Paulo Barreto CachimMiguel Monteiro Morais

SEGUNDO O EUROCÓDIGO 2

Estruturas de betão BASES DE CÁLCULO

PR

EFÁ

CIO

XI

Prefácio

Estruturas de Betão

Com o processo de introdução dos Eurocódigos Estruturais no espaço europeu, tem havido, ao

longo das duas últimas décadas, alguma indefinição sobre as regras a adotar no dimensionamento

e verificação da segurança das estruturas de betão. Os países europeus, como é o caso de Portugal,

tinham já uma longa tradição de regulamentação específica, que, embora partisse de um código

modelo discutido e elaborado essencialmente no espaço europeu, apresentava um cunho nacional

específico com o valor de lei. Verifica-se que as últimas versões dos Eurocódigos atingiram uma qua-

lidade técnica, uma solidez normativa e uma abrangência que os coloca como documentos técnicos

indiscutíveis a serem utilizados no projeto e construção das estruturas. Com o estabelecimento do

Eurocódigo 2, em detrimento da regulamentação portuguesa ainda em vigor (primeiro introduzi-

do a nível do ensino das Estruturas de Betão e, em seguida, na prática da construção), criam-se as

condições para o surgimento de publicações de carácter mais duradoiro orientadas para o projeto

de estruturas de betão armado e pré-esforçado. É neste contexto que esta nova publicação surge

no espaço nacional sobre um tema em que escasseiam os livros de apoio à prática da engenharia

da construção em betão.

O texto apresenta e discute os Princípios e as Bases de Cálculo para o dimensionamento e a

verificação da segurança de estruturas de betão. Na primeira parte, Parte A, são apresentadas as

regras para a verificação da segurança, as propriedades mecânicas dos materiais (betão e aço da

armadura), e as bases do funcionamento conjunto dos dois materiais. São ainda apresentadas e

discutidas as regras básicas para garantir a durabilidade adequada das estruturas de betão, que

corresponde a uma exigência essencial no projeto e construção para garantia de um mínimo de

conservação durante a vida útil da estrutura. A Parte B apresenta e discute as regras do Eurocódigo

2 para a verificação da segurança aos Estados Limites Últimos de Resistência de secções de betão

armado. Os casos mais frequentes de secções de vigas e de pilares sujeitos à flexão e à flexão

composta são descritos e alguns elementos auxiliares de cálculo são fornecidos. As regras de di-

mensionamento ao esforço transverso, com grande especificidade na sua aplicação a estruturas de

betão, são explicadas e é apresentada a forma da sua aplicação prática. Estas regras são de seguida

estendidas à verificação da segurança ao punçoamento de elementos laminares, nomeadamente

BA

SES

DE

CÁ

LCU

LOX

IIE

ST

RU

TU

RA

S D

E B

ET

ÃO

lajes e sapatas. O dimensionamento à torção é ainda discutido de forma compreensiva. Na terceira

parte, Parte C, são apresentadas as bases e as regras do Eurocódigo 2 para a verificação aos Estados

Limites de Utilização que estabelecem os cuidados a ter para que as estruturas de betão apresentem

qualidade, bom funcionamento em serviço, e durabilidade adequada. Para além da apresentação da

forma de verificação dos limites de tensões no aço e no betão em serviço, é discutida a verificação

ao estado limite de fendilhação e ao estado limite de deformação de elementos de betão armado

fletidos. A verificação aos estados limites de utilização ganha importância acrescida quando se

utilizam materiais, aço e betão de classes de resistência mais elevada e quando as deformações

impostas aos elementos estruturais adquirem valores mais significativos.

Joaquim Figueiras

Porto, junho de 2013

INT

RO

DU

ÇÃ

O1

CA

PÍT

UL

O 1

Capítulo 1Introdução

O betão é atualmente o material de construção mais utilizado em todo o mundo. Apesar de ape-

nas na segunda metade do século XX se terem desenvolvido os modernos modelos de cálculo e

a tecnologia do betão armado e do betão pré-esforçado, o material betão tem sido sempre usado

desde a antiguidade. A construção mais antiga de um material como o betão remonta a cerca de

6500 a.C. na Síria, mas foram os romanos que utilizaram o betão de forma mais sistemática e eficiente

na construção de habitações, templos, pontes e aquedutos, muitos dos quais ainda hoje se encontram

em bom estado, testemunhando, assim, a mestria com que os romanos usavam este material. O

apogeu da utilização do betão pelos romanos ocorreu durante os reinados dos imperadores Trajano

e Adriano, cobrindo o período de aproximadamente 90 a 150 d.C.. Os romanos tentaram também

armar o betão com cabos de bronze, mas as experiências não foram bem sucedidas devido aos

diferentes coeficientes de dilatação térmica dos dois materiais. Entre o fim do Império Romano e o

século XVIII, tendo-se perdido o conhecimento sobre o betão de pozolana, as argamassas utiliza-

das eram sobretudo de cal e passaram a ser utilizadas nas fundações e no interior das paredes de

alvenaria. Durante o século XVIII, foram descobertos ligantes hidráulicos como a cal hidráulica e o

cimento Portland. No final do século XIX e início do século XX, constroem-se os primeiros edifícios

e pontes de betão armado. Posteriormente, na segunda metade do século XX, desenvolve-se a

tecnologia do betão pré-esforçado e consolidam-se os modelos de cálculo estrutural.

As principais vantagens do betão enquanto material de construção são a sua boa resistência, a

liberdade de escolha de formas que permite, a fácil realização de estruturas monolíticas com elevada

hiperestaticidade, a elevada durabilidade, a boa resistência ao fogo e o seu baixo custo devido a

matérias-primas pouco dispendiosas. Contudo, existem também alguns problemas, como sejam o

seu elevado peso próprio, a necessidade de controlar a fendilhação e os custos elevados associados

à demolição e reparação.

O betão caracteriza-se, em termos de propriedades mecânicas, pela sua boa resistência à com-

pressão e fraca resistência à tração. Por esse motivo, quando se pretende a sua aplicação em estruturas

que estão submetidas simultaneamente a esforços de tração e compressão, é necessário colocar

uma armadura de reforço que permita absorver os esforços de tração. Essa armadura é, em geral,

INT

RO

DU

ÇÃ

O7

CA

PÍT

UL

O 1

ser calculado com base nas suas dimensões nominais e nos valores médios das massas volúmicas.

No caso das ações variáveis, o valor característico, Qk, pode ser representado por um valor superior

(com uma certa probabilidade de não ser excedido), um valor inferior (com uma certa probabilidade

de ser atingido durante um determinado período de referência) ou um valor nominal (que poderá

ser especificado nos casos em que não seja conhecida a distribuição estatística da ação).

Para além do valor característico, existem outros valores representativos das ações variáveis que

deverão ser considerados na verificação da segurança em relação aos estados limites:

a) o valor de combinação, representado pelo produto ψ0 Qk, utilizado para a verificação de

estados limites últimos e de estados limites de utilização irreversíveis;

b) o valor frequente, representado pelo produto ψ1Qk, utilizado para a verificação de estados

limites últimos, envolvendo ações de acidente e para a verificação de estados limites de uti-

lização reversíveis; para os edifícios, por exemplo, o valor frequente é escolhido de tal forma

que só é excedido durante 0,01 do período de referência; para as ações de tráfego rodoviário

em pontes, o valor frequente é avaliado para um período de retorno de uma semana;

c) o valor quase-permanente, representado pelo produto ψ2Qk, utilizado para a verificação

de estados limites últimos envolvendo ações de acidente e para a verificação dos estados

limites de utilização reversíveis; os valores quase-permanentes são também utilizados para o

cálculo dos efeitos a longo prazo; para as ações nos pavimentos de edifícios, o valor quase-

permanente é normalmente escolhido de forma a que seja excedido durante 0,50 do período

de referência; em alternativa, o valor quase-permanente pode ser determinado como o valor

médio durante um determinado intervalo de tempo; no caso da ação do vento ou das ações

de tráfego rodoviário, o valor quase-permanente é geralmente considerado igual a zero.

Os valores dos coeficientes ψ0 , ψ1 , e ψ2 para as diferentes ações encontram-se definidos na

norma EC0 e nas diferentes partes da norma EC1. Para as ações correntes em edifícios, os valores

destes coeficientes encontram-se definidos no Quadro 1.

Quadro 1. Valores recomendados para os coeficientes ψ para edifícios.

AçãoCoeficiente reduzido

ψ0 ψ1 ψ2Sobrecargas em edifícios (ver EN 1991-1-1)

Categoria A: zonas de habitação

Categoria B: zonas de escritórios

Categoria C: zonas de reunião de pessoas

Categoria D: zonas comerciais

Categoria E: zonas de armazenamento

Categoria F: zonas de tráfego

peso dos veículos ≤ 30 kN

Categoria G: zonas de tráfego

30 kN < peso dos veículos ≤ 160 kN

Categoria H: coberturas

Q

0,7

0,7

0,7

0,7

1,0

0,7

0,7

0,0

0,5

0,5

0,7

0,7

0,9

0,7

0,5

0,0

0,3

0,3

0,6

0,6

0,8

0,6

0,3

0,0

Ação da neve em edifícios (ver EN 1991-1-3)

(exceto Finlândia, Islândia, Noruega, Suécia)

Altitude H > 1000 m acima do nível do mar

Altitude H ≤ 1000 m acima do nível do mar

S

0,7

0,5

0,5

0,2

0,2

0,0

Ação do vento em edifícios (ver EN 1991-1-4) W 0,6 0,2 0,0

Temperatura (exceto incêndio) em edifícios (ver EN 1991-1-5) T 0,6 0,5 0,0

MA

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IAIS

16

ES

TR

UT

UR

AS

DE

BE

TÃ

O

2.1. Betão

A produção de betão em Portugal é regulada pela norma NP EN 206-1:2007 “Betão – Parte 1: Es-

pecificação, Desempenho, Produção e Conformidade”, a qual dedica especial atenção aos aspetos

relacionados com a especificação do betão. Para o cálculo estrutural, o EC2 baseia-se na NP EN

206-1:2007 e especifica classes de resistência definidas de acordo com os princípios desta norma.

No EC2, as classes de resistência baseiam-se no valor característico da resistência referido a provetes

cilíndricos, fck

, determinado aos 28 dias. Para além de cilindros, a norma prevê a determinação da

resistência à compressão em cubos. Os provetes cilíndricos de referência têm 15 cm de diâmetro e

30 cm de altura, enquanto os cubos têm 15 cm de aresta. Os valores característicos da resistência

fck

e as correspondentes características mecânicas necessárias para o cálculo estão indicados no

Quadro 3. As classes de resistência são, em termos de EC2, designadas através de:

C YY/CC

Em que:

C betão;

YY valor característico da resistência em cilindros, fck

, em MPa;

CC valor característico da resistência em cubos, fck,cube

, em MPa.

Quadro 3. Classes de resistência e propriedades do betão.

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 35/45 C40/50 C45/55 C50/60 C55/67 C60/75 C70/85 C80/90 C90/105

fck

(MPa) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90fck,cube

(MPa) 15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105fcm

(MPa) 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98ε

c2 (o/oo) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

εcu2

(o/oo) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6n 2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4fctm

(MPa) 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0fctk,0.05

(MPa) 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5E

cm (GPa) 27 29 30 31 33 34 35 36 37 38 39 41 42 44

Contudo, para além da resistência, existem outras características que um betão deve satisfazer.

Por esse motivo, uma designação de um betão de comportamento especificado de acordo com a NP

EN 206-1 é mais completa do que a especificada pelo EC2 e será, a título exemplificativo, da forma:

NP EN 206-1 C30/37 XC3(P) Cl 0,2 Dmax

22 S3

Em que:

NP EN 206-1 a referência à norma NP EN 206-1;

C30/37 a classe de resistência à compressão;

XC3(P) a classe de exposição ambiental com indicação do país: (P) de Portugal;

Cl 0,2 a classe de teor de cloretos;

Dmax

22 a dimensão máxima do agregado (22 mm no exemplo);

S3 a classe de consistência (S3 no exemplo).

MA

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IAIS

26

ES

TR

UT

UR

AS

DE

BE

TÃ

O

O módulo de elasticidade tangente a utilizar no cálculo do coeficiente de fluência é função de Ec,

que poderá ser considerado igual a 1,05 Ecm

. O coeficiente de fluência no instante t para uma tensão

de compressão constante, σc, aplicada na idade do betão t

0, designa-se por φ

cc(t,t

0). A utilização do

módulo de elasticidade efetivo, Ec,eff

, permite considerar diretamente o efeito da fluência, admitindo

que o elemento tem uma deformação que segue a linha a traço interrompido da Figura 5. O módulo

de elasticidade efetivo é dado pela expressão:

(24)

Nos casos em que não seja necessária grande precisão, poderão usar-se os gráficos da Figura 6

para obter o valor do coeficiente de fluência, desde que o betão não esteja submetido a uma tensão

de compressão superior a 0,45 fck

(t0) na idade t

0, idade do betão à data do primeiro carregamento.

Os monogramas da Figura 6 são válidos para temperaturas ambientes compreendidas entre -40 e

+40 °C e para humidades relativas (RH) médias compreendidas entre os 40 e 100%.

00,2 0,13,04,05,06,0

100

50

30

1

2

3

5

10

20

t0

(∞, t 0 )

S

N R

10 0 30 0 50 0 70 0 900 11 00 13 00 150 0h 0 (mm)

C 20/25C 25/30C 30/37C 35/45

C 55/67C 70/85

C 90/10 5C 80 /95

C 45/55C 40/50

C 60/75C 50/60

01,02,03,04,05,06,07,0

100

50

30

1

2

3

5

10

20

t0

(∞, t 0 )

S

N R

100 30 0 500 700 900 1100 1300 1500

C 20/25

C 25/30

C 30/37

C 35/45C 40/50C 45/55C 50/60

C 55/67C 60/75

C 70/85

C 90/1 05C 80/95

h0 (mm)

14

2

35

RH = 80%

(exterior)

RH = 50%

(interior)

φ

φ

Figura 6. Método para a determinação do coeficiente de fluência, φ(∞, t0) para betão em condições

ambientais normais.

PR

OP

RIE

DA

DES

DO

S M

AT

ERIA

IS3

5C

AP

ÍTU

LO

2

Quadro 8. Áreas de varões para betão armado correntes.

Diâmetro (mm) 6 8 10 12 16 20 25 32 40

Área (cm2) 0,28 0,50 0,79 1,13 2,01 3,14 4,91 8,02 12,56

O EC2 considera três classes de aços: A, B e C com características de ductilidade e relação entre

a resistência à tração e a tensão de cedência crescentes. No Quadro 9 apresentam-se os valores

das propriedades das armaduras a utilizar em betão armado. Os tipos de aço comercializados em

Portugal encontram-se definidos em várias especificações do LNEC (ver Quadro 10). A designação

do aço é da forma:

AYYY XZ SD

Em que:

A aço;

YYY tensão de cedência em MPa (valores permitidos 400 ou 500 MPa);

X tipo de tratamento (N, normal; E endurecido);

Z características da superfície (R, nervurado; L, liso);

SD designação de ductilidade especial para os aços classe C.

Com exceção das malhas eletrossoldadas, só são permitidos aços nervurados nas estruturas de

betão armado. Os diferentes tipos de aço podem ser facilmente identificados pela forma e disposição

das nervuras, conforme indicado na Figura 10.

Quadro 9. Propriedades das armaduras.

Forma do produto Varões e fios Redes eletrossoldadas

Classe A B C A B C

Valor característico da tensão de cedência f

yk ou f

0,2k (MPa)

400 a 600

Valor mínimo de k = (ft/f

y)k

≥1,05 ≥1,08≥1,15<1,35

≥1,05 ≥1,08≥1,15<1,35

Valor característico da extensão à tensão máxima, ε

uk (%)

≥2,5 ≥5,0 ≥7,5 ≥2,5 ≥5,0 ≥7,5

Quadro 10. Classes de aço comercializadas em Portugal.

Designação Especificação Classe fyk

k = ft/f

yk

A400 NR LNEC E449 B 400 ≥ 1,08

A400 NR SD LNEC E455 C 400 ≥ 1,15

A500 NR LNEC E450 B 500 ≥ 1,08

A500 NR SD LNEC E460 C 500 ≥ 1,15

A500 ER LNEC E456 A 500 ≥ 1,05

A500 EL* LNEC E457 A 500 ≥ 1,05

* só utilizado em malhas eletrossoldadas

PR

OP

RIE

DA

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DO

S M

AT

ERIA

IS5

1C

AP

ÍTU

LO

2

2.4. Considerações adicionais relativas a armaduras

2.4.1. Distância mínima entre varões

A distância livre entre varões deve ser tal que permita a realização da betonagem e posterior com-

pactação e vibração do betão de forma adequada, garantindo a necessária aderência entre o betão

e as armaduras. Esta distância, quer horizontal quer vertical, pode ser determinada para varões

paralelos ou camadas de varões paralelos pela expressão:

amin

= max (ø; dg + 5mm; 20mm) (56)

Em que:

dg é a máxima dimensão do agregado;

ø é o diâmetro dos varões em mm.

Quando os varões são colocados em diferentes camadas horizontais, os varões de cada camada

deverão sobrepor-se em fiadas verticais, garantindo-se que entre cada fiada vertical exista espaço

suficiente para a passagem dos vibradores e assegurando-se, deste modo, uma adequada com-

pactação do betão.

2.4.2. Diâmetros admissíveis dos mandris para varões dobrados

Os diâmetros mínimos de dobragem dos varões são definidos de forma a não provocarem o apa-

recimento de fendas na face exterior do varão, bem como resultar na rotura do betão no interior

da dobragem. O EC2 define o diâmetro mínimo de dobragem do varão, øm,min

, denominado como

diâmetro do mandril, de acordo com o Quadro 17 para evitar danificar armaduras.

Quadro 17. Diâmetro mínimo do mandril para evitar danificar armaduras.

Tipo de varão Diâmetro do varãoDiâmetro mínimo do mandril

para cotovelos, ganchos e laços

Varões e fiosø ≤ 16 mm 4ø

ø > 16 mm 7ø

Armaduras e redes soldadas dobradas após a soldadura*

ou 5ø

d

ou

d ≥ 3ø 5ø

d < 3ø ou soldadura no interior da zona curva

20ø

* No caso de uma soldadura localizada no interior da zona curva, o diâmetro do mandril poderá ser

reduzido para 5ø se a soldadura for efetuada de acordo com o Anexo B da EN ISO 17660.

MA

TER

IAIS

76

ES

TR

UT

UR

AS

DE

BE

TÃ

O

Quadro 25. Classes de exposição com risco de ataque químico.

Característica

química

Método de ensaio

de referência

XA1 XA2 XA3

Ambiente químico

ligeiramente

agressivo

Ambiente químico

moderadamente

agressivo

Ambiente químico

altamente agressivo

Águas

mg/l EN 196-2 ≥ 200 e ≤ 600 > 600 e ≤ 3000 > 3000 e ≤ 6000

pH ISO 4316 ≥ 5,5 e ≤ 6,5 ≥ 4,5 e < 5,5 ≥ 4,0 e < 4,5

CO2 agressivo mg/l prEN 13577:1999 ≥ 15 e ≤ 40 > 40 e ≤ 100 > 100 até à saturação

mg/l ISO 7150-1 ouISO 7150-2

≥ 15 e ≤ 30 > 30 e ≤ 60 > 60 e ≤ 100

mg/l ISO 7980 ≥ 300 e ≤ 1000 > 1000 e ≤ 3000 > 3000 até à saturação

Solos

total mg/kg(1) EN 196-2(2) ≥ 2000 e ≤ 3000(3) > 3000(3) e ≤ 12000 > 12000 e ≤ 24000

Acidez ml/kg DIN 4030-2 > 200 Baumann Gully

Não encontrado na prática

(1) Os solos argilosos com uma permeabilidade abaixo de 10-5 m/s podem ser colocados numa classe

mais baixa.

(2) O método de ensaio prescreve a extração do através de ácido clorídrico; em alternativa, pode

usar-se a extração aquosa se houver experiência no local de utilização do betão.

(3) O limite de 3000 mg/kg deve ser reduzido para 2000 mg/kg, caso exista risco de acumulação de

iões sulfato no betão devido a ciclos de secagem e molhagem ou à absorção capilar.

3.5.2. Especificação do betão

O EC2 especifica também classes de resistência mínimas para o betão a utilizar de acordo com as

classes de exposição ambiental e que são apresentadas no Quadro 26. O princípio utilizado neste

quadro é o de que os betões de maior resistência são mais densos e, consequentemente, a pene-

tração dos agentes agressores é mais difícil.

Quadro 26. Classes indicativas de resistência.

Tipo de dano Classes de exposição Classe indicativa de resistência

Corrosão

CarbonataçãoXC1, XC2 C25/30, LC25/28

XC3, XC4 C30/37, LC30/33

CloretosXS1*, XD1, XS2*, XD2 C30/37, LC30/33

XS3**, XD3 C35/45, LC35/38

Danos no betão

Sem risco X0 C12/15

Ataque gelo/degelo

XF1 C30/37, LC30/33

XF2 C25/30, LC30/33

XF3 C30/37

Ataque químicoXA1*** C30/37, LC30/33

XA2*, XA3* C35/45, LC35/38

* C40/50, LC40/44, quando o cimento utilizado for CEM I ou CEM IIA.

** C50/60, LC50/55, quando o cimento utilizado for CEM I ou CEM IIA.

*** C35/45, LC35/38, quando o cimento utilizado for CEM I ou CEM IIA.

ESFO

RÇ

OS

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RM

AIS

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E FL

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O9

5C

AP

ÍTU

LO

4

e a localização da resultante das forças de compressão no betão sejam iguais aos obtidos com o

diagrama parábola-retângulo. O cálculo seria, por isso, muito mais simples se, em vez de se utilizar um

diagrama parábola-retângulo, se utilizasse um diagrama retangular. Isto pode, de facto, ser realizado

utilizando um diagrama retangular, conforme indicado na Figura 52. A tensão de compressão vale

assim η fcd

, exceto se a largura da zona comprimida diminuir na vizinhança da fibra extrema em que

deve ser tomado o valor para a tensão no betão de 0,9η fcd

. O bloco de tensões deve prolongar-se

até uma altura λx, em que x representa a profundidade do eixo neutro. A utilização deste diagrama

é particularmente útil no caso de secções de geometria complexa.

σ c = 0,9 η fcd

F s

x

A s

F c

eixo neutro

A s

λx

F s

F c

σ c = η fcd

Figura 52. Distribuição retangular de tensões.

O coeficiente λ que define a altura útil da zona comprimida é obtido por:

λ = max (0,8; 0,8 – (fck

– 50) / 400), fck

≤ 90 MPa (78)

O coeficiente η que define a resistência efetiva é obtido por:

η = max (1,0; 1,0 – (fck

– 50) / 200), fck

≤ 90 MPa (79)

No caso do diagrama retangular, a determinação da força de compressão pode ainda ser sim-

plificada, resultando em:

Fc = f

cd A

cc (ou F

c = 0,9 f

cd A

cc) (80)

em que Acc

representa a área de betão comprimido numa altura de λx. A resultante das forças

de compressão no betão encontra-se aplicada no centro de gravidade da área comprimida. Os va-

lores de λ, η, χ1, χ

2 para as diferentes classes de betão encontram-se no Quadro 31 para o diagrama

retangular, sendo, neste caso, os valores de χ1 e χ

2 iguais a λη, conforme equações (78) e (79), e 0,5λ,

respetivamente.

ESTA

DO

S LI

MIT

ES Ú

LTIM

OS

116

ES

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UT

UR

AS

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O

NRd

M Rd

εc

εs

A s

θ

θ

θ

d

= c + s

1

r= tan( ) =

d

ε ε

Figura 66. Curvatura numa secção de betão armado.

O estudo efetuado para EI poderia fazer-se para EA, mas, na generalidade das estruturas, a

deformabilidade por flexão é muito superior à deformabilidade por esforço axial. Na Figura 67

apresentam-se algumas relações típicas momento-curvatura de vigas fracamente armadas, forte-

mente armadas e fortemente armadas com armadura de compressão em flexão simples. É visível

que, para secções fortemente armadas (rotura na zona Z3), a capacidade de rotação da secção fica

bastante comprometida, sendo bastante inferior à das vigas fracamente armadas (rotura na zona

Z1 ou Z2). Pode recuperar-se a capacidade de rotação através da introdução de uma armadura de

compressão, conforme se ilustra na Figura 67.

M

1/r ou θ

θ = 4 a 5 % o

θ = 10 a 13 % o

As indicam início

de plastificação das

armaduras

Figura 67. Relação momento-curvatura em flexão simples.

4.6. Secções submetidas a flexão composta

Na flexão composta, a secção encontra-se submetida simultaneamente a momento fletor e a esforço

axial. Um dos problemas fundamentais relativamente à flexão composta consiste na interação exis-

tente entre estes dois esforços, podendo ao par de esforços N e M mais elevado não corresponder

ESFO

RÇ

O T

RA

NSV

ERSO

13

7C

AP

ÍTU

LO

5

5.1.1. Comportamento não fissurado

Para cargas atuantes pequenas os elementos não estão fissurados. Admitindo que os materiais ain-

da apresentam um comportamento elástico linear, as tensões podem ser analisadas recorrendo à

teoria da elasticidade. As trajetórias principais de tensão para uma viga simplesmente apoiada, com

carregamento uniformemente linear, estão representadas na Figura 88. Esta análise é importante

pois permite prever a localização e a orientação das fissuras, que serão alinhadas com as trajetórias

principais de compressão, ou seja, perpendiculares à direção da tração.

x

cσ

ctσ

τ

Trajetórias principais de tração

Trajetórias principais de compressão

cσ

ctσ

ctσ

cσ

Figura 88. Tensões principais em secção não fissurada.

Analisando o elemento indicado na Figura 88, quando a tensão de tração, σct

, atinge a resis-

tência à tração do betão, irá surgir uma fissura. As fissuras serão perpendiculares à orientação

das tensões principais de tração, ou seja, diagonais, conforme dito anteriormente. É importante

estudar a orientação das fissuras, pois irá condicionar os mecanismos e a resistência ao esforço

transverso. As fissuras de esforço transverso iniciam-se na alma, a meia altura, onde as tensões

tangenciais são mais elevadas.

5.1.2. Resistência sem armadura transversal

No caso de elementos sem armadura transversal, a rotura por esforço transverso pode acontecer

de duas formas:

1. A fissura diagonal cresce imediatamente ao formar-se ou para uma carga ligeiramente

superior, atravessando toda a secção da viga da face tracionada até à face comprimida,

dividindo completamente a viga em duas partes. Esta rotura repentina, sem qualquer tipo

de aviso, portanto frágil, é de evitar. Mesmo que não seja necessário, é prática corrente

colocar sempre armadura transversal nas vigas. Esta armadura limita a abertura das fissuras

diagonais, permitindo uma rotura mais dúctil e com aviso. Esta rotura acontece para vigas

esbeltas, com relação vão/altura superior a 8.

ESTA

DO

S LI

MIT

ES Ú

LTIM

OS

14

2E

ST

RU

TU

RA

S D

E B

ET

ÃO

Armadura longitudinal

de tração

θ

Armadura transversal

(estribos)

s

Fc

N

M

z

Fs

V

Figura 94. Modelo de treliça múltipla.

Os banzos superior e inferior são dimensionados para o esforço axial e momento fletor, resistindo

as diagonais comprimidas e os montantes tracionados ao esforço transverso. Três modos de rotura,

ilustrados na Figura 95, podem ocorrer:

a) rotura por tração dos estribos: este modo ocorre quando a armadura transversal é insuficiente

e a armadura transversal atinge a sua capacidade de resistência à tração; é o tipo de rotura

desejável, pois é o mais controlável;

b) rotura por esmagamento do betão nas bielas comprimidas: ocorre devido ao esgotamento

da capacidade de compressão do betão nas bielas inclinadas; acontece principalmente em

vigas em T ou I em que a espessura da alma, bw, é reduzida;

c) rotura por deslizamento da armadura de tração: acontece quando a amarração da armadura

longitudinal não é suficiente; há uma perda de aderência da armadura ao betão e o con-

sequente arrancamento da armadura longitudinal; pode ainda ocorrer quando a armadura

longitudinal não é suficiente, possivelmente devido a uma incorreta dispensa de varões.

cot

a) Rotura dos estribos b) Rotura por esmagamento

das bielas comprimidas

c) Rotura por deslizamento

da armadura de tração

θz

Figura 95. Modos de rotura de elementos com armadura transversal.

5.1.3.1. Resistência com estribos verticais

O valor do esforço transverso resistente, VRd

, pode ser obtido pelo menor de dois valores:

ESFO

RÇ

O T

RA

NSV

ERSO

14

7C

AP

ÍTU

LO

5

Em que:

Vccd

é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força de compressão, no caso

de um banzo comprimido inclinado;

Vtd

é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força na armadura de tração,

no caso de um banzo tracionado inclinado.

Fc

Vccd=Fc sen α c

Ft

Vtd=Ft sen α t

Fc

Ft

Vtd

a) Efeito favorável b) Efeito desfavorável

α t

α c

Figura 98. Elementos de altura variável.

O efeito de variação da altura dos elementos poderá ser favorável quando a altura da secção cresce

com o aumento do momento fletor, Figura 98 a), ou um efeito desfavorável quando a altura da

secção e o momento fletor variam inversamente, Figura 98 b).

EXEMPLO 5.5:

Verifique se a viga representada na figura resiste a um esforço transverso de 500 kN no apoio. A secção da viga no

apoio é de 0,2 × 1,0 e a meio vão é de 0,2 × 0,55. A armadura longitudinal utilizada é de 8,04 cm2 na face inferior e de

2,26 cm2 na face superior. A armadura transversal é constituída por estribos de 8 mm espaçados de 0,10 m (ø 8 //0,10)

com dois ramos. Materiais A500 NR e C30/37. Considere um recobrimento mecânico de 5 cm.

0,55

1,0

30º

Para cotθ = 2,5:

VRd,max

= 1 × 0,20 × (0,9 × 0,95) × 0,53 × 20 × 103

(2,5 + 1 / 2,5) = 635,0 kN

VRd,s

= 2 × 0,5 × 10–4

0,10 (0,9 × 0,95) × 435 × 103 × 2,5 = 929,1 kN

Como a secção tem altura variável, é necessário corrigir o valor de VRd,s

. Uma vez que o momento fletor aumenta

conforme a secção diminui, o efeito da variação da secção é desfavorável.

Vtd = F

t sin α

t =

VEd

z cotθ

2

z sin α =

500 × 2,5

2 sin 30 = 312,5 kN

VRd,s

= 929,1 – 312,5 = 616,6 kN

VRd

= min (635,0 ; 616,6) = 616,6 kN ≥ 500 kN OK

ESFO

RÇ

O T

RA

NSV

ERSO

15

5C

AP

ÍTU

LO

5

Armadura transversal

da alma, Asw

Armadura transversal

do banzo, Asf

Figura 104. Armaduras transversais de uma viga em T.

Fbanzo

Fbanzo

Fc

Tirantes M

Banzo comprimido

Figura 105. Passagem das forças de compressão dos banzos para a alma.

Essa armadura é dimensionada considerando a tensão de corte que existe na superfície de

ligação do banzo à alma, ver Figura 106. Devido ao esforço transverso existente, há uma variação de

momento ao longo do elemento. Essa diferença de momento fletor vai originar diferentes esforços

normais. Se forem consideradas duas secções a uma distância Δx. Isolando uma das abas do banzo

é possível determinar a variação de esforço normal nessa aba ao longo do comprimento Δx. A

tensão tangencial é obtida dividindo o acréscimo de esforço normal na aba pela área da superfície

de contacto da aba do banzo com a alma.

A tensão de corte entre a aba do banzo e a alma, νEd

, é dada por (ver Figura 106):

(154)

Em que:

hf espessura do banzo na ligação com a alma;

Δx comprimento considerado; o comprimento considerado não deverá ser superior a

metade da distância entre as secções de momento nulo e máximo; no caso de ações

pontuais, o comprimento não deverá exceder a distância entre pontos de aplicação das

cargas;

ΔFd variação do esforço normal numa das abas do banzo ao longo do comprimento Δx.

ESTA

DO

S LI

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ES Ú

LTIM

OS

16

4E

ST

RU

TU

RA

S D

E B

ET

ÃO

2d

u1

≤ 6d l1≤l2

l2 1 2l l

l1>l2

Figura 113. Perímetro de controlo junto de uma abertura.

6.1.1.2. Capitéis

Os capitéis são zonas junto aos pilares em que a laje tem uma maior espessura. Este aumento de

espessura é necessário sempre que a espessura da laje não seja suficiente para verificar o punçoa-

mento na face do pilar, ou seja, quando vEd

> vRd,Max

. Os capitéis contribuem também para a redução

da deformabilidade das lajes. Normalmente recorre-se à utilização de capitéis no caso de lajes de

maior vão ou muito carregadas, tais como lajes de edifícios industriais.

No caso de lajes sobre capitéis em que lH < 2h

H (Figura 114), a verificação das tensões de pun-

çoamento deve ser realizada na secção de controlo exterior ao capitel.

Para capitéis circulares, a distância desta secção a partir do centro de gravidade do pilar, rcont

,

pode ser considerada igual a:

2 0,5cont Hr d l c� � � � (162)

Em que:

lH distância da face do pilar à face do capitel;

c diâmetro do pilar circular.

Para pilar retangular com capitel retangular, a distância, rcont

, é dada por:

� �1 2 1min 2 0,56 ;2 0,69contr d l l d l� � � � (163)

Em que:

l1 = c

1 + 2l

H1 ;

l2 = c

2 + 2l

H2 ;

c1, c

2 correspondem à dimensão do pilar nas direções paralela e perpendicular

à excentricidade da carga (Figura 117);

Sendo l1 ≤ l

2.

ESTA

DO

S LI

MIT

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LTIM

OS

178

ES

TR

UT

UR

AS

DE

BE

TÃ

O

a) b)

Planta

A – B –– A – B

PlantaCorte A-A Corte B-B

Figura 125. Perfis metálicos: a) Secção “I”; b) Secção “U”.

6.5. Verificação para sapatas de pilares

Na verificação do punçoamento nas sapatas de pilares é possível reduzir o valor da carga atuante,

VEd

, tendo em consideração o efeito favorável da pressão exercida pelo terreno de fundação. Nestes

casos, a verificação do punçoamento é realizada a uma distância r, menor do que 2d (ver Figura 126).

Devem ser verificados diversos perímetros críticos, desde a face do pilar até ao menor valor entre

a distância à face da sapata ou 2d.

σsolo

VEd

r

Perímetro de

controlo

ΔVEd

Figura 126. Verificação do punçoamento em sapatas.

Nas sapatas, não é corrente colocar armadura de punçoamento. Não existindo condicionamen-

tos, é normalmente mais económico aumentar a altura da sapata. A verificação do punçoamento

é realizada considerando a tensão atuante de punçoamento, vEd,red

, e a tensão resistente de pun-

çoamento sem armadura, vRd

, em diversos perímetros de controlo. O valor do esforço atuante de

punçoamento é dado por:

,Ed red Ed EdV V V� �� � (180)

ESTA

DO

S LI

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ES Ú

LTIM

OS

18

6E

ST

RU

TU

RA

S D

E B

ET

ÃO

tal como no exemplo anterior, é transmitido à barra BC como momento torsor, T2= M

3. No entanto,

libertando as condições de compatibilidade, ou seja, realizando uma redistribuição de momentos

na barra AB, é possível anular o momento negativo no ponto B, aumentando o momento positivo

a meio vão: M2 passa a M

4. Dessa forma, na barra BC deixa de existir momento torsor. Na realidade,

esta redistribuição acontece ao haver fissuração por torção da barra BC, reduzindo a sua rigidez de

torção e, assim, reduzindo ou mesmo anulando o encastramento da barra AB no ponto B. Neste

tipo de torção é possível realizar a redistribuição de esforços, anulando os esforços de torção, sem

perda de estabilidade da estrutura. Esta redistribuição nunca será possível em estruturas isostáticas.

Apesar de não haver necessidade de dimensionar a estrutura para a torsão, é necessário colocar

armadura mínima longitudinal e transversal para controlar a fissuração.

Figura 129. Torção de equilíbrio.

Figura 130. Torção de compatibilidade.

TO

RÇ

ÃO

19

3C

AP

ÍTU

LO

7

TRd,max

= 2να

cwfcd

Akt

ef,i

tanθ + cotθ (189)

ν é definido na equação (142);

αcw

é 1 para secções não pré-esforçadas;

cotθ inclinação das bielas comprimidas; tal como para o esforço transverso:

1,0 ≤ cotθ ≤ 2,5

tem de ter o mesmo valor em TRd,max

e VRd,max

VRd,max

valor de cálculo do esforço transverso resistente máximo, de acordo com a equação (141).

Em secções cheias, a largura total da alma poderá ser considerada na determinação

de VRd,max

.

EXEMPLO 7.3:

Para a secção do exercício 7.1 determine a cot θ máxima que pode usar por forma a não haver esmagamento das

bielas de compressão.

Para cot θ = 2,5:

ν = 0,6 × 1 – 20

250 = 0,552

TRd,max

=

2 × 0,552 × 1,0 × 20 × 103

1,5 × 3,24 × 0,2

2,5 + 1/2,5 = 3284 kN.m

VRd,max

=

1 × 0,4 × (0,9 × 1,9) × 0,552 × 20 × 103

1,5

2,5 + 1/2,5 = 1736 kN

1500

3284 +

1200

1736 = 1,15 ≥ 1 KO

Para cot θ = 2,0:

VRd,max

= 2013 kN

TRd,max

= 3812 kNm

1500

3812 +

1200

2013 = 0,99 OK

7.3.3. Armadura longitudinal de torção

A torção que origina as fissuras helicoidais apresentadas na Figura 133 resulta na necessidade de

colocar não só armaduras transversais, mas também uma armadura longitudinal. Caso seja necessário

colocar armadura longitudinal, essa armadura deverá ser distribuída em todo o perímetro da secção.

Para secções pequenas, a armadura longitudinal poderá ser concentrada nos vértices.

ESTA

DO

S LI

MIT

ES D

E U

TIL

IZA

ÇÃ

O2

52

ES

TR

UT

UR

AS

DE

BE

TÃ

O

O comportamento idealizado para o cálculo da deformação numa peça de betão armado é, de

acordo com estas hipóteses, representado pela reta que passa na origem e no ponto correspondente

à combinação característica de ações. Assim, os valores de σs, M ou N a utilizar na equação (240)

devem ser calculados com a combinação característica de ações.

Na Figura 162 apresenta-se um fluxograma para o cálculo simplificado de deformações em vigas

de betão armado, tendo em consideração as hipóteses anteriores.

Quadro 47. Valores do coeficiente λ para vigas com dois apoios.

Carregamento Diagrama de momentos λ

0,125

23 4a–

a 0,5 λ= = 1/12

48(1 – a)

0,0625

2

0,1256

a–

0,104

0,102

22

2

5 41

80 3 4

a

a

–( )

–

a b

c

M M

M

+β =

a b

c

M M

M

+β =

0,104(1 – 0,1β)

0,083(1 – 0,25β)

M c

M a M b

L

P

M c

M a M b

L

p

22

24

pLM (3–4a )=

L

p aL aL

2

/ 15,6M pL=L

p

2 / 8M pL=L

p

0,5M aPL=L

P aL P aL

M

L

M

M = a(1 – a) PLL

P aL

M M

M M

AN

EXO

S2

65

Anexo AArmaduras para betão armado

Quadro A.1. Áreas de varões para betão armado (cm2).

N.o varõesDiâmetro [mm]

6 8 10 12 16 20 25 32 401 0.28 0.50 0.79 1.13 2.01 3.14 4.91 8.04 12.572 0.57 1.01 1.57 2.26 4.02 6.28 9.82 16.08 25.133 0.85 1.51 2.36 3.39 6.03 9.42 14.73 24.13 37.704 1.13 2.01 3.14 4.52 8.04 12.57 19.63 32.17 50.275 1.41 2.51 3.93 5.65 10.05 15.71 24.54 40.21 62.836 1.70 3.02 4.71 6.79 12.06 18.85 29.45 48.25 75.407 1.98 3.52 5.50 7.92 14.07 21.99 34.36 56.30 87.968 2.26 4.02 6.28 9.05 16.08 25.13 39.27 64.34 100.539 2.54 4.52 7.07 10.18 18.10 28.27 44.18 72.38 113.1010 2.83 5.03 7.85 11.31 20.11 31.42 49.09 80.42 125.6611 3.11 5.53 8.64 12.44 22.12 34.56 54.00 88.47 138.2312 3.39 6.03 9.42 13.57 24.13 37.70 58.90 96.51 150.8013 3.68 6.53 10.21 14.70 26.14 40.84 63.81 104.55 163.3614 3.96 7.04 11.00 15.83 28.15 43.98 68.72 112.59 175.9315 4.24 7.54 11.78 16.96 30.16 47.12 73.63 120.64 188.5016 4.52 8.04 12.57 18.10 32.17 50.27 78.54 128.68 201.0617 4.81 8.55 13.35 19.23 34.18 53.41 83.45 136.72 213.6318 5.09 9.05 14.14 20.36 36.19 56.55 88.36 144.76 226.1919 5.37 9.55 14.92 21.49 38.20 59.69 93.27 152.81 238.7620 5.65 10.05 15.71 22.62 40.21 62.83 98.17 160.85 251.33

Quadro A.2. Áreas de varões para betão armado (cm2/m).

Espaçamento

[mm]

Diâmetro [mm]

6 8 10 12 16 20 25 32 4025 11.3 20.1 31.4 50 5.7 10.1 15.7 22.6 40.2 62.8 98.2 75 3.8 6.7 10.5 15.1 26.8 41.9 65.4 107.2

100 2.8 5.0 7.9 11.3 20.1 31.4 49.1 80.4 125.7125 2.3 4.0 6.3 9.0 16.1 25.1 39.3 64.3 100.5150 1.9 3.4 5.2 7.5 13.4 20.9 32.7 53.6 83.8175 1.6 2.9 4.5 6.5 11.5 18.0 28.0 46.0 71.8200 1.4 2.5 3.9 5.7 10.1 15.7 24.5 40.2 62.8225 1.3 2.2 3.5 5.0 8.9 14.0 21.8 35.7 55.9250 1.1 2.0 3.1 4.5 8.0 12.6 19.6 32.2 50.3275 1.0 1.8 2.9 4.1 7.3 11.4 17.8 29.2 45.7300 0.9 1.7 2.6 3.8 6.7 10.5 16.4 26.8 41.9325 0.9 1.5 2.4 3.5 6.2 9.7 15.1 24.7 38.7350 0.8 1.4 2.2 3.2 5.7 9.0 14.0 23.0 35.9375 0.8 1.3 2.1 3.0 5.4 8.4 13.1 21.4 33.5400 0.7 1.3 2.0 2.8 5.0 7.9 12.3 20.1 31.4425 0.7 1.2 1.8 2.7 4.7 7.4 11.5 18.9 29.6450 0.6 1.1 1.7 2.5 4.5 7.0 10.9 17.9 27.9475 0.6 1.1 1.7 2.4 4.2 6.6 10.3 16.9 26.5500 0.6 1.0 1.6 2.3 4.0 6.3 9.8 16.1 25.1

AN

EXO

S2

71

Anexo CÁbacos de dimensionamento de secções retangulares em flexão composta

ν

fck

≤ 50

fyk

= 400

β = 0,5

= 0,1

μ

μ = ν =M

Ed

Asf

yd Asc

fyd

Asc

bh2fc

bhfc

bhfc

As

ω = ωc = β = f

c = ηf

cd

α = =x c

h h

NEd

bhfc

x/h=2,0

x/h=1,0

x/h=0,10

w=0,0

Também disponível em formato e-book

ISBN: 978-989-723-040-0

Sobre o livro

Nos últimos anos a regulamentação de estruturas foi uniformizada na Europa com a introdução dos

Eurocódigos Estruturais. O Eurocódigo 2, que se refere às estruturas de betão armado e pré-esforçado, tem

vindo a ser progressivamente mais utilizado na prática corrente de projeto. O livro, que apresenta as bases de

dimensionamento de estruturas de betão de acordo com o Eurocódigo 2, começa por apresentar as regras gerais

de verificação da segurança em estruturas. Seguidamente são apresentadas as propriedades dos materiais betão

e aço, bem como a sua interação, incluindo questões relacionadas com a durabilidade e amarração de varões.

Apresenta depois as regras de dimensionamento em estado limite último de elementos de betão armado para

o esforço axial, de flexão, esforço transverso, punçoamento e torção. Finalmente aborda o dimensionamento de

elementos de betão para estados limites de utilização (limitação de tensões, fendilhação e deformação), que são

cada vez mais condicionantes para uma construção mais durável e sustentável.

Sobre os autores

Paulo Barreto CachimNasceu em Ílhavo em 1968. Licenciou-se em Engenharia Civil em 1991, na Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto (FEUP). Realizou provas de Mestrado em Estruturas dois anos mais tarde, em 1993, tendo

concluído o Doutoramento em Engenharia Civil no ano de 2000, também na FEUP. Recebeu o Prémio Eng.o

António de Almeida em 1991, que distingue os alunos que concluíram a sua licenciatura com a classificação mais

elevada, igual ou superior a 16 valores.

Atualmente é Professor Associado do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro, onde é

Diretor do Departamento de Engenharia Civil e leciona disciplinas na área das estruturas desde 1997. Entre 1993

e 1997 lecionou no Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho disciplinas da área curricular

de estruturas.

É membro Sénior e Especialista em Estruturas pela Ordem dos Engenheiros.

É autor e coautor de diversos livros e de artigos científicos publicados em revistas científicas internacionais,

bem como de várias comunicações e apresentações em congressos da especialidade.

Miguel Monteiro de MoraisNasceu em Moçambique em 1973. Licenciou-se em Engenharia Civil em 1996 na Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto (FEUP). Concluiu o doutoramento na Universidade de Cambridge em 2007.

Atualmente é Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro, onde leciona

disciplinas na área das estruturas. É autor e coautor de várias comunicações e artigos científicos apresentados em

congressos e publicados em revistas técnico-científicas e da especialidade.

Estruturas de betãoBASES DE CÁLCULO

Paulo Barreto CachimMiguel Monteiro Morais

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