RELATRIO DE TRABALHO PARA A MATRIA DE SISTEMAS NO-LINEARES

PNDULO INVERTIDO ROTATRIO (DE FURUTA)

Daniel M. Lima, Fernando S. PereiraUniversidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Departamento de Automao e Sistemas, Centro Tecnolgico Florianpolis - SC{treebeard.eca, cabfersp}@gmail.com

Resumo. O Pndulo de Furuta um sistema mecnico desenvolvido no Japo que foi alvo de inmeras teses e artigos sobre tcnicas de controle no-linear devido sua alta no-linearidade envolvendo foras gravitacionais. Este trabalho visa estudar o comportamento dinmico do pndulo de Furuta em malha aberta e propor uma lei de controle que estabilize o sistema e fazer uma anlise do efeito do controlador no sistema.

1. INTRODUO

O pndulo de Furuta foi inicialmente desenvolvido no Instituto Tecnolgico de Tokyo por Katsuhisa Furuta e seus colegas. O pndulo sub-atuado e extremamente no-linear por causa das foras gravitacionais, de Coriolis e centrpetas. Desde ento, dezenas de artigos e teses utilizaram o sistema para demonstrar tcnicas de controle linear e no-linear. Na figura 1 possvel observar um pndulo de Furuta real.

O objetivo deste trabalho estudar o comportamento dinmico deste sistema em malha aberta (equilbrios, estabilidade dos equilbrios, etc.) e depois projetar um controlador utilizando as tcnicas de controle no-linear aprendidas durante a disciplina de Sistemas No-Lineares.

Na seo 2 so mostrados os diferentes modelos para este sistema. A seo 3 inclui a anlise de malha aberta do pndulo de Furuta. As sees 4 e 5 tratam do projeto do controlador e anlise de malha fechada, respectivamente. A seo 6 completa o trabalho com concluses.

2. MODELO DO SISTEMA

Como dito anteriormente, o modelo estudado neste trabalho o pndulo de Furuta, cujo diagrama esquemtico pode ser visto na figura 2.

Figura 1: Pndulo de Furuta real

Figura 2: Esquema do pndulo de Furuta

A varivel t define o ngulo que a barra do pndulo de comprimento l e a massa m forma com a direo paralela ao eixo z . A varivel t definida como sendo o ngulo entre o brao do motor, de comprimento r , e o eixo x .

Nesse modelo, deseja-se controlar a varivel t a partir da atuao em t , que feita a partir de um motor

DC.O modelo dinmico do sistema obtido

utilizando a formulao de Euler-Lagrange. Em (1) descrito o modelo onde no so considerados os efeitos dissipativos.

(1),

=3r7l

=J amr

2

J pml2=

K mmgl

(2),

onde J p a inrcia do pndulo, J a a soma dos momentos de inrcia do brao e do motor, K m o ganho equivalente dos subsistemas motor e servo amplificador de potncia, g a gravidade e u t o sinal de controle. As equaes em (3) foram obtidas a partir de (1) considerando a existncia de termos dissipativos.

= 2 2 sin cos

sin22 sin cos2 sin cossin sin3u cosC p

= 2sin sin cos22 sin cos

sin cosuCa (3)

=sin2 2 cos2 (4)

3. ANLISE DE MALHA ABERTA

Para simplificar a anlise do sistema em malha aberta utilizou-se um sinal de controle (5) que realiza uma linearizao parcial das equaes em (1), resultando no sistema apresentado em (6).

u fl = u sin2 cos2 sin2 sin cos

(5)

x 1 = x 2x 2 = sin x 1 x 3

2sin x 1 cos x 1uC a x 3cos x 1C p x 2

x 3 = uCa x 3

(6)

onde x 1= , x 2=d /dt e x 3=d /dt e u t a ao de controle.

3.1 Pontos de EquilbriosPara o clculo dos pontos de equilbrio,

faz-se as derivadas dos estados mostradas em (6) serem iguais a zero e da encontra-se os valores de x 1 , x 2 , x 3 que solucionem as equaes. Foram encontrados os seguintes valores:

x 3=u

C ax 2=0 x 1=0 ououarccos

Ca2

u2

considerando que 0x 12 .Fazendo com que os possveis pontos de

equilbrio sejam P1=[ 0,0 ,u

Ca] , ,

P2=[ ,0 ,u

C a] , ou

P3=[ arccosC a

2

u2,0 , u

C a] . O equilbrio

P3 s existe caso uC a e nota-se que a funo arccos gera dois possveis valores para x 1 , um valor no segundo quadrante e outro no terceiro quadrante do crculo trigonomtrico. O que define qual valor o correto o sinal de u , se este positivo, o valor correto o do segundo

2 sin cos cossin theta=0 cos 2 sin 2 sin cossin2=u

quadrante 2 x 12 , se negativo,

terceiro quadrante 2 x 132 .

3.2 Estabilidade de EquilbriosPara verificar a estabilidade dos

equilbrios primeiro necessrio encontrar o jacobiano da equao (6). Com o jacobiano em mos possvel analisar a estabilidade de cada ponto de equilbrio encontrando as razes da equao caracterstica dada por I J P i=0 e verificando o sinal da

parte real destas. A matriz (7) define o jacobiano do sistema (6):

(7)Foi descoberto que a estabilidade dos

pontos de equilbrios do sistema variava de acordo com o valor de C a , considerando que u seja constante. Na figura 3 podemos ver como a estabilidade do sistema varia para valores crescentes de C a . Podemos notar que para uC a, ou seja, quando o sinal de controle no forte o suficiente para vencer o atrito esttico do sistema, somente os equilbrios P1 e

P2 existem, sendo que somente este ltimo estvel.

Quando uC a, a atuao forte suficiente para vencer o atrito do sistema e desta forma surge uma bifurcao com o surgimento do ponto de equilbrio estvel

P3 e a instabilizao de P2 , como visto na figura 3.

3.2 Simulao dos sistema em malha aberta

Para a simulao em malha aberta foi considerada a seguinte condio inicial

C i=[0,0, 0] e variou-se o valor do sinal de controle u de tal forma que fosse possvel verificar a bifurcao do sistema.

Na primeira simulao consideramos u=0.5C a . A resposta do sistema pode

ser vista na figura 4 e, como era esperado, o sistema estabiliza em P2 . Nas figuras 5 e 6 esto os diagramas de espao de estados resultantes da simulao considerando os trs estados e os dois primeiros estados respectivamente

Na segunda simulao consideramos u=1.5C a e podemos ver na figura 7 a

estabilizao em P3 . As figuras 8 e 9 mostram o espao de estados para a simulao.

J P i=[ 0 1 0cos x 1 x 32cos 2 x 1 C p x 3 sin 2 x 1C a x 3sin x 1 C a cos x 10 0 C a ]Figura 3: Estabilidade dos Pontos de Equilbrio para

diferentes valores de C a . x 1 em radianos.

Figura 4: Sada do Sistemas para u=0.5C a

Figura 5: Espao de estados do sistema para u=0.5C a

Figura 6: Espao de estados de x 1 e x 2 para u=0.5C a

Figura 7: Sada do sistema para u=1.5C a

Figura 8: Espao de estados para u=1.5C a

4. PROJETO DO CONTROLADORForam utilizadas duas tcnicas para o

controle do sistema. A primeira foi por linearizao do sistema (6) em torno do

Figura 9: Espao de estados de x 1 e x 2 para u=1.5C a

ponto de equilbrio P1=[ 0,0 ,u

Ca] , ,

resultando no sistema multivarivel na forma:

x = AxBuy = CxD

(8)

onde:

A=[ 0 1 01u2C a2 C p C a0 0 C a]B=[ 0 cos x11 ] C=[100] D=0

(9)

Para projetar o controlador utilizou-se tcnicas de controle multivarivel onde o sinal de controle definido por u=Kx , resultando no sistema de malha fechada definido em 10.

x = ABK xy = CxD

(10)

K foi escolhido de tal forma que a matriz ABK tivesse os seguintes autovalores: 1=1,2=0.5,3=3. A figura 10 mostra a resposta do sistema com controlador.

O segundo mtodo de controle utilizado foi o de realimentao linearizante entrada-sada, onde deriva-se a sada at podermos defini-la em termos do sinal de

controle. Da definimos o sinal de controle de modo que linearize a equao encontrada e especifique a dinmica da sada.

Derivando a sada do sistema (6) encontramos:

y = x 1 11y = x 1= x 2 12

y = x 2=sin x1x 32 sin x1 cos x 1 13

uCa x 3cos x 1C p x2especificamos o sinal de controle linearizante como:

u = 1 cos x 1 V sin x 1 x 32sin 2 x 1C a x 3cos x1C p x 2

(14)desta forma obtemos y=V , e podemos escolher V de forma a estabilizar o sistema:

V = yrK 0 yr y K 1 yr y 15y = yrK 0 yr y K 1 yr y 160 = yr yK 0 yr y K 1 yr y 170 = eK0 eK 1 e 18

onde e= yr y o erro e yr a referncia. Escolhemos K 0 e K 1 de forma a estabilizar a dinmica do erro. No caso deste controlador a resposta se tornou instvel, por motivos que sero explicados a seguir.

5. ANLISE DE MALHA FECHADA

Como citamos na seo anterior, a utilizao do controlador por realimentao linearizante entrada-sada instabiliza o sistema. Aqui verificaremos o motivo de tal comportamento.

Substituindo (14) em (6), e considerando a referncia constante yr= yr=0 obtemos:

Figura 10: Resposta do sistema em malha fechada com controle linear

x 1 = x 2x 2 = V=K 0 x 2K 1 yrK 1 x 1

x 3 =K 0 x 2K 1 yrK 1 x 1

cos x 1

sin x 1 cos x1

x 32 sin x 1

C p x 2 cos x 1

(19)Ao forar as derivadas igual a zero,

podemos encontrar os pontos de equilbrio do sistema em malha fechada, que so:

x1 = yrx 2 = 0

x 32 = 1

cos yr

(20)

Pela anlise destes pontos de equilbrio notamos que o sistema no vai atingir a referncia caso /2 yr/2, ou seja, no h como o

sistema seguir referncias no primeiro e quarto quadrantes do crculo trigonomtrico utilizando a tcnica de controle por realimentao linearizante entrada-sada.

5. CONCLUSESEste trabalho nos permitiu avaliar o

comportamento do pndulo de Furuta assim como a viabilidade da aplicao de certas tcnicas de controle no-linear neste sistema.

Pelos resultados obtidos vimos que a tcnica de realimentao linearizante entrada-sada inadequada para tratar este problema j que este no consegue seguir as referncias desejadas (referncias no primeiro e quarto quadrantes). J a tcnica mais comum, a partir da linearizao do sistema em um ponto de operao se mostrou bastante adequada para o pndulo de Furuta.

Vale ressaltar que este trabalho nos permitiu aplicar as tcnicas de anlise de anlise de sistemas no-lineares e vrias tcnicas de controle de tais sistemas

aprendidas na disciplina de Sistemas No-Lineares

Daniel M. Lima, Fernando S. PereiraUniversidade Federal de Santa Catarina - UFSCDepartamento de Automao e Sistemas, Centro Tecnolgico Florianpolis - SC