Pensando em Progressão...

Pensando em Progressão

Geométrica

Série Cultura

Objetivos

1. Desenvolver a proposta de

interdisciplinaridade, relacionando

conteúdos matemáticos a referências

literárias;

2. Elaborar uma situação que propicie o

estudo de progressões geométricas.

Pensando em Progressão Geométrica

Série

Cultura

Conteúdos

Progressão geométrica.

Duração

Aprox. 10 minutos.

Objetivos

1. Desenvolver a proposta de interdisciplinaridade, relacionando conteúdos matemáticos a referências literárias;

2. Elaborar uma situação que propicie o estudo de progressões geométricas.

Sinopse

Alice reencontra seu mais novo amigo, o hippie Tejaire, que ela conheceu no áudio Pensando em

Progressão Aritmética, e desta vez quer saber como a Alice daquela história voltou ao seu tamanho normal, após ter ficado pequeninha por ter bebido um líquido mágico.

Material relacionado

Áudios: Pensando em progressão

aritmética.

Experimentos: Quadrado mágico

multiplicativo.

ÁUDIO

Pensando em progressão geométrica 3/13

Introdução

Sobre a série

A série Cultura foi concebida com o objetivo de proporcionar aos alunos a oportunidade de fazer paralelos significativos entre Literatura, Cultura Geral e Matemática. Além de poder observar resoluções de problemas de matemática, consideramos importante que o aluno se sinta estimulado a buscar as referências literárias e expandir seu conhecimento em diversas áreas. Por conta disso, sugerimos que seja feita uma indicação explícita das referências que aparecem no roteiro.

Sobre o programa

Este áudio apresenta ao aluno a ideia de progressão geométrica através de uma história livremente inspirada no livro Alice no País das Maravilhas, de Lewis Carroll.

Na nossa ficção, que é a continuação da história contada no áudio Pensando em Progressão Aritmética, a jovem Alice reencontra seu amigo Tejaire e indaga como a Alice da canção voltou ao seu tamanho normal depois de ter bebido um líquido mágico e ficado pequeninha.

Tejaire, espirituoso como sempre, explica-lhe que Alice encontrou, enquanto caminhava por uma floresta encantada daquele país, um bolo especial e uma lagarta falante que lhe disse que o bolo poderia fazê-la crescer ou diminuir de tamanho ainda mais, dependendo do lado que ela o mordesse.

Contando apenas com sua sorte, Alice comeu um pedaço do bolo e dobrou de tamanho; depois, voltou a comê-lo daquele mesmo lado, dobrando novamente de tamanho. Foi então que ela percebeu que o bolo a fazia crescer em progressão geométrica, o que naturalmente levou-a se perguntar:

ÁUDIO


Quantos bocados de bolo ela ainda teria de comer para retornar ao

seu tamanho original?

Figura 1. A lagarta falante encontrada por Alice, por John Tenniel.

Sobre as referências culturais

Alice no País das Maravilhas é uma história escrita pelo romancista e matemático britânico Charles Lutwidge Dodgson, sob o pseudônimo de Lewis Carrol, em 1865. Três anos antes, Lewis Carrol contava, de improviso, às três filhas do reitor da universidade na qual trabalhava uma história sobre uma menina chamada Alice que ia parar em um mundo fantástico após cair numa toca de um coelho: foi a sua inspiração. Esta obra se tornou rapidamente um grande sucesso e contou com uma continuação em Alice através do Espelho e o que ela encontrou por lá, que foi publicada em 1871.

ÁUDIO


Em ambas as histórias, o autor preocupou-se em incluir referências a conceitos matemáticos e lógicos, tais como as ideias de limite de uma função, a representação de números em diferentes bases numéricas e a diferença semântica entre uma determinada frase e a frase contendo uma afirmação inversa a ela.

O personagem principal de Alice no País das Maravilhas evidentemente é a própria Alice, uma menininha de 7 anos, bastante curiosa, e por vezes também petulante. Alguns dos marcantes personagens com quem ela faz amizade em meio as suas aventuras pelo País das Maravilhas são o Coelho Branco, o Gato Risonho e o Chapeleiro Maluco, todos eles um pouco, ou muito, loucos.

Figura 2. Uma ilustração de Alice, por John Tenniel.

Sobre o conteúdo

Uma progressão geométrica é uma sequência de números

ÁUDIO


(a1, a

2, a

3, a

4, ...)

em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. Por esta razão, qualquer um de seus termos pode ser escrito na forma

an = a

1⋅qn-1,

em que q é denominada razão da progressão geométrica.

Por exemplo, a sequência das potências inteiras e positivas de 2,

(2n)n ∈ IN

= (2, 4, 8, 16, 32, ...),

é uma progressão geométrica de razão 2, já que 2n = 2⋅2n-1, qualquer que seja o número natural n.

Muito frequentemente é interessante somar um número finito e consecutivo de termos de uma tal progressão, o que pode facilmente ser feito pela aplicação da fórmula

Sm,n = a

m ⋅ (1-qn)/(1-q),

que indica qual é o resultado da soma do m-ésimo ao (m+n-1)-ésimo termo da sequência, com n ∈ IN. Esta expressão é comumente substituída nos livros didáticos de matemática por uma versão mais simplificada,

Sn = a

1 ⋅ (1-qn)/(1-q),

que apenas nos mostra como somar os n primeiros termos de uma progressão geométrica. No entanto, a fórmula geral não é difícil de ser deduzida notando-se que

Sm,n = a

m + a

mq + a

mq2 + ... + a

mqn-2 + a

mqn-1

e, também, que

q⋅Sm,n = a

mq + a

mq2 + a

mq3 + ... + a

mqn-1 + a

mqn,

ÁUDIO


de modo que, subtraindo ambas as expressões, chegamos a

(1-q)⋅Sm,n = a

m - a

mqn.

Se supusermos ainda que |q| < 1 e somarmos um número infinito de termos desta progressão, concluiremos então que

Sm,∞ = a

m/(1-q),

uma vez que qn tenderá a zero nestas condições.

Existe uma outra prova geométrica deste fato que é bastante interessante. Sem perda de generalidade, faça a

m = 1 e considere a

seguinte figura, em que |AB| = |AD| = 1, |DE| = q, AC e BF são segmentos de reta paralelos entre si e todos os demais segmentos de reta, com exceção de BC, são perpendiculares ao segmento AC. Cada um desses últimos segmentos tem uma potência de r como medida, para toda potência inteira não negativa.

Figura 3. Ilustração orientando a demonstração geométrica da expressão da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.

Desta forma, os quadriláteros ABED, DEHG, GHJI e assim por diante, são todos semelhantes entre si, de modo que |AD| = q, |DG| = q2, |GI| = q3, etc. Portanto,

|AC| = |AD| + |DG| + |GI| + ... = 1 + q + q2 + ...,

que é justamente a quantidade que estamos interessados em determinar. Enfim, segue da semelhança entre os triângulos ABC e FEB que

ÁUDIO


|AC|/|AB| = |BF|/|FE|,

ou seja,

Sm,∞ = |AC| = 1/(1-q).

Sugestões de atividades

Antes da execução

Se possível, por conta de uma coerência didática, este áudio deve ser apresentado na sequência do programa Pensando em Progressão

Aritmética. Procure explicar aos seus alunos o que é uma sequência de números em progressão geométrica antes de exibir este áudio a eles, mostrando diversos exemplos de tais sequências, tais como a sequência das potências inteiras de 2,

(..., -1/8, -1/4, -1/2, 1, 2, 4, 8, ...),

a sequência alternada das potências naturais de -3,

(-3, 9, -27, 81, -243, ...),

a sequência de termos constantes e iguais a 5,

(5, 5, 5, 5, 5, 5, ...),

e assim por diante, ressaltando qual é a razão e o primeiro termo em cada progressão. É bastante proveitoso deduzir as fórmulas da soma de termos consecutivos de uma progressão geométrica, visto que o raciocínio aí empregado é recorrente na própria aplicação das fórmulas e na interpretação dos exercícios nos quais elas se aplicam. Se houver tempo hábil, não deixe de demonstrar geometricamente aos seus estudantes a fórmula para a soma de um número infinito de termos de uma progressão geométrica.

ÁUDIO


Depois da execução

Agora é o momento de resolver alguns bons exercícios de progressões geométricas com seus alunos. Temos algumas sugestões bastante abrangentes, que abordam desde a aplicação de fórmulas já discutidas até a demonstração de outras mais.

Exercício 1. St. Ives é uma pequena cidade inglesa que aparece em uma rima infantil do século XVIII bastante divertida, em que um problema matemático pode ser encontrado:

As I was going to St. Ives,

I met a man with seven wives;

Every wife had seven sacks,

Every sack had seven cats,

Every cat had seven kits.

Kits, cats, sacks, and wives,

How many were going to St. Ives?

A caminho de St. Ives,

Encontrei um homem com sete esposas;

Cada esposa tinha sete sacos,

Cada saco tinha sete gatos,

Cada gato tinha sete gatinhos,

Gatinhos, gatos, sacos e esposas,

Quantos iam a caminho de St. Ives?

Você consegue solucionar este problema?

Solução: O homem encontrado pelo narrador da história possuía 7 esposas e cada esposa tinha 7 sacos. Portanto, havia um total de 72 sacos. Em cada saco estava 7 gatos e cada um deles cuidava de outros 7 gatinhos. Assim, havia 73 gatos e 74 gatinhos ao todo. Logo, o número de gatinhos, gatos, sacos e esposas que iam a St. Ives era

7 + 72 + 73 + 74,

ou seja,

S1,4 = 7 ⋅ (1-74)/(1-7) = 2800.

Considerados o marido dessas mulheres e o narrador, 2802 iam então a St. Ives.

ÁUDIO


Exercício 2. No áudio Pensando em Progressão Aritmética, foi dito que a Alice diminuía 30cm a cada vez que bebia a poção mágica que ela encontrou. O áudio Pensando em Progressão Geométrica, paralelamente, contava que a Alice tinha sua altura dobrada a cada vez que ela comia um determinado bolo. Se a altura inicial de Alice era de 1,60m e ela perdeu altura até atingir 10cm, quantos pedaços de bolo ela terá de comer para voltar a sua estatura original?

Solução: A altura atual de Alice é 10cm. Precisamos, portanto, determinar um número natural n tal que 2n⋅10 = 160. Encontramos, facilmente, que n = 8. Logo, Alice precisa comer 8 pedaços de bolo para voltar a ter 1,60m.

Exercício 3. Nas mesmas condições do exercício anterior, se Alice cresceu até 6,40m após ter comido dois pedaços de bolo, quantos goles da poção mágica ela precisaria tomar para voltar a sua altura de 1,60m?

Solução: Estamos trabalhando com a progressão aritmética

(640cm, 610cm, 580cm, 550cm, ...)

de primeiro termo 640cm e razão -30cm. Usando a expressão do termo geral de uma progressão aritmética, queremos encontrar n tal que

160 = 640 + (n-1)⋅(-30),

pois, assim, saberemos que Alice precisa beber n-1 goles da referida poção para voltar a ter 1,60m de altura. Precisamos descontar uma unidade de n para achar o número correto de goles a serem tomados pela Alice, porque, do contrário, após tomar o primeiro gole ela continuaria com 6,40m de altura, o que não deve ocorrer. Resolvendo a equação, encontramos que n = 17.

ÁUDIO


Exercício 4. Com a combinação dos efeitos da poção e do bolo descritos no primeiro exercício, é possível fazer com que a Alice atinja uma altura de 8,00m?

Solução: Para que a Alice fique com 8,00m de altura, ela pode, por exemplo, tomar dois goles da poção, atingindo assim a altura de 1,00m e depois comer três pedaços de bolo, dobrando sua altura três vezes seguidas.

Agora, vamos sugerir alguns exercícios mais sofisticados sobre progressão geométrica mas sem relação direta com o contexto do áudio.

Exercício 5. Qual é o limite da expressão

,

onde x é um número positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente?

Solução: Notando-se que

pode-se escrever

.

Mas

e, assim, curiosamente,

ÁUDIO


.

Exercício 6. Mostre que o produto dos n+1 primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a

1 = a e razão q positivos é

a (n+1)-ésima potência da média geométrica dos termos a1 e a

n+1, isto

é,

,

dados a > 0 e q > 0.

Solução: Denotando o referido produto por P , tem-se que

P = a ⋅ aq ⋅ aq2 ... aqn-1 ⋅ aqn,

ou então,

P = an+1 ⋅ q1 + 2 + ... + n-1 + n,

ou ainda,

P = an+1 ⋅ qn(n+1)/2.

Desta forma,

P = (aqn/2) n+1,

de onde segue que

P2 = (a2qn)n+1=(a⋅aqn)n+1=(a1⋅a

n+1)n+1,

os seja,

,

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como queríamos demonstrar.

Sugestões de leitura

L. Carroll (2010). Alice no País das Maravilhas, Publifolha. L. Carroll (2010). Alice Através do Espelho, Editora Scipcione. G. Iezzi e S. Hazzan (2004). Fundamentos da Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas, vol. 4, Atual Editora.

Ficha técnica

Autor Douglas Mendes

Revisor Leonardo Barichello, Carolina Bonturi Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Diretor Jayme Vaz Jr.

Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira

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