Pesquisa Operacional 2_Aula 1

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Pesquisa Operacional 2 FACULDADE PITÁGORAS Engenharia de Produção Disciplina: Pesquisa Operacional 2: Prof. Msc. Joabe Silva

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Aula sobre Teoria das Filas - Introdução, modelos matemáticos, probabilidades e exercícios.

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Disciplina: Pesquisa Operacional 2:

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Introdução.1

Equações matemática e relações do modelo.2

SUMÁRIO

Exercícios.3

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1. TEORIA DE FILAS - INTRODUÇÃO

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A abordagem matemática de filas se iniciou no princípio deste século (1908) em Copenhague,Dinamarca, através de A. Kendall Erlang, considerado o pai da Teoria das Filas, quandotrabalhava em uma companhia telefônica estudando o problema de redimensionamento decentrais telefônicas. Foi somente a partir da segunda guerra mundial que a teoria foi aplicadaa outra problema de filas.

Apesar dos enormes progressos alcançados pela teoria, inúmeros problemas não sãoadequadamente resolvidos por causa de complexidades matemáticas.

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1. TEORIA DE FILAS - INTRODUÇÃO

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Um dos tópicos da Pesquisa Operacional com muitas e variadas aplicações é a Teoria dasFilas.

TEORIA DAS FILAS

O que é?

Ramo da Probabilidade quetrata do problema de

congestionamento de sistemas.

Qual Característica?

Presença de “clientes” solicitandoalgum serviço a “Fornecedores”

Quais Aplicações

• Política de atendimento a público;• Estudo de almoxarifados;• Prioridades em Centros deProcessamento de Dados;• Planejamento de equipes demanutenção;• Programação de tráfego aéreo.

LEIS DE MURPHY: “a fila que anda é a outra, mas

não adianta trocar de fila, pois a fila que anda é a

outra”.

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1. TEORIA DE FILAS - INTRODUÇÃO

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Carro com problema

na suspensão.

- Não se danifica

regularmente !

Equipe de manutenção.

- Ainda que bem treinada,

os tempos de atendimento

são diferentes !

Fila de carros

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃOHaverá dias em que não existirá nenhum carro para reparos. No entanto, haverá dias em que a

quantidade de carros para reparo é superior à capacidade das equipes de manutenção.

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Carro com problema

na suspensão.

- Não se danifica

regularmente !

Equipe de manutenção.

- Ainda que bem treinada,

os tempos de atendimento

são diferentes !

Fila de carros

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

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CONGESTIONAMENTO

Baixa qualidade;

Baixa produtividade;

Alta insatisfação de clientes.

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

O QUE INFLUENCIA O MODO DE OPERAÇÃO DO SISTEMA?

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1º Modo de Chegada 2º Disciplina da Fila 3º Forma de Atendimento

4º Estrutura do Sistema

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

O QUE INFLUENCIA O MODO DE OPERAÇÃO DO SISTEMA?

10

1º Modo de Chegada

o O número de clientes que chegam por unidade de tempo

varia segundo o acaso. Ou seja, de modo aleatório.

o É preciso fazer um levantamento estatístico para saber se o

processo de chegadas pode ser caracterizado por uma distribuição

de probabilidades.

o Obs: É preciso caracterizar o processo quando ele estiver em

regime estacionário.

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

O QUE INFLUENCIA O MODO DE OPERAÇÃO DO SISTEMA?

11

2º Disciplina da Fila o É um conjunto de regras que determina a

ordem em que os clientes serão atendidos.

o Esse atendimento pode ser feito por ordem

de chegada, ordem inversa de chegada ou

prioridade de classes.

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

O QUE INFLUENCIA O MODO DE OPERAÇÃO DO SISTEMA?

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3º Forma de Atendimento

o É necessário para o atendimento: Dimensionamento

de capacidade, Treinamento, Rotinas, Sistemas de

informações e etc;

o É necessário levantar o número de clientes

atendidos por unidade de tempo ou dimensionar o

tempo gasto em cada atendimento.

o Obs: É preciso caracterizar o processo quando ele

estiver em regime estacionário.

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

O QUE INFLUENCIA O MODO DE OPERAÇÃO DO SISTEMA?

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4º Estrutura do Sistema - Cada estrutura de sistema exige um estudo diferente.

Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

Sistema de uma fila e um canal

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

O QUE INFLUENCIA O MODO DE OPERAÇÃO DO SISTEMA?

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4º Estrutura do Sistema - Cada estrutura de sistema exige um estudo diferente.

Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

Sistema de uma fila e três canais

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1. TEORIA DE FILAS – INTRODUÇÃO

O QUE INFLUENCIA O MODO DE OPERAÇÃO DO SISTEMA?

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4º Estrutura do Sistema - Cada estrutura de sistema exige um estudo diferente.

Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Sistema complexo de filas

Canais de Serviço

. . .

Fila de Clientes

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

VARIÁVEIS DE CHEGADA:

Ritmo de Chegada = Quantidade de clientes que chegam por unidade de tempo.

Intervalo de Chegada = Quanto tempo para chegada de cada cliente.

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

VARIÁVEIS DA FILA:

Tempo Médio na Fila TF

Número Médio de Clientes na Fila NF

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

VARIÁVEIS DO ATENDIMENTO:

Tempo Médio de Atendimento TA

Número Médio de Clientes no Atendimento NFRitmo Médio de Atendimentos

Quantidade de Atendentes

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

VARIÁVEIS DO SISTEMA:

Tempo Médio de Permanência no Sistema TS

Número Médio de Permanência no Sistema NS

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

a) Número de clientes no sistema (NS):

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

EXEMPLO: Em uma fábrica observou-se o funcionamento de um dado setor, em que

chegavam 20 clientes/hora, o Ritmo médio de atendimento é de 25 clientes/hora.

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

b) Número de clientes na Fila (NF):

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

c) Tempo Médio na Fila (TF):

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

d) Tempo Médio no Sistema (TS):

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

RELAÇÕES

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2. EQUAÇÕES MATEMÁTICASE RELAÇÕES DO MODELO

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LEI DE LITTLE: O numero médio de elementos no sistema e igual a taxa de

chegada vezes o tempo de permanência no sistema

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2. PROBABILIDADES PARA O MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

1 - Probabilidade de haver n clientes no sistema

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2. PROBABILIDADES PARA O MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

1 - Probabilidade do número de clientes ser superior a um certo valor r

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2. PROBABILIDADES PARA O MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

2 - Probabilidade de o sistema estar ocioso

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2. PROBABILIDADES PARA O MODELO

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Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

3 - Probabilidade de o sistema estar ocupado (taxa de utilização/ocupação)

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2. PROBABILIDADES PARA O MODELO

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4. EXERCÍCIO

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1 - Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam, em média, 4 entregadores por minuto para

pegar o produto a ser entregue. Sabe-se, ainda, que o número médio de entregadores dentro da pizzaria

é de 6 (NS). Qual o tempo médio no sistema?

Chegada de Clientes

. . .

Fila de Clientes

Canal de Atendimento

Saída

Pizzaria

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4. EXERCÍCIO

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2 - Em uma mineração verificou-se que o tempo médio (TS) dos caminhões junto às carregadeiras é de

3 minutos e que, em média, existem 6 caminhões (NS) no setor. Qual a taxa de chegada de

caminhões?

Qual a duração do ciclo, sabendo que existem 30 caminhões em serviço?

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4. EXERCÍCIO

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3 - A Cabine telefônica: Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica tem um ritmo de 6

chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos, Pede-se:

a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar?

b) Qual o número médio de pessoas na fila?

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4. EXERCÍCIO

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3 - A Cabine telefônica: Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica tem um ritmo de 6

chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos, Pede-se:

c) Qual o tempo na fila?

d) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?

ou

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