ESCOLA SECUNDÁRIA DA CIDADELA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

10º ANO

Pavimentações com Polígonos

Chama-se Pavimentação do Plano a um conjunto numerável de

mosaicos ou ladrilhos que cobrem o plano sem falhas nem

sobreposições.

Tarefa 1:

Pretende-se pavimentar o chão de uma sala. Para tal teve-se que consultar uma empresa de ladrilhos em tijoleira, para se proceder à escolha dos vários ladrilhos em oferta.

O fabricante informou que só aceitava encomendas de tijoleiras com a forma de polígonos regulares e sempre com o mesmo comprimento de lado. O cliente escolheria a combinação das tijoleiras de acordo com o efeito pretendido.

1. Estudaram-se as várias possibilidades de pavimentação utilizando polígonos todos iguais .

Completa a tabela seguinte considerando as seguintes questões:

Quais os polígonos regulares que pavimentam o plano? (utiliza apenas um polígono de cada vez)

Em cada pavimentação quantos polígonos são necessários para formar um vértice?

Qual a amplitude do ângulo interno de cada um dos polígonos?

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Polígonos Pavimenta? Nº de polígonos necessários para formar

um vértice

Amplitude do ângulo interno

Sim Não

Conclusão:

Dá-se o nome de Pavimentação regular ao preenchimento de um plano com polígonos

regulares congruentes ( com o mesmo tamanho e forma ),convergentes no mesmo vértice.

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Não são consideradas pavimentações regulares todas aquelas em que a cada vértice concorre pelo menos um dos lados do polígono.

2. E se considerarmos dois tipos de polígonos em torno do mesmo vértice?

Chamamos pavimentações semi-regulares ou Arquimedianas às pavimentações formadas por dois ou mais polígonos regulares dispostos sempre do mesmo modo em torno de cada vértice.

Veja-se o que se pode fazer com triângulos e quadriláteros:

Ou triângulos e hexágonos quadrados e hexágonos:

3. E se considerarmos mais de dois tipos de polígonos em cada vértice?

Triângulos, quadrados e hexágonos

Dos exemplos dados e tentando combinar os vários tipos de polígonos regulares, obtém-se:

Desta forma podemos fazer as seguintes observações sobre pavimentações:

Observações:

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1. O vértice da pavimentação é um ponto onde se intersectam três ou mais ladrilhos;2. Para pavimentar é necessário utilizar pelo menos três polígonos em torno de cada

vértice;3. A soma dos ângulos internos que convergem no mesmo vértice tem de ser 360º, para

que não hajam falhas nem sobreposições.

Para saberes um pouco mais sobre Pavimentações não deixes de procurar informações, nos links abaixo, sobre:

Roger Penrose é um importante físico matemático que nasce na cidade de Colchester,

Inglaterra, em 1931. Embora a maioria do seu trabalho esteja relacionada com a teoria da

relatividade e a física quântica, a paixão de Penrose é a matemática recreativa e, em particular,

as pavimentações. Recentemente foi-lhe atribuído o título de Sir pelos seus extraordinários

contributos à matemática.

Penrose realizou o seu doutoramento, em Cambridge, em Geometria Algébrica. Nessa

altura, começou a investigar a existência, ou não, de um conjunto de ladrilhos que

pavimentassem o plano, mas sem gerar um padrão repetido. Por se tratar de um

problema não passível de ser resolúvel computacionalmente, Penrose "armado" apenas

com um lápis e um bloco de notas, começou a desenvolver conjuntos de ladrilhos que

gerassem este tipo de pavimentações.

 

Eventualmente Penrose encontrou a solução para o seu problema, mas eram necessários

muitos milhares de ladrilhos diferentes. Após vários anos de investigação, conseguiu

reduzir esse número para seis e, mais tarde, para dois. Foram desta forma criados os três

conjuntos de protoladrilhos de Penrose, com seis, dois e dois ladrilhos respectivamente.

Curiosidades

 

1. Como nem sempre o conhecimento é usado para o bem,

o segundo conjunto de protoladrilhos de Penrose,

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denominados de setas e papagaios (kites e darts), foi

utilizado para  pavimentar rolos de papel higiénico de uma conhecida marca. Uma vez

que estes ladrilhos permitem construir pavimentações sem haver repetição de um

padrão, o fabricante pretendia produzir um rolo de papel higiénico em que nunca

houvesse sobreposição de perfurações. O objectivo foi alcançado com 15% de papel a

menos no mesmo volume de rolo. O caso está sob julgamento até hoje nos tribunais

ingleses.

 

2. Por ser particularmente intrigante brincar com os ladrilhos criados por Penrose, uma vez

que é necessário ter em conta mais do que o ladrilho que se deve colocar ao lado para

decidir o modo como as peças encaixam, Penrose desenhou, então, um puzzle, usando

este conceito de pavimentação, denominado Perplexing Poutry. O puzzle é constituído

por peças em forma de pássaro. Existem apenas dois tipos de peças, pássaros pequenos

e pássaros grandes. O objectivo é cobrir completamente a superfície plana, onde se

brinca. Embora aparente ser uma tarefa fácil, na realidade não é! E para além disso

existe apenas uma solução Para mais informações basta ir aqui !

http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/penrose.htm

http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-02b/projects/schweber/penrose.html

http://www2.spsu.edu/math/tile/aperiodic/

3. A mais notável propriedade das pavimentações de Penrose é que cada porção finita de

uma pavimentação está contida infinitas vezes em cada uma das outras pavimentações

gerada a partir do mesmo conjunto de protoladrilhos. Isto é obviamente verdadeiro para

todas as pavimentações periódicas, mas não é tão óbvio que possa ser verdade para

pavimentações não periódicas. Esta propriedade tem várias consequências:

Nenhum conjunto finito de ladrilhos determina o resto da pavimentação, ou seja, não

existe um padrão.

Não é possível, a partir de um conjunto finito de ladrilhos, dizer a que pavimentação

pertencem.

Só é possível distinguir as diferentes pavimentações no seu limite infinito.

E sobre:

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Maurits Cornelis Escher (1898-1972) é um dos mais famosos artistas gráficos do Mundo. A

sua arte é apreciada por milhões de pessoas em toda a parte.

Nasceu no dia 17 de Junho de 1898 em Leeuwarden na província holandesa de Friesland. Não

sendo um aluno brilhante, mostrou um talento artístico surpreendente. A sua visão maravilhosa

do espaço e da matemática permitiu que criasse uma colecção fantástica de obras de arte.

É principalmente reconhecido pelo seu incrível talento artístico em misturar elementos de

surrealismo com elementos matemáticos, além da sua maravilhosa técnica em xilografia e

litografia. Gostava particularmente de trabalhar desenhos com ilusões de espaço e formas,

prédios impossíveis e mosaicos geométricos infinitos (pavimentações).

Escher faleceu a 27 de Março de 1972 e o seu trabalho continua a fascinar pela sua

singularidade e originalidade. Hoje em dia é uma referência para os matemáticos e para os

cientistas, ainda que não tenha tido uma formação "formal" de matemática ou de física.

 Conhece a sua obra aqui:

http://www.worldofescher.com/

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Escher.html

http://www.mcescher.com/

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm

Tarefa 2:

Elabora um pequeno artigo paro o Jornal da Turma, sobre o que aprendeste acerca das pavimentações ou sobre Penrose ou Escher.

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