan directamente incremento del capital, existen variables macroeconómicas que inciden en su comportamiento, pero la inflación es el mejor ejemplo.

❚ Amortización gradual

En esta unidad solo se analizará la amortización gradual, en donde la renta periódica debe ser mayor que los intereses que se generen durante el primer periodo para evitar que la deuda aumente.

Datos

A = C = $20 000 Incógnita R

i = 0.24/12 = 0.02 mensual

n = 6 meses

El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:

( )

=− +

C Rip

i p

np1 1

despejando R se tiene: =− + −

RC i

i n

( )

1 (1 )

=−

=−

= =−

R20000 ( 0.02 )

1 (1.02 )

4001 0.88797

4000.112028

$3570.526

Cuadro 6.1 Amortización con renta fija y tasa de interés constante

Solución

Problema resuelto

1. La química Andrea pide prestado $20 000, que se van a amortizar mediante seis pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el abono mensual.

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198

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos

A = C = $14 500 Incógnita R

i = 0.16/2 = 0.08 semestral

n = 3 años = 6 semestres

Cálculo del pago semestral:

RC i

i n

( )

1 (1 )

14500 ( 0.08 )

1 (1.08 )

11601 0.630169626

11600.369830373

$3136.576

=− +

=−

=−

= =− −

Cuadro 6.2 Amortización con renta fija sin redondeo y tasa de interés constante

Solución

Problema resuelto

2. Una deuda de $14 500.00, con interés de 16% compuesto semestralmente, se tiene que amortizar con pagos semestrales iguales durante los próximos tres años.

Realizando un análisis del cuadro 6.1 se puede llegar a las siguientes conclusiones:

a) Al primer pago de $3 570.52 (E10) le corresponde un interés de $400 (D10) y también reduce su saldo insoluto (o principal insoluto) en $3 170.52 (C10) dejándolo en $16 829.48 (F10).

b) El total de los pagos periódicos es igual (E10 a la E15) al total de los intereses (D16) más el total pagado (C16).

20 000 + 1 423.10 = 21 423.10

c) Los elementos de la columna del principal pagado (C10 a la C15) están en la relación (1 + i ).

3233.933170.52

1.019999874≅ y =3298.61

3233.931.020000433

La diferencia es de 55 891 x 10-7 = 0.00000055891

≅ ≅3233.93

3170.52

3298.61

3233.931.02

d ) También se observa que la cantidad total del principal pagado (C16) es igual a la deuda original (F9), que es de $20 000.

e) Al realizar seis pagos mensuales vencidos de $3 570.52 se amortiza una deuda de $20 000.00 con interés de 24% anual capitalizable mensualmente.

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199

Datos A = C = $30 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 9 meses

El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:

=− +

C Rip

i p

np1 (1 ) despejando R se tiene: =

− + −R

C i

i n

( )

1 (1 )

=−

=−

= =−

R30000 ( 0.02 )

1 (1.02 )

6001 0.836755265

6000.163244734

$3675.469

Solución

Problema resuelto

3. El señor Efraín Nava pide prestado $30 000, que se van a amortizar mediante nueve pagos men-suales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el abono mensual.

Datos

R1 - 5 = $3 137 Incógnita último pago X i = 0.16/2 = 0.08 semestral n = 6 semestres

X 3137(1 0.08 ) 1

0.08(1.08 ) 14 500 (1.08 )

56+

+ −

=

X 31370.469328077

0.08(1.08 ) 14 500 (1.586874323 )+

=

X + 3 137(5.86661)(1.08) = 23 009.678

X + 19 875.84 = 23 009.678

X = $3 133.84

Cuadro 6.3 Amortización con renta fija redondeada al peso y tasa de interés constante

2 50

XR1

R2

R3

R4

R5

6 semestres431

F.F.

A = $14 500

Figura 6.1 Amortización con cinco rentas fijas redondeada al peso, X es el valor del último pago (R6).

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200

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos A = C = $2 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 2 años = 8 trimestres

Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual

(1 + i ′)4 = (1.02)12

i ′ = (1.02)3 - 1 i ′ = 0.061208 trimestral i ′ = 6.12% trimestral

El pago trimestral

RC i

i n

( )

1 (1 )

2000 ( 0.061208 )

1 (1.061208 )

122.4161 0.621721487

122.4160.378278512

$323.61348

=− +

=−

=−

= =− −

Elaborar un cuadro de amortización (programa completo de amortización).

Cuadro 6.5 Amortización con renta fija y tasa de interés constante

Solución

Problema resuelto

4. El contador Abraham Levi pide un préstamo de $2 000 a Banco Invex; acuerda realizar pagos tri-mestrales, durante dos años, a una tasa 24% capitalizable mensualmente. Elaborar un cuadro de amortización.

Cuadro 6.4 Amortización con renta fija y tasa de interés constante

Se realizarán nueve pagos mensuales vencidos de $3 675.46 que amortizan una deuda con valor de $30 000.00, con interés de 24% anual capitalizable mensualmente

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201

Datos

Enganche = $25 000 Incógnita R

C = 60 000 - 25 000 = $35 000

i = 0.23/12 = 0.0191666 mensual

n = 6 meses

El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:

=− +

=−

=−

= =− −

RC i

i n

( )

1 (1 )

35000 ( 0.01916666 )

1 (1.01916666 )

670.8331 0.892336692

670.8330.107663308

$6230.846

El interés total pagado es de $2 385.05

Cuadro 6.6 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Solución

Problema resuelto

5. El centro de reciclado de pet “Reciclado del Sur”, realizó la compra de una compresora de pet, la cual tiene un precio de contado de $60 000. El dueño solo cuenta con la cantidad de $25 000, esta cantidad le sirve para realizar el enganche del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando realizar seis pagos mensuales, siendo la tasa de interés 23% anual capitalizable mensualmente.

a) Calcular el valor de la renta.

b) ¿Cuánto pagó de intereses?

c) Construir una tabla de amortización.

a) Se calcula el principal pagado en el séptimo año.

Como se sabe que la columna de principal tiene la relación (1 + i ) entonces:

1 238.15(1.2)2 = 1 782.936

Solución

Problema resuelto

6. El Cabo Juan Antonio Solís está pagando un préstamo a 10 años, siendo abonos iguales al final de cada año, el interés que cobra Banejército es de 20%, se sabe que la cantidad pagada en el quinto año es de $1 238.15.

Calcular:

a) La cantidad del préstamo y la cantidad del principal pagada en el séptimo año.

b) El monto de los 10 años del principal.

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202

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Cuando se pide una cantidad prestada C y se van a realizar pagos iguales R al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo para amortizar la deuda A y se desea conocer o analizan un caso específico k en el programa de amortización (1 ≤ k ≤ n) se utilizan los siguientes casos:

■ El saldo insoluto después del (k - 1)-ésimo pago, es el valor descontado de los n - (k - 1) = n - k + 1 pagos restantes.

=− +

− − +

Rii

n k

Saldo insoluto1 (1 ) ( 1)

6.1

■ El interés pagado en el k-ésimo pago es:

= − + − − +I R i n k1 (1 ) ( 1) 6.2

■ El k-ésimo pago de la amortización es:

= + − − +A R i n k(1 ) ( 1) 6.3

Para calcular el saldo insoluto P de una deuda que se amortiza con pagos R iguales al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo, existen dos métodos el prospectivo (viendo hacia el futuro) y el retrospectivo (viendo hacia el pasado) como se muestra en la figura 6.2.

20 n

R1

R2

Rk

Rk + 1

Rn

k + 1k1

Prospectivo

. . .

Retrospectivo

. . .

Figura 6.2 Amortización de deuda A con pagos R iguales al final del periodo con tasa i por periodo durante n periodos.

Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, será igual al valor descontado de los n - k pagos que quedan por realizar.

=− +

− −

P Rii

n k1 (1 ) 6.4

b) Cálculo del monto de los 10 años del principal.

1 238.15(1.2 ) 1 238.15 1 238.15(1.2 ) 1 238.15(1.2 )(1.2) 1

0.2$15499.974 5 4

10

� �+ + + + =−

=− −

Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.7.

Cuadro 6.7 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Cantidad pagada en el quinto año

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203

Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los k-ésimo pagos hechos hasta la fecha.

= + −+ −

P A i Rii

kk

(1 )(1 ) 1

6.5

Datos

C = $45 000 Incógnitas R, P6, I7 y A7

i = 0.25/12 = 0.0208333 mensual

n = 24 meses

k = 6

Cálculo del abono mensual:

=− +

=−

=−

= =− −

RCi

i n1 (1 )

45000 ( 0.0208333 )

1 (1.0208333 )

937.501 0.609654967

937.500.390345032

$2401.7224

El saldo insoluto P, después de seis pagos:

= −−

P 45000(1.0208333 ) 2401.72(1.0208333 ) 1

0.02083336

6

= −−

P 45000(1.131693889 ) 2401.72

1.131693889 1

0.0208333

= −

P 50926.225 2401.720.1316938890.0208333

P = 50 926.225 - 2 401.72(6.321316795)

P = 50 926.225 - 15 182.033

P = $35 744.19

La parte del interés en el séptimo pago:

I = (35 744.19)(0.020833) = 744.65871 ≈ $744.66

Amortización “A” (o valor del principal):

A = R - I = 2 401.72 - 744.66 = $1 657.06

Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.8.

Solución

Problema resuelto

7. El dueño de una lavandería está pagando un préstamo de $45 000 por la compra de dos lavadoras de 16 kilogramos; este se va a amortizar con pagos mensuales iguales durante dos años a una tasa de interés de 25% capitalizable mensualmente.

Calcular:

a) El saldo insoluto después de seis meses.

b) El interés del séptimo pago.

c) La amortización (A) del séptimo pago.

d ) La renta mensual con la tasa continua de 25%.

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204

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6 Cuadro 6.8 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual

(1 + i )12 = e0.20

(1 + i )12 = 1.221402758

+ =i1 1.22140275812

i = 1.01680633 - 1

i = 0.01680633 mensual

i ≈ 1.68% mensual

El pago mensual

=− +

=−

=−

= =− −

RC i

i n

( )

1 (1 )

45000 ( 0.01680633 )

1 (1.01680633 )

756.28851 0.670320052

756.28850.329679947

$229424

El saldo insoluto P, después de seis pagos:

= −−

P 45000(1.01680633 ) 2294

(1.01680633 ) 10.01680633

66

= −−

P 45000(1.105170916 ) 22941.105170916 1

0.016806336

= −

P 49732.69 22940.1051709160.01680633

P = 49 732.69 - 2 294(6.257815716)

P = 49 732.69 - 14 355.42925

P = $35 377.26

La parte del interés en el séptimo pago:

I = (35 377.26)(0.01680633) = 594.5619061 ≅ $594.56

I = (35 377.26)(0.01680633) = $594.56

Amortización “A” (o valor del principal):

A = R - I = 2 294 - 594.56 = $1 699.44

Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.9.

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205

Cuadro 6.9 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Datos Precio de contado $ 4 800 000 Incógnitas R y P180

Enganche $1 200 000 Cantidad a financiar $3 600 000 T = 9% A.C. Mensual i = 0.0075 mensual n = 20 años = 240 meses n15 = 180 meses

a) Cálculo de la renta:

=− +

=−

=−

=− −

RC i

i n1 (1 )

3600000 ( 0.0075 )

1 (1.0075 )

27000

1 0.166412844

27000

0.833587155240

R = $32 390.13

b) Saldo insoluto al final de los 15 años.

= −−

P 3600000 (1.0075 ) 32390.13(1.0075 ) 1

0.0075180

180

= −−

P 3 600 000 ( 3.838043267 ) 32390.13

3.838043267 1

0.0075

= −

P 3 600 000 ( 3.838043267 ) 32390.13

2.838043267

0.0075

P = 3 600 000(3.838043267) - 32 390.13(378.4057689)

P = 13 816 955.76 - 12 256 612.05

P = $1 560 343.71

En 15 años habrá liquidado menos de $1 560 343.71 del préstamo original.

Solución

Problema resuelto

8. La familia Martínez adquiere una casa en condominio valuada en $4 800 000 por el cual paga un enganche de $1 200 000. El resto se financia con préstamo de Banorte a 20 años, con tasa de interés de 9% convertible mensualmente. Calcular:

a) El valor de los pagos mensuales.

b) El saldo insoluto al final de los 15 años.

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206

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos

Precio de contado $650 000 Incógnitas R e I1-10

Enganche $130 000

Cantidad a financiar A = $520 000

T = 10% A.C. Mensual

i = 0.008333 mensual

n = 20 años = 240 meses

n1 = 10 meses

a) Cálculo de la renta:

=− +

=−

=−

=− −

RCi

i n1 (1 )

520000 ( 0.00833333 )

1 (1.00833333 )

4333.3316

1 0.136461619

4333.3316

0.86353838240

R = $5 018.11

b) Saldo insoluto al final de los 10 meses, en el primer año de la compra del departamento.

P 520 000 (1.00833333 ) 5 018.11(1.00833333 ) 1

0.008333331-1010

10

= −−

P 520 000 (1.086528765 ) 5 018.111.086528765 10.008333331-10 = −

P 564994.95 5 018.110.0865287650.008333331-10 = −

P1-10 = 564 994.95 - 5 018.11(10.38345593)

P1-10 = 564 994.95 - 52 105.32

P1-10 = $512 889.6378

c) La amortización el año pasado de marzo a diciembre:

A1 - 10 = 520 000 - 512 889.63 = $7 110.37

d ) El total de intereses pagados el año pasado son:

I1 - 10 = 10(5 018.11) - 7 110.37 = 50 181.1 - 7 110.37 = $43 070.73

El señor Aragón puede declarar $43 070.73 en su declaración fiscal como deducción por el préstamo hipotecario (este documento lo extiende la institución financiera con la cual se tiene contratado el préstamo, es el documento oficial que reconoce el sat).

Solución

Problema resuelto

9. La familia Aragón adquirió un condominio valuado en $650 000 el 1 de febrero del año pasado, por el cual dieron un enganche de 20%. El resto se financia con crédito hipotecario de Banejército a 20 años, con tasa de interés de 10% convertible mensualmente sobre el saldo iniciando en el mes de marzo del mismo año, el préstamo se amortizará con pagos al final de cada mes. Calcular:

a) El valor de los pagos mensuales.

b) ¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su declaración anual de persona física del año pasado, el tiempo límite que tiene para realizar su declaración es el día 30 de abril del presente año?

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207

En los ejemplos anteriores se mostró la forma de construir un cuadro de amortización, ahora describire-mos la construcción de un cuadro de amortización en el que se incluirá el cálculo del impuesto al valor agregado (iva) con tasa fija y renta fija.

a) La tasa de interés está en forma anual, por lo que debe transformarse a una tasa de interés mensual.

= =i5.4100

0.054 anual

= =i0.05412

0.0045 mensual

b) Cálculo del interés a pagar durante el primer periodo:

I = 153 825(1)(0.0045)

I = $692.21

Solución

Problema resuelto

10. Construir un cuadro de amortización que incluye el cálculo del iva (16%) con un plan de financia-miento por dos años para la compra de un automóvil Sedán.

Cuadro 6.11 Amortización con iva de un plan de financiamiento por dos años para la compra de un auto

El precio de lista (incluye el iva) $214 500.00

La inversión inicial mínima (enganche) 35% - $75 075.00

Comisión por apertura de crédito.Pago que debe efectuarse al contado (incluye el iva)

+ $1 200.00

Seguro automotriz de cobertura amplia.Se debe pagar de contado por un año (incluye gastos de expedición e iva) más un año gratis.

+ $14 400.00

Tasa de interés fija 5.4% anual

Monto a financiar $153 825.00

Otros gastos

Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (mayor a $250 000) sin incluir el iva, lo anterior solo aplica en el D.F.

No aplica

Placas $1 650.00

Gestoría $300.00

Verificación (calcomanía doble cero), solo aplica en el D.F. $385.00

Cuadro 6.10 Amortización con renta fija y tasa de interés constante

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208

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos C = $ 13 500 T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual n = 6 pagos

a) Como el arquitecto Camargo disfruta desde el día 30 de septiembre de su refrigerador, enton-ces desde este día contrae la deuda. Primero se realiza el cálculo de su deuda al 31 de enero, que es de:

Deuda hasta el 31 de enero = C (T)4

Deuda hasta el 31 de enero = $13 500.00(1.02)4

Deuda hasta el 31 de enero = $14 612.83

b) El cálculo para conocer el valor del pago (renta) se hace a partir de una anualidad vencida:

( )=

− +=

− +=

−=

− −R

Ai

i n1 (1 )

14612.83 0.02

1 (1 0.02 )

292.2566

1 0.887971382

292.2566

0.1120286176

R = $2 608.7674

Solución

Problema resuelto

11. Una tienda de electrodomésticos en el mes de julio de este año ofrece una promoción de compre ahora y realice su primer pago el último día de enero del año entrante y los siguientes seis pagos en los meses subsecuentes, con una tasa de interés de 24% capitalizable mensualmente. El ar-quitecto Camargo compra un refrigerador con valor de $ 13 500.00 el último día de septiembre. Encontrar el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de amortización

c) Cálculo del iva sobre los intereses generados en el primer periodo:

iva = 692.21(0.16)

iva = $110.75 para el primer mes

entonces:

Intereses + iva = 692.21 + 110.75 = 802.964

d ) La renta es el pago total en la columna de la tabla de amortización:

=−

=−

=−

R153 825 ( 0.0045 )

1 (1.0045 )

692.21251 0.897845094

692.212510215490524

R = $6776.10 cada mes

Cuadro 6.12 Amortización con renta fija, tasa fija e iva (16%)

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209

6.2 Inflación

En los casos analizados anteriormente, el manejo del dinero se realizó partiendo de una situación económica en donde la inflación tenía un valor de cero, pero no es la única causa para que no exista inflación:

■ Se puede suponer que el aumento de precios en los bienes o servicios es tan lento o tan pe-queño que no se considera para tomar decisiones al respecto por los individuos o las empresas.

■ La inflación también origina que el poder de compra (adquisitivo) del dinero disminuya.

Inflación

Es el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por la economía de un país.

Inflación baja

Se alcanza cuando el poder adquisitivo de la moneda es estable o cuando el nivel precios no ha disminuido sino que su aumento ha sido a un ritmo menor.

Cuando la estabilidad se rompe entonces surge el fenómeno de inflación económica, que es nociva para un país y trae como consecuencia:

a) El crecimiento económico inestable hace más riesgosos los proyectos de inversión

b) Se elevan las tasas de interés, tanto activas como pasivas

c) Se deteriora el poder adquisitivo de la moneda

d ) Disminuye la demanda de bienes y servicios

e) Disminuye el otorgamiento de créditos

c) En el mes de septiembre el saldo es $13 500.00, y el interés generado en ese mes es de:

I = Saldo (n)(T ) = 13 500(1)(0.02) = $270.00

M = 13 500.00 + 270 = $13 770

d ) En octubre el saldo es de $13 770.00. En el mes de octubre el interés generado es:

I = Saldo (n)(T ) = 13 770(1)(0.02) = $275.4

M = 13 770.00 + 275.4 = $14 045.40

e) Se continúan realizando los cálculos del interés y el saldo insoluto para los meses de noviem-bre, diciembre y enero, como se realizó para el mes de octubre y de febrero a julio los cálculos se realizan con base en lo estudiado para la construcción del cuadro de amortización.

Cuadro 6.13 Amortización diferida con renta fija y tasa fija

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210

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6¿Qué es lo que puede originar principalmente la inflación en un país?

a) El aumento de la moneda circulante (moneda o billete) sin incrementar en forma equivalente la producción de bienes o servicios.

b) La emisión de dinero por parte del gobierno para cubrir un déficit presupuestal.

Al aumentarse la moneda circulante, las personas tienen más dinero para comprar y trae como conse-cuencia un incremento de la demanda de bienes y servicios.

Deflación

Es cuando los precios de los bienes o servicios disminuyen de un periodo a otro.

Todo inversionista espera que la tasa de interés que recibe por su inversión sea lo suficientemente alta para compensar la pérdida del poder adquisitivo originado por la inflación en el capital invertido y al mismo tiempo obtener ganancias por su inversión.

Rendimiento real obtenido

Si al vencimiento de una inversión, la tasa de inflación resulta mayor que la anticipada por el inversio-nista, el rendimiento real obtenido será menor que el esperado.

Prima de riesgo y la tasa real no negativa

Cuando el rendimiento real obtenido es menor que el esperado, origina que las tasas nominales ten-gan una prima de riesgo, debido a la incertidumbre por no saber cuál será la tasa de inflación durante el plazo de la inversión. Cuando el inversionista no sabe a cuánto asciende la tasa de interés tendrá que pedir una tasa superior para cubrir el riesgo, de tal forma que evite que la inflación sea mayor que la tasa de interés pactada y de esta forma tener una tasa real no negativa.

Derechos transferidos de un bien con inflación

Datos Valor del inmueble = $ 2 250 000.00 Gastos fijos = $200 000.00 Enganche = 40% del valor de la casa Crédito hipotecario = 60% del valor de la casa Inflación = 0.5% Tasa de interés = 18% A.C. Mensual i = 0.18/12 = 0.015 mensual

a) El valor presente de las mensualidades es igual a 60% del precio de la casa:

C = (Porcentaje de crédito hipotecario)(Valor del inmueble)

C = 0.60($2 250 000.00)

C = $1 350 000

b) Encontrar el valor de la renta para los cinco años:

RCi

i p np1 (1 )

1350 000( 0.015 )

1 (1 0.015 )

202501 0.409295966

202500.59070403360

=− +

=− +

=−

=

− −

R = $34 281.13

Solución

Problema resuelto

12. El señor José Juan Sotelo compró un departamento hace tres años. El valor del inmueble era de $2 250 000.00 y $ 200 000.00 en gastos fijos (escrituración, avalúo, entre otros). El señor Sotelo dio de enganche 40% del valor, y el 60% restante, lo pagaría con un crédito hipotecario otorgado por Banorte durante cinco años de plazo contados desde el día de la compra en abonos mensuales vencidos. El día de hoy el señor Sotelo quiere saber en realidad cuánto vale el departamento si le cobran intereses con una tasa de 18% anual capitalizable mensualmente. El valor del inmueble aumentó 0.5% mensual con la inflación.

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211

Cambio de tasas de interés y amortización constante

Datos

Precio de contado: $12 500

n = 9 pagos mensuales

T = 18% primeros 5 meses

T = 21% últimos 4 meses

a) La amortización es constante, por lo que debemos dividir el precio de contado entre los nueve meses de plazo:

ACn

125009 meses

$1388.89= = =

b) Convertir la tasa anual en tasa mensual:

= =i0.1812

0.015 mensual

c) Se calcula el interés a pagar el 10 de febrero:

I = C(1)(T) = $12 500(1)(0.015) = $187.50

Solución

Problema resuelto

13. El director de una secundaria compró el 10 de enero de 2014 una pantalla de proyección de $12 500.00; él acuerda pagar en nueve pagos mensuales. Para los primeros cinco meses se aplica una tasa de interés de 18% y en los últimos cuatro meses una tasa de 21%, ambas con capitaliza-ción mensual y si además debe amortizarse una novena parte de la deuda por pago. ¿Cómo serán sus pagos y la amortización de esta deuda?

Construir un cuadro de amortización que muestre los cambios en las tasa de interés considerando una amortización constante.

c) Después de dos años se han pagado 24 mensualidades, por lo tanto el saldo insoluto es igual al valor presente de los 36 meses restantes.

=− +

=

=

C 34281.131 (1 0.015 )

0.01534281.13

1 0.5850897350.015

34281.130.414910264

0.015

36

C = 34 281.13(27.66068431) = $948 239.51

d ) La diferencia del crédito inicial es lo que se ha transferido al señor Sotelo (deudor):

Diferencia del crédito inicial = C - Saldo insoluto

Diferencia del crédito inicial = 1 350 000 - 948 239.51

Diferencia del crédito inicial = $ 401 760.49

e) Entonces el señor Sotelo es propietario de los gastos fijos, el enganche y el nuevo capital (des-pués de dos años)

C2 = 200 000 + (0.40)(2 250 000) + 401 760.49

C2 = 200 000 + 900 000 + 401 760.49

C2 = $1 501 760.49

f ) El valor futuro de este nuevo capital (C2) después de dos años y con la inflación a una tasa de 0.5% por mes será de:

M2 = 1 501 760.49(1 + 0.005)24

M2 = 1 501 760.49(1.127159776)

M2 = $1 692 724.02

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212

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

6.3 Unidades de inversión (udi)

¿Cómo se puede conocer el valor real de una inversión, un crédito u otro tipo de operación financiera cuando son afectadas por el efecto inflacionario?

■ Un mecanismo muy simple para obtener este valor real es mediante las Unidades de Inversión (udi ), que es un instrumento financiero creado para tomar en cuenta el efecto inflacionario en las operaciones financieras.

■ Estas unidades de inversión se crearon en México desde el 4 de abril de 1995 con el objetivo de tener un sistema de referencia para realizar operaciones financieras y bancarias que permi-tieran contrarrestar los efectos de incertidumbre inflacionaria.

■ El Banco de México es el organismo encargado de calcular y publicar el valor en moneda nacional de las udi y cada día 10 del mes se publica el valor que corresponde al periodo que comprende entre el 11 y el 25 de dicho mes, a más tardar el día 25 de cada mes se publicará el valor correspondiente del día 26 de ese mes al día 10 del mes inmediato siguiente.

■ La variación porcentual del valor de la udi entre el 10 y el 25 de cada mes será igual a la va-riación del Índice Nacional de Precios al Consumidor (inpc) de la segunda quincena del mes inmediato anterior.

■ La variación del valor de la udi del día 25 de un mes al día 10 del mes inmediato siguiente será igual a la variación del inpc en la primera quincena del mes referido en el primer término.

■ La variación será uniforme durante esos días para garantizar que quienes requieran hacer ope-raciones tengan un mínimo de certidumbre.

d ) Pago por periodo:

R = A + I = $1 388.89 + $187.5 = $1 576.39

e) Repetir los pasos a), b), c) y d ), para cada mes hasta el quinto mes.

f ) Convertir la segunda tasa anual en tasa mensual:

= =i0.2112

0.0175 mensual

g) Se calcula el interés que se va a pagar el 10 de julio:

I = C(1)(i ) = 5 555.56(1)(0.0175) = $97.2223

h) Pago por periodo:

R = A + I = $1 388.89 + 97.2223 = $1 486.11

i ) Repetir los pasos a), b), c) y d ), con la segunda tasa para cada mes hasta terminar el cuadro en el noveno mes (cuando el saldo sea cero).

En el cuadro 6.14 de Excel se muestra la amortización con cambio de tasas de interés y amortización constante.

Cuadro 6.14 Amortización con cambio de tasas de interés y amortización constante

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213

Las udi iniciaron su cotización el día 4 de abril de 1995 y su valor era de $1.00 por cada udi; a partir de ese día su valor se ha incrementado diariamente de acuerdo con la tasa de inflación, así por ejemplo:

Si después de 90 días el inpc crece 6%, entones una udi tiene un valor mayor en 6% a lo que cos-taba el día de su lanzamiento (4 de abril de 1995) entonces el día 4 de julio de 1995 vale $1.06. Si se considerara que la inflación acumulada en un año es de 30%, entonces cada udi tiene un valor de $1.30 (del 4 de abril de 1995 al 4 de abril de 1996).

❚ 6.3.1 Tasas negativas

En las inversiones tradicionales a corto y largo plazos las tasas nominales por muy altas que sean siem-pre estarán por debajo de la tasa de inflación, obteniéndose entonces tasas negativas.

La ventaja de invertir en udi es que incrementan su valor en la misma proporción que el Índice Nacional de Precios al Consumidor (inpc) haciendo con esto que las inversiones en udi siempre estén protegidas de la inflación. Por ello, es bueno invertir en udi cuando la inflación es alta; sin embargo, cuando la inflación es baja no se recomienda invertir ya que la tasa de interés real es baja o casi nula y solo se recibe la parte proporcional al fenómeno inflacionario.

Datos C = 15 600 + 2 496 = $18 096 T = 0.18/12 = 0.015 mensual n = 6 meses udi = $4.90594

Los pagos constituyen una anualidad simple cierta, vencida e inmediata con valor actual de $15 600.00 más iva.

a) Valor de la deuda en udi:

CValor de las

18 0964.90594

3 688.59UDIUDI

= = =

b) El pago mensual en udi será:

=

− +

=−

=−

=− −

R3 688.59 ( 0.18 12 )

1 10.1812

3 688.59 ( 0.015 )

1 (1.015 )

55.32881 0.9145422

55.32880.0854786 6

R = 647.44 udi

c) Con una inflación de 0.43% mensual, el pago mensual en pesos será de:

Pago mensual en pesos = (Pago mensual en udi )(Valor de la udi al final del mes) Pago mensual en pesos = (647.44 udi )(4.90594) Pago mensual en pesos = $3 176.30

Solución

Problema resuelto

14. El señor Joel Sánchez compra una computadora con valor de $15 600.00 más iva y acuerda realizar seis pagos mensuales en udi con una tasa de interés de 18% anual capitalizable cada mes, el pri-mero de los pagos se hace al final del mes, si en el momento en que se celebra la operación el valor de las udi es de $4.90594 y se supone una inflación mensual de 0.43%; calcule el pago mensual en pesos. ¿Cuál es el valor de la renta (el pago mensual)?

6.4 Fondos de amortización

El fondo de amortización es inverso de la amortización, porque se crea para pagar una obligación en fecha futura, como pueden ser:

■ La compra de equipo nuevo para sustituir el equipo depreciado u obsoleto, para prevenir gastos de jubilación de empleados en una compañía, para comprar un automóvil, para la cons-trucción de un inmueble, para el mantenimiento de equipo e inmuebles, o cualquier otro bien o servicio a futuro.

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214

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6El fondo de amortización acumula cantidades de dinero con pagos iguales al inicio o al vencimiento de periodos iguales que devengan intereses para alcanzar el monto deseado utilizando una cuenta de inversión.

■ Al utilizar la cuenta de inversión se reúne la cantidad de dinero necesario en la fecha futura de-seada; es decir, el fondo de amortización es la acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda futura.

■ El tener un fondo de inversión le permite al inversionista ganar intereses y de esta manera acu-mular con mayor tranquilidad la cantidad de dinero pensada a futuro.

■ Este tipo de instrumento financiero genera el hábito del ahorro.

■ Otra ventaja de tener un fondo de inversión es la de disponer de su propio dinero para comprar lo deseado de contado, evadiendo de esta manera el pago de intereses, que por lo regular son altos, y otros cargos por comprar a crédito.

Datos

C = $ 800 000

T = 6% anual

n = 5 años

a) Para obtener las reservas anuales para pagar la deuda utilizar la siguiente ecuación:

=+ −

M R

tt

n(1 ) 1

despejando R queda:

=+ −

=+ −

=+ −

=−

=RMi

i n(1 ) 1

800000 (0.06)

(1 0.06) 1

48000

(1 0.06)5 1

48000

1.338225578 1

48000

0.3382255785

R = $141 917.12

b) Los cálculos que se deben realizar para elaborar el cuadro para el fondo de amortización son:

1. El interés obtenido en un año, se calcula con la fórmula de interés simple.

I = Cni

I = 141 917.12(1)(0.06)

I = $8 515.03

2. Este interés se suma al total del ahorro para obtener la cantidad que se va a depositar du-rante el segundo periodo.

Total que se suma al monto = $141 917.12 + 8 515.03

Total que se suma al monto = $150 432.15

3. El monto al final del año (5) se encuentra sumando al saldo del año anterior (4) el depósito anual, más los intereses del periodo.

Monto al final del año (5) = Saldo del año anterior + Depósito anual durante el periodo más intereses

Monto al final del año (5) Saldo = $620 832.91 + 141 917.12 + 37 249.97

Monto al final del año (5) = $800 000.00

Es decir, los $800 000.00 deseados.

Solución

Problema resuelto

15. Una tortillería obtiene un préstamo de $800 000 que debe liquidar en una sola exhibición dentro de cinco años. El dueño de la tortillería decide realizar reservas anuales iguales con el objetivo de pagar la deuda a su vencimiento mediante un fondo de inversión bancario con 6% de interés anual.

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215

Datos C = $1 600 000 T = 9% A.C.M. i = 0.0075 mensual n = 6 meses

a) Para calcular los depósitos en su cuenta se utiliza la siguiente ecuación:

=+ −

M R

tt

n(1 ) 1

Si despejamos R de la ecuación tenemos que:

RMi

i n(1 ) 1

1600000 0.0075

1 0.0075 1

120001.045852235 1

120000.0458522356

( )( )

=+ −

=+ −

=−

=

R = $261 710.25

b) El cuadro sobre el fondo de amortización queda de la siguiente manera:

Cuadro 6.16 Fondo de amortización

Solución

Problema resuelto

16. El arquitecto Saturnino Torres debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $1 600 000, por la compra de un camión y para tener el dinero en la fecha de liquidación decide realizar depósitos mensuales en una cuenta de inversión que paga 9% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos en su cuenta de inversión? Construir un cuadro que muestre la forma en la que se acumula el fondo.

Cuadro 6.15 Comportamiento del fondo de amortización

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216

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos

M = $6 000

R = $423.38

T = 4.5% A.C. Quincenal

i = 0.001875 quincenal

a) Los depósitos que deberá realizar serían:

( )

( )

( ) ( )( )( )

=+

+=

+

+=

+

= =n

MiR

i

log 1

log 1

log6000 0.001875

423.381

log 1 0.001875

log11.25423.38

1

log 1.001875

log 1.026501767

log 1.001875

0.0113893610.00081354

( )

( )

( ) ( )( )( )

=+

+=

+

+=

+

= =n

MiR

i

log 1

log 1

log6000 0.001875

423.381

log 1 0.001875

log11.25423.38

1

log 1.001875

log 1.026501767

log 1.001875

0.0113893610.00081354

n = 13.9998 ≈ 14 quincenas

Cuadro 6.17 Fondo de amortización

Solución

Problema resuelto

17. ¿Cuántos depósitos debe realizar la contadora Delia Morales si desea comprar de contado dos archiveros de $3 000 cada uno para su despacho? Para lograr esta compra, Delia deposita al prin-cipio de cada mes en la cuenta de inversión del despacho la cantidad de $423.38; si el banco paga una tasa de interés de 4.5% convertible quincenalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para poder realizar la compra de los archiveros?

6.5 Depreciación

Cuando se adquiere un activo fijo, por ejemplo: equipo o maquinaria, mobiliario de oficinas, equipo de cómputo, edificios y otros; estos comienzan a perder valor con el transcurso del tiempo, a esta pérdida se le conoce como depreciación. De modo que los activos fijos reducen su valor desde el momento en que son adquiridos o se ponen en servicio u operación por el desgaste, descomposturas y cambios tecnológicos.

La depreciación de un bien se debe a tres causas básicas:

1. Causas físicas

Son los principales motivos de la depreciación de un bien, es decir, este se deprecia debido al uso, al desgaste, la acción de los elementos naturales y la combinación de estos.

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217

2. Insuficiencia

Se presenta cuando un activo no puede cubrir, alcanzar o hacer frente a las necesidades que se le piden.

3. Obsolescencia del activo

La obsolescencia del activo se debe a que este sufre un desgaste mínimo de un periodo a otro pero el activo sigue trabajando, al transcurrir el tiempo se deberá sustituir porque en el mercado aparece un nuevo activo con mejoras técnicas. Este nuevo activo es más eficiente que el anterior, por lo tanto deberá sustituirlo. Existe una excepción en la obsolescencia de los activos: los terre-nos, que adquieren un valor mayor de un periodo a otro, es decir, crece su valor con el tiempo.

La palabra depreciación viene del latín y significa rebajar el precio o valor de una cosa.

Valor del bien adquirido

El valor del bien adquirido se registra en libros como uno de los activos fijos en el balance general, esto se realiza para efectos contables.

La depreciación del equipo se registra en forma anual y los cargos de depreciación son determinados por el gobierno.

Depreciación

Es la pérdida gradual en el valor de un activo fijo con el transcurso del tiempo, por su uso, des-gaste, la acción de los elementos naturales, la insuficiencia, la obsolescencia o la combinación de estos. Se denota con la letra D.

Activos fijos

Son los bienes que están sujetos a descomposturas, desgaste, deterioro y a los cambios de las nuevas tecnologías.

Vida útil de un activo fijo

Se mide en años y se representa con la letra n. Es el tiempo que transcurre entre su compra y su retiro o remoción.

Valor de desecho, de salvamento o de rescate de un activo fijo

Se representa con la letra S y su valor puede ser positivo cuando se vende el activo a otros usuarios (clientes) porque representa una recuperación económica para la empresa. Se considera negativo si se requiere de un gasto adicional para su remoción (demoler un edificio, desinstalar equipo o maquinaria).

Valor de salvamento de un activo fijo

Es el que tiene o tendrá al final de su vida útil.

El valor de todos los activos se reduce con el tiempo.

Otros conceptos empleados en el ámbito de la depreciación son:

Precio original o costo original del activo

Es el valor que se toma como punto de partida de la depreciación y se representa con la letra C.

Precio original o costo original del activo = C

Depreciación acumulada

Es la suma de la depreciación de cualquier año con la de años anteriores, con excepción de la del primer año de vida del bien.

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218

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6 Cargos por depreciación

Contablemente son los cargos periódicos que se aplican a los resultados de la depreciación del activo fijo.

Valor en libros o valor contable

Es el valor después de depreciarse que tiene el activo fijo al final del k-ésimo año. Se representa con:

Vk donde k = 1, 2, 3, …, n

■ Es muy importante entender que al comenzar la vida útil del activo, el valor en libros es igual al precio original.

■ Con el transcurso del tiempo, la diferencia que existe entre el valor original y la depreciación acumulada hasta determinada fecha es la que se registra en los libros, en el último año el valor en libros debe coincidir con el valor de desecho.

■ El valor en libros nunca corresponde con el valor del mercado, sobre todo en época de inflación alta, el valor de mercado es superior al de libros.

Costo total de depreciación o base a depreciar

Es la diferencia entre el costo original y el valor de desecho de un activo fijo y es el valor que debe cargarse con el transcurso de los años. Es igual a la diferencia entre el precio original y el valor de desecho (C - Sk). Este valor también puede ser nulo si el activo es un desperdicio total.

■ Valor que debe cargarse = Costo original - Valor de desecho de un activo fijo

■ Valor que debe cargarse = Precio original - Valor de desecho

■ Valor que debe cargarse = (C - Sk)

Valor de desecho, valor de rescate o valor de salvamento

Es el valor que tiene el activo al final de su vida útil y este debe coincidir con el valor en libros en esa fecha de desecho.

Agotamiento

Se utiliza cuando el activo no se puede remplazar por otro, esto significa literalmente: “consumir todo, terminar con una cosa o gastar todo”. Por ejemplo, en el ámbito petrolero agotar un yacimiento de petróleo o de gas; en la minería, agotar una mina de carbón, oro, plata, uranio, entre otros.

❚ 6.5.1 Método de línea recta

Recibe este nombre porque al graficar el tiempo contra el valor en libros o contra la depreciación acumu lada se obtiene una línea recta.

Ventajas del método de línea recta:

■ El método de depreciación de línea recta es el único aprobado por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público para cumplir con las disposiciones fiscales.

■ Es el método más sencillo de todos para calcular la depreciación de activos fijos.

■ Este método tiene como característica principal que la depreciación anual de un activo fijo, es constante para cada año de su vida útil (en cada año esta siempre es la misma).

Debilidades del método de línea recta:

■ La depreciación real es diferente a la encontrada con el método de línea recta puesto que los bienes se deprecian más rápido en los primeros años y menos en los últimos años de su vida útil.

■ El valor de compra del activo fijo no es igual al valor de reposición, esta diferencia se debe a la inflación como principal causa. También los avances tecnológicos son un factor que interviene con esa diferencia.

■ Cuando se crea el fondo de reserva de depreciación, la cantidad depositada al final del año 1 gana intereses, pero el método no contempla esta posibilidad.

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219

Terminología

Letra Significado Letra Significado

C Costo original del activo D Depreciación anual

S Valor de desecho, rescate o salvamento DA

Depreciación acumulada

VR

Valor de reemplazo n Vida útil en años

Vk

Valor en libros en el año k d Tasa de depreciación anual

B Base de depreciación del activo j Tasa de inflación

Cálculo de la depreciación

a) La depreciación para cada año se calcula a partir de la siguiente expresión:

=−

Depreciación por año(Costo original ) ( Valor de desecho )

Vida útil en años

=−

=DC Sn

Bn

6.7

b) La base de depreciación sería:

B = C - S 6.8

Datos

C = $134 000

S = $9 000

n = 9 años

a) La base de depreciación:

B = C - S

B = $134 000 - 9 000

B = $125 000

Representa la depreciación acumulada con el transcurso de los nueve años de la vida útil del activo.

b) Depreciación anual:

=−

=−

=DC Sn

134 000 9 000

9

124 991

9

D = $13 888.89 por año

Solución

Problema resuelto

18. Un laboratorio compra un cromatógrafo con valor de $134 000. El administrador espera que la vida útil del equipo sea de nueve años con un valor de desecho de $9 000.

a) Encontrar la base de depreciación.

b) Calcular la depreciación anual.

c) Valor de reemplazo.

d ) Construir el cuadro de depreciación.

e) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros.

f ) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada.

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220

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6 La depreciación anual es $13 888.89, que es la mínima que se debe guardar en el fondo de

depreciación al final de cada año durante nueve años.

c) El valor de reemplazo se obtiene de la siguiente manera:

Valor de reemplazo = (depreciación acumulada) + (valor de desecho)

VR = DA + S 6.9

VR = (13 888.89)(9) + 9 000.00

VR = $134 000.01

d ) Cuadro de depreciación:

Valor en libros al final del primer año

V1 = 134 000 - 13 888.89

V1 = $120 111.11

Valor en libros al final del segundo año

V2 = 120 111.11 - 13 888.89

V2 = $106 222.22

e) Así sucesivamente podemos seguir calculando la depreciación hasta el último año (nueve años) como se muestra en el cuadro 6.19.

Cuadro 6.19 Depreciación con el método de línea recta

En el cuadro 6.19, de depreciación en línea recta, se muestra cómo aumenta la depreciación acumulada y disminuye el valor en libros. El valor de $9 000.00 en el año 9 corresponde al valor de desecho, en el mismo año los $134 000.00 de depreciación acumulada representa la cantidad guardada en el fondo de reserva de depreciación, sin generar intereses.

f ) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros (con apoyo del Excel).

= =DBn

Base de depreciación del activo fijo

Vida útil (en un año) 6.10

DBn

125000Un año

= =

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221

Figura 6.3 La pendiente de la línea recta es negativa; la interpretación de la pendiente negativa se debe a que por cada año que trans-curre, el activo fijo se deprecia en $13 888.89.

g) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada.

= ≈ = =DDnA

(Depreciación )( vida útil en años )

Un año

(13 888.89 )(1)

1$13888.89

Para calcular la depreciación acumulada:

DA = (Depreciación)(vida útil en años)

DA = (D )(n) 6.11

DA = (13 888.89)(1 año)

DA = $13 888.89 para el primer año

DA = (13 888.89)(2 años)

DA = $27 777.78 para el segundo año

Figura 6.4 Se puede observar que la pen-diente de la línea recta es positiva y significa que por cada año que transcurre, la deprecia-ción acumulada aumenta en $13 888.89, can-tidad que representa el dinero que se encuen-tra en el fondo de depreciación.

Datos C = $ 134 000 D = $12 500 n = 10 j = 5% anual

Solución

Problema resuelto

19. Encontrar el valor de salvamento de un horno para panadería que costó $134 000.00 con una vida útil de 10 años. Este equipo se deprecia $12 500.00 cada año. Debido a la inflación su valor aumenta en promedio anual 5%.

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222

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6 a) En el primer año el valor del horno para panadería aumenta 5%:

Vre = C(1 + j )n 6.12

Vre = (134 000)(1 + 0.05)

Vre = $140 700

b) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería en un año será:

Vre = C(1 + j )n - D1 al fin del primer año

C1 = 140 700 - 12 500

C1 = $128 200

c) Al final del segundo año, el valor del horno para panadería aumenta 5%:

Vre = C1(1 + j )n

C2 = (128 200)(1 + 0.05)1

C2 = $134 610

d ) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería después del segundo año sería:

Vre = C2(1 + j )n - D2

C2 = 134 610 - 12 500

C2 = $122 110

e) Esta forma de solucionar el problema es más complicada porque se tiene que calcular hasta los 10 años; sin embargo, existe otra forma para calcular el valor de salvamento utilizando la siguiente ecuación de valor:

= + −+ −

S C j Dj

jn

n

(1 )(1 ) 1

6.13

S 134 000 (1 0.05 ) 12 500(1 0.05 )

0.0510

10

= + −+

S = 218 271.88 - 157 223.66

S = $61 048.22

Cuadro 6.20 Cálculo del valor de salvamento

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223

❚ 6.5.2 Método del porcentaje fijo

Es un método de depreciación anual que decrece con el tiempo, ya que emplea un porcentaje constante, llamado tasa de depreciación, la cual se aplica al valor que aparece en libros del activo fijo del año siguiente, por lo que a medida que trans-curre el tiempo, su valor decrece (año con año). Los cargos de depreciación van a ser mayores en los primeros años de vida útil del activo y menores hacia los últimos años, esto quiere decir que decrecen con menor rapidez que en los primeros.

❚ 6.5.3 Valor en libros de un activo fijo

■ El valor en libros de un activo fijo que se deprecia con el método de tasa fija al final del k-ésimo año es:

Vk = C(1 - d )k 6.14

■ El valor en libros al final de la vida útil del activo fijo, k es igual a n, sustitu-yendo la n en la ecuación 3.7 se tiene:

Vn = C(1 - d )n 6.15

■ Despejando la tasa de depreciación anual de la ecuación 6.15, obtenemos:

Vn = C(1 - d )n

= −V

Cdn n(1 )

= −V

Cdnn 1

= −

dV

Cnn1

= −

dV

Cn n

1

1

6.16

■ Si el valor de desecho es cero (S = 0).

■ Entonces, la tasa de depreciación anual es igual a la unidad (d = 1).

■ Lo que indica que en el primer año de vida útil el activo se deprecia en su totalidad, lo cual es muy difícil que ocurra, pero no imposible.

Terminología

Letra Significado Letra Significado

C Costo original del activo d Tasa de depreciación anual

S Valor de desecho, rescate o salvamento d’ Tasa de inflación anual equivalente

VR

Valor de reemplazo DA

Depreciación acumulada

Vk

Valor en libros en el año k n Vida útil en años

Vn

Valor en libros al final de la vida útil j Tasa de inflación

Cuadro 6.21 Tasa de depreciación en el método de porcentaje fijo

Año Depreciación Valor en libros

0 C C

1 C(d ) V1 = C - Cd

V1 = C(1 - d )

2 V1(d ) V

2 = V

1 - V

1(d )

V2 = V

1(1 - d )

V2 = [C(1 - d )](1 - d )

V2 = C(1 - d )(1 - d )

V2 = C(1 - d )2

3 V2(d ) V

3 = V

2 - V

2(d )

V3 = V

2(1 - d )

V3 = [C(1 - d )2](1 - d )

V3 = C(1 - d )2 (1 - d )

V3 = C(1 - d )3

. . .. . .

. . .

K (Vk - 1

) (d ) Vk = C(1 - d )k

Problema resuelto

20. El administrador de una carpintería compra una camioneta para transportar los closets, puertas, libreros y materia prima; esta tiene un valor de $450 000.00 de contado. Estimar su vida útil en cinco años y al final un valor de salvamento de $20 000.00.

a) Encontrar la tasa de depreciación que debe aplicarse.

b) Elaborar el cuadro de depreciación correspondiente.

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224

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6 Datos

C = $450 000 Incógnita d

S = $20 000(Vn)

n = 5 años

a) = −

= −

=dV

Cn n1 1

$20 000.00

$450 000.000.4635

1 15

d ≈ 46%

b) el cuadro de depreciación es:

Cuadro 6.22 Depreciación por el método de porcentaje fijo

Solución

Datos

C = $1 196 000

D = $290 000

n = 6 años

a) Calcular primero la tasa fija a aplicar:

= −

= −

=dV

Cn n1 1

290 000

1196 0000.21033

1 16

d ≈ 21%

Solución

Problema resuelto

21. El señor Montiel compró un camión de 24 asientos para el transporte de personal. El valor de con-tado es de $1 196 000.00. Se espera que tenga una vida útil de seis años y valor de salvamento de $290 000.00. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.

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225

Datos

C = $ 90 000

S = $15 000

n = 6 años

k = 3 años

a) Encontrar la tasa de depreciación fija.

= −

= −

=dV

Cn n1 1

15 000

90 0000.258163624

1 16

d ≈ 26%

b) Depreciación en el primer año:

D1 = Cd 6.17

D1 = Cd = 90 000(0.258163624)

D1 = $23 234.73

c) Valor en libros

V1 = C - D1 6.18

V1 = 66 765.27

d ) Depreciación en el segundo año:

D2 = V1d = 66 765.6(0.258163624)

D2 = $17 236.37

Solución

Problema resuelto

22. Encontrar la depreciación anual de una batidora industrial con valor de $90 000.00, si se estima un valor de desecho de $15 000.00 dentro de seis años. Encontrar la depreciación hasta el tercer año.

Cuadro 6.23 Depreciación por el método de porcentaje fijo

Mediante la función POTENCIA de EXCEL se calcula la tasa de depreciación:

= POTENCIA(valor a elevar, exponente)

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226

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

6.6 Depreciación e inflación

Para evaluar la depreciación anual considerando la inflación en el método de porcentaje fijo se re-quiere calcular la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación. Con base en este cálculo es posible considerar tres casos:

1. Cuando la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá al paso de los años y el factor (1 - d ) será mayor de 1.

2. Si la tasa de inflación j es menor que la de depreciación d, el valor en libros decrecerá al paso de los años y el factor (1 - d ) será menor de 1.

3. Cuando la tasa de inflación no se especifica en periodos de capitalización anuales, deberá encon-trarse una tasa anual equivalente.

e) Valor en libros:

V2 = V1 - D2 = 66 765.60 - 17 236.37

V2 = $49 528.91

f ) Depreciación en el tercer año:

D3 = Cd = 49 529.39(0.258163624)

D3 = $12 786.56

g) Valor en libros:

V3 = V2 - D3 = (49 529.39) - (12 786.56)

V3 = $36 742.83

h) El problema se puede resolver de manera más rápida si se calcula primero el valor en libros al final del tercer año y después la depreciación acumulada hasta el tercer año.

Vk = C(1 - d )k = 90 000(1 - 0.258163624)3 - (12 786.56)

Vk = $36 742.346 ≈ $36 742.35

i ) Depreciación acumulada al tercer año

DA = C - VK = 90 000 - 36 742.35

DA = $53 257.65

j ) En la hoja electrónica del cuadro 6.24 se muestra la solución del problema.

Cuadro 6.24 Depreciación del método de porcentaje fijo

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227

Problema resuelto

24. La fundidora Cristal Contemporáneo desea vender un horno de fundición después de cinco años de uso que le costó $1 250 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 8% anual. El administrador considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 12% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.

Datos

C = $1 500 000

n = 8 años

j = 0.6 % mensual

d = 7% anual

a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente a 0.6% mensual:

j = (1 + 0.006)12 - 1

j = 1.1003 - 1

j = 0.074424167 anual

b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la inflación y la de depreciación:

d ′ = j - d 6.19

d ′ = 0.074424167 - 0.07

d ′ ≈ 0.004424167 anual

c) Como la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá con el paso de los años (véase el cuadro 6.25) y el factor (1 - d ) será mayor de 1.

Cuadro 6.25 Depreciación del método de porcentaje fijo

Solución

Problema resuelto

23. El arquitecto Juventino Andrade desea vender una revolvedora de cemento después de ocho años de uso que le costó $1 500 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 0.6% mensual, el arquitecto considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 7% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.

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228

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos S = $ 1 000 n = 6 años j = 1.2% bimestral d = 7% anual

a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente al 1.2% bimestral:

j = (1 + 0.012)6 - 1

j = 1.074194872 - 1

j = 0.074194872 anual

b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación:

d ′ = 0.074194872 - 0.07

d ′ = 0.004194872

c) La incógnita es el precio original C:

CS

d n(1 )=

− −

S = C(1 - 0.004194872)-6

$1 000 = C(1 - 0.004194872)-6

Solución

Problema resuelto

25. Encontrar el precio original de un refrigerador que se compró hace seis años, ya que el señor Jua-nito lo desea vender en $1 000. Él considera una tasa de depreciación de 7% anual y una tasa de inflación de 1.2% por bimestre.

Datos C = $1 250 000 n = 5 años j = 8% anual d = 12% anual

a) Realizar la diferencia entre las dos tasas, inflación y depreciación:

d ′ = 0.12 - 0.08

d ′ = 0.04

b) Como la tasa de depreciación d es mayor que la de inflación j, el valor en libros reducirá al paso de los años y el factor (1 - d ) será menor de 1, como puede observarse en el cuadro 6.26.

Cuadro 6.26 Depreciación del método de porcentaje fijo

Año Depreciación anual Depreciación anual Valor en libros

012345678

$50 000.00$48 000.00$46 080.00$44 236.80$42 467.33$40 768.63$39 137.89$37 572.37

$50 000.00 $98 000.00$144 080.00$188 316.80$230 784.13$271 552.76$310 690.65$348 263.03

$1 250 000.00$1 200 000.00$1 152 000.00$1 105 920.00$1 061 683.20$1 019 215.87 $978 447.24 $939 309.35 $901 736.97

Solución

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229

6.7 Método de la suma de dígitos o enteros

Con la suma de dígitos o enteros se consigue que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros años de la vida útil del activo fijo y después año con año disminuya. Se utiliza por las empresas para depreciar contablemente su activo, aunque el método no es reconocido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público.

Para calcular el cargo anual se debe multiplicar la base de depreciación del activo por una fracción que se obtiene realizando los siguientes pasos:

1. Se encuentra la base de depreciación del activo

B = C - S 6.21

2. Se suman los dígitos del año 1 al año n de vida esperada del activo fijo.

s = k1 + k2 + k3 + ◊◊◊ + kn n = 1, 2, 3, ... 6.22

3. También se puede utilizar la fórmula:

=+

sn n( 1)

2 6.23

en donde:

s = Factor a depreciar

4. Los dígitos enteros correspondientes a los años de vida útil del activo fijo se ordenan de mayor a menor (años en orden invertido).

años en orden invertido = n, ..., k3, k2, k1 n = 1, 2, 3, ...

5. La depreciación para cada año se expresa por una fracción en donde el denominador es la suma(s) de los dígitos enteros correspondientes a los años de vida útil estimada y en el numerador se tiene al entero que corresponde, en el orden invertido, al año de la depreciación que se calcula.

n

ns

k

s

k

s

k

s

Año 3 2 1

Fracción a depreciar enel año correspondiente

, ,3 2 1

�=

6. La fracción obtenida para depreciar se multiplica por la base de depreciación y así obtener el car-go anual (k) correspondiente.

=− +

−Dn k

sC Sk

1( ) 6.24

Terminología

Letra Significado Letra Significado

C Costo original del activo DA

Depreciación acumulada

S Valor de desecho, rescate o salvamento Dk

Depreciación por kilómetro, hora, etcétera

n Vida útil en años d Tasa de depreciación anual

B Base de depreciación del activo Vk

Valor en libros en el año k

D Depreciación anual s Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo

C1000

(1 0.004194872 ) 6=

− −

=C1000

1.025542941

C = $975.0932506 Costo de venta (original)

d ) Como la tasa de inflación es mayor que la tasa de depreciación, el activo aumentó su valor de venta por la tasa de inflación.

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230

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos:

C = $120 000

S = $ 10 000

n = 5 años

1. Base de depreciación de activo:

B = C - S = 120 000 - 10 000

B = $110 000

2. Suma de dígitos:

=+

sn n( 1)

2 6.23

=+

s5 (5 1)

2

s = 15

3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente:

Año 1 2 3 4 5

Numerador 5 4 3 2 1

Fracción 5/15 4/15 3/15 2/15 1/15

4. Calcular el cargo anual para el primer año:

=− +

−Dn k

sC S

1( )1

=− +

− =

D5 1 1

15(120 000 10 000 )

515

(110 000 )1

D1 = $36 666.66

5. Elaboración del cuadro 6.27 para calcular los cinco años.

Cuadro 6.27 Método de la suma de dígitos o enteros

Solución

Problema resuelto

26. Una empresa compra equipo de cómputo con valor de $120 000. La empresa estima la vida útil de este activo en cinco años y un valor de desecho de $10 000. Elaborar un cuadro de depreciación por el método de suma de dígitos.

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231

6.8 Método de unidades de producción o servicio

Al comprar un activo se espera buen servicio durante determinado tiempo (años, meses, días y horas) o bien que produzcan un determinado número de kilómetros, kilogramos o unidades.

Se considera que se puede conocer la vida útil esperada del bien en función de estos parámetros. Entonces, el activo puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o de servicio que

Datos: C = $2 950 000 S = $350 000 n = 6 años

1. Base de depreciación de activo:

B = C - S

B = $2 950 000 - $350 000

B = $2 600 000

2. Suma de dígitos:

=+

=+

sn n( 1)

2

6 ( 6 1)

2

s = 21

3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente:

Año 1 2 3 4 5 6

Numerador 6 5 4 3 2 1

Fracción 6/21 5/21 4/21 3/21 2/21 1/21

4. Calcular el cargo anual para el primer año:

=− +

− =− +

− =

Dn k

sC S

1( )

6 1 121

( 2 950 000 350 000 )621

( 2 600 000 )1

D1 = $742 857.14

5. Elaboración del cuadro 6.28 de depreciación para la vida útil de este bien.

Cuadro 6.28 Método de la suma de dígitos o enteros

Solución

Problema resuelto

27. El administrador del hotel Del Fortín, en el estado de Puebla, compra colchones para sus cuar-tos con un costo de $2 950 000. Estima una vida útil de seis años y un valor de salvamento de $350 000. Elaborar el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma de dígitos.

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232

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6genera durante determinado periodo. Con este método la depreciación, por lo regular, es diferente para cada uno de los años de su vida útil.

El fabricante de un activo es quien determina la capacidad de producción o de horas de servicio. Para conocer la depreciación del activo el analista se basa en la información histórica que tenga de activos semejantes.

Terminología

Letra Significado Letra Significado

C Costo original del activo DA

Depreciación acumulada

S Valor de desecho, rescate o salvamento Dk

Depreciación por unidad de servicio (kilómetro, hora, etc.)

n Vida útil en años d Tasa de depreciación anual

B Base de depreciación del activo Vk

Valor en libros en el año k

D Depreciación anual s Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo

Datos

C = $340 000

S = $122 000

T = 130 000 kilómetros

n = 3 años

a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido

1. Determinar la base de depreciación:

B = C - S = 340 000 - 122 000

B = $218 000

2. Calcular la depreciación por kilómetro recorrido:

a) La base de depreciación se distribuye entre los kilómetros recorridos durante tres años

=DBTk 6.25

=Dk

218 000

130 000

Dk = 1.68

La depreciación por kilómetro es de 1.68

Solución

Problema resuelto

28. Una compañía adquiere un automóvil con un costo de $340 000 y espera que la vida útil del auto-móvil sea de 80 000 kilómetros; el valor de desecho del automóvil será de $122 000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años es de:

Año Kilómetros

1 40 000

2 48 000

3 42 000

Total 130 000

a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido.

b) Construir el cuadro de depreciación.

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233

Datos C = $171 400 S = $30 000 T = 7 650 horas n = 4 años

a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio

1. Determinar la base de depreciación:

B = C - S

B = 171 400 - 30 000

B = $141 400

2. Calcular la depreciación por hora de servicio:

a) La base de depreciación se distribuye entre las horas de servicio de cuatro años.

=DBTk

=Dhr

141400

7 650

Dhr = 18.48266

La depreciación por hora de servicio es de $18.48

Solución

Problema resuelto

29. El hotel Paraíso adquiere refrigeradores para los cuartos, con un costo de $171 400 y espera que la vida útil sea de 30 000 horas y que tenga un valor de desecho de $30 000. El número de horas de servicio de los refrigeradores durante los cuatro primeros años es de:

Año Horas de servicio

1 2 000

2 1 950

3 1 800

4 1 900

Total 7 650

a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio.

b) Construir la tabla de depreciación.

b) Construir el cuadro 6.29 sobre depreciación por unidad de producción o servicio.

Cuadro 6.29 Método de depreciación en unidades de servicio

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234

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

6.9 Método del fondo de amortización

Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva de depreciación y está determinado por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses ganados durante el periodo de refe-rencia.

La aportación anual del fondo de reserva de depreciación se obtiene a partir de la fórmula de renta de anualidad vencida.

=+ −

RM i

i n

( )

(1 ) 1

Equivalencia de la nomenclatura de la anualidad vencida y la depreciación.

Anualidad vencida Depreciación

M B

R D

El monto es igual a la base de depreciación:

B = M

Porque el monto se acumula después de n años, a una tasa de interés i. Por otro lado, la renta es igual a la depreciación anual.

D = R

El cargo anual o aportación a realizar al fondo se calcula con la fórmula siguiente:

=+ −

DB i

i n

( )

(1 ) 1 6.26

Problema resuelto

30. Un hotel de la ciudad de Cuernavaca compró equipo de aire acondicionado para sus oficinas con valor de $987 000, estiman un tiempo de vida útil de cinco años, al cabo de los cuales el valor de desecho será $196 500. Los cargos por depreciación anual se invierten en un fondo de reserva de depreciación que paga un interés de 10% anual. Calcular:

a) La base de depreciación.

b) El cargo anual por depreciación.

c) Elaborar una tabla de depreciación.

b) Construir el cuadro sobre depreciación por hora de servicio.

Cuadro 6.30 Método de unidades de producción o servicio

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235

Datos

C = $987 000

S = $196 500

n = 5 años

T = 10% anual

a) La base de depreciación:

B = C - S

B = 987 000 - 196 500

B = $790 500

b) El cargo anual por depreciación:

=+ −

=+ −

=−

=DB i

i n

( )

(1 ) 1

( 790 500 ) ( 0.10 )

(1 0.10 ) 1

79 050

1.61051 1

79 050

0.610515

D = $129 481.91

La cantidad que se debe depositar en el fondo de reserva de depreciación al final de cada año es de $129 481.91 para alcanzar el monto de $790 500 en cinco años.

c) Para elaborar el cuadro de depreciación se deben seguir los siguientes pasos.

1. La columna de interés ganado al final del año (columna E) se encuentra de la siguiente manera:

(Depreciación del año anterior) (Tasa de interés 0.10) + Interés ganado en ese segundo periodo

2. La columna de depreciación anual (columna F) en cualquier año se calcula:

Depósito realizado (columna D ) + Interés ganado (columna E) en ese año

3. La columna de depreciación acumulada (columna G) se obtiene:

Depreciación acumulada del año anterior (columna G) + depreciación anual (columna F) en ese año

Cuadro 6.31 Depreciación obtenida por el método del fondo de amortización

Solución

Problema resuelto

31. El hotel Playa Linda compró 1 000 toallas para alberca por un valor de $330 000. Con la experiencia que tiene el administrador estima una vida útil promedio de seis años y ningún valor de desecho (cero pesos). Se sabe que la tasa promedio de interés es de 8% anual. Construir un cuadro de de-preciación utilizando el método de fondo de amortización.

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236

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6

Datos C = $470 690 S = $40 000 n = 10 años T = 14% anual i = 0.14

a) Base de depreciación:

B = C - S = 470 690 - 40 000

B = $430 690

b) El cargo anual por depreciación:

=+ −

DB i

i n

( )

(1 ) 1

( ) ( )( )

=+ −

=−

=D430 690 0.14

1 0.14 1

60 296.60

3.707221314 1

60 296.60

2.70722131410

D = $22 272.50

Solución

Problema resuelto

32. El restaurante Camila compró mesas y sillas con valor de $470 690 y estima una vida útil para este mobiliario de 10 años. Al cumplir estos años se espera venderlas en $40 000. Considerando una tasa para depreciación de 14% anual, determinar:

a) La base de depreciación. b) El cargo anual por depreciación. c) La depreciación acumulada. d ) El valor en libros después de seis años de uso.

Datos C = $330 000 S = $ 0.00 n = 6 años T = 8% anual

a) Véase el cuadro 6.32.

Cuadro 6.32 Depreciación por el método del fondo de amortización

Solución

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237

❚ Formulario

El saldo insoluto después del (k - 1)-ésimo pago, es el valor descontado de los n - (k - 1) = n - k + 1 pagos restantes.

=− +

− − +

Rii

n k

Saldo insoluto1 (1 ) ( 1)

6.1

El interés pagado en el k-ésimo pago es:

I = R[1 - (1 + i )-(n - k + 1)] 6.2

El k-ésimo pago de la amortización es:

A = R(1 + i )-(n - k + 1) 6.3

Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, será igual al valor descontado de los n - k pagos que quedan por realizar.

=− +

− −

P Ri

i

n k1 (1 ) 6.4

Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los k-ésimo pagos hechos hasta la fecha.

= + −+ −

P A i Ri

ik

k

(1 )(1 ) 1

6.5

Valor de la operación = Derechos del deudor + Derechos del acreedor 6.6

c) La depreciación acumulada al sexto periodo.

=−

=

=

=DA 22 272.50

(1.14 ) 10.14

22 272.502.194972624 1

0.1422 272.50

1.1949726240.14

22 272.50 ( 8.535518742 )6

=−

=

=

=DA 22 272.50

(1.14 ) 10.14

22 272.502.194972624 1

0.1422 272.50

1.1949726240.14

22 272.50 ( 8.535518742 )6

DA = $190 107.34

d ) El valor en libros después de seis años de uso.

Valor en libros = costo - depreciación acumulada

Valor en libros = $470 690 - $190 107.34

Valor en libros = $280 582.66

e) Se pueden comprobar los resultados de los incisos anteriores en el cuadro 6.33.

Cuadro 6.33 Depreciación por el método del fondo de amortización

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238

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6Método de línea recta

Terminología

Letra Significado

C Costo original del activo

S Valor de desecho, rescate o salvamento

VR

Valor de reemplazo

Vk

Valor en libros en el año k

VRE

Valor de reposición

B Base de depreciación del activo

D Depreciación anual

DA

Depreciación acumulada

N Vida útil en años

D Tasa de depreciación anual

j Tasa de inflación

■ Depreciación para cada año

(Costo original) - (Valor de desecho)Depreciación por año = ___________________________________ Vida útil en años

=−

=DC Sn

Bn

6.7

■ Base de depreciación

B = C - S 6.8

■ Valor de reemplazo

VR = (depreciación acumulada) + (valor de desecho)

VR = DA + S 6.9

■ Depreciación

=DBase de depreciación del activo fijo

Vida útil (en un año)

=DBn

6.10

■ Depreciación acumulada

DA = (depreciación)(vida útil en años)

DA = (D )(n) 6.11

■ Valor de reposición

Vre = C(1 + j )n 6.12

■ Valor de desecho o salvamento

= + −+ −

S C j Dj

jn

n

(1 )(1 ) 1

6.13

Método del porcentaje fijo

Terminología

Letra Significado

C Costo original del activo

S Valor de desecho, rescate o salvamento

VR

Valor de reemplazo

Vk

Valor en libros en el año k

Vn

Valor en libros al final de la vida útil

D Tasa de depreciación anual

d` Tasa de inflación anual equivalente

DA

Depreciación acumulada

N Vida útil en años

j Tasa de inflación

■ Valor en libros

Vk = C(1 - d )k 6.14

■ Valor en libros al final de la vida útil del activo fijo

Vn = C(1 - d )n 6.15

■ Tasa de depreciación anual

= −

dV

Cn n1

1

6.16

■ Depreciación en el primer año

D1 = Cd 6.17

■ Valor en libros

V1 = C - D1 6.18

■ Depreciación e inflación

d ′ = j - d 6.19

■ Precio original C

=− ′ −

CS

d n(1 ) 6.20

Método de la suma de dígitos o enteros

Terminología

Letra Significado

C Costo original del activo

S Valor de desecho, rescate o salvamento

n Vida útil en años

B Base de depreciación del activo

D Depreciación anual

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239

DA

Depreciación acumulada

Dk

Depreciación por unidad de servicio (kilómetro, hora, etc.)

d Tasa de depreciación anual

Vk

Valor en libros en el año k

s Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo

■ Depreciación del activo

B = C - S 6.21

s = k1 + k2 + k3 + ◊◊◊ + n n = 1, 2, 3, ...

( )

=+

sn n 1

2 6.23

■ Base de depreciación para obtener el cargo anual

=+

sn n( 1)

2 6.23

=− +

−Dn k

sC Sk

1( ) 6.24

Método de unidades de producción o servicio

Terminología

Letra Significado

C Costo original del activo

S Valor de desecho, rescate o salvamento

n Vida útil en años

B Base de depreciación del activo

D Depreciación anual

DA

Depreciación acumulada

Dk

Depreciación por kilómetro, hora, etcétera

d Tasa de depreciación anual

Vk

Valor en libros en el año k

T Total de kilómetros horas , etcétera

■ La base de depreciación

=DBTk 6.25

Método del fondo de amortización

■ El cargo anual o aportación a realizar al fondo

=+ −

DBi

i n(1 ) 1 6.26

❚ Glosario

Acreedor. Persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado.

Actividad financiera. Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado.

Activo fijo. Son los bienes sujetos al desgaste.

Capital. En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (di-nero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés.

Cuentas de inversión. También conocidas como cuentas de ahorro. En estas cuentas las personas pueden hacer depósitos y retiros del capital, en cualquier momento (con tan solo solicitarlo) y los intereses son bajos.

Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. Conjunto de bienes y servicios adquiridos en el acto de una compra.

Compra a crédito. Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición, sino que la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida. En bolsa es la adquisición de acciones financiada a través de créditos por una autoridad bursátil.

Compra a plazos. Contrato de compraventa en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra.

Compra de contado. Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición.

Comprador. Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compraventa.

Compraventa. Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor), se obliga a entregar una cosa determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos que se revenden.

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240

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6Contado. Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida

monetaria en ese mismo momento.

Contrato. Negocio jurídico bilateral por el que dos o más personas físicas o jurídicas se obligan mu-tuamente a dar, hacer o no hacer algo, surgiendo entre ellas una relación obligatoria.

Costo. Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes y servicios.

Costo de adquisición. Es el resultado de la suma del precio de compra de una mercancía más los costos necesarios para poner dicha mercancía a disposición de la empresa (aranceles, impuestos, seguros, transporte, recepción, instalación, etc.).

Crédito. Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obliga-ciones financieras.

Crédito a clientes. Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suminis-tros que reciben.

Debe. Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar un pago.

Demora. Retraso en el cumplimiento de una obligación de pago de una deuda, desde el momento en que esta venció.

Depreciación. Desgaste, pérdida de valor o deterioro que sufre un activo fijo por su uso, el paso del tiempo o la aparición de activos más eficientes.

Depósito a plazo. Dinero depositado en una cuenta bancaria por una persona o razón social, su retiro es en una fecha determinada, de común acuerdo por ambas partes.

Descuento. Disminución concedida por las empresas a sus clientes por diversas causas: por pronto pago, por volumen de venta entre otros.

Descuento en precios. Reducción en el precio de venta de un producto o servicio por motivos muy diversos: campañas de promoción, ferias, rebajas estacionales, fidelidad del comprador, liquida-ción de existencias.

Descuento financiero. Operación financiera realizada por las entidades de crédito, consistente en abonar al prestatario el importe, con rebaja de intereses, de una letra de cambio u otro mercantil antes de la fecha de su vencimiento.

Derecho. Facultad de hacer o exigir todo aquello que la ley establece a favor de cada uno.

Deuda. Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una obligación de pagar cierta cantidad de dinero.

Deudor. Persona o razón social que solicita dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormen-te, extendiendo para ello un pagaré.

Dinero. Todo aquello aceptado como medio de pago o medición del valor. Las monedas y billetes de circulación son la forma final adoptadas por las economías como dinero. Es la suma de moneda circulante.

Dinero circulante. Dinero en efectivo, es decir, tesorería que la empresa en un momento determinado tiene como consecuencia de su funcionamiento. Una gestión eficiente de tesorería que maximice su rentabilidad evitando fondos ociosos, incrementará el valor de la empresa

Dinero de plástico. Tarjetas (de crédito, débito, de prepago, etc.) que se utilizan como medio de pago sustituyendo el dinero.

Dinero en circulación. Suma de efectivo en manos del público compuesto de billetes y monedas me-tálicas de curso legal más los depósitos de todo tipo en el sistema bancario.

Empeñar. Entregar algo en prenda como garantía del pago de una deuda.

Factura. Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa, por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos persona-les de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra.

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241

Moneda en circulación. Monedas constantes y sonantes (aleaciones de metales). A los billetes se les llama papel moneda.

Operación. Registro de una entrada o salida de dinero de un depósito bancario.

Rédito. Renta de un capital.

Saldo. Diferencia existente en un momento dado entre el debe y el haber en una cuenta corriente.

Valor. Como el grado de utilidad proporcionada por un bien o servicio para la satisfacción de las necesidades.

Valor amortizable. Valor de los elementos de activo fijo que se considera a la hora de determinar las cuotas de amortización de que es necesario dotar a cada ejercicio económico y por lo general con el costo de adquisición.

Valor contable. Valor que figura para un activo en los libros contables.

Valor de costo. Expresión que, de acuerdo al contexto en que se encuentre, se utiliza para indicar la idea de costo de adquisición.

Valor de liquidación. Valor que se obtendría por un determinado activo de una empresa en el supues-to que este se vendiese.

Valor de reposición. Precio de mercado que habría que pagar para sustituir determinado bien por otro de iguales características.

Vida útil. Estimación del tiempo lógico que se espera pueda estar en funcionamiento un elemento inmovilizado tanto material como inmaterial.

Tiempo. Número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

6.1 Sandra pide prestado la cantidad de $20 000.00, que se van a amortizar mediante seis pagos mensuales vencidos, si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente. Encontrar de cuánto es el abono mensual.

6.2 El centro de lavado “Hernán”, realizó la compra de una compresora para agua, la cual tiene un precio de contado de $46 000.00. El administrador del negocio solo cuenta con $18 000.00, esta cantidad le sirve para realizar el engan-che del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando realizar cinco pagos mensuales, siendo la tasa de interés 24% anual capitalizable mensualmente.

a) Calcular el valor de la renta.

b) Construir una tabla de amortización.

c) ¿Cuánto pagó de intereses?

6.3 La costurera Juana Morales solicita un préstamo de $17 000.00 al Banco Invex, ella lo va a pagar en seis men-sualidades vencidas. Si la tasa de interés es de 26% capi-talizable mensualmente. Encontrar de cuánto es el abono mensual y construir una tabla de amortización.

6.4 El señor Abelardo Uscanga pide un préstamo $20 000 al Banco Nacional, él acuerda realizar pagos trimestrales,

duran te dos años, a una tasa de 29% capitalizable mensual-mente. Elaborar un cuadro de amortización.

6.5 El señor Ramón Valdez pidió prestado $18 000.00 al Banco Invex a pagar en abonos mensuales iguales durante cuatro años a una tasa de 9% capitalizable mensualmente. Calcular el interés total a pagar por el señor Valdez.

6.6 El dueño de una planchadora está pagando un prés-tamo de $8 000.00 por la compra de dos planchadoras de vapor, este se va amortizar con pagos mensuales iguales durante dos años a una tasa de interés de 25% capitaliza-ble mensualmente. Calcular el saldo insoluto después de cinco meses.

6.7 Mirtha Hernández compra una camioneta con un costo de $528 998.85; acuerda realizar seis pagos mensuales con una tasa de interés de 12% anual, el primero de los pagos se hace a fin de mes.

a) ¿Cuál es el valor de la renta?

b) Construir una tabla de amortización.

c) Indicar los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor.

UNIDAD 6Problemas para resolver

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242

Problemas para resolverUNIDAD 6

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (sin incluir el iva)*

$4 995.00

Placas** $ 1 650.00

Gestoría $ 850.00

Verificación (calcomanía doble cero)en el D.F.** $ 385.00

* Cada estado de la República tiene un porcentaje diferente, en el D.F. y en algunos de los estados no se cobra.

** Cada estado de la República tiene un costo diferente.

6.13 Una mueblería en el mes de julio ofrece una promo-ción de compre ahora y realice su primer pago el último día de enero del año entrante y los siguientes seis pagos en los meses subsecuentes con una tasa de interés de 24% capita-lizable mensualmente. El señor Suárez compra una sala con valor de $16 000.00 el último día de septiembre. Encontrar el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de amortización.

6.14 El doctor Gabriel Urquiza compró una casa hace dos años como regalo de bodas para cuando su única nieta de-cidiera casarse. El valor del inmueble era de $2 000 000.00 y $300 000.00 en gastos fijos (escrituración, avalúo, entre otros). El doctor Urquiza dio de enganche 40% del valor de la casa y el 60% restante, lo pagaría con un crédito hipoteca-rio otorgado por banco Inbursa durante cinco años de plazo contados desde el día de la compra en abonos mensuales vencidos. El día de hoy su nieta le da la noticia que se va a casar. El doctor Urquiza quiere saber en realidad cuánto le está dando de regalo a su nieta con la casa. La tasa de inte-rés que le cobran es de 10.5% anual capitalizable mensual-mente. El valor del inmueble aumentó 0.5% mensual con la inflación. Su nieta y su futuro esposo después de una larga plática acordaron seguir pagando la casa durante los próxi-mos tres años hasta liquidar el préstamo.

6.15 El arquitecto Zúñiga compró el 6 de enero de 2015 una computadora de $22 500.00; acuerda pagar mediante nueve pagos mensuales, para los primeros cinco meses se aplica una tasa de interés de 18% y en los últimos cuatro una tasa de 24%, ambas con capitalización mensual y si además debe amortizarse una novena parte de la deuda por pago. ¿Cómo serán sus pagos y la amortización de esta deuda?

Construir un cuadro de amortización que muestre los cam-bios en las tasas de interés considerando una amortización constante.

6.16 La señora Julia Jiménez compra un refrigerador de $11 499.00 más iva, la señora Jiménez acuerda realizar seis pagos mensuales en udi con una tasa de interés de 21% anual capitalizable cada mes. El primero de los pagos se hace al final del mes, si en el momento en que se celebra la operación el valor de las udi es de $4.971272 y se estima una inflación mensual de 0.48% calcule el pago mensual en pesos. ¿Cuál es el valor de la renta (el pago mensual)?

6.17 La dueña de un molino de nixtamal obtiene un prés-tamo de $1 250 000.00, el cual debe liquidar en una sola exhibición dentro de cinco años. Por lo que decide realizar reservas anuales iguales con el objetivo de pagar la deuda

6.8 El dueño de una ferretería adquiere una deuda de $95 000.00 por la compra de mercancía, la tasa de interés es de 20% convertible semestralmente y se acordó liquidar en seis pagos semestrales al final de cada semestre.

a) Calcular el valor de la renta.

b) Construir una tabla de amortización.

c) Indicar los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor en el segundo mes.

6.9 El señor Gómez adquiere un departamento en condo-minio valuado en $1 600 000.00, por el cual paga un engan-che de $400 000.00. El resto se financia con préstamo de Banco Ixe a 20 años, con tasa de interés de 8.75% converti-ble mensualmente. Calcular:

a) El valor de los pagos mensuales.

b) El saldo insoluto al final de los ocho años.

6.10 La dueña de un restaurante compró mesas y sillas a crédito para su negocio, el valor del mobiliario de contado era de $89 500.00. Ella dio de enganche 15% del valor del mobiliario y acordó realizar 36 abonos al final de cada mes, la tasa de interés que cobra el Banco Inbursa es de 24% ca-pitalizablemente mensualmente. ¿Qué proporción del saldo habrá amortizado exactamente al realizar el décimo quinto abono mensual?

6.11 Una pareja adquirió un condominio valuado en $1 600 000.00 el 1 de marzo del año 2014, por el cual dieron 25% de enganche El resto se financia con crédito hipoteca-rio de Banco HBC a 20 años, con tasa de interés de 8.75% convertible mensualmente sobre el saldo, iniciando en el mes de abril del mismo año. El préstamo se amortizará con pagos al final de cada mes. Calcular:

a) El valor de los pagos mensuales.

b) ¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su decla-ración anual de persona física del año pasado? El tiem-po límite que tiene para realizar su declaración es el día 30 de abril del presente año.

6.12 Construir un cuadro de amortización que incluye el cálculo del iva (16%) con un plan de financiamiento por dos años para la compra de un automóvil Sedán.

Cuadro 6.34 Amortización con iva de un plan de financiamiento por dos años para la compra de un auto

El precio de lista (incluye el iva) $ 143 000.00

La inversión inicial mínima (enganche) 35% - $ 50 050.00

Comisión por apertura de créditoPago que debe efectuarse al contado (incluye el iva)

+ $ 1 850.00

Seguro de cobertura ampliaSe debe pagar de contado por un año (incluye gastos de expedición e iva) más un año gratis

+ $ 8 300.00

Tasa de interés fija 12% anual

Monto a financiar $ 103 100.00

Otros gastos

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243Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

en $3 500.00. Ella considera una tasa de depreciación de 6% anual y una tasa de inflación de 1.1% por bimestre.

6.24 La empresa de fertilizantes compra equipo de cómpu-to con valor de $190 000.00. La empresa estima la vida útil de este activo en cinco años y un valor de desecho de $15 000.00. Elaborar un cuadro de depreciación por el mé-todo de suma de dígitos.

6.25 El dueño de un balneario, en el estado de Morelos, compra una caldera para calentar el agua de las albercas que tiene un costo de $3 700 000.00. Estima una vida útil de seis años y un valor de salvamento de $750 000.00. Elaborar el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma de dígitos.

6.26 Una consultoría de contadores adquiere una camione-ta de carga con un costo de $480 000.00 y espera que la vida útil del automóvil sea de 150 000 kilómetros, el valor de desecho del automóvil será de $122 000.00. El kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años es de:

Año Kilómetros

1 50 000

2 58 000

3 52 000

Total 160 000

a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido.

b) Construir el cuadro de depreciación.

6.27 La Universidad Autónoma de Tonalá compró equi-po de aire acondicionado para sus oficinas con valor de $798 400.00, estiman un tiempo de vida útil de cinco años, al cabo de los cuales el valor de desecho será $180 000.00. Los cargos por depreciación anual se invierten en un fon-do de reserva de depreciación que paga un interés de 8% anual. Calcular:

a) La base de depreciación.

b) El cargo anual por depreciación.

c) Elaborar una tabla de depreciación.

6.28 Un gimnasio compró 30 colchones, para sus salas de gimnasia con valor de $680 000.00. Con la experiencia que tiene el área de mantenimiento se estima una vida útil pro-medio de ocho años y ningún valor de desecho (cero pesos). Se sabe que la tasa promedio de interés es de 10% anual. Construir un cuadro de depreciación utilizando el método de fondo de amortización.

a su vencimiento mediante un fondo de inversión bancario con 9% de interés anual.

6.18 El psicólogo Diego Tovar debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $980 500.00, por la compra de un local comercial y para tener el dinero en la fecha de liquidación decide realizar depósitos mensuales en una cuenta de inver-sión que paga 12% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos en su cuenta de inversión? Construir un cuadro que muestre la forma en la que se acu-mula el fondo.

6.19 ¿Cuántos depósitos debe realizar la doctora Valeria Escalona si desea comprar de contado una cama de explo-ración de $13 800.00 para su consultorio? Para lograr esta compra, la doctora Escalona deposita al principio de cada mes en la cuenta de inversión la cantidad de $665.74; si el banco paga una tasa de interés de 9% convertible quince-nalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para poder rea-lizar la compra de la cama de exploración?

6.20 La fábrica Plásticos de México, S.A., compra equipo por valor de $150 000.00. El administrador espera que la vida útil del equipo sea de 12 años con un valor de desecho de $10 000.00.

a) Encontrar la base de depreciación.

b) Calcular la depreciación anual.

c) Valor de reemplazo.

d ) Construir el cuadro de depreciación.

e) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros.

f ) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumula da.

6.21 El ingeniero Andrés Martínez desea vender una gón-dola de carga después de ocho años de uso que le costó $2 600 000.00. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 0.8% mensual, el ingeniero considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 10% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.

6.22 La Distribuidora Vidrio Sacro desea vender mobiliario después de cinco años de uso que le costó $250 000.00. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 7% anual. El administrador considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 13% anual. Elaborar el cuadro de de-preciación por el método de porcentaje fijo.

6.23 Encontrar el precio original de un comedor que se com-pró hace 10 años; la hija de la señora Gema lo desea vender

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244

Amortización y depreciaciónUNIDAD 6PROBLEMAS RETO

El contador Quintero compró un librero para su consultoría con valor de $6 000.00 y acuerda con la mueblería realizar seis pagos mensuales iguales vencidos.

a) Encontrar el abono mensual si la tasa de interés es de 33% capitalizable mensualmente.

b) Construir el cuadro de amortización.

La fábrica Textil Tacoma, S.A., adquirió un telar y estima que su vida útil sea de cinco años. El ingeniero de producción propone al administrador crear un fondo de amortización con el ob-jetivo de reemplazar el equipo al final de los cinco años. Los depósitos se realizarían al final de cada año, con interés de 9.6% anual. Se estima que el costo del telar dentro de cinco años sea de $1 442 740.00. Calcular el valor del depósito y construir el cuadro de capitalización.

La maestra Carmen Márquez compró un departamento para rentarlo; el inmueble está va-luado en $530 000.00 y pagó $159 000.00 de enganche. Cuando la maestra compró al issste el departamento este le otorgó un crédito hipotecario por 20 años para pagar su saldo. El interés es de 18% capitalizable cada mes.

a) ¿Cuál es el valor del pago mensual?

b) Elaborar el cuadro de amortización para los primeros ocho meses.

La escuela secundaria número 22 Enrique O. Aragón, en el Distrito Federal, compró una esterilizadora con valor de $3 100.00, que se pagará de la manera siguiente: cuatro pagos quincenales iguales y $1 000.00 que se entregarán junto con el último pago. La tasa de inte-rés es de 10% anual capitalizable quincenalmente.

a) Calcular el pago quincenal.

b) Construir una tabla de amortización.

La panadería La Viga compra un horno para pan con un precio de lista de $90 000, el cual debe amortizarse mediante seis pagos bimestrales vencidos. Los tres primeros pagos son de $15 000.00 cada uno, el cuarto y quinto pagos son de $20 000.00 cada uno. Utilizando el cuadro de amortización encontrar el valor del último pago, si la tasa pactada es de 4.5% capitalizable bimestralmente.

1

2

3

4

5

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UNIDAD 7

Análisis de proyectos de inversión

OBJETIVOS

Conocer, entender y aplicar la metodología empleada en el ámbito financiero para realizar el análisis de un proyecto de inversión.

Determinar mediante el análisis de los flujos de efectivo de un proyecto su viabilidad financiera.

Seleccionar de un conjunto de proyectos de inversión, aquel que represente la mejor opción para el inversionista.

Aplicar los conocimientos en matemáticas financieras sobre el cálculo del valor presente en la metodología denominada Valor Actual Neto (van).

Aplicar el método del costo de capital (tir) para calcular el valor presente de un proyecto de inversión.

Aplicar las herramientas básicas de matemáticas financieras en el análisis de los proyectos de inversión para determinar su viabilidad y con ello tomar una decisión adecuada de inversión.

¿QUÉ SABES?

¿Sabes qué significa el término proyecto de inversión?

¿Qué entiendes por un flujo de efectivo?

¿Cuándo se presenta la viabilidad financiera de un proyecto?

¿Cuál es el valor actual de $100 000 que me darán dentro de cinco años, si la tasa de interés actual en el mercado es de 5.5%?

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246

Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7 ¿Qué es el valor presente de una inversión (van)?

¿Qué entiendes por costo de capital?

¿Cómo se calcula el van de un proyecto?

7.1 Introducción

Los proyectos de inversión se inician con la idea de aumentar la riqueza de un inversionista o el accio-nista de una empresa, mediante la elaboración de un producto o servicio nuevo o la mejora de un pro-ducto o servicio existente. Los proyectos de inversión se analizan como una secuencia de decisiones, que empiezan con el concepto original (la idea nueva o su mejora), la recolección de la información apropiada para estimar los costos y beneficios obtenidos al realizar el proyecto, así como el diseño de una estrategia óptima para establecerlo formalmente a lo largo del tiempo. (Bodie y Merton, 2003)

Un proyecto de inversión

■ Debe analizarse siempre como una secuencia de decisiones.

Brojt (2007) indica que las principales actividades que un analista debe realizar al evaluar un proyecto, independientemente de su complejidad, son las siguientes.

■ Definir los objetivos del proyecto

■ Definir los alcances y supuestos

■ Definir la propuesta de cambio (modelo conceptual)

■ Metodología

■ Organigrama

■ Cronograma

■ Identificación de riesgos

■ Justificación económica (análisis de la inversión)

■ Acciones para su rápida implementación

Con base en estas ideas, podemos decir que el análisis de un proyecto de inversión no es más que un estudio económico que permite definir, para un inversionista o accionista, si su riqueza aumentará al valorar en el presente, si los flujos de efectivo positivos (ingresos, utilidades) superarán el valor presen-te de los flujos negativos o desembolsos (inversión inicial, gastos o costos) durante la vida del proyecto en el que ha pensado invertir (figura 7.1).

1 2 3 4

+Ingresos del proyecto

- Gastos o costos del proyecto

- Inversión inicial

Periodos de vida del proyecto

Figura 7.1

En la figura 7.1, por convención para los gráficos de tiempo de flujo de efectivo en este capítulo, las flechas hacia arriba (vectores positivos) indican entradas de recursos económicos producto de la inver-sión realizada (ingresos por venta del producto o servicio del proyecto, intereses, utilidades, etcétera),

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247

y las flechas hacia abajo (vectores negativos) indicarán los desembolsos (inversión inicial, gastos, costos o nuevas inversiones) del proyecto en los distintos periodos de su vida. Pero también pueden ser igua-les a cero, cuando en un periodo no se presentan ni ingresos ni egresos. En estos gráficos, los flujos de efectivo se registran al final del año o del periodo en que se realizan, a menos que se indique lo contrario. Como se observa, un proyecto genera un flujo de efectivo (entradas y salidas de efectivo) el cual primero debe ser estimado y luego evaluado económicamente; esto para indicar al inversionista, si es conveniente invertir su dinero en el proyecto.

En el gráfico de flujo de efectivo

■ Una entrada de recursos económicos se expresa con una flecha ha-cia arriba.

■ Una salida de recursos económicos se expresa con una flecha hacia abajo.

Por ejemplo, suponga que una compañía que quiere producir un nuevo detergente para el mercado mexicano, piensa colocar en una de sus plantas una nueva línea de producción. Los inversionistas en el proyecto deben aportar 500 000 dólares para llevar a cabo este nuevo producto al mercado. Las pre-guntas, de los inversionistas, serían: ¿este nuevo producto tiene en México un mercado suficiente?, ¿es la inversión realizada recuperable?, ¿qué utilidad genera esta inversión?, ¿invierto o no mi dinero en el proyecto? Es, precisamente un análisis del proyecto lo que le permite al inversionista tomar una decisión.

7.2 Metodologías de evaluación de inversiones

Existen en la literatura diversas metodologías para evaluar financieramente los flujos de efectivo que se producen al realizar un proyecto. El manual para la preparación de estudios de viabilidad industrial de las Naciones Unidas (1978) propone como criterios de rentabilidad comercial, los siguientes.

■ El cálculo del valor neto actual (valor presente neto)

■ La tasa interna de rendimiento (tir)

■ El periodo de reembolso

■ La tasa sencilla de rendimiento

■ Análisis de umbral de rentabilidad

■ Análisis de sensibilidad

Por otro lado, el Centro de Desarrollo de la Organización para la Cooperación Económica y el Desarro-llo (1974), con sede en París, propone lo siguiente.

■ El criterio del beneficio actualizado (valor presente neto)

■ La tasa media (o interna) de rentabilidad (tir)

■ El periodo de recuperación

■ Los criterios de rentabilidad derivados del análisis contable

Todos estos métodos tienen como objetivo para un empresario, inversionista o accionista de una empre-sa mostrar el rendimiento financiero del capital invertido; es decir, las utilidades que se logran al realizar una inversión en un proyecto específico. En otras palabras, el análisis de proyectos, o de la rentabilidad de proyectos, consistirá en determinar la relación entre las utilidades obtenidas y el capital invertido.

Para el Centro de Desarrollo de la Organización para la Cooperación Econó-mica y el Desarrollo los criterios de evaluación de un proyecto más usados son los siguientes.

■ El criterio del beneficio actualizado (valor presente neto)

■ La tasa media (o interna) de rentabilidad (tir)

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248

Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7Como ya indicamos, todos los cálculos financieros en estos métodos se fundamentan en los precios de mercado previstos para los insumos y productos. Asimismo, estos se hacen ex ante “antes del suceso” (por definición), siempre al final de cada año (o periodo de evaluación) y de preferencia para toda la duración del proyecto.

Dos de estos métodos son los más utilizados en la actualidad dentro del ambiente empresarial en México. El cálculo del valor neto actual, valor presente neto o valor actual neto y el método de la tasa interna de rendimiento, también conocido como tir.

7.3 Método del valor actual neto (van)

El valor actual neto (Net Present Value, npv) de un proyecto es el monto al que se espera que aumente la riqueza de los inversionistas al realizar sus inversiones en el proyecto.

El van de un proyecto se define como el valor obtenido actualizado, separado para cada año (o periodo de vida del proyecto), la diferencia entre todas las entradas (ingresos) y salidas (egresos) de efectivos que se suceden durante la vida de un proyecto a una tasa de interés fija predeterminada. Esta diferencia se actualiza hasta el momento en que se supone se iniciará la ejecución del proyecto. (NU, 1978)

Si consideramos a las entradas o ingresos del proyecto como Ij, para toda j que se producen del periodo 1 a n; y a Ej, como los egresos o salidas que se producen del periodo 1 al n; así como a In I como la inversión inicial del proyecto, dada una tasa de interés fija i previamente establecida. Enton-ces, matemáticamente el van puede expresarse como sigue:

II E

i

I E

i

I E

i

I E

in n

nIn

( )

(1 )

( )

(1 )

( )

(1 )

( )

(1 )VAN

1 11

2 22

3 33

�= − +−

++

++

++ +

+

O bien

I E

iI

j j

jj

n ( )

(1 )InVAN

1∑=

+−

=

En la figura 7.2 se indica el procedimiento de actualización (dada una tasa de interés fija i ) al periodo cero (0), o periodo en donde inicia la inversión en el proyecto (In I ), de todos los ingresos (entradas) y egresos (salidas) de efectivo que produce el proyecto durante sus “n” periodos de vida. En dicho periodo (cero) obtenemos precisamente el van del proyecto.

1 2 3 n0

I1 I

2 I

3 I

n

E1 E

2 E

3 E

n

van

In I

Figura 7.2

En este método de análisis, la tasa de actualización (o nivel de rechazo) debe ser igual a la de interés actual sobre préstamos a largo plazo en el mercado de capitales o a la de interés pagada por el pres-tatario. Esta tasa de actualización debe reflejar el costo de oportunidad de capital, es decir, el posible rendimiento de la misma cantidad de capital invertida en otro proyecto. Expresado de otra manera, esta sería una tasa de rendimiento mínima por debajo de la cual el empresario o inversionista considera que no le conviene invertir en el proyecto.

AlertaEl valor actual neto (Net Present Value, npv) de un proyecto es el monto al que se espera que aumente la riqueza de los inversionistas al realizar sus inversiones en el proyecto.

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249

Una vez que calculamos el van de un proyecto, debemos decidir si se invierte en él o no. Si el van es positivo, la rentabilidad de la inversión está por sobre la tasa de actualización o rechazo; si es cero, la rentabilidad será igual a la tasa de rechazo. Por tanto, un proyecto con un van positivo o cero puede considerarse aceptable. Si el van es negativo, la rentabilidad estará por debajo de la tasa de rechazo, por lo que ese proyecto debe descartarse.

Por otro lado, si el inversionista o empresario debe escoger entre diversas alternativas o proyec-tos, deberá optar por aquel proyecto o alternativa que genere mayor van.

Una de las grandes deficiencias de este método es la dificultad para seleccionar una tasa de actualización apropiada. Por otro lado, tampoco permite conocer la tasa de rentabilidad exacta del proyecto.

1. Una compañía ubicada en la zona industrial de Guadalajara desea ampliar su capacidad instalada para los próximos seis años. Por ello contrata una consultora para que realice el análisis de la in-versión. Los datos proporcionados a la compañía consultora son los siguientes.

■ El departamento de ingeniería ha establecido que la capacidad instalada máxima es de 120 000 unidades, las cuales podrán obtenerse de acuerdo con el siguiente programa de producción en la nueva línea como:

65% de la capacidad para los años 1 y 2

75% de la capacidad para los años 3 y 4

88% de la capacidad para los años 5 y 6

■ El precio actual de venta del producto es de $26. Este precio crece con el tiempo por efectos de la inflación 7% anual.

■ El costo del equipo y las nuevas instalaciones representan una inversión de $7 500 000. El equi-po y las instalaciones deben depreciarse linealmente.

■ El costo de la mano de obra es de $120 000 anuales para el primer año. Este costo se incre-menta anualmente 8%.

■ El costo de mantenimiento del equipo es de $25 000 durante los dos primeros años y de $30 000 los últimos cuatro.

■ Los costos administrativos de esta nueva línea ascienden a $100 000 anuales el primer año y se incrementan 8% anual.

■ La tasa impositiva para esta empresa es de 34%.

Mediante el método de van, la compañía consultora evaluará el proyecto, considerando que la tasa de rendimiento del mercado es de 15%.

Solución:

Primero se estima la oferta del producto considerando las condiciones establecidas por el departa-mento de ingeniería para los próximos seis años.

Estimación de producción

Año 1 2 3 4 5 6

Capacidad (porcentaje) 0.65 0.65 0.75 0.75 0.88 0.88

Producción (unidades) 78 000 78 000 90 000 90 000 105 600 105 600

Estimación de ventas

Precio (precio/unidad) 26 27.82 29.77 31.85 34.08 36.47

Ingresos ($) 2 028 000 2 169 960 2 679 066 2 866 601 3 598 922 3 850 846

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Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7Se calculan los costos asociados al proyecto y se elabora un flujo de caja del mismo. En el flujo de caja se determinan los ingresos y egresos que se producen en cada periodo (año): Ij - Ej. Con ello se obtiene el flujo de caja neto que debe actualizarse (llevarse al periodo 0) para obtener el van buscado.

Flujo de caja del proyecto

Periodos

Concepto 0 1 2 3 4 5 6

INGRESOS

Por ventas 2 028 000 2 169 960 2 679 066 2 866 601 3 598 922 3 850 846

EGRESOS 7 500 000 1 495 000 1 512 600 1 536 608 1 557 137 1 579 308 1 603 252

Inversión inicial 7 500 000

Mano de obra 120 000 129 600 139 968 151 165 163 259 176 319

Mantenimiento 25 000 25 000 30 000 30 000 30 000 30 000

Costos administrativos 100 000 108 000 116 640 125 971 136 049 146 933

Depreciación 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000

Flujo de fondos antes de impuestos -7 500 000 533 000 657 360 1 142 458 1 309 464 2 019 614 2 247 594

-Impuestos -181 220 -223 502 -388 436 -445 218 -686 669 -764 182

+Depreciación 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000

FLUJO DE CAJA NETO -7 500 000 1 601 780 1 683 858 2 004 022 2 114 246 2 582 945 2 733 412

VALOR ACTUAL NETO 158 504

VAN = − ++

+7 500 0001 601 780

1 0 15

1 683 858

11

( )

( . )

( )

( +

++

++

+0 15

2 004 022

1 0 15

2 114 246

1 0 1

2 3. )

( )

( . )

( )

( . 5

5

2 582 945

1 0 15

2 733 412

1 0 15

4

5 6

)

( )

( . )

( )

( . )+

++

+= 1

158 504

En Excel, el cálculo del van se realiza en la hoja empleando la siguiente función:

= Inversión Inicial + vna(tasa de descuento, flujo de caja neto del proyecto)

En el ejemplo, la inversión inicial se ubicó en la celda (C30) y el flujo de caja neto del proyecto de las cel-das (D30 a I30), por lo que el cálculo estaría definido en la celda (C32) como: = C30+VNA(0.15,D30:I30).

Dado que la rentabilidad de la inversión, para este ejemplo, está por encima de la tasa de actuali-zación o rechazo (15%), se genera un van positivo, la empresa deberá invertir en el proyecto.

2. Una empresa, establecida en la ciudad de Monterrey, fabrica herramientas y desea aumentar su producción. Para ello tiene dos alternativas. Puede duplicar su capacidad instalada con equipo semiautomático o bien comprar equipo automático moderno.

El departamento de ingeniería de la empresa ha estudiado el problema y prefiere comprar el equipo automático. El gerente de finanzas, al revisar los datos, ha encontrado que los costos de inversión se duplican si se adquiere el equipo automático. Esto es fundamental dado el nivel de endeudamiento de la empresa.

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251

Las dos alternativas de inversión tienen las siguientes características de costos.

Concepto Equipo automático Equipo semiautomático

Inversión ($) 2 000 000 1 000 000

Costo anual de operación ($) 200 000 410 000

Vida útil (años) 6 6

Depreciación ($) 333 333 166 667

Costo total anual ($) 533 333 576 667

Producción anual (unidades) 10 000 10 000

Costo unitario ($/uni ) 53.33 57.66

El estado de Nuevo León no aplica tasa impositiva a estas nuevas inversiones y allí la inflación es con-siderada como cero.

Finanzas evalúa ambas alternativas con una tasa de descuento de 10% anual y considera que am-bos equipos tienen un valor nulo de salvamento.

Solución:

Primero construimos un flujo de caja para cada alternativa de inversión. Posteriormente calculamos su van.

Flujo de caja del equipo automático

Periodos

Concepto 0 1 2 3 4 5 6

INGRESOS 0 0 0 0 0 0

EGRESOS 533 333.00 533 333.00 533 333.00 533 333.00 533 333.00 533 333.00

Inversión inicial -2 000 000

Costos de operación 200 000 200 000 200 000 200 000 200 000 200 000

Depreciación 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333

Flujo de fondos antes de impuestos -2 000 000 -533 333 -533 333 -533 333 -533 333 -533 333 -533 333

-Impuestos 0 0 0 0 0 0

+Depreciación 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333

FLUJO DE CAJA NETO -2 000 000 -200 000 -200 000 -200 000 -200 000 -200 000 -200 000

VALOR ACTUAL NETO -2 871 052

2 000 000( 200 000 )

(1 0.10 )

( 200 000 )

(1 0.10 )

( 200 000 )

(1 0.10 )

( 200 000 )

(1 0.10 )

( 200 000 )

(1 0.10 )

( 200 000 )

(1 0.10 )2 871 052

VAN1 2 3 4

5 6

= − +−

++

++

++

+

+−

++

+= −

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252

Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7En Excel:

=C29+VNA(0.1,D29:I29)

Flujo de caja del equipo semiautomático

Periodos

Concepto 0 1 2 3 4 5 6

INGRESOS 0 0 0 0 0 0

EGRESOS 576 667.00 576 667.00 576 667.00 576 667.00 576 667.00 576 667.00

Inversión inicial -1 000 000

Costos de operación 410 000 410 000 410 000 410 000 410 000 410 000

Depreciación 166 667 166 667 166 667 166 667 166 667 166 667

Flujo de fondos antes de impuestos -1 000 000 -576 667 -576 667 -576 667 -576 667 -576 667 -576 667

- Impuestos 0 0 0 0 0 0

+ Depreciación 166 667 166 667 166 667 166 667 166 667 166 667

FLUJO DE CAJA NETO -2 785 657 -410 000 -410 000 -410 000 -410 000 -410 000 -410 000

VALOR ACTUAL NETO -2 871 052

2 000 000( 410 000 )

(1 0.10 )

( 410 000 )

(1 0.10 )

( 410 000 )

(1 0.10 )

( 410 000 )

(1 0.10 )

( 410 000 )

(1 0.10 )

( 410 000 )

(1 0.10 )2 785 656

VAN1 2 3 4

5 6

= − +−

++

++

++

+

+−

++

+= −

En Excel:

=C49+VNA(0.1,D49:I49)

Como puede observarse, dado que no se reportan ingresos para estas alternativas, el análisis debe realizarse mediante los costos que presentan. El equipo automático representa un mayor costo en va-lor actual (-$2 871 052) que el semiautomático (-$2 785 656); por lo que, con base en esto, la dirección de la empresa debe seleccionar la inversión correspondiente al equipo semiautomático. Al seleccionar esta inversión se obtiene un ahorro en costos de $85 396.

7.4 Método de la tasa interna de rendimiento (tir) o costo de capital

El costo de capital es la tasa de descuento i ajustada al riesgo que se usa para calcular el valor presente neto de un proyecto. En general, la forma de manejar la incertidumbre de los fondos de efectivo fu-turos es usar una tasa de descuento mayor a la que existe en el mercado. (Bodie y Merton, 2003:172)

La tasa de descuento (i ) o tasa interna de rendimiento (tir) es, como ya indicamos, la tasa de ac-tualización a la cual el valor actual de los ingresos en efectivo es igual al valor actual de las salidas en efectivo de un proyecto. Es decir, es la tasa a la cual el valor actual de lo producido por el proyecto es igual que el valor actual de la inversión, esto es, el valor actual neto del proyecto es cero.

En este método se puede emplear el mismo cuadro de flujo de fondos que se emplea en el mé-todo del valor actual neto, pero en vez de actualizar los flujos o corrientes de liquidez a una tasa de

AlertaLa tir es la tasa de actualización a la cual el valor actual de los ingresos de efectivo es igual al valor actual de las salidas de efectivo de un proyecto.

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253

descuento (rechazo) predeterminada, se pueden probar varias tasas de actualización, hasta que se encuentre la que tenga como van cero. Esta tasa será la tir y representará la rentabilidad exacta del proyecto. (NU, 1978:190)

Matemáticamente, la tir es la tasa de descuento (i ) que permite un van = 0.

�= − +−

++

++

++ +

+I

I E

i

I E

i

I E

i

I E

in n

n0 In

( )

(1 )

( )

(1 )

( )

(1 )

( )

(1 )1 1

12 2

2

3 3

3

Es decir,

II E

i

I E

i

I E

i

I E

in n

nIn

( )

(1 )

( )

(1 )

( )

(1 )

( )

(1 )1 1

12 2

23 3

3�=

++

++

++ +

+

o bien,

∑=−

+=I

I E

i

j j

jj

n

In( )

(1 )1

Donde:

In I: es la inversión inicial del proyecto

Ij: son las entradas o ingresos que produce el proyecto en el periodo j (j = 1, 2, 3, ..., n)

Ej: son las salidas o egresos que produce el proyecto en el periodo j ( j = 1, 2, 3, …, n)

i: tasa de descuento ajustada al riesgo.

El procedimiento de cálculo de la tir se inicia con la construcción de un cuadro de flujo de fondos del proyecto. Se usa una tasa de actualización estimada para obtener un primer van. Si es positivo, se aplicará una tasa de actualización mayor. Si es negativo, la tir se encontrará entre estas dos tasas. En el caso de que la tasa de actualización mayor todavía dé un van positivo, se debe aumentar la tasa de actualización hasta que el van pase a ser negativo. (NU, 1978:190-191)

Si los van positivos y negativos se acercan a cero, debe emplearse la siguiente fórmula de inter-polación lineal:

iVP i i

VP VNTIR

( )1

2 1= +−

+

Donde:

VP: es el van positivo a la tasa de actualización baja de i1 VN: es el van negativo a la tasa de actualización alta de i2

3. Con los datos del ejemplo 1 determine la tasa interna de rendimiento de ese proyecto.

Flujo de caja del proyecto

Periodos

Concepto 0 1 2 3 4 5 6

INGRESOS 0 0 0 0 0 0

Por ventas 2 028 000 2 169 960 2 679 066 2 866 601 3 598 922 3 850 846

EGRESOS 7 500 000 1 495 000 1 512 600 1 536 608 1 557 137 1 579 308 1 603 252

Inversión inicial 7 500 000

Mano de obra 120 000 129 600 139 968 151 165 163 259 176 319

Mantenimiento 25 000 25 000 30 000 30 000 30 000 30 000

Costos administrativos 100 000 108 000 116 640 125 971 136 049 146 933

Depreciación 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000

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254

Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7

Debemos buscar una tasa de descuento que produzca un van = 0.

i i i i

i i

7 500 000(1 601 780 )

(1 )

(1 683 858 )

(1 )

( 2 004 022 )

(1 )

( 2 114 246 )

(1 )

( 2 582 945 )

(1 )

( 2 733 412 )

(1 )

1 2 3 4

5 6

=+

++

++

++

++

++

Para una i1 de 15% el van es: 158 504

Para una i2 de 16% el van es: -64 521

La tir por lo tanto debe estar entre 15 y 16%. Interpolando:

iVP i i

VP VNTIR

( )1

2 1= +−

+

0.15158 504( 0.16 0.15 )

158 504 64 5210.157107TIR = +

−+

=

Es decir, la tir para este proyecto es de: 15.7107%.

Por otro lado, el cálculo en Excel se efectúa mediante la siguiente función:

=TIR(flujo de caja neto)

En el ejemplo, el flujo de caja neto se ubica de las celdas C30 a I30, por lo que la función se define como:

=TIR(C30:I30)

TIR = 15.705982%

La diferencia en los cálculos se debe a que Excel, por lo general, usa 15 decimales para realizar los cálculos.

La rentabilidad exacta de este proyecto es de 15.705982%.

4. Con los datos del ejemplo 2 determine las tir de las opciones de inversión.

■ Equipo automático

i i i i

i i

2 000 000( 200 000 )

(1 )

( 200 000 )

(1 )

( 200 000 )

(1 )

( 200 000 )

(1 )

( 200 000 )

(1 )

( 200 000 )

(1 )

1 2 3 4

5 6

=−

++

++

++

+

+−

++

+

tir = -12.8949%

En Excel:1 =TIR(C29:I29)

Flujo de fondos antes de impuestos -7 500 000 533 000 657 360 1 142 458 1 309 464 2 019 614 2 247 594

-Impuestos -181 220 -223 502 -388 436 -445 218 -686 669 -764 182

+Depreciación 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000

FLUJO DE CAJA NETO -7 500 000 1 601 780 1 683 858 2 004 022 2 114 246 2 582 945 2 733 412

VALOR ACTUAL NETO 158 504

1El valor de la inversión inicial debe tener signo positivo.

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255

■ Equipo semiautomático

i i i i

i i

1 000 000( 410 000 )

(1 )

( 410 000 )

(1 )

( 410 000 )

(1 )

( 410 000 )

(1 )

( 410 000 )

(1 )

( 410 000 )

(1 )

1 2 3 4

5 6

=−

++

++

++

+

+−

++

+

tir = 33.8798%

En Excel:2 =TIR(C49:I49)

Puesto que el equipo semiautomático genera una tasa de rendimiento positiva, esta será la alternativa en donde debemos invertir.

7.5 Análisis de inversiones con van y tir

El uso de ambos métodos al analizar un proyecto de inversión se mostrará mediante el siguiente ejemplo.

Un proyecto es viable si su van es positivo y si su tir es mayor a la tasa de interés ofrecida en el mercado.

Una compañía en México que vende cremas corporales para humectar la piel quiere reemplazar un producto Lubripiel por un nuevo producto Superhumectante. La producción de Lubripiel cesará de to-das formas al final del año, esto debido a que las condiciones de mercado han cambiado. En el nuevo producto, la compañía ha gastado $65 000 en investigación y desarrollo, por lo que se espera iniciar la producción dentro de un año.

Las estimaciones de Superhumectante para los próximos años son: 5 000 unidades anuales en los primeros tres años y 4 000 unidades anuales en los últimos dos años de este proyecto.

Los departamentos de ingeniería y mercadotecnia han estimado los siguientes ingresos y costos unitarios, a precios corrientes de hoy.

Superhumectante

Precio de venta unitario ($) 35.00

Costo unitario ($)

Mantenimiento 1.20

Materia prima 8.00

Mano de obra 6.00

Depreciación 10.00

Otros costos 9.00

Costo total unitario 34.20

Utilidad/unidad 0.80

■ Mano de obra

Cada unidad de producto requiere de dos horas de trabajo a un costo de $3 por hora.

La empresa tiene seis operarios que trabajan en la actualidad en la línea de producción de Lubri-piel. Si se decide no producir el nuevo humectante, todos los trabajadores deberán ser liquidados con base en lo establecido en la ley. Pero si se decide producir Superhumectante, tres de estos empleados deberán ser liquidados al final del tercer año. El costo de liquidación es el equivalente a 1 000 horas de trabajo.

2El valor de la inversión inicial debe tener signo positivo.

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256

Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7 ■ Inversión inicial

El equipo e instalaciones necesarias para producir el nuevo humectante requieren de una inversión de $200 000. La vida útil de esta línea de producción es de cinco años y no tiene valor de salvamento. Su mantenimiento es anual, y solo el primer año cuesta $6 000; pero este costo crece anualmente con la inflación. El modelo de depreciación empleado por la empresa es la depreciación lineal.

■ Los costos variables por unidad son de $4.00 y los costos administrativos fijos $5.00 por unidad.

Los costos laborales se estima crecerán a 10%. Todos los otros costos e ingresos crecerán de acuerdo con una tasa estimada promedio de inflación de 5%.

La tasa impositiva al ingreso neto es de 40%, una vez deducida la depreciación, y debe ser pagada en el año que se causa.

La compañía tiene acceso a fondos a 10% anual nominal.

Si suponemos que todos los flujos ocurridos en cada año se producen al final del año respectivo, estime el Valor Actual Neto del proyecto bajo los supuestos enunciados y determine cuál es el costo de capital del proyecto.

Solución:3

Primeramente, se estiman los ingresos esperados a partir del primer año de producción.

Ingresos 0 1 2 3 4 5

Precio/unidad 35 36.75 38.59 40.52 42.54 44.67

Venta esperada

Unidades 5 000 5 000 5 000 4 000 4 000

$ 183 750.00 192 937.50 202 584.38 170 170.88 178 679.42

Si se inicia la producción del nuevo humectante el primer año se tiene un ahorro de $19 800, debido a que no se liquidarán seis empleados.

Se estiman los costos de producción anuales.

EGRESOS 0 1 2 3 4 5

Costos ($)

Materia prima 8.00 8.40 8.82 9.26 9.72 10.21

Materia prima para producción 42 000.00 44 100.00 46 305.00 38 896.20 40 841.01

Mano de obra 6.00 6.60 7.26 7.99 8.78 9.66

Mano de obra para producción 33 000.00 36 300.00 39 930.00 35 138.40 38 652.24

Liquidación de personal 10 418.63

Mantenimiento 6 000.00 6 300.00 6 615.00 6 945.75 7 293.04

Costo variable/u 4.00 4.20 4.41 4.63 4.86 5.11

Costo variable/u para producción 21 000.00 22 050.00 23 152.50 19 448.10 20 420.51

Costo administrativo/u 5.00 5.25 5.51 5.79 6.08 6.38

Costo administrativo para producción 26 250.00 27 562.50 28 940.63 24 310.13 25 525.63

Depreciación 40 000.00 40 000.00 40 000.00 40 000.00 40 000.00

3Los cálculos de este problema se efectuaron en una hoja electrónica de cálculo. En los flujos de caja solo se reportan dos decimales, por lo que los resultados finales pueden variar.

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257

Se elabora el flujo de caja del proyecto.

Flujo de caja del proyecto

Periodos

Concepto 0 1 2 3 4 5

INGRESOS 203 550.00 192 937.50 202 584.38 170 170.88 178 679.42

Ventas 183 750.00 192 937.50 202 584.38 170 170.88 178 679.42

Ahorro por no liquidación 19 800.00

EGRESOS 200 000.00 162 250.00 170 012.50 188 746.75 157 792.83 165 439.39

Inversión 200 000.00

Materia prima para producción 42 000.00 44 100.00 46 305.00 38 896.20 40 841.01

Mano de obra para producción 33 000.00 36 300.00 39 930.00 35 138.40 38 652.24

Liquidación de personal 10 418.63

Costo variable/u para producción 21 000.00 22 050.00 23 152.50 19 448.10 20 420.51

Costo administrativo para producción 26 250.00 27 562.50 28 940.63 24 310.13 25 525.63

Depreciación 40 000.00 40 000.00 40 000.00 40 000.00 40 000.00

Flujo de fondos antes de impuestos -200 000.00 41 300.00 22 925.00 13 837.63 12 378.05 13 240.03

-Impuestos -16 520.00 -9 170.00 -5 535.05 -4 951.22 -5 296.01

+Depreciación 40 000.00 40 000.00 40 000.00 40 000.00 40 000.00

FLUJO DE CAJA NETO -200 000.00 64 780.00 53 755.00 48 302.58 47 426.83 47 944.02

VALOR ACTUAL NETO 1 769.60

El van del proyecto es:

200 000( 64 780.00 )

(1 0.10 )

(53 755.00 )

(1 0.10 )

( 48 302.58 )

(1 0.10 )

( 47 426.83 )

(1 0.10 )( 47 944.02 )

(1 0.10 )1 769.60

VAN1 2 3 4

5

= − ++

++

++

++

++

=

En Excel el cálculo del van es: =C67+VNA(0.10,D67:H67)

van = 1 769.60

La tir del proyecto se calcula mediante el siguiente procedimiento.

Primero, buscamos una tasa de descuento que produzca un van = 0.

i i i i

i

200 000( 64 780.00 )

(1 )

(53 755.00 )

(1 )

( 48 302.58 )

(1 )

( 47 426.83 )

(1 )( 47 944.02 )

(1 )

1 2 3 4

5

=+

++

++

++

++

Para una i1 de 10% el van es: 1 769.60

Para una i2 de 11% el van es: -2 998.49

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258

Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7

Problema resuelto

2. Una compañía desea comprar un robot industrial para su línea de producción. El robot cuesta $950 000.00. Se estima que su vida útil sea de seis años. Los tres primeros producirá 12 000 uni-dades y los últimos tres 14 000. Se pacta un costo de mantenimiento fijo de $22 500.00. Los costos de operación anuales estimados son prácticamente los mismos durante la vida útil de la máquina y ascienden a $60 000.00. Los impuestos que causa esta empresa son de 35%. La depreciación es lineal y se considera que el robot tiene un valor de salvamento de $65 500.00. La gerencia de finanzas considera que el precio unitario de venta del producto en el mer-cado centroamericano sería de $27.50 por unidad. Por otro lado, la empresa tiene acceso a fondos de financiamiento de 10%. ¿Debe realizarse la inversión?

La tir por tanto debe estar entre 10 y 11%. Interpolando:

iVP i i

VP VN

( )TIR 1

2 1= +−

+

TIR = +−

+=0 10

1 760 60 0 11 0 10

1 760 60 2 998 49.

. ( . . )

. .00 10371134.

Es decir, la tir para este proyecto es de: 10.371134%

Con la función para calcular la tir en Excel obtenemos: 10.366496%

El proyecto de producir el nuevo Superhumectante genera un van positivo, lo que indica que debe realizarse. Por otro lado, el costo de capital del proyecto es de: 10.366496%. Este costo de capital o tasa de rendimiento del proyecto es superior a la tasa de interés de los fondos que se ofrecen en el mercado; otra razón más para invertir en el proyecto.

Flujo de caja del proyecto

Años

0 1 2 3 4 5

Ingresos 24 500.00 31 000.00 40 000.00 43 000.00 130 000.00

Ventas 24 500.00 31 000.00 40 000.00 43 000.00 55 000.00

Valor de salvamento 75 000.00

Egresos 140 000.00 11 000.00 12 500.00 15 000.00 17 000.00 20 000.00

Inversión inicial 140 000.00

Costos de operación 11 000.00 12 500.00 15 000.00 17 000.00 20 000.00

FLUJO DE CAJA NETO -140 000.00 13 500.00 18 500.00 25 000.00 26 000.00 110 000.00

van = 12 984.10

tir = 8%

Debe invertir, ya que tiene un van positivo y una tasa de rendimiento de 8% superior a la del mercado.

Solución

Problema resuelto

1. A un inversionista le han propuesto iniciar un restaurante. La inversión inicial es de $140 000.00. Una estimación de los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años son: $24 500.00, $31 000.00, $40 000.00, $43 000.00 y $55 000.00. Los costos de operación anual del restaurante se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17, 000.00 y $20 000. También se cree que el restauran-te podría traspasarse a los cinco años en $75 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 6%. ¿Debe realizar esta inversión?

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259

Flujo de caja del proyecto

Años

0 1 2 3 4 5 6 7

INGRESOS 150 000 157 500 165 375 173 644 182 326 191 442 201 014 211 065

Valor de traspaso 250 000

EGRESOS 75 000 78 750 82 688 86 822 91 163 95 721 100 507 105 533

Inversión 555 950

FLUJO DE CAJA NETO -480 950 78 750 82 688 86 822 91 163 95 721 100 507 355 533

van = 41 073.94

tir = 14%

Solución

Problema resuelto

3. Un microempresario desea comprar una tienda de barrio en Morelia, México. La tienda opera actualmente con ingresos anuales de $150 000.00. Los gastos de operación actuales son de $75  000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inversión inicial es de $555  950.00 y estima que puede traspasar nuevamente el negocio a los siete años en $250 000.00. En el mercado de capitales del estado los financiamientos se obtienen con tasas de interés de 12% anual. ¿Debe el microempresario invertir en la tienda?

Flujo de caja del proyecto

Años

0 1 2 3 4 5 6

Ingresos 330 000.00 330 000.00 330 000.00 385 000.00 385 000.00 450 500.00

Ventas ($) 330 000.00 330 000.00 330 000.00 385 000.00 385 000.00 385 000.00

Ventas (unidades) 12 000 12 000 12 000 14 000 14 000 14 000

Precio unitario 27.50 27.50 27.50 27.50 27.50 27.50

Valor de salvamento 65 500.00

Egresos 950 000.00 240 833.33 240 833.33 240 833.33 240 833.33 240 833.33 240 833.33

Inversión inicial 950 000.00

Costos de operación 60 000.00 60 000.00 60 000.00 60 000.00 60 000.00 60 000.00

Mantenimiento 22 500.00 22 500.00 22 500.00 22 500.00 22 500.00 22 500.00

Depreciación 158 333.33 158 333.33 158 333.33 158 333.33 158 333.33 158 333.33

Flujo de fondos antes de impuestos -950 000.00 89 166.67 89 166.67 89 166.67 144 166.67 144 166.67 209 666.67

-Impuestos -31 208.33 -31 208.33 -31 208.33 -50 458.33 -50 458.33 -73 383.33

+Depreciación 158 333.33 158 333.33 158 333.33 158 333.33 158 333.33 158 333.33

FLUJO DE CAJA NETO -950 000.00 216 291.67 216 291.67 216 291.67 252 041.67 252 041.67 294 616.67

van = 82 834.68

tir = 12.77%

Solución

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260

Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7

Sí. van = $21 284.57 tir = 12.14%, superior a la tasa de financiamiento del mercado.

Solución

Problema resuelto

5. Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

0 1 2 3 4 5 6

Flujo de caja neto -125 000.00 12 500.00 17 500.00 24 500.00 34 300.00 48 020.00 67 228.00

La tasa de financiamiento en el mercado es de 8%. ¿Debe realizarse la inversión?

No. van = -$149 563.45 tir = 6.76%.

Solución

Problema resuelto

6. Una compañía analiza la inversión en una nueva línea de producción, cuyo costo asciende a $3 500 000.00. El costo de capital en el mercado es de 8%. Los flujos de efectivo para los próximos siete años son los siguientes (en miles de pesos): 500, 800, 500, 600, 920, 800 y 400. ¿Debe la com-pañía invertir?

No. van = -257 462.3. tir = 4.93%, menor a la que se obtiene en el mercado.

Solución

Problema resuelto

4. Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Flujo de caja neto -1 250 000 50 500 123 250 165 320 235 400 285 450 290 500 235 000 210 000

El financiamiento en el mercado es de 10%. ¿Debe realizarse la inversión?

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261

van = 1 496 dólares tir = 6.20%

Solución

Problema resuelto

7. Una pequeña compañía en el sur de Estados Unidos puede adquirirse por 30 000 dólares esta-dounidenses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 6 000 dólares y los gastos anuales en 2 000. Se espera que se pueda revender en 15 000 dólares dentro de seis años. La tasa de interés en los bancos es de 5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál la de rendimiento de esta inversión?

van = 2 210.28 dólares tir = 7.04%

Solución

Problema resuelto

8. Si la compañía del problema anterior se adquiere con 15 000 dólares de inversión inicial y 15 000 dólares el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál la tasa de rendimiento de esta inversión?

Lea, estudie y analice el capítulo 12: “El proyecto de carreteras de cuota TRIBASA”, del libro: Finner-ty D. John (1998), Financiamiento de Proyectos. Técnicas Modernas de Ingeniería Económica (pp. 236:255), Prentice Hall, México. En él se muestra de manera práctica todo el análisis de un proyecto de inversión en carreteras de cuota realizado por la empresa TRIBASA en México.

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262

Problemas para resolverUNIDAD 7

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

$850 000.00. Se estima que su vida útil sea de seis años. Los tres primeros producirá 12 500 unidades y los últimos tres 15  000. Se pacta un costo de mantenimiento fijo de $24 500.00. Los costos de operación anuales estimados son prácticamente los mismos durante la vida útil de la línea y ascienden a $50 000.00. Los impuestos que causa esta em-presa son de 35%. La depreciación es lineal y se considera que tiene un valor de salvamento de $75 500.00. La geren-cia de finanzas considera que el precio unitario de venta del producto en el mercado sería de $25.00 por unidad. Por otro lado, la empresa tiene acceso a fondos de financiamiento de 10%. ¿Debe realizarse la inversión?

7.4 Un microempresario desea comprar una tienda. La tien-da opera actualmente con ingresos anuales de $160 000.00. Los gastos de operación actuales son de $85  000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inver-sión inicial es de $650 000.00 y estima que puede traspasar el negocio a los siete años en $200 000.00. En el mercado de capitales los financiamientos se obtienen con tasas de interés de 9% anual. ¿Debe el microempresario invertir en la tienda?

7.1 A un inversionista le han propuesto iniciar un nego-cio. La inversión inicial es de $180 000.00. Una estimación de los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años son: $48  500.00, $60  000.00, $80  000.00, $86  000.00 y $110 000.00. Los costos de operación anual del proyecto se estiman en: $22 500.00, $25 000.00, $30 000.00, $34 000.00 y $40 000.00. Se estima también que el negocio podría tras-pasarse a los cinco años en $75 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 7.5%. ¿Debe realizar esta inversión?

7.2 Una franquicia de helados requiere de una inversión ini-cial de $200 000.00. Los ingresos anuales ($) para los próxi-mos cinco años son: $25 000.00, $35 000.00, $45 000.00, $85 000.00 y $95 000.00. Los costos de operación anual del proyecto se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17 000.00 y $20 000. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 5.0%. ¿Debe realizar esta in-versión?

7.3 Una compañía desea comprar una línea de producción automatizada para el producto principal. La línea cuesta

7.5 Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja para ocho años es:

Flujo de caja neto -650 000 50 500 123 250 125 320 135 400 185 450 190 500 195 000 200 000

El financiamiento en el mercado es de 7.5%. ¿Debe realizarse la inversión?

7.6 Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

0 1 2 3 4 5 6

Flujo de caja neto -50 000.00 8 000.00 9 000.00 9 500.00 10 000.00 12 000.00 15 000.00

El financiamiento en el mercado es de 4.5%. ¿Debe realizarse la inversión?

7.7 Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

0 1 2 3 4 5 6

Flujo de caja neto -75 300.00 15 400.00 15 000.00 13 250.00 11 750.00 10 420.00 10 000.00

El financiamiento en el mercado es de 8.5%. ¿Debe realizarse la inversión?

7.8 Una compañía analiza la inversión en una nueva planta cuyo costo asciende a $4 500 000.00. El costo de capital en el mercado es de 8%. Los flujos de efectivo para los próxi-mos siete años son los siguientes (en miles de pesos): 600, 880, 890, 900, 990, 990 y 990. ¿Debe la compañía invertir?

7.9 Una compañía en el sur de Estados Unidos puede ad-quirirse por 300 000 dólares estadounidenses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 60 000 dólares y los gastos anuales en 20 000. Se espera que se pueda revender en 155 000 dólares dentro de seis años. La tasa de interés en los bancos es de 4.0%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión?

7.10 Una compañía inglesa vende una filial en México por 65 000 libras. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 30  000 libras y los gastos anuales en 4 000 libras. Se espera que se pueda revender en 20 000 libras dentro de seis años. La tasa de interés en los bancos es de 3.5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de ren-dimiento de esta inversión?

7.11 Si la compañía del problema 7.10 se adquiere con 35 000 libras de inversión inicial y 30 000 libras de inversión el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál sería la tasa de rendimiento de esta inversión?

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PROBLEMAS RETO

A un inversionista le han propuesto iniciar un negocio. La inversión inicial es de $155 500.00. Una estimación de los ingresos anuales ($) para los proximos seis años son: $24 550.00, $31 200.00, $40 100.00, $43 050.00, $55 000.00 y $52 325.00. Los costos de operación anual del negocio se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17 000.00 y $20 000.00 para los dos últimos años. Se estima también que este negocio podría traspasarse a los seis años en $85 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 6%. ¿Debe realizar esta inversión?

Un microempresario desea comprar una línea de producción de fabricación de telas en Tlax-cala, México. El taller opera actualmente con ingresos anuales de $1 500 000.00. Los gastos de operación anuales son de $750 000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inversión inicial es de $5 559 500.00 y estima que puede traspasar nuevamente el taller a los siete años en $2 500 000.00. En el mercado de capitales del estado los financia-mientos se obtienen con tasas de interés del 12% anual. ¿Debe el microempresario invertir en el taller?

Una pequeña compañía en la ciudad de Toronto, Canadá puede adquirirse por 35 000 dó-lares canadienses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 6 250 dólares y los gastos anuales en 2 300. Se espera que se pueda revender en 15 500 dólares canadienses dentro de seis años. La tasa promedio de interés en los bancos canadienses es de 5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión?

Si la compañía canadiense del problema anterior se adquiere con 15 000 dólares de inver-sión inicial y 20 000 dólares el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál sería la tasa de rendimiento de esta inversión?

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Análisis de proyectos de inversiónUNIDAD 7

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UNIDAD 8

Bonos y obligaciones

OBJETIVOS

Conocer los bonos y obligaciones como principales mecanismos de financiamiento para los grandes proyectos de inversión pública o privada.

Entender y operar las matemáticas financieras básicas relativas a los bonos, como fuente de financiamiento de los grandes proyectos públicos.

Entender y operar las matemáticas financieras básicas relativas a las obligaciones, como fuente de financiamiento de los grandes proyectos privados.

Conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro.

Conocer y operar las operaciones básicas relativas a bonos con cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento.

¿QUÉ SABES?

¿Recuerdas qué significa el término proyecto de inversión?

¿Para qué se usan los bonos y las obligaciones?

¿Quiénes pueden financiar los proyectos de inversión?

¿Qué es una obligación?

¿Qué es un bono?

¿Qué diferencia existe entre una obligación nominativa y una al portador?

¿Qué es una obligación fiduciaria?

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266

Bonos y obligacionesUNIDAD 8 ¿Qué es una obligación hipotecaria?

¿Qué es una obligación prendaria?

Menciona dos elementos que constituyan el documento de un bono.

8.1 Introducción

Los proyectos de inversión de gran tamaño (carreteras, hospitales, grandes edificios de oficinas, puer-tos, refinerías, plantas de generación eléctrica, sistemas de transporte colectivo, grandes fábricas para productos, etc.) requieren de gran cantidad de recursos económicos (dinero) para su realización. Y, a diferencia del análisis de inversiones revisada en el capítulo anterior, en donde el proyecto es realizado por un solo inversionista en la mayoría de los casos, en estos proyectos, un solo inversionista —ya sea el gobierno o un inversionista privado— no cuenta, en muchas ocasiones, con los recursos suficientes para realizar estas inversiones, lo que lo obliga a recurrir a diversas fuentes de financiamiento para llevarlas a cabo. Por otro lado, los riesgos son tan grandes en estos proyectos, que no es prudente que solo un inversionista principal arriesgue sus recursos económicos en ello.

El financiamiento de proyectos permite distribuir los riesgos operativos y financieros entre las di-versas partes interesadas, esto lo hace de una manera más flexible que el financiamiento basado en el crédito general de un solo patrocinador. (Finnerty, 1996:9)

En este sentido, la principal fuente de financiamiento para este tipo de proyectos, empleada por los gobiernos, las grandes empresas o los grupos de inversionistas son los bonos y obligaciones. Estos instrumentos financieros, son obligaciones financieras (títulos de crédito o certificados de deuda) o promesas de pago a futuro de un préstamo que ha sido recibido por los inversionistas de estos pro-yectos. En estos documentos (bonos/obligaciones) se establece el monto a pagar, el plazo, la moneda y la sucesión de pagos (intereses) que amortizarán el préstamo recibido para la inversión. Es decir, un bono u obligación representa para el emisor la responsabilidad de pagar en el largo plazo el capital prestado, en una fecha específica y además pagar intereses periódicos durante la vida del instrumento hasta la fecha de su vencimiento.

Cuando el instrumento financiero es emitido por una empresa privada se le llama obligación; mientras que al ser emitido por alguna entidad de gobierno recibe el nombre de bono. Sin embargo, esta clasificación, no es estricta. Por lo que en muchas ocasiones en el ámbito financiero generalmente se habla de obligaciones.

Las obligaciones se clasifican en nominativas y al portador. Las primeras son aquellas en las que se especifica el nombre del propietario, mientras que las segundas no lo especifican; su propietario, es el inversionista que las adquiere.

De acuerdo con el tipo de garantía que las respalda, las obligaciones se clasifican en: fiduciaria, hipotecaria y prendaria.

La obligación fiduciaria es aquella que está constituida por un fideicomiso como garantía de pago. La obligación hipotecaria es aquella que está garantizada por la hipoteca de algún bien propiedad de la empresa emisora. Y la obligación prendaria es aquella que está garantizada por diversos bienes de la empresa emisora.

Los bonos y las obligaciones vienen acompañados de cupones para el pago de los intereses a los inversionistas. Los cupones son pagarés que están impresos en serie y unidos a la misma obligación o bono, en ellos se indica la fecha de su vencimiento. Para cobrar el interés ganado en un determinado periodo, el inversionista debe desprender el cupón correspondiente y presentarlo al banco. Algunas obligaciones no pagan intereses periódicamente, carecen de cupones. En estos casos el interés ge-nerado se capitaliza y se paga al vencimiento de la obligación. También existen obligaciones que no pagan ningún interés, ya que se venden en una cantidad muy inferior a su valor nominal; es decir, se venden aplicando una tasa de descuento. Este tipo de obligaciones se llaman obligaciones o bonos de descuento puro o bonos u obligaciones cupón cero.

Los bonos, como indicamos, son préstamos que solicita un gobierno a largo plazo. En el caso de México, este préstamo al gobierno federal es mayor a un año. Entre algunos de estos bonos están: bondes (bonos bancarios de desarrollo del gobierno federal), ajustabonos (bonos ajustables del gobier-no federal), tesobonos (bonos de la tesorería de la federación, en dólares estadounidenses), Bonos Bancarios (emitidos por las instituciones bancarias autorizadas en México).

AlertaLos bonos y obligaciones permiten distribuir los riesgos operativos y financieros entre los diversos inversionistas de un proyecto, sea este público o privado.

AlertaLas obligaciones son instrumentos financieros emitidos por una empresa privada. Los bonos, también son instrumentos financieros, pero son emitidos por una entidad gubernamental.

AlertaLos cupones son pagarés que están impresos en serie y unidos a la misma obligación o bono, indicándose en ellos la fecha de su vencimiento.

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El documento que constituye un bono u obligación contiene los siguientes elementos.

■ El nombre o razón social de la empresa emisora.

■ El valor nominal o denominación. Que es el capital que recibe el emisor, salvo cuando el do-cumento se coloca con descuento. Por lo general son valores múltiplos de $10.00 (100, 1 000, 10 000).

■ La fecha de emisión. Aquella fecha en la que la empresa prestataria emite o coloca en el mer-cado de valores sus obligaciones o bonos.

■ La fecha de redención o vencimiento. Aquella fecha en la que el organismo emisor se compro-mete a reintegrar a los inversionistas el capital prestado.

■ La tasa de interés r. Es la tasa de interés que el emisor paga al inversionista en periodos regula-res desde la emisión hasta la redención. Es una tasa de interés simple, ya que estos se liquidan totalmente al final de cada periodo. Se expresa generalmente con la letra r.

■ Las fechas de pago de los cupones. Son las fechas establecidas para el pago de intereses en los cupones.

■ El total de bonos emitidos.

■ Nombre del propietario. Si el documento es nominativo.

■ Cláusulas adicionales. Aquellas que permiten estipular determinadas condiciones para redimir anticipadamente el título.

En cada cupón, a su vez, se definen los siguientes elementos.

■ La cantidad por la que es canjeable (los intereses) con letra y número.

■ La fecha en la que es cobrable y la emisión del bono u obligación a la cual corresponde.

■ El nombre de la empresa emisora.

■ El número de bono u obligación correspondiente.

■ El número de cupón (seriado).

En estos documentos es importante distinguir que hay dos tasas de interés. La tasa de interés simple r, que son los intereses periódicos que se le pagan al inversionista; y la tasa i, que corresponde al rendi-miento o ganancia de capital que determina cuánto produce el propio bono u obligación por la inversión.

Entre algunos bonos emitidos por el gobierno federal en México están: los bondes (bonos bancarios de desarrollo del gobierno federal), ajustabonos (bonos ajustables del gobierno federal), y los tesobonos (bonos de la tesorería de la federación, en dólares estadounidenses).

8.2 Bonos de descuento puro o bonos cupón cero

Como ya indicamos, estos bonos u obligaciones prometen un solo pago de efectivo en una cierta fecha en el futuro, llamada fecha de vencimiento.

Los bonos cupón cero son los elementos básicos para la valuación de aquellos proyectos que prometen una serie de flujos de efectivo conocidos. (Bodie y Merton, 2003:218)

El pago prometido de efectivo de este tipo de bono se conoce como su valor nominal o valor a la par. El interés ganado por los inversionistas con estos bonos es la diferencia entre el precio pagado por el bono y el valor nominal recibido en su fecha de vencimiento. Por ejemplo, un bono cupón cero con valor nominal de $1 000 que vence dentro de un año y que tiene un precio de compra de $900, genera un interés de $100 por la diferencia entre el valor nominal y el precio de compra.

Los bonos cupón cero son los elementos básicos para la valuación de aquellos pro-yectos que prometen una serie de flujos de efectivo conocidos. (Bodie y Merton, 2003:218)

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Bonos y obligacionesUNIDAD 8El rendimiento (tasa de interés) del bono del ejemplo, es la tasa de rendimiento anualizada para los inversionistas que lo compran y lo conservan hasta su vencimiento. En este caso el rendimiento de este bono se calcula con:

Rendimiento bono cupón cero a un añoValor nominal Precio de compra

Precio de compra(100)=

Para el ejemplo:

Rendimiento bono cupón cero a un año1 000 900

900(100 ) 11.11%=

−=

Sin embargo, si el bono tiene un vencimiento diferente a partir de un año, se deberá usar la fórmula del valor presente para encontrar su rendimiento anualizado.

Supongamos un bono cupón cero (bono de descuento puro) a dos años con un valor nominal de $1 000 y un precio de compra de $905. El rendimiento de este bono (i ) se calculará de la siguiente manera.

M = 1 000 C = 905 n = 2

Valor Presente: C = M(1 + i )-n (ecuación 3.4)

Despejando i, obtenemos:

iMC

n 1= − (8.1)

Sustituyendo los valores del problema obtenemos:

i1 000905

1 0.051172= − = es decir, 5.12% de rendimiento

8.3 Bonos con cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento

Un bono que tiene cupones, que paga intereses periódicos, obliga al emisor a realizar el pago de intereses en los periodos indicados y su valor nominal a su vencimiento.

La tasa de cupón del bono es la tasa de interés simple aplicada al valor nominal para calcular los pagos periódicos. Por ejemplo, un bono con valor nominal de $1 000 genera pagos anuales con una tasa de cupón de 10% iguales a $100 para cada año (I = valor nominal × tasa de cupón). Si su venci-miento es a los cinco años, en el quinto año debe pagarse el cupón correspondiente ($100) y el valor nominal del bono ($1 000).

Los bonos con cupón obligan al emisor a realizar el pago de intereses en los periodos indicados y su valor nominal a su vencimiento.

Como puede observarse, el pago de cupón se fija en el momento de emisión del bono y permanece constante hasta la fecha de vencimiento de este.

La relación entre precios y rendimientos de bonos con cupón es más complicada que la de los bonos cupón cero.

❚ 8.3.1 Bonos a la par

Son aquellos con cupón cuyo precio de mercado es igual a su valor nominal. Cuando el precio de mercado de un bono es igual a su valor nominal, su rendimiento es el mismo que la tasa de cupón. Por ejemplo, considere un bono con cupón cuyo valor nominal es $100 y su vencimiento dentro de un

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año con una tasa de 10%. Este bono pagará a su tenedor $110 dentro de un año. Un pago de cupón de $10 y el valor nominal de $100. Es decir, si el precio actual de nuestro bono con cupón de 10% es de $100, su rendimiento será de 10%.

Un bono a la par es aquel bono cuyo precio de mercado es igual a su valor nominal.

El rendimiento actual (un año) se calcula con la siguiente relación:

Rendimiento bono a la par (un año)Cupón

Precio de mercado= (8.2)

Para el ejemplo:

Rendimiento bono a la par (un año)$10$100

0.10 o 10%= =

Por lo general, el precio de un bono con cupón y su valor nominal no son iguales. Esta situación ocu-rriría, por ejemplo, si el nivel de tasa de interés de la economía disminuyera drásticamente después de la emisión del bono.

Cuando el vencimiento de un bono con cupón es mayor que un año, el cálculo de su rendimiento es más complejo, ya que tienen que involucrarse un cálculo de valor presente (capítulo 3) junto con un cálculo de anualidades (capítulo 5).

❚ 8.3.2 Bonos con prima

Si un bono con cupón tiene un precio de compra en el mercado mayor que su valor nominal, su ren-dimiento al vencimiento es menor que su rendimiento actual, que a su vez es menor que la tasa de cupón. A este tipo de bonos u obligaciones se les llama bono con prima.

Para un bono con prima se observa siempre que:

Rendimiento al vencimiento < Rendimiento actual < Tasa cupón

Su rendimiento actual es de:

Rendimiento actual$100$1100

9.09%= =

Sin embargo, el bono es a dos años, por lo que el rendimiento al vencimiento es la tasa de descuento (tir) que hace que el valor presente de la serie de pagos sea igual al precio de compra del bono. En la figura 8.1 se muestran las condiciones que presenta este bono.

1 2 años

$1 000

$100$100

-$1 100

Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono i = ?

Figura 8.1

Solución

Problema resuelto

1. Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 100. Su valor nominal es de $1 000, con un cupón de 10% a dos años. ¿Cuál es su rendimiento?

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270

Bonos y obligacionesUNIDAD 8

❚ 8.3.3 Bonos de descuento

Son aquellos bonos con cupón que tienen un precio menor a la compra que su valor nominal. En este tipo de bonos su rendimiento al vencimiento es mayor que su rendimiento actual, que a su vez es mayor que la tasa de cupón.

Los bonos de descuento con cupón tienen un precio menor a la compra que su valor nominal.

Para un bono de descuento se observa siempre lo siguiente.

Rendimiento al vencimiento > Rendimiento actual > Tasa cupón

i i

j

jj

n

nPrecio de compra del bono

cupón

(1 )

valor nominal del bono

(1 )1∑=

++

+=

Para j = 1, 2, 3, … n periodos de tiempo

Se busca la tasa de descuento i que cumple con:

i i i1100

100

(1 )

100

(1 )

1000

(1 )1 2 2=

++

++

+

i = 4.65%

En Excel el cálculo es:

años

0 1 2

Flujo de fondos

del bono -1 100 100 1 100

TIR = 4.65%

La función en Excel es: =TIR(C4:E4)

El rendimiento real de este bono es de 4.65% menor que el proporcionado por el cupón (10%), por lo que a estos bonos se les denomina bonos con prima.

Su rendimiento actual es de:

Rendimiento actual$40$965

4.15%= =

Solución:

Problema resuelto

2. Un inversionista desea adquirir en el mercado un bono con cupón en $965. El bono tiene un valor no-minal de $1 000 y vence en dos años con una tasa de cupón de 4% anual. ¿Cuál será su rendimiento?

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271

Sin embargo, el bono es a dos años, por lo que el rendimiento al vencimiento es la tasa de descuento (tir) que hace que el valor presente de la serie de pagos sea igual al precio de compra del bono. En la figura 8.2 se muestran las condiciones que presenta este bono.

1 2 años

$1 000

$40$40

$965

Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono i = ?

Figura 8.2

i iji

n

nPrecio de compra del bono

cupón

(1 )

valor nominal del bono

(1 )

j

1∑=

++

++

Para j = 1, 2, 3, ... n periodos de tiempo

Se busca la tasa de descuento i que cumple con:

i i i

96540

(1 )

40

(1 )

1000

(1 )1 2 2=

++

++

+

i = 5.91%

En Excel el cálculo es:

años

0 1 2

Flujo de fondos

del bono -965 40 1 040

TIR = 5.91%

Si usamos las mismas celdas que las empleadas en el problema 8.1 obtenemos:

=TIR(C4:E4)

El rendimiento real de este bono es de 5.91% mayor que el proporcionado por el cupón (4%), por lo que a estos bonos se les denomina bonos de descuento.

Problema resuelto

3. A qué precio debe comprar un inversionista un bono con cupón, que tiene un valor nominal de $1 000 y genera dividendos a 5% pagaderos semestralmente, redimible a la par en ocho años. La tasa de rendimiento deseada por este inversionista para realizar esta operación es de 6% anual.

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272

Bonos y obligacionesUNIDAD 8La figura 8.3 muestra el flujo de fondos que generaría este bono.

1 2 3 4 5 6 7 16

i = 3% semestres

$1 000

$25

$25 $25 $25

Precio = ? de compra

Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono

Figura 8.3

Si el cupón se considera como una anualidad (R), la relación de cálculo es:

Precio de compra = ?

R = (1 000 × 0.025) = $25/semestre, M = $1 000, i = (6%/2) = 3% semestral

Con la ecuación (4.3) del valor actual de una anualidad del capítulo 4 y la ecuación (3.4) para el cálculo del valor presente del capítulo 3 obtenemos:

Ri

iM i

nnPrecio de compra

1 (1 )(1 )=

− +

+ +−

Precio de compra 251 (1 0.03 )

0.031 000(1 0.03 )

1616=

− +

+ +−

Precio de compra = 314.03 + 623.17 = $937.20

En Excel, la función que debemos usar es:

= VA (tasa, número de periodos, cupón (R), Valor nominal o de redención del bono)

= VA (0.03, 16, 25, 1 000)

Precio de compra = -937.19

El inversionista debe comprar el bono a $937.19 (tiene un descuento de $62.81). Dado que el precio de compra es menor que el valor nominal, se trata de un bono de descuento. También puede observarse que la tasa de rendimiento (6%) es mayor que la tasa cupón (5%).

Solución:

M = 1 100 C = 910 n = 3

Con la ecuación (8.1) obtenemos:

i1100910

1 0.0653= − = es decir, el bono proporciona un rendimiento de 6.52%.

Solución:

Problema resuelto

4. Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a tres años con un valor nominal de $1 100, se vende en el mercado en $910. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

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273

Rendimiento bono cupón cero a un añoValor nominal Precio de compra

Precio de compra(100 )=

Rendimiento bono cupón cero a un año2 000 1850

1850(100 ) 8.11%=

−=

Solución:

Problema resuelto

5. Un bono cupón cero a un año tiene un valor nominal de $2 000. Se vende en $1 850. ¿Qué rendi-miento proporciona?

Solución:

Problema resuelto

6. Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 500. Su valor nominal es de $1 300, con un cupón de 10% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?

Solución

Problema resuelto

7. En el mercado de valores se venden obligaciones con cupón en $950. Su valor nominal es de $820, con un cupón de 6% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento?

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274

Bonos y obligacionesUNIDAD 8

Solución

Problema resuelto

8. Un inversionista desea adquirir en el mercado 1 000 bonos del tipo bono con cupón en $95. El bono tiene un valor nominal de $100 y vence en cuatro años con una tasa de cupón de 5% anual. ¿Cuál es el rendimiento esperado por el inversionista?

Precio de compra de la obligación para el señor Rodríguez = $4 431.75

En Excel: =VA(0.015417,60,62.5,5000,)

Solución

Problema resuelto

10. El señor Rodríguez desea ganar 18.5% de interés capitalizable mensualmente en una inversión que le han propuesto. ¿Cuánto deberá pagar hoy por una obligación que tiene un valor nominal de $5 000, si paga una tasa cupón de 15% y su redención será a la par dentro de cinco años?

Precio de compra de la obligación = $810.46

En Excel: =VA(0.10,5,50,1000,)

Solución

Problema resuelto

9. Una empresa agroindustrial ha emitido 10 000 obligaciones por un valor nominal de $1 000, cada uno con la finalidad de allegarse recursos para realizar una ampliación en una de las plantas que tiene en el sur de México. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a cinco años. ¿Cuál es el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal.

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275

Precio de compra de cada bono costarricense (en pesos mexicanos) = $985.72

En Excel: =VA(0.0225,20,20,1040,)

Solución

Problema resuelto

11. Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobierno de Costa Rica en 500 000 colones ($1 000 pesos mexicanos) que paga intereses de 4% anual capitali-zable semestralmente y redimible al 104 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 4.5% anual convertible semestralmente.

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

8.1 Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a cinco años con un valor nominal de $2 500, se vende en el mer-cado en $2 000. ¿Qué rendimiento proporciona al inversio-nista?

8.2 Un bono de descuento puro a 10 años con un valor no-minal de $1 000, se vende en el mercado en $550. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

8.3 Un bono cupón cero a un año, tiene un valor nominal de $3 000. Se vende en $2 850. ¿Qué rendimiento propor-ciona?

8.4 Un bono cupón cero a un año se vende en $1 550. Tie-ne un valor nominal de $2 100. ¿Qué rendimiento da este bono?

8.5 Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 000. Su valor nominal es de $1 250, con un cupón de 12% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?

8.6 Un inversionista piensa comprar en el mercado 100 bo-nos de tipo bono con cupón en $150 cada uno. Su valor nominal es de $125, con un cupón de 10% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento?

8.7 Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 110. Su valor nominal es de $1 300, con un cupón de 8% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?

8.8 En el mercado de valores se venden obligaciones con cupón en $550. Su valor nominal es de $610, con un cupón de 5.5% a siete años. ¿Cuál será su rendimiento?

8.9 Un inversionista desea comprar en el mercado 1 000 obligaciones con cupón a un precio unitario de $250. Si su valor nominal es de $310, y tienen un cupón de 7% a cinco años. ¿Qué rendimiento proporcionan?

8.10 Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a siete años con un valor nominal de $200, se vende en el mercado en $155. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

8.11 En la Bolsa Mexicana de Valores (bmv) se venden obli-gaciones con cupón en $350. Su valor nominal es de $300, con un cupón de 5% a cinco años. ¿Cuál será su rendimiento?

8.12 Una empresa de capital coreano ha emitido 100 000 obligaciones por un valor nominal de $500 cada una con la finalidad de allegarse recursos para construir un anexo en una de las plantas que tiene en el centro de México. Estas pagan un cupón de 4.5% y vencen a seis años. ¿Cuál será el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal. ¿Cuánto recibe la empresa para la inversión?

8.13 Un inversionista desea ganar 12% de interés capitali-zable mensualmente en una inversión que le han propuesto. ¿Cuánto deberá pagar por una obligación que tiene un valor nominal de $1 000, si paga una tasa cupón de 10% y su re-dención será a la par dentro de cinco años?

8.14 Una empresa mexicana emite 10  000 obligaciones por un valor nominal de $250 cada uno con la finalidad de

UNIDAD 8Problemas para resolver

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276Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

UNIDAD 8allegar se recursos para operar. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a 10 años. ¿Cuál será el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal. ¿Cuán-to recibe la empresa?

8.15 Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobierno de Inglaterra de £100 (2  000 pesos mexicanos) que paga intereses de 3% anual capitalizable semestralmente y redimible al 103 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 3.5% anual convertible se-mestralmente.

8.16 Un inversionista español desea ganar 12% de interés capitalizable semestralmente en una inversión que le han propuesto. ¿Cuánto deberá pagar hoy por una obligación en el mercado mexicano que tiene un valor nominal de $900, si paga una tasa cupón de 10% y su redención será a la par dentro de cinco años?

8.17 En el mercado de valores mexicano se emite un bono del gobierno francés de €100 (1 700 pesos mexicanos) que paga intereses de 2% anual capitalizable semestralmente y redimible al 103 en pesos mexicanos en 10 años. Los inver-sionistas desean comprar el bono para que rinda 3% anual convertible semestralmente.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Vidaurri A. Héctor M. (1997), Matemáticas Financieras, ECAFSA, México.

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PROBLEMAS RETO

Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a tres años con un valor nominal de $1 500, se vende en el mercado en $1 210. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 600. Su valor nomi-nal es de $1 400, con un cupón de 10% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?

En el mercado de valores se están vendiendo obligaciones con cupón en $1 050. Su valor nominal es de $920, con un cupón de 6% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento?

Una empresa industrial ha emitido 20 000 obligaciones por un valor nominal de $1 100 cada una con la finalidad de allegarse recursos para realizar una ampliación en una de las plantas que tiene en el norte de México. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a cinco años. ¿Cuál es el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal.

Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobier-no del Reino Unido en £50 (1 000 pesos mexicanos) que paga intereses de 5% anual capita-lizable semestralmente y redimible al 105 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 5.5% anual convertible semestralmente.

1

2

3

4

5

Problemas para resolver

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277

BIBLIOGRÁFIA

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278

Bonos y obligacionesUNIDAD 8

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279

APÉNDICE A

❚ DÍAS DEL AÑO REAL (365 DÍAS)

DÍAS DEL AÑO REAL (365 DÍAS)

DÍA

MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

31 31 90 151 212 243 304 365

Total 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

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280

Apéndice BUNIDAD 8APÉNDICE B

DÍAS DEL AÑO BISIESTO (366 DÍAS)

DÍA

MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

1 1 32 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336

2 2 33 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

3 3 34 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

4 4 35 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

5 5 36 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

6 6 37 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

7 7 38 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

8 8 39 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

9 9 40 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

10 10 41 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

11 11 42 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

12 12 43 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347

13 13 44 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

14 14 45 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

15 15 46 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

16 16 47 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

17 17 48 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

18 18 49 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

19 19 50 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

20 20 51 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355

21 21 52 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

22 22 53 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

23 23 54 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

24 24 55 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359

25 25 56 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

26 26 57 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

27 27 58 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

28 28 59 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

29 29 60 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

30 30 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

31 31 91 152 213 244 305 366

Total 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

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281

APÉNDICE C

DÍAS DEL AÑO COMERCIAL (360 DÍAS)

DÍA

MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

1 1 31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331

2 2 32 62 92 122 152 182 212 242 272 302 332

3 3 33 63 93 123 153 183 213 243 273 303 333

4 4 34 64 94 124 154 184 214 244 274 304 334

5 5 35 65 95 125 155 185 215 245 275 305 335

6 6 36 66 96 126 156 186 216 246 276 306 336

7 7 37 67 97 127 157 187 217 247 277 307 337

8 8 38 68 98 128 158 188 218 248 278 308 338

9 9 39 69 99 129 159 189 219 249 279 309 339

10 10 40 70 100 130 160 190 220 250 280 310 340

11 11 41 71 101 131 161 191 221 251 281 311 341

12 12 42 72 102 132 162 192 222 252 282 312 342

13 13 43 73 103 133 163 193 223 253 283 313 343

14 14 44 74 104 134 164 194 224 254 284 314 344

15 15 45 75 105 135 165 195 225 255 285 315 345

16 16 46 76 106 136 166 196 226 256 286 316 346

17 17 47 77 107 137 167 197 227 257 287 317 347

18 18 48 78 108 138 168 198 228 258 288 318 348

19 19 49 79 109 139 169 199 229 259 289 319 349

20 20 50 80 110 140 170 200 230 260 290 320 350

21 21 51 81 111 141 171 201 231 261 291 321 351

22 22 52 82 112 142 172 202 232 262 292 322 352

23 23 53 83 113 143 173 203 233 263 293 323 353

24 24 54 84 114 144 174 204 234 264 294 324 354

25 25 55 85 115 145 175 205 235 265 295 325 355

26 26 56 86 116 146 176 206 236 266 296 326 356

27 27 57 87 117 147 177 207 237 267 297 327 357

28 28 58 88 118 148 178 208 238 268 298 328 358

29 29 59 89 119 149 179 209 239 269 299 329 359

30 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Total 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

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II

ContenidoUNIDAD 1

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II

ContenidoUNIDAD 1

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282

Apéndice BUNIDAD 8