PedroPauloJustinodaSilvaArantes ... · POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE...

Universidade de São Paulo–USPEscola de Engenharia de São Carlos

Departamento de Engenharia Elétrica e de ComputaçãoCurso Engenharia Elétrica - Ênfase em Eletrônica

Pedro Paulo Justino da Silva Arantes

Sistemas de Comunicação Óptica noEspaço Livre (FSO) e Controle de

Campo através de Ondas Não Difrativas

São Carlos2015

Pedro Paulo Justino da Silva Arantes

Sistemas de Comunicação Óptica noEspaço Livre (FSO) e Controle de

Campo através de Ondas Não Difrativas

Trabalho de Conclusão de Curso apresentada ao Curso Engenharia Elétrica - Ênfaseem Eletrônica da Escola de Engenharia de São Carlos como parte dos requisitos paraa obtenção do título de Engenheiro Eletricista.

Área de concentração: Comunicação Óptica no Espaço Livre e Ondas Não Difrativas

Orientador: Prof. Dr. Leonardo André Ambrosio

São Carlos2015

Trata-se da versão corrigida da monografia. A versão original se encontra disponível naEESC/USP que aloja o Curso Engenharia Elétrica - Ênfase em Eletrônica .

AUTORIZO A REPRODUÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO,POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINSDE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Arantes, Pedro Paulo Justino da Silva A662s Sistemas de comunicação óptica no espaço livre

(FSO) com controle de campo através de ondas nãodifrativas / Pedro Paulo Justino da Silva Arantes;orientador Leonardo André Ambrosio. São Carlos, 2015.

Monografia (Graduação em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica) -- Escola de Engenharia de SãoCarlos da Universidade de São Paulo, 2015.

1. Comunicação Óptica no Espaço Livre (FSO). 2. Ondas Eletromagnéticas. 3. Ondas Não Difrativas. 4.Controle de Campo. I. Título.

Este trabalho é para minha mãe, meu pai,minha avó, meus padrinhos e

o meu irmão.

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, por sempre estar ao meu lado em todos os momentos.À minha família: à minha mãe, Regiani, que nunca mediu esforços para me apoiar

continuamente; ao meu pai, Mário, que, mesmo com a distância, sempre me auxiliou; àminha avó, Joaquina, que é a minha segunda mãe; aos meus tios/padrinhos, Janilson eZenaide, que nunca deixaram de me incentivar; ao meu irmão, Leonardo, que é e sempreserá o meu melhor amigo; e a todos os familiares que me apoiaram nesta caminhada.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Leonardo André Ambrosio, pela sua confiança no modoque desenvolvemos esse projeto, assim como a iniciação científica. Pela sua paciênciae contribuições para a minha formação acadêmica e pela sua dedicação em me ajudarsempre que eu preciso.

A todos os professores que auxiliaram na minha formação e me deram uma nova visãodo mundo acadêmico e profissional.

Aos meus colegas de curso, pelos bons momentos que passamos juntos nesses quatroanos, em especial, Augusto Martins, Fábio Billoto, Alexandre Bernardo, Gustavo Oliveira,Leonardo Farçoni, Nícolas Rosa, Plínio Ferreira, Rafael Mariano e a todos os outroscolegas, tanto da Eletrônica quanto da Automação.

Aos membros do grupo de robótica Warthog Robotics, pela boa companhia e compa-nheirismo, sobretudo ao Rafael Lang, pela sua amizade, paciência e confiança nos meustrês anos no grupo.

Aos meus colegas de apartamento, Daniel Araujo, pela sua grande amizade desde oprimeiro ano de faculdade, e Olibário Neto, que foram ao mesmo tempo grandes amigose a minha família em São Carlos.

Finalmente, a todos que contribuíram para a realização desse trabalho.

"Whether you think you can or think you can’t... you are right."(Henry Ford)

"Vença os outros e será forte, vença a si mesmo e será invencível."(Lao-Tsé)

"E Jesus disse: ’se eu posso? Tudo é possível ao que crê.’"(Marcos 9:23)

Resumo

Arantes, Pedro Sistemas de Comunicação Óptica no Espaço Livre (FSO) eControle de Campo através de Ondas Não Difrativas. 67 p. Trabalho de Conclusãode Curso – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2015.

Existe, hoje em dia, uma crescente demanda por maiores taxas de comunicações.Atualmente, os meios de comunicação mais comuns em sistemas de comunicação são fibraóptica e rádiofrequência. Entretanto, existem aplicações, em alguns casos de comunicaçãode curtas distâncias por exemplo, nas quais não é vantajoso utilizá-los. Os sistemasFSO (comunicação óptica no espaço livre, do inglês Free Space Optics Communication)surgem como uma alternativa viável do ponto de vista mecânico, financeiro e técnico.Porém, as FSOs também têm as suas limitações, principalmente por usar a atmosferacomo meio de transmissão. Um dos principais problemas envolve o alargamento espacialgradual (difração) da luz, sendo que uma forma efetiva de minimizá-lo ou contorná-lose dá através do uso de esquemas de controle de campo através de ondas não difrativas.Nesse trabalho, estudou-se como aplicar feixes não difrativos em um enlace FSO paraaumentar a intensidade da onda incidente no receptor, com foco em uma abordagemteórico-numérica. Foram realizadas simulações, com base nas equações demonstradas,utilizando softwares comerciais para validar a teoria e mostrar como o controle de campoatua em um feixe. Por sua vez, para validar os códigos desenvolvidos, as simulações foramreproduzidas a partir de resultados encontradas na literatura.

Palavras-chave: Comunicação Óptica no Espaço Livre. Ondas Eletromagnéticas. Con-trole de Campo. Ondas Não Difrativas..

Abstract

Arantes, Pedro Free Space Optics (FSO) and Field Control by Non-DiffractingBeams. 67 p. Final Paper – São Carlos School of Engineering, University of São Paulo,2015.

There is an increasing demand for higher communications rates. Currently, the mostcommon media in communication systems are optics fibre and radio frequency. However,there are aplications - for example, in near-range communication systems - for whichsuch media may not be the most appropriate choice. FSO systems (Free Space OpticsCommunication) comes to light to make up as interesting and viable alternatives becauseof design procedures related to mechanical, finantial and technical issues. But FSO hasits owns limitations because atmosphere acts as an unbounded transmission medium.One of the main problems concerns the gradual spatial spreading (diffraction) of lightduring propagation, and a way to overcome or minimize it is through the use of a fieldcontrol scheme based on non-diffracting waves. In this work we studied how to applynon-diffracting beams in a FSO link in order to increase the field intensity at the receiver,on the basis of a theoretical-numerical approach. Some simulations are performed usingcommercially available numerical softwares so as to validate the theory and ellucidate howfield control can act on a transmitting wave. Our results are then compared with thoseavailable in the literature.

Keywords: Free-Space Optics Communication. Electromagnetic Waves. Field Control.Non-Diffracting Beams..

Lista de ilustrações

Figura 1 Representação do problema de última milha: alguns prédios não têmacesso ao sistema de rede já instalado e então apela-se ao uso da FSO. 21

Figura 2 Ilustração de uma interação entre dois transceptores. . . . . . . . . . . 22Figura 3 Ilustração de um simples enlace de FSO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 4 Intensidade dos feixes ao longo do eixo 𝑧 no raio=0. A linha contínua

representa o feixe de Bessel e a pontilhada, o gaussiano. . . . . . . . . 26Figura 5 Geometria do elemento óptico que simula uma lente convergente. . . . 26

Figura 6 Representação do plano da superfície e do volume que serão usados naaplicação do Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 7 Representação do plano da abertura e das fontes da formulação daIntegral de Rayleigh-Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 8 Representação das superfícies de integração da Integral de Rayleigh-Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 9 Representação da geometria do sistema em estudo. . . . . . . . . . . . 32Figura 10 Relação entre a fase 𝜑 e o ângulo 𝜃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 11 Relação entre a potência na abertura e a potência no eixo longitudinal. 37

Figura 12 Simulação em 3D de um feixe produzido por uma abertura de raio iguala 5 𝑚𝑚 com um elemento óptico que representa uma lente convergente,cujo foco é igual a 10 𝑚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Figura 13 Níveis de intensidade de um feixe gerado por uma abertura de raio iguala 5 𝑚𝑚 com um elemento óptico que representa uma lente convergente,cujo foco é igual a 10 𝑚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Figura 14 Simulação em 3D de um feixe produzido por uma abertura de raioigual a 10 𝑚𝑚 com um elemento óptico que representa uma lente con-vergente, cujo foco é igual a 10 𝑚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 15 Níveis de intensidade em de um feixe gerado através de uma aberturade raio igual a 10 𝑐𝑚 com um elemento óptico simulando uma lenteconvergente, cujo foco é igual a 10 𝑚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 16 Simulação em 3D de um feixe produzido por uma abertura de raio iguala 5 𝑚𝑚 sem elemento óptico algum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 17 Níveis de intensidade em função de 𝜌 e 𝑧 de um feixe gerado através deuma abertura de raio igual a 5 𝑚𝑚 sem elemento óptico. . . . . . . . . 44

Figura 18 Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por umaabertura sem elemento óptico algum de raio igual a 50 𝑚𝑚. . . . . . . 45

Figura 19 Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxiconlinear de raio igual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚e 750 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 20 Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por umáxicon linear de raio igual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a500 𝑚 e 750 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 21 Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxiconlinear de raio igual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚e 1200 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 22 Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por umáxicon linear de raio igual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 23 Intensidade ao longo do eixo 𝑧 de um feixe (𝜆 = 633 𝑛𝑚) produzidopor um áxicon linear de raio igual a 5 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2

iguais a 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 24 Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon

logarítmico de raio igual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a500 𝑚 e 750 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 25 Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por umáxicon logarítmico de raio igual a 50𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2

iguais a 500 𝑚 e 750 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 26 Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon

logarítmico de raio igual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 27 Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por umáxicon logarítmico de raio igual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2

iguais a 500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 28 Intensidade ao longo do eixo 𝑧 de um feixe (𝜆 = 633 𝑛𝑚) produzido

por um áxicon logarítmico de raio igual a 5 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1

e 𝑑2 iguais a 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚 respectivamente. . . . . . . . . . . . . 51

Sumário

1 Introdução 19

2 Comunicação Óptica no Espaço Livre 212.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Funcionamento de um link FSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Vantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Ondas Não Difrativas: Teoria 273.1 Integral de Difração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Equação de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.3 Integral de Difração de Rayleigh-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . 303.1.4 Aproximação de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.5 Cálculo da Intesidade da Perturbação U . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Função de Fase do Elemento Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1 Relação entre 𝜑 e 𝜃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Relação entre as Potências do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Estudo de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1 Lente Convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.2 Áxicons Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.3 Áxicons Logarítmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Simulações 414.1 Lente Convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Caso 1: R = 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.2 Caso 2: R = 10 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.3 Caso 3: Ausência do Elemento Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Áxicon Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1 Caso 1: Ausência do Elemento Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2 Caso 2: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 750 𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.3 Caso 3: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 1200 𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.4 Caso 4: 𝑑1 = 100 𝑚𝑚 e 𝑑2 = 200 𝑚𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Áxicon Logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1 Caso 1: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 750 𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.2 Caso 2: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 1200 𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.3 Caso 3: 𝑑1 = 100 𝑚𝑚 e 𝑑2 = 200 𝑚𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Conclusões e Diretivas Futuras 53

Referências 55

Apêndices 59

APÊNDICE A Código Matlab: Lente Convergente 61

APÊNDICE B Código Matlab: Áxicon Linear 65

APÊNDICE C Código Matlab: Áxicon Logarítmico 67

19

Capítulo 1Introdução

Desde a antiguidade, o homem se interessa por comunicações ópticas. Na GréciaAntiga, foi inventado um método, criado por Cleoxenus, Democleitus e Polybius, quesinalizava um sistema alfabético codificado através de tochas (Lilley (2014)). Posterior-mente, foram empregados os heliográfos, que usavam a luz do sol refletida em um espelhopara transmitir mensagens. Tal tecnologia foi amplamente usada até o final do séculoXIX e começo do século XX, inclusive em guerras (Sterling (2008)). Já em 1880, GrahamBell anunciou a sua mais importante invenção, o Photophone, que transformava o somem feixes de luz e os transmitia (Carson (2007)).

Atualmente, devido à crescente demanda do aumento da capacidade de transmitirinformações, uma opção seria a comunicação com fibras ópticas, visto que ela é capaz deatender toda a busca por banda larga existente (Kunigonis (2009)). Uma outra alternativaseria comunicação via RF ou micro-ondas, muito difundida hoje em dia. Porém, paraaplicações que necessitam da criação de um enlace em um curto período de tempo epequenas distâncias, tais tecnologias são desvantajosas.

Em vista da limitação citada anteriormente, uma solução que chamou a atenção comouma alternativa para conexões em banda larga para curtas, médias e longas distânciassão as comunicações ópticas no espaço livre ou Free Space Optics Communication, FSO(Dodley et al. (2001)). Essa tecnologia usa a luz para transmitir informações, assim comonas fibras ópticas, mas tem a atmosfera como meio de transmissão. Entretanto, as FSOstambém apresentam desvantagens, como a obstrução do feixe, a difração, a absorção daatmosfera e o espalhamentos dos feixes emitidos (Colvero (2005)).

Sendo assim, o objetivo principal deste trabalho é apresentar uma classe de feixescapazes de contornar o problema da difração, mantendo o seu formato original e anulandoo efeito da difração por distâncias maiores que as convencionais (Ambrosio (2009)). São oschamados Feixes Não Difrativos ou Localizados. Outros objetivos buscados são estudar ofuncionamento de um link FSO e os seus problemas; a teoria, incluindo a base matemática,por trás dos feixes não difrativos; e, por fim, fazer simulações para validar a teoria ecomparar os resultados com a literatura.

20 Capítulo 1. Introdução

O trabalho está dividido em cinco capítulos. No Capítulo 2, Comunicação Óptica noEspaço Livre, é apresentado um breve histórico de FSO, o funcionamento de um link, asvantagens e desvantagens em relação a outros meios de comunicação e uma proposta decomo contornar os problemas abordados com ondas não difrativas e controle de campo.

No Capítulo 3, é provada, quantitativamente, a equação base para realizar todas assimulações deste trabalho. Essa equação contém uma variável que representa um elementoóptico e define o comportamento do feixe ao longo do espaço, a Função de Fase da Lente.Estuda-se como determinar essa função de fase dado um comportamento qualquer dofeixe no espaço, tais como feixes convergentes em um ponto, com amplitude crescente eamplitude constante ao longo do eixo de propagação.

No Capítulo 4, são apresentadas diversas simulações para comparar as característicasde um feixe com e sem o acoplamento de um elemento óptico. Além disso, comparam-seos resultados com a literatura, principalmente com Ambrosio (2009) e Staroński et al.(1992), a fim de validar a teoria desenvolvida no Capítulo 3.

Finalmente, no Capítulo 5, avaliam-se se os objetivos propostos foram atendidos, seos resultados obtidos aperfeiçoariam, de fato, um sistema FSO e se eles estão condizentescom o esperado teórico. Outrossim, são abordados os benefícios e diretivas futuras que arealização do trabalho proporcionou.

21

Capítulo 2Comunicação Óptica no Espaço Livre

2.1 Introdução

Sistemas FSO são geralmente projetados para uso em situações especiais para as quaisos sistemas de fibra óptica e de RF apresentam diversas limitações de projeto, sejam físicas,mecânicas ou financeiras. Uma aplicação comum é na infraestrutura de telecomunicaçõeschamada de última milha. O termo última milha caracteriza o acesso de um cliente finala um provedor de Internet, onde não existe uma rede para interligá-los. Por exemplo, aFigura 1 mostra a situação em que um anel óptico metropolitano está instalado e algunsprédios não têm acesso a ele. Nesse caso, se não existir uma rede instalada entre osedifícios, opta-se pelo uso dos sistemas FSO. Outra possibilidade de uso seria realizar umbackup (redundância do enlace) de um sistema de fibra óptica (Ambrosio (2009)).

Figura 1 – Representação do problema de última milha: alguns prédios não têm acesso ao sistema derede já instalado e então apela-se ao uso da FSO.

Fonte: Gouveia (2007)

22 Capítulo 2. Comunicação Óptica no Espaço Livre

Um exemplo da facilidade e rapidez da instalação de um enlace FSO foi o que aconteceuno dia 11 de Setembro de 2001, quando o World Trade Center desabou. Junto com astorres, alguns sistemas de fibra óptica e radiofrequência foram destruídos, o que afetoua comunicação de várias corporações ao redor dos edifícios. No entanto, segundo Bansal(2002), a comunicação das empresas ao redor foi rapidamente restabelecida porque foramusados links FSOs até a reestruturação completa do backbone.

2.2 Funcionamento de um link FSO

O equipamento básico de um link óptico é o transceptor, que combina um transmissore um receptor (daí o nome transceptor), cujo funcionamento é mostrado na Figura 2.O circuito transmissor converte o sinal elétrico em óptico, que é emitido por um LEDou laser. O feixe passa por um elemento óptico, cuja função é fazer a onda chegar aoreceptor com a maior intensidade possível. O receptor tem uma lente que converge a luzincidente para um fotorreceptor, o qual, combinado com o circuito receptor, trata o sinale o transforma em sinal elétrico novamente (Gouveia (2007)).

Figura 2 – Ilustração de uma interação entre dois transceptores.Fonte: Gouveia (2007)

A Figura 3 mostra todos os elementos de um link de FSO entre dois pontos. Nela hádois lugares elevados sem obstruções ou obstáculos, e um transceptor em cada um deles,que devem estar alinhados para ocorrer a detecção do sinal transmitido.

2.3 Vantagens

A seguir, serão descritas algumas vantagens do uso de um sistema FSO, das quaisalgumas já foram abordadas anteriormente.

o Comunicação de Última Milha;

o Fácil implementação, manipulação e manutenção mecânica;

2.4. Problemas 23

Figura 3 – Ilustração de um simples enlace de FSO.Fonte: Ambrosio (2009)

o Pode ser posicionado atrás de janelas, eliminando a necessidade do alu-guel de coberturas caras;

o Por ser uma comunicação ponto a ponto, não causa interferência emoutros aparelhos e torna a interceptação extremamente difícil;

o Não precisa de obras caras para instalações como a fibra óptica;

o Não requer licença de espectro RF;

o É imune à interferência de frequências de rádio.

2.4 Problemas

Serão expostos alguns dos principais problemas que podem aparecer em um enlaceóptico, os quais, em grande parte, são fatores incontroláveis da atmosfera. Depois, seráanalisada uma maneira de corrigi-los ou minimizá-los.

o Absorção: moléculas ou partículas suspensas absorvem parte da energia do feixe nocaminho entre o emissor e o receptor. A absorção molecular vem do fato de moléculasconsumirem parte da energia do feixe quando a sua frequência e a frequência deressonância das moléculas forem muito próximas (Young (1980)). A absorção porpartículas acontece quando há a presença de partículas minúsculas em suspensão(líquidos ou sólidos), tais como neblina ou poeira, no espaço onde está instalado oenlace óptico.

o Espalhamento: O espalhamento ocorre quando as ondas colidem com partículasdispersas no ar. Diferentemente da absorção, no espalhamento não há a perdade energia, mas sim uma mudança na direção de partes do feixe após as colisões,


que podem provocar uma perda significativa na intensidade dos raios por longasdistâncias.

O tamanho físico do espalhador determina o espalhamento. Quando o dispersor émenor que o comprimento de onda, ocorre o espalhamento Rayleigh. É por causadesse espalhamento que o céu é azul (Young (1982)), pois as ondas ultravioletas (corazul) têm o menor comprimento de onda. Quando o comprimento de onda tem otamanho comparável com a partícula, tem-se o espalhamento Mie (Cox, DeWeerde Linden (2002). Por fim, se o dispersor for maior, ocorre o espalhamento nãoseletivo.

o Cintilação da Temperatura do Ar: gradientes de temperatura na atmosfera quevariam constantemente, juntamente com a variação da pressão, criam bolhas de arque distorcem o caminho do feixe, cujo resultado são flutuações da posição do feixeincidente no receptor (Osorio (2005)).

o Movimentação dos Prédios: movimentos dos prédios causados por ventos fortese vibrações mecânicas podem desalinhar os transceptores de um enlace e interrom-per a comunicação. Segundo Graves e Drenker (2002), uma rotação de 0, 5∘ daestrutura que suporta o transmissor pode causar um deslocamento de até 10 𝑚

do feixe em relação à superfície alvo, o suficiente para inviabilizar a comunicação.Uma maneira de contornar o problema seria criar um loop de controle que faça ospróprios transceptores se auto alinharem continuamente, chamado de Mecanismode Alinhamento Ativo (Active Beam Tracking) (Coelho (2008)).

o Ruído Solar: a luz solar, quando incidida diretamente, pode causar interferênciase prejudicar o funcionamento do sistema. Faz-se necessário, pois, levar em contao alinhamento do enlace de tal forma que não haja incidência direta da luz solarnos receptores (Aleixo (2013)). O efeito é aumentado se a onda incidir no receptorcom baixa intensidade, diminuindo a relação sinal/ruído do sistema e aumentandoa interferência solar.

o Segurança dos Olhos: enlaces que porventura operam a uma densidade de potên-cia acima da permitida podem danificar a retina caso o indivíduo olhe diretamentepara a fonte transmissora. Em vista disso, os sistemas FSO devem ser bem proje-tados de acordo com normas específicas [Commission et al. (1998)].

Em vista dos problemas citados, conclui-se que uma solução seria aumentar a inten-sidade do feixe, pois amplia a relação sinal/ruído causado pelo ruído solar ou outrasfontes, compensa perda de potência provocada pela absorção, espalhamento e ate-nuação, e pode-se aumentar a tolerância do alinhamento no movimento natural dosprédios. Porém, os problemas relativos à segurança ocular e ao gasto de energia sãoampliados com essa escolha.

2.5. Solução 25

Sendo assim, uma alternativa viável, proposta deste trabalho, é aumentar a potência dofeixe incidente, mais precisamente na região espacial do receptor, adicionando controle decampo na fonte. Controle de campo direciona a energia da fonte no volume do espaço ondeo receptor está fixado. Além disso, diminui-se a intensidade do feixe nas outras regiões,minimizando os problemas relativos à segurança dos olhos e ao gasto de energia.

2.5 Solução

A difração é um fenômeno que está presente na propagação de ondas eletromagnéticase afeta o seu formato inicial (Dartora et al. (2009)). Mais precisamente, ela produz umalargamento espacial gradativo nas ondas. Um exemplo claro é quando aponta-se umsimples laser para uma superfície. Quando ele está próximo, pode-se notar que a imagemé um círculo pequeno com o brilho altao Quando ele é afastado, o mesmo círculo aumentade tamanho e o brilho da luz diminui.

A solução proposta é, portanto, adotar uma classe de feixes chamados de feixes nãodifrativos. Nesta classe de feixes, os efeitos da difração, embora continuem presentes, sãoagora compensados ou minimizados, em regiões específicas e pré-determinadas do espaço,através do redirecionamento adequado de energia, seja pela introdução de elementos óp-ticos simples diretamente na fonte, seja pelo uso de técnicas mais avançadas como, porexemplo, matrizes holográficas computacionais. Devido às dimensões finitas da fonte, oque leva a uma limitação de energia, existe na prática uma distância máxima a partir daqual o caráter não difrativo do feixe não é mais observado. A partir dessa distância, ofeixe passa a sofrer os efeitos da difração mais acentuadamente, como um feixe difrativousual (Hernández-Figueroa, Zamboni-Rached e Recami (2013, Cap 5)).

Como exemplo clássico de feixes não difrativos, tem-se os feixes de Bessel 1. EmDurnin, Jr e Eberly (1987), comparou-se a propagação de um feixe gaussiano convencionale um de Bessel e mostrou-se que o último mantém a sua localização transversal por umadistância 28 vezes maior que um feixe gaussiano convencional. A Figura 4, reproduzidaa partir do trabalho de Durnin, mostra a intensidade dos feixes de Bessel e gaussiano emfunção da distância 𝑧.

O resultado acima mostrou que a profundidade do feixe de Bessel foi de 1, 05 𝑚,cujo valor não é suficiente para aplicações em FSO. Por conta disso, uma outra classede feixes não difrativos interessantes para aplicações em FSO são os chamados FeixesNão Difrativos para Longas Distâncias (Nondiffrating Light Beams For Long Ranges).Segundo Aruga e Kunimori (2004), tais feixes podem se propagar por distâncias de 100 𝑚até 10 𝑘𝑚 ou mais, dependendo do diâmetro da abertura da fonte. Em 2006, um grupode pesquisadores de Munique implementou um enlace de 144 𝑘𝑚 (Fürst et al. (2006)).

1O nome Feixes de Bessel vem da abertura apresentar um padrão de intensidade radial igual à Funçãode Bessel.


Figura 4 – Intensidade dos feixes ao longo do eixo z no raio=0. A linha contínua representa o feixe deBessel e a pontilhada, o gaussiano.

A geração de um feixe de Bessel (ou outros feixes não difrativos) é feita, de forma maissimples, por elementos ópticos chamados áxicons, propostos por McLeod (1954). Taislentes alteram a distribuição espacial da onda incidente (por exemplo, uma onda plana)através de seu perfil geométrico cônico. Existem outros elementos ópticos que direcionamos feixes de acordo com as suas propriedades, tais como, as lentes convergentes. Comopode ser visto na Figura 5, ela direciona os raios da onda incidente para um ponto a umadistância 𝑓 , chamado foco.

Figura 5 – Geometria do elemento óptico que simula uma lente convergente.Fonte: http://www.antonine-education.co.uk/Pages/Physics_5_Options/Astrophysics/AST_01/

Astrophysics_page_1.htm. Acesso: 15/03/2015 às 08:10

Um estudo sobre os elementos ópticos é feito no próximo capítulo, Capítulo 3, emespecial sobre lentes que produzem feixes não difrativos para longas distâncias com perfisespecíficos que sejam adequados para aplicações em sistemas FSOs.

http://www.antonine-education.co.uk/Pages/Physics_5_Options/Astrophysics/AST_01/Astrophysics_page_1.htm

http://www.antonine-education.co.uk/Pages/Physics_5_Options/Astrophysics/AST_01/Astrophysics_page_1.htm

27

Capítulo 3Ondas Não Difrativas: Teoria

Neste capítulo, é demonstrada a expressão base usada em todas as simulações destetrabalho. A integral de Huygens–Fresnel fornece os valores da intensidade no espaço deuma onda dada a sua configuração inicial em uma certa abertura (Klein e Furtak (1986)).A integral, apresentada em Ambrosio et al. (2007) e na maioria das referências, é dadapor

𝐼(𝑟′, 𝑧) =(𝑘

𝑧

)2

𝜌∫𝜌𝑜

exp{𝑗

[𝑘𝑟2

2𝑧 + 𝜑(𝑟)]}𝐽0

(𝑘𝑟𝑟′

𝑧

)𝑟𝑑𝑟

2

. (1)

Além de provar a eq. (1) na Seção 3.1, exploram-se as propriedades da função de fase𝜑(𝑟) na Seção 3.2 e algumas aplicações específicas na Seção 3.3, que são os estudos decasos de lentes convergentes, áxicons lineares e logarítmicos.

3.1 Integral de Difração

De acordo com o princípio de Huygens, Huygens e Blay (1920), para calcular a in-tensidade de um ponto específico de um feixe em um instante, é necessário tomá-lo emum instante anterior e considerar a influência das ondas secundárias emitidas por outrospontos; o valor obtido é o resultado da interferência entre essas ondas secundárias. Oprincípio de Huygens foi, posteriormente, modificado por Fresnel, quem propôs que asondas secundárias não têm a mesma intensidade em qualquer direção, mas são mais for-tes na direção original de propagação e se anulam na direção perpendicular. Isso ficouconhecido como princípio de Huygens-Fresnel.

Na abertura, considera-se no cálculo apenas os pontos desobstruídos, ou seja, queo feixe propaga-se livremente até o observador. O desvio da luz, devido às bordas doobstáculo ou da abertura, causa a difração dos raios, e torna-se mais evidente quando asdimensões da abertura são da ordem do comprimento de onda (Barbosa et al. (2012)).

28 Capítulo 3. Ondas Não Difrativas: Teoria

O objetivo dessa seção é determinar uma equação, chamada de Integral de Difração,que fornece o valor do campo eletromagnético em qualquer ponto do espaço em funçãodos valores da onda em uma abertura considerando o fenômeno da difração.

3.1.1 Equação de Helmholtz

A Equação de Onda Homogênea de uma função escalar 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧; 𝑡), definida em coor-denadas cartesianas, é dada por

(𝜕2

𝜕𝑥2 + 𝜕2

𝜕𝑦2 + 𝜕2

𝜕𝑧2 − 1𝑐2𝜕2

𝜕𝑡2

)𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧; 𝑡) = 0. (2)

Define-se o comportamento de uma onda monocromática em função do ponto 𝑃 =(𝑥, 𝑦, 𝑧) e do tempo 𝑡 de acordo com

𝜓(𝑃, 𝑡) = 𝐴(𝑃 ) cos(𝜔𝑡− 𝜑′(𝑃 )), (3)

onde 𝐴(𝑃 ) e 𝜑′(𝑃 ) representam a amplitude e a fase da onda no ponto 𝑃 . A notaçãocomplexa da eq. (3) é

𝜓(𝑃, 𝑡) = 𝑅𝑒{Ψ(𝑃 )}, (4)

onde 𝑅𝑒{} significa a parte real da expressão e Ψ(𝑃 ) o fasor, ou função complexa da ondada eq. (3), que é dado por

Ψ(𝑃 ) = 𝐴(𝑃 ) exp(−𝑗𝜑′(𝑃 )) (5)

A eq. (5) descreve adequadamente o comportamento de uma onda monocromática,desde que a função temporal seja previamente conhecida. Substituindo a eq. (4) naeq. (2) e usando a forma fasorial, chega-se a

(∇2 + 𝑘2

)Ψ(𝑃 ) = 0 (6)

onde 𝑘 = 𝜔

𝑐é chamado de Número de Onda, 𝜔 é a velocidade angular da onda e 𝑐 é

a velocidade da luz no vácuo. A eq. (6) é chamada de Equação de Helmholtz.

3.1.2 Teorema de Green

Será usado, como base para as próximas seções, o Teorema de Green (Green (1889)),enunciado a seguir. Este teorema auxilará no cálculo da perturbação 𝑈 em qualquerponto de espaço.

3.1. Integral de Difração 29

Teorema 1 Teorema de Green: sejam U(P) e G(P) duas funções complexas de posição,e seja S uma superfície que envolve um volume V. Se G e U e as suas derivadas primeirae segunda forem singulares e contínuas dentro e em S, então tem-se:∫∫∫

𝑉(𝑈∇2𝐺−𝐺∇2𝑈)𝑑𝑉 =

∫∫𝑆

(𝑈𝜕𝐺

𝜕𝑛−𝐺

𝜕𝑈

𝜕𝑛

)𝑑𝑆 (7)

onde 𝜕𝜕𝑛

significa a derivada parcial no sentido para fora da normal de cada ponto em S.

Este teorema é a base de toda teoria de difração. Entretanto, a escolha da funçãoauxiliar 𝐺(𝑃 ) e da superfície 𝑆 é fundamental para a aplicação direta nos problemas dedifração.

A função 𝐺(𝑃 ) é conhecida como função de Green do problema, equação chave nadeterminação das integrais de difração. Várias soluções dos problemas de difração sãoobtidas através de diferentes suposições da função 𝐺(𝑃 ) (Goodman (2008, Cap 3)). Noentanto, ela deve ser escolhida de tal forma que simplifique o problema e satisfaça ascondições impostas no Teorema 1.

Para finalizar o Teorema de Green aplicado à difração, analisa-se a superfície e ovolume nos quais a eq. (7) é aplicada. A superfície 𝑆 ′ e o volume 𝑉 ′ são mostradosna Figura 6. Uma superfície esférica 𝑆𝜖 de raio 𝜖 é adicionada para evitar quaisquerdescontinuidades no ponto 𝑃0. A superfície 𝑆 ′ é dada, portanto, por

𝑆 ′ = 𝑆 + 𝑆𝜖 (8)

Figura 6 – Representação do plano da superfície e do volume que serão usados na aplicação do Teoremade Green.

Fonte: Goodman (2008, Cap 3)

Dentro do volume 𝑉 ′, impõe-se que a função auxiliar 𝐺(𝑃 ) satisfaça a eq. (6), o queleva à eq. (9)

(∇2 + 𝑘2

)𝐺(𝑃 ) = 0. (9)


Substituindo eq. (9) no lado esquerdo da eq. (7), tem-se 1

∫∫∫𝑉 ′

(𝑈∇2𝐺−𝐺∇2𝑈)𝑑𝑉 ′ = −∫∫∫

𝑉 ′(𝑈𝐺𝑘2 −𝐺𝑈𝑘2)𝑑𝑉 ′ = 0, (10)

a qual, substituindo na eq. (7), reduz o Teorema de Green à sua forma final na Teoria daDifração:

∫∫𝑆′

(𝑈𝜕𝐺

𝜕𝑛−𝐺

𝜕𝑈

𝜕𝑛

)𝑑𝑆 ′ = 0,

∫∫𝑆

(𝑈𝜕𝐺

𝜕𝑛−𝐺

𝜕𝑈

𝜕𝑛

)𝑑𝑆 = −

∫∫𝑆𝜖

(𝑈𝜕𝐺

𝜕𝑛−𝐺

𝜕𝑈

𝜕𝑛

)𝑑𝑆𝜖. (11)

3.1.3 Integral de Difração de Rayleigh-Sommerfeld

A equação auxiliar 𝐺(𝑃 ) escolhida em Arnoldus (2001) é dada pela eq. (12). Ela supõeque a função de Green é gerada por dois pontos, simétricos em relação a um plano, comomostra a Figura 7. O ponto 𝑃0 e o ponto 𝑃0 têm o mesmo comprimento de onda e estãooscilando com 180∘ de defasagem.

𝐺−(𝑃0) = exp(𝑗𝑘𝑟01)𝑟01

− exp(𝑗𝑘𝑟01)𝑟01

(12)

Figura 7 – Representação do plano da abertura e das fontes da formulação da Integral deRayleigh-Sommerfeld.

Fonte: Goodman (2008, Cap 3)

A derivada 𝜕𝐺−

𝜕𝑛(𝑃 ), exceto nos pontos 𝑃0 e 𝑃0, é dada por

𝜕𝐺−

𝜕𝑛(𝑃 ) = − cos(��, 𝑟01)

(−𝑗𝑘 + 1

𝑟01

) exp(𝑗𝑘𝑟01)𝑟01

+ cos(��, 𝑟01)(

−𝑗𝑘 + 1𝑟01


.

(13)

1A perturbação 𝑈(𝑃 ), por se tratar de uma onda, também a satisfaz a eq. (6), Equação de Helmholtz.


Finalmente, estuda-se o comportamento da onda em três superfícies que compõem assuperfícies de integração da eq. (11), mostradas na Figura 8. A primeira delas é a 𝑆𝜖,esfera de raio 𝑅𝜖, cujo centro é o ponto 𝑃0. A segunda, 𝑆2, é dada por uma esfera de raio𝑅, centrada em 𝑃0 e limitada pelo plano da abertura. Por fim, a superfície 𝑆1 é a queestá contido o plano da abertura e a abertura Σ.

Figura 8 – Representação das superfícies de integração da Integral de Rayleigh-Sommerfeld.Fonte: Goodman (2008, Cap 3)

Na superfície 𝑆𝜖, conforme 𝑅𝜖 → 0, a função 𝑈(𝑃 ) e a sua derivada 𝜕𝑈(𝑃 )𝜕𝑛

se tornamconstantes e tendem a 𝑈(𝑃0) e 𝜕𝑈(𝑃0)

𝜕𝑛respectivamente. Substituindo as eq. (12) e eq. (13)

no lado direito da eq. (11) e aplicando o limite com 𝑅𝜖 → 0, tem-se:

lim𝑅𝜖→0

∫∫𝑆𝜖

(𝑈𝜕𝐺

𝜕𝑛−𝐺

𝜕𝑈

𝜕𝑛

)𝑑𝑆 = lim

𝑅𝜖→04𝜋𝑅2

𝜖

(𝑈(𝑃0)

𝜕𝐺−

𝜕𝑛(𝑃𝜖)

)= −4𝜋𝑈(𝑃0) (14)

Substituindo a eq. (14) na eq. (11), chega-se à seguinte expressão

𝑈(𝑃0) = 14𝜋

∫∫𝑆1+𝑆2

(𝑈𝜕𝐺−

𝜕𝑛−𝐺−

𝜕𝑈

𝜕𝑛

)𝑑𝑆 (15)

Com o resultado acima, a intensidade no ponto 𝑃0 é determinada em função apenasdas superfícies 𝑆1 e 𝑆2. Em Schot (1992), é apresentada a condição de radiação deSommerfeld, que garante o desaparecimento da onda 𝑈 na superfície 𝑆2 quando o raio 𝑅tende ao infinito. Com este resultado em mãos, infere-se que a contribuição de 𝑆2 é nulana eq. (15) e acarreta na determinação de 𝑈(𝑃0) apenas em função da superfície 𝑆1, comomostra a eq. (16) abaixo.

𝑈(𝑃0) = 14𝜋

∫∫𝑆1

(𝑈𝜕𝐺−

𝜕𝑛−𝐺−

𝜕𝑈

𝜕𝑛

)𝑑𝑆 (16)

Na superfície 𝑆1, para qualquer 𝑃1


𝑟01 = 𝑟01

cos(��, 𝑟01) = − cos(��, 𝑟01),

que resulta em

𝐺−(𝑃0) = exp(𝑗𝑘𝑟01)𝑟01

− exp(𝑗𝑘𝑟01)𝑟01

= 0; (17)

𝜕𝐺−

𝜕𝑛(𝑃1) = −2 cos(��, 𝑟01)

(−𝑗𝑘 + 1

𝑟01


. (18)

Para 𝑟01 ≫ 𝜆, onde 𝜆 é o comprimento de onda, o segundo termo acima pode serdescartado, o que leva a

𝜕𝐺−

𝜕𝑛(𝑃1) = 2𝑗𝑘 cos(��, 𝑟01)

exp(𝑗𝑘𝑟01)𝑟01

. (19)

Com este resultado, e observando que a contribuição de 𝑆1 é feita somente pela aber-tura Σ, chega-se à forma mais explicita do princípio de Huygens-Fresnel para coordenadascilíndricas ou primeira solução de Rayleigh-Sommerfeld:

𝑈𝐼(𝑃0) = 1𝑗𝜆

∫∫Σ

𝑈(𝑃1)exp(𝑗𝑘𝑟01)

𝑟01cos(��, 𝑟01)𝑑𝑠. (20)

O termo cos(��, 𝑟01), representado pelo cos(𝜃) na Figura 9, é dado por 𝑧

𝑟01e leva a

eq. (20) ser reescrita por

𝑈𝐼(𝑃0) = 𝑧

𝑗𝜆

∫∫Σ

𝑈(𝑃1)exp(𝑗𝑘𝑟01)

𝑟201

𝑑𝑠 (21)

Figura 9 – Representação da geometria do sistema em estudo.Fonte: Goodman (2008, Cap 3)

e onde 𝑟01 é dado exatamente por

𝑟01 =√𝑧2 + (𝑥− 𝜉)2 + (𝑦 − 𝜂)2 (22)


3.1.4 Aproximação de Fresnel

O objetivo dessa aproximação é simplificar a eq. (21) de tal forma que fique mais fácile rápido usar cálculos computacionais. A primeira aproximação foi feita na distância 𝑟01,distância entre 𝑃 (0) e 𝑃 (1), com o auxílio da expansão binomial. Seja uma expressãodada por

√1 + 𝑏 e 1 ≫ 𝑏. A expansão binomial dessa expressão é dada por

√1 + 𝑏 = 1 + 1

2𝑏+ 18𝑏

2 + . . . (23)

Colocando o termo 𝑧2 em evidência da eq. (22) e aplicando a expansão binomial atéo termo linear (os termos de ordem maior ou igual a dois são desprezados), chega-se aoseguinte resultado:

𝑟01 ≈ 𝑧

⎡⎣1 + 12

(𝑥− 𝜉

𝑧

)2

+ 12

(𝑦 − 𝜂

𝑧

)2⎤⎦ . (24)

Um outro ponto a ser questionado é se os termos quadráticos da eq. (24) podem,também, ser ignorados. Em Goodman (2008, Cap 4), os erros introduzidos ao retirartodos os termos exceto o 𝑧 é pequeno quando 𝑟2

01 está no denominador da equação, ouseja, quando ele afeta somente a amplitude. Por outro lado, quando a distância 𝑟01

está no expoente e interfere na fase da onda, o erro não pode ser descartado, pois ele émultiplicado pelo número de onda 𝑘, que pode ser maior que 107 para a luz no espectrovisível. Portanto, uma pequena variação da distância pode acarretar em uma grandevariação de fase. Deste modo, os termos quadráticos são mantidos no expoente e aeq. (21) torna-se

𝑈𝐼(𝑃0) = 𝑒𝑗𝑘𝑧

𝑗𝜆𝑧

∫∫Σ

𝑈(𝜉, 𝜂) exp{𝑗𝑘

2𝑧[(𝑥− 𝜉)2 + (𝑦 − 𝜂)2

]}𝑑𝜉𝑑𝜂. (25)

Expandindo os termos da eq. (25), chega-se à outra forma da integral, que é dada por:

𝑈𝐼(𝑃0) = 𝑒𝑗𝑘𝑧

𝑗𝜆𝑧𝑒𝑗 𝑘

2𝑧 (𝑥2+𝑦2)∫∫Σ

{𝑈(𝜉, 𝜂)𝑒𝑗 𝑘

2𝑧 (𝜉2+𝜂2)}𝑒−𝑗 𝑘

𝑧(𝑥𝜉+𝑦𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂. (26)

As duas equações acima, eqs. (25) e (26), são conhecidas por Integral de Difração deFresnel. Quando elas são válidas, o ponto 𝑃0 diz-se estar na Região de Difração de Fresnelou na região de campo distante.

3.1.5 Cálculo da Intesidade da Perturbação U

É muito comum determinar as características de propagação do campo elétrico oumagnético no espaço através da intensidade. Isso se deve, principalmente, ao fato deque os fotorreceptores respondem proporcionalmente à intensidade do campo incidente


(Keiser (1983)). Para uma perturbação representada por um fasor 𝑈 , a intensidade édefinida por

𝐼(𝑃 ) = |𝑈(𝑃 )|2 . (27)

Antes de prosseguir com o cálculo da intensidade da perturbação, serão feitas algumasconsiderações para simplificar ainda mais a eq. (26). São elas: Passar as coordenadasda fonte de cartesianas para polar; passar, também, as coordenadas do ponto𝑃0 para polar e supor que a fonte produz um padrão de onda com simetriaradial.

o Passar as coordenadas da fonte e do ponto 𝑃0 de cartesianas para o sis-tema de coordenadas polares

Para passar as coordenadas da fonte e do ponto 𝑃0 de cartesianas para polar, ascondições abaixo são adotadas:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝜉 = 𝑟 cos(𝜃𝜉𝜂)

𝜂 = 𝑟 sin(𝜃𝜉𝜂)

𝑑𝜉𝑑𝜂 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝜉𝜂

Com as igualdades acima, a eq. (26) é, agora, dada por

𝑈𝐼(𝑃0) = 𝑒𝑗𝑘𝑧𝑒𝑗 𝑘2𝑧 (𝑥2+𝑦2)𝑗𝜆𝑧

𝜌∫𝜌𝑜

𝜋∫−𝜋

{𝑈(𝜉, 𝜂)𝑒𝑗 𝑘𝑟2

2𝑧

}𝑒−𝑗 𝑘𝑟

𝑧 (𝑥 cos(𝜃𝜉𝜂)+𝑦 sin(𝜃𝜉𝜂))𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝜉𝜂. (28)

Nota-se que o limite de integração radial inferior tem 𝜌𝑜 para adicionar um possívelbloqueio de raio 𝜌𝑜 centralizado no meio da fonte.

o Passar as coordenadas do ponto 𝑃0 de cartesianas para polar

Para passar as coordenadas do ponto que deseja-se calcular o campo de cartesianaspara polar, as condições abaixo são adotadas:

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥 = 𝑟′ cos(𝜃𝑥𝑦)

𝑦 = 𝑟′ sin(𝜃𝑥𝑦)

Substituindo as igualdade acima na Equação eq. (28), chega-se ao seguinte resultado:

𝑈𝐼(𝑃0) = 𝑒𝑗𝑘𝑧𝑒𝑗𝑘(𝑟′)2

2𝑧

𝑗𝜆𝑧

𝜌∫𝜌𝑜

𝜋∫−𝜋

{𝑈(𝑟, 𝜃𝜉𝜂)𝑒𝑗 𝑘𝑟2

2𝑧

}𝑒−𝑗 𝑘𝑟𝑟′

𝑧cos(𝜃𝜉𝜂−𝜃𝑥𝑦)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝜉𝜂. (29)

3.2. Função de Fase do Elemento Óptico 35

o Supor que a fonte produz um padrão de onda com simetria radial

Admitindo que a fonte tem simetria radial e que a sua amplitude máxima é unitária,𝑈(𝑟, 𝜃𝜉𝜂), na forma fasorial, é dado por

𝑈(𝑟, 𝜃𝜉𝜂) = 𝑈(𝑟) = 𝑒𝑗𝑘𝜑(𝑟), (30)

onde 𝜑(𝑟) é chamado de Função de Fase da Lente (Ambrosio, Zamboni-Rached eHernandez-Figueroa (2011)).

Com isso, é possível ver que somente a última exponencial da eq. (29) depende davariável angular de integração. Substituindo a eq. (30) na eq. (29), tem-se:

𝑈𝐼(𝑟′, 𝑧) = 𝑒𝑗𝑘𝑧𝑒𝑗𝑘(𝑟′)2

2𝑧

𝑗𝜆𝑧

𝜌∫𝜌𝑜

𝑒𝑗

[𝑘𝑟22𝑧

+𝜑(𝑟)] ⎡⎣ 𝜋∫

−𝜋

𝑒−𝑗 𝑘𝑟𝑟′𝑧

cos(𝜃𝜉𝜂−𝜃𝑥𝑦)𝑑𝜃𝜉𝜂

⎤⎦ 𝑟𝑑𝑟. (31)

De Temme (2011), nota-se que a integral entre colchetes da eq. (31) define umafunção de Bessel de ordem zero. Em vista disto, chega-se ao seguinte resultado:

𝑈𝐼(𝑟′, 𝑧) = 2𝜋𝑒𝑗𝑘𝑧𝑒𝑗

𝑘(𝑟′)22𝑧

𝑗𝜆𝑧

𝜌∫𝜌𝑜

exp{𝑗

[𝑘𝑟2

2𝑧 + 𝜑(𝑟)]}𝐽0

(𝑘𝑟𝑟′

𝑧

)𝑟𝑑𝑟. (32)

Finalmente, substituindo a eq. (32) na eq. (27), chega-se à eq. (1), que é um dosobjetivos deste capítulo.

A eq. (1) apresenta todos os termos e variáveis já determinados, exceto a função de fase𝜑(𝑟), que é a função fundamental do comportamento da intensidade da onda no espaço.

3.2 Função de Fase do Elemento Óptico

Nesta seção, aborda-se como a função de fase do elemento óptico, definida como afunção 𝜑(𝑟) da eq. (30), interfere no padrão de onda no espaço. Em outras palavras,como determinar a função 𝜑(𝑟) para se obter um padrão de onda desejado.

3.2.1 Relação entre 𝜑 e 𝜃

Seja o sistema óptico mostrado na Figura 10 abaixo. Supõe-se que o ponto 𝐶 está auma distância 𝑟 da origem e que a distância 𝐵𝐶 seja uma variação 𝑑𝑟. Admite-se queo ponto 𝐵 emite um feixe que passa pelo ponto 𝐴 e cujo ângulo em relação ao eixo 𝑧 é𝜃. Nota-se que o vetor de onda do feixe tem a mesma direção da reta que passa por 𝐵𝐴.Considerando que a reta 𝐴𝐶 é perpendicular ao vetor de onda do feixe, conclui-se que ospontos 𝐴 e 𝐶 possuem a mesma fase.


Figura 10 – Relação entre a fase 𝜑 e o ângulo 𝜃.Fonte: Sochacki et al. (1992)

A diferença de fase entre os pontos 𝐵 e 𝐶 é dada por 𝑘𝑑𝜑(𝑟), onde 𝑑𝜑(𝑟) é a variaçãoda função de fase causada por 𝑑𝑟. Como os pontos 𝐴 e 𝐶 devem ter a mesma fase, avariação de fase entre 𝐵 e 𝐴 deve ser −𝑘𝑑𝜑(𝑟). Assim, a distância 𝐵𝐴 é dada por −𝜑(𝑟).

É fácil notar que o ângulo 𝐴𝐶𝐵 é igual ao ângulo 𝜃, o que nos leva à seguinte relação,que pode ser encontrada em Sochacki et al. (1992):

sin 𝜃 = 𝐴𝐵

𝐵𝐶= −𝑑𝜑(𝑟)

𝑑𝑟(33)

Reescrevendo de outra forma, determina-se a relação entre 𝜑 e 𝜃 na forma diferencialpela eq. (34) e na forma integral pela eq. (35).

𝑑𝜑(𝑟)𝑑𝑟

= − sin 𝜃 = − 𝑟√𝑟2 + 𝑧(𝑟)2

(34)

𝜑(𝑟) = −∫ 𝑟√

𝑟2 + 𝑧(𝑟)2𝑑𝑟 (35)

Vale ressaltar que, se 𝑧 ≪ 𝑅, ou seja, se o ângulo 𝜃 for muito pequeno, pode-se fazera aproximação mostrada na eq. (36) para tornar o cálculo da função de fase mais fácil(Jaroszewicz e Morales (1998)).

𝑑𝜑(𝑟)𝑑𝑟

= − sin 𝜃 ≃ − tan 𝜃 = − 𝑟

𝑧(𝑟) (36)

Tem-se uma nova variável na função de fase, que é o 𝑧(𝑟), a distância entre a origem eo ponto onde o feixe emitido a uma distância 𝑟 na abertura encontra o eixo longitudinal.Essa variável será determinada no próximo tópico, que discute como as potências dosistema estão relacionadas.

3.2. Função de Fase do Elemento Óptico 37

3.2.2 Relação entre as Potências do Sistema

O primeiro passo é determinar a relação entre distribuição da potência do feixe naabertura com a distribuição no eixo longitudinal. Para isso, usa-se a aproximação deóptica geométrica e a Lei da Conservação de Energia.

Seja a Figura 11, que representa uma onda plana incidindo em um elemento de faseóptico com simetria radial e raio 𝑅 e centrada no eixo longitudinal. A onda que incide étal que a intensidade da luz entre os pontos 𝑑1 e 𝑑2 tem uma amplitude considerável.

Figura 11 – Relação entre a potência na abertura e a potência no eixo longitudinal.Fonte: Sochacki et al. (1992)

Admite-se que todo ponto da circunferência de raio 𝑟 na abertura emite um feixe quecruza o eixo z a uma distância 𝑧 em relação à origem. Da mesma forma, os pontos comdistância 𝑟 + 𝑑𝑟 da origem na abertura emitem um feixe que atinge o eixo longitudinal auma distância 𝑧 + 𝑑𝑧. Considerando as perdas desprezíveis até uma distância máxima 𝑑2

em 𝑧, a energia do anel 𝑑𝑟 deve ser a mesma no segmento de reta 𝑑𝑧. Assim, escreve-sea relação de potências por

2𝜋𝑃𝜎(𝑟)𝑟𝑑𝑟 = 𝑃𝑧(𝑧)𝑑𝑧, (37)

onde 𝑃𝜎(𝑟)[𝑚2] é a distribuição de potência por unidade de área na abertura e 𝑃𝑧(𝑧)[𝑚],a distribuição linear de potência no eixo 𝑧 entre as distâncias 𝑑1 e 𝑑2.

Reescrevendo a eq. (37) na forma de integral, chega-se ao seguinte resultado:

2𝜋∫ 𝑟

𝜌𝑜

𝑃𝜎(𝑟)𝑟𝑑𝑟 =∫ 𝑧(𝑟)

𝑑1𝑃𝑧(𝑧)𝑑𝑧 (38)

onde 𝜌𝑜 faz o papel de um possível bloqueio no elemento óptico de raio 𝜌𝑜 centrado noeixo longitudinal.

Na eq. (38), a distância 𝑧(𝑟), que era uma incógnita, é determinada em função doraio estipulado no limite superior da primeira integral. Em outras palavras, escolhe-se


um valor de 𝑟 na abertura e encontra-se o valor de 𝑧(𝑟) que iguale a energia da aberturaentre 𝜌𝑜 e 𝑟 < 𝑅 e do eixo 𝑧 entre 𝑑1 e 𝑧(𝑟) em função das densidades de potência.

3.3 Estudo de Casos

Nesta seção, estuda-se a função 𝜑(𝑟) de três lentes diferentes: lente convergente, áxiconlinear e áxicon logarítmico. Para todos os casos, a amplitude na entrada, 𝑃𝜎, é constante.

3.3.1 Lente Convergente

Os raios que passam por uma lente convergente cortam o eixo 𝑧 no foco, como mostraa Figura 5. Um elemento óptico que simulará uma lente convergente deve, portanto, tera mesma propriedade.

Em vista disso, pode-se, facilmente, determinar a função de fase da lente convergente,uma vez que o termo 𝑧(𝑟) da eq. (35) é constante. Assim, 𝜑𝑐(𝑟) é dada por (Buralli,Morris e Rogers (1989)):

𝜑𝑐(𝑟) = −∫ 𝑟√

𝑟2 + 𝑓 2𝑑𝑟 = −√𝑟2 + 𝑓 2 (39)

3.3.2 Áxicons Lineares

Áxicons lineares são elementos ópticos projetados para que a potência do feixe aumentecom a distância ao longo do eixo longitudinal.

Supondo, portanto, entrada com amplitude uniforme e potência crescente ao longodo eixo 𝑧, pode-se equacionar a relação de potência de um áxicon linear de acordo comeq. (40) abaixo ao considerar 𝑃𝜎(𝑟) da eq. (38) constante e 𝑃𝑧(𝑧) = 𝑐𝑧𝑧, onde 𝑐𝑧 é umaconstante.

2𝜋𝑃𝜎(𝑟)∫ 𝑟

𝜌𝑜

𝑟𝑑𝑟 = 𝑐𝑧

∫ 𝑧(𝑟)

𝑑1𝑧𝑑𝑧 (40)

Efetuando a integração, determina-se a distância 𝑧(𝑟) para o cálculo da função 𝜑(𝑟),como mostra a equação

𝑧(𝑟) =√

2𝑐𝑧

𝜋𝑃𝜎 (𝑟2 − 𝜌2𝑜) + 𝑑2

1 (41)

A relação entre as constantes do sistema pode ser obtida se elas forem levadas emconta ao efetuar a integração da eq. (40), cujo resultado é dado por

2𝜋𝑃𝜎

𝑐= 𝐴 = 𝑑2

2 − 𝑑21

𝑅2 − 𝜌2𝑜

(42)

3.4. Considerações Finais 39

onde 𝑑1 < 𝑧 < 𝑑2 é o comprimento focal desejado e 𝑅 é o raio da lente. Finalmente,substituindo a eq. (42) na eq. (41) e o resultado na eq. (35), encontra-se a função 𝜑𝐿(𝑟)do sistema, como mostra a eq. (43) (Friberg (1996)).

𝜑𝐿(𝑟) = − 11 + 𝐴

√(1 + 𝐴)𝑟2 + (𝑑2

1 − 𝐴𝜌2𝑜) + 𝐶1, (43)

onde 𝐶1 = 11+𝐴

√𝑑2

1 − 𝐴𝜌2𝑜 é escolhido de tal forma que a função 𝜑𝐿(𝑟) seja nula quando

𝑟 = 0. Nota-se que a constante 𝐶1 não interfere no resultado da intensidade do feixe,pois é independente de 𝑟 e pode ser retirada da integral da eq. (1).

3.3.3 Áxicons Logarítmicos

Áxicons logarítmicos são elementos ópticos projetados para que a potência do feixeseja constante entre uma certa distância ao longo do eixo longitudinal. Matematicamente,𝑃𝑧(𝑧) = 𝑐𝑧, onde 𝑐𝑧 é uma constante. O nome logarítmico, usado na literatura, foiescolhido porque a função de fase apresenta um termo logarítmico.

De modo analogo à eq. (42), a relação entre as constantes neste caso é mostrada naexpressão abaixo.

2𝜋𝑃𝜎

𝑐= 𝐵 = 𝑑2 − 𝑑1

𝑅2 − 𝜌2𝑜

(44)

Seguindo o mesmo procedimento da seção anterior para determinar a função 𝜑(𝑟), afunção de fase de um áxicon logarítmico com densidade de potência constante na entrada(Friberg e Popov (1999)) é dada por:

𝜑𝑙𝑜𝑔(𝑟) = − 12𝐵 ln

2𝐵

(√𝐵2𝑟4 + 𝐶2𝑟2 + 𝑑2

1 − 2𝐵𝜌2𝑜𝑑1 +𝐵2𝜌4

𝑜

)+ 2𝐵2𝜌2

𝑜 + 𝐶2

+ 𝐶3, (45)

onde 𝐶2 = 1 + 2𝐵𝑑1 − 2𝐵2𝜌2𝑜 e 𝐶3 = ln |2𝐵 (𝑑2

1 − 2𝐵𝜌2𝑜𝑑1 +𝐵2𝜌4

𝑜) + 𝐶2|/2𝐵, escolhido detal forma que a função 𝜑𝑙𝑜𝑔 seja nula quando 𝑟 = 0.

Segundo Staroński et al. (1992), se a desigualdade 𝑅 ≪ 𝑑1, 𝑑2 for válida, a eq. (45)pode ser simplificada, segundo a equação

𝜑𝑙𝑜𝑔(𝑟) = − 12𝐵 ln

(𝑑1 +𝐵𝑟2

)+ 𝐶4, (46)

onde 𝐶4 = ln 𝑑1/2𝐵, escolhido para que a função 𝜑𝑙𝑜𝑔 simplificada seja nula quando 𝑟 = 0.

3.4 Considerações Finais

Os objetivos deste capítulo foram cumpridos, com um forte embasamento teórico forne-cido pela literatura. Para provar a eq. (1), demonstrou-se a primeira solução de Rayleigh-Sommerfeld (eq. (20)), cuja solução é mais exata, pois não leva em conta as aproximações


feitas. Por outro lado, a equação de Rayleigh-Sommerfeld requer um tempo computacio-nal maior para convergir. Em vista disso, optou-se pela equação de Hyugens-Frensel pararealizar as simulações do Capítulo 4.

41

Capítulo 4Simulações

Neste capítulo, são realizadas simulações para os três casos apresentados na seçãoSeção 3.3. Em todos os casos, a onda incidente (ver Figura 11) foi considerada plana.Para validar a teoria e o código (mostrado no Apêndice A), as simulações são iguais àsapresentadas na literatura. O software utilizado para fazê-las foi o MATLAB 2012b.A integral de difração empregada foi a de Huygens-Fresnel, eq. (1).

4.1 Lente Convergente

Na simulação de uma lente convergente, são analisados três casos distintos: no primeirocaso, admitiu-se uma lente com o raio da abertura de 5 𝑚𝑚; no segundo, uma aberturade 10 𝑚𝑚. No terceiro caso, suprimiu-se o elemento óptico da abertura, 𝜑 = 0. Em todoseles, o comprimento de onda 𝜆 é 850 𝑛𝑚 e a distância focal, 𝑓 , 10 𝑚. A função de faseutilizada na integral de difração é dada pela eq. (39). O código do Matlab usado parafazer essas simulações pode ser visto no Apêndice A.

O objetivo desta simulação, além de observar a atuação de um elemento óptico comfunção de fase de uma lente convergente, é analisar a diferença causada pelo tamanho daabertura e o comportamento do feixe quando uma onda plana incidente passa por umaabertura circular.

4.1.1 Caso 1: R = 5 mm

A fig. 12 mostra a intensidade e o comportamento do feixe em três dimensões com ascaracterísticas descritas anteriormente.

Como é possível ver na Figura 13, que mostra o nível de intensidade do feixe no plano𝜌 − 𝑧, a intensidade máxima é atingida a uma distância de 8,9 m, e não na distância𝑓 = 10 𝑚, como projetado. Isso ocorreu porque a abertura era pequena e não teve energiasuficiente para projetar a intensidade máxima, 96,6 unidades, na distância focal.

42 Capítulo 4. Simulações

Figura 12 – Simulação em 3D de um feixe produzido por uma abertura de raio igual a 5 𝑚𝑚 com umelemento óptico que representa uma lente convergente, cujo foco é igual a 10 𝑚.

Figura 13 – Níveis de intensidade de um feixe gerado por uma abertura de raio igual a 5 𝑚𝑚 com umelemento óptico que representa uma lente convergente, cujo foco é igual a 10 𝑚.

4.1.2 Caso 2: R = 10 mm

A Figura 14 mostra a intensidade do feixe em três dimensões com as característicasdescritas anteriormente e é possível notar como o dobrar do raio da abertura muda com-pletamente o comportamento da onda. Fica claro que, desta vez, a amplitude máxima dofeixe ocorreu exatamente como previsto, no ponto focal.

A Figura 15 mostra o nível de intensidade do feixe no plano 𝜌− 𝑧. Nota-se que a lente

4.1. Lente Convergente 43

Figura 14 – Simulação em 3D de um feixe produzido por uma abertura de raio igual a 10 𝑚𝑚 com umelemento óptico que representa uma lente convergente, cujo foco é igual a 10 𝑚.

concentrou toda a energia do feixe ao redor da distância focal, ao contrário da Figura 13,cuja distribuição de potência englobava uma área maior. Por causa da localização daonda neste caso, a intensidade máxima foi de 1377,3 unidades, 14 vezes maior que noprimeiro caso.

Figura 15 – Níveis de intensidade em de um feixe gerado através de uma abertura de raio igual a 10𝑐𝑚com um elemento óptico simulando uma lente convergente, cujo foco é igual a 10 𝑚.


4.1.3 Caso 3: Ausência do Elemento Óptico

A Figura 16 mostra o perfil de intensidade do feixe sem elementos ópticos acopladosà abertura. A amplitude máxima diminuiu em cerca de 25 vezes comparado com oprimeiro caso simulado. É possível ver que a distribuição de potência ficou muito dispersa,de acordo com a Figura 17, e apareceram vários picos de intensidade, cujas distâncias sãofunção da abertura e do comprimento de onda.

Figura 16 – Simulação em 3D de um feixe produzido por uma abertura de raio igual a 5 𝑚𝑚 sem elementoóptico algum.

Figura 17 – Níveis de intensidade em função de 𝜌 e 𝑧 de um feixe gerado através de uma abertura de raioigual a 5 𝑚𝑚 sem elemento óptico.

4.2. Áxicon Linear 45

4.2 Áxicon Linear

Na simulação de um áxicon linear, são analisados quatro casos distintos: no primeiro,é simulada uma abertura sem o elemento óptico; no segundo caso, acopla-se um áxiconlinear cujas distâncias 𝑑1 e 𝑑2 são iguais a 500 𝑚 e a 750 𝑚 respectivamente; no terceirocaso, 𝑑1 é igual a 500 𝑚 e 𝑑2 é igual a 1200 𝑚; e, no último caso, 𝑑1, igual a 100 𝑚𝑚 e𝑑2, igual a 200 𝑚𝑚.

Nos três primeiros casos, o comprimento de onda 𝜆 é 850 𝑛𝑚 e o raio da abertura,𝑅, 50 𝑚𝑚, que são os valores usados em Ambrosio (2009, Cap 2). No último caso, 𝜆 é633 𝑛𝑚 e 𝑅, 5 𝑚𝑚, que são os valores usados em Staroński et al. (1992). A função defase utilizada na integral de difração é dada pela eq. (43). O código do Matlab usadopara fazer essas simulações pode ser visto no Apêndice B.

4.2.1 Caso 1: Ausência do Elemento Óptico

A Figura 18 mostra o perfil de intensidade do feixe sem elementos ópticos acoplado àabertura. A amplitude máxima da intensidade foi de 3,7 unidades, a mesma vista naFigura 16 do Caso 3 da Seção 4.1. Em vista disso, conclui-se que a amplitude máximanão varia em função do raio da abertura.

Figura 18 – Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por uma abertura sem elementoóptico algum de raio igual a 50 𝑚𝑚.

4.2.2 Caso 2: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 750 𝑚

A Figura 19 mostra a intensidade e o comportamento do feixe em três dimensões comas características descritas no início da seção. A lente conseguiu confinar a energia da


fonte entre as distâncias 𝑑1 e 𝑑2, conforme projetado. Caso a lente tivesse um tamanhomenor que um certo limite, aconteceria o mesmo problema da falta de energia do Caso 1da Seção 4.1.

Figura 19 – Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon linear de raio igual a50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 750 𝑚 respectivamente.

Constata-se na Figura 20 a intensidade máxima, 216 unidades, 54 vezes maior queo pico da abertura sem a lente, foi atingida a uma distância de 598m. Percebe-se quea amplitude nas distâncias 𝑑1 e 𝑑2 é 0,63 vezes menor que a intensidade máxima, quecuriosamente é um número comum em engenharia, inclusive eletromagnetismo (Jr e Buck(1983)), que representa o decaimento exponencial 𝑒−1.

4.2.3 Caso 3: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 1200 𝑚

A Figura 21 mostra a intensidade e o comportamento do feixe em três dimensões,cujas distâncias de projeto 𝑑1 e 𝑑2 são 500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente.

Segundo a Figura 22 a intensidade máxima, 110 unidades, 27,5 vezes maior que opico da abertura sem a lente, foi atingida a uma distância de 801 m. A amplitude nasdistâncias 𝑑1 e 𝑑2 é 0,77 vezes menor que a intensidade máxima.

Nos Casos 1 e 2, não foi possível observar a característica linear da lente entre asdistâncias 𝑑1 e 𝑑2, a qual era esperada teoricamente. Tal fato deve-se à energia na fonte(abertura) ser insuficiente para manter a localização da onda entre as distâncias de projeto.Para observar a amplitude linear, fez-se um teste com as distâncias iguais a 100 𝑚𝑚 e200 𝑚𝑚, quarto caso. Diminuí-las garante mais liberdade ao conjunto fonte-lente mantero padrão do feixe. Os Casos 1, 2 e 3 estão condizentes com os resultados obtidos porAmbrosio (2009, Cap 2).

4.2. Áxicon Linear 47

Figura 20 – Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon linear de raio iguala 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 750 𝑚 respectivamente.

Figura 21 – Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon linear de raio igual a50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente.

4.2.4 Caso 4: 𝑑1 = 100 𝑚𝑚 e 𝑑2 = 200 𝑚𝑚

A Figura 23 mostra a intensidade e o comportamento do feixe ao longo do eixo 𝑧, cujasdistâncias de projeto 𝑑1 e 𝑑2 são 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚 respectivamente. É possível observara intensidade linear crescente do feixe nessa figura, a qual valida o esperado teórico deum áxicon linear. Tal imagem está condizente com os resultados obtidos por Staroński etal. (1992).


Figura 22 – Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon linear de raio iguala 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente.

Figura 23 – Intensidade ao longo do eixo 𝑧 de um feixe (𝜆 = 633 𝑛𝑚) produzido por um áxicon linear deraio igual a 5 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚 respectivamente.

4.3 Áxicon Logarítmico

Na simulação de um áxicon logarítmico, são analisados três casos distintos: no pri-meiro, acopla-se um áxicon logarítmico cujas distâncias 𝑑1 e 𝑑2 são iguais a 500 𝑚 e a750 𝑚 respectivamente; no segundo caso, 𝑑1 é igual a 500 𝑚 e 𝑑2 é igual a 1200 𝑚; e, noúltimo caso, 𝑑1 e 𝑑2 são iguais a 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚 respectivamente. Não foi simulado ocaso sem a lente, pois seria igual ao Caso 1 da Seção 4.2.

4.3. Áxicon Logarítmico 49

Nos dois primeiros casos, o comprimento de onda 𝜆 vale 850 𝑛𝑚 e o raio da abertura,𝑅, 50 𝑚𝑚, que são os valores usados em Ambrosio (2009, Cap 2). No último caso, 𝜆 vale633 𝑛𝑚 e 𝑅, 5 𝑚𝑚, que são os valores usados em Staroński et al. (1992). A função defase utilizada na integral de difração é dada pela eq. (45). O código do Matlab usadopara fazer essas simulações pode ser visto no Apêndice C.

4.3.1 Caso 1: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 750 𝑚

A Figura 24 mostra a intensidade e o comportamento do feixe em três dimensões comas características descritas no início da seção.

Figura 24 – Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon logarítmico de raioigual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 750 𝑚 respectivamente.

Constata-se na Figura 25 a intensidade máxima, 222 unidades, 60 vezes maior queo pico da abertura sem a lente, foi atingida a uma distância de 590 m. Percebe-se quea intensidade máxima e a distância onde ela ocorreu são quase idênticas à lente linear eda logarítmica. Tal fato ocorreu porque o sistema chegou (ou até mesmo ultrapassou)o limite máximo de profundidade longitudinal, ou seja, a fonte não consegue fornecerenergia suficiente para provocar a localização do feixe.

4.3.2 Caso 2: 𝑑1 = 500 𝑚 e 𝑑2 = 1200 𝑚

A Figura 26 mostra a intensidade e o comportamento do feixe em três dimensões,cujas distâncias de projeto 𝑑1 e 𝑑2 são 500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente.

Segundo a Figura 27 a intensidade máxima, 121 unidades, 32,7 vezes maior que opico da abertura sem a lente, foi atingida a uma distância de 753 m. A amplitude nasdistâncias 𝑑1 e 𝑑2 é 0,82 vezes menor que a intensidade máxima.


Figura 25 – Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon logarítmico de raioigual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 750 𝑚 respectivamente.

Figura 26 – Simulação em 3D de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon logarítmico de raioigual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente.

Nos casos acima, não foi possível observar a característica constante da lente entreas distâncias 𝑑1 e 𝑑2, a qual era esperada teoricamente. Para ver a amplitude constante,fez-se uma simulação com as distâncias iguais a 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚, Caso 3. Os Casos 1e 2 estão condizentes com os resultados obtidos por Ambrosio (2009, Cap 2).

4.3. Áxicon Logarítmico 51

Figura 27 – Níveis de intensidade de um feixe (𝜆 = 850 𝑛𝑚) produzido por um áxicon logarítmico de raioigual a 50 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 500 𝑚 e 1200 𝑚 respectivamente.

4.3.3 Caso 3: 𝑑1 = 100 𝑚𝑚 e 𝑑2 = 200 𝑚𝑚

A Figura 28 mostra a intensidade e o comportamento do feixe ao longo do eixo 𝑧,cujas distâncias de projeto 𝑑1 e 𝑑2 são 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚 respectivamente. É possívelobservar a intensidade constante do feixe nessa figura, a qual valida o esperado teóricode um áxicon logarítmico. Tal imagem está condizente com os resultados obtidos porStaroński et al. (1992).

Figura 28 – Intensidade ao longo do eixo 𝑧 de um feixe (𝜆 = 633 𝑛𝑚) produzido por um áxicon logarítmicode raio igual a 5 𝑚𝑚, com as distâncias 𝑑1 e 𝑑2 iguais a 100 𝑚𝑚 e 200 𝑚𝑚 respectivamente.


4.4 Considerações Finais

Existe uma característica intrínseca das ondas simuladas na presença da lente deresistirem aos efeitos da difração, propagando-se por distâncias maiores que os feixescomuns. Esta resistência é explicada pela auto-reconstrução através do fornecimento deenergia advinda de regiões laterais.

Pode-se observar a auto-reconstrução pelas imagens das simulações. Existe uma quan-tidade de energia considerável nas laterais do feixe quando não tinha um elemento ópticoacoplado, vide Figura 18. Na Figura 22, por causa do constante fornecimento de energiadas laterais, note-se uma densidade de energia baixa em todo espaço, exceto na regiãofocal.

53

Capítulo 5Conclusões e Diretivas Futuras

A realização desse trabalho se justifica por vários fatores, dentre eles, pode-se citar:a comunicação em banda larga usando lasers ou LEDs, o estudo de um sistema menosconhecido, o levantamento das vantagens técnicas e econômicas quando comparadas comas fibras ópticas e radiofrequência, a detecção de problemas e proposição de formas deamenizá-los e o estudo de uma parte da teoria eletromagnética, especialmente os feixesnão difrativos. O último tema citado, ondas não difrativas, teve uma importância enorme,tanto nesse trabalho, quanto na própria formação acadêmica do autor, pois é uma áreade pesquisa de ponta com grande potencial de aplicações.

No início deste trabalho, foram levantados algumas desvantagens que os meios decomunicação mais comuns apresentam nos dias atuais e uma forma de contorná-los em-pregando enlaces ópticos, a chamada FSO. No entanto, surgiram outras limitações com ouso de FSO, por exemplo, o efeito da difração que o feixe sofre e o perigo para os olhoshumanos. Para limitá-las, foi proposto o uso de feixes com características não difrativase controle de campo, ambos produzidos por lentes especiais ou técnicas computacionaismais avançadas.

Posteriormente, elaborou-se uma base teórico-numérica dos feixes não difrativos e ascaracterísticas dos elementos ópticos para o controle de campo. Essa parte forneceu umentendimento razoável sobre a Teoria de Campos Eletromagnéticos e de como uma ondase comporta a partir de uma distribuição (padrão) inicial. Além disso, foram exploradasas propriedades dos elementos ópticos, a parte mais interessante do trabalho, pois comeles é possível controlar a propagação do feixe no espaço de acordo com as necessidadesde projeto. Algumas demonstrações feitas aqui não foram encontradas na literatura, fatoque contribuiu para o aperfeiçoamento do autor na resolução de problemas e um melhorentendimento da teoria.

Finalizada a parte teórica, foram simulados feixes com diversos perfis de campos,em função do elemento óptico acoplado à abertura do gerador. Quando finalizadas, foipossível observar que, realmente, o campo apresentou uma localização pré-determinadapela teoria. A intensidade do feixe, na presença das lentes, teve um valor máximo pelo

54 Capítulo 5. Conclusões e Diretivas Futuras

menos 25 vezes comparado com os casos sem a lente, minimizando o problema da difração.Notou-se, também, que a profundidade máxima do feixe deve respeitar um certo valorlimite, devido ao fato de a fonte ter energia finita e não conseguir manter o padrãoestipulado após essa distância limite.

Os códigos, por terem sido desenvolvidos ao longo do projeto, exigiram o avançono conhecimento de certas linguagens de programação e de softwares comerciais. Poroutro lado, essas dificuldades foram resolvidas no decorrer do trabalho e permitiu umaprendizado maior no software comercial empregado.

Em um projeto, deve-se levar em conta que um feixe extremamente localizado, ou seja,sem alargamento espacial, pode prejudicar a comunicação em um enlace. Por exemplo, seo transmissor consegue manter o padrão do feixe de tal forma que ele incida no receptor emuma pequena área, qualquer desalinhamento pode muito bem interromper a transferênciade dados. Portanto, um pequeno alargamento espacial é desejável para a aplicação detransmissão de dados.

De um modo geral, destacou-se a aplicação de ondas não difrativas em sistemas decomunicação ópticas. Não obstante, tais feixes podem ser utilizados em outras aplicações,bem como imagens ópticas e pinças eletromagnéticas. Assim, esse trabalho proporcionouuma base de feixes não difrativos que poderia ser útil para possíveis trabalhos futuros naárea.

55

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SOCHACKI, J. et al. Nonparaxial design of generalized axicons. Applied optics, 1992.Optical Society of America, v. 31, n. 25, p. 5326–5330, 1992.

STAROŃSKI, L. R. et al. Lateral distribution and flow of energy in uniform-intensityaxicons. JOSA A, 1992. Optical Society of America, v. 9, n. 11, p. 2091–2094, 1992.

STERLING, C. H. Military communications: from ancient times to the 21stcentury. [S.l.]: Abc-clio, 2008.

TEMME, N. M. Special functions: An introduction to the classical functions ofmathematical physics. [S.l.]: John Wiley & Sons, 2011.

YOUNG, A. Revised depolarization corrections for atmospheric extinction. AppliedOptics, 1980. v. 19, n. 20, p. 3427–3428, 1980.

YOUNG, A. T. Rayleigh scattering. Physics Today, 1982. ERIC, v. 35, n. 1, p. 42–48,1982.

59

Apêndices

61

APÊNDICE ACódigo Matlab: Lente Convergente

Este foi o código usado para fazer as simulações da lente convergente no MatlabR2012b.

1 %% parametros do usuario (so altere os parametros desse bloco!)

2 % variaveis que determinam o feixe.

3 lambda=0.85e-6; %comprimento de onda.

4 apradiusmin=0e-3; %raio minimo da abertura.

5 apradiusmax=5e-3; %raio maximo da abertura.

6 f = 10; %foco

7

8 % funcao de fase da lente convergente (eq. 39)

9 phi=@(r) -sqrt(r.^2 + f.^2);

10

11 % variaveis que determinam os graficos.

12 maxz=20; %valor limite a ser calculado em z [m].

13 maxrho=10e-3; %valor limite a ser calculado em rho [m].

14 npz=300; %numero de pontos a serem calculados em z.

15 nprho=50; %numero de pontos a serem calculados em rho.

16

17 % define se novos dados serao criados, caso nao exista anteriormente.

18 % 'newmatrix' igual a '0' nao criara novos dados; igual a '1', criara.

19 % uma vez que os pontos estao criados, se o programa for reiniciado,

20 % os calculos continuarao de onde parou antes de serem interrompidos.

21 newmatrix=1;

22

23 %% calculos!

24 % nome do arquivo que os dados serao salvos.

25 filename='data.mat';

26 data.lambda=lambda;

27 data.apradiusmax=apradiusmax;

28 data.apradiusmin=apradiusmin;

29 % numero de onda.

30 k0=2*pi/lambda;

62 APÊNDICE A. Código Matlab: Lente Convergente

31

32 % cria or nao novos dados.

33 if newmatrix == 1

34 %cria o vetor de pontos de z.

35 Z=zeros(1,npz);

36 for i=1:1:npz

37 Z(1,i)=maxz*(i-1)/npz;

38 end

39 %cria o vetor de pontos de rho.

40 Rho=zeros(2*nprho+1,1);

41 for i=1:1:nprho+1

42 Rho(i,1)=maxrho*(nprho+1-i)/nprho;

43 Rho(2*nprho-i+2,1)=-maxrho*(nprho+1-i)/nprho;

44 end

45 %cria o vetor da intensidade do feixe.

46 M=zeros(nprho*2+1,npz);

47 for j=1:1:nprho+1

48 for i=1:1:npz

49 M(j,i)=-0.1;

50 M(2*nprho+2-j,i)=-0.1;

51 end

52 end

53 % salva as matrizes criadas.

54 data.M=M;

55 data.Z=Z;

56 data.Rho=Rho;

57 save(filename,'data');

58 % se nao forem criados, serao carregados.

59 else

60 load(filename);

61 M=data.M;

62 Z=data.Z;

63 Rho=data.Rho;

64 end

65

66 % parametros iniciais.

67 z=0;

68 rho=0;

69 % calculo dos pontos.

70 for j=nprho+1:-1:1

71 for i=npz:-1:1

72 z=Z(1,i);

73 rho=Rho(j,1);

74 if M(j,i)<0

75 s=[i j; i 102-j]

76

77 % funcao de Hyugens-Fresnel (eq. 1).

63

78

79 % parte exponencial da equacao.

80 E=@(r) exp(k0.*1i.*((r.^2)./(2.*z)+phi(r)));

81

82 %funcao de bessel da equacao.

83 J=@(r) besselj(0,k0.*rho.*r./z);

84

85 % funcao de Hyugens-Fresnel completa (eq. 1).

86 func=@(r) E(r).*J(r).*r;

87

88 % calculo da intensidade.

89 M(j,i)=abs(k0./z.*integral(func,...

90 apradiusmin, apradiusmax)).^2;

91 M(2*nprho+2-j,i)=M(j,i);

92 else

93 continue;

94 end

95 data.M=M;

96 save(filename,'data');

97 end

98 % salva um grafico para o usuario analisar se o numero de pontos

99 % (resolucao) esta satisfatorio.

100 if j==nprho+1

101 plot(Z,M(nprho+1,:));

102 print('-dpng','-r100','figure2d.png')

103 end

104 % plota um grafico a cada iteracao para o usuario observar,

105 % caso o programa demore para terminar.

106 if z==Z(1,i) && rho==Rho(j,1)

107 surf(Z,Rho,M);figure(gcf);

108 shading INTERP;

109 end

110 end

64 APÊNDICE A. Código Matlab: Lente Convergente

65

APÊNDICE BCódigo Matlab: Áxicon Linear

O mesmo código presente no Apêndice A foi usado para simular os áxicons lineares,com algumas mudanças feitas foram no início do código. As 15 primeiras linhas doApêndice A foram substituídas pelas linhas abaixo.


2





7 d1=500; %distancia minima em z.

8 d2=750; %distancia maxima em z.

9

10 % funcao de fase do axicon linear (eq. 43)

11 A=(d2^2-d1^2)/(apradiusmax^2-apradiusmin^2);

12 phi=@(r) -sqrt((1+A).*r.^2+(d1.^2 - A.*apradiusmin.^2))./(1+A);

13


15 maxz=1200; %valor limite a ser calculado em z [m].




66 APÊNDICE B. Código Matlab: Áxicon Linear

67

APÊNDICE CCódigo Matlab: Áxicon Logarítmico

O mesmo código presente no Apêndice A foi usado para simular os áxicons logarítmi-cos, com algumas mudanças feitas foram no início do código. As 15 primeiras linhas doApêndice A foram substituídas pelas linhas abaixo.


2





7 d1=100e-3; %distancia minima em z.

8 d2=200e-3; %distancia maxima em z.

9

10 % funcao de fase do axicon logaritmico (eq. 45)

11 B=(d2-d1)/(apradiusmax^2-apradiusmin^2);

12 C=1 + 2*B*d1 - 2*B^2*apradiusmin^2;

13 phi=@(r) -log(abs(2.*B.*sqrt(B.^2.*r.^4 + C.*r.^2 + d1.^2 - ...

14 2.*B.*d1.*apradiusmin.^2 + B.^2.*apradiusmin.^4) + ...

15 2.*B.^2.*r.^2 + C))./(2.*B);

16 %phi=@(r) -log(d1+B.*r.^2)/(2.*B)

17


19 maxz=300e-3; %valor limite a ser calculado em z [m].




23

24 % define se novos dados serao criados, caso nao exista anteriormente.

25 % 'newmatrix' igual a '0' nao criara novos dados; igual a '1', criara.

26 % uma vez que os pontos estao criados, se o programa for reiniciado,

27 % os calculos continuarao de onde parou antes de serem interrompidos.

28 newmatrix=1;

PedroPauloJustinodaSilvaArantes ... · POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE...

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