Pcasd-uploads-bay-0 - 2013 - Material de Gometria-Lei Dos Senos e Cossenos

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CASD Vestibulares Geometria 1

Matemática Pedro Paulo

LLEEII DDOOSS SSEENNOOSS EE LLEEII DDOOSS CCOOSSSSEENNOOSS

1 - INTRODUÇÃO

Neste capítulo, estudaremos dois dos mais importantes e úteis teoremas da Geometria Plana: a lei dos xenos e a lei dos cossenos. A grande utilidade dessas duas fórmulas é que elas são capazes de relacionar lados e ângulos de qualquer triângulo em uma só conta.

Pelos nomes (lei dos senos e lei dos cossenos), pode-se perceber que a trigonometria será bem utilizada. Então, é recomendável que nós pelo menos saibamos como calcular os valores de senos e cossenos dos ângulos mais notáveis.

2 – LEI DOS SENOS

Aqui está o enunciado da lei dos senos:

“Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos na mesma razão do diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo”.

Na prática, em qualquer triângulo, temos:

Figura 1 – lei dos senos no triângulo

Na relação acima, é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

A demonstração da lei dos senos não é tão complicada assim. Observe a figura abaixo:

Figura 2 – Demonstração da lei dos senos

Na figura 2, o inscrito em um círculo de raio e temos como diâmetro desse círculo. Como o é retângulo (pois está escrito em uma semicircunferência) com o ângulo reto em C, temos:

Observe que (ambos são ângulos

inscritos na circunferência que enxergam o arco ).

Desse modo, como então:

Assim:

Procedendo de modo análogo para os outros

ângulos e lados, teremos:

E fica demonstrada a lei dos senos!

3 – LEI DOS COSSENOS A lei dos cossenos também serve para qualquer triângulo! Ela nos ajuda a encontrar um lado do triângulo em função dos outros dois lados e do ângulo entre eles. E a relação é a seguinte:

Figura 3 – lei dos cossenos no triângulo

E se você estiver se perguntando: ‘’Nossa, que fórmula grande, precisa decorar?’’. A resposta é simples: sim, precisa! Mas, veja só: a fórmula começa que nem o teorema de Pitágoras, e depois acrescentamos um termo. O que vale a pena ressaltar é que o ângulo enxerga como lado oposto e e como lados adjacentes (“colados”), então na lei dos cossenos, o (oposto) fica do lado esquerdo, enquanto e (“colados”) ficam do mesmo lado que o ângulo .

2 Geometria CASD Vestibulares

4 – CLASSIFICAÇÃO DE TRIÂNGULOS Como sabemos, um trângulo pode ser classificado de três maneiras em relação aos seus ângulos internos: ele pode ser acutângulo (se todos os ângulos são agudos), retângulo (se possui um ângulo reto) ou obtusângulo! Com o auxílio da lei dos cossenos, a partir apenas dos valores dos lados do triângulo, podemos classificá-lo em relação aos seus ângulos. Nos três casos abaixo, é o maior ângulo do triângulo, e é o lado oposto a .

4.1 – Triângulo acutângulo Nesse caso, . Então, tem-se:

4.2 – Triângulo retângulo Nesse caso, . Então, tem-se:

4.3 – Triângulo obtusângulo Nesse caso, . Então, tem-se:

Observação: pode-se demonstrar que em um triângulo, valem as seguintes propriedades: - o maior lado está oposto ao maior ângulo; - o menor lado está oposto ao menor ângulo; - o lado do meio está oposto ao ângulo do meio;

Logo, na figura 1, se , então

. Se , então e se , então .

Observação: Para classificar um triângulo em relação

aos seus ângulos, sejam os seus lados, com sendo o maior lado. Então há três possibilidades:

- se , o triângulo é acutângulo;

- se , o triângulo é retângulo;

- se , o triângulo é obtusângulo;

Exercício Resolvido 1:

Calcule no triângulo abaixo.

Figura 4: figura do exercício resolvido 1

Resolução:

Usando diretamente a lei dos cossenos:

( ) ( ) ( ) (

)

pois . Assim, cairemos na equação:

{ ( )

Resposta: O valor de é


Um triângulo possui seus lados medindo , e . Classifique o triângulo quanto aos seus ângulos.

Resolução:

O maior lado do triângulo é . Se e

, tem-se:

triângulo acutângulo Resposta: O triângulo é acutângulo


Um triângulo possui seus lados medindo , e . Classifique o triângulo quanto aos seus ângulos.

Resolução:

O maior lado do triângulo é . Se e

, tem-se:

triângulo obtusângulo Resposta: O triângulo é obtusângulo



(FUVEST - 10 – adaptada ) No triangulo da

figura, a mediana , relativa ao lado ,é

perpendicular ao lado . Sabe-se também que

e . Se é a medida do angulo ,

determine

Figura 5: figura do exercício resolvido 4

a) .

b) o comprimento .

c) a altura do triangulo relativa ao lado .

Resolução: Fazendo a figura a partir do enunciado, temos:

Figura 6: figura atualizada do exercício resolvido 4

a) Por relações trigonométricas no :

( )

b) Usando Pitágoras no :

√

Usando a lei dos cossenos no :

√ √

√ √

√

c) No :

Resposta: a) b) √ c)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I 1. Determine nos casos: a)

b)

c)

d)

2. Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo nos casos: a)

b)

3. Determine a medida de nos casos: a)

b)

c)


4. (UFJF - 12) Uma praça circular de raio foi construída a partir da planta a seguir:

Os segmentos , e simbolizam ciclovias

construídas no interior da praça, sendo que De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de é igual a:

a) √

b)

√

c)

√

d) √

e)

√

5. (UFSM - 05) Na instalação das lâmpadas de uma

praça de alimentação, a equipe necessitou calcular

corretamente a distância entre duas delas, colocadas

nos vértices e do triângulo, segundo a figura.

Assim, a distância " " é

a) √ b) √

c) √

d) √ e) √

6. (UFPB - 10) A prefeitura de certa cidade vai

construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma

ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, e ,

localizados nas margens opostas do rio. Para medir a

distância entre esses pontos, um topógrafo localizou

um terceiro ponto, , distante do ponto e na

mesma margem do rio onde se encontra o ponto .

Usando um teodolito (instrumento de precisão para

medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito

empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo

observou que os ângulos e mediam,

respectivamente, e , conforme ilustrado na

figura a seguir.

Com base nessas informações, é correto afirmar que a

distância, em metros, do ponto ao ponto é de:

a) √ b) √ c) √

d) √ e) √

7. (UFSM - 11) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distância do ponto ao ponto é de , o ângulo

mede e o ângulo mede . Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto ao ponto . Essa distância, em , é

a) √

b) √ c) √ √

d) (√ √ ) e) √


8. (UFTM - 12) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas , e , que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre e é de , e entre e é de .

Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em , entre e é igual a

a) √ b) √ c) √

d) √ e) √ 9. (FGV - 12) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal

aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum

destes dados: ; ; .

b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em

cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: , e . Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê?

10. (UNEMAT - 10) Na figura abaixo, o triângulo é um triângulo equilátero de de lado, e o triângulo retângulo tem lados e e

.

Qual a medida do segmento ?

a) √ b) √ c) √ √

d) √ √ e) √

Nível II 11. (UFRGS - 06) Sobre os lados de um triângulo

retângulo constroem-se quadrados, conforme mostra a

figura a seguir.

Sendo " " a medida da hipotenusa, " " e " " as

medidas dos catetos, e e os pontos representados

na figura, então a distância entre e é igual a

a) √( ) b) √( ) c) √( )

d) √( ) e) √( )

12. (FUVEST - 04) Em uma semi-circunferência de

centro e raio , inscreve-se um triângulo equilátero

. Seja o ponto onde a bissetriz do ângulo

intercepta a semicircunferência. O comprimento da

corda é:

a) √ √ b) √√ √ c) √√

d) √√ e) √ √

13. (UNICAMP - 13) Um satélite orbita a da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o

arco de circunferência . Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede

a) Qual o comprimento do arco indicado na figura? b) Suponha que o ponto da figura seja tal que ( ) . Determine a distância entre o ponto e o satélite.


14. (UNICAMP - 12) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

Visada Ângulo

a) Calcule a distância entre e . b) Calcule a distância entre e . 15. (UNESP - 11) Uma pessoa se encontra no ponto de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto . Com o objetivo de determinar a altura do mastro, ela anda, em linha reta, para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto . Sendo o pé do mastro, avalia que os ângulos e valem , e o vale , como mostra a figura, então vale:

a) b) √ c)

d) √ e) 16. (UNESP - 12) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que , a velocidade média, em , com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) b) c) d) e)

17. (UNESP - 04) Na figura, é um retângulo,

, a medida do ângulo é , a

medida do ângulo é e . Determine:

a) a área do triângulo , em função de .

b) o valor de , quando .

18. (UFPE - 10) Na ilustração a seguir, a casa situada

no ponto deve ser ligada com um cabo subterrâneo

de energia elétrica, saindo do ponto . Para calcular a

distância , são medidos a distância e os ângulos a

partir de dois pontos e , situados na margem

oposta do rio, sendo , e colineares. Sabe-se que

hectômetro equivale a cem metros. Se ,

, e ( √ ) , calcule

em hectômetros.


19. (UNICAMP – 10) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.

a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha

ângulo de inclinação , tal que √ . Suponha, também, que cada pedalada faca a bicicleta percorrer . Calcule a altura (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura está destacada na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que mede , calcule o comprimento da barra que liga o eixo da roda ao eixo da roda ao eixo dos pedais

20. (UFJF - 07) Os lados e de um triângulo

ABC formam um ângulo , tal que . Sabe-se

que a medida do lado é igual a √ e que a

medida do lado é o triplo da medida do lado .

Sendo o ângulo formado entre os lados e ,

podemos afirmar que:

a) e a medida do lado é um inteiro par. b) e a medida do lado é um inteiro ímpar. c) e a medida do lado é um inteiro

par. d) e a medida do lado é um inteiro

ímpar. e) e a medida do lado é um inteiro

par.

21. (UFPA - 08) Considere as seguintes informações:

- De dois pontos e , localizados na mesma margem

de um rio, avista-se um ponto , de difícil acesso,

localizado na margem oposta;

- Sabe-se que está distante metros de ;

- Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para

medir ângulos) foram obtidas as seguintes medidas:

e .

Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o

ponto a um ponto entre e , de modo que

seja perpendicular a . Podemos afirmar que o

comprimento da ponte será de aproximadamente

Dado: Considere , ,

e

a) metros b) metros c) metros d) metros e) metros 22. (UFTM - 11) Dado um triângulo isósceles de lados congruentes medindo e o ângulo formado por esses dois lados, tal que , determine: a) O valor numérico de b) O perímetro desse triângulo.

23. (UFSCAR - 04) Na figura, é reto, ,

, e .

Sabendo que ( ) , o valor de é

a)

b)

c)

d)

e)

24. (FUVEST - 11) No losango de lado , representado na figura, tem-se que é o ponto médio

de , é o ponto médio de e √ .Então, é igual a

a) √

b)

√

c) √ d)

√

e)

√


25. (UFG - 10) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir.

A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto , indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por , , , e , onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado desse polígono mede e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto , onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.

26. (UFTM - 12) Na figura, é um quadrado, e

divide o ângulo ao meio.

Sendo √ o lado do quadrado , em centímetros, mede

a) √

b) √ c)

(√ )

d) (√ )

e)

(√ )

27. (UFPB - 11) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de

transportes coletivos (ponto ), com uma parada intermediária (ponto ), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto );

• o ponto de partida ficar localizado no ponto e o de chegada localizado no ponto , sem parada intermediária.

Supondo que √ , , e , é correto afirmar que a distância entre os pontos e é de: a) b) c) d) e) 28. (UDESC - 12) Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. Considere um quadro interativo de metros de largura por metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela:

Ponto Distância Ângulo

O triângulo com vértices nos pontos , e é: a) escaleno. b) equilátero. c) isósceles de base . d) isósceles de base . e) retângulo em .


29. (FATEC - 09) Sejam , e , as medidas dos

ângulos internos de um triângulo.

Se , e o perímetro do

triângulo é , então a medida do maior lado desse

triângulo é:

a) b) c) d) e)

30. (UNIFESP - 07) Em um triângulo com lados de

comprimentos , , , tem-se ( )( ) . A medida do ângulo oposto ao lado de

comprimento é

a) b) c) d) e)

31. (UFRGS - 10) As medidas dos lados de um

triângulo são proporcionais a , e . Os cossenos de

seus ângulos internos são, portanto,

a)

b)

c)

d)

e)

32. (UFSCAR - 06) Se os lados de um triângulo

medem , e , então, para qualquer real e

maior que , o cosseno do maior ângulo interno desse

triângulo é igual a

a)

b)

c)

d)

e)

33. (UFBA - 06) As medidas dos lados de um triângulo

formam uma PA de razão igual a . Determine a

altura do triângulo , relativa ao lado , sabendo

que e que ( ) .

34. (FUVEST - 09) Os comprimentos dos lados de um

triângulo formam uma PA. Sabendo-se também

que o perímetro de vale e que o ângulo

mede , então o produto dos comprimentos dos

lados é igual a:

a) b) c) d) e)

35. (FUVEST - 06) Na figura a seguir, é o centro da circunferência de raio , a reta é secante a ela, o

ângulo mede e √ .

a) Determine ( ) em função de .

b) Calcule .

Nível III 36. (UFG - 08) Dois observadores, situados nos

pontos e , a uma distância um do outro, como

mostra a figura a seguir, avistam um mesmo ponto no

topo de um prédio de altura , sob um mesmo ângulo

com a horizontal.

Sabendo que o angulo também mede e

desconsiderando a altura dos observadores, a altura

do prédio e dada pela expressão:

a) (

) (

)

b)

c) (

)

d) (

)

e) (

)

37. (FGV - 08) Em relação a um quadrilátero ,

sabe-se que , ,

e . A medida do segmento é

a) b) c) d) e)

38. (ITA - 11) Num triângulo o ângulo mede

e os lados e medem √ e √ √ , respectivamente. A circunferência de centro em e

raio igual a medida de intercepta no ponto ( ).

a) Mostre que mede b) Calcule o comprimento de 39. (UECE - 08) Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor lado deste triângulo é a) b) c) d)


DICAS E FATOS QUE AJUDAM

1. Use a lei dos senos nos itens a) e c) e a lei dos cossenos nos itens b) e d) 2. Use a lei dos senos 3. Use a lei dos senos no item b) e a lei dos cossenos nos itens a) e c) 4. Use a lei dos senos 5. Use a lei dos senos 6. Use a lei dos senos 7. Use a lei dos senos 8. Use a lei dos cossenos

9. a) Use a lei dos cossenos. Note que √ b) Use a desigualdade triangular.

10. Use a lei dos cossenos. Note que 11. Use a lei dos cossenos. Note que o cosseno nessa expressão vale

12. Use a lei dos cossenos. Note que 13. a) Note que o ângulo central correspondente ao

arco vale b) Use a lei dos cossenos 14. a) Use a lei dos cossenos b) Use a lei dos cossenos 15. Use a lei dos senos para determinar 16. Use a lei dos cossenos para determinar a distância entre Sendai e o epicentro 17. a) Note que a base é e a altura é

b) Note que . Determine e use a lei dos senos 18. Use a lei dos cossenos e determine . Note que

. Use a lei dos senos. 19. a) Calcule b) Note que o ângulo entre e é e use a lei dos senos 20. Use a lei dos cossenos e calcule e . Depois, use a lei dos cossenos de novo e calcule 21. Use a lei dos senos no triângulo e determine . Note que

22. a) Use a relação fundamental da trigonometria. b) Use a lei dos senos

23. Note que ( ). Use a lei dos senos no triângulo . 24. Use a lei dos cossenos no triângulo e calcule

( ). Note que

( ) ( ). Use a lei dos cossenos

no triângulo . 25. Note que os triângulos , , e são

equiláteros, logo . Use a lei dos cossenos no triângulo e determine

26. Note que e use a lei dos cossenos no triângulo para determinar . Determine , notando que . Se é o lado do

quadrado, note que . Note que Note que ( )

27. Ligue a .

Note que . Use a lei dos cossenos no triângulo . 28. A figura da questão é a seguinte:

Note que o triângulo é isósceles, por isso

. Use a lei dos senos no triângulo e determine . Use a lei dos cossenos no triângulo e determine . Note que 29. Sejam o lado oposto a , o lado oposto a e o lado oposto a . Note que e que . Calcule

30. Note que , logo . Compare com a expressão da lei dos cossenos. 31. Sejam o ângulo oposto ao lado proporcional a e o ângulo oposto ao lado proporcional a . Use a lei dos cossenos para determinar e 32. O maior ângulo interno é oposto ao maior lado, que é . Use a lei dos cossenos

33. O ângulo é oposto a , que é o menor lado. , , 34. A soma dos três primeiros termos da PA é , logo os lados do triângulo são , , .. O ângulo


é o maior ângulo, logo ele é oposto ao maior lado do triângulo, que é . 35. a) Use a lei dos senos. b) Use a relação fundamental da trigonometria e

calcule . Note que . 36. Note que , logo o triângulo

é isósceles. Assim, , e portanto

. Use a lei dos cossenos no triângulo .

37. Note que . Como , tem-se que o

quadrilátero é inscritível. Como , o lado é o diâmetro da circunferência circunscrita, portanto . Use a lei dos cossenos no triângulo e calcule . Use a lei dos senos no triângulo e calcule . 38. A figura da questão é a seguinte:

a) Use a lei dos senos no triângulo e calcule

( ). Eleve ( ) e ( ) e compare as

duas expressões.

b) , logo o triângulo é isósceles.

Assim, . Como é ângulo

externo ao triângulo , , portanto

. Assim sendo, o triângulo é isósceles,

portanto . e . 39. Os lados do triângulo são , e . Sejam o menor ângulo e o maior ângulo. Então é oposto a (que é o menor lado) e é oposto a (que é o maior lado). Use a lei dos cossenos duas vezes: primeiro, isole em função de e depois isole ( ) em função de . Da trigonometria,

lembre-se que ( ) .

GABARITO

1. a) √ b) c) √ d)

2. a) √ b) √ 3. a) b) c) 4. B 5. A

6. D 7. B 8. B 9. a) O perímetro do triângulo é b) Não é possível fazer esse cartaz, pois 10. D 11. E 12. A

13. a) b) √

14. a) √ b) √ 15. B 16. E

17. a) b) (√ )

18. (20 hectômetros)

19. a) b) (√ √ )

20. A 21. A

22. a) b) O perímetro é ( √ )

23. D 24. B

25. A distância do ponto é √ 26. E 27. A 28. A 29. D 30. C 31. C 32. E 33. A altura do triângulo é 34. D

35. a) ( ) √ b) √


36. D 37. B

38. a) Demonstração b) √ √ 39. B

BIBLIOGRAFIA IEZZI, Gelson e Pompeu, José. Fundamentos de matemática elementar: Geometria Plana, volume 9, 7a.edição. São Paulo: Atual, 2002

‘Ter sido aluna do CASDVest foi uma das melhores coisas que aconteceu na minha vida e hoje eu posso dizer sem dúvidas que eu admiro muito todas as pessoas que fazem parte da equipe do curso, que doam-se diariamente para nos mostrar que sim, é possível um aluno de escola pública ser aprovado nos mais concorridos vestibulares do país. Cada palavra de incentivo e cada gesto de motivação que recebi ao longo desses dois anos, foram suficientes para me mostrar que o CASDVest é diferente dos outros cursinhos, nós somos uma família sim! Os professores extremamente dedicados, são muito mais do que educadores, são amigos que estão sempre dispostos a ajudar no que for necessário e alguns em especial nos incentivam de maneira surpreendente a não desistir jamais. Não tenho palavras para agradecer tudo o que o CASDVest fez e tem feito por mim até hoje. Espero que cada aluno que entrar no extensivo daqui pra frente, sinta-se privilegiado por fazer parte dessa família que em conjunto trabalha para tornar real o sonho de cursar uma universidade pública. Valeu CASDVest!"’’ Sarah Bruna Machado Araujo Aluna do CASD aprovada em 2009 Graduando em Letras UNIFESP

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