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218
ME!TODO IMPL!CITO PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE ONDAS DE CHEIA EM JUNÇÃO DE RIOS Pau.lo C11.,l4tÕvã.o. de A11.aú.jo Silva TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.) Aprovada por: Presidente RIO DE JANEIRO ESTADO DA GUANABARA - BRASIL OUTUBRO DE 1972
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ME!TODO IMPL!CITO PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE
ONDAS DE CHEIA EM JUNÇÃO DE RIOS
Pau.lo C11.,l4tÕvã.o. de A11.aú.jo Silva
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.)
Aprovada por:
Presidente
RIO DE JANEIRO
ESTADO DA GUANABARA - BRASIL
OUTUBRO DE 1972
à memória de minha Mãe.
Ao meu Pai.
ii
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. RUI CARLOS VIEIRA DA SILVA, pela conscie~
te orientação indispensável ao desenvolvimento deste trabalho.
Ao pessoal docente e administrativo da COPPE e NCE
que, direta ou indiretamente nos ajudou, em especial ao Prof.
FERNANDO LOBO CARNEIRO.
à Universidade Federal da Paraíba, por nos ter pr~
porcionado as condições necessárias à realização do curso e
elaboração da tese. Em especial destaque, aos Professores
SERAFIM RODRIGUES MARTINEZ, VITORIANO GONZALEZ Y GONZALEZ e
KLEBER CRUZ MARQUES.
Ao Prof. NEWTON FERNANDES MAIA, Chefe do DHS e de
mais colegas do Departamento que nos auxiliaram
nossos objetivos.
a atingir
à WANDA F. ROCHA, pela eficiência e presteza nos
trabalhos de datilografia.
iii
S U M Â R I O
Nosso estudo objetiva essencialmente a formulação
e apresentação de um método para solução do problema de pr~
pagação de cheia em confluência de rios ou canais.
Podemos sintetizá-lo nas seguintes etapas:
a) hipótese de seccionamento na confluência com
aplicação de processo implicito a cada tre
cho isoladamente;
b) oorreçãó do tirante na confluência pela equ~
ção da continuidade.
Entre outros aspectos inerentes ao processo é in
teressante ressaltar:
a) a impossibilidade de solução do problema p~
los métodos aproximados existentes;
iv
b) a única solução, sistemática e completa, já
apresentada 3 utiliza processo explícito, su
jeito a severas limitações.
Desenvolvemos o trabalho nos Itens seguintes:
I - apresentação de problemas importantes em pro
pagação de cheias e definição dos objetivos
deste estudo;
II - teoria básica, revisão histórica dos métodos
de solução; princ!pais métodos com
gens e limitações correspondentes;
vanta
III - descrição do Método Implícito de Amein e
Fang (MIAF) para problemas de propagaçao de
cheias; aplicações e vantagens;
IV - estudo do problema de junção e desenvolvime~
to do método de solução por seccionamento;
V - apresentação de resultados e considerações
para aplicação prática do método.
V
As conclusões formuladas em seguida comprovam a
viabilidade de utilização do método. Sua aplicação a pr~
blemas reais depende apenas da disponibilidade e
ção de dados de campo. são também apresentados
observados que nos pareceram importantes, inclusive
tões para posteriores estudos.
codifica
detalhes
suge~
Em apêndice sao feitas considerações sobre elabo
raçao e utilização de programas, diagramas de blocos e lis
tagens.
vi
ABSTRACT
The scope of this thesis is to propose and analyse
a new method for problems of flood waves through junctions
of rivers or channels.
It can be summarized as follows:
l) we assume that each branch can be cut at the
junction~ and analysed independently of the
others, using an implicit method;
2) matching the stages at the junction using the
continuity equation.
Besides other features related to the method it is
worthwhile to emphasize:
a) it is impossible to solve the problem by
approximate methods known at the present
time. (1972).
vii
b) the only solution presented in a systematic
way, makes use of an explicit method jeopar
dizeci by crucial restrictions.
This thesis follows the following outline:
I) Description of important applied problems
concerning flood movement and definition of
the scope of this study;
II) Basic theory, historical review of the solu
tions methods, more frequently used methods,
their advantages and limitations;
III) Description of Amein and Fang's Implicit
Method for problems of floods movement, appli
cations and advantages;
IV) Analysis of the junction problem and develop-'
ment of a solution by cutting the branches at
viii
the junction;
V) Presentation of the results and comments on
the practical application of this method.
The Conclusions presented in the text justify the
feasibility and usefulness of the method. Applications to
real problems depends only on field data (disposibility and
codification).
Related to some problems that carne into play during
the present study, we make some suggestions for further re
search.
In the Appendix are exposed some comments on the
computer programs, flow charts and listings.
Figuras:
4.3.2
4.3.3
5.1.1
5.1.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
xii
Páginas:
Evolução do tirante.na junção, modêlo
de Stoker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Perfis longitudinais na junção, instan
te tj + 1 ............................. .
Perfis longitudinais em trecho Único ••
Região de escoamento praticamente nao
107
123
perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Perfis longitudinais de cheia em confl~
ência (método de Stoker) •.•••••••••••• 125
Perfis longitudinais de cheia em conflu
ência (método implicito) .••••••••••.•• 132
Perfis longitudinais de cheia em conflu
ência (superposição) .••••••••••••••..• 133
Perfis longitudinais de cheia em conflu
ência (evolução) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5. 2. 5 _ - Perfis longitudinais de cheia em conflu
ência (malhas distintas . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.6 Perfis longitudinais de cheia em conflu
ência (fronteiras distintas) •••••••••• 136
xiii
LISTA DE SÍMBOLOS
a, b, ... , a', b', ~ .. , constantes-.·
A, areada seçao transversal do rio ou canal.
matriz jacobiana do sistema linear, no método de
iteração de Newton.
a, função representativa de V, Y, S, ••. , no plano x,t.
B, largura da seçao transversal à superfície livre.
C , c0
, velocidade de propagaçao da onda (celeridade).
Cr, coeficiente de resistência.
c1
, c2
, constantes.
e: , precisão adotada como limite de convergência
método de Newton.
do
f (t) , função do tirante, velocidade ou vazao, com o tem
po, na fronteira.
g ,
i ,
xiv
função em Y e V, associada a equaçao da continui
dade, malhai.
função em Y e V, representando a condição de fron
teira no final de um trecho.
número de Froude.
aceleração de gravidade.
função em Y e V representando a condição de fron
teira no inicio de um trecho.
função em Y e V, associada a equaçao da quantid~
de de movimento, malhai.
função em Y e V, malhai, representando F. ou G .• l. l.
Indice da seçao de ordem i, de um trecho ou do·po~
to i, eixo x, plano x, t.
j , Índice correspondente ao instante de ordem j.
J(Y, V), têrmo integral, equaçao (II.1.8).
k ,
L ,
índice correspondente ao ciclo de iteração de or
dem k.
comprimento de onda.
n ,
N ,
p ,
q ,
Q ,
k RG,i
k Rir,i
SO ,
s ,
t ,
Tf ,
Ti ,
T , pr
XV
coeficiente de atrito, fórmula de Manning.
número de seçoes de um trecho de rio ou canal.
perlmetro molhado.
influxo lateral por unidade de largura.
vazão média em urna seção transversal.
componente de Rk j+l
Fiou Gi.
, representando o resíduo
vetor cujas componentes representam resíduos
resíduo de Gi no ciclo de iteração k.
res!duo de Fino ciclo de iteração k.
decliv.idade de fundo do rio ou canal.
declividade de atrito.
tempo ou instante de cálculo.
de
de
per!odo .de simulação ou instante final de cálculo.
trecho que compoe a junção, i = 1, 2, 3.
tempo de processamento.
V \ I , V:o
X ,
y ,
z ,
k zj+l,
xvi
velocidade média na seçao transversal.
distância medida na direção do canal.
tirante de água ou profundidade.
elevação da superfície da água, com relação a um
plano de referência.
componente do vetor representando ou
~-vetor que representa Y e V, ao final do ciclo de
iteração k.
z , , variável muda,equação (II.1.6).
Capítulos:
I
II
III
ÍNDICE
INTRODUÇÃO ............................. FUNDAMENTOS TEÕRICOS •••••..•••••.•••.••
II .1 Equações do movimento nao perm~
ix
Páginas:
1
9
nente em rios e canais......... 9
II.2 Revisão histórica dos métodos de
II.3
solução ........................ Principais métodos de
vantagens e limitações
solução:
M1i:TODO IMPL!CITO PARA ESTUDO DE PROPAGA
ÇÃO DE CHEIAS ..•••••••.••••••••••.•••••
III.l Importãncia do desenvolvimento de
19
27
36
métodos impl!citos ••••••••.•••• 36
III.2 Método impl!cito de Amein e Fang
(MIM) ..••....••••...........•• 38
III.3 Exemplos de aplicação do Método
de Arnein e Fang •••...•.••...... 68
X
Capitulos: Páginas:
IV
V
PROPAGAÇÃO DE CHEIA EM CONFLuf!:NCIA. SO
LUÇÃO POR SECCIONAMENTO •••••••...••••••
IV. l Formulação do problema. Caracte
72
risticas particulares........... 72
IV.2 Aplicação do método implicito. E~
quemas de cálculo............... 79
IV.3 Solução por seccionamento na ju~
çao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
TESTES E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS 110
V.l Propagação de cheia em trecho úni
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
V. 2 Problema da junção: modeio de
Stoker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
V.3 Considerações sobre a aplicação
do método de seccionamento a pr~
blemas práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
CONCLUSÕES E CONSIDE~ÇÕES ~FINAIS. • • • . • • • • • • • • • • • • 150"
REFE~NCIAS BIBLIOGRÃFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
APil!NDICE Considerações sobre a programação.. D_!
agramas de bloco. Programas ......... . 159
Figuras:
1.1.1
2.1.1
2.1.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
4.1.1
4.2.1
4.2.2
4.3.1
xi
LISTA DE FIGURAS
Páginas:
Confluência de rios ou canais ••••••••• 8
Definição esquemática de um elemento de
canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Representação física da continuidade
Condições de contorno para processo im
plícito, malha retangular •••••••••••••
Malha retangular com ponto centrado •••
M.I.A.F. para trecho simples •••.•..•••
Discretização dos trechos nos planos x,
17
41
43
55
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8
Representação de confluência com indica
ção das seções e seccionamento ........ 80
Matriz linear de iteração para o probl~
ma de confluincia ....•................ 89
Matriz linear de iteração, substituída
a equação de continuidade na junção... 98
1
CAP!TULO I
INTRODUÇÃO
Dentro do campo dos recursos hidráulicos, uma
grande variedade de fenômenos assume especial importância,
pela frequência com que ocorrem na natureza e em estruturas
artificiais destinadas ao aproveitamento desses recursos.
Essa vasta classe abrange fenômenos como "runoff" de supeE_
ficie, movimento de marés, ondas em canais, regulação de
reservatórios, movimento de cheias.
Uma caracteristica comum aos exemplos citados e
a nao permanência dos movimentos, constituindo os .. chamados
transientes hidráulicos, cuja análise se fundamenta nas e
quações de conservação da massa e da quantidade de movimen
to ou, simplesmente, equações do escoamento não permanente.
Evidentemente o grau de nao permanência varia com
a natureza do fenômeno. Por exemplo, cheiás nos sistemas
2
de drenagem urbanos ou movimentos em canais de fuga, nas h~
ras de "pico", em estações hidroelétricas, envolvem interv~
los da ordem de minutos; são considerados transientes rã
pidos. Já o movimento de _ ..c,,-t-1 ti.::\_t O-:)
mares em estuarios com peri~
dos de 12 a 24 horas, ou a propagação de cheias em rios,
com periodos de várias horas e mesmo de dias, são transien
tes lentos.
Além disso, observação mais detalhada de cada ti
pode problema revela aspectos particulares importantes p~
ra sua análise e solução. Assim, a propagação de cheia em
um rio pode ser vista apenas como o movimento de uma onda
positiva de montante para jusante. No entanto, a passagem
da onda através de uma confluência altera suas caracter Is
ticas iniciais (refração) e origina perturbações que se pr~
pagam para montante (reflexão), nos trechos que compõem a
junção.
t justamente de problemas deste tipo que tratare~
mos com detalhes em capitulos subsequentes. Por enquanto,
dedicaremos nossa atenção ao grupo de fenômenos onde eles
se apresentam: movimento de cheias.
Normalmente as seguintes hipóteses sao adotadas
para o movimento de cheias, sem prejuizo de suas propried~
3
des mais importantes:
transientes de ondas longas, onde a relação
profundidade (Y)/comprimento de onda (L) é
tal que Y/L << l;
escoamentos unidimensionais·.
Com base nessas hipóteses, vários tipos de probl~
mas podem ser atacados de forma relativamente simples: o
movimento de onda de cheia ao longo de um rio ou canal; a
propagação de onda de cheia em reservatório (barragem); a
passagem de onda de cheia através de confluência, etc.
A importância do estudo de tais problemas é
dente: o engenheiro deve dispor de processos teóricos
ra determinar, por exemplo, o comportamento de uma onda
cheia em um canal de caracter!sticas dadas, para poder
dizer os efeitos, sobre a propagação, das modificações
evi
p~
de
pr~
que
devem ser feitas no rio natural, com vistas ao seu
aproveitamento e controle de cheias.
melhor
O problema mais simples consiste em seguir, atra
vês de cálculo, o curso de uma onda de cheia, â medida que
4
ela se move ao longo de um certo trecho de rio ou canal. O
processo utilizado na solução de tal problema é comumente
denominado "flood routing" (ou propagação de cheia).
O "flood routing" é uma técnica indispensável na
solução completa de um problema de controle de cheia e no
bom funcionamento de um serviço de previsão de cheias. Com
esse objetivo o "flood routing" é reconhecido como um proc~
dimento necessário para determinar a hidrógrafa (curva va
zão x tempo ou profundidade x tempo) em uma seção de uma
corrente a partir da hidrógrafa conhecida em uma seção a
montante.
Neste ponto é conveniente fazer a distinção entre
os dois tipos de métodos utilizados em "flood routing": o
método hidráulico, fundamentado na solução das equações di
ferenciais básicas do escoamento nao permanente em canais
abertos; o método hidrológico, que procura soluções apr~
ximadas dessas equações sem, contudo, utilizá-las diretame~
te. O método hidrológico é, em geral, mais simples, mas
apenas no problema de propagação de onda ao longo de um rio
ou canal, pode dar resultados plenamente satisfatórios. Nos
outros dois problemas citados anteriormente, o método hidr~
lógico não pode ser usado. Os efeitos de remanso (refl~
5
xao de onda), no caso da junção e as perturbações origin~
das no caso de cheia em barragem não podem ser avaliadas
com precisão, a nao ser através das equações
completas.
hidráulicas
Feitas essas considerações podemos definir clara
mente o objetivo de nosso estudo e resumir seus
mais importantes.
aspectos
O presente trabalho visa a formulação e apresent~
çao de um método para solução do problema de movimento de
cheia através de confluência de rios ou canais.
·pas:
Básicamente, o método consiste das seguintes eta
a)
b)
hipótese de seccionamento na junção,
zando uma equação auxiliar do tirante
utili
como
fronteira, além das equações de compatibil!
dade cinemática (igualdade de tirante nos
três ramos, junto à confluência);
aplicação do processo implícito de AMEIN e
FANG 112, a cada ramo, isoladamente, relacio
6
nando-os através da equaçao da continuidade
na junção.
Além de outras caracteristicas comuns aos probl~
mas de propagaçao de cheias alguns aspectos ressaltam a im
portância do problema de confluência:
a) a propagaçao de perturbações nos trechos de
rio a montante da confluência impedem a sol~
çao do problema pelos processos aproximados
existentes;
b) a única solução sistemática e completa já
3 • apresentada ' inclusive com aplicação a um
problema real, se fundamenta na utilização de
processo explicito, sujeito a sérias restri
çoes;
c) o esquema de cálculo desenvolvido neste tra
balho procura aproveitar as principais vant~
gens de um processo implicito relativamente
recente, mas já testado com sucesso por vá
rios pesquisadores 1 2 5 6 , , ,
7
t interessante observar ainda a oportuna aplic~
çao do método ao mesmo modelo formulado por Stoker, o que
representa um severo teste, em virtude da taxa de cheia ex
tremamente elevada (cerca de 7 a 10 vezes as maiores taxas
registradas em grandes rios).
. e D
a) Planta
e -.:......----------o T3
b) Esquema
Fio. 1.1 - Confluência de rios ou conais.
8
9
CAPfTULO II
FUNDAMENTOS TEÕRICOS
II.l EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NÃO PERMANENTE EM RIOS E
CANAIS
O escoamento nao permanente em canais abertos é
representado por duas equaçoes, continuidade e quant!_
dade de movimento, geralmente denominadas equações de
St. Venant. Constituem um sistema a derivadas parciais,
de la. ordem, quase linear, tipo hiperbólico e somente nos
casos mais simples existem soluções expl!citas. Tratando-
-se de assunto bastante estudado, a derivação dessas
ções não será apresentada aqui. Limitar-nos-emos à
equ~
apr~
sentação das equações, indicando as hipÕteses adotadas na
derivação. Detalhes a respeito poderão ser encontrados em
7 8 9 10 li CHOW , HENDERSON , LAI , GILCREST e HARLEMAN , os
três Últimos citados por GUNARATMAM 1 2
10
As seguintes hipóteses devem ser consideradas na 1 2
obtenção das equações de St. Venant :
escoamento unidimensional, isto é, velocidade
uniforme sobre cada seção transversal e a su
perficie livre é uma linha horizontal através
da seção; desprezam-se assim a aceleração de
Coriolis e a aceleração centrifuga devida a
curvatura do canal;
pressao hidrostática em cada ponto do canal,
isto é, a aceleração vertical é desprezivel e
a densidade do fluido é homogénea;
os efeitos de turbuléncia e atrito na frontei
ra sao considerados introduzindo uma força de
atrito dada pelas equações empiricas de Manning
ou Darcy-Weisbach.
Com base nessas hipóteses as equaçoes de conserva
çao da massa e da quantidade de movimento podem ser aprese~
tadas sobre as formas seguintes:
Equação da continuidade:
B • az az av aA + B.V. +A. +V. at ax ax ax Z=cte
Equação da quantidade de movimento:
av + v at
av + Vq = 3x A
3Y g (S
0 - S) - g •
ax
= q
(II.1.1)
(II.1.2)
Nessas equaçoes temos (Ver Figura II.1.1):
B = largura da seçao à superfície da água;
11
Z = elevação da superfície em relação a um plano de
referência;
V = velocidade média na seçao transversal;
A = área da seçao transversal;
q = influxo lateral (vazão por unidade de
to);
comprime!!_
12
50 = declividade de fundo do canal;
s = declividade de atrito ou declividade da linha de
energia;
y = profundidade ou tirante;
g = aceleração da gravidade.
A equaçao da continuidade define os efeitos de
armazenamento do canal. Assim:
e
az B •
B. V.
A·1f •
at
-ª! ax
av ílx
=
=
=
V • ílA 1 ílx Z'=cte
taxa de elevação que dá as variações de
armazenamento decorrentes das variações
com o tempo do nível da superfície;
"armazenamento em prisma", devido a va
riação do nível da superfície com adis
tância;
parcelas de "armazenamento em cunha",
em virtude de variações na velocidade e
seçao transversal com a distância; os~
gundo têrmo define o caráter não prism~
tico do canal;
q =
13
influxo lateral correspondente à variação de
massa no espaço e no tempo, além dos têrmos
de armazenamento.
Na equaçao da quantidàde de movimento figuram os
têrmos que representam as forças predominantes no fenômeno:
av V •
q.V
A
ax
g . s
g • élY ax
=
=
=
=
=
=
aceleração decorrente da variação no
coamento com o tempo;
es
aceleração decorrente da variação na velo
cidade com a distância;
aceleração devida ao influxo lateral;
efeito da força de gravidade;
efeito das forças de atrito;
efeito das forças de pressao.
14
Se o tirante Y e a velocidade V sao tomados como
variáveis dependentes, temos:
aA av aA V.-+A. +--q=O (II.1.3) ax ax at
av + v at
av + q.v = ax A
ôY g • (S O - S) - g .
ax
(II.1.4)
Sendo A uma função conhecida da profundidade Y,
vem:
ôA
at dA
dY
aY aY = B • = at at
aA = B • aY. + J y aB (x, z)
ax ax o ax
(II. 1. 5)
• dz (II.1.6)
onde B = B(x,Y) = largura da superficie, zé uma variá
vel muda e o têrmo integral representa o caráter não prism~
tice do canal.
onde:
A equaçao (II.1.3) poderá ser escrita:
3Y A + 3t B
av + v ax
V J(Y ,V) =
B f
y 3B
0 ax
ôY + J(Y,V) - q = O ax
• dz
(II.1.7)
(II.1.8)
15
Em muitos casos a influência do têrmo J(Y,V) é
desprez!vel e a equação (II.1.7) se simplifica:
3Y + A av av + V • - q = O (II.1.9) at B ax ax
Para maior clareza, é oportuno incluir aqui alg~
mas considerações de caráter prático.
1. Para efeito de estabilidade numérica A(Y) e
B'(Yl., em uma mesma seçao, devem ser compat!veis. Isso si_s:
nifica que, se um deles é obtido a partir de medidas de cam
po, por exemplo, A(Y), o outro deve ser calculado pela ex
q
l 1 1 l l
.. y -z
P.R. 4X x, P.R.
(a) p.,.fll longitudinal (b) ...
Seçao transversal
Fig. 2.1.1- Definição esquemática de um elemento de canal. ... ..
- (3) --i---------
~Q;t, ... ::: .c.~l:.,,( 2t)!,,.______ ,~ !_+'~ t_
( 1 )
1
1
1
1
1
.--t
1--- - - -
( 1 ) A . .2,y_ · âX. ât = Jx armazenamento em prisma.
(2) 8. _.Ji.·ât âX • -~ t . armazenamento por elevaiªº
(3) V. ~e ·4X.ât• armazenamento em cunha.
do I
n1vel.
Fig. 2 .1.2 - Repre1enta9ão física da continuidade.
pressao B = dA
dY
18
2. O têrmo J(Y,V) pode ser avaliado estimando
j)B
ax a partir das equaçoes B = dA dY
e efetuando a integração
numérica para incrementes âY da profundidade.
3. A declividade de atrito, quando calculada p~
la fórmula de Manning, deve ser escrita:
V. jvj (II.1.10) s =
onde R = ~ p
tro molhado
= raio hidráulico da seçao, com P = per!m~
e Cr= ¼, com n = coeficiente de Manning.
No capitulo V, outras observações diretamente li
gadas a aplicações poderão ser encontradas.
As equaçoes de St. Venant serao utilizadas nos ca
p!tulos subsequentes sob a forma acima apresentada, comume~
te denominada não divergente. Outras formas existem, ade
quadas a soluções numéricas de diferentes problemas de esco
19
amento nao permanente.
Além disso as equaçoes podem ser formuladas em di
ferentes graus de generalidade, de acordo com a natureza do
problema em estudo. Detalhes a respeito poderão ser encon
1 2 3 1 3 trados em GUNARATMAN , STOKER , STRELKOFF
A forma nao divergente aqui apresentada atende às
características particulares do método numérico escolhido~
ra o problema da junção.
II.2 REVISÃO HISTÕRICA DOS M~TODOS DE SOLUÇÃO
No primeiro capitulo falamos, apenas superfic~a!
mente, dos métodos empregados no estudo de propagação de
cheias. Aqui, incluímos outras considerações sobre esses
métodos e tentaremos fazer um esboço, sob aspecto histórico,
de seu desenvolvimento e aplicações, · No item 2.3, aprese~
taremos, de forma sucinta, os mais importantes,
suas respectivas vantagens e limitações.
indicando
20
Com o desenvolvimento de máquinas eletrônicas mo
dernas, capazes de seguir uma cheia a partir de suas ori
gens, o significado do "flood routing" se ampliou, incluin
do a observação do movimento da água desde a chuva até o es
coamento superficial. Nesse sentido, um método estritamen
te hidráulico de "flood routing" seria extremamente compl.!_
cado. Assim, mesmo os chamados métodos hidráulicos passam
a ser formas simplificadas desenvolvidas com objetivos prá
tices. Resumiremos vários tipos de solução caracteristi
cos desses métodos.
A partir das equaçoes gerais do movimento nao pe~
manente é possivel, nos casos mais simples, chegar a alguns
modelos analiticos de cálculo. A aplicabilidade de cada
um está, portanto, subordinada ao grau de complexidade do
problema a resolver. Um desses modelos se restringe a uma
das equações, a continuidade, e constitui o principio dos
modelos hidrológicos de "flood routing".
A carência de generalidade das,,soluções anallti
case a impropriedade de sua utilização mesmo em certos ti
pos de transientes lentos, como a passagem de cheia em con
fluência, levaram à pesquisa, encorajada pelo constante
aperfeiçoamento dos computadores eletrônicos, de méto
dos numéricos para solução das equaçoes completas.
métodos baseados em técnicas de diferenças finitas
21
vários
foram
desenvolvidos. Os mais conhecidos são o método das carac
teristicas e o método explícito.
Esses métodos foram aplicados na solução de dife
rentes tipos de problemas, mas quando usados em propagaçao
de cheias podem ser considerados simplesmente como
diversas do método hidráulico de "flood routing".
formas
t oportuno fazer aqui algumas considerações sobre
os vários tipos de solução numérica, pela sua crescente im
portância nos problemas de movimento não permanente.
Podemos classificá-los em métodos diretos e méto
dos das características. Nos métodos diretos a represent~
çao em diferenças finitas é feita diretamente a partir das
equaçoes do movimento. No métodos das características as
equaçoes sao primeiramente modificadas para a forma caracte
rística e esta é usada para a representação em diferenças
finitas. Os pontos onde devem ser obtidas as soluções sao
representados graficamente pelos nós de malhas traçadas no
plano x, t. (Figura II.2.1)
22
Os esquemas em diferenças finitas normalmente us~
dos em ambos os métodos podem ser explícitos ou implícitos.
No esquema explícito, as soluções em um certo instante t +
+ At dependem unicamente das soluções obtidas no instante
anterior t, condições iniciais. No esquema implícito,
as soluções dependem simultaneamente das soluções no instan
te anterior, t, e no instante considerado, t + At, con
dições iniciais e fronteiras.
As equaçoes em diferenças finitas do esquema ex
plícito são conjuntos de equações algébricas lineares de
onde as incógnitas podem ser diretamente calculadas. No es
quema implícito, são obtidos sistemas de equaçoes algébr!
cas não lineares que, em geral, devem ser resolvidos por
iteração.
Apresentamos, a seguir, um retrospecto do desen
volvimento e aplicações dos métodos referidos com indica
ções cronológicas e bibliográficas, focalizando aqueles re
!acionados com problemas de propagação de cheias em rios e
especialmente com o problema da junção, objetivo do nosso
estudo.
STOKER, ISAACSON e TROESCH 3, ~
, em 1956, foram
23
provavelmente os primeiros a aplicar o método explícito ao
movimento de cheias em rios, em trabalho realizado nas se
guintes etapas:
1. Desenvolvimento da Teoria Básica e
numéricos de ataque, 1953.
métodos
2. Solução numérica de problema de cheia em mo
delo simplificado do OHIO e sua junção com
o MISSISSIPI, 1954.
3. Aplicação do método na previsão de cheias, i~
eluJive o p~oblema da cheia de 1947, at~avêJ
da jun~ão Ohio-MiJJiJJipi, 1956.
Os resultados obtidos por Stoker e seus colegas
sao considerados muito bons e quase todos os trabalhos de
senvolvidos posteriormente nessa área de estudo têm no tra
balho de Stoker seu ponto de partida.
No entanto, em virtude da severa restrição impo~
ta pelo critério de Courant, 6t ~ 6x/(V+C), e ou
tras dificuldades relacionadas com a precisão, a discreti
24
zaçao da malha ficou limitada a pequenos valores de llt e
t.x: nos problemas estudados, llt < 9rnin e 21\x < l0rnL, .
Para cheias de longa duração e/ou trechos longos,
de geometria complicada, essas limitações podem tornar pro~
bitiva a aplicação do processo, em termos de custos de cál
culo computacional.
Essas conclusões levaram os autores a preconizar
o estudo e aplicação de métodos implícitos a problemas de
propagaçao de cheias, mesmo a custo de esquemas cornputaci~
nais mais complicados.
Entre as considerações finais de seu trabalho,
Stoker e seus colegas destacam a apresentação de um e6quema
impl1cito de malha 4etangula4 corno sugestão para
res estudos e aplicações.
posteri~
Em 1964, o mesmo grupo, Stoker, Isaacson e Troesch,
chegou a testar o esquema por eles denominado "box scherné" ,
inclusive no problema de cheia provocada por arraste de baE
ragern. No entanto, as observações a respeito dos testes,
5 -apresentadas por ISAACSON nao chegam a detalhes:
25
11 - o esquema é impllcito e, portanto, nao res
tringe o valor do intervalo de tempo;"
li pode ser usado com malha de intervalo ~x va
riável, evitando a interpolação dos dados do rio que normal
mente são levantados a intervalos uniformes;"
li verificamos que o "box scheme II funciona , bem
sê os_2dados- são utilizados em intervalos entre 1, O e 8, Omi,
exceto para o caso de uma severa cheia provocada por súbito
arraste de uma barragem. 11
A bibliografia indicada por ISAACSON nao faz refe
rência que trate especificamente dos testes do "box scheme".
Em 1969, AMEIN 1 apresenta, com ligeiras modific~
çoes, o processo impllcito sugerido por STOKER e seus cole
gas, inclusive sua aplicação a um problema clássico, repet~
damente resolvido por outros métodos: propagaçao de onda
de cheia sinusoidal em canal de grande comprimento e
ra infinita. Em seu trabalho, AMEIN vai desde a
larg~
formula
ção do método até um estudo comparativo das soluções do pro
blema obtidas com outros métodos: "storage routing", ex
pllcito (STOKER) e caracterlsticas (AMEIN).
26
2 Em .19.70, AMEIN e FANG- formulam o processo para
aplicação em rios nas suas condições reais. Os resultados
obtidos podem ser considerados:' excelentes em termos de pr~
cisão e, especialmente na redução dos tempos de computação
quando comparados com processos explícitos.
Na sequência acima procuramos destacar os métodos
e problemas relacionados com nosso trabalho: a aplicação
do processo implícito utilizado por AMEIN na solução do pr~
blema de junção que, segundo a literatura, apenas Stoker e
seus colegas chegaram a resolver, mas por processo explic!
to.
Como informação, outros autores e métodos podem
ser citados: o método explicito foi aplicado a escoamento
superficial (overland flow) por SCHAAKE 14
, 1965 e por MOR
GALI e LINSLEY 15, 1965; o método das características, e~
quema explicito, foi aplicado à propagação de ondas longas
por AMEIN 16, 1966 e a estuários por LAI 17
, 1967; o méto
do das características, esquema __ iníplicito, foi usado em pr~
1 8 pagaçao de cheias por AMEIN , 1966 e por FLETCHER e HAMIL
TON 19, 1967 e em t f' i 1 escoamen o super ic a por LIGGETT e
WOOLHISER 20
, 1967; em 1967, ainda AMEIN 21 faz um estudo
comparativo das soluções obtidas por diversos métodos.
27
A procura de processos mais adequados levou à for
mulação de diferentes esquemas implícitos, inclusive o de
Amein e Fang, já mencionado.
II.3 PRINCIPAIS M~TODOS DE SOLUÇÃO: VANTAGENS E LIMI
TAÇÕES.
A fim de melhor caracterizar a posição e importá~
eia do método implícito que pretendemos empregar no probl~
ma de cheia em confluência,· indicamos a seguir os princ!
pais métodos de solução das equações de St. Venant, com suas
vantagens e limitações mais relevantes.
Mêtodoh Anallticoh.
As soluções analíticas para problemas de movimen
to nao permanente são obtidas por simplificação ou aproxima
ção das equações de St. Venant de acordo com a importância
relativa de seus termos. A equação da continuidade expr!
me o mecanismo de armazenamento do canal, .suas margens e
lagos por onde passa. A equação da quantidade de movimen
28
to, através dos termos de atrito,inércia e pressao, repr~
senta os efeitos de resistência do escoamento. A influên
eia relativa desses efeitos ou mecanismos e as consequentes
simplificações ou aproximações conduzem a vários modelos de _ 7 8 12
calculo ' ' : "storage routing", modelo cinemático, mod~
lo difusivo. A solução através das equações completas oons
titui o modelo dinámico.
No esquema abaixo, representamos as equaçoes de
St. Venant, indicando os termos que devem ser considerados
em cada tipo de modelo. Do modo como são indicadas as e
quaçoes, outras hipóteses, além daquelas citadas no item
II.l são admitidas: canal retangular de grande largura;
influxo lateral nulo, isto é, q=O; variação desprezível
com o tirante Y, da componente em x da velocidade local,
isto é, V= V(x, t).
Equação da Continuidade:
ay 3Y av +V. +Y. =O (II.3.1)
1ªt '-------------~•-· storage routing
ax 3x
1
g
+
tices,·
Venant,
29
Equação da Quantidade de Movimento:
av V av êlY + -+ - s0 + S = O (II.3.2)
ôt g ÔX êlx
Lmodelo cinemático
+ modelo da difusão
modelo dinâmico
Como vemos, a própria natureza dos métodos anal!
simplificação ou aproximação das equações de St.
limita sua aplicação a casos particulares. Mes
mo a solução linearizada 12, que faz uso das equaçoes com
pletas não pode ser usada quando a geometria do canal é com
plicada ou quando os ·efeitos não lineares se tornam
deráveis.
consi
As limitações dos métodos analíticos tornam-se
ainda mais significativas quando se procura relacioná-las
com o problema de cheia em confluência.
As perturbações originadas pela passagem de onda
de cheia em junção propagam-se para jusante e para montante,
30
inclusive no trecho onde se originou a onda. Os
cinemático ou difusivo representam ondas que se
modelos
propagam
apenas numa direção: . 8 para Jusante • A solução lineari
zada não é suficientemente precisa particularmente quando
é grande a influência do termo V av 12 - , g ax
analíticos não podem, portanto, ser utilizados
precisa do problema de junção.
As equaçoes completas, por sua vez,
Os métodos
para solução
representam
ondas dinâmicas que podem se propagar para montante e jusa~
te com velocidades dadas por C = V ± / gy e indicadas
las duas "direções características" no plano 1 O x, t, .
p~
Es
sas equaçoes são, por conseguinte, as ferramentas adequadas
para solução do problema e o melhor modo de utilizá-las e,
ainda, através de métodos numéricos.
Mêtodo~ Numê~i~o~.
Basicamente, os métodos numéricos para movimento
de cheias consistem das seguintes etapas:
a) representação das equaçoes de St. Venant em
diferenças finitas;
31
b) resolução do sistema de equaçoes resultante
por um processo adequado.
A representação em diferenças finitas é esquemat!
zada no plano x, t, distância e tempo, variáveis inde
pendentes, através de malhas de pontos (item III.2) on
de as soluções Q e Y ou V e Y, vazao e tirante ouve
locidade e tirante,variáveis dependentes,
tidas.
podem ser ob
Diferentes esquemas em diferenças finitas foram
desenvolvidos tendo em vista condições particulares de ca
da problema, especialmente a rapidez de variação do escoa
mente com o tempo. DaI as limitações dos métodos corres
pendentes e a procura de outros que possam cobrir uma faixa
maior de problemas.
No item anterior apresentamos uma classificação dos
métodos numéricos. Indicaremos aqui, da forma mais resumi
da, os mais importantes no campo de propagação de cheias.
1. Método das caracteristicas, esquemas de grade
retangular fixa ou grade caracteristica, - BALTZER e LAI 22 ,
32
23 24 WYLIE , ELLIS e outros citados no item II.2; foi o
primeiro a ser aplicado em canais; especialmente úteis em
transientes de curta duração, mas não muito rápidos.
Limitações do método das características:
nao se aplica a transientes muito rápidos com
formação de "bores";
está sujeito ao critério de Courant, At < Ax , v+c
- o que pode significar séria restrição, esp~
cialmente para transientes de longa duração em
canais de geometria complicada;
o uso de grade característica pode levar a com
plicações algébricas na solução do
tornando-a ineficiente.
problema
2. Método direto, esquemas explícitos, - SCHA
AKE 14
, MORGALI e LINSLEY 15
; aplicação diversificada, de
acordo com o tipo de malha (canais, marés, etc):
At
33
Limitações dos esquemas explícitos:
restrição no intervalo de tempo At, imposta
~
pelo critério de Courant, levando a valores 2
a 3 ordem de grandezas menores que os
de duração dos transientes;
tempos
condição de estabilidade que pode resultar de
limitações no atrito; assim, no esquema
difusão deve-se ter, por exemplo 12
J1+2.1::1 i:: 1 .
Ax V+ C
g.SO
VO
- l
limitação no atrito
critério de Courant.
de
3. Método direto, esquemas implícitos, - LAI ~, 2 O
LIGGET e WOOLHISER : não estão sujeitos ao critério de
34
Courant e sao mais estáveis que os esquemas expllcitos; a
possibilidade de utilizar intervalos de tempo mais elevados
permite uma discretização da malha mais adequada as carac
terlsticas flsicas dos problemas, bem como maior campo de
aplicação.
1 2 Limitações dos esquemas impllcitos
em certos casos de transientes rápidos e esco~
mentos em canais rasos com Fr > 0,1, foram ob
servadas instabilidades;
ainda em escoamentos rápidos, podem ocorrer
erros na conservaçao da massa, isto e, diferen
ças entre a variação de armazenamento no canal
e o fluxo liquido através da fronteira.
Um outro aspecto negativo dos esquemas impllcitos
é a maior dificuldade de programação em relação a outros es
quemas.
Naturalmente essas limitações dependem do tipo de
esquema e da natureza do problema a resolver. Nos caplt:!,!
35
los seguintes veremos a formulação e aplicação de um método
implicito em um problema relativamente complexo, onde ou
tros detalhes e vantagens caracteristicos dos esquemas im
plicitos serão evidenciados.
36
CAPÍTULO III
Ml!:TODO IMPLÍCITO PARA ESTUDO DE PROPAGAÇÃO DE CHEIAS
III.l IMPORTÂNCIA DO DESENVOLVIMENTO DE Ml!:TODOS IMPLÍ
CITOS.
A importância do desenvolvimento de métodos impl!
cites para estudo de transientes hidráulicos decorre, log!_
camente, das limitações a que estão sujeitos os métodos ana
líticos e numéricos mencionados no capítulo anterior.
Entre as duas classes citadas, interessam-nos es
pecialmente os métodos numéricos, pela sua maior generalid~
de e crescente utilização.
As limitações impostas a esses métodos, principa!
mente a restrição no intervalo de tempo At, podem tornar
proibitiva a sua aplicação a transientes de longa duração
e geometria complicada, onde se enquadra grande número de
37
casos de propagaçao de ·cheias em rios.
Geralmente, nesses casos, os cálculos de profund!
dade, velocidade, vazão, devem ser feitos para um tempo to
tal de vários dias, ou mesmo semanas, tempo de duração
da cheia. O tempo necessário para efetuar os cálculos,
tempo de computação, é inversamente proporcional ao in
tervalo àt adotado para a malha no plano x, t.
A possibilidade de adotar valores de àt várias
vezes maiores que nos métodos explicitos implica, portanto
em significativa redução no tempo de computação e consegue~
temente nos custos de cálculo. Essa redução é ainda maior
quando trechos mais longos do rio ou sistema devem ser con
siderados. to caso, por exemplo, de propagação de cheia
através de junção, onde o cálculo deve ser efetuado para os
três trechos que a formam (é muito raro encontrar junções
com mais de três trechos).
Inúmeros esquemas implicitos foram propostos, pr~
curando atender à solução de problemas especificos. Atual
mente, a pesquisa se orienta no sentido de obter
que possam cobrir urna faixa maior de problemas.
métodos
38
Neste capítulo, apresentamos um método implícito
recentemente desenvolvido e especialmente Útil em transien
tes de longa duração. Veremos, pelas suas características
e eficiência nos casos em que foi aplicado, as vantagens
de sua utilização no problema de cheia em confluência.
III.2 ~TODO IMPL!CITO DE AMEIN E FANG (MIAF)
Embora tenha sido publicado pela primeira vez em
1969, por AMEIN 1, o método implícito aqui apresentado se
baseia em um esquema de malha não muito recente. Realmen
3 • te, quando STOKER propos o esquema, em 1956, atribuiu-o
a Thomas, 1937. 2 Mas foram AMEIN e FANG que em primeiro
lugar o utilizaram sistematicamente, formulando o "método
implícito com malha de ponto centrado" ou Método Implícito
de Amein e Fang (MIAF).
O método é considerado especialmente adequado p~
ra aplicações em engenharia que envolvam escoamentos de lon
ga duração em trechos longos, de geometria complicada e con
siste basicamente das seguintes etapas:
39
l - representação em diferenças finitas das equ~
ções de st. Venant, segundo o esquema de
malha de ponto centrado;
2 - resolução do sistema de equaçoes nao linea
res resultante pelo método de iteração gen~
ralizado de Newton.
Teoria básica e formulação do MIAF.
a) Equações do escoamento nao permanente.em ca
nais.
As equaçoes de St.Venant, apresentadas no item 2,
podem ser escritas:
aY + A at B
av + v. at
av + v •. aY ax ax
av - + g. ax
q = o (III.1.1)
B
g.V - S) + = O
A
(III. 1. 2)
onde
B = dA
dY
A R= p
;
;
s =
dz
dx
; e = r
40
l
n
A solução numérica das equaçoes (III.1.1) e (III •
. 1.2) exige o conhecimento de condições de contorno que va
riam de acordo com a natureza do problema e o tipo de méto
do utilizado.
b) Condições iniciais e condições de fronteiras.
A solução numérica por processo impl!cito é repr~
sentada graficamente por uma malha de pontos no plano x, t,
limitada à esquerda e à direita por linhas que representam
as fronteiras e inferiormente por uma linha que define as
condições iniciais do problema, Figura III.2.1.
Para um problema t!pico de propagaçao de cheia em
canal, escoamento subcr!tico, as condições podem ser formu
( \'""'·'·· . } t montante
1 1
k
1
{fronteiraª}'\ j a te 1/ us n
1
1
1 - - - - ·'- - -1-
J_ --- --
j +, 1 D e 1 1
1
ll.t 1
i A li. X e - - -1- - - -1- - -
2 ' .
7 1
1 1 1
OI 2 - -- - J 1 -t 1 - - - - N-1 N
iniciais.
ox,- direção do canal.
ti. x, ti. t - intervalos de discre_
tizaçÕo.
N o ,.,
, -n- de seçoes do canal.
K , - instante final de cálculo.
A ,
eco, - malha gener,ca no
plano x, t .
X
. - ,.., , Fig. 3.2 .1- Condiçoes de contorno para processo lmpllclto, malha retangular.
42
ladas do seguinte modo:
eondi.ç.Õeh i.ni.ei.aih, valores do tirante e velo
cidade em algum instante inicial em todos os pontos do ca
nal, isto é, Y = Y(x,O) e V= V(x,O): esses valores p~
dem ser obtidos a partir das condições de escoamento perma
nente antes da chegada da cheia;
eondi.ç.Õeh de ó~ontei.~a, a montante, curva hi
drográfica de vazão ou tirante, isto é, Q = Q (O ,f:) ou Y =
Y(O,t); a jusante, estrutura de controle ou curva chave,
isto é Q = f(Y), ou outro esquema que defina o fim dos cál
culos.
Naturalmente as condições variam de acordo com o
tipo de problema. Assim, para o escoamento em um canal
que liga duas balas, as fronteiras podem ser dadas
maregramas nos extremos do canal.
c) Descrição do método.
pelos
1. Na figura III.2.2 mostramos o esquema de ma
t K
1 1
1 J 1
1
J-1-1 I+ 1,) i+I, jtl I
1 D e i r~t M •
1 ' A B
l 1 1,l l+I, J
1
-- -1- -- - 1 _._ - --
1 1 1 1
1 i 1 + 1 1
1 2 1 1 - - N-1 X - - 1 .
Fig. 3. 2. 2 - Malha retangular com ponto centrado.
M,- ponto centrado do
molho ABCO.
J ,. , o--,- fun~oo gene rico no
ponto M, representan
do Y, V, S, ate.
.... "'
44
lha com ponto centrado, usado para representação em diferen
ças finitas das equações (III.1.1) e (III.1.2). ABCD de
fine uma malha genérica do plano x, t, tendo M como ponto
central.
Seja a= função representativa, no ponto M da m~
lha ABCD, de qualquer das variáveis presentes nas equaçoes
(III.1.1) e (III.1.2), isto é, V, Y, A, B, etc.
Os valores de a(M) e suas derivadas em x e t ~
dem ser dados em função dos valores de a nos vértices da
malha, isto é:
a(M)
aa (M)
ax
aa (M)
at
=
=
(III.1.3)
[ . j+l j ·+1 ]
(ai+1 + ªi+ll - (ai+ ªi l 2. t,.x
1
(III.1.4)
(III.l. 5)
45
O esquema em diferenças finitas. definido por essas
equaçoes é então utilizado para representar cada
que figura nas equações de St. Venant.
são supostos conhecidos os valores de a na
variável
linha
de ordem j, instante
res de a na linha de ordem j+l,
Devem ser calculados os valo
instante tj+l = tj + ât.
Consideremos Y e V como variáveis dependentes.
Para N pontos ou posições ao longo do canal, teremos:
2N = número de incógnitas, isto
para cada ponto;
j+l é, yi
N - 1 = número de malhas no plano x, t;
e ·+1
V~ l.
2(N-l) = número de equaçoes de malha, isto é, duas e
quações da forma (III.1.1) e (III.1.2) para
cada malha.
As duas condições de fronteira, montante e jusa~
te completam as 2N equações necessárias para a solução do
problema.
46
As equaçoes genéricas (III.1.3) a (III.1.5) subs
tituldas em (III,1.1) e (III.1.2) e reunidas às equações de
fronteira, levam ao sistema seguinte:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fronteira a montante
(N-1) malhas
2(N-1) equações
2N incógnitas
fronteira a jusante
(III.1.6)
Fi; função associada à equaçao da continuidade, (III .
. 1.1);
Gi; função associada a equaçao dinâmica, (III.1.2).
47
Por comodidade, foram suprimidos os superscritos
j+l de Yi' Vi e as condições de fronteira foram represe~
tadas pela mesma simbologia.
escritas, por exemplo:
Essas equações poderiam ser
(III.1.7)
quando o tirante é dado em função do tempo, na fronteira de
montante; outra alternativa é:
(III.1.8)
quando a vazao é conhecida corno função do tempo;
(III. l. 9)
fronteira de jusante, quando se conhece a relação velocida
a·e· versus tirante, dada por urna seçao de controle. f.
As equaçoes de malha, Fie Gi serao desenvolvidas
48
mais adiante.
O sistema nao linear (III.1.6) apresenta uma ca
racterlstica particularmente importante: a presença de,
no máximo, quatro incógnitas em cada equação, o que pode
facilitar a solução por processo iterativo, como veremos a
seguir.
2."" Solução do sistema nao linear, "(III .1. 6) , pe
lo método de iteração generalizado de Newton.
guintes:
Podemos resumir o método de Newton nos passos se
1 - atribuir valores iniciais às incógnitas e
calcular os reslduos, em (III.1.6);
2 - montar e resolver o sistema linear de itera
çao para ajustar os valores adotados;
3 - repetir o processo até que os reslduos se
tornem desprezlveis.
49
Consideremos:
zj+l = '{zl, z2, • • • I z2N} = vetor que representa os
valores de Y e V nos N pontos da linha j+l,
instante tj+l = tj + 11.t;
representa
qualquer das componentes do sistema (III.1.6);
k . {'k k z-j + 1 = z 1' z 2 ' aproximação obtida ao fi
~+1 =
nal do ciclo de iteração k'.;
vetor cujas componentes
representam os resíduos de (III.1.6) calcula
dos no ciclo de ordem k:,
Os valores das incógnitas nos ciclos de ordem k
e k +1 estão relacionados pelo sistema:
Z~) + r~ = 0
i=2N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i=2N r
i•l
sistema linear
de iteração.
(III.1.10)
50
c3Hi onde as derivadas parciais sao calculadas no ciclo de
ordem k.
- - 1 k-1-1 k 1 O processo e repetido ate que zi - zi < E,
i = 1, 2, ••• , 2N,oomipar, para Y e ímpar para V;
& = tolerância adotada, & > O;
z~!i = aproximação final de zj+l' cujas componentes
são os valores de Y e V no instante
Sob a forma matricial, o sistema (III.1.7)
ser escrito:
51
pode
(III.1.11)
onde,
A~+l = matriz jacobiana do sistema, avaliada no ci
elo de iteração k.
Cada linha da matriz jacobiana tem, no
quatro elementos não nulos, desde que há somente
máximo,
quatro
incógnitas em cada equação de malha. Os elementos nao nu
los estão dispostos em duas diagonais de cada lado da diag~
nal principal. Trata-se, portanto, de uma "matriz banda",
com no máximo quatro elementos não~núlospor linha.
Algoritmos especiais podem ser formulados para so
lução do sistema com grande economia de tempo e posições de
memória. Nos sistemas que envolvem grande número de Pº!!
tos ainda mais significativa é essa economia.
52
A natureza de banda da matriz coeficiente no sis
tema linear de iteração acarreta realmente uma das maiores
vantagens do método implícito:
rápida do sistema iterativo.
a possibilidade de solução
Outro aspecto importante do método é a escolha da
hipótese inicial para o sistema iterativo. A convergência
do sistema depende dessa hipótese inicial das variáveis de
pendentes (Y e V, no caso). Felizmente, na maioria dos
problemas de propagação de cheias os valores das variáveis
em certo instante não diferem muito dos valores no instante
precedente. Assim, os valores de Y e V no instante tj p~
dem ser adotados como hipótese inicial para
das variáveis no instante tj + at. Esse
determinação
procedimento,
nas várias aplicações feitas conduziu a soluções estáveis
em um ou dois ciclos de iteração (excepcionalmente três) den
tro dos limites de tolerância usuais.
Determinados os valores das incógnitas no instan
te tj+l' passa-se à determinação da linha j+2, repetindo
o processo até o instante final escolhido.
A fim de tornar possível a codificação e aplic~
çao do método, os sistemas (III.1.6) e (III.1.7) devem ser
53
escritos de forma conveniente.
Para isso, calculamos V, Y, A, B, ... , e as de
av ay av ay rivadas parciais - - através das expre_s ax' ax' at' at'
sões genéricas (III.1.3) a (III.1.5). Substituindo em
(III.1.1) e (III.1.2), virá:
Continuidade: ôY + A
ôt B
X
( A. Ai+l j
Ai+l X ..2:_ + --+ +
Bi 8 i+l 81+1
l + --+
8i+l
av ay + v. ÔX ÔX
q
B = o
[(V V ) + (vj VJl.·.) ] X i+l - i i+l -
Aj ) q .tit
( :i B1:1
+ 2
l
B~) --+ = o 81+1 l.
ou ainda,
- q. t:.t
2
t:.t
4. t:.x
54
(III.1.11)
Nessa equaçao, a, b, c, d, e, f sao constantes
cujos valores dependem dos elementos da linha tj, isto é:
; b = Vj + V~ i+l l.
j - YJ.· c = Yi+l i d - b • c
55
( montante jusante
\ 2 3 4 5
N=5 ( se~Ões)
a) Esquema de trecho simples (&nico)
X X
X X X o X X
X X X X
X X X X
X X X X
X" elemento X - nulo nao X o X X X
X X
b ) Matriz do sistema iterativo
Fig. 3.2.3- M.I.A .F. para trecho simples.
j e = vi+l -
g = e . f
Q. de movimento:
tix.q +--2.g
vj i
------ I
j Aj A.+l i f = _1._ + ; Bj Bj i+l i
; h = _l_ + 1 Bj Bj i+l i
(III.1.12)
av av ay q.v - + V. - + g. + g.I0 + = O at ax ax A
1
4.g
j vi+l --+ A~ 1 1.+
+
:!J = o i
56
ou ainda,
ÂX Yi+l - Yi +a'+
g.Ãt
1 -. (Vi+ 1 + Vi + b ' ) +
4.g
( 2 V.2 ' d' V ') vi+l - i + e • vi+l + • i + e +
ÂX + - . (Si+l +Si+ f') +
2
[lx.q
2.g
(III.1.13)
57
Aqui também, a', b', e', d', e' sao constantes
dadas por:
;
e'= 2 vi+i =e+ b ;
e' = • 2
(Vi+l) (V~) 2 = i
v1+1 vj
g' + i = Aj Aj
i+l i
b
b' = - (VÍ+l +vi)= - b
d '= - 2 V~ = e - b i
• e f 1 = s1+1 + si - 4
(III.1.14)
. '
So
58
Os termos Si e Si+l podem ser expressos em
função de Y e V através da fórmula de Manning ou
lar:
simi
=
onde C = ! , n = coeficiente de Manning e r n
= perimetro molhado, função de Yi.
As equaçoes (III.1.11) e (III.1.13)
funções de Yi, Vi, Yi+l' Vi+l' podendo ser
respectivamente por
conforme foi indicado em (III.1.6).
(III.1.15)
sao, portanto,
representadas
59
O sistema linear de iteração, definido por (III •
• 1.10), pode ser escrito:
............................
ilFi ilFi ilF. dYi + dVi +
].
dYi+l + . ilYi av. ilYi+l ].
+ ilFi
dVi+l K . = - ~,i
avi+l
ilGi ilG1 dV. ilG1
dYi+l -dY. + -- + . + ilY. J. avi
].
i)yi+l ].
ilG. K + ].
dVi+l . = RG . avi+l
,J.
............................
K - ~,N (III.1.16)
60
onde se tem, para correçao dos valores de ~ e
~+l =~+d~ (III.1.17)
Os coeficientes de (III.1.16) sao calculados a
partir das equações (III.1.11) e (III.1.13), pelas
sões abaixo indicadas, no ciclo de ordem k:
expre.:!
= 1.- _éL (Vi+l +vi+ bl + àt (Vi+l - vi+ e) x 4.àx 4.àx
= àt àt
(Yi+l - yi + c) -4.àx 4.àx
àt
4 .àx • f
(III.1.18)
(III .1.19)
api 1 +
t.t (Vi+l + V. + b) + =
ayi+l 4. t.x l.
. (1 -Ai+l dBi+l t.t
2 ) +-- .
2 8 i+l dYi+l 2.Bi
t.t t.t = --·(Yi+l - yi + é) +
4.t.x 4.t.x
+
aGi -- -aY.
l.
-
t.t
4. t.x
1 +
q .
aGi t.x -=--+ avi g.t.t
• f
2 . 3
t.x 2.g
1
4.g
s. c..l. dP.
t.x . _,!_ -l. p. dYi l.
V. Bi
l. 2 Ai
(d ' - 2. Vi) + t.x •
61
t.t (V i+l - Vi+ e) •
4. t.x
dBi+l q
dYi+l
(III.1.20)
(III.1.21)
Bi -) A.
l.
(III.1.22)
(III.1.23)
aG1
ay1+1
aG1
av1+1
1 + 2 = . 3
- q . t,.x
2.g
= ~+ g. t,.t
ti.x s. (-1-dPi+l Bi+l . --)
l. dYi+l Ai+l pi+l
v1+1 Bi+l
(III.1.24) . . -2-
Ai+l
1 51+1 --·(e'+ 2.Vi+ll + ti.x. 4.g v1+1
+
+ ti.x _q_ (III. 1. 25) 2.g Ai+l
62
Os termos independentes do sistema linear de ite
raçao, ou resíduos de Gi e F1 são calculados por:
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Fl.. (~i' 0.i' ~i+l' 0,l.. ) = ,.X. i "F, (III.1.26)
63
onde:
i{,i = residuo da função Fi, no ciclo de iteração k .•
k RG . ,l. = residuo da função Gi, no ciclo de iteração k.
Os coeficientes e residuos das equaçoes G0 (Y1 ,v1 )=
= O e FN(YN,VN) = O dependem, naturalmente da forma como
é dada cada condição de fronteira.
~ conveniente lembrar que no sistema (III.1.26),
Gi e Fi sao dados por (III.1.11) e· (III.1.13), substituindo
Yi' vi, Yi+l' vi+l por -Y~, ~, ~+l e v~+1·
As várias fases da solução numérica para o instan
te tj+l' podem ser resumidas deste modo (indicando as res
pectivas equações):
1. Calcular as constantes que figuram nas equ~
ções (III.1.11) e (III.1.13), com os valores
de Y e V no instante
2. Montar o sistema linear de iteração, calou
64
!ando os resíduos em (III.1.26) e os coefici
entes em (III.1.18) a (III.1.25), k = O;
3. Resolver o sistema linear, obtendo os -,e-
valo
res de Y e V no ciclo de iteração k + l;
4. Repetir o processo a partir da fase 2, até
que a tolerância seja atingida, isto é, [:i:f+l,,., Jél
- Zij ~ E;
5. Adotar os valores obtidos no último ciclo de
iteração como solução, no instante tj+l·
d) Caso particular: canal longo e uniforme,
de largura, declividade e coeficiente de resistência
tantes, sem influxo lateral.
Neste caso, temos:
q = O, ausência de influxo lateral;
B = a 0 , largura constante, A= B.Y; dB dY
= O;
cons
P = B + 2Y; · dP
dY
65
= 2.
As equaçoes em diferenças finitas, (III.1.11) e
(III.1.13) poderão ser escritas, após as devidas simplific!
çoes:
(III.1.27,)
(III.1.28)
c1 e c2 sao constantes calculadas com os
tos da linha j, pelas expressoes:
elernen
66
cl - yj + yj - ~-(Yj j - yj V~) - i+l i 2.t.x l+l vi+l i l.
(III. l. 29)
C2 - vj + vj + ~., <vf> 2 - <v1+1> 2] + 2.g.Ãt.s 0 - i+l i 4. ÀX ·
g.llt(Yj - Yj) - g.2llt ,(5)1.:+l + Sj) (III.l.3O)
ÀX 1+1 i i
As derivadas parciais (III.1.18) a (III.1.25) se
rao dadas por:
=
=
1 - _g_ · (V. + Vj ) l. i 2. llx
= 1 • + Ãt (Vi+l + v1+1> 2 .ÀX
(III. l. 3i)
(III.1.32)
(III,1,33)
3Fi
avi+l
(III.1.34)
67
para as equaçoes de ordem par.
Impar, temos:
Para as equaçoes de ordem
ôGi
avi+l
=
=
[-1 . + 2 2
• si. t.x(- -3 pi
1 . + t.t + Vj) Si
g.t.t
t.x
(IÍÍ .1. 35)
(Vi i + g.t.t. 2.t.x vi
= [ 1 . +
= 1 • +
2 2 3
• si+l • t.x(-- -Pi+l
-- -(IÍI.1.36)
·1· ] g. t.t --) . --Yi+l ·t.x
(III.l.37)
(III.1.38)
68
Essas formas simplificadas serao usadas na resolu
çao de um problema de propagação de onda de cheia em trecho
único.
Em seguida indicamos alguns casos em que o método
foi aplicado, a fim de tirar conclusões sobre -suas
gens.
vanta
III. 3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO Mt'rODO DE AMEIN E FANG
As primeiras aplicações do MIAF destinaram-se a
comparar seus méritos em relação a alguns métodos numéricos
já testados em problemas de propagação de cheias e verifi
cara possibilidade de sua aplicação em canais naturais, de
geometria irregular.
1. Propagação de cheia em canal ideal, de larg~ 1
ra e comprimento "infinitos", - AMEIN
Trata-se de um problema clássico, formulado por
Thomas (1937) para testar a validade de métodos de propag~
69
çao de cheias. Foram usados, além do método implícito, o
~ método explícito formulado por STOKER e o método das ca
1 6 racterlsticas • Algumas observações interessantes ares
peito do teste são apresentadas abaixo:
a) A aplicação em modêlo elimina a
de erros nos dados de campo;
b) Os resultados foram praticamente
quando pequenos intervalos óx, ót foram usados;
influência
idênticos,
caracte
rísticas, ót < 1,2h;
ót < 10,0h; ÓX = Smi;
explícito, ót < 0,l0h; implícito,
c) Para intervalos maiores, as discrepâncias a~
mentaram entre o método implícito e o método das caracter!~
ticas; o método explícito não dá resultados significat!
vos;
d) No método implícito, intervalos de tempo mais
consistentes com as exigências físicas do problema podem ser
escolhidos, ót = 3 a 6h, sem afetar consideravelmente a
precisão dos cálculos.
70
2. Propagação de cheia em canal irregular, Rio
2 Neuse, North Carolina, - AMEIN e FANG
Aqui também foram analisados os resultados
dos pelos três métodos acima indicados.
2 ser encontrados em
Detalhes
obti
podem
a) No método explícito, Ax = l,Smi e 3,0 mi
e At = 0,025h e 0,03h;
levaram a instabilidade;
para At > 0,025h os cálculos
b) No método das características, At = 0,lh,
0,Sh, 0,75h e l,0h conduziram a resultados praticamente i
dênticos;
tirante;.
c)
para At > l,0h, foram observadas oscilações no
No método implícito, Ax = 3,0mi e At =
= 0,15h, l,0h, 2h, 5,0h, 10,0h foram testados para seçao
composta; para seção discreta, At = l,0h, 2,0h e 5,0h;
d) O método implícito foi o Único capaz de sim~
lar as variações da geometria do canal, de seção a seção, -
método da seção discreta.
· . ./~
71
e) Os resultados obtidos pelos três mêtodos es
tão em razoável concordância com os valores observados;
f) Os tempos de computação correspondentes ao
método implícito são inferiores aqueles exigidos pelos ou
tros métodos.
Essas observações comprovam a eficiência relativa
do método implícito na solução de problemas que envolvem
transientes de longa duração (cheias em canais naturais, mo
vimentos de marés, etc), especialmente diante do método ex
plícito.
Naturalmente, essa eficiência se refere à maior
economia nos tempos de computação e maior flexibilidade ao
tratar com trechos de geometria complicada.
Recentemente, outros pesquisadores testaram o mé
todo implícito. Comentários a respeito poderão ser encon
- - 2 trados nas discussoes sobre a apresentaçao de AMEIN e FA,NG :
KAMPHUIS, CONTRACTOR e WIGGERT 25
, FREAD 26
, FRANZ 27
,0'LOE
GHLIN e SHORT 28
Em 2 9
, June, 72, os autores comentam as
discussões apresentadas.
72
CAP!TULO IV
PROPAGAÇÃO DE ONDA DE CHEIA EM CONFLU~NCIA.
SOLUÇÃO POR SECCIONAMENTO
IV. l FORMULAÇÃO DO PROBLEMA. CARACTERÍSTICAS PARTICU
LARES.
Consideremos o esquema de junção representado na
Figura I. l. O problema que pretendemos resolver pode ser
resumido nos itens seguintes:
a) propagaçao de onda de cheia no trecho T1 e
passagem da onda através da confluéncia C,
dos trechos T1 , T2 e T3 ;
b) determinação dos perfis de escoamento, - Y =
= Y(x,t) e velocidade, - V= V(x,t), nos três
73
trechos antes e depois da passagem da onda
na junção.
Para melhor compreensao física do problema e de
sua solução, alguns aspectos importantes devem ser elucida
dos: hipóteses, condições de escoamento, equações, descri
ção física.
Além das hipóteses de caráter geral indicadas em
II.l, outras, diretamente relacionadas com o problema de
junção podem ser admitidas:
características geométricas e físicas seme
lhantes, para os três trechos, de modo que não se pode des
prezar a influência de um sobre outro, quando ocorrem varia
ções no escoamento;
escoamento permanente em cada trecho
da passagem da onda, e em regi111e.;subcritico, isto é
antes
V --<l;
.Q
consideram-se desprezíveis a perda na junção
e as variações vetoriais correspondentes a lei de conserva
ção da quantidade de movimento.
74
Condições de escoamento:
regime permanente nos trechos T2 e T3 , reg!
me nao permanente em T1 ;
regime nao permanente em T1 , T2 e T3 , ating!
da a junção.
Equações disponíveis:
Compatibilidade na junção, representando os
efeitos de continuidade;
Condições iniciais e condições de fronteira;
Equações do movimento nao permanente.
Descrição física do problema:
Suponhamos escoamento permanente em T1 , T 2 , T 3 , -
condições iniciais, entre os limites indicados no esquema.
Uma onda de cheia, proveniente das "cabeceiras" do trecho
T1 , propaga-se para jusante, atingindo a seção A, em certo
75
instante t 0 = O, instante inicial. A partir desse
instante, temos então o caso simples de propagação de cheia
em trecho único, até o instante t 1 , em que a frente de on
da atinge a junção. Aqui, a variação na seção de escoame~
to acarreta modificações no tirante e na velocidade, por e
feito da continuidade. Essas modificações alteram as ca
racteristicas da onda que segue para jusante da junção e de
senvolvem perturbações que se propagam para montante, em T1
e T2
. Esse efeito é representado pela equação da quantid~
de de movimento, notadamente pelos termos de inércia (ver
Item II.l). A partir do instante em que a junção é ating!
da teremos, portanto, alterações nos perfis Y = Y(x,t) e
V= V(x,t), em cada trecho. Na junção, elas são relaciona
das pelas equações de compatibilidade; nos trechos, elas
sao previstas pelas equações de St. Venant, mesmo em T1 , on
de há superposição de ondas incidente e refletida.
Voltando agora ao esquema da junção, consideremos:
N1
, N2
, N3
= número de pontos ou seçoes dos trechos T1 ,
T2 e T3 , respectivamente;
o1
, o2
, o3
= vazao em cada trecho, na junção;
Y, V = tirante e velocidade, a determinar em
ponto ou seção.
76
cada
O balanço de incógnitas e equaçoes será, portanto:
Equações de malha: 2(N1 - 1) + 2(N2 - 1) + 2(N3 - 1)
= 2(N1 + N2 + N3 ) - 6
Equações de fonteira: 3
montante Tl: Yl,l - f l (t) = O, ou similar
(IV.1.1)
montante T2: Y2,l - f2(t) = O, ou similar
(IV. l. 2)
jusante T3: y - f 3
(t) = o, ou similar 3,N3 (IV.1.3)
Equações de compatibilidade na junção: 3
continuidade: (IV. 1. 4)
77
y - y = o (IV.1.5) compatibilidade 2,N1 l,N1
cinemática: Y3,l - y = o (IV.l. 6) l,N1
onde, em Y, o primeiro índice define o trecho e o segundo a
ordem da seção no trecho.
Na Figura IV.1.1, procuramos esquematizar as ma
lhas de cada trecho nos planos distância (x1 , x2 , x3), tem
po (t) •
Como vemos, as equaçoes de malha, fronteiras e
junção constituem um sistema determinado, com
incógnitas. Portanto, se'além das condições
2 (N1+N2+N3)
iniciais ,
Y(x,O) e V(x,O) forem dadas 3 (três) condições de frontei
ras nos extremos "externos" da junção, é possível resolver
o problema utilizando o processo implícito de Amein e Fang,
cujas vantagens já foram destacadas no Item anterior.
t
2
,#
Yj • tirante na junçao
o ,., N =n- de seçoes de cada trecho
N-l•nº de malhas
Eq. de. malha: 2 (N1+N2~N3 -3)
Eq. de junção e fronteiras: 6
Fig. 4.1.1- Dlscretlzação dos trechos nos planos X , t.
j • 3
j • 2
-..1 a,
79
IV. 2 APLICAÇÃO DO Mf:TODO IMPL!CITO. ESQUEMAS DE CÃL
CULO.
Ao elaborar um esquema de cálculo para solução de
um problema é indispensável procurar conciliar as vantagens
do método com os aspectos particulares do problema, a fim
de obter a solução mais eficiente. Torna-se pois importa~
te conhecer as implicações oriundas da aplicação do método,
formular esquemas que parecerem mais adequados,
vantagens e limitações respectivas.
verificar
Para isso, examinemos a junção representada na Fi
gura IV.2.1, onde foram consideradas 3 (três) seçoes em ca
da trecho, o que não prejudica a generalidade do raciocínio.
=
Sejam:
ordem do ponto ou seçao a jusante do trecho T1 ,
isto é, na junção= 3;
N2 = ordem do Último ponto ou seçao do trecho T2 , -
fronteira de montante de T1 = 6;
o ~ N1 = n- de ordem da seçao
Sei:Ões coincidentes: 3,4 e 7
7 8
Equações da JUni:ÕO:
Fig. 4.2.1 - Representação de confluência com indicação de
namento.
,.. seçoes e
9
seccio_
a, o
81
N3
= ordem do último ponto ou seçao do trecho T3 , -
fronteira de jusante de T3 = 9;
YI, VI = velocidade e tirante no ponto ou seçao de
ordem I, variáveis dependentes a determinar
no instante t + ~t.
De acordo com a numeraçao adotada, teremos:
N1 = número de pontos do trecho T1 ;
N2
- N1 = número de pontos do trecho T2 ;
N3 - N2 = número de pontos do trecho T3 .
o balanço de incógnitas e equaçoes, para o
indicado na figura será:
incógnitas:
equaçoes de malha: 2N - 6 = 12 3
equaçoes de fronteira, pontos 1, 6 e 9: 3
equaçoes de junção: 3
caso
82
A aplicação do método implícito ao problema em
questão levará, portanto, às seguintes fases:
1. definição de 3 (três) equaçoes, corresponde~
tes às fronteiras "externas" da junção;
2. representação em diferenças finitas de 12 (d~
ze)equações de malha, correspondentes as e
quações de St. Venant;
3. definição de 3 (três) equaçoes, corresponde~
tes às fronteiras "internas" ou
às condições de compatibilidade;
exatamente
4. montagem e solução iterativa do sistema nao
linear envolvendo as 18 (dezoito) equaçoes
acima.
Para evidenciar alguns detalhes importantes das~
lução iterativa, Última fase do processo entre os instantes
e passamos à análise do sistema linear de itera
ção, particularmente da matriz coeficiente.
Sejam, então:
83
G = função associada à equaçao da quantidade de movi
menta ou a uma condição de fronteira no~ inicio
de um trecho;
F = função associada à equaçao da continuidade ou a
uma condição de fronteira no final de um trecho.
Em geral, G e F sao funções de 4 (quatro) variá
veis correspondentes aos vértices de cada malha retangular.
No caso da junção, como veremos, uma das equações leva a u
ma função mais complicada.
As equaçoes de fronteira interna ou equaçoes de
junção poderão ser escritas, considerando a notação adotada,
a partir de (IV.1.4), (IV.1.5) e (IV.1.6):
FN (YN' VN' YN +l' VN +l' YN +l' VN +l) = 1 1 1 1 1 ·. 2 .. 2
= AN VN + ~ +l . VN +l - ~2+1 . VN +l = o 1 1 1 . 1,' 2-
(IV.2.1)
84
= = o (IV.2.2)
= = o (IV.2.3)
A notação acima procura atender ao caso mais co
mum para as fronteiras onde G ou F dependem das duas variá
veis dependentes, Y e V. A equação (IV.2.1) foge à regra.
As derivadas parciais, elementos da matriz coefi
ciente serao dadas por:
ílFN ílFN ílFN 1 r o 1 r o 1 r o
ílYN l
avN 1
avN +1 2 .
(IV.2.4)
ílGN ílGN 1 1 1 o (IV.2.5) = e =
ílYN +l 1 '
avN 1
= 1 e = o (IV.2.6)
85
As equaçoes (IV.2.1), (IV.2.2) e (IV.2.3) repr~
sentam, respectivamente, as fronteiras a jusante de T1 e
T2 e a montante de T3 .
As equaçoes de fronteira "externa" (fronteiras
propriamente ditas) poderão ser dadas por (IV.1.1), (IV.2.2)
e (IV.2.3). No entanto, para maior generalidade, tomá-
-las-emos sob a forma:
A.V - Q(t) = O, para F ou G, isto é:
(IV.2. 7)
fronteira a montante do trecho T1 •
FN (YN, VN) = ~ . VN - QN (t) = O (IV.2.8) 2 2 2 2 2 2
fronteira a montante do trecho T2 .
FN (YN, VN) = ~ • VN - QN (t) = O (IV.2.9) 3 3 3 3 3 3
fronteira a jusante do trecho T3 .
•
= 3;
com:
86
As derivadas parciais serao:
o e o (IV.2.10)
o e o (IV.2.11)
o e o (IV.2.12)
No esquema de junção aqui representado, onde N1 =
N = 6 2
o e
teremos então:
o , de (IV.2.10).
Trecho·.'.1'1 , jusante, junção, F 3 (Y3, v
3, Y
4, v
4, Y
7,
V7 ) = A3 . v 3 + A4 • v 4 - A7 • v 7 com:
87
ílF 3 f o ílF 3
f o ílF 3 f o ; ;
ílY3 av3
ílY7
F3 f o àe_(I\7.2.4). '·
v7
Trecho T2 , jusante,
com:
= l e = O , de (IV.2. 5).
o e O , de (IV.2,11).
com:
= l e = O , de (IV. 2. 6) •
88
o e de (IV.2.12).
Com essas indicações, a matriz do sistema linear
de iteração terá o aspecto indicado na Figura IV.2.2. Os
elementos não nulos da matriz são representados por "X".
As fronteiras de cada trecho estão indicadas convenientemen
te. Observe-se a disposição dos coeficientes não nulos
nas proximidades da diagonal principal, o que foi consegu!
do graças à numeração adotada para as seções nos diversos
trechos. Isso levou inclusive à inversão no sentido do
trecho T2 em relação ao escoamento. Procurou-se desse mo
do obter uma matriz com "estrutura de banda", como ocorre
nos casos de aplicação do método implícito a problemas de
cheia em trecho único. Mais ainda, acreditamos que nenhu
ma outra numeraçao para os trechos e seções conduziria a um
arranjo mais conveniente para a matriz, no sentido que esta
mos considerando.
Neste ponto, algumas observações a respeito das
propriedades da matriz podem ser apresentadas:
.,
"
X X ~ {lj, front. }
X X X X montante
o X X X X X X X
X X X
X X
{T1, front-} Jusante
{ T2, front. } montante
o
X
obs.: a configuração
da figura 4.2.1
o X
X X e---. {T2, front.}
X X jusante
X X X X X X
X X X X •)(
{T3 , front. }
Jusante
o
{T3 , front. } montante
X X X X
X X X X X X
X X
indicada corresponde ao esquema
Fig. 4.2. 2. - Matriz linear de iteração, problema de ,. con f lu encla.
811
90
1. Quase todas as linhas da matriz tem no máxi
mo 4 (quatro) elementos não nulos, situados nas
des da diagonal principal;
proximid~
2. A equaçao de vazoes na confluência, - (IV.l.
.4) ou (IV.2.1), usada como fronteira "interna" dá ori
gem à única linha com 6 (seis) elementos não nulos
sos na matriz;
dispeE_
3. A matriz ainda pode ser considerada como ten
do estrutura em banda, com largura igual a 2(N2 + 1) - (2N1 -
o aumento de largura da banda, em
relação ao trecho simples, corresponde, portanto ao número
de incógnitas do trecho T2 ;
4. A inversão do trecho T2 complica considera
velmente a definição dos coeficientes em relação a seque!!_
eia normal, de montante para jusante, inclusive pela prese!!_
ça de zeros e elementos não nulos irregularmente dispersos
na matriz.
E importante esclarecer, inclusive com indicações
quantitativas, as vantagens de um sistema linear de itera
91
çao com matriz banda, especialmente quando é necessário re
solvê-lo muitas vezes. Nas afirmações que se seguem, as
indicações quantitativas referem-se ao uso da subrotina GELB
(Scientific Subroutine Package, IBM) para solução de siste
mas lineares com matriz banda.
rao ser encontrados no Apêndice.
Detalhes a respeito pod~
a) Os algoritmos para solução desses sistemas
em geral envolvem apenas os elementos não nulos da matriz,
o que reduz consideravelmente o número de operaçoes;
b) A capacidade de armazenamento exigida também
é bastante reduzida com relação à matriz completa; como e
xemplos, indicamos os valores obtidos para a matriz caracte
ristica do problema de trecho único (1), e aquela correspo~
dente ao caso da junção (2).
(1)
por linha,
de 2N x 2N.
matriz 2N x 2N, com 4 elementos nao
necessárias (5 x 2N - 3) posições ao
nulos
invés
(2) matriz 6N x 6N, com 2N + 5 elementos nao nu
los por linha, necessárias (10N2 + 29N - 6) posições ao
invés de 6N x 6N.
92
Para N = 20 seçoes, teriamos:
(1) 5 x 2N = 200 posições ao invés de 2N x 2N = 1600.
(2) l0N2 + 29N = 4.580 posições ao invés de 6N x 6N = 14.400.
c) As soluções de um sistema com algoritmo PªE
ticular para matriz banda e com um algoritmo geral conduzem
a tempos de cálculo sensivelmente diferentes; testes reali
zados em um problema de propagação de onda em trecho único
levaram a uma relação de 1/5 nos tempos de computação, e
1/15 quando se duplicou o periodo de simulação para 10.0h.
Tendo em vista as considerações apresentadas até
aqui, alguns esquemas de cálculo para o problema de junção
podem ser sugeridos:
l. Aplicação do MIAF aos trechos T1 , T2 e T3 ,
simultaneamente, resolvendo o sistema completo de 2N 3 equ~
çoes, por um processo geral, que inclua todos os elementos
da matriz;
2. Aplicação do método aos trechos T1 , T2 e T3 ,
simultaneamente de modo a obter o sistema linear cuja ma
93
triz está indicada na Figura IV,2.2, resolvendo-o por alg~
ritmo particular;
3. Seccionamento na junção, arbitrando ai uma
condição de fronteira em Y e resolvendo cada trecho indepe~
dentemente; a equaçao de vazões é usada para corrigir o
valor arbitrado;
4. Solução quando se conhece uma condição na
junção, além das equações de compatibilidade; aplica-se o
processo ao trecho cujas condições são suficientes; as e
quações de compatibilidade permitem passar ao cálculo dos
outros trechos.
Um rápido exame dessas alternativas revela
principais vantagens e limitações.
suas
No primeiro caso, a aplicação direta do método
aos trés trechos, simultaneamente, permite uma cômoda défi
nição dos parâmetros da matriz de iteração, podendo-se usar
o sentido natural montante-jusante em cada trecho. No en
tanto, perde-se uma das mais importantes caracterlsticas do
método: a estrutura em banda da matriz jacobiana. Talvez,
94
nos casos em que um numero reduzido de seçoes é considerado
em cada trecho e o período de simulação é relativamente cur
to, justifique-se o uso desse esquema.
No segundo caso uma-ordenação adequada das seçoes
dos trechos permite a obtenção de matriz banda no sistema
linear de iteração, embora com largura maior que nos probl~
mas de trecho único, cuja largura é 5. Isso permitiria e~
tão a aplicação do método aproveitando parcialmente suas
vantagens fundamentais. Para uma junção com 20 seções em
cada trecho, teríamos, em armazenamento:
1) Matriz completa, 6N x 6N = 14.400 posições;
2) Matriz banda com largura 2N + 5, 4.580 pos!
çoes;
3) Matriz banda com largura 5, 600 posições.
Como vemos, a economia em armazenamento de 2) em
relação a 1) é considerável,-particularmente se o número de
seções do trecho T2 fÔr reduzido (inclusive menos que em
No entanto, as dificuldades já mencionadas ante
riormente desaconselham a adoção do esquema como
mais geral do problema.
solução
95
Em 4., indicamos um caso muito particular onde o
conhecimento da condição na junção transforma a solução na
simples aplicação do método a cada trecho isoladamente.
No item seguinte examinamos detalhadamente o es
quema de solução por seccionamento, que nos pareceu mais a
dequado ao problema.
IV. 3 SOLUÇÃO POR SECCIONAMENTO NA JUNÇÃO
Procuramos aqui estabelecer um esquema de cálculo
que conserve as vantagens fundamentais do processo implíci
to de malha centrada, apesar das dificuldades peculiares do
problema, apresentadas no item anterior.
IV.2.1.
Consideremos o mesmo caso representado na Figura
A aplicação do método levou à matriz de iteração
representada na Figura IV.2.2.
Observamos que somente·a equaçao da continuidade
na confluência introduz coeficientes não nulos dispersos na
matriz jacobiana. Isso pode ser evitado substituindo essa
96
equaçao por uma de caracteristicas semelhantes às outras du
as equaçoes de junção.
tas:
Seja, então,
Y0
= valor arbitrado para o tirante na junção, no
instante
As equaçoes {IV.2.2) e {IV.2.3) poderão ser escri
~ {YN +1' 1 1
{IV.3.1)
{IV.3.2)
A equaçao de vazoes {IV.2.1), é substituida por:
{IV.3.3)
As derivadas parciais de (IV.3.3) serao:
a~ 1 = 1 e
97
= o (IV.3.4)
Para (IV.3.1) e (IV.3.2), as derivadas
sao as mesmas dadas por (IV.2.5) e (IV.2.6).
parciais
A equaçao de continuidade na junção (IV.2.1) será
escrita sob a forma
¾l • VNl + ¾l+l . VNl+l - ¾2+1 • VN2+1
(IV.3.5)
= o
e será usada para verificação do valor de Y0 ou, melhor ain
da, para sucessivas correçoes de Y0 até ser atingida a pr~
cisão desejada.
Feitas essas modificações a matriz do sistema li
near de iteração terá o aspecto indicado na Figura (IV.3.1).
Consegue-se, desse modo, no problema de cheia em junção, u
ma matriz com as mesmas características daquelas obtidas
nos problemas de cheia em trecho Único: matriz banda com
largura 5, um máximo de 4 (quatro) elementos não nulos por
linha. Além disso, cada trecho fica perfeitamente determi
X X O
X X X
~ {lj, front. } / montante
X X X X O
o X X X X!
X X XI O
Í O ..!. Lo_o_ {:2,front.} O o 1 1 o o _,,,- Jusante
{~ ,front.} o IX X X x· Jusante X X X oo
o X X X X 1 { T3 , fron t. X X X-. XI o (l montante
{ T2 ,front. }_./ o_x..., x Lº- o~ montante 0~1 o 1 1 o o
o olx X X X
1x X X X O O X X X X
{ T3 ,tront.} · X X X X jusante '------ o. X X
obs.: as linhas interrompidas definem os limites
entre os trechos.
Fig. 4.3.1- Matriz linear de itera~ão, substituida a
equapão de continuidade na JUnpão.
99
nado e pode ser resolvido isoladamente.
Introduzimos esse artificio na matriz represent~
da em IV.2.2 a fim de melhor demonstrar suas vantagens rel~
tivas. No entanto, ele tem um significado bem definido e
constitui em essência o esquema de seccionamento para solu
ção do problema de cheia em junção com o processo impl!cito
de Amein e Fang.
Nos itens abaixo, apresentamos o método de seccio
namente já sob a forma como o aplicaremos:
1. considerar o seccionamento na junção,
tindo as equações de compatibilidade
admi
como
condições de fronteira, sob as formas (IV.3 .
• 2) e (IV.3.3);
2. introduzir uma equaçao do mesmo tipo, - (IV •
• 3.3), como fronteira do trecho T1 na junção;
o valor de Y0
deve ser arbitrado, a fim de
tornar definidas (IV.3.2) e (IV.3.3);
3. discretizar e resolver os trechos T1 e T2 p~
lo MIAF, calculando em seguida as vazoes na
100
4. usar a equaçao de vazoes (IV.3.5), para def!
nir uma condição de fronteira de T3 e resol
vê-lo, corrigindo o valor de Y0 ;
5. repetir o processo a partir de 3, até que a
precisão seja atingida;
6. passar ao instante seguinte, arbitrando
por extrapolação e repetindo os cálculos.
Com esse esquema a solução do problema se resume
à aplicação do método implícito na sua forma mais simples, -
trecho isolado, - apenas maior número de vezes.
Em relação aos esquemas sugeridos em IV.2, simpl!
fica-se a definição dos coeficientes, cada trecho é calcul~
do na ordem montante-jusante, reduz-se o armazenamento ne
cessário e todas as vantagens do método implícito podem ser
plenamente aproveitadas. Esses aspectos justificam sobej~
mente a escolha da solução por seccionamento diante das ou
tras indicadas.
101
No entanto, uma questão fundamental, oriunda do
seccionamento deve ser discutida: a escolha da equação au
xiliar (IV.3.2), ou, exatamente a escolha de Y0 pode levar
a um número de iterações na junção de tal ordem que o tempo
de cálculo computacional cresça exageradamente.
Realmente esse_é o ponto critico do esquema de
seccionamento: a cada iteração na junção, a partir de um
certo instante tj, para determinação dos perfis no instante
seguinte, corresponde uma ~e~olução do sistema de equaçoes
para cada trecho. Deve-se, portanto, verificar a possib!
lidade de limitar o número de iterações na junção em uma
faixa que justifique a aplicação do método.
Ainda aqui, os aspectos fisicos do problema sao
favoráveis. Durante a passagem da onda de cheia o tirante
na junção se modifica gradativamente, de modo que seu valor
Y., no instante t., está relativamente próximo do valor Y '+l' J J J
no instante seguinte, principalmente nos primeiros instan
tes em que a junção é atingida.
Iteração na junção:
Sejam,
=
t.Q =
102
vazao no trecho T1 , junto a confluência, ins
tante t.
vazao no trecho T1 , junto a confluência, ins
tante tj+l·
acréscimo de vazao entre os instantes tj
tj+1·
e
Então, t.Q =
Q
De modo geral, pode-se escrever:
= A.V = vazao no trecho T1 , junto a confluência,
em qualquer instante.
Logo, dQ = A.dV + V.dA, ou ainda,
t.Q = A.t.V + V.âA, entre os instantes tj e tj+l"
Se tomarmos, como hipótese inicial,
= = = tirante na junção, vem
t.Q = Aj. (t.V) O (t.V) O
103
ou, finalmente:
A hipótese adotada permite limitar o
(~v) 0 e determinar por interpolação sucessiva os
intervalo
valores
de Yj+l e vj+l"
Sejam então,
to = instante em que a junção é atingida pela onda.
= tirante na junção no instante
inicial.
t 0 , ou tirante
No primeiro instante de cálculo, após a onda che
gar à junção, tomamos Y0 = Yin como hipótese inicial.
Para os instantes seguintes, pode-se fazer a ex
trapolação, do seguinte modo:
= YJ. + (Y. - Y. l) J J-
(IV.3.6)
104
onde se tem,
Y. = tirante na junção no instante t .. J J
Y. 1 = tirante na junção no instante t. 1. J- J-
YO = hipótese inicial adotada para calcular Yj+l'
tirante na junção no instante tj+1·
O valor de Y0 assim definido estará provavelmente
bem mais próximo daquele que se deseja obter, isto é, Yj+l"
Para se completar o ciclo iterativo entre os ins
tantes tj e tj+l' pode-se operar do seguinte modo:
1. definido Y0 e calculados os trechos T1 e T2 ,
determina-se uma equação de fronteira para T3 , isto é,
=
= resultando
=
(IV.3.7)
105
2. calculando T3 , obtem-se Y3 r Y0 ;
3. por interpolação aritmética entre Y0 e
calcula-se o novo valor de Y0 , para a iteração seguinte.
Na Figura IV.3.2, procuramos representar a evolu
çao, com o tempo, do tirante na junção no caso do modelo
formulado por Stoker. O aspecto da curva mostra a
ção gradativa do tirante. Observa-se ainda que o
tende a se estabilizar em uma nova cota, ao invés de
varia
nível
cair
novamente. Isso é consequência da formulação do problema
(ver Capitulo V).
Na Figura IV.3.3 representamos os perfis do esco~
mente, Y = Y(x,t), em cada trecho de uma junção, no instan
te genérico, tj+lº
inicial do tirante
A escolha do Y0 = OA0 como hipótese
para tj+l significa admitir uma pequ~
na deformação nos perfis em cada trecho, inicialmente. As
sucessivas correções de Y0 levam aos perfis no instante tj+l'
indicados em linha cheia.
o algoritmo de iteração na junção pode ser resumi
do nos passos seguintes:
'Ín
y
, N1vel do novo re ermanente
Yin • tirante ln leia 1
Yf • tirante
final
t
Fig. 4.3.2 - Evolução do tirante na Junçâ'o, modelo de Stoker.
.... o O\
y ,
O A 0 • Y0 • hlpotese Inicial
OA •Yj+l=tlrante,lnstante tj+I
- _ - pertl I deformado
---perfil real
o X
Fig. 4 .3.3 - Perfis longltudlnais do tirante ..
na Junçao , instante t j +I ... o .....
108
1. adotar uma ligeira deformação nos perfis p~
ra o instante tj+l' extrapolando Y0 a partir
do instante tj;
2. corrigir a deformação por interpolação
iteração sucessiva).
(ou
Note-se que o algoritmo iterativo na junção com
pleta a solução por seccionamento e pode variar em função
do modo como é usada a.equação da continuidade. Qualquer
um deles deve, naturalmente 1levar aos mesmos resultados.
Nos itens seguintes procuramos reunir as vanta
gens da solução por seccionamento aqui desenvolvida. Alg~
mas estão diretamente ligadas à programação, descrita no
Apêndice.
1. O seccionamento permite a aplicação do MIAF
a cada trecho isoladamente na sua forma mais
simples e eficiente.
2. Um algoritmo adequado de iteração na junção
permite reduzir a um mínimo o número de ite
109
raçoes (máximo 4, nos testes) o que pode re
presentar significativa economia em tempos
de computação.
3. A solução isolada de cada trecho possibilita
uma definição mais adequada das suas caracte
risticas e representa nos sistemas maiores
considerável economia de memória.
4. A programaçao para confluência pode facilmen
te ser usada para solução de problemas de tr~
cho simples.
110
CAPtTULO V
TESTES E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
V.l PROPAGAÇÃO DE CHEIA EM TRECHO ÕNICO
A aplicação do MIAF a problemas de cheia em tre
cho Único nao é, evidentemente, o objetivo principal do nos
so trabalho. No entanto consideramos plenamente justific~
veis os dois testes realizados pelos motivos seguintes:
observar o funcionamento do método para cheia
rápida, nos seus aspectos principais, isto é,
resultados, rapidez de convergéncia, etc;
dispor de um exemplo mais simples, mas extre
mamente útil na observação de certos aspectos
do problema de junção, desde que as caracte
risticas dos modelos e condições de escoamen
to sao idênticas (ver V.1.2 e V.2).
V.1.1
111
Modelo de Thomas: cheia sinusoidal len
ta em canal retangular de grande largura
Este exemplo foi imaginado por Thomas em 1934 e
utilizado por vários autores para teste de diferentes pro
23 cesses numéricos, WYLEY , AMEIN 1
Dados e condições iniciais:
L = S00mi = comprimento do canal;
YO = 13. 086ft = 4.00m = profundidade uniforme
cial);
ºº = S0cfs/ft = vazao inicial/un. largura;
s = l.00ft/mi = 0.00019 = declividade de
(constante) ;
(in_!
fundo
n = 0,0298 = 0,03 = coeficiente de resistência,
fórmula de Manning.
Então, para condições iniciais, Y (x, O) = e
V (x, O) = conhecidos a partir do regime permanente.
112
Condições de fronteira:
Montante,
seguintes elementos:
hidrógrafa sinusoidal lenta com os
T = 4 dias = 96h = perlodo da função; p
0max = 200 cfs/ft = vazao máxima/un. largura;
Ql(t) = a+ b (2II.t) equaçao da vazao. . cos -- -T
Para t = O e t = 96h, vem o1 (t) = o0 = 50cfs/ft
e para t = T/2, vem Q(t) = Qmax = 200cfs/ft,
para equação de vazão,
resultando,
Ql (t) = 125 - 75 cos (4Il8
; t) (V .l.l)
jusante, tirante constante para pontos a jusante da fren
te de onda.
Usando a notação adotada nos capltulos III e IV,
as condições de fronteira podem ser escritas:
montante,
113
onde o1 (t) é dada por (V.1.1):
(V.1.3)
para x ~ (V+ C).t, ou para pontos da região praticamente
não perturbada.
Discretização e período de simulação:
Diferentes combinações de Ax e At foram usa
das com os valores indicados abaixo:·.
Ax =
At =
5,0mi
O,Sh ;
10,0mi
l,Oh
Períodos de simulação:
Resultados:
l,Sh 2,0h 3,0h.
Tf = 60h; 120h.
Para todos os casos testados foram obtidos valo
res idênticos da velocidade e tirante. Verificou-se tam
bém identidade em relação aos vàlores obtidos por outros mé
23 todos
Em cada intervalo de tempo o sistema
114
convergiu
quase sempre em 2 (duas) iterações, raramente chegando a 3
(três).
O tempo de processamento foi relativamente baixo,
mesmo com a inclusão de pontos da região praticamente nao
perturbada. Por exemplo, para malha de óx = 10,0mi, ót =
= 3,0h, tolerâncias de 0,005 e periodo de simulação Tf = = 120h, o tempo total de processamento chegou a 7min, em um
IBM/360, modelo 40, os.
Para maiores detalhes ver Relação de Programas e
Listagens apresentada no Apêndice.
V.1.2 Modelo de Stoker: cheia com taxa line
ar de elevação do nivela montante em
canal retangular
O modelo formulado por Stoker procura representar,
a grosso modo, o rio Ohio e sua junção com o Mississipi. A
'.115
pesar das hipóteses simplificadoras (indicadas mais adiante)
as quantidades foram tomadas de modo a corresponder, em or
dem de grandeza, aos valores reais. Somente a taxa de che:ia
foi escolhida extremamente alta em relação aos valores máxi
mos usualmente encontrados em grandes rios. Neste caso as
rápidas variações nas quantidades básicas no espaço e no tem
po representam um exigente teste para qualquer método de di
ferenças finitas aplicável a problemas de cheia. O método
testado por Stoker em seu modelo, características, es
quema explícito, foi o mesmo utilizado posteriormente
com sucesso em problemas reais de cheia no sistema
- MISSISSIPI.
Hipóteses e dados numéricos:
OHIO -
declividade constante, S = O, Sft/mi " O, 095m/
/km;
seçao transversal retangular, largura constan
te, B = 1000ft" 305m;
coeficiente de rugosidade constante, n = 0,03,
fórmula de Manning;
onde:
116
regime permanente e uniforme, inicialmente,
com profundidade Y0 = 20.0ft = 6,10m:
elevação linear do nível, a montante, em 4,0h,
até a profundidade máxima Ymax = 40ft = 12,20m.
Condições iniciais:
Y(x,0) = Y0 e V(x,0) = v0 , conhecidos a partir do
regime permanente.
y (t)
4 $
Condições de fronteira:
= Y0
+ (t. y) • t t.t ,
onde
(V.1.1)
O ~ t < 4h e Y(t) = Ymax'
= 12,20 - 6,10 = 4
l,525m/h.
jusante, (V .1. 2)
117
para x ~(V+ C)t, ou para pontos da região praticamente
não perturbada.
Discretização e período de simulação:
Ax = 0,lmi ; 0,Smi
At = 0,0lh ; 0,02h
Período de simulação:
l,0mi ; S,0mi
0,0Sh 0,lh
O < Tf ~ 10,0h.
0,Sh ; l,0h
Os valores acima foram combinados de diferentes
modos a fim de obter maior número de informações sobre o
problema em estudo.
itens seguintes.
Resultados:
Procuramos resumir as principais nos
a) Para Ax ~ l,0mi e At ~ 0,lh, nao foram
observadas alterações nos resultados, com a variação da ma
lha;
b) Para Ax = l,0mi e At = 0,Sh, os valores
118
de Y diferem no máximo de 0,8% daqueles obtidos em (a);
c) Mesmo para 6x = 5,0mi e 6t = 0,Sh, os va
lores obtidos estão próximos daqueles apresentados por Stoler
desvio máximo< 10%, para menos.
d) Em qualquer dos casos a convergência foi ob
tida com 1 (uma) ou 2 (duas) iterações, nunca ultrapassa~
do 3 (três) iterações, em cada intervalo de tempo;
e) O aumento das dimensões da malha acarreta di.s
torções nos resultados; •
f) A inclusão de pontos da região nao perturb~
da, para 6x = 5,0mi e 6t = 0,2h, levou a pequenas osci
lações no tirante e velocidade, principalmente nos
ros instantes.
prime!_
A Figura V.1.1 representa os perfis longitudinais
durante a evolução da cheia até o instante Tf = 10,0h.
Outros testes foram realizados com base no modelo
de Stoker, com algumas variantes, para esclarecer certos de
talhes.
• \!;l TIRANTE EM PES
• ~-
• o ,-1
• Ul
•
CURVAS T=2,4,6,B E iOH
MALHA DX=S·OMI DT=O•SH
METDDD IMPL_ICITD
DISTANCIA EM MILHAS o +---+---+---+---+-------,f-------,---+---+--+---+---+---+---+---+----+----+
Q, 20· 40· 60· BJ, 100· 120· 140·
FIG, 5,1,1 - PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM TRECHO UNICO
•
Modelo de Stoker com taxa linear reduzida:
Foram consideradas as mesmas condições do
V.1.2, exceto em relação à taxa de cheia.
120
item
Taxa de cheia: (~!) = ½ (5.0) = l,0ft/h = 0,J0m/h,
de mesma ordem de grandeza que as taxas máximas de cheia na
maioria dos grandes rios (0,7ft/h foi a taxa máxima observa
da no rio Ohio).
Discretização e período de simulação:
àx = 5, 0mi e àt = 0,5h ; l,0h ; J,0h ; Tf= 10,0h.
Resultados:
Valores idênticos, com desvio máximo de 0,7% no
tirante para as malhas àx = 5,0mi, àt = 0,5h e àx = 5,0mi,
àt = J,0h. Isto sugere uma grande estabilidade do mêtodo,
mesmo para taxas de cheia elevadas.
121
Modelo de Stoker, algoritmos distintos para solu
çao do sistema linear de iteração:
Valem as mesmas condições do problema V.1.2, in
clusive taxa de cheia.
No entanto, para comparaçao dos tempos de comput~
çao, foram utilizadas duas subrotinas da . I B M (Scientific
Soubroutine Package) que são algoritmos distintos, embora
baseados na mesma técnica numérica,
ção de GAUSS.
processo de elimina
SIMQ, solução de sistemas lineares em geral.
GELB, solução de sistemas lineares com matriz banda.
Discretização e perlodo de simulação:
t:,;x. = 5,0mi ; tt = 0,5h e Tf = 5,0h; 10,0h.
Resultados:
f' = 5,0h, Tpr = lmin 40seg Uso da GELB
Tf = 10,0h, Tpr = 2min JOseg
122
{ ,, = 5,0h, T "' 3min pr Uso da SIMQ
Tf = 10,0h, Tpr "' 21,Smin
Observe-se que o aspecto decisivo ao estimar o
tempo de cálculo computacional é o número de seções necessá
rias ao longo do trecho. O valor do intervalo àx depen
de do grau de complexidade na geometria do trecho. Nos tes
tes resolvidos os valores adotados são coerentes com as con
dições fisicas do protótipo. O número de seções foi cale.!!
lado sempre pela relação N ~(V+ C)t/x. No caso do Últi
mo exemplo, tivemos N = 42, para Tf = 10,0h. Pode-se
estimar a região de fluxo praticamente - . ~ nao perturbado ,
como indica a Figura V.1.2. O procedimento acima pode,
portanto incluir muitos pontos desnecessários onde as per
turbações são desprez!veis.
v. 2 PROBLEMA DA JUNÇÃO: MODELO DE STOKER
Os dois trechos a montante da junção sao conside
rados idênticos e suas caracter!sticas são as mesmas adota
y "' t (h)
,# #
reg1ao nao
(frente de 10 ,.,. ... ~ onda
superfi'cle ) não perturbada
5
Yo
50 100 150
(a) frente de onda. (b) modelo d e Stoke r
Fig. 5.1. 2 - Região de escoamento pràticamente não perturbado.
X (mi)
.... N w
124
das para o modelo do Ohio, trecho único. O trecho de
sante obedece a condições semelhantes, variando apenas a
largura, B0 = 2.000ft "610m, e a declividade, s =
= 0,49ft/mi "0,0926m/km a fim de tornar possfvel o escoa
mento uniforme nos três ramos, inicialmente, à profundidade
Y 0 = 20ft "6,lOm. Essa variação é necessária para compe~
saro decréscimo no perfmetro molhado, a jusante da junção
(ver Figura V.2.1).
Uma cheia tem inicio no Ohio, em uma seçao S0mi
a montante da junção, elevando o nfvel de 20ft a 40ft em
4h, naquela seção. são admitidas, portanto, as mesmas con
dições iniciais e de fronteira do problema V.1.2.
A frente de onda atingirá a junção após um tempo
Tj, dado por
= = 80,5
8,80
10 3
3.600 = 2,54h,
uma vez que Xj = S0mi = 80,5km, comprimento do trecho até
a junção, c0 igY0 = l,06m/s e v0 = 7,74m/s, calculada p~
la fórmula de Manning (II.1.9).
MONTANTE
CURVAS T=2,SHi4•0H E 10,0H
• \!;) TIRANTE EM PES
• o 'SJ""
' Lfl ·c-1
. o -ri
• IJl
JUSANTE
- METOOO OE 5TOKER
DISTANCIA EM MILHAS +--··-· ~ --+--+------l---+--+---+--+--l----+----+---+---+--+--1-----+
-80 · ·-50, -20 · O· 20· 50· 80·
FIG, S,2,l - PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM CONFLUENCIA
126
Temos, portanto:
. O -S T < 2, 54h, sequência de cálculo e resultados!
dênticos aqueles obtidos no problema V.1.2.
T ~ 2,54h, devem ser considerados os efeitos da
passagem da onda na confluência, isto e, os
valores de Y e V devem ser calculados para
os trechos T1 , T2 e T3 , em cada intervalo t.
Condições iniciais:
Y(x,0) = Y0 e V(x,0) = v 0 , para cada trecho.
Condições de fronteira (ver Figura V.2.2):
Indicaremos as condições adotadas para um dos pro
gramas de junção ,Versão A. Os outros são apenas
deste e serão mencionados em seguida.
Trecho T1 , montante: definida em (V.1.1).
variantes
127
Trecho T1 , jusante: = o
{V. 2.1)
Trecho T2 , montante: GO{Yl, Vl) = yl - Yo = o
(V. 2. 2)
Trecho T2 , jusante: FN(YN' VN) = y - yj = o N N
{V. 2. 3)
X ~ (V0 + c 0) .Tf.
Trecho T3 , montante: Go{Yl, Vl) = yl - yj = o 1
{V.2.4)
X ~ (V O + C O). T f.
Trecho T3 , jusante: FN{YN, VN) V -03
= N ~
(V. 2. 5)
Para Ax = 5,0mi e Tf = 10,0h, teremos um núme
ro fixo de seções em cada trecho, isto é:
e
128
O esquema de cálculo é idêntico aquele definido
no item IV.3, quando formulamos o método de seccionamento.
Algoritmo de iteração na confluência:
Interpolação com yig+l = tg + (YN - tg)/4, correçao do tirante na junção, 1• no ciclo m+l.
Extrapolação com y = yj + IYj - yj-ll O N N N '
para
para es
timar Y0 , no cálculo dos valores no instante seguinte, tj+l"
Foram testados ainda os programas A1 , A2 , A3 e B,
correspondentes às seguintes combinações de fronteira (T3 )
e algoritmo de interpolação.
A1 , interpolação com média: yig+l = ctg + YN)/2
e mesmas condições de fronteira.
fronteira T3 :
mesmo esquema de interpolação que A.
A3 , fronteira T3 : FN(YN, VN) = ¾. VN - QJ
e interpolação com média: yig+1 = ctg + YN)/2.
129
A versao B procura limitar o número de seçoes em
T2
e T3
ao estritamente necessário em cada instante, defi
nindo as fronteiras:
T2 jusante, FN(YN , VNl = y - yj = a , para , N N
X ~ (Va + Cal .t
T3 , montante, - Ga(Yl , Vll = y -1
yj 1
, para
X ~ eva + Cal .t.
Os testes visaram verificar o funcionamento da so
lução por seccionamento, observando, para diferentes dimen
sões de malha, algoritmos de interpolação e dois modos de
definição da.fronteira a jusante de T3 , os aspectos segui~
tes:
KITJ =
=
número máximo de iterações (correções do ti
rantel na junção, entre dois instantes de cál
culo;
tempo total de processamento, __ IBM/3·6a-4a,. ·os
(operation systeml;
õ.Y =
130
desvio percentual nos resultados do tirante Y,
em relação aos valores obtidos para urna malha
tomada como padrão.
O Quadro I mostra os principais testes realizados,
indicando inclusive a listagem correspondente (n9),
consulta detalhada.
para
Os diagramas obtidos para alguns dos testes pr~
sentes no Quadro são apresentados nas
além daquele correspondente à solução
Figura V.2.1.
Figuras V.2.2 a V.2.6,
- ~ pelo Metodo de STOKER,
Obedecendo à denominação comum de "Perfis Longit~
dinais de Cheia em Confluência", esses diagramas revelam,
no entanto, aspectos distintos de um mesmo problema:
Figura V.2.1
Figura V.2.2
Figura V.2.3
Solução pelo Mêtodo de Stoker.
Solução pelo Mêtodo Implícito com sec
cionamento na junção.
SolúçÕes pelo Mêtodo de Stoker e Méto
do Implícito.
131
Figura V.2.4 Evolução dos perfis com o tempo, méto
do implícito.
Figura V.2.5 Soluções para diferentes dimensões de
malha, método implícito.
Figura V.2.6 Soluções para duas formulações distin
tas da condição de fronteira a jusa~
te.
Uma análise rápida do Quadro I e dos diagramas
correspondentes conduz a algumas observações interessantes:
1. Malhas com dimensões distintas conduzem are
2.
sultados praticamente idênticos,
1, 2, 5, 7, 10, 11 e Figura V.2.5;
o aumento nas dimensões da malha acima
testes
de
certos limites levaram a distorções nos re
sultados, testes 2, 3 e 4;
3. Para malhas iguais, formulações distintas da
condição de fronteira a jusante de T3 , prat!
camente não alteram os resultados, mesmo com
-80·
MONTANTE
CURVAS T=2,SH,4,OH E 1O,OH
INTERVALOS OX=S,OMI E OT=O,SH
--50 • -20·
• lJl <;]"" TIRANTE EM PE5 .
o <;]""
' ~ ' ' • o
fT)
• lJl ,,-1
. o .,.;
• l.rl
O· êO·
JUSANTE
+ METOOO IMPLICITO
DISTANCIA EM MILHAS
G0·
FIG, S_,2,2 - PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM CONFLUENCI1
80·
MONTANTE
CURVAS T=2,SHi4,0H E 10,0H
. ~ TIRANTE EM PE5
• IJ1 -,-1
. o -,-1
• tn
JUSANTE
+ METDDD IMPLICITD
- METDDD DE STOKER
DISTANCIA EM MILHAS +-- . - -i------l----1-----+----1---+--~e--~+--+----+--+--i-------1----1-----+---+
-80- -50· ·40" ·20" 40·
FIG, 5,2,3 - PERFIS LONGITUDINAIS OE CHEIA EM CDNFLUENCIA
GO • 80-
.... w w
-80·
MONTANTE
CURVAS T=2°SH1S 0 0H,7,5H E 10,0H
-60 · -40 • -20 •
. ~ TIRANTE EM PES .
o 'Z
• lf1 ,--l
• o tj
. lJ1
O· 20·
.lEANTE
- METODO DE STOKER
OJSTANCJA EM MILHAS
40· 50 ·
FIG· 5,2,4 - PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM CONFLUENCIA
~
' ' ,, ' ' ' t
80 ·
MONTANTE
METODO IMPLICITO
CURVAS T=2,SH,S,OH E 10,0H
• ~ TIRANTE EM PES
. lJl ,-j
. s .
II)
JJSANTE
+ MALHA DX=S,OMI E DT=O,SH
- MALHA DX=2°SMI E DT=0,25H
DISTANCIA EM MILHAS ·,---1---+--+-----i---+---+--+---llf----l---+--+----I---I---+--+----+
-80· -50· -40· -20· O· 20· 40 ·
FIG, 5·2·5 - PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM CONFLLENCIA
50· 80·
1-' w U1
-80·
MONTANTE
+ METOOO IMPLICITO
CURVAS T=3,OH,5,OH E 9,OH
-60 • -40 • -20·
• \!;] TIRANTE EM PES
• lJ1 ~
. o ~
• lJ1
O• 20·
JUSANTE
+ FRONTEIRA FN=V-OIA
- FRONTEIRA FN=A,V-O
DISTANCIA EM MILHAS
40 · 60· 80·
FIG• 5,2,5 - PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM CONFLUENCIA 1-' w "'
137
mudança do número de iterações na junção,
testes 1, 7 e Figura V.2.6;
4. O tempo de processamento pode ser signific~
tivamente reduzido, quando o número de se
çoes é reduzido aquele estritamente necessa
rio, em cada instante,
e 11 (0S/360);
testes 1 e 10, 5
5. Os perfis obtidos com o método implicito con
cordam razoavelmente com aqueles obtidos por
Stoker, tanto em forma, como em valores, den
tro da tolerância admitida para medidas hi
6.
drolÓgicas, ± 10%, Figuras V.2.1 a V.2.4;
A evolução dos perfis com o tempo mostra a
propagaçao de ondas refletidas para os tre
chos de montante, após o instante em que a
onda incidente atinge a junção,
V.2.5;
Figura
7. Um esquema adequado para correçao do tirante
na junção levou a um número reduzido de ite
raçoes, testes 1, 5, 7, 9, 10, 11.
NQ
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(*)
QUADRO I
S!NTESE DOS TESTES EM JUNÇÃO
PROG. DX DT T âY KITJ pr (mi) (h) (min) (%) (max)
'
A 5,0 0,5 15,5 (*) 3
A 5,0 1,0 14,0 < 5 5
A 5,0 2,0 12,5 <10 9
A 10,0 2,0 7,0 >10 5
A 2,5 0,25 35,0 <l,5 4
AJ 5,0 0,5 - - >10
A2 5,0 0,5 20,0 < l 4
A3 5,0 0,5 - - >10
B 5,0 0,5 HASP - 3
B 5,0 0,5 HASP < l 3
B 2,5 0,25 HASP <l,5 4
resultados tomados como referência para
dos desvios;
138
OBS.
(**)
(**)
( **)
.,., ·.
,,;-·.:.
. ,
(**)
(***)
(***)
(***)
cálculo
(**) salda de resultados em cartões para gráficos: Fi
guras V.2.2 a V.2.6;
(***) tempos de processamento bem menores que aqueles
do 0S/360; sistema HASP em implantação.
139
Logo em seguida a este capitulo, reuniremos essas
observações e outras já apresentadas em um conjunto de con
clusões sobre todo esse estudo.
V.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE A APLICAÇÃO DO Mli;TODO DE SEC
CIONAMENTO A PROBLEMAS REAIS
Inicialmente devemos atentar para dois pontos im
portantes sobre as observações itemizadas em V.2.
Primeiramente essas observações, referindo-se a
um problema de cheia extremamente rápida, não devem ser di
ferentes para problemas reais, com taxas de cheia mais len
tas. Ao contrário, resultados melhores provavelmente se
rao obtidos nestes casos, uma vez que serao menores as ta
xas de elevação de nível na junção.
Depois, a comparaçao dos resultados do método im
plicito com aqueles do método de Stoker não pretende defi
nir exatamente o grau de precisão do primeiro. Na verdade
sao métodos distintos que simulam o mesmo problema, cada um
140
com os aspectos que sao peculiares. No entanto, uma boa
indicação da veracidade dos resultados pode ser admitida,
tendo em vista o sucesso da aplicação, em problemas reais,
do método de Stoker.
Para aplicação prática de métodos numéricos e ne
cessário o conhecimento de algumas variáveis que dependem
da posição ao longo do canal: seção transversal A, decli
vidade de fundo s 0 , coeficiente de resistência n, influ
xo lateral q, em cada seção de cálculo, I. As variáveis
geométricas s0
, A (e ainda B e P) são obtidas a partir de
serviços topográficos. O coeficiente de resistência é ob
tido empiricamente a partir de cheias anteriores, utilizan
do registros de vazão e tirante ao longo do rio. O influ
xo deve ser uma função conhecida da posição x e do tempo~;
pode ser calculado a partir de registros de uma cheia real;
para problemas de previsão de cheias, deve ser obtido soman
do os escoamentos medidos, nos afluentes maiores, com os
"run-off" locais estimados a partir de chuvas.
Seguindo essa.metodologia Stoker e sua equipe a
plicaram o método explicito testado no modelo definido em
V.2 a uma junção real do Ohio-Mississipi, para a cheia de
1947. As figuras apresentadas, V.3.1 a V.3.7, - trans
141
critas de 3
, Report III, mostram alguns aspectos do probl~
ma: esquema da junção, curvas-chave, hidrógrafas de tiran
te. Os resultados concordaram satisfatoriamente com os va
!ores observados, com erro máximo de O, 6ft ( "' 18cm) no ti
rante. Uma exposição minuciosa a respeito pode ser encon
trada na publicação citada.
guintes:
Observe-se ainda nesse problema os detalhes se
a) em nenhum dos hidrogramas a taxa de cheia ex
cedeu O, 12ft/h ( "' O, 04m/h) ;
b) as dimensões de malha nao ultrapassaram 2âx=
= lOmi e ât = O,lSh.
A extensão do método a casos práticos nao
duz, portanto, qualquer dificuldade na sua natureza.
de da disponibilidade e codificação de dados de campo
intro
Depe!!
sufi
cientes para uma esquematização satisfatória das caracteris
cas fisicas do rio ou sistema.
No caso do método aqui apresentado seria necessá
rio apenas a introdução do termo que define o caráter nao
prismático do rio, equação (II.1.7) ou o emprego de Q e
142
Y como variáveis dependentes.
Não se pode esquecer, no entanto, um ponto extre
mamente importante e já insistentemente relatado por vários
pesquisadores, 1 , 2 , 3
a tarefa de coletar e codificar
dados de campo é realmente muito trabalhosa e somente uma
equipe organizada, com elementos conhecedores do rio ou sis
tema a estudar, pode realizá-la a contento.
143
THE JUNCTION PROBLEM
Thebes
Coiro
---- JUNCTION
32 mi.
Hickmon
·-. FIG. 5. 3 .1 - ESQUEMA DA JUNÇÃO OHIO-MISSISSIPI.
M stoge in feet
300
298
296
294
292
290
288
------~.
Roting Curve ot Hickman
falling • flood
/.
Lng itood -
•
500 700
_ 14_4_
disch arge in I000c.f s.
900 Q
._i -FIG_'. 5.3.2 - CURVA CHAVE, FRONTEIRA A JUSANTE.
300
294
292
29Ó
.288
· stag11 in
foot
\
STAGES IN JUNCTI0N PR0BLEM DURING 1947 FL00D
---
Stooe at Hickman
---· observe d
··---- computed
145
-- --....
286 \.....__~,,,.
310
308
306
304
302
300
298
...... __ ... 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 JAN day
stage in -teet
' ,--._,
15 16 18 JAN
Stoge at Caira
~lculations performed with stage dat-;;-J l.erescribed at Metropolis and Thebes _j
20 22 24 26 28
da
30 31
•. FIG. 5. 3. 3 HIDRÕGRAFAS DE TIRANTE.
310
305
500
H
sta~o ln
feet
146
STAGE AT CAIRO DURING 1947 FLOOD •
~
olcufaticnS · performod with] lschargo dato prescribod ot
Metropolis ond Thobos -. -- obsorved
------ computed
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 JAN FEB
~W'IG; 5.3.4 HIDRÕGRAFA DE TIRANTE, JUNÇÃO.
----.
305
300
295
290
·H
--/
/
' , , ,
STAGE AT HICKMAN OURING 1947 FL00D
' ' , , , , ' I ,
' ' I , I
I
,,, , ,
,,-- __ ,, _,
----
I , , I , ,
I I , , ,
I I
I I
I , I
I
~
olculations pert'ormed witti] discharQe data proacribed ot Motropolis ond Thobos
obterved computed
147
285....,_~nfoo~•,---,,,,T-rrir-,-r,--.----,-.,n-,-,.---,.-r,r-r-.---.--.-----..--,,-,---.--,----,-,--r.c-r-___,. 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
JAN 1 2 FEB
3
, 1FIG'. 5.3.5 - HIDRÕGRAFA DE TIRANTE, A JUSANTE DA JUNÇÃO.
4
S2ô
. 310
H
1to9é' ln
felt
,----" , , , ,
STAGE AT METROPOLIS OURING 1947· FLOOO
-- observod ........... comput&d
~
lcu.lotlon1 ·porformed ·wlthj schorao ·dato prtscrlbed ot etropoli1 and Thebes
. .
305 noon noon
IS JAN
16 17 18 19 20 21 22 23 24 2S 26 17 28 29 30 SI 1 2 FEB
s
148
da
FTG'." 5. 3. 6 - HIDRÕGRAFA DE TIRANTE, FRONTEIRA A MONTANTE.
H
1tage ln
320 leet
. 31
,-
STAGE AT THEBES DURING
1947 FL00D
149
~
olcurationa parformed withJ discharoe data prascribed at Netropolis ond Thebes
-oburved .---:-- -- compute d
310--'-'º-'iºrº""r'"ioo.ccn'7Í',-r,,-,T"7,:T,-cr,.,,--,,T"7n'"'T--.-.,-,,-,n--r--.-.-,-....-.-,--.-.-~d!.'!a4y--r~ J~~ 16 11 1e 19 20 21 22 23 24 2s' 26 21 2e 29 3o 31 1 2
FEB 3
· I ·p IG. 5. 3. 7 - HIDRÕGRAFA DE TIRANTE, FRONTEIRA A MONTANTE.
4
CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
As principais conclusões do nosso estudo
ser resumidas nos itens seguintes:
150
podem
1. O método impl!cito com seccionamento simpli
fica a solução do problema de junção, transformando-o na a
plicação repetida (3 vezes) do caso de trecho único;
2. Um algoritmo adequado de interpolação e ex
trapolação reduz significativamente o número de
na junção;
iterações
3. O número de iterações na junção nao acarreta
modificações nos resultados;
4. A solução oferece significativas vantagens
de programaçao: simplicidade, flexibilidade na definição
das caracteristicas dos trechos, economia em armazenamento
151
e tempo de computação;
5. O bom funcionamento do método para taxa de
cheia extremamente elevada aconselha sua aplicação aos ca
sos práticos, de taxas mais lentas, provavelmente com mai
ores vantagens;
6. A aplicação a problemas reais e apenas um
problema de disponibilidade e codificação de dados de cam
po, não introduzindo complicações na natureza do método;
7. Testes com diferentes dimensões de malha e
fronteira conduziram a resultados consistentes, dentro de
certos limites.
Além dessas conclusões, reunimos, sob a forma de
sugestões para posteriores estudos alguns pontos observados
durante o nosso estudo, inclusive para trecho simples:
1. A maior concavidade dos perfis longitudinais
no problema da junção para o método implicito em relação ao
explicito;
152
2. A presença de pequenas oscilações em Y e V,
para malhas com õt relativamente pequeno, quando sao in
cluídas no cálculo, seções da região não perturbada;
3. A possibilidade de obter algoritmos mais rã
- - 6 25 26 pidos para soluçao do sistema linear de iteraçao, ' ' ;
4. A faixa de transientes em que o método pode
ser aplicado, em termos de dimensões físicas do sistema e
rapidez do transiente~
O estudo desses aspectos, especialmente dos dois
últimos, pode ampliar sensivelmente as possibilidades do me
todo implícito na área de movimentos não permanentes.
153
-·
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158
APfNDICE
CONSIDERAÇÕES SOBRE A PROGRAMAÇÃO.
DIAGRAMAS DE BLOCO. PROGRAMAS
Limitar~nos~emos a,comentar o programa mais impoE
tante que resolve o problema da junção. Os outros, por
sua simplicidade, podem ser facilmente compreendidos por
simples observação das listagens correspondentes, apresent~
das logo após a "Relação de Programas".
A idéia básica foi estruturar o programa de forma
tanto quanto possível flexível e facilmente adaptável a con
dições de contorno distintas e às variações das caracterís
ticas geométricas e físicas dos trechos em cada seçao. A
lém disso, a utilização de arquivos em disco permite o pr~
cessamento do programa em sistemas de menor capacidade de
memória. A minimização do tempo de processamento não foi,
portanto, uma preocupação exclusiva.
159
Nos parágrafos seguintes descrevemos, resurnidarnen
te a estrutura do programa completo.
Lê os intervalos e constan
tes adotados para cálculo; monta e resolve o sistema itera
tivo do método; testa tolerâncias; registra resultados.
ELEN
COFR1
COFR2
COFR3
GELB
Utiliza as seguintes subrotinas:
define as condições iniciais de cada trecho; lê
os elementos de entrada, calcula as
principais, registrando em disco;
constantes
define as condições de 64onteira para o trecho
T 1 ; corrige as variáveis que dependem de Y e
V, em cada iteração;
idem, idem, em relação ao trecho T 2 ;
idem, idem, em relação ao trecho T 3 ;
"Gauss Elimination Banded", Scientific Subroutine
Package, IBM; resolve o sistema linear de itera
ção com matriz coeficiente em estrutura de banda,
pelo processo de eliminação de Gauss.
160
As passagens principais do programa sao indicadas
no diagrama em blocos, simplificado. Para melhor compree~
são, relacionamos tal!'bém as constantes e variáveis mais im
portantes.
Constantes e variáveis mais importantes:
DX, DT
T, TF
intervalos adotados para a malha, plano x, t;
instante de cálculo e instante final do perI~
do de simulação;
X(I), Y(I,J), V(I,J) abcissa, tirante e velocidade p~
TOLY, TOLV
TOLJ
YJ
ra cada seção, em certo instante;
tolerâncias adotadas para o tirante e velo
cidade;
tolerância adotada para correçao do tirante na
junção;
valor do tirante na junção adotado para cálcu
lo em cada instante;
KT, KIT, KDT, KITJ contadores de trecho, iterações
"internas", intervalos de tempo, iterações "ex
161
-PROBLEMA DA JUN~AO
Diagramo de Bloco Simplificado
10
2 11
FIM
4 > 15
5 16
6 17
19
KMAX
N~, NS
C (I)
R(I)
FI
GI
NI
A(I,J)
B(I,J)
p (I ,J)
DPY(I,J) -
162
ternas" (na junção), respectivamente;
número máximo de iterações do MIAF entre dois
instantes;
ordem inicial e final das seçoes de
em um trecho (•);
cálculo,
vetor cujas componentes sao os coeficientes do
sistema linear de iteração exigidos pela GELB
para resolução;
vetor identidade do sistema linear de iteração;
variável associada a equaçao da continuidade,
seções centrais;
variável associada à equaçao da quantidade de
movimento, seções centrais;
número de incógnitas do sistema linear de ite
raçao;
' área da seçao transversal;
largura da seçao, a superfície livre;
perímetro molhado;
derivada em Y, do perímetro P;
163
DBY(I,J) - derivada em Y, da largura B;
CM(I)
DL(I)
NMAX
IREG
NR
OBS:
coeficiente de resistência de Manning;
declividade de fundo;
número máximo de seçoes para cada trecho, cor
respondente ao periodo de simulação TF;
número de intervalos de tempo entre dois ins
tantes em que se deseja o registro de resulta
dos;
número de vezes (instantes) em que foram regi~
trados resultados por impressora e/ou perfura
dora.
(*) Na versao A, onde o número de seçoes em cada tre
cho é fixo, tem-se sempre N~ = 1.
164
Descrição dos itens indicados no diagrama de blo
co simplificado:
1. Inicialização:
de arquivos.
dimensionamento e definição
2. Leitura das constantes e intervalos adotados
para cálculo: M, MUD, ••• , e DX, DT, T, .•• ,
NR.
3. Teste de leitura final (DX), com desvio para
saida.
4. Registro por impressora de titulos, subtitu
los e valores lidos.
5. ELEN: leitura,armazenamento e registro dos
elementos de entrada (condições iniciais).
6. Uniformização de unidades, inicialização de
contadores KT, KDT, KMAX e do tempo T.
7. Leitura em disco: desarquivamento dos valo
res iniciais para o trecho de ordem KT.
8. Definição ãa-::hi~ inicial Y(I,2), V(I,2),
165
••• , para o sistema linear de iteração, ins
tante T + DT.
9. COFR: definição das condições de fronteira
e coeficientes C(I) correspondentes, trecho
KT.
10. Montagem do sistema linear de iteração: cál
culo dos parâmetros C(I) e R(I), para as
seções centrais.
11. GELB: resolve o sistema linear de iteração
armazenando as soluções em R(I).
12. Teste de convergência: verifica tolerâncias
TOLY e TOLV, voltando ao item 9, se necessá
rio.
13. Arquiva soluções e volta ao item 7, para cá!
culo do trecho.seguinte (se a onda já atin
giu a junção).
14. Verificação do tirante na junção: testa to
lerância TOLJ; obtida a precisão desejada
passa ao item 16.
15.
166
Correção do tirante na junção: por interp~
lação é adotado um novo valor para YJ, vol
tando ao item 8, trecho KT = 1.
16. Extrapolação do tirante para o instante se
guinte, T + DT, com os valores de Y em T e
T - DT.
17. Leitura e transferência dos resultados para
arquivos.
18.
19.
Teste para registro dos resultados: verifi
ca o instante de registro, comparando KDT e
IREG; volta ao item 6, para o instante se
guinte, T + DT.
Registro de resultados: saída de Y e V,
por impressora ou perfuradora; volta ao
item 6, para o instante seguinte:
Quando em 6, T + DT > TF, volta a 3,
leitura de saída.
para
167
Subrotina GELB:
As informações dadas a seguir resumem-se ao estri
tamente necessário para esclarecer a utilização da subroti
na nos problemas resolvidos. Para maiores detalhes, ver
"Scientific Subroutine Package", IBM/360.
Objetivo:
Resolver um sistema de equaçoes lineares simulta
neas com matriz coeficiente em estrutura de banda.
Utilização:
CALL GELB (R, C, NI, M, MUD, MLD, EPS, IER).
Descrição dos parámetros:
R matriz identidade, NI x M, destruída durante
o processamento. No final, R contem as so
luções das equações;
e
168
matriz coeficiente com estrutura de banda
NI x NI, destruída durante o processamento;
NI número de equaçoes do sistema;
M número de vetores de R;
MUD número de codiagonais acima da diagonal pri~
cipal;
MLD número de codiagonais abaixo da-diagonal priE
cipal;
EPS constante de entrada usada como tolerância
relativa para teste da perda de significado;
IER parâmetro de erro resultante, codificado co
mo segue:
IER = O
IER = 1
IER = K
nenhum erro;
nenhum resultado, em virtude de
erro nos parâmetros de entrada
NI, MUD, MLD, ou em virtude de
nulidade do elemento pivô an qual quer passo de eliminação;
advertência devido a possível
perda de significação na etapa
Observações:
169
de eliminação K + 7 , onde o ele
mento pivô foi menor ou igual ao
produto da tolerância interna p~
lo maior elemento da matriz e, em
valor absoluto.
A matriz banda C deve ser armazenada por linha
nas primeiras ME posiçõ'es sucessivas de armazenamento do to
tal MA necessário, onde:
MA = NI*MC - ML* (ML + 1) /2 e
ME = MA - MU*(MU + 1)/2 com
MC = MIN(NI,l + MUD + MLD),
ML = MC - 1 ~ MLD e MU = MC - 1 - MUD.
A matriz identidade R deve ser armazenada por co
luna nas M x NI posições sucessivas de armazenamento. No
final, R também estará armazenada por coluna.
Os parâmetros de entrada devem satisfazer às se
170
guintes restrições:
MUD :;,. O, MLD :;,. O, MUD + MLD $ 2*M - 2".
No caso do MIAF, aplicado a um problema de cheia
em trecho Único ou em junção, com seccionamento, temos as
seguintes condições:
M = 1, MUD = 2, MLD = 2.
Obtemos, portanto:
MC = MIN(NI, 5) = 5, uma vez N:;,. 3,
onde N = número de seçoes.
Levando esses valores às equaçoes acima, obtemos:
ML = MU = 2, MA= 5NI - 3 e ME = 5NI - 6 = lON - 6.
Para a matriz indicada na Figura IV.2.2, com lar
gura de banda 2N + 6, onde N é o número de seções de cada
trecho, teremos:
171
M = 1, MLD = 2, MUD = 2N + 3.
Obtemos, então, analogamente:
MC = min(6N, 2N + 6) = 2N + 6, desde que sempre N ~ 3,
em cada trecho. Para os outros valores, vem:
ML = 2N + 3, MU = 2, MA= 10N2
- 29N - 6 e
ME = 2 l0N - 29N - 9.
Em termos aproximados podemos escrever:
MA= 10N2
- 29N, para este caso e
MA= l0N, para o caso anterior.
Essas considerações esclarecem os valores indica
dos no item IV.2, com relação ao cálculo das posições de ar
mazenamento.
Nas folhas seguintes serao apresentadas relação
de programas e listagens daqueles mais importantes, inclusi
ve um exemplo de entrada de dados no programa da junção.
Pl
P2
P2
P2
P2
PJ
PJ
PJ
P4
Relação de Programas:
Propagação de cheia sinusoidal em canal
grande largura (modelo de Thomas).
172
de
Propagação de onda de cheia em canal de se
ção trapezoidal (modelo de Stoker); uso da
subrotina GELB.
idem, idem; uso da subrotina SIMQ.
idem, idem; inclui subrotina DIAG, para tra
çado dos perfis, Figura V.1.1 (**).
idem, idem; taxa de cheia a jusante.
Propagação de cheia através de confluência;
versão A (*).
idem, idem; versao B (*).
idem, idem; versoes Al, A2 e AJ (*).
Perfis longitudinais de cheia em confluência;
método implícito e método de Stoker, Figuras
V.2.1, V.2.2, V.2.4 (**).
173
PS Perfis longitudinais; superposição, Figuras
V.2.3, V.2.5 e V.2.6 (**).
(*) ver item V.2, para maiores esclarecimentos.
(**) listagens apresentadas ao final do Apêndice.
Programas da junção: entrada de dados:
Exemplificamos a utilização do programa indicando
os dados correspondentes ao teste n9 1, do Quadro I, na or
dem de leitura adotada (no programa).
JQ Ca~~ão: constantes de entrada para a GELB, a
celeração da gravidade:
M = l; MUD=MLD=2; -5
EPS = 10 ; G = 9.81.
29 Ca~~ão: dimensões da malha, tempos, tolerân
cias, contadores para registro de resultados por impressora
ou perfuradora:
DX
(km)
8,05
DT
(h)
0,5
T TF TOLY TOLV TOLJ
(h) (h)
o,o 10,0 0,010 0,010 0,010
174
IREG NR
5 3
39 Ca4zão: dados para cálculo da taxa de cheia,
inicialização dos arquivos e trechos (*):
YMAX
(m)
12,10
TP
(h)
4,0
Y!2l Ll
(m)
6,10 1
L2 L3 KT
1 1 1
40 O O -. , 5. e 6 • c.a4zo u : elementos geométricos de en
DLO
m/km
CMA Y!2l
(m) m
QL
m /s
XL
(km)
0,095 o,~3 6j10 305,o o,o 80,5
0,093 0,03 6,10 610,0 0,0 ·-~
0,095 0,03 6,10 305,0 0,0
(* )_ A partir do 39 cartão as leituras sao feitas
da subrotina ELEN.
175
dentro
f evidente que em problemas mais complicados, as
subrotinas ELEN, COFRl, COFR2, COFR3, devem ser modificadas,
ou mesmo substituídas a fim de atender às eondiçÕeh iniei
aih e de 6~ontei~a especificas de cada caso.
Os resultados do exemplo dado podem ser encontra
dos no Quadro I e Figura V.2.2, ou nas listagens correspo~
dentes.
176
c ************************************************************** C PROPAGACAO OE ONOA OE CHEIA EM CONFLUENCIA DE RIOS
c ************************************************************** DIMENSION Xl35l,Yl35,3l,Vl35,3l,C(500l,Rl70) DIMENSION Al35,2l,Bl35,2l,Pl35,2l,CMl35,21,DLl35) DIMENSION DPY(35,2l,OBYl35,21,N(3) CDMMON x,v.v,C,DL,CM,A,B,P,DPY,DBY,G,QL,DX,DT,T,TF,Ll,L2 COMMON L3,NO,YJ,TJ,CO,VO,YMAX,TP,KIT,NJ,NMAX,BO,Ql,Q2,R DEFINE FILE 1114,320,U,Lll,12(4,320,U,L2lil3(4,320,U,L31 COMMON NS,KITJ,YO DEFINE FILE 1414,320,U,L41,1514,320,U,L5l
C Xtil,YII,Jl,Vll,Jl, - ABCISSA,TIRANTE E VELOCIDADE PARA CADA C SECAO EM CERTO INSTANTE OU ETAPA DE CALCULO C AtI,JJ, - AREADA SECAO TRANSVERSAL C 811,Jl, - LARGURA DA SECAO A SUPERFICIE LIVRE C PII,Jl, - PERIMETRO MOLHADO DA SECAO C DPYII,Jl, - DERIVADA 00 PERIMETRO Pll,Jl,EM RELACAO A Yll,Jl C DBYll,Jl, - DERIVADA OA LARGURA BII,Jl EM RELACAO A Y(l,J) C CMIII, - COEFICIENTE OE RESISTENCIA DE MANNING C OLIIl, - DECLIVIDADE OE FUNDO 00 RIO OU CANAL C NMAX, - NUMERO MAXIMO OE SECOES OE CALCULO PARA CADA TRECHO C CORRESPONDENTE AO PERIDDO DE SIMULACAO TF C YJ, - VALOR DO TIRANTE NA JUNCAD ADOTADO PARA CALCULO EM CADA C INSTANTE OU ITERACAO EXTERNA C NO,NS, - ORDEM INICIAL E FINAL DAS SECOES DE CALCULO EM UM DOS C TRECHOS
C CONSTANTES DE ENTRADA PARA A GELB E ACELERACAO DA GRAVIDADE REA0(8,ll M,MUO,MLD,EPS,G
l FORMATl3I5,Fl0.5,Fl0.2)
C ÚIMENSOES OA MALHA,TEMPO,TOLERANCIAS,CONTADORES PARA REGISTRO
C OX,DT, - INTERVALOS ADOTADOS PARA A MALHA NO PLANO X,T. C T,TF, - INSTANTE DE CALCULO E INSTANTE FINAL DO PERIDDO OE SIC MULACAO C TOLY,TOLV, - TOLERANCIAS ADOTADAS PARA O TIRANTE E VELOCIDADE C TOLJ, - TOLERANCIA ADOTADA PARA CORRECAO DO TIRANTE NA JUNCAO C JREG, - NUMERO DE INTERVALOS OT ENTRE DOIS INSTANTES DE REC GISTRO OE RESULTADOS C NR, - NUMERO OE VEZESIINSTANTESI EM QUE SERAO REGISTRADOS REC SULTADOS POR IMPRESSORA OU PERFURADORA
9 REA0(8,2) DX,OT,T,TF,TOLY,TOLV,TGLJ,IREG,NR 2 FDRMAT(7Fl0.3,2ISI
C TESTE DE LEITURA FINAL COM DESVIO PARA SAIDA IFIOXl4,4,3
C REGISTRO OE TITULOS,SUBTITULOS E VALORES LIDOS 3 WRITE(5,5l
177
5 FORMAT('l',43X,• PROPAGACAO DE CHEIA EM CONFLUENCIA•,///1 WRITE15,61 DX,DT,T,TF,TOLY,TOLV,TOLJ,IREG,NR
6 FORMAT(//,' VALORES OE DX,DT,T,TF,TOLY,TOLV,TOLJ,IREG,NR' *,//,7Fl0.3,215,/l
C LEITURA, IMPRESSAO E ARMAZENAMENTO DOS ELEMENTOS OE ENTRADA
C ELE N, DEFINE CONOICOES INICIAIS DE CADA TRECHO. LE ELE-C MENTOS DE ENTRADA, CALCULA AS CONSTANTES PRINCIPAIS REGISTRA C VALORES EM DISCO
CALL ELEN
C CGNVERSAO DE UNIDADES E INICIALIZACAO DE CONTADORES OTl=DT OXl=DX TFl=TF OX=lOOO.*DX DT=3600.*DT TF=3600.*Tf
C KT,KIT,KDT,KITJ, - CONTADORES DE TRECHD,ITERACOES INTERNAS,INO C METODOl,INTERVALOS DE TEMPO,ITERACOES EXTERNASINA JUNCAOl,RESC PECTIVAMENTE C KMAX, - NUMERO MAXIMO DE ITERACOES DO M.I.A.F. ENTRE OOIS INSC TANTES
KT=l KDT=l KMAX=O
C INICIALIZACAD 00 T PARA CALCULO OE Y E V EM T+DT 7 T=T+OT
KIT J= 1 TT=T/3600. IF(T-Tfl8,8,9
8 KIT=l
C OESARQUIVAMENTO DOS VALORES INICIAIS PARA CADA TRECHO KT IF{KT-2110,11,12
10 Ll=l READ(ll'lll NMAX,QL,CO,VO,YO,IX(ll,Y(l,11,V(l,11,AII,11
*,Btl,11,Pll,11,C~ll,11,0LIIl,DBYII,11,DPYll,11,I=l,NMAXI GOTO 13
11 l2=1
178
READl12'L2l NMAX,QL,CO,VO,YO,IX(Il,YII,11,VII,11,AII,11 *,BII,11,PII,11,CMII,ll,OLIIl,DBYII,ll,DPY(I,ll,I=l,NMAXI
GOTO 13 12 L3=1
REAO(l3'l31 NMAX,QL,CO,VO,YO,IXIIl,YII,ll,VII,ll,AII,ll *,Bll,11,PII,ll,CMII,ll,OL(Il,OBYII,11,DPY(I,ll,1=1,NMAXI
C ARMAZENAMENTO DOS VALORES INICIAIS,LINHA 1,INSTANTE T C DEFINICAO DA HIPOTESE INICIAL COM OS VALORES DA LINHA J=l
13 00 14 l=l,NMAX YI 1,2l=YI 1, li VII,21=Vll,ll BII,2l=BII,ll CPYII,2l=OPY(l,ll DBYI I ,2l=OBY( I, ll
14 CMII,21=CMII,ll
C CONCICOES DE FRONTEIRA,MATRIZ CIII E VETOR IDENTIDADE RIIJ
C CIII, - VETOR CUJAS COMPONENTES SAO OS COEFICIENTES 00 SISTEMA C LINEAR DE ITERACAO EXIGIDOS PELA GEL B PARA RESOLUCAO C R(Il, - VETOR IDENTIDADE 00 SISTEMA LINEAR OE ITERACAO C NI, - NUMERO OE INCOGNITAS 00 SISTEMA LINEAR OE ITERACAO
21 IFIKT-2115,16,17 •
C C O F R 1, DEFINE CONDICOES OE FRONTEIRA PARA TRECHO Tl. C CCRRIGE VARIAVEIS QUE DEPENDEM OE. Y E V EM CADA ITERACAO
15 CALL COFRl(GO,FN,Nl,NEI GOTO 18
C C O F R 2, DEFINE CONOICOES OE FRONTEIRA PARA TRECHO T2. C CORRIGE VARIAVEIS QUE DEPENDEM OE Y E V EM CADA ITERACAO
16 CALL COFR21GO,FN,NI,NEJ GOTO 18
C C O F R 3, DEFINE CONOICOES OE FRONTEIRA PARA TRECHO T3. C CORRIGE VARIAVEIS QUE DEPENDEM DE Y E V EM CADA ITERACAO
17 CALL COFR3(GO,FN,NI,NEJ 18 KE=NE+3
JJ=l R(ll=-GO+Clll*Yll,21+Cl21*Vll,21 RlNil=-FN+C(NE-ll*YINS,21+C(NEl*VINS 1 21
C ZERA POSICOES OE C(II EXIGIDAS PELA GELB DO 20 I=NE,ME
20 CII+ll=O.
179
C CALCULO OGS PARAMETROS Clll E RII) PARA OS PONTOS CENTRAIS J=4 00 35 I=2,NS
C CCNSTANTES CORRESPONDENTES AO INSTANTE T, LINHA DE ORDEM 1 Al=-(YII,ll+Y(I-1,lll Bl=VII,ll+VII-1,11 Cl=Yll,l)-Yll-1,11 Ol=Vll,11-VII-1,11 El=ACI,ll/BII,ll+A(I-1,ll/BII-1,ll Fl=l./BII,ll+l./B(I-1,ll OLAl=VII-1,ll**2./tl./CM(I-l,lll**2• OLAl=OLAl*IPII-1,ll/AII-1,111**14./3.l DLA2=Vll,11**2./ll./CM(I,lll**2.*(P(I,ll/All,lll**l4./3.l Gl=OLAl+OLA2-4.*0LIIl
C RESIDUOS FIE GI DAS EQUACOES DA CONTINUIDADE E MOVIMENTO Hl=V(l,ll/A(I~ll+VII-1,ll/AII-1,ll A2=0T/(4.*DXl B2=DX/IG*DT) C2=1./(4.*Gl D2=DX/(2.*GI
C FI, - VARIAVEL ASSOCIADA A EQUACAO DA CONTINUIDADE,SECOES CENC TRAIS C GI, - VARIAVEL ASSOCIADA A EQUACAO OA QUANTIDADE DE MOVIMENTO, C SECOES CENTRAIS
FI=YII,2l+YII-l,21+Al fl=fl+A2*1YII,21-Y(l-1,2)l*(V(l,2)+V(I-1,2l+Bl) FI=Fl+A2*1Cl*IVII,2l+V(I-l,2)l+Bl*Cll Fll=(All,21/BII,2)+AII-1,2l/BII-1,2ll*IVII,21-VII-l,2l+Dll Fll=Fil*A2+A2*1El*(VII,2l-VII-1,2ll+Dl*Ell FI=FI+Fll-QL*DT/2.*ll./BII,2)+1./811-1,21+Fll OLAl=VII-1,2)**2./ll./CMll-l,21)**2• DLAl=OLAl*(PII-l,21/A(l-1,211**14./3.l DLAO=Vll,2l*CM(I,2l*PII,2l*AII,2l*BII,2l*DX IFIOLA0)201,201,202
201 WRITE(5,203J NS,NO,I,TT,V(l,21,CMII,21,P(I,21,A(l,2),BII,2) 203 FORMATl315,7Fl0.3,/l 202 OLA2=VII,2l**2./(l./CMll,2ll**2.*IP(l,2l/AII,2ll**l4./3.J
Gl=YII,2l-YII-1,2J+Cl+B2*1Vtl,2l+VII-1,2l-8ll GI=GI+C2*1VII,21**2.-VII-1,21**2•+(Dl+Bl)*VII,2ll GI=GI+C2*(101-Bll*VII-1,2l+Dl*Bl)+OX/2.*IDLAl+OLA2+Gll GI=Gl+D2•QL*IVII,21/AII,2l+VII-1,2l/A(I-1,21+Hll Il=I IFII-2126,26,27
27 ll=JJ+l
180
C PARAMETROS 00 SISTEMA LINEAR DE ITERACAO - COEFICIENTES CIII 26 AUX1=1.-A2*1VII,2l+V(I-1,2J+Bll
AUX2=A2*1VII,21-VII-1,2l+Dll AUX2=AUX2*11.-A(l-1,2l/B(I-l,2l**2.*0BY(l-l,2ll C(Jl=ÀUXl+AUX2+Ql*OT/2.*0BYII-l,2l/BII-l,2l**2• AUXl=A2*(YII,21-YII-1,2l+Cll CIJ+ll=AUX1-A2*1A(l,2l/B(l,2l+A(I-l,2l/Bll-1,2l+Ell AUX1=1.+A2*1VII,2l+VII-1,2l+Bll AUX2=A2*1VII,21-VII-1,2l+Dll AUX2=AUX2*1l.-AII,2l/BII,21**2.*DBYII,211 CIJ+21=AUXl+AUX2+QL*DT/2.*0BYII,2l/B11,2l**2. AUXl=A2*1Yll,2)-YII-1,21+Cll CIJ+3l=AUXl+A2*1AII,2l/BII,2l+A(l-1,2l/BII-1,21+E11 AUX1=2./3.*0LAl*DX*(DPYII-1,2l/PII-1,2l-Bll-l,2l/AlI-1,211 CIJ+4l=AUX1-B2*Ql*BII-l,21*VII-l,21/A(l-l,21**2•-1• AUXl=B2+(01-Bl-2.*VII-1,2lJ/14.*Gl+DX*DLAl/VII-1,2l CIJ+5l=AUXl+QL/A(l-1,2l*D2 AUX1=1.+2./3.*DLA2*DX*IDPYll,2l/P(I,2l-BII,2l/AII,21l CIJ+6l=AUX1-D2*QL*Bll,2l*VII,21/AII,2l**2• AUXl=B2+101+81+2.*VII,2ll/14.*Gl+OX*OLA2/VII,21 CIJ+7l=AUXl+QL/AII,21*02 CIJ+8l=O. CIJ-ll=O.
C SISTEMA LINEAR DE ITERACAO - VETOR IDENTIDADE Rlll AUX1=-fl+CIJl*YII-1,2l+CIJ+ll*VII-1,2l+C(J+21*YII,2l R(lll=AUXl+CIJ+3l*VII,2l AUX1=-GI+CIJ+4l*YII-1,2l+C(J+5l*V(I-1,21+CIJ+6l*YII,21 R(ll+ll=AUXl+CIJ+7l*VII,21 J=J+lO
35 JJ=JJ+2
C SOLUCAO 00 SISTEMA UTILIZANDO A SUBROTINA GELB CALL GELBIR,C,NI,M,MUO,MLO,EPS,IERl
C ARMAZENA SOLUCOES RIII EM YII,31 E VII,31 E TESTA PRECISAO Yll,3l=Rlll Vll,3l=Rl2l 11=0 00 28 1=3,Nl,2 11=11+1 I2=I-Il YII2,3l=Rlll
28 VII2,31=RII+ll 00 29 I=l,NS DIFY=ABSIYll,3)-Yll,211 OIFV=ABSIVII,31-V(I,211 IF(OIFY-TOLYl30,30,31
30 IFIDIFV-TOLVl29,29,31 29 CONTINUE
181
C TRANSFERENCIA DE RESULTADOS PARA Y(I,11,VII,ll E REGISTRO IF(T-TJ*3600.122,22,25
22 00 32 I=l,NS Y(l,ll=Y(I,31
32 V(I,ll=VCI,31 ll=l WRITE(ll'Lll NMAX,QL,CO,VO,YO,IX(Il,YCI,11,V(I,11 ,ACI,11,
*BCI,11,P(I,11,CM(I,11,0L(ll,OBY(I,11,0PYII,11,1=1,NMAXl GOTO 36
25 IFCKT-2133,34,36 33 Ql=A(NS,2l*VINS,31
L4=1 WRITE(l4'l41 NMAX,QL,CO,VO,YO,CXIIl,YII,3),VII,31,A(I,ll,
* B ( I, 1 l , P ( l , li , CM I I, 11 , DL t I l , D B Y ( I, 1 J , D P Y I I , 11 , I = l , NMA X l GOTO 36
34 Q2=A(l,2l*VC1,31 L5=1 WRITE(l5'l5l NMAX,QL,CO,VO,YO,(X(Il,Y(I,3l,VII,3l,AII,ll,
*BII,ll,PCI,11,CM(l,ll,Ol(Il,DBYII,11,DPYII,ll,I=l,NMAXI
C INCREMENTA CONTADOR OE TRECHOS E TESTA FINAL(KT=31 36 IF(KMAX-KITl41,42,42 41 KMAX=K IT 42 IFIT-TJ*3600.l59,59,52 59 l=l
GOTO 69 52 KT=KT-+l
IF(KT-318,8,38
C TESTA PRECISAO NA CONFLUENCIA E CORRIGE YJ 38 KT=l
OIF=ABSIYINS,3)-YJ) IF(OIF-TOLJ)19,19,40
40 KITJ=KITJ+l IF(Y(NS,31-Y(NS,11155,55,56
55 Y(NS,31=Y(NS,11 56 YJ=YJ+(Y(NS,31-YJl/4.
IF(KITJ-2018,8,9 19 l3=1
IF(Y(NS,31-Y(NS,11157,57,58 57 Y(NS,3l=Y(NS,ll 58 OIFE=ABS(Y(NS,31-Y(NS,lll
YJ=YINS,3l+OIFE L=3 WRITE(13'l31 NMAX,QL,CO,VO,YO,(X(Il,Y(I,3),V(l,31,A(l,ll,
*BCI,ll,P(l,ll,CM(I,ll,DL(Il,DBY(l,11,0PY(I,ll,1=1,NMAXI WRITEl5,531 OIF,YJ,YINS,31,YINS,ll,KITJ
53 FGRMATC/,4Fl0.3,15,/l Nl3l=NMAX
182
L5=1 READl15'l5J NMAX,QL,CO,VO,YO,IXIIl,YII,21,VII,21,AII,ll,
*BII,ll,PII,11,CMII,ll,DL(IJ,DBYll,ll,DPY(I,ll,I=l,NMAX) L2=1 WRITEl12 1 L2l NMAX,QL,CO,VO,YO,IXIIl,YII,21,VII,21,A(I,11,
*BII,11,PII,ll,CMII,11,DLIIl,DBYII,ll,DPYII,ll,1=1,NMAXl N(2l=NMAX L4=1 READl14'L4) NMAX,QL,CO,VO,YO,IXIIl,Y(I,ll,VII,11,A(I,ll,
*BII,ll,PII,ll,CMII,ll,DLIIl,DBYII,ll,DPYll,ll,I=l,NMAX) Ll=l WRITElll'lll NMAX,QL,CO,VO,YO,IXII),Y(I,11,VII,11,AII,11,
*BII,ll,PII,11,CM(I,ll,DLIIJ,DBYII,11,0PY(I,ll,I=l,NMAX) 69 Nlll=NMAX
IFIKOT-IREGl43,44,44
C REGISTRA RESULTADOS POR IMPRESSORA OU PERFURADORA 44 KDT=O
·oo 60 J=l,L NMAX=NIJI WRITE15,45J KIT,KMAX,KITJ,J,TT
45 FORMAT(//, 1 ITERACOES(KIT,KMAX,KITJl,TRECHO CALCULADO(JI,', *'INSTANTE OE CALCULOITTl 1 ,//,4I5,Fl0.2,/l
WRITEIS,46) 46 FORMAT(/,' LOCALIZACAO OE CADA SECAO DO CANAL COM os•,
*' RESPECTIVOS VALORES 00 TIRANTE E VELOCIDADE',/) WRITE15,47l IXIIl,YII,Jl,VII,Jl,I=l,NMAXl
47 FORMAT(5(F8.1,2F7.3,2Xll
C SAIDA OE RESULTADOS EM CARTAO PERFURADO WRITEl16,621 NS,NR,J,TT,DTl,DXl,TFl
62 FORMATl3I5,4Fl0.3) WRITE( 16,61 J (Y( 1,J l ,VII ,Jl, I=l,NMAX)
61 FORMATl8Fl0.3J 60 CONTINUE 43 KDT=KOT+l
GOTO 7 31 KIT=KIT+l
IFIKIT-10149 1 49,9 49 00 50 I=l,NS
Y(I,2)=Y(I,3) 50 VII,2l=VII,31
GO TO 21 4 WRITECS,51) TT,KIT,KMAX,KITJ
51 FORMAT(//, 1 INSTANTE OE SAIDA, ITERACOES 11 //F10.3,3I5,/J
C.ALL EXIT END
183
e **************************************************************
SUBROUTINE ELEN
e **************************************************************
e LEITURA E CALCULO aos ELEMENTOS OE ENTRADA OIMENSION Xl351,Yl35,31,V(35,31,C(5001,Rl701 OIMENSION A(35,21,Bl35,21,P(35,2l,CM(35,21,0l(351 OIMENSION OPY(35,21,0BY(35,21,Nl31 COMMON X,Y,V,C,OL,CM,A,B,P,OPY,OBY,G,QL,OX,OT,T,TF,Ll,L2 COMMON L3,NO,YJ,TJ,CO,VO,YMAX,TP,KIT,NJ,NMAX,BO,Ql,Q2,R COMMON NS,KITJ,YO
C LEITURA EM CARTOES OOS ELEMENTOS GEOMETRICOS OE ENTRADA REAOIB,151 YMAX,TP,YO,Ll,L2,L3,KT
15 FORMAT(3Fl0~3,4I51 Ll=l L2=1 L3=1 KT=l
10 REAOIB,11 OLO,CMA,YO,BO,Ql,XL l FORMATIF10.7,5Fl0.3)
CA=(l./CMAl**2• PO=B0+2.*YO AO=BO*YO RO=AO/PO CO=IG*YOl**0.5 VO=RO**l2./3.l*ICA*OLOl**0.5
C TEMPO GASTO PARA A FRENTE OE ONDA ATINGIR A JUNCAO IF(KT-112,2,3
2 NJ=IFIXIXL/OXl+l NMAX=NJ NS=NJ TJ=XL/(CO+VOJ/3.6 GOTO 11
C CALCULO 00 NUMERO OE PONTOS OE CADA TRECHO E ARMAZENAMENTO 3 XL=ICO+VOl*3.6*1TF-TJI
NMAX=IFIXIXL/OXl+l 11 XI ll=O.
00 4 1=2,NMAX 4 Xlll=XII-ll+OX/1.61
00 5 1=1,NMAX YII,ll=YO VII,ll=VO AI 1,ll=AO B( 1,1 l=BO PII,ll=PO
CBYII,11=0. OPYII,11=2, Oll I l=OLO
.5 CMtI,ll=CMA
184
C TRANSFERE ELEMENTOS OE CADA TRECHO PARA ARQUIVO EM DISCO) IFCKT-2112,13,14
12 Ll=l WRITE(ll'Lll NMAX,QL,CO,VO,YO,IXIIl,YII,11,VII,11,AII,11,
*BII,ll,PCI,11,CMll,ll,DL(Il,DBYll,11,0PY(I,ll,I=l,NMAXI GOTO 16
13 LZ=l WRITEl12'l21 NMAX,QL,CO,VO,YO,IX(IJ,YII,11,VII,ll,A(I,11,
*Bll,11,PII,ll,CMII,ll,DL(Il,DBY(I,11,0PYII,11,I=l,NMAXI GOTO 16
14 L3=1 WRITEl13'L3l NMAX,QL,CO,VO,YO,IXIIl,YII,11,VII,ll,AII,ll,
*BII,ll,P(I,ll,CMII,ll,OLIIl,DBYII,ll,DPY(I,11,I=l,NMAXl
C REGISTRO DOS ELEMENTOS LIDOS,CALCULAOOS E ARQUIVADOS 16 WRITE15,6l OLO,CMA,YO,BO,QL,PO,AO,CO,VO,XL,TJ,NMAX,Ll 6 FORMATI//,' ELEMENTOS LIDOS E CALCULADOS',//, *fl0.7,lOFl0.3,215,/1
WRITE15,7l (XIIl,Yll,11,VII,ll,A(I,ll,B(l,11,P(I,ll,CMII,ll *,OLIIl,OBYII,11,0PYll,ll,I=l,ll,Ll,L2,L3
7 FORMAT(//,' ELEMENTOS ARQUIVADOS',//, *(7Fl0.3,Fl0.7,2Fl0.3),315,/)
C TESTA SAICA CORRESPONDENTE AO TRECHO A JUSANTE OA JUNCAO IF(KT-218,8,9
8 KT=KT+l GOTO 10
9 YJ=YINl'.AX, li RETURN END
185
e **************************************************************
SUBROUTINE COFRl(GO,FN,NI,NEI
e **************************************************************
C DEFINE CONOICOES OE FRONTEIRA E PARAMETROS,-TRECHO TllKT=ll DIMENSION Xl35l,Yl35,3l,V(35,31,Cl5001,Rl701 OIMENSION A(35,21,B135,21,Pl35,2l,CM(35,21,0ll351 OIMENSION OPYl35,21,0BYl35,21,Nl3J COMMCN x,v,v,c,oL,CM,A,B,P,OPY,OBY,G,QL,OX,DT,T,TF,Ll,L2 COMMON L3,NO,YJ,TJ,CO,VO,YMAX,TP,KIT,NJ,NMAX,BO,Ql,Q2,R COMMON NS,KITJ,YO
C NUMERO OE SECOES NS,CONOICOES OE FRONTEIRA GO,FN. IFIKIT-115,5,6
5 NS=NJ NI=2*NS NE=5*Nl-6 Y(NS,ll=YJ IFIKITJ-1110,10,9
10 00 11 1=1,NS A ( I, 11 = B ( I , 11 *Y C I, 11
11 PII,ll=BCI,1)+2.*YII,ll IFCT-3600.•TPl2,2,3
2 FMONT=Yll,ll+IYMAX-YOl*OT/(3600.*TPl GOTO 9
3 FMONT=YMAX 9 A(NS,ll=BCNS,ll*YINS,ll
PINS,ll=BINS,11+2.*YINS,ll 6 YCNS,2l=YJ
Yll,21=H'.ONT
C RESIDUOS DE GO E FN,COEFICIENTES C(II NAS FRONTEIRAS GO=Y(l,21-FMONT FN=YINS,2)-YJ C( l l=l. Cl2l=O. C { NE-11 •1. C(NEl=O.
C CORRECAO DAS VARIAVEIS QUE DEPENDEM OE Y E V CO 4 I=l,NS ACI,2l=BII,2l*YII,21
4 P(I,2l=BlI,21+2.*YCI,2l RETURN ENC
186
e **************************************************************
SUBROUTINE COFR21GO,FN,NI,NEI
e **************************************************************
C DEFINE CONOICOES OE FRONTEIRA E PARAMETROS,-TRECHO T21KT=2l OIMENSION X(35l,Y(35,3J,Vl35,31,C(5001,R(70J OIMENSION A(35,2l,Bl35,2l,P(35,2l,CM(35,21,DLl351 DIMENSION OPYl35,21,0BY(35,2l,Nl31 COMMON X,Y,V,C,DL,CM,A,B,P,DPY,OBY,G,QL,DX,DT,T,TF,Ll,L2 COMMON L3,NO,YJ,TJ,CO,VO,YMAX,TP,KIT,NJ,NMAX,BO,Ql,Q2,R COMMON NS,KITJ,YO
C NUMERO DE SECOES(NSJ E CONDICOES DE FRONTEIRA(GO E FNI IFIKIT-113,3,4
3 NS=NMAX NI=2*NS NE=S•NI-6 Yll,ll=YJ IF (KIT J-115,5,6
5 00 11 I=l,NS A ( I , li= B ( I , 1l *Y I I, 11
11 PII,ll=B(I,11+2.*Y(I,ll 6 A(l,ll=Bll,ll*Yll,11
P(l,ll=B(l,11+2.*Yll,ll 4 Y(NS,2)=Y(NS,ll
Yll ,2 )=YJ
C RESIDUOS OE GO E FN,COEFICIENTES C(Il NAS FRONTEIRAS GO=Yll,21-Yll,ll FN=Y(NS,21-Y(NS,ll C( 11=1. Cl2l=O. C(NE-11=1. C(NE)=O.
C CORRECAO DAS VARIAVEIS QUE DEPENDEM DE Y E V 00 2 I=l,NS AI I,21=6( 1,21*YI 1,21
2 P( I,21=8( 1,21+2.*YI 1,21 RETURN ENO
187
e **************************************************************
SUBROUTINE C~FR3(GO,FN,NI,NEI
e **************************************************************
C OEFINE CONDICOES OE FRONTEIRA E PARAMETROS,-TRECHO T31KT=31 DIMENSION Xl35l,Yl35,3l,V(35,31,C(500J,R(70l OIMENSION Al35,2J,Bl35,2J,P(35,2J,CMl35,21,0Ll351 DIMENSION DPY(35,21,DBYl35,21,Nl31 CDMMDN x.v,v,C,DL,CM,A,B,P,OPY,DBY,G,QL,DX,DT,T,TF,Ll,Li COMMON L3,NO,YJ,TJ,CO,VO,YMAX,TP,KlT,NJ,NMAX,BO,Ql,Q2,R COMMON NS,KITJ,YO IFIKIT-113,3,4
3 NS=NMAX NI=2*NS NE=5*NI-6 IFIKITJ-118,8,9
8 00 11 I=l,NS AII,ll=BII,ll*YI 1,ll
11 Ptl,ll=Bll,11+2.*YII,ll 9 Q3=Q2-Ql
Y(NS,2l=YJ 4 Yll,2l=Yll,ll
C RESIOUOS DE GO E FN,COEFICIENTES CIII NAS FRONTEIRAS GO=Yll,21-Yll,ll AINS,2l=BINS,2l*YINS,2l FN=VINS,2)-Q3/AINS,21 CI ll=l. Cl2l=O. CINE-ll=O. CINEl=l.
C CCRRECAO DAS VARIAVEIS QUE DEPENDEM DE Y E V DO 2 1=1,NS
// XEQ LTESE
A( I,21=81 I,21*YI I,21 2 Pll,2l=B11,2l+2.*YII,21
RETURN END
SUBROUTJNE DIAG C DIAGRAMA TIRANTE(Yl X OISTANCIA(XA EM DIFERENTES TEMPOS
DIMENSION XA(500,1),Y(500,3),TlR(ZO),X(30J COMMON XA,Y,DX,DT,T,TF,XLD,KT YPO=Y ( 1, 1 l /0 .• 305 XPO=XA ( 1, l)
IF(KT-115,5,10 5 CALL SCALFI0.051,0.101,0.,0.J
CALL FGRIDI0,0.,0.,10.,16) CALL FGR!Dll,0.,0.,5.,9)
10 CALL FPLOTl-2,XPO,YPO) N=IFIX!XLD/DX)+l DO 15 1=2,N YP=Y{ I, ll/0.305 XP=XA(I,1)
15 CALL FPLOTIO,XP,YPl CALL FPLOT ( 1,20 .• ,O. l KT=KT+l IFIKT-5)20,20,25
C LEGENDAS DO DIAGRAMA 25Xll)=O.
CALL FCHAR(30.,-7.,0.10,0.15,0.) I-IRITE(7,70l
188
70 FORMAT('F!G. 5.1.1 - PERFIS LONGITUDINAIS OE CHEIA EM• *,' TRECHO UNICO'l
DO 30 !=2,9 30 X(ll=X(I-1)+20.
CALL FCHAR(-4.,-2.,0.102,0.122,0.J ltRITE17,35) (X{ll,l=l,91
35 FORMAT(F4.0,6Xl TJR( ll=O. D0401=2,10 CALL FCHARI-Z.,-1.,0.101,0.122,1.57)
40 TIR( I l=TIR( 1-11+5 •. WRITE(7,45l.!TIR(ll,l=l,10l
45 FORMAT{F3.0,2Xl CALL FCHAR(l20.,2.,0.10,0.12,0.) WRITE!7,50)
50 FDRMAT('DISTANCIA EM MILHAS') CALL FCHAR(2.,44.,0.10,0.12,0.) 14RJTE(7,55)
55 FORMAT('TIRANTE EM PES'l CALL FCHAR(l20.,22.,0.10,0.12,0.) WRITE(7,60)
60 FORMATl'MALHA DX=S.OMI DT=0.5H') CALL FCHAR(l20.,26.,0.10,0.12,0.) WR lT E 1 7, 65 l
65 FDRMAT!'CURVAS T=Z,4,6,8 E lOH•l CALL FCHAR(l20.,6.,0.10,0.12 1 0.) WRITE!7,75} •
75 FORMATt'METODD JMPLJCITO') CALL FPLOT(l,0.,0.)
20 RETURN END
189
• •
190
C PROPAGACAO DE ONDA DE CHEIA EM CANAL DE SECAO TRAPEZOIDAL DIMENSION XAl500,ll,Yl500,3l,V(500,3J,A(5000J,R(l000) COMMON XA,Y,OX,OT,T,TF,XLD,KT READ(8,500l XLD,KT
500 FORMATIF10.3,15l REA018,llDL,G,CM,YO,BO,M,MUD,MLD,EPS
1 FORMAT(Fl0.7,4Fl0.2,315,Fl0.7) C CALCULO DAS CONDICOES INICIAIS
CA=1 l .• /CMl**2. RO=BO*Y0/(80+2.*YOJ VO=RO**l2./3l*(CA*DLl**0.5 CO= ( G*YO l *~'0. 5
150 READ(8,2) DX,DT,TF,YMAX,TP,T,TOLY,TOLV,IREG,NR 2 FORMAT(8F9.3,2!4l
JF(DXJ 15, 14, 15 15 NMAX=IFIX( (CO+VDl*3.6*TF/DX)+3
N=2*NMAX WRITE15,31)
31 FORMAT( '1',42X,' PROPAGACAO OE ONDA DE CHEIA EM CANAL ',//) WRITE15, 19)
19 FORMAT(//,' CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DO CANAL',/) WRITE15,3l DL,G,CM,YD,80,VO,CO,N,MUD,MLD,EPS
3 FORMAT(/,IF10.7,6Fl0.2,315,Fl0.7l,/l WRITE15,2ll
21 FORMATI//,' VALORES DOS INTERVALOS DE TEMPO,DISTANCIA 1
l,' E PRECISAO',l WRITEl5,9)0X,DT,TF,YMAX,TP,T,TOLY,TOLV,IREG,NR
9 FORMATl/,8F8.3,2I5,/J C CALCULO DOS VALORES DA PRIMEIRA LINHA
OX=lOOO.*DX DT=3600.*DT TF=3600.*TF XAll,ll=O. Yll,l)=YO V( 1,ll=VO 00·4 I=2,NMAX XAII,ll=XA(I-l,ll+DX/1610. Yll,ll=YO VII,ll=VO Yll,3l=Y(I,ll
4 V( 1,3l=VII,ll KK=l KMAX=O
100 T=T+DT TT=T/3600. IF(T-TF) 13, 13,150
13 K=l NN=IFIX((CO+V0l*T/DXJ+3 NI=2*NN NE=5 '~NI-6
ME=NE+3 C CALCULO DAS CONSTANTES E RESIDUOS DA LINHA OE ORDEM J=2 C CONOICOES OE FRONTEIRA A MONTANTE E JUSANTE DO TRECHO
IF{T-3600.*TP)l0,11,11 10 FUNCT=Y(l,ll+(YMAX-YOl*DT/(3600.*TP)
GOTO 16 11 FUNCT=YMAX 16 00 12 I=l,NN
Y(I,2l=Y(l,ll 12 VII,2l=V(!,ll
191
C CALCULO DOS RESIDUOS A MONTANTE E JUSANTE 00 TRECHO 120 JJ=l
Y(l,2l=FUNCT GO=Y(l,21-FUNCT FN=Y(NN,2)-Y(NN,ll DO 17 I=l,ME
17 AIIl=O. A( l.l=l. A(2l=O. A(NE-ll=L A(NEJ=O. R ( 1 l = -GO+ A ( 1 1 s,y ( 1, 2 l +A ( 2 J *V ( 1, 2 ) R(Nll=-FN+A(NEl*V{NN,2J+A(NE-ll*YINN,2l J=4
C CALCULO DOS VALORES E CONSTANTES PARA OS PONTOS CENTRAIS 00 5 !=2,NN Cl=Y{I-1,l)+Y(l,ll+DT/(2,*0X)*(V{I-1,ll*Y{l-1,1)-Y{I,1)*V(I
1, lJ 1 R 1 = BO * Y ( I - 1, 1 l / 1 BO+ 2. *Y ( I -1 , 1 l l DLAl=V(I-1,ll**2/ICA*Rl**(4./3ll R2=BO*Y{l,1)/(B0+2.*Y{I,lll DLA2=V{I,ll**2/ICA*R2**(4./3ll C~=DT/(4,*DXl*(V(I-l,ll**2-V{I,ll**2l+2.*G*DT*DL-G*DT/DX*(Y
l ,( I , 1 l -Y ( I -1, 1 1 l-G*D T / 2, * { DL A 2 +DL A l l + V { I -1 ,1 l + V ( I , 1 J C ATRIBUICAO OE VALORES INICIAIS PARA CADA PONTO CENTRAL
F I = Y ( I -1 , 2 l + Y { I , 2 l+ DT / ( 2 • *DX l * ( Y ( I , 2 l * ( V ( I , 1 l + V { I , 2 l ) -Y ( I -1 1 , 2 l ~'( V ( l -1 , 2 l + V ( I -1 , 1 ) ) +Y { I ,· 1 l *V ( I , 2 l -Y ( I -1 , l l * V { I -1 , 2 ) ) .~c l
Pl=80+2,*Y(l-1,2l Al=BO*Y{ I-1,2) Rl=Al/Pl DLAl=V(I-1,2l**2./{CA*Rl**(4./3.ll DERV1=4./3*DLA1*(2./Pl-80/Al) P2=BD+z.t.,y( I,2l A2=BO*Y(I,2! R2=A2/P2 DLA2=V( I,2l**Z,/(CA*R2**(4./3.ll OERV2=4./3*DLA2*(2,/P2-B0/A2l GI=V{I-1,2l+V(I,2J+DT/(4*DX)*(V(l,2l**2-V(l-1,2l**2+2.*V(I,
1 1 ) *V ( I , 2 ) - 2. *V ( I -1, 1 l *V ( I -1, 2 l 1 +G *DT / O X* ( Y ( I , 2 1 -Y ( I -1 , 2 l J + G 2*DT/2,*{DLAl+OLA2l-C2
L=I !F( I-2) 130,130,140
140 L=JJ+l
192
C PARAMETROS DE CADA EQUACAO PARA O SISTEMA LINEAR DE ITERACAO 130 A(J)=l.-DT/(2.*DXl*(V(I-l,Zl+VII-l,l)l
A ( J + l ) =-OT / ( 2. *D X l * 1 Y ( I - l , 2 l + Y ( I - 1 , l l J A ( J + 2 l = 1. + DT / ( 2. ~' DX l 'H V ( I , 2 ) +V ( I , 1 l l A(J+3)=DT/(2.*DXl*(Y(l,2)+Y(I,lll AIJ+4l=G*DT/DX*(-l.+DERVl*DX/2.) A(J+5)=1.-DT/(2.*DXl*(V(I-l,2l+V(I-1,lll+G*DT*DLAl/V(I-l,2l AIJ+6l=G*DT/DX*(l.+DERV2*DX/2.J. A( J+7 l=l .+DT/( 2.*DXl*( V( I, Z)+V( l, 1 l l+G*DT*DLAZ/V( I ,2l A(J+Sl=O. A(J-ll=O. R(LJ=-FI+A(Jl*Y(l-l,2)+A(J+ll*V(l-1,2l+A(J+2)*Y(!,2)+AIJ+3}
l *V ( I -, 2 l R ( L + l l = -G I + A ( J +4 l *Y ( I -1 , 2 l +A ( J + 5 l *VI I -1 , 2 l + A ( J + 6 l * Y ( I , 2 J + A (
1J+7l*V(I,2) J=J+lO
5 JJ=JJ+2 C RESOLUCAO DO SISTEMA DE EQUACOES UTIZANDO A SUBROTINA GELB
CALL GELB(R,A,NI,M,MUD,MLD,EPS,IERJ C ARMAZENA SOLUCOES R(Il EM Y(I,ll E V(I,ll E TESTA PRECISAO
Y( 1,3 l=RI l l V(l,3l=R(2l L=O DO 30 1=3,NI,2 L=L+l LL=l-L Y(LL,3l=R( I 1
30 V(LL,3l=R(I+l) DO 70 I=l,NN DIF1=ABS(Y(I,3J-YII,2)l DIF2=ABS(V( 1,3!-V( I,2l) IF(DIF1-TOLY)50,50,60
50 IFIDIF2-TOLV)70,70,60 70 CONTINUE
DO 33 I=l,NN Y{I,ll=YII,3)
33 V(J.,ll=V(I,3) IF(KMAX-Kl47,49,49
4 7 KMAX-=K 49 IF(KK-IREG)43,45,45 45 KK=O
WRITE(5,25) D!Fl,DIF2,TT,ME,Nl,K,IER 25 FORMAT(//,' OIFERENCAS,TEMPO,ARMAZENAMENTO,INCOGNITAS,'
1,'ITERACOES,COOIGD DE ERR0 1 ,//2Fl0.3,Fl0.2,4I5,/l WRITE(5,23J
23 FORMATI/,' POSICAO OE CADA ESTACAO COM OS RESPECTIVOS' 1,' VALORES 00 TIRANTE E VELOCIDADE',/)
WR IT E ( 5, 90 ) ( X A ( I, 1 ) , Y ( í , 3 J , V ( !., 3 ) , I = 1 , NN ) 90 FORMAT(5(F9.2,2F6.2,3Xl)
CALL DIAG 43 KK=KK+l
GOTO 100 60 K=K+l
IF(K-30)8,8,150 8 DO 29 1 = 1, NN
Y( I,2)=Y( 1,3) 29 V(I,2)=V(I,3J
GOTO 120 14 WRITE(5,41J TT,K 41 FORMAT(//,' INSTANTE FINAL DE CALCULO E NUMERO DE'
1,' ITERACOES CORRESPDNDENTE',//,Fl0.2,15,/) CALL EXIT END
193
C PROPAGACAO DE CHEIA EM CDNFLUENCIA DE RIOS C PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM CONFLUENCIA C METODO IMPLICITO COM SECCIONAMENTO NA JUNCAO
OIMENSION X(l50l,Y(l50J,TIR(20l,XL<20l,V(l50) C DEFINICAO DE ESCALAS E TRACADD DOS EIXOS
KT=O KTE=O !F(KT-2)1.,2,2
1 CALL SCALF(0.052,0.102,0.,0.l CALL FGRID(0,-80.,0.,10.,16) CALL FGR!D(l,0.,0.,5.,9)
C INCREMENTA CONTADOR DE TRECHOS E LER DADOS 2 KT=KT+l
READ(B,3) NS,NR,KT,TT,DTl,DXl,TFl 3 FORMATC3I5,4Fl0.3l
READ(8,4) !Ylll,V(Il,I=l,NSJ 4 FORMAT(8Fl0.3)
IF(KT-215,6,7 5 NI=Z
X(NI-ll=-50. GOTO 8
C TRACADO DO PERFIL DE CADA.TRECHO NO INSTANTE TT 6 NI=Z
X(Nl-ll=O. NS=NS/2 GOTO 8
7 NI=16 X(NI-ll=-75.
8 DO 9 I=NJ,NS 9 XI l )=X( I-1 )+DXl/1.61
XPO=X(NI-ll YPO=Y(Nl-ll/0.305 CALL FPLOT!-2,XPO,YPOJ 00 10 I=NI,NS XP=X!Il YP=Y( I J/0.305
10 CALL FPLOTIO,XP,YP) CALL FPLOT(l,0.,0.J IF(KT-3)2, 11, 11
C TESTE PARA SAIDA OU PASSAGEM AO INSTANTE SEGUINTE 11 KTE=KTE+l
IF(KTE-NR)l2,13,13 12 KT=O
GOTO 2 C NUMERACAD DOS EIXOS E LEGENDAS DO DIAGRAMA
13 Xl(ll=-80. DO 14 !=2,9
14 Xl(ll=Xl( I-ll+20. CALL FCHAR(-84.,-2.,0.104,0.124,0.J WRITE(7,15l (XL!ll,l=l,91
194
·.
// XEQ LTESE
15 FORMAT!F4.0,6Xl TIR( 1 )=O .• 00 16 I=2,10
16 TIR! I )=TIR! !-1)+5. CALL FCHAR(-2.,4.,0.102,0.124,1.57) WRITE(7,17l (T!R(JJ,I=Z,10)
17 FORMAT(F3.0,2Xl CALL FCHAR(-55.,-7.,0.10,0.15,0.) WRITE(7,18l
18 FORMAT( 'FIG. 5.2.2 - PERFIS LONGITUDINAIS OE CHEIA' 1,' EMCONFLUENCIA'l · CALL FCHAR!40.,2.,0.10,0.12,0.)
WRITE!7,19l 19 FORMAT('DISTANCIA EM MILHAS')
CALL FCHAR!2.,44.,0.10,0.12,0.) vJRITE{7,20l
20 FORMAT!'TIRANTE EM PES'l CALL FCHAR!40.,6.,0.10,0.15,0.J l>RITE!7,21l
21 FORMAT('+ METODO-IMPLICITO'l CALL FCHAR{-75.,6.,0.10,0.15,0.) WRITE ( 7, 23 l
23 FORMAT('CURVAS T=Z.5H,4.0H E 10.0H'l CALL FCHAR{-75.,2.10.10,0.15,0.) WRITE(7,24l
24 FORMAT('MALHA OX=5.0MI E OT=0.5H') CALL FCHAR(-75.,25.,0.10,0.15,0.) WRITE!7,25)
25 FORMAT! 1 MONTANTE',50X,'JUSANTE'l CALL EXIT ENO
195
C PROPAGACAO DE CliEIA EM CONFLUENCIA DE RIOS C PERFIS LONGITUDINAIS JUNTO A CONFLUENCIA C METODO IMPLICITO E METODO DE STOKER
OIMENSION X(l50),Y(l50),TIRC80l,XL(80l,V(l50) C DEFINICAO OE ESCALAS E TRAGADO DOS EIXOS
KT=O KTE=O IF(KT-2)1,2,2
1 CALL SCALF(0.051,0.101,0.,0.) CALL FGRIO(O,-so.,0.,10.,16) CALL FGRID(l,0.,0.,5.,9)
C INCREMENTA CONTADOR DE TRECHOS E LER DADOS 2 KT=KT+l
READ(S,3) NS,NR,KT,TT,DTl,DXl,TFl 3 FORMAT(3I5,4Fl0.3)
READ(8,4l IY(Il,V(Il,I=l,NSl 4 FORMAT(8Fl0.3l
IF(KT-2)5,6,7 5 NI=2
X(NI-l)=-50. GOTO 8
C TRAGADO DO PERFIL DE CADA TRECHO NO INSTANTE TT 6 NI=2
X(NI-1)=0. NS=NS/2 GO TO 8
7 NI=NS/2+1 X(Nl-ll=-75.
8 DO 9 l=NI,NS 9 X( 1 )=X( l-ll+DXl/1.61
XPO=X(NI-1) YPO=Y(Nl-11/0.305 CALL FPLOTC-2,XPO,YPO) DO 10 l=Nl,NS XP=X(I) YP=Y( 1 l/0.305 IFIKTE-3)10,22,22
22 CALL POINT(Ol 10 CALL FPLOT(O,XP,YPl
CALL FPLOT(l,0.,0.) IF(KT-312, 11,11
C TESTE PARA SAIDA OU PASSAGEM AO INSTANTE SEGUINTE 11 KTE=KTE+l
IF(KTE-NR)l2,13,13 12 KT=O
GO TO 2 C NUMERACAO DOS EIXOS E LEGENDAS DO DIAGRAMA
13 XL(ll=-80. DO 14 1=2,9
14 XL( I l=XL( 1-1)+20.
196
CALL FCHAR(-84.,-2.,0.102,0.122,0.) WRITE(7,15l lXL( Il, I=l,9)
15 FORMAT(F4.0,6Xl TIR(ll=O. DO 16 1=2,10
16 TIR( I l=TIR( I-1 )+5. CALL FCHAR(-2.,4.,0.101,0.121,1.57) WRITE(7,17l (TIR(l),1=2,10)
17 FORMAT(F3.0,2X) CALL FCHAR(-55.,-7.,0.10,0.15,0.) WRITE(7,18J
197
18 FORMAT('FIG. 5.2.3 - PERFIS LONGITUDINAIS DE CHEIA EM' 1,' CONFLUENCIA'l
CALL FCHAR(40.,2.,o.10,o.12,o.1 WRITEl7,19l
19 FORMAT('DISTANCIA EM MILHAS') CALL FCHAR(2.,44.,0.10,0.12,0.) WRITE(7,201
20 FORMAT('TIRANTE EM PES') CALL FCHARl40.,10.,0.10,0.15,0.l WR IT E l 7, 21 )
21 FORMAT('+ METODO IMPLICITO'l CALL FCHAR(40.,6.,0.1D,0.15,0.) WRITE(7,26)
26 FORMAT('- METODO DE STOKER'l CALL FCHARl-75.,2.,o.10,o.1s,o.) HRITE(7,23l
23 FORMAT( 'CURVAS T=2.5H,4.0H E 10.0H') CALL FCHAR(-75.,25.,0.10,0.15,0.l WRITE(7,25l
25 FORMAT( 'MONTANTE',50X,'JUSANTE'l CALL FCHAR(-75.,6.,0.10,0.12,0.) WRITE(7,30)
30 FORMAT{ 'METODO IMPLICITO') CALL EXIT END
198
C PROPAGACAO DE CHEIA SINUSOIDAL EM CANAL DE GRANDE LARGURA OIMENSION XA(500,ll,Y(500,31,V(500,3l,A(5000l,R(l000l READ(B,l)DL,G,CM,YO,BO,M,MUD,MLD,EPS,XL
l FORMAT(Fl0.6,4Fl0.2,3l5,Fl0.7,F5.0l C CALCULO DAS CONOICOES INICIAIS
CA=(l .• /CMl**2. RO=YO CO=(G*YOl**0.5 VO=RO**l2./3l*(CA*OLl**0.5
150 READ(B,2) DX,DT,TF,QMAX,TP,T,TREG,TOLY,TOLV 2 FORMAT(7Fl0.2,2F5.31
IF(DX)15,14,15 15 NMAX=IFIXl ICO+V0)*3.6*TF/(2.*DX)l+2
N=2*NMAX WR !TE ( 5, 31 )
31 FORMAT('l',42X, 1 PROPAGACAO DE ONDA DE CHEIA EM CANAL ',/// 1/l
WR f TE ( 5 , 1 9 l 19 FORMAT(//,' CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DO CANAL',/)
WRITE(5,3l DL,G,CM,YO,BO,VO,CO,N,MUD,MLD,EPS 3 FORMAT(//,Fl0.6,6Fl0.2,315,FlC.7,//)
WR 1T E ( 5, 21 l 21 FORMAT(//,' VALORES DOS INTERVALOS DE TEMPO,DISTANCIA E'
1,' PRECISAO',/l WRITE(5,9)DX,DT,TF,QMAX,TP,T,TREG,TOLY,TOLV
9 FORMAT(/,9FB.2,/l DX=lOOO.*DX DT=3600. ~'DT TF=3600.*TF
C CALCULO DOS VALORES DA LINHA DE ORDEM J=l XA( 1, 1 )=O. Yll,ll=YO V( 1,1 )=VO DO 4 1=2,NMAX Yll,3)=YO Vll,3)=VO XA(I,l)=XA(I-l,l)+OX/1000. Y ( I, 1) =YO
4 Vll,ll=VO KK=l KMAX=O
100 T=T+DT TT=T/3600. IF ( T-TF l 13, 13,150
13 K=l NN=IFIX( (CO+VOl*T/(2.*DXl)+2 NI=Z*NN NE=S*NI-6 ME=NE+3
C CALCULO DAS CONSTANTES E RESIDUOS DA LINHA DE ORDEM J=Z
C CONDICOES DE FRONTEIRA A MONTANTE E JUSANTE DO TRECHO IF(T-3600.*TP)lO,l0,11
11 QT=VO*YO GOTO 17
10 QT={125.-i5.*COS(3.1416*T/(3600.*48.lll*(0.305**2.) 17 DO 12 I=l,NN
Y(l,2l=Y(l,1l 12 V(I.,2)=V(I,ll
C CALCULO DOS RESIDUOS A MONTANTE E JUSANTE DO TRECHO 120 JJ=l
GO=V(l,2l*Y(l,2)-QT FN=V(NN,2)-V(NN,ll DO 37 I=l,ME
37 A(l)=O. A(ll=V(l,21 A(2l=Y(l,2l A(31=0. A(NE-1 )=O .• A{NEl=l. R{ 1 l=-GO+A( 1 l*Y( 1,2 )+A( 2l*V( 1,2 l RINil=-FN+A(NEl*V(NN,2l+A{NE-ll*Y(NN,2l J=4
C CALCULO DOS VALORES E CONSTANTES PARA OS PONTOS CENTRAIS DO 5 I=Z,NN
199
C l = Y ( I -1 , 1 l +Y ( I , l l + D T / { 2. *DX l * ( V ( I -1 , l l * Y ( I -1 , ll -Y I I , 1 l *V ( I 1, 1))
Rl=Y ( 1-1, ll DLAl=V(I-1,ll**2/(CA*Rl**(4./3ll R2=Y( I, ll DLA2=V(I,ll**2/(CA*R2**(4./3ll C2=DT/{4.*DXl*{V(l-l,ll**2-V(l,ll**Zl+2.*G*DT*DL-G*DT/DX*IY
l{I,1)-Y(I-1,lll-G*OT/2.*(DLA2+DLA1J+V(I-l,ll+V{I,ll C ATRIBUICAO DE VALORES INICIAIS PARA CADA PONTO CENTRAL
F !.= Y ( I - 1, 2 l:+ Y ( I , 2 l +DT / ( 2. * D X) * ( Y ( I , 2 l * ( V ( I , l ) + V ( I , 2 l l -Y ( I--: l 1 , 2 J * ( V { I -1 , 2 l + V ( I -1, 1 J l + Y ( I , l l *V ( I, 2) -Y ( I -1 , l l *V ( I - l, 2 )') -C 1
Rl=Y( I-1,2 l OLAl=V(I-l,21**2./(CA*Rl**(4./3.)J OERVl=-4./3.*DLAl/Y(I-l,2) R2=Y(I,2l DLA2=V(l,2l**2./(CA*R2**(4./3.l l DERV2=-4./3.*DLA2/Y(l,2) Gl=V(l-1,2l+V(I,2l+DT/(4*DXl*(V(l,2l**2-VII-1,2l**2+2.*VII,
11 l *V ( I , 2 l - 2. *V ( I -1, l l *V { I -1, 2 l l +G *D T /D X* ( Y ( I , 2 l -Y ( I - l , 2 l l + G 2*DT/2.*(0LAl+DLA2l-C2
L= 1 IF!I-2)130,130,140
140 L=JJ+l C PARAMETROS DE CADA EQUACAO PARA O SISTEMA LINEAR DE ITERACAO
130 A(JJ=l.-DT/(2.*DXl*(V(I-l,Zl+V(I-1,1)1 A(J+ll=-DT/(2.*DXl*(Y(I-1,Zl+Y(l-1,lll
200
A(J•·Z l=l.+DT / ( z.,,Dx l*( V( I, Zl+V( I, l l l A!J+3l=DT/(2.*DXl*(Y(I,2l+YI I,11 l A1J+4l=G•DT/DX*(-l.+DERVl*DX/2.l A(J+5l=l.-DT/(2.*DXl*(V(I-l,2l+V(I-1,lll+G*DT*DLA1/Vl!-1,2l A(J+6l=G*DT/DX*( l.+DERV2*DX/2.l A ( J + 7 l = 1. + D T / ( 2. *DX l * ( V ( I , 2 l +V ( I , l l l + G>:< D T *D LA 2 / V ( I , 2 l A.( J+S) =O. A(J+9l=O. R ( L ) =-F I +A ( J l *Y 1 1 -1, 2) + A ( J + l l * V ( I -1 , 2 l + A ( J+ 2 l * Y ( l , 2 l + A ( J + 3 l
l*V(I,2) R(L+ll=-Gl+A(J+4l*Y(I-1,2l+A(J+5l*V(I-l,2l+A(J+6l*Y(I,2l+A(
l J + 7 l 1>V ( I , 2 l J=J+lO
5 JJ=JJ+2 C RESOLUCAO Dp SISTEMA LINEAR DE ITERACAO,-SUBROTINA GELB
CALL GELB{R,A,NI,M,MUD,MLD,EPS,IERl C ARMAZENA SOLUCOES R(ll EM Y(I,ll E V(I,ll E TESTA PRECJSAO
Y<l,3l=R(ll V(l,3)=R(2l L=O DO 30 1=3,NI,2 L=l+l LL=J-L Y(LL,3l=R(Il_
30 V(LL,3l=R{ I+l l DO 70 1=1,NN OI F2= ABS ( V ( I, 3 l -V ( J, 2 l l DIFl=ABS(Y( 1,3)-Y(I,2) l IF(DIFl-TOLYIS0,50,60
50 IF(DIF2-TOLVl70,70,60 70 CONT.I NUE
C REGISTRO DOS RESULTADOS POR IMPRESSORA OU PLOTTER IF(KMAX-Kl47,49,49
47 KMAX=K 49 IF(KK*DT-3600.*TREG)43,45,43 45 KK=O
WRITE(5,25) ME,NI,IER,K,KMAX,TT,D!Fl,DIF2 25 FORMAT(//' AR~AZENAMENTO,INCOGNJTAS,CODIGO DE ERRO,'
1,' ITERACOES,TEMPO,DIFERENCAS',//,515,Fl0.2,2Fl0.4,/l WRITE(5,23l
23 FORMAT(/,' POSICAO DE CADA ESTACAO COM OS RESPECTIVOS' 1,' VALORES DO TIRANTE E VELOCIDADE',/)
N=lOOO.*XL/OX WR IT E ( 5, 9 O l ( X A ( I , 1 l , Y I I , 3 l , V ( I , 3 l , I = l , N)
90 FORMAT(5(F9.2,2F6.2,3Xll 43 KK=KK+l
DO 33 1=1,NN Y(l,ll=Y(l,3)
33 Vll,ll=Vll,3) GOTO 100
60 K=K+l .IF!K-2018,8,150
8 DO 29 I=l,NN Y( I,2)=Y( I,3)
29 V(I,2l=V(I,3l GOTO 120
14 WRITE15,4ll TT,K 41 FORMAT!//,' INSTANTE FINAL DE CALCULO E NUMERO DE'
1,' ITERACOES CORRESPONDENTE•,//,Fl0.2,15,/l CALL EX IT END
// JOB T OOFF lOFF PCAS05B5
201
(8004,68170
