Pesquisa em memória primária: hashing

Algoritmos e Estruturas de Dados II

2

Hashing Dinâmico Lembre que hashing tem tempo O(1) em

média só se M = cN

Se N crescer demais, esta condição será violada e a performance será afetada

3

Hashing Dinâmico A solução é aumentar o tamanho da tabela

por um fator f > 1 e fazer um rehashing dos elementos sempre que o fator de carga ultrapassar um limiar

Se a tabela aumenta por uma porcentagem fixa, é possível mostrar que o tempo necessário para redimensionamento, distribuído sobre as operações de inserção, é uma constante

4

Hashing Dinâmico

void expande(TipoPesos p, TipoDicionario T) {

T2 = NovoHeap(f * M);for (i = 0; i < M; i++)

if (((strcmp(T[i].Chave, Vazio) != 0) &&

(strcmp(T[i].Chave, Retirado) != 0)

InsereHashing(T[i].Chave,p,T2);}

/* libera a memória para T */

5

Hashing Dinâmico: Análise Considere a inserção de N elementos

Os redimensionamentos ocorreram quando tínhamos N/f, N/f2, N/f3... Elementos

O custo gasto no total foi N(1/f +1/f2 + ...), que converge para N(f/(f-1))

Assim, para inserir N elementos, gastamos cN operações no total, portanto o custo de inserção de cada elemento foi constante na média

6

Hashing Duplo Mecanismo para resolução de colisão

Endereçamento aberto apresenta o efeito de agrupamento

Solução: hashing duplo Ao invés de examinar cada uma das posições

sucessivas após uma colisão, uma segunda função de hashing é utilizada

Elementos inicialmente endereçados no mesmo local terão diferentes sequências de tentativas de inserção

7

Hashing DuploApontador Pesquisa(TipoChave Ch, TipoPesos p, TipoDicionario T) { unsigned int i=0, count = 0;unsigned int Inicial, segundo;

Inicial = h(Ch, p); /* transforma a chave */ segundo = h2(Inicial); /* h2(x) = ((x%97)+1) */

while ((strcmp(T[(Inicial + i) % M].Chave, Vazio) != 0) && (strcmp(T[(Inicial + i) % M].Chave, Ch) != 0) && (count < M)) { i += segundo; count++;

}

if (strcmp(T[(Inicial + i) % M].Chave, Ch) == 0) return ((Inicial + i) % M); else return M; /* Pesquisa sem sucesso */}

8

Hashing Universal Para qualquer função de transformação h, de modo

geral, existe um conjunto de N chaves que serão todas mapeadas na mesma posição da tabela

Idéia: criar h com a introdução de elementos aleatórios

Toda vez que o algoritmo for executado para um conjunto de inserções S, teremos uma função h diferente, o que distribui o custo de um eventual pior caso

O valor esperado de colisões será de no máximo N/M

9

Hashing Universal Uma família H de funções hashing é

universal se para quaisquer duas chaves, a probabilidade de colisão entre as duas é de no máximo 1/M quando a função for escolhida aleatoriamente em H

Se H for universal, o valor esperado de colisões entre uma chave qualquer do conjunto de possíveis chaves e chaves de um conjunto S de N chaves, para h’s escolhidas aleatoriamente em H é de no máximo N/M

10

Hashing Universal Considere que as chaves têm u bits

Considere que o tamanho da tabela é uma potência de 2, de maneira que os índices da tabela têm b bits e M = 2^b

Gere aleatoriamente uma matriz b x u de 0’s e 1’s

h(x) será dado por Ax mod 2

11

Hashing Universal – Exemplo

12

Hashing Perfeito Dado um conjunto fixo S de N elementos

Uma função de espalhamento h é perfeita se

h(xi) ≠ h(xj) para todo i ≠ j em S Desta maneira, não haverá colisões de

chaves.

h é perfeita mínima se mapeia os elementos de S nos inteiros {0,...,N-1}

13

Hashing Perfeito – Estratégia 1 Crie uma tabela com M = N^2 entradas,

retire uma função h aleatoriamente de H

Existe 50% de chances de ser uma função perfeita!

14

Hashing Perfeito – Estratégia 2 Crie uma tabela de tamanho N

Sorteie uma função h aleatoriamente em H

Para cada posição i de T, crie um hash perfeito Ti utilizando a estratégia 1, seja hi a função de mapeamento daquele hash

Seja yi o número de elementos mapeados na posição i de T, o hash Ti terá yi

2 posições

Para acessar x, computamos i = h(x), depois Ti [hi (x)]

15

Hashing Perfeito – Estratégia 2 Existe uma grande probabilidade de que

Isto é, dado h sorteado aleatoriamente de um conjunto universal H, a probabilidade de que seja maior que 4N é menor que 50%

Portanto, este método gasta O(N) de memória

16

Exercícios Mostre o estado final de um dicionário com resolução de

conflitos por encadeamento depois da inserção das chaves q u e s t a o f c i l. Considere que o dicionário não armazena chaves duplicadas, que o valor de cada caractere é sua ordem no alfabeto e que o dicionário possui uma tabela com 5 listas (isto é, M = 5).

Mostre o conteúdo de um dicionário com resolução de conflitos com endereçamento aberto depois da inserção das chaves q u e s t a o f c i l. Considere que a tabela do dicionário tem 17 posições e que o valor de cada caractere é sua ordem no alfabeto.