UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Instituto de Fsica Fsica Geral e Experimental II-E

Pndulo de Toro

Docente: Denis David Discentes: Akira Takeda Joo Carlos Lima Michele Medeiros Silas Correia

Salvador 2011

IntroduoO movimento harmnico simples (MHS) um movimento executado por uma partcula sujeita a uma fora restauradora que proporcional ao deslocamento da partcula, mas possui sinal contrrio. No MHS o movimento da partcula se repete de acordo com a funo: x(t) = A cos (t + ) onde: A: amplitude : freqncia angular t: tempo : ngulo de fase O pendulo de toro uma verso angular de um oscilador harmnico linear simples. O elemento de elasticidade associado toro de um fio de suspenso. O sistema composto por um corpo rgido de massa M suspenso por um fio inextensvel de comprimento L e dimetro d rigidamente preso ao seu centro de massa Cm.Geralmente, nos pndulos de toro, o fio metlico. (1)

Girando o corpo rgido, a partir da sua posio de repouso, ou seja, aplicar uma toro no corpo de um ngulo , e depois o soltarmos, ele ir oscilar em torno daquela posio num MHS. Dessa forma, o fio ir apresentar um torque de oposio, , ao deslocamento , definido pela relao = -k, sendo k uma constante prpria do fio, denominada de coeficiente de toro. O perodo de oscilao T para um pndulo de toro dado pela equao (2).

(2) Onde I o momento de inrcia do corpo. O momento de inrcia, resistncia de um corpo ao sair do estado de repouso, est associado no pndulo de toro ao movimento de rotao deste corpo em torno de um eixo. Quando um torque restaurador aplicado ao pndulo, colocando-o em rotao, esta grandeza mede a inrcia do sistema parado. Quando uma barra delgada de comprimento L uniforme de massa m est suspenso por um fio, o momento de inrcia calculado pela equao (3): I = mL (3) 12 Para uma haste de massa m e comprimento L, sustentada por duas massas de metal M a uma distncia d do centro da haste, temos a equao (4): I = mL + 2Md (4) 12 O coeficiente de toro k a constante da mola da toro do fio que dada por (5).

(5) Onde G o mdulo de elasticidade do material ao cisalhamento, L o comprimento do fio e J o momento de inrcia polar do fio. J igual (d4)/32, sendo d o dimetro do fio. Portanto, conhecendo-se o coeficiente de toro podemos encontrar o mdulo de cisalhamento G, uma grandeza intrnseca, prpria do material do fio, pela relao entre G e k dada por (6). G = 2Lk r4

(6)

Sendo r o raio do fio. A partir das equaes (2), (5) e (6) fcil mostrar que : T = [8IL/(Gr4)] (7)

O perodo de oscilao do pndulo de toro para um corpo delgado suspenso por um fio tambm pode ser calculado pela expresso (8): T = mL 4 12k (8)

E para o caso da haste, a expresso do perodo (9): T = mL + 2Md 4 12 k (9)

Verifica-se ento que atravs de um pndulo de toro podemos determinar momentos de inrcia de objetos de forma complexa uma roda de engrenagem, ou uma hlice de avio por exemplo. Ele til tambm para se determinar o mdulo de cisalhamento do material do fio, conhecendo-se o momento de inrcia do corpo. Procedimento Experimental Material utilizado:1- Haste de acrlico com furos

2- Massas 3- Fio de metal 4- Cronmetro 5- Balana 6- Rgua7- Barras cilndricas 8- Bases, garras e hastes

Procedimento: Foi montado previamente um sistema de hastes, base e garras. A este sistema, foi presa uma barra cilndrica de metal de massa m pesada numa balana e comprimento L medido com uma rgua. Aplicou-se ento uma leve toro (90) no fio que sustentava a barra. Soltando a barra, ela oscilou e, com o auxilio de um cronmetro, foi medido o perodo de 5 oscilaes. O procedimento foi repetido com mais cinco barras cilndricas distintas. O esquema deste pndulo de toro pode ser visto pela figura 2.

Figura 2: Esquema do pndulo de toro utilizando uma barra cilndrica

Em seguida, retirou-se a barra cilndrica e pendurou no fio uma haste de acrlico com furos de massa m, pesada numa balana, e comprimento L, medido numa rgua..Nesta haste foram penduradas duas massas M com distncia d ao centro da haste de modo que estas massas ficassem simtricas. Depois, foi medido o perodo T de oscilao pelo mesmo mtodo descrito no procedimento anterior. O fio foi mantido com o mesmo comprimento C usado na primeira srie de medidas. Este procedimento foi repetido para mais quatro posies d da massa na haste. Depois, foi fixada uma posio d das massas M e foi variado o comprimento C do fio.Foram feitas medidas do perodo de oscilao para mais cinco comprimentos.O esquema do pndulo de toro que utiliza uma haste de acrlico com pesos acoplados pode ser visto pela figura 3.

Figura 3: Esquema do pndulo de toro utilizando uma haste com furos e massas acopladas

Todos os resultados obtidos nos trs procedimentos foram anotados em tabelas.

Resultados e Discusso Com os valores dos dados experimentais do perodo de oscilaes das diferentes barras metlicas, pode-se fazer um grfico do quadrado do perodo em funo da grandeza mL, de acordo com os valores da tabela 1. Este grfico pode ser visto na grfico 1 em anexo.

T (s) mL (Kg.cm) 0,09 3,23433 0,81 25,47675 1,21 39,601 11,56 109,20 4,84 93,60 6,76 224,00 Tabela 1: Valores utilizados para a realizao do grfico 1

Aplicando-se o Mtodo dos Mnimos Quadrados para achar a melhor reta ajustada para os n = 6 pontos, temos:

yi xi xi xiyi (xi)

25,27 495,1121 73089,3648 8 3298,46046 7 245135,991 6

a = [ xi ] [yi ] n [xiyi ] [xi ] - n [xi2 ] a = 0,037638431 b = [xiyi ] [xi ] [xi2 ] [yi ] [ xi ] - n [xi2 ] b = 1,105792882 y = ax + b y = 0,038x + 1,106 Ento, temos que: T = 0,038mL + 1,106 (10) Ajustando os valores do T e mL pela expresso (10) temos a tabela 2:

T (s) 1,23

mL (Kg.cm) 3,23433

2,07 25,47675 2,61 39,601 5,26 109,20 4,66 93,60 9,62 224,00 Tabela 2: Valores ajustados A partir da forma da equao de movimento do pndulo de toro, pode-se calcular o valor do mdulo de toro k que depende das caractersticas do fio. Assim: T = mL 4 12k k = mL (11) 3T

Levando em considerao o valor do coeficiente angular da equao da reta ajustada (10), pode-se substituir as incgnitas na equao (11) e achar o valor de k, desprezando o termo constante b da reta ajustada. Logo: k= mL k = 86,5754772 3(0,038mL)

Portanto, o valor determinado de k para o pndulo de toro k= 86,58 gcm/s. A partir dos dados recolhidos experimentalmente do perodo de oscilaes para a haste de acrlico com as massas M penduradas, pode-se fazer um grfico do quadrado do perodo em funo do quadrado da distncia d, de acordo com os valores da tabela 3. Este grfico pode ser visto no grfico 2 em anexo.

T (s) d (cm) 51,84 445,21 31,36 196,00 17,64 82,81 11,56 25,00 9,61 4,41 Tabela 3: Valores utilizados para a realizao do grfico 2Como se observa um comportamento linear dos pontos, pode-se aplicar o Mtodo dos Mnimos Quadrados para se achar a melhor reta ajustada aos pontos.

yi xi xi2

122,01 753,43 244129,8 9

xiyi(xi) a = [ xi ] [yi ] n [xiyi ] [xi ] - n [xi2 ] a = 0,096733 b = [xiyi ] [xi ] [xi2 ] [yi ] [ xi ] - n [xi2 ] b = 9,825682 y = ax + b

31018,39 567656,8

y = 0,0967x + 9,8257 , sendo y=T e x=d, temos: T = 0,0967d + 9,8257 (12)

Sabendo-se que T = mL + 2Md 4 12k k T = mL + 8 M d (13) 3k k Assim, comparando-se a equao (12) l com a equao (13), tem-se: mL = 9,8257 3k 8 M = 0,0967 k a partir de (14): mL = 9,8257 3k k= m L . 3 . 9,8257 (14) , temos:

(15)

k = 129,7438251 Kg cm usando o valor de k em (15):

M = 0,0967 k 8 M = 0,159 Kg Pode-se comparar os valores de M calculado experimentalmente e o obtido na balana atravs da discrepncia relativa: = | 0,183 0,159 | . 100% | 0,183 | = 13,12 % Como o valor de discrepncia relativa foi acima do limite aceitvel de 10% pode-se concluir que as medidas no foram muito exatas. Os fatores de erro podem ser a dificuldade de se observar 5 perodos completos de oscilao da haste, a interferncia de fatores externos tais como o vento, ou o fato da haste no estar bem presa garra. O fato do fio j ter sido usado anteriormente em outras experincias tambm pode ser considerado como um fator de erro, j que com dobras, ele no estava totalmente esticado, influenciando no funcionamento do sistema. __ Como sabemos que T = I k no qual I = IR +IM, temos: T = 4 (2Md + IR ) (16) k comparando a equao (16) com a equao (12), obtm-se: IR 4 = 9,8257 k IR= 32,29027935 Kg cm Experimentalmente o valor de IR obtido foi de: IR = m L 12 IR = 32,29166667 Kg cm Calculando-se a discrepncia, tem-se:

= | 32,29027935 32,29166667 | | 32,29027935 | = 0,000043 = 0,0043% Como o valor de discrepncia relativa foi muito baixo, pode-se concluir que a medida experimental do momento de inrcia da haste como pndulo de toro foi muito boa. A partir dos dados coletados, pode-se compor a grandeza T/I(4), que consta na tabela 4 junto com os valores do comprimento do fio. T/I(4) 0,003233 0,004132 0,004792 0,00514 0,005874 0,006656 0,007066 C (cm) 7,0 9,0 11,0 13,0 15,0 17,0 20,0

Tabela 4: Valores experimentaisTraa-se o grfico log-log da grandeza T/I(4) em funo de C, de acordo com os valores da tabela 5 do logaritmo desses valores. O grfico 3 est em anexo.

Tabela 5: Valores dos logaritmos das grandezas Aplicando-se o Mtodo dos Mnimos Quadrados para achar a melhor reta ajustada para os n = 7 pontos, temos:

log (T/I(4)) -2,490341313 -2,383850289 -2,319480922 -2,289000989 -2,231073597 -2,176769105 -2,150839151

log (C) 0,84509804 0,954242509 1,041392685 1,113943352 1,176091259 1,230448921 1,301029996

yi xi xi xiyi (xi)

-16,04135537 7,662246763 8,540012228 -17,44531735 58,71002546

a = [ xi ] [yi ] n [xiyi ] [xi ] - n [xi2 ] a = 0,743511304 b = [xiyi ] [xi ] [xi2 ] [yi ] [ xi ] - n [xi2 ] b = -3,105474643 y = ax + b y = 0,744x 3,106 T = 0,744C 3,106 (17) 4I A dependncia de k e C obtida pela equao do perodo para o pndulo de toro: ____ T = 2 (I/k) T = 1 4I k (18)

Assim, relacionando a equao (18) com a reta obtida pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados (17), temos: 1 = 0,744C 3,106 k A expresso do perodo de oscilao em funo de C e d obtida por: T = 4 I k onde I = mL + 2Md, ento temos que: 12

T = 4 .(mL + 2Md) (19) k 12 Assim, como a grandeza T/I(4) est relaciona com C como uma funo do tipo potncia: T/I(4) = jCn (20). Aplicando o logaritmo nessa expresso (20), temos que: log [T/I(4)] = log j + n log C Relacionando com a equao da reta obtida pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados (17), temos: b = log j k = 10b j = 0,0007843779147 n = a n = 0,743511304 Ento: T = 0,0007843779147.C0,743511304 4I Como se relacionou em (18) a grandeza T/I(4) com k temos que: k= 1 . 0,743511304 0,0007843779147.C

Portanto, substituindo em (19) a expresso de k e aos valores de L = 50,0cm, m = 0,155 Kg e M = 0,183Kg, temos a expresso: T = 4(32,29+0,366d)7,8x10-4.C0,74

Concluso A partir dos experimentos realizados, observou-se que existe uma relao entre o perodo de oscilao do pndulo de toro, sua distribuio de massa e o comprimento do fio que sustentava o pndulo. Os clculos realizados no experimento obtiveram o valor do mdulo de toro k com a equao do movimento do pndulo de toro. Alm disso, os clculos permitiram determinar o momento de inrcia I de um corpo e o valor da massa M acoplada

haste. Comparando-se os valores de I e M obtidos experimentalmente com seus valores reais, conclui-se que I foi obtido com xito, uma vez que apresentou discrepncia relativa bastante baixa. O valor de M obtido experimentalmente, por sua vez, no obteve tanto sucesso, sua discrepncia relativa atingiu valores acima do aceitvel de 10%. Estes erros podem ter sido ocasionados por diversos fatores j citados na parte de resultados e discusso. Por fim, foi encontrada a relao entre k e C, concluindo-se que quanto menor o valor de C, maior o valor de k. O experimento permitiu a constatao de que o valor do perodo de oscilao do pndulo de toro est em funo do comprimento C do fio, do comprimento L da barra e da distncia d entre as massas e o centro da haste.

Referncias HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de fsica. 2. ed. Rio de Janeiro, RJ: Livros Tcnicos e Cientficos, 1993. 2 v. www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi/.../resumos/T0484-4.pdf (acessado em 17/09 s 11:26 h) http://www.ebah.com.br/rel-pendulo-de-torcao-upload-doc-doc-a7251.html (acessado em 17/09 s 11:28 h) http://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_de_Cavendish (acessado em 17/09 s 12:10 h) http://www.if.ufrgs.br/historia/cavendish.html (acessado em 17/09 s 12:10 h) http://www.fisica.ufs.br/apostilas/Apostila2009.pdf (acessado em 17/09 s 12:30 h) Folha de questes Questo 1: O experimento de pndulo de toro poderia ser realizado em um trem com movimento retilneo uniforme (MRU). Esse pndulo se comporta de acordo com a 1 Lei de Newton, em que o referencial inercial do pndulo o trem, ou seja, para o pndulo o trem estaria parado. Assim, como enunciado por Isaac Newton:

"Se um corpo se deslocar em linha reta com uma certa velocidade, continuar indefinidamente em movimento na mesma direo e com a mesma velocidade se nenhuma fora agir sobre ele." Logo, como no MRU a velocidade constante (acelerao do trem igual a zero), o pndulo tambm possui velocidade constante igual ao trem. Portanto, no agindo foras dissipativas que alterem a oscilao deste pndulo, ele ir descrever o mesmo Movimento Harmnico Simples realizado fora do trem com MRU.

Questo 2: Como visto o perodo do pndulo de toro no depende da constante da gravidade g segundo a equao: T = mL 4 12k Nota-se que o perodo nesse pndulo possui dependncia com k, mdulo de toro que depende das caractersticas do fio como elasticidade e comprimento. Isso ocorre porque a fora restauradora no pndulo de toro depende do valor de k e, portanto, se este experimento fosse realizado na Lua, o perodo seria igual ao medido na Terra j que no se verifica relao entre perodo e constante de gravidade neste pndulo. No caso do pndulo simples, observa-se que o perodo est relacionado com a constante da gravidade local de acordo com a frmula: T = L 4 g Isso ocorre porque o torque restaurador desse sistema o peso da massa do pndulo e que, portanto, depende de g. Assim, um pndulo simples na Lua ir possuir um perodo de oscilao maior do que o perodo de oscilao do mesmo pndulo na Terra (g da Lua gTerra.1/6). Questo 3: No pndulo de toro, a gravidade no est diretamente relacionada com o perodo, uma vez que a fora restauradora no de carter gravitacional, a fora restauradora ocorre devido a tenso da corda. A ao da corda serve no sistema apenas para esticar o fio, logo pode-se concluir que, se houver uma forma de manter o fio esticado na nave espacial, ou em um local de gravidade nula, o pndulo de toro funcionaria normalmente, sem haver mudana no valor do perodo. Questo 4:

No pndulo de toro, o seu perodo de oscilao obedece a equao (1): ___ T = 2 I (1) k como o momento de inrcia diretamente proporcional ao quadrado do comprimento do fio (I L), quanto menor o fio, menor o seu perodo de oscilao, o que pde ser confirmado experimentalmente. No clculo do perodo do sistema massa mola, utiliza-se a equao (2): ___ T = 2 m k (2)

sendo que na associao de molas em paralelo, k igual a soma das constantes das molas associadas: k = k1+ k2 + ... + kn (3) Logo, quanto mais molas associadas, menor o perodo de oscilao, de maneira anloga reduo no comprimento do fio do pndulo de toro. Questo 5: Na associao de molas em paralelo, a fora aplicada sobre o sistema distribuda pelas molas de forma homognea, conseqentemente, a deformao de cada mola ser menor se comparada deformao de apenas uma mola recebendo a mesma fora. Logo, o perodo em uma associao de molas em paralelo diminui. Para que o sistema massa mola em paralelo seja anlogo um acoplamento de pndulos de toro, este deve apresentar os fios do sistema organizados geometricamente paralelos, ou seja, os fios devero ter uma das extremidades fixadas na base e a outra amarrada haste. Dessa maneira, ao utilizar a mesma angulao da toro, o perodo desta diminuir, da mesma forma que um sistema massa mola.

Questo 6: A experincia de Cavendish realizada em 1797 foi concebida no laboratrio e objetivava a determinao da densidade da Terra e tambm foi capaz de conseguir valores da constante g da lei da gravitao universal de Isaac Newton e da massa da Terra. Esta experincia est relacionada ao pndulo de toro, pois o experimento realizado por Henry Cavendish consistia em uma balana de toro na qual duas

massa foram fixadas numa barra suspensa por um fio (semelhante ao pndulo de toro realizado no laboratrio de fsica). Duas outras massas maiores foram mantidas fixas nas proximidades das massas menores com uma distncia inicial d. Um deslocamento da massa menor na direo da maior massa ocorre devido a fora de interao gravitacional e, assim, o fio que sustenta a barra sofre uma toro. A medida do ngulo de toro determina a constante da gravitao universal (G), presente na lei da gravitao universal de Newton. Na figura 1 abaixo permite uma melhor visualizao do experimento realizado por Cavendish.

Figura 1 da balana de toro de CavendishQuesto 7: Exemplos de aparelhos que utilizam o pndulo de toro para o seu funcionamento so: roda de engrenagem, hlice de avio, balana de toro de Cavendish, galvanmetro, volante de relgio, relgio de pndulo, digital, de bolso e eletrnico.

Anexo I

Grfico T(s) x mL(Kg.cm)14 12 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 250 y = 0,0376x + 1,1058 Pontos Experimentais Linear (Pontos Experimentais)

Grfico 1: Grfico quadrado do perodo em funo da grandeza mL

Grfico T(s) x d(cm)60 50 40 30 20 10 0 0 100 200 300 400 500 y = 0,0967x + 9,8257 Pontos Experimentais Linear (Pontos Experimentais)

Grfico 2: Grfico do quadrado do perodo em funo do quadrado da distncia

Grfico log(T/I(4 )) x log(C)-2,1 -2,15 0 -2,2 -2,25 -2,3 -2,35 -2,4 -2,45 -2,5 -2,55 Linear (Logaritmo dos pontos) y = 0,7435x - 3,1055 Logaritmo dos pontos 0,5 1 1,5

Grfico 3: Grfico do logaritmo de T/I(4) em funo do log (C)