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PCNA - Matemática AULA 1

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PCNA - Matemática

AULA 1

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Necessário para o Cálculo 1:

• Polinômios

• Operações com expressões algébricas

• Intervalos, inequações e módulo

• Funções

• Geometria

• Trigonometria

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1. Aritmética e Expressões Algébricas

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1.1 Ordem e precedência dos

cálculos • Exemplos:

1) 2 + 1 × 2 −6

2 × 5 + 3

2) 2 + 1 . 2 −6

2 . 5 + 3

3) 2 + 1 . 2 −6

2 . 5 + 3

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1.2 Operações com Números

Fracionários

1.2.1 Soma e Subtração

• 1º Caso: 𝑎

𝑐±

𝑏

𝑐

• 2º Caso: 𝑎

𝑐±

𝑏

𝑑

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Exemplos

Ex 1: 2

5+

4

5

Ex 2: 23

10+

3

10

Ex 3: 9

8+

2

8−

1

8

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Ex 4: 2

3+

9

4

Ex 5: 2

5+

8

9 -

7

12

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1.2.2 Multiplicação de

Números Fracionários

𝑎

𝑐×

𝑏

𝑐

𝑎

𝑐×

𝑏

𝑑

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Exemplos

Ex 1: 3

14×

21

15

Ex 2: 1

10×

2

5

Ex 3: 10 ×5

3+

2

4

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1.2.3 Divisão de Números

Fracionários

Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda

𝑎𝑐𝑏𝑑

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Exemplos

Ex 1:

1

72

5

Ex 2:

11

52

10

Ex 3: 35

1428

12

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Resolva

1) Encontre o valor de A

𝐴 =

1 −14

+1

1 +14

1 +14

−1

1 +14

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1.3 Expressões Algébricas • Recebe o nome de expressão algébrica a

expressão matemática na qual se faz uso de letras,

números e operações aritméticas.

Exemplos:

1)2 x

3−

7

x

2) 2 x:y

x−

4 x

y

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Exemplos: Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo:

1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

3) 𝑥 − 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

4) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

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• A fatoração consiste em representar um número ou

uma expressão algébrica como produto,

respetivamente, de outros números ou de outras

expressões algébricas.

• Exemplos:

1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏

2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦

3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦

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1.3.1 Simplificação de Frações

Algébricas • Exemplos:

1)2x;4y

2x

2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥

𝑎 + 𝑏

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Resolva

2) Calcule a expressão 2𝑎

𝑥 − 3+

𝑎

𝑥−

2𝑎𝑥

𝑥2 − 3𝑥.

𝑥

2𝑎

3) Resolva a expressão

(𝑥 + 1𝑥 − 2 +

𝑥 − 3𝑥 + 2)

2𝑥2 − 2𝑥 + 8𝑥 − 2

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1.4 Potenciação

• Potenciação

- Forma:

𝑎m

• Exemplos:

1) 24

2) −2 2

3) 33

4) −3 3

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PROPRIEDADES

• Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚

inteiros:

1) Potência de expoente nulo e igual a 1:

𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎

2) Potência de base igual a 1:

1𝑛 = 1

3) Potencia de expoente negativo:

𝑎;𝑛 =1

𝑎𝑛

4) Multiplicação de potências de mesma base:

𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛:𝑚

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5) Divisão de potências de mesma base: 𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛;𝑚

6)Multiplicação de potências de expoentes iguais:

𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛

7) Divisão de potências de expoentes iguais: 𝑎𝑛

𝑏𝑛=

𝑎

𝑏

𝑛

8) Potência de uma potência:

(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎 𝑛.𝑚

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Exemplos

Ex 1: 44 × 41 Ex 2: 24 ÷ 21

Ex 3: 103 2

Ex 4: 2

7

;3

Ex 5: 2 × 11 5

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Exemplos Ex. 6:

24

2+

42

22 + −3 ;3

Ex. 7: −3 ;2 −;3

7

;3

Ex. 8: 𝑥3 𝑦 𝑥 𝑦 ;2

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Nos exemplos abaixo,

determine o valor de 𝑥. Ex. 9: 3𝑥 = 9

Ex. 10: 2𝑥 + 2𝑥:1 = 24

Ex. 11: 6𝑥;2 + 5 ∙ 6𝑥;1 = 6𝑥 − 5

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Resolva 4) A expressão é igual a:

2 𝑥2𝑦 . 3(𝑥2𝑦3)

𝑥²𝑦²

5) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0

a) (𝑎4..𝑏2)³

(𝑎.𝑏2)²

b) 𝑎4.. 𝑏3 3. (𝑎2. 𝑏)²

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Resolva 6)Calcule o valor das expressões:

a)2−1; ;2 2:(;2)−1

22+2−2

b) 32;3−2

32:3−2

c)

−1

2

2.

1

2

3

−1

2

2 3

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Resolva * Encontre o valor de x que satisfaz a equação:

22𝑥:1 − 3. 2𝑥:2 = 32

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1.5 Radiciação • A radiciação é uma operação matemática inversa

da potenciação, ou seja,

𝑠𝑒 𝑎𝑛 = 𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑛 = 𝑎

𝒂𝒏 = 𝒃

índice

radicando raiz

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• Propriedades:

Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0

1) Raiz de radicando nulo:

0𝑛

= 0

2) Raiz de índice unitário nulo:

𝑎1 = 𝑎

3) Produto de radicais de mesmo índice:

𝑎𝑛 . 𝑏𝑛

. 𝑐𝑛 = 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

4) Divisão de radicais com mesmo índice:

𝑎𝑛

𝑏𝑛 =

𝑎

𝑏

𝑛 Ex: (

4

5)

3=

43

53

1.5 Radiciação

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5) Potência de uma raiz:

( 𝑎𝑛 )𝑚= 𝑎𝑚𝑛 Ex: 4

2 3= 432

6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice:

( 𝑎𝑛 )𝑛= 𝑎

7) Raiz de uma raiz:

𝑎𝑛𝑚= 𝑎𝑛.𝑚

8) Multiplicação de raiz por uma constante

𝑎 𝑏𝑛

= 𝑎𝑛𝑏𝑛

Ex: 3 42

= 4.3^22

= 362

= 6

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• A raiz é apenas uma forma de representar a

potenciação com expoente fracionário. Assim,

toda raiz pode ser escrita em forma de potência

como:

𝑎𝑚 𝑛

= 𝑎 𝑚𝑛

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Exemplos

Ex 1: 5

Ex 2: 16

Ex 3: 20

Ex 4: 83

Ex 5: 723

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Exemplos

• Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas:

Ex. 6: −273

. 108

Ex. 7: 356 ∙

3

33

• Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0

EX.. 8: 𝑎 . 𝑎

Ex. 9: 𝑎3 . 𝑎3

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1.6. Racionalização de

denominadores • 1° Caso:

𝒂

𝒃

• Exemplos:

30

2

3

4 × 6

2 + 5

7

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• 2° Caso:

𝒂

𝒄 ± 𝒃

Exemplo:

23

4 : 7

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• 3° Caso

𝒂

𝒃𝒏𝒎

Exemplo:

21

725 3

673

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Resolva 1) Reduza à expressão mais simples

(𝒂 𝒃. 𝒃𝟒

)/ 𝒂. 𝒃𝟑

2) Encontre o Valor de y

𝑦 =3;2 + 2;1

1 − 7. 2;33

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AULA 2

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PCNA - Matemática Aritmética: • Logaritmos • Módulo

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1.7. Logaritmos

log𝑏 𝑎 = c 𝑏𝑐 = 𝑎

onde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1

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Exemplos: 1) log 100 = 𝑥

2) log 0,1 = 𝑥

3) 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥

4) 𝑙𝑜𝑔2

1

32= 𝑐

5) 𝑙𝑜𝑔3 1 = 𝑥

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6) 𝑙𝑜𝑔14

(2 2) = 𝑥

7) ln1

𝑒= 𝑐

8) ln 𝑒 = 𝑐

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1.7.1. Propriedades dos

logaritmos 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.

𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0

2) Logaritmo da base é 1.

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1

3) Logaritmo de um produto

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

4) Logaritmo de um quociente

𝑙𝑜𝑔𝑏

𝑎

𝑐= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

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5) Logaritmo de uma potência

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

6) Mudança da base b para a base c

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏

7) Igualdade de logaritmos de mesma base

𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦

8) Potência de base b e expoente log𝑏 𝑎 é igual a a.

𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎

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Exemplos

1) 𝑙𝑜𝑔 0,1 ∙ 10

2) 𝑙𝑜𝑔21

16

3) 2𝑙𝑜𝑔2 4

4) 4𝑙𝑜𝑔2 4

5) 𝑒;3 𝑙𝑛 𝑥

6) 3 ln 𝑎 + ln 𝑏 − ln(𝑒)

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Exemplos: 7) log 2 𝑥 = −3

8) 3 ln 𝑥 = 2

9) 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4

10)3 𝑒4𝑥:8 = 1

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1.3.2. Tipos particulares de logaritmos

log 𝑎 e ln 𝑎

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Exemplos

Ex 1: log 100

Ex 2: log 1000

Ex 3: log1

10

Ex 4: log1

10000

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Exemplos

Ex 1: ln 𝑒

Ex 2: ln 𝑒3

Ex 3: ln1

𝑒4

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1) Encontre o valor de:

𝑙 =𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔2

12

𝑙𝑜𝑔 100+

𝑙𝑛 𝑒;3 + 𝑙𝑜𝑔 1000 − 𝑙𝑜𝑔4 1/16

𝑙𝑛 𝑒2 + 𝑙𝑜𝑔 10 + 𝑙𝑜𝑔 100

2) Obtenha o valor da expressão:

log3 1 : log 0,01

log21

64 × log4 8

Resolva

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Questões da Apostila

12) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois

terremotos estão relacionadas pela fórmula

𝑅1 − 𝑅2 = log10

𝑀1

𝑀2

Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos

terremotos sob a forma de ondas que se propagam

pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um

correspondente a R1=8 e outro correspondente a

R2=6. Calcule a razão 𝑀1

𝑀2

Resolva

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Resolva Questões da apostila:

13) Calcule o valor de S: 𝑆 = log4 (log3 9) + log2( log81 3) + log0,8( log16 32)

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Resolva Questões da Apostila

14) Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log3(𝑥:4)

para que y seja igual a 8.

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AULA 3

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PCNA - Matemática • Módulo

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1.8. Módulo ou Valor Absoluto A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto,

também chamado de módulo, representado por 𝑥

definido por :

𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

• Interpretação Geométrica

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• Propriedades

1) 𝑥 ≥ 0

2) 𝑥 = | − 𝑥|

3) 𝑥. 𝑦 = 𝑥 . |𝑦|

4) 𝑥/𝑦 = 𝑥 /|𝑦| com 𝑦 ≠ 0

5) 𝑥 = 𝑦 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦

6) 𝑥𝑛𝑛=

𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

; 𝑥 ∈ ℛ

• Observação: 𝑥 ± 𝑦 ≠ 𝑥 ± |𝑦|

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Exemplos: 1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule:

𝑎) −3 + 5

𝑏) −3 − 5 − −3

𝑐) −2 . 3

𝑑) −3 2

𝑒) −3 33

𝑓) 2 𝑥 + 1

𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3

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Exemplos: 2) Considerando 𝑎 = 10, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:

𝑎) 𝑎2. 𝑏

𝑏) 𝑎

𝑐

𝑐) 𝑐22

𝑑) 𝑐33

𝑒) 𝑎 − 𝑏

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Exemplos: 3) Resolva as equações abaixo:

𝑎) 𝑥 + 2 = 8

𝑏) 2𝑥 + 1 = 3

𝑐) 4𝑥 + 1 = |5 − 2𝑥|

𝑑) 𝑥2 = 8

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Resolva • Questões da apostila

22) Resolva as equações:

a) 5𝑥 − 3 = 12

c) 3𝑥 + 1 = |𝑥 − 3|

f) 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0

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Resolva 23) Elimine o módulo:

a) 𝑥 + 1 + |𝑥|

b) |𝑥 + 2| − |𝑥 + 1|

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1.9. Polinômios Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 da seguinte

forma:

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + 𝑎𝑛;2𝑥𝑛;2 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0𝑥0

Exemplos:

𝑎 𝑥 = 4𝑥4 − 2𝑥2 + 5

𝑏 𝑥 = 3 −5

2𝑥2 + 𝑥

𝑐 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥

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1.9.1. Adição e Subtração de Polinômios

Dado dois polinômios:

• 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑥0

• 𝑞 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0𝑥0

Soma:

• 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛+𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ +(𝑎0 +𝑏0)𝑥0

Subtração:

• 𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛−𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ + (𝑎0−𝑏0)𝑥0

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Exemplo • Calcule 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) e 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥), sendo:

𝑝 𝑥 = −3𝑥2 + 5 − 𝑥 + 2𝑥3 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2

• Calcule 𝑟 𝑥 = 2 𝑝 𝑥 − 3 𝑞(𝑥), onde:

𝑝 𝑥 = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2

𝑞 𝑥 = −3𝑥3 + 2𝑥 − 1

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1.9.2. Multiplicação de

Polinômios

𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 + 𝑓

Ex: Determine os produtos 𝑔 𝑥 𝑘(𝑥) e

𝑕 𝑥 𝑚(𝑥), sendo:

• 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1

• 𝑘 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥

• 𝑕 𝑥 = −𝑥 + 𝑥3

• 𝑚 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥3

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1.9.3. Produtos Notáveis

• Produto da soma pela diferença de dois termos:

𝑥 + 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2

• Quadrado da soma de dois termos:

𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥 + 𝑎 . 𝑥 + 𝑎 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

• Quadrado da diferença de dois termos:

𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥 − 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

• Cubo da soma de dois termos:

𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3

• Cubo da diferença de dois termos:

𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3

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Exemplos: 1) 𝑘 − 5 2

2) 2 𝑡 + 3 2

3) 3 − 2𝑥 3 + 2𝑥

4) 9𝑦2 + 𝑥2 − 6𝑦𝑥

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1.9.4. Divisão de Polinômios

𝑎 𝑥 ÷ 𝑏 𝑥 = 𝑞 𝑥 +𝑟 𝑥

𝑏 𝑥

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Exemplo 1) Calcule 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1

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Resolva Determine o quociente e o resto da seguinte divisão:

2𝑥3 − 9𝑥2 + 10𝑥 − 2

𝑥2 − 3𝑥 + 1

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AULA 4

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PCNA - Matemática • Polinômios

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1.9.5. Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio 𝑝(𝑥) são os valores

de 𝑥 que tornam 𝑝(𝑥) = 0.

• Polinômio de 1ª Grau

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Possui uma raiz 𝑥1 que pode ser calculada como:

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 0 → 𝑥1 =−𝑏

𝑎

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• Polinômio de 2º Grau

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Possui duas raízes 𝑥1 e 𝑥2 que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara.

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐

• Se ∆> 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e distintas

• Se ∆= 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e iguais

• Se ∆< 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes complexas

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• Caso 1 – Raízes Reais Distintas

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• Caso 2 – Raízes Reais Iguais

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• Caso 3 – Raízes Complexas

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Exemplos 1) Verifique se 𝑥 = −3 é raiz dos polinômios abaixo:

𝑝 𝑥 = 3 𝑥 + 9

𝑟 𝑥 = 𝑥2 + 6 𝑥 + 9

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Exemplos 2) Encontre as raízes dos polinômios abaixo:

a) 𝑝 𝑥 = 3𝑥 − 6

b) 𝑔 𝑥 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16

c) 𝑝 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥

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1.9.6. Fatoração de Polinômios Considere o polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0

Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então, 𝑝(𝑥) pode ser

fatorado como:

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥𝑛;1 𝑥 − 𝑥𝑛

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Exemplos 1) Fatore os polinômios abaixo:

a) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

b) 𝑘 𝑥 = −8𝑥 + 2𝑥2 + 6

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AULA 5

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PCNA - Matemática • Intervalos; • Inequações

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2.1. Intervalos Intervalos são trechos contínuos da reta numérica.

Intervalos

Limitados Ilimitados

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2.1.1. Intervalos Limitados • Intervalo aberto de a até b

• Intervalo fechado de a até b

• Intervalo fechado em a e aberto em b

• Intervalo fechado em b e aberto em a

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2.1.2. Intervalos Não Limitados

• Intervalo aberto de a até +∞

• Intervalo fechado de a até +∞

• Intervalo aberto de −∞ até a

• Intervalo fechado de −∞ até a

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Exemplos 1) Dado o intervalo represente-o na reta numérica

a) ] − 2, 5]

b) [−1, 2]

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Exemplos 1) Descreva o intervalo dado na reta numérica

a) 𝐼 = −2, +∞ = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≥ −2}

b) 𝐼 = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≤ 1 𝑂𝑈 3 ≤ 𝑥 < 6}

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2.2. Inequações 2.2.1 Propriedades da desigualdade

Sejam a, b, c, e d números reais

• 1) Somar ou subtrair um número qualquer em

ambos os lados da inequação não altera o sinal da

mesma.

• i) Se 𝑎 < 𝑏 então:

𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

• ii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑑 então:

𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑

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• 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da

inequação por um número POSITIVO não altera o

sinal da mesma.

• i) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então:

𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐

• ii) Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 então:

𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐

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• 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados do

inequação por um número NEGATIVO inverte o

sinal da desigualdade.

• i) Se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:

𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐

• ii) Se 𝑎 > 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:

𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐

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• 4) Desigualdade Triangular: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + |𝑦|.

Obs.: 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem

simultaneamente positivos ou negativos.

• 5) 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

• 6) 𝑥 ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎

• 7) 𝑥𝑛𝑛=

𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

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Exemplos • 1) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1

• 2) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5

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Resolva! d) 𝑥2 + 1 < 2𝑥2 − 3 ≤ −5𝑥

𝒅) 𝑥 − 3 4 ≤ 16

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AULA 6

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PCNA - Matemática Função: • Definição; • Domínio, Contradomínio e Imagem; • Tipo de função; • Gráfico de Funções.

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3.1 Definição Uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por 𝑓:𝐴→𝐵, se todos

os elementos do conjunto A estão associados a um e

somente um elemento do conjunto B.

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3.1 Definição • Funções definidas por fórmula

y pode ser calculado a partir de x, por meio de uma

fórmula (ou regra, ou lei).

• Lei de Correspondência

Lei que associa cada número real x ao número y,

Ex.: sendo y o dobro de x, temos:

y = 2x ou f(x) = 2x

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3.2 Domínio e Contradomínio

Domínio

𝐷(𝑓) = { −3, 0, 3 }

Contradomínio

𝐶𝐷(𝑓)={ 0, 9, 18 }

Imagem

𝐼𝑚(𝑓)= { 0, 9 }

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3.2 Domínio e Contradomínio

• Exemplo – Dada a função 𝑓(𝑥)=4𝑥²−2, determine:

[𝑓(0)−𝑓(2)]/𝑓(1).

Resolva – Considere a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1.

Calcule o valor da constante 𝑏 = {[𝑓(1)]2− 2.𝑓(1)}/4𝑓(0)

e um número real 𝑎 de modo que 𝑓 (𝑥) = 0.

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3.2 Domínio e Contradomínio

• Exemplo 2 – Calcule o domínio da função 𝑓(𝑥) =

2𝑥 − 4

Resolva – Calcule o domínio da função:

𝑓(𝑥) =5

𝑥 + 1

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2

3 − 𝑥.

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3.3 Tipos de Função

Função Injetora

Função Bijetora

Função Sobrejetora

𝐶𝐷(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓)

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3.3 Tipos de Função • Função Constante

Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℜ é

denominada função constante. 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘

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3.3 Tipos de Função • Função Constante

Exemplo – Plote o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2

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3.3 Tipos de Função • Função Par

Uma função 𝑓 é dita ser uma função par se:

𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)

Gráfico?

• Função ímpar

Uma função 𝑓 é dita ser uma função impar se:

𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)

Gráfico?

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3.3 Tipos de Função

Exemplo – Dada a função 𝑓, determine se ela é

uma função par ou uma função impar.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1;

b) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥

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3.3 Tipos de Função Resolva – Verificar se a função é par ou ímpar.

a) cosx

b) senx

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3.4 Gráfico de Funções • O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos

os pares ordenados (𝑥,𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥

pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦 pertence a 𝐼(𝑓).

Pares ordenados (𝑥,𝑓(𝑥)), pois 𝑦=𝑓(𝑥).

Exemplo – Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥)= 9 − 𝑥

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3.4 Gráfico de Funções • Análise de Gráficos

Escolha da atividade a ser feita no simulador

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Exercícios

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Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

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AULA 7

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PCNA - Matemática • Função Polinomial de 1° grau;

• Função Polinomial de 2° grau.

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3.5 Função polinomial do 1° grau

• Definição

A função 𝑓 é dada por um polinômio de 𝟏º Grau:

𝑓(𝑥)=𝑎.𝑥+𝑏, com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0. 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ.

Exemplos:

f(x) = 5x – 3, em que a = 5 e b = -3

f(x) = - 2x – 7, a = -2 e b = -7

f(x) = 11x, a = 11 e b = 0

Função

Afim Linear

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3.5 Função polinomial do 1° grau

• Coeficientes da função Afim

y = ax + b a = coeficiente angular

b = coeficiente linear

• Zero da função

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1°grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.

Assim, a raiz de f(x) é x = ;𝑏

𝑎.

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3.5 Função polinomial do 1° grau

• Gráfico de uma função Afim

Reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

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3.5 Função polinomial do 1° grau

• Exemplo – Plote o gráfico da função dada pela

equação y= 2x+4

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3.5 Função polinomial do 1° grau

Resolva – Plote o gráfico das funções dadas pelas

equações.

a) 𝑦 = −2 𝑥 − 2

b) 𝑦 = 3𝑥 − 9

c) 𝑦 = − 𝑥

2

d) 𝑦 = 3𝑥

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3.5 Função polinomial do 1° grau

Resolva (definir questões)

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3.6 Função do 2° Grau • Definição

Uma função 𝑓 é denominada de função de 2º grau

quando ela for dada por uma lei da forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais e 𝑎 ≠ 0 .

Exemplos

f(x) = 2x² + 3x +5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = x² - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = -x² + 2x, sendo a = -1, b = 2 e c = 0

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3.6 Função do 2° Grau • Zero da função

Chamam-se zeros ou raízes da função do 2° grau f(x) = ax² +bx + c, a ≠ 0, os números reais x tal que f(x) = 0.

As raízes são solução da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0. Logo, pela fórmula de Bláskara:

𝑥1 𝑒 𝑥2 = −𝑏 ± 𝑏² + 4𝑎𝑐

2𝑎

A quantidade de raízes depende do valor de ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐

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3.6 Função do 2° Grau • Zero da função

Soma e produto das raízes

Função genérica do 2° grau com raízes 𝑟1 𝑒 𝑟2.

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑟2𝑥 − 𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑟2

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑟1𝑟2

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² − 𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑎𝑟1𝑟2

Logo:

𝑏 = −𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) → 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. −𝑎

𝑐 = 𝑎𝑟1𝑟2 → 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. 𝑎

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3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Obter os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6

Caminho 1 – Fórmula de Bháskara

Caminho 2 – Soma e Produto de raízes

∗ 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0

Resolva – Obter os zeros da função f(x) = x² + 9x + 14

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3.6 Função do 2° Grau • Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2° grau,

𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, é uma curva chamada

parábola.

• Coordenadas do vértice do gráfico

𝑉 = −𝑏

2𝑎, −

4𝑎

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3.6 Função do 2° Grau • Gráfico

Concavidade da parábola e vértice

Domínio e imagem da função de 2º grau S𝑒 𝑎>0 , 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[𝑦𝑣 ,+∞)

S𝑒 𝑎<0 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=(−∞ ,𝑦𝑣 ]

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3.6 Função do 2° Grau • Construção da Parábola

1° O valor do coeficiente “a” define a concavidade

2° Os zeros definem os pontos em que a parábola

intercepta o eixo x

3° O vértice V indica o ponto de mínimo (se a>0) ou

de máximo (se a<0)

4° A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é

o eixo de simetria da parábola

5° Para x = 0, temos 𝑦 = 𝑎. 0² + 𝑏. 0 + 𝑐; então, (0,c) é o

ponto em que a parábola toca o eixo y

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3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Esboçar o gráfico 𝑓(𝑥)=3𝑥²−9𝑥+6.

Resolva – Esboçar o gráfico𝑓 𝑥 = 2𝑥² − 5𝑥 + 2

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3.6 Função do 2° Grau Resolva – Uma empresa de armamentos bélicos

realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está

sendo fabricado. A empresa pretende determinar a

altura máxima que o míssil atinge após o lançamento

e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória

descrita pelo míssil é uma parábola representada

pela função y = – x2 + 3x, onde y é a altura atingida

pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também

em quilômetros). Quais serão os valores encontrados

pela empresa?

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Exercícios

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Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

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AULA 8

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PCNA - Matemática • Função Exponencial

• Função Logarítmica

• Função Inversa

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3.7 Função Exponencial • Definição

Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , em que a é um número real dado, sendo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é denominada de função exponencial.

Ex.: 𝑓(𝑥) = 0.5𝑥

𝑓 𝑥 = 0.8𝑥 Para 0 < 𝑎 < 1

𝑓(𝑥) = 10𝑥

Para 𝑎 > 1 𝑓(𝑥) = 4𝑥

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3.7 Função Exponencial • Gráfico

Intercepta o eixo Y no ponto (0,1)

Nunca intercepta o eixo X

𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+ ∗ = (0, +∞)

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3.7 Função Exponencial Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 2𝑥

Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓 𝑥 = 2𝑥

X Y

-3

-2

-1

0

1

2

3

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3.7 Função Exponencial Resolva – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 =

1

2

𝑥e depois compare

com o gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥.

*Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

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3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de

Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥

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3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de

Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖

𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = −𝑒;𝑥

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3.7 Função Exponencial Exemplo – Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Resolva – Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.

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3.8 Função Logarítmica • Definição

Dado um número real 𝑎 (com 0 < 𝑎 ≠ 1 ), chama-se

função logarítmica de base 𝒂 a função de ℜ∗: em ℜ

dada pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥.

Exemplos

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔10𝑥

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥

𝐷(𝑓)= ℜ∗: =(0,+∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ

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3.8 Função Logarítmica Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥

Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥

𝑋 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔1/𝟐𝑥

-2

-1

0

1

2

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3.8 Função Logarítmica Resolva – Plote o gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 e compare

com o gráfico de 𝑓 𝑥 = 2𝑥.

Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥

X 𝑌 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

-3

-2

-1

0

1

2

3

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3.8 Função Logarítmica • Gráfico da função logarítmica

Intercepta o eixo X

no ponto (1,0)

Nunca intercepta

o eixo Y

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3.8 Função Logarítmica • Gráfico

Estudo comparativo entre a função exponencial e a

função logarítmica

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3.9 Função Inversa • Se 𝑓:𝐴→𝐵 for uma função bijetora então, ela

admite uma função inversa 𝑓−1:𝐵→𝐴.

• Exemplo

Dada a função 𝑓 calcule sua inversa 𝑓;1

𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 6

𝑓 𝑥 = 2𝑥

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3.9 Função Inversa • Resolva (a definir)

Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x) = ax + b. Se

o gráfico da função f passa pelos pontos cartesianos

A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1(inversa de f ) é:

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Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Alunos Online – Site oficial” Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/grafico-da-funcao-exponencial.html> Acesso: Jul. 2015

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AULA 9

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PCNA - Matemática • Função Composta;

*Função Modular.

* Tópico em anexo ao material didático do PCNA

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3.10 Função Composta Sejam três conjuntos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 que entre eles

existam as seguintes funções: 𝑓:𝐴→𝐵 𝑒 𝑔:𝐵→𝐶

Assim, irá existir outra função 𝑕∶𝐴→𝐶 tal que 𝑕(𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥)) que é chamada de função composta de 𝑔 e 𝑓

denotada por (𝑔∘𝑓)(𝑥).

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3.10 Função Composta Exemplo/Resolva (a definir)– Considere as funções

𝑔 𝑥 = 2𝑥2

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

Determine

• 𝑔 𝑜 𝑓

• 𝑓 𝑜 𝑔

• 𝑓 𝑜 𝑓

• 𝑔 𝑜 𝑔

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* Função Modular • Função definida por mais de uma sentença

Sendo f uma função definida pelas sentenças:

Se x < 0, então f(x) = 1

Se x ≥ 0, então f(x) = x +1

Calcular f(-3), f(-√2), f(0), f(2) e construir o gráfico de f.

Y é uma função de x definida por 2 sentenças. Assim,

usa-se uma sentença ou outra, dependendo do

intervalo em que o valor de x se enquadra.

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* Função Modular Chama-se função modular a função f de IR em IR

dada pela lei f(x) = I x I.

Utilizando o conceito de módulo de um número real,

a função modular pode ser caracterizada:

F(x) = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0− 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

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* Função Modular • Gráfico

D = IR

Im = IR+

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* Função Modular • Exemplo 1.

Se f(x) = x – 1 e g(x) =|x|, construa o gráfico da função

h(x), que é a composta de g com f.

De modo geral, para esboçar o gráfico de h(x) = |f(x)|:

1° quando f(x) ≥ 0, o gráfico de h(x) é o próprio gráfico

de f(x).

2° quando f(x) < 0, o gráfico de h(x) é o gráfico de -f(x).

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* Função Modular • Exemplo 2.

Se f(x) = x² - 4 e g(x) =|x|, então a composta de g

com f é dada pela lei:

h(x) = g(f(x)) = g(x² - 4) =|x² - 4|

Construa o gráfico da função h(x) =|x² - 4|.

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* Função Modular • Exemplo 2.

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* Função Modular • Resolva

Construa o gráfico das seguintes funções definidas

em IR:

a) h(x) = |x|-1

b) f(x) = |3x|

c) r(x) = |x² + 4x|

d) g(x) = ||2x + 3|-2|

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Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

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AULA 10

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PCNA - Matemática •Geometria Plana e Espacial.

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4.1. Ponto 4.2. Reta

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4.2.1 Postulados da Reta a)

b)

c)

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4.3. Plano 4.3.1 Postulados do Plano

a) c)

b) d)

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4.3.2. Posições Relativas de duas Retas no Plano

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4.4. Espaço 4.4.1 Posições Relativas de duas Retas no Espaço

• Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares

quando existe um plano que as contêm.

• Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas

quando não existe um plano que as contêm.

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Exemplo 1) De acordo com a figura abaixo, dê a

classificação em relação à posição relativa dos pares

de retas indicadas:

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4.5. Segmento de Retas

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4.5.1. Razão entre Segmentos de Reta • A razão os entre os segmentos (AB ̅) e (CD ̅ ),

respectivamente, de comprimentos 6 cm e 3 cm é

determinada por:

AB/CD=6/3=3

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4.5.2. Segmentos Proporcionais • Exemplos:

1) Verifique se os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄, nesta

ordem, são proporcionais, sabendo que 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 12 𝑐𝑚.

2) Considere os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄,

proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos

segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 sabendo que 𝐴𝐵 = 𝑥 + 3 𝑐𝑚 , 𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 40 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 30 𝑐𝑚

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4.5.3. Teorema de Talles “Um feixe de retas paralelas determina, em duas

retas transversais, segmentos que são proporcionais”.

𝑠𝑒 𝑟//𝑠//𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑀𝑁

𝑁𝑃

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Exemplos: • 1) Determine o valor de 𝑥 na figura abaixo.

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Exemplos: • 2) A figura abaixo mostra dois terrenos cujas laterais

horizontais são paralelas. Determine as medidas 𝑥 e

𝑦.

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4.6. Circunferência e Círculo

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4.6.1. Elementos da

Circunferência e do Círculo • Corda e Segmento Circular

• Arco e Setor Circular

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• Diâmetro, Semicircunferência e Semicírculo

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4.7. Ângulo

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• Grau Radiano

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Exemplos: 1) Determine o valor de 𝛼 = 45° em radianos.

2) Determine o valor de 𝛼 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 em graus.

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4.7.2. Classificação dos

Ângulos • ângulos agudo

• Obtuso

• Reto

• Raso

• de uma volta

• e côncavo.

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Exemplos: 1) Determine o valor do ângulo 𝑎, na figura abaixo,

sabendo que 𝑕 = 40°.

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Exemplos: 2) Na figura, determinar os valores dos ângulos x , y e

z.

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4.8.1. Semelhança de Polígonos • Ângulos correspondentes iguais:

𝐴 = 𝐴’; 𝐵 = 𝐵’; 𝐶 = 𝐶’; …

• Lados correspondentes proporcionais 𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐶𝐷

𝐶′𝐷′= ⋯ = 𝑘

onde 𝑘 é a razão de semelhança

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Exemplos: 1) Determine o comprimentos x, y e z dos polígonos

da figura, sabendo que eles são semelhantes.

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4.8.2. Semelhança de Triângulos a) Quanto aos lados c) Quanto a dois lados e um

ângulo

b) Quanto aos ângulos

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Exemplos: 1) Determine o valor de x na figura.

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AULA 11

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PCNA - Matemática • Geometria.

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4.9. Perímetro e Área • Perímetro: é a medida do contorno de um objeto

bidimensional.

• Área: é uma função que associa a cada figura um

número positivo que representa a medida de sua

superfície.

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Exemplo • Considere uma sala cuja planta baixa está

indicada:

• a) Quantos metros de rodapé serão necessários

para contornar a sala?

• b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas

quadradas de 1 𝑚2.Quantas lajotas serão

necessárias?

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Resolva 5) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é

igual a 83 𝑐𝑚2. Determine a área o quadrado maior.

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4.9.1 Círculo

𝑆 = 𝜋. 𝑟2

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4.9.2. Paralelogramo

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4.9.3. Triângulo

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4.9.4 Losango

𝑆 =𝐷. 𝑑

2

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4.9.5. Trapézio

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4.9.6. POLÍGONO REGULAR

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Exemplo: • 1) Calcule a área da superfície composta pelas

áreas hachuradas e pontilhadas da figura.

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Exemplo: 2) Calcule a área da coroa circular de raio 𝑅 = 20 𝑐𝑚

e largura 𝑡 = 5 𝑐𝑚, indicada na figura 4.53, isto é,

calcule a área da superfície colorida na figura.

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4.10. Volume • Definição: é o espaço ocupado por um corpo e

também a capacidade do corpo de comportar

alguma substância.

• Unidades:

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4.10.1 Cubo 𝑉 = 𝐿3

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4.10.2 Paralelepípedo 𝑉 = 𝐿 ∙ 𝑙 ∙ 𝑕

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4.10.3 Prisma V=Área da base x h

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4.10.4 Cilindro 𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑕

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4.10.5 Pirâmide 𝑉 =

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑕

3

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4.10.6 Cone 𝑉 =

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑕

3

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4.10.7 Esfera 𝑉 =

4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3

3

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Resolva • 6) Na figura 4.68, 𝐴𝐵𝐶 é um quadrante de um

círculo de raio igual a 3 𝑐𝑚 e 𝐴𝐷𝐸𝐹 é um quadrado

de lado igual a 1 𝑐𝑚. Considere o sólido gerado

pela rotação de 360° da região hachurada da

figura em torno da reta 𝐴𝐵. Determine o volume

deste sólido de revolução.

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AULA 12

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PCNA - Matemática • Geometria Analítica.

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5.1. Sistema de Coordenadas

Unidimensional

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5.2. Sistema de Coordenadas

Cartesianas Retangulares ou Plano

Cartesiano

Onde: 𝑃𝑥 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo x 𝑃𝑦 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo y O = origem (interseção entre os eixos)

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5.3. Distância Entre Dois

Pontos No Plano Cartesiano

y

x

.

B(x2, y2)

A(x1, y1)

∆x

∆y

y2

y1

x1 x2

B

A

∆x

∆y

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Exemplos

1 5

3

x

y

A(1, 3) B(5, 3)y

x

.

B(3, 6)

A(6, 2)

3

4

6

2

3 6

Determine a distância entre A e B nas duas figuras:

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Resolva Para estimar a distância entre os pontos P1 e P2, um

engenheiro caminhou, sempre em linha reta, de P1 até A,

de A até B e de B até P2, medindo adequadamente essas

distâncias. Os valores medidos estão indicados na figura:

Após efetuar os cálculos necessários a partir das distâncias

medidas, o engenheiro estimou que a distância entre P1 e

P2 é de, aproximadamente:

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5.4. Coeficiente Angular e

Equação da Reta

• 5.4.1 - Coeficiente angular de uma reta

𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶

y

x

.

B(x2, y2)

A(x1, y1)

∆x

∆y

y2

y1

x1 x2

r

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Casos: 1º) Se 𝛂 = 0° 𝑜𝑢 𝛂 = 180°:

x

y

0

r

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• 2º) Se 0° < 𝛂 < 90°, temos tan 𝛂 > 0 ⇒ 𝑚 > 0

x

y

0

r

α

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• 3º)Se 90° < 𝛂 < 180°temos tan 𝛂 < 0 ⇒ 𝑚 < 0

x

y

0

r

α

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• 4º) Se 𝛂 = 90°, a tan 𝛂 não é definida. Então dizemos

que quando 𝛂 = 90°, ou seja, quando uma reta é

vertical, ela não tem declividade.

x

y

0

r

. α

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5.4.2- Equação da reta quando

conhecidos um ponto 𝐏(𝐱𝟎, 𝐲𝟎) e o

coeficiente angular da reta

y

x

.

P

P0

y

y0

x0 x

r

.

.

α

α

C

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EXEMPLOS: • Determine a equação da reta que passa pelo

ponto A(-1, 4 ) e tem coeficiente angular 2.

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RESOLVA: • Determine a equação da reta que passa pelo

ponto 𝐴 1, −2 e que tem coeficiente angular igual

a 1.

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5.4.3 – Equação da reta quando

conhecidos dois pontos

𝐷𝑒𝑡 = 0

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EXEMPLO: • Determine a equação da reta que passa pelos

pontos A(-1, -2) e B (5, 2)

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• As retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares e se interceptam

no ponto 2,4 . A reta 𝑠 contém o ponto 0,5 .

Determine a equação da reta 𝑟.

RESOLVA

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• Um ponto móvel 𝑃 −2 + 𝑡,4𝑡

3+ 2 desloca-se no

plano cartesiano e suas coordenadas variam em

função do tempo 𝑡(com 𝑡 ≥ 0). Qual a distância

percorrida pelo ponto entre os tempos 𝑡 = 0 e 𝑡 =6?

RESOLVA

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5.4.4. FORMA REDUZIDA DA

EQUAÇÃO DA RETA

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5.4.5. Retas paralelas e retas

perpendiculares

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5.4.5. Retas paralelas e retas

perpendiculares

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EXEMPLOS • Se as retas de equações (a+3)x + 4y – 5 = 0 e

x + ay + 1 = 0 são paralelas. Calcule o valor de a.

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RESOLVA • 1) Trace o gráfico das retas 𝑟 e s e determine a

interseção entre elas. Sabendo que:

• →A reta 𝑟 é a reta de equação 𝑦 = −0,5𝑥 + 8.

• → A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟 e um de seus

pontos é o ponto 𝑃 2,2 .

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AULA 13

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PCNA - Matemática Trigonometria - 1

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6.1. Conceitos Iniciais

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6.1.1. Arcos e Ângulos

• Ângulo entre

retas

• Ângulo formando

um setor circular

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6.1.2. Unidades de Ângulos

• Grau • Radiano

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6.1.3. Tipos de Ângulos

• Ângulo Reto • Ângulo raso

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• Ângulo

agudo • Ângulo

obtuso

• Ângulo de uma

volta

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Ex 1: Um arco AB de uma circunferência tem

comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4

cm, qual a medida em radianos do arco AB se L=22

cm?

Exemplo:

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6.1.4. Triângulo Retângulo

1. Possui um ângulo reto.

2. O maior lado, chamado

de hipotenusa, é oposto

ao ângulo reto,

3. Os outros lados são

chamados catetos.

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• Teorema de Pitágoras

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

Para todo triângulo

retângulo tem-se que “o

quadrado da hipotenusa é

igual à soma dos

quadrados dos catetos”

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• Relações Trigonométricas

cos 𝜃 =𝑏

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐

𝑎

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑐

𝑏

sec 𝜃 =𝑎

𝑏

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 𝑎

𝑐

𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 = 𝑏

𝑐

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Exemplo: Ex 2: Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

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Simulador: Triângulo Retângulo

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• Lei dos Cossenos

Para um triângulo qualquer:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos (∝)

Onde ∝ é o ângulo oposto ao

lado 𝑎.

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Exemplo 3) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m.

Calcule o ângulo o menor, Â , do triângulo.

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• Lei dos Senos Para um triângulo qualquer:

𝑎

𝑠𝑒𝑛(Â)=

𝑏

𝑠𝑒𝑛(𝐵 )=

𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝐶 )

Sendo o lado 𝑎

oposto ao ângulo Â.

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Exemplo 4) Calcule o valor do segmento AB do Triângulo

representado pelo desenho a seguir:

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6.2. Círculo Trigonométrico

• 6.2.1 – Definição • Divisões em

Quadrantes

• Sentido positivo =

sentido anti-horário

•Sentido negativo =

sentido horário.

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• Seno

6.2.2 - Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico

2. Redução ao

primeiro quadrante

1. Análise de

Sinal

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•Cosseno

1. Análise de

Sinal

2. Redução ao

primeiro quadrante

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• Ângulos correspondentes

• No II Quadrante: 180º − 𝛼;

• No III Quadrante: 180º + 𝛼;

• No IV Quadrante: 360º − 𝛼.

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Exemplos: 5) Determine o valor de :

a) 𝑠𝑖𝑛;𝜋

3:

b) 𝑐𝑜 𝑠;𝜋

3:

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•Tangente

1. Análise de

Sinal

2. Redução ao

primeiro quadrante

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6) Determine o valor de:

• 𝑡𝑔(7𝜋

6):

• 𝑡𝑔3𝜋

4:

Exemplos:

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Simulador: Círculo Trigonométrico

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Resolva: • Calcule o valor da expressão:

𝑦 = sen 105° − cos 75°

• Calcule o valor numérico da expressão:

𝑦 = sen13𝜋

12. cos(

11𝜋

12)

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• Ângulos notáveis

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AULA 14

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PCNA - Matemática Trigonometria - 2

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6.3 – Relações Trigonométricas Inversas

• sec ∝ = 1

cos (∝)

• 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 ∝ = 1

sin (∝)

• 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝ = cos (∝)

sin (∝)

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Simulador: Geogebra

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Exemplos: Ex 1: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ =

1

2, com 0 < ∝ <

𝜋

2. Determine o valor

de 𝑠𝑒𝑐 ∝ .

Ex 2: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ = ;2

3, com

3𝜋

2< ∝ < 2𝜋. Determine o

valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔(∝).

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6.4 - Identidades Trigonométricas

• Obtida por simples aplicação de Pitágoras no

círculo trigonométrico.

• 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 (relação fundamental)

• 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥

• 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

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• sin 𝑎 + 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎

• sin 𝑎 − 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎

• cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏

• cos 𝑎 − 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin (𝑏)

• sen 2𝑥 = 2. sen 𝑥 . cos(𝑥)

• cos 2𝑥 = cos² 𝑥 − sen²(𝑥)

• sen 𝑥

2= 1−cos (x)

2

• cos 𝑥

2= 1+cos x

2

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Ex 3: Determine o valor de:

a) sen(105°)

b) cos(15°)

Exemplos:

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• Dado que sin 𝑥 cos 𝑥 = 𝑚, calcule o valor de

𝑦 = sin4 𝑥 + cos4(𝑥) 𝑒 𝑧 = sin6 𝑥 + cos6(𝑥)

Resolva

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Transformação de SOMA em PRODUTO

• 𝑠𝑖𝑛 𝑝 + 𝑠𝑖𝑛 𝑞 = 2 sin𝑝:𝑞

2cos (

𝑝;𝑞

2)

• sin 𝑝 − sin 𝑞 = 2 sin𝑝;𝑞

2cos (

𝑝:𝑞

2)

• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 + 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = 2 cos𝑝:𝑞

2cos

𝑝;𝑞

2

• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 − 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = −2 sin𝑝:𝑞

2sin

𝑝;𝑞

2

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Exemplos: Ex 4: Transforme em produto:

a) cos 30º + cos 10º

b) sen 70º - sen 30º

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Resolva • Transforme em produto:

a) 𝑦 = 1 + sin 2𝑥 :

b) 𝑦 = cos 3𝑥 + cos (𝑥)

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AULA 15

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PCNA - Matemática Trigonometria - 3

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6.5. Funções Trigonométricas

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6.5.1 Função Seno:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

Domínio: ℝ

Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1

Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo

trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu

caráter oscilatório.

Período: 2𝜋

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Simulador: Geogebra

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Modificações no gráfico da função

• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. sen 𝑐𝑥 + 𝑑 ,

as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:

• A = deslocamentos verticais;

• B = alongamento vertical ou horizontal;

• C = encurtamento horizontal;

• D = deslocamentos horizontais.

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• Se 𝑓 𝑥 = sen 𝑎𝑥 , 𝑎 > 1 , há o encurtamento

horizontal.

Ex 1: 𝑓 𝑥 = sen(2𝑥)

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• Se 𝑓 𝑥 = B. sen(𝑥):

• B>1, ocorre um alongamento vertical;

• B<1, ocorre um alongamento horizontal.

Ex 2: 𝑓 𝑥 = 0,5. sen(𝑥):

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Ex 3: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = −0,5 + 0,5 . 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + π)

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6.5.2 Função Cosseno:

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

Domínio: ℝ

Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1

Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo

trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu

caráter oscilatório.

Período: 2𝜋

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Simulador: Geogebra

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Modificações no gráfico da função

• Processo semelhante ao da função seno.

• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. cos 𝑐𝑥 + 𝑑 ,

as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:

• A = deslocamentos verticais;

• B = alongamento vertical ou horizontal;

• C = encurtamento horizontal;

• D = deslocamentos horizontais.

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𝑓 𝑥 = 0.5𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)

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Exemplo: Ex 5: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = 2 + 3 . 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + π)

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6.5.4 Função Tangente:

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (𝑥) Domínio:

ℝ − (𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑜𝑠 à 𝜋

2 𝑜𝑢

3𝜋

2)

Imagem: −∞ ≤ 𝑦 ≤ ∞

Obs.: quando 𝑥 =𝜋

2,3𝜋

2, ou seus correspondentes depois de N

voltas, a função não existe.

Período: 𝜋

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Modificações no gráfico da função

• Processo semelhante aos das funções seno e

cosseno.

• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. t𝑔 𝑐𝑥 + 𝑑 ,

as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:

• A = deslocamentos verticais;

• B = alongamento vertical ou horizontal;

• C = encurtamento horizontal;

• D = deslocamentos horizontais.

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𝑓 𝑥 = 5𝑡𝑔 (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(2𝑥)

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Exemplo: Ex 6: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥 − 𝜋)

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6.5.4. Função Arco-Seno • O arco-seno (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥)) é um ângulo definido pela

variável ∝ dependente de um valor x tal que

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∝ isto é, 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝑥.

∝ = arcsin (𝑥)

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Exemplo: Ex 7: Para um triângulo retângulo de hipotenusa

2 cm e cujo ângulo 𝛼 é oposto a um cateto de

1cm, determine o valor de 𝛼.

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6.5.5 Função Arco-Cosseno

• O arco-cosseno (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) é um ângulo ∝ cujo

valor de seu cosseno vale x, isto é, ∝ depende de x

tal que 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = ∝, cos ∝ = 𝑥.

∝ = arccos (𝑥)

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Exemplo: 8) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um

ângulo ∝ tal que o cateto adjacente a este

ângulo vale 2 cm e a hipotenusa do respectivo

triângulo possui valor de 4 cm. Determine o

ângulo ∝.

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6.5.6 Função Arco-Tangente

• O arco-tangente (arctan (𝑥)) de um valor x, de

modo que seu resultado que é o ângulo 𝜃 é o

ângulo cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja,

se tan 𝜃 = 𝑥, tem-se que 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥).

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)

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Exemplo: 9) Um triângulo retângulo possui um ângulo ∝ o

qual tem como cateto oposto b = 2.√2,e o cateto

adjacente valendo c =2.√2. Determine o ângulo ∝.

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6.6. Sistema de Coordenadas Polares

• 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎: 𝑥, 𝑦

• 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟, 𝜃

• 𝑥, 𝑦 → (𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 )

• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

• 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦

𝑥)

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Coordenadas polares no AutoCAD

• É definido o ângulo e o tamanho do segmento.

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Exemplos: Ex 1: Converta as coordenadas polares dadas para

coordenadas cartesianas:

𝑎) 𝑟, 𝜃 = 2 ,3𝜋

2

𝑏) 𝑟, 𝜃 = −4 ,−𝜋

3

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Ex 2: Converta as coordenadas cartesianas dadas

para coordenadas polares.

a) 𝑥, 𝑦 = 4 , 4

b) 𝑥, 𝑦 = −1 , − 3