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Pesquisa Operacional I Prof. Evandro Bittencourt (Dr.) - UDESC - 2015 19 de fevereiro de 2015 Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao 3 1.1 Defini¸c˜ao ...................................... 3 1.2 Metodologia da Pesquisa Operacional ...................... 3 1.2.1 Defini¸c˜ ao do Problema .......................... 3 1.2.2 Desenvolvimento de um modelo matem´atico e aquisi¸c˜ao dos dados . . 4 1.2.3 Resolu¸ c˜aodomodelomatem´atico .................... 4 1.2.4 Valida¸c˜ ao, instrumenta¸ c˜ao e controle da solu¸c˜ ao ............ 4 1.3 Aplica¸c˜ ao ..................................... 4 1.3.1 ´ Areas ................................... 4 1.3.2 Ferramentas ................................ 4 2 Programa¸ ao Linear 4 2.1 Exemplos de problemas .............................. 4 2.2 Exerc´ ıcios Complementares ........................... 10 2.3 An´ alise Gr´ afica .................................. 13 2.3.1 Procedimentos .............................. 13 2.3.2 Exemplo .................................. 13 2.3.3 Exerc´ ıcios ................................. 13 2.4 Exerc´ ıcios Complementares ........................... 15 2.5 O problema de Programa¸c˜ao linear ....................... 16 2.5.1 Formula¸c˜ ao Gen´ erica ........................... 17 2.5.2 Interpreta¸c˜ ao Econˆ omica ......................... 17 3 O M´ etodo do Simplexo 18 3.1 Algoritmo Simplexo - Exemplo .......................... 18 3.2 Exerc´ ıcios ..................................... 20 3.3 Exerc´ ıcios Complementares ........................... 20 3.4 Problemas Especiais de Formula¸ c˜ao ....................... 21 3.4.1 Formula¸c˜ ao ................................ 21 3.4.2 Dificuldades Durante a Solu¸c˜ ao pelo M´ etodo do Simplexo ....... 22 3.5 etodo do Simplexo - Fase I/Fase II ...................... 22 3.5.1 Procedimento para a Fase I ....................... 23 3.5.2 Exemplo .................................. 23 3.5.3 Exerc´ ıcios ................................. 24 3.5.4 Exerc´ ıcios complementares ........................ 24 1

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Pesquisa Operacional I

Prof. Evandro Bittencourt (Dr.) - UDESC - 2015

19 de fevereiro de 2015

Sumario

1 Introducao 31.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Metodologia da Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Definicao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Desenvolvimento de um modelo matematico e aquisicao dos dados . . 41.2.3 Resolucao do modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Validacao, instrumentacao e controle da solucao . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Ferramentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Programacao Linear 42.1 Exemplos de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Analise Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 O problema de Programacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1 Formulacao Generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.2 Interpretacao Economica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 O Metodo do Simplexo 183.1 Algoritmo Simplexo - Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Problemas Especiais de Formulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Formulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2 Dificuldades Durante a Solucao pelo Metodo do Simplexo . . . . . . . 22

3.5 Metodo do Simplexo - Fase I/Fase II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5.1 Procedimento para a Fase I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.4 Exercıcios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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4 Analise de Sensibilidade 254.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Variacao na Funcao Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 Variacao na Quantidade de Recursos Escassos . . . . . . . . . . . . . 264.2.3 Preco Sombra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Exercıcio - Problema - Alocacao de Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Exercıcios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Solver 315.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 O problema Dual 346.1 Caracterizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2 Explicacao economica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Pert - Redes de Precedencia 377.1 Caracterizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 Caminho Crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.4 Modelagem das Redes de Precedencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5 Formacao das Redes de Precedencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.6 Detalhamento das Redes de Precedencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.8 Atividades fantasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.9 Restricoes adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.11 Metodo Frances - diagrama de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.11.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.12 Programacao e nivelamento de recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.13 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8 Programacao Inteira 568.1 Tipos de problemas de programacao inteira (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . 568.2 Programacao Inteira e Programacao Linear (PL) . . . . . . . . . . . . . . . . 568.3 Abordagem para solucao de problemas de PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.4 Metodo Branch-and-Bound para solucao de problemas PIs puros . . . . . . . 568.5 Aspectos importantes do Branch-and-bound p/ PIs puros . . . . . . . . . . . 608.6 Metodo Branch-and-Bound para solucao de PIs mistos . . . . . . . . . . . . 618.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.8 Exemplo Branch-and-Bound em problemas de sequenciamento de trabalhos

em maquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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1 Introducao

1.1 Definicao

E uma metodologia de estruturar processos aparentemente nao estruturados por meio daconstrucao de modelos. Utiliza um conjunto de tecnicas quantitativsas com o intuito deresolver os aspectos matematicos dos modelos. (Pierre Jacques Ehrlich)

Aplicacao do Metodo Cientıfico, por equipes interdisciplinares a problemas que dizem res-peito ao controle de seistema organizados (homem-maquina), com a finalidade de obter assolucoes que melhor satisfacam aos objetivos da organizacao, como um todo. (Joao Vitor

Moccelin)

1.2 Metodologia da Pesquisa Operacional

A Metodologia da Pesquisa Operacional e representada na forma de um fluxo (Fig. 1).

Figura 1: Metodologia da Pesquisa Operacional

Definicao doProblema

Desenvolvimento de ummodelo matematico eaquisicao dos dados

Resolucao domodelo

matematico

Solucao

Modificacoes nomodelo

?�

��

��

QQQQQ

QQ

QQQ

�����

?

Solucaovalida?

Implementacao

�nao

sim

6

?

- -

1.2.1 Definicao do Problema

� Identificar;

� Comprender;

� Descrever.

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1.2.2 Desenvolvimento de um modelo matematico e aquisicao dos dados

� Definir as variaveis de decisao (variaveis);

� Funcao Objetivo;

� Restricoes.

1.2.3 Resolucao do modelo matematico

� Metodos Otimos;

� Metodos Heurısticos.

1.2.4 Validacao, instrumentacao e controle da solucao

1.3 Aplicacao

Aplica-se na selecao de alternativas, buscando a maximizacao do lucro ou minimizacao decusto (geralmente).

1.3.1 Areas

� Processos de producao

� Processos de Fluxo (transporte)

� Financas

� Marketing (participacao no mercado)

� Misturas (alimentos, ligas, misturas quımicas)

1.3.2 Ferramentas

� Matematica

� Analise de sistemas

� Estatıstica

2 Programacao Linear

2.1 Exemplos de problemas

1) Um fabricante deseja maximizar a receita bruta. A tabela ilustra as composicoes dasligas metalicas, seus precos e as limitacoes na disponibilidade de materia prima.

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Atividades→ Liga Tipo Liga Tipo Materia PrimaItens A B Disponıvel

Cobre 2 1 16Zinco 1 2 11Chumbo 1 3 15Preco unitario de R$ 30 R$ 50venda

Decisoes: Quantidade de Liga A (xa)Quantidade de Liga B (xb)

Receita = Z

Funcao ObjetivoMaximizar Z= 30.xa + 50.xb

RestricoesSujeito A 2xa + xb ≤ 16 (para o cobre)

xa + 2.xb ≤ 11 (para o zinco)xa + 3.xb ≤ 15 (para o chumbo)

Restricoes de nao xa ≥ 0Negatividade xb ≥ 0

(Nao podemos fabricar quantidade negativa de liga)

2) Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa para maximizaro lucro. Os lucros sao de R$ 2.000 por alqueire de milho e de R$ 1.000 por alqueirede alfafa. Suponha que suas limitacoes sejam: terra disponıvel = 8 alqueires; aguadisponıvel para irrigacao = 80.000 litros; deseja plantar no maximo 4 alqueires demilho; cada alqueire de milho requerera 10.000 litros de agua para irrigacao; cadaalqueire de alfafa requerera 20.000 litros de agua para irrigacao.

3) Sabe-se que os alimentos, leite, carne e ovos fornecem as quantidades de vitaminasdadas pela tabela.

Vitaminas Leite (litro) Carne (kg) Ovos(duzia) Quantidadediaria mınima

A 0,25 mg 2 mg 10 mg 1 mgB 25 mg 20 mg 10 mg 50 mgC 2,5 mg 200 mg 10 mg 10 mg

Custo unitario R$ 2,2 R$ 17,0 R$ 4,2

Deseja-se calcular quais as quantidades de leite, carne e ovos a fim de satisfazer asquantidades diarias mınimas de nutrientes (vitaminas) a um custo mınimo.

4) Uma fabrica utiliza dois tipos de insumos: - A a um custo unitario CA e com umaquantidade maxima disponıvel NA.

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- B a um custo unitario CB e com uma quantidade maxima disponıvel NB.Esses insumos podem ser processados pelos Processos I, II ou III a um custo operacionalnulo. Serao produzidos os produtos α, β, γ, que alcancaram precos de venda Pα,Pβ, Pγ, respectivamente (precos unitarios).- Uma unidade de A processada em I produz, simultaneamente 5α e 1γ;- Uma unidade de A junto com duas unidades de B conjuntamente processadas em IIproduz, simultaneamente 3α, 9β e 8γ;- Uma unidade de B processada em III produz simultaneamente 1α, 4β, 1γ.Formule o problema como programacao linear de modo a maximizar o lucro.

5) Um jovem estava saindo com duas namoradas: Maria e Luısa. Sabe, por experiencia,que:

(a) Maria, elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo queuma saıda de tres horas custara 80 reais;

(b) Luısa, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que, umasaıda de tres horas custara 55 reais;

(c) seu orcamento permite dispor de 330 reais mensais para diversao;

(d) seus afazeres escolares lhe dao liberdade de, no maximo, 18 horas e 40.000 caloriasde sua energia para atividades sociais;

(e) cada saıda com Maria consome 5.000 calorias, mas com Luısa, mais alegre e ex-trovertida, gasta o dobro;

(f) ele gosta das duas com a mesma intensidade.

Como deve planejar sua vida social para obter o numero maximo de saıdas? Formuleo problema.

6) Devido ao numero incostante de passageiros, uma companhia de onibus necessita umnumero variado de motoristas dependendo do horario considerado. A tabela a seguirespecifica a quantidade de motoristas necessarios.

Horario Quantidade demotoristas

1 as 5 horas 155 as 9 horas 309 as 13 horas 2613 as 17 horas 3217 as 21 horas 3021 as 1 horas 19

Considerando que cada motorista trabalha 8 horas seguidas e que o servico pode seriniciado as 1, 5, 9, 13, 17 ou 21 horas, elaborar um plano de trabalho para os motoristas,de modo que o numero destes seja mınimo.

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7) A companhia ALT-M produz moveis de escritorio que, por questoes de marketing,agrupou em tres conjuntos basicos cujos modelos sao: ALFA, BETA E GAMA.

O parque de producao da empresa e de porte medio e bem dimensionado parao nıvel de producao que ela tem conseguido colocar no mercado. Ultimamente, no en-tanto, a demanda tem crescido, o que levou a gerencia a encomendar um planejamentode producao mensal, com a finalidade de determinar os possıveis estrangulamentos nalinha de producao e analisar algumas alternativas de correcao.

Inicialmente, o profissional encarregado do planejamento analisou o sistema deproducao e determinou que apemas mao-de-obra e a madeira poderiam ser os recursoslimitativos da producao. Os demais insumos que a empresa utiliza sao encontraveiscom facilidade no mercado, ja que existem varios fornecedores, alem do fato de quea empresa possui capacidade suficiente de estocagem. Assim, a analise se concentrouapenas nesses dois recursos.

A empresa possui a seguinte disponibilidade total desses dois recursos:

� mao-de-obra: 3.520 H.h.

� estoque de madeira: 10.000 m2 por mes.

O processo de fabricacao de moveis requer 5 fases, realizadas em secoes espe-cıficas, conforme mostra o fluxograma (a lista) que se segue. O fluxograma (a lista)tambem indica a capacidade de producao disponıvel em cada fase, em funcao da mao-de-obra e dos equipamentos e ferramentas existentes.

Essa capacidade de cada secao corresponde a alocacao anterior de mao-de-obrae sera avaliada ao longo desse estudo de caso. Para simplificar o caso, vamos consi-derar que, quando houver necessidade de transferir um funcionario de uma secao paraoutra, isso correspondera a transferencia de modulos de 44 H.h (1 semana de trabalho).

PROCESSO DE FABRICACAO E ALOCACAO INICIAL DE MAO-DE-OBRA

(a) Corte ⇒ 704 H.h.

(b) Preparacao ⇒ 1232 H.h.

(c) Montagem ⇒ 704 H.h.

(d) Pintura ⇒ 528 H.h.

(e) Embalagem ⇒ 352 H.h.

O objetivo da gerencia e desenvolver um estudo de planejamento da producaoda empresa de forma a otimizar sua capacidade produtiva.

Para atingir esse objetivo, o encarregado do planejamento escolheu como tec-nica de trabalho o desenvolvimento de um modelo de Programacao Linear de formaque ele pudesse encontrar a alocacao ideal de mao-de-obra e da madeira. Como criteriopara medir a ”idealidade da alocacao”, ele escolheu a margem de contribuicao a cadaproduto para o lucro total.

Apos a escolha do criterio de decisao, ele passou a examinar o processo defabricacao de cada um dos conjuntos que, em face das diferencas de design, exige quan-tidades diferentes de cada recurso. Uma vez de posse do projeto do produto e, aposmedicoes in loco, foi facil obter os coeficientes de utilizacao unitaria de recurso, con-forme mostra a Tabela 1.

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Tabela 1: Utilizacao unitaria de recursos para fabricacao dos conjuntos

Recursos Conjunto Conjunto Conjunto Alocacao Inicial deAlfa Beta Gama Recurso Por Secao

Corte 0,4 0,3 0,3 704 H.h.Preparacao 0,8 0,4 0,6 1.232 H.h.Montagem 0,25 0,4 0,4 704 H.h.Pintura 0,2 0,2 0,2 528 H.h.

Embalagem 0,06 0,1 0,05 352 H.h.Madeira 3 4,5 6 10.000 m2

Alem disso, sao conhecidos os custos unitarios dos recursos, conforme mostraa Tabela ??.

Conhecendo os precos de venda dos produtos, pode-se calcular a contribuicao

Tabela 2: Custos Unitarios de Recursos

Recurso Custo Unitario

Corte 2,40Preparacao 3,50Montagem 2,20Pintura 2,50Embalagem 2,00Madeira 6,50

Obs.: Mao-de-Obra: Custo horario proprio, encargos e custo de operacao das maquinas (R$ /H.h).

Madeira: Custo por m2 (R$ /m2).

unitaria (preco de venda menos custos variaveis de producao) de cada um, conformemostra a Tabela ??.

Tabela 3: Contribuicoes marginais dos conjuntos

Conjunto Contribuicao Unitaria (R$ )

Alfa 21,00Beta 19,50Gama 22,00

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8) Uma empresa tem tres tipos de maquinas na sua linha de producao, tendo cada umadelas velocidade e precisao diferente. A maquina do tipo 1 produz 20 pecas por horacom 99% de precisao. A maquina do tipo 2 produz 15 pecas por hora com 95% deprecisao. E a maquina do tipo 3 produz 10 pecas por hora com 100% de precisao. Amaquina do tipo 1 custa R$ 2,00 por hora de operacao, o tipo 2 custa R$ 1,75 porhora de operacao e o tipo 3 custa R$ 1,50 por hora de operacao. A empresa possui 15operadores fixos disponıveis para as maquinas 1 e 2, e todos devem ser utilizados, osoutros serao contratados temporariamente. Devem ser processados por dia pelo menos3.500 pecas (dia de 8 horas), mas so se dispoe de 8 maquinas do tipo 1, dez maquinasdo tipo 2 e 20 maquinas do tipo 3. Cada peca errada custa R$ 1,00.Pergunta-se:

(a) Quantas maquinas de cada tipo devem ser usadas para minimizar o custo.

(b) Qual o benefıcio marginal no custo no caso da:

� aquisicao de mais uma maquina do tipo 1.

� aquisicao de mais uma maquina do tipo 2.

� aquisicao de mais uma maquina do tipo 3.

� diminuicao na producao de 8 pecas por dia.

� demissao de um operador fixo.

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9) Um empresa industrial fabrica dois produtos: P e Q. O produto P possui preco devenda de R$ 90, enquanto o preco de venda do produto Q e de R$ 100. A demandado mercado pelos produtos P e Q e de, respectivamente, 100 e 50 unidades por semana.A empresa possui despesas operacionais fixas de R$ 6000 por semana.A producao e realizada por quatro operadores com jornada de trabalho de 40 horaspor semana. Portanto, a empresa dispoe de 2.400 minutos semanais de trabalho decada operador. O consumo de materia-prima (W, X, Y e Z) e o tempo gasto pelosoperadores (A, B, C e D) na producao sao descritos no quadro da Figura 2.Maximizar o lucro considerando margens de contribuicoes de cada produto menos as

Figura 2: Processo de Fabricacao com Tempo e Custos

WR$ 5

XR$ 20

YR$ 20

ZR$ 20

A15 min

A10 min

B15 min

B15 min

C10 min

C5 min

D15 min

D5 min

P

Q

-

-

-

-

-

-

-

-?

-

6

?-

despesas operacionais.

2.2 Exercıcios Complementares

1) Uma fabrica de cerveja produz tres tipos: Cerveja S, Cerveja B e Cerveja A. O precode venda e R$ 1,2; 1,4; 1,6 respectivamente. Cada cerveja consome: 120 g, 130 g, 110gde cevada maltada respectivamente; 50 g, 30 g, 40 g de lupulo respectivamente; e 500ml, 530 ml, 480 ml de agua respectivamente. A demanda por cerveja S, B e A e de300, 400 e 200 unidades respectivamente. Possuindo-se no estoque 5.550 g de cevadamaltada, 10.500 g de lupulo e 40.000 ml de agua, formular maximizando a receita.

2) Duas fabricas A e B, de uma mesma Companhia, produzem tres diferentes tipos deparafusos. A companhia tem contrato para produzir 600 kg de parafusos do tipo PontaAgulha e 800 kg de parafusos do tipo Ponta Broca e 450 kg de parafusos do tipo CabecaLentilha. O custo de producao diaria na fabrica A e de R$ 25.000,00 e o da fabricaB e de R$ 35.000,00. A fabrica A produz por dia 20 kg de parafusos do tipo PontaAgulha, 15 kg de parafusos do tipo Ponta Broca e 25 kg de parafusos do tipo Cabeca

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Lentilha. Da mesma maneira, a fabrica B produz por dia 35 kg de parafusos do tipoPonta Agulha, 10 kg de parafusos do tipo Ponta Broca e 15 kg de parafusos do tipoCabeca Lentilha. Construir o modelo de programacao linear considerando minimizacaode custos.

3) A empresa Dalai-Lama deseja planejar a producao de incensos. Os incensos requeremdois tipos de recursos: mao-de-obra e materiais. A empresa fabrica tres tipos deincenso, cada qual com diferentes necessidades de mao-de-obra e materiais, conformetabela abaixo:

ModeloA B C

Mao-de-obra (horas por unidade) 5 4 6Materiais (g/ unidade produzida) 3 5 5Lucro (R$ / unidade) 4 2 3

A disponibilidade de materiais e de 290 g/dia. A mao-de-obra disponıvel por dia e de190 horas. Formule um problema de programacao linear para determinar quanto deveser produzido de cada tipo de incenso, tal que o lucro total seja maximizado.

4) Uma empresa possui tres celulas de producao, C1, C2 e C3, que trabalham por batelada.Cada batelada da C1 consome 12 kg de materia-prima, 4 h de mao-de-obra e 25 kwhde energia para produzir 22 pecas P1 e 12 pecas P2. Da mesma maneira, C2 consome14 kg de materia-prima, 2 h de mao-de-obra e 35 kwh de energia para produzir 15pecas P3 e 15 pecas P2. Alem disso, a C3 consome 20 kg de materia-prima, 4 h demao-de-obra e 25 kwh de energia para produzir 25 pecas P3. As pecas sao vendidaspor R$ 20,0, R$ 25,0 e R$ 30,0, respectivamente P1, P2 e P3. Numa semana saodisponıveis 450 kg de materia-prima, 120 h de mao-de-obra e 600 kwh de energia. Ademanda semanal de P1 e no maximo 500 unidades e a demanda de P2 e sempre maiorque duas vezes a demanda de P3. Formular maximizando a receita semanal.

5) Uma fabrica utiliza nas suas instalacoes carvao mineral (CM), carvao vegetal (CV) eenergia eletrica (EE). Cada unidade de energia (UNE) baseada em CM custa R$ 12,5,assim como cada UNE baseada em CV custa R$ 10,5 e cada UNE baseada em EEcusta R$ 15,0. Para a producao mensal e necessario 2.000 UNE. Existem a disponibi-lidade de 1000 UNECM, 800 UNECV e 3000 UNEEE. Nos processos que se utilizamUNECV necessariamente se utiliza no mınimo metade de UNEEE juntamente. Devidoas polıticas ambientais vigentes nao se pode utilizar mais do que 1200 UNE baseadasem carvao mineral ou carvao vegetal.

Modelar usando a programacao linear para obter um custo mınimo no consumo deengergia.

6) Determinada empresa apresenta os seguintes dados de producao. Produz quatro pro-dutos denominados P, Q, Z e X. Possui dois recursos de producao denominados RecursoA e Recurso B, cada um com uma capacidade maxima de 2.000 minutos por dia. Anecessidade de utilizacao dos recursos produtivos por unidade de produto e a seguinte:

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Tabela 4: consumo de recursos por unidade de produto

Recurso/Produto P Q Z XRecurso A 20 min 40 min 10 min 30 minRecurso B 60 min 50 min Nao usa 40 min

O mercado absorve diariamente ate 20 unidades de P, 20 unidades de Q, 60 unidades deZ e 20 unidades de X. A margem de contribuicao unitaria por produto e de R$ 100,00para os produtos P, Q e X e de R$ 200,00 para o produto Z. A estrutura fixa daempresa e de R$ 16.000,00 por dia. Qual seria o mix otimizado para a empresa,formular o problema?

7) Uma fabrica produz nas suas instalacoes mesas, cadeiras e bancos. Cada mesa e vendidapor R$ 350, assim como cada cadeira e vendida por R$ 120 e cada banco e vendidopor R$ 60. Para se produzir cada banco e necessario 0,5 m2 de madeira, 10 conectorese 2 horas de trabalho. Para a mesa e necessario 3 m2 de madeira, 12 conectores e 12horas de trabalho e para a cadeira e necessario 4 horas de trabalho, 1 m2 de madeirae 10 conectores.

Existem a disponibilidade de 300 m2 de madeira, 2000 conectores e 800 horas detrabalho. Alem disso, deseja-se fabricar no maximo 20 bancos e um numero de cadeirasigual ou maior a 4 vezes o numero de mesas.

Modelar usando a programacao linear para obter um lucro maximo.

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2.3 Analise Grafica

A resolucao grafica pode ser usada dependendo do numero de variaveis de decisao. Pois arepresentacao exige um eixo para cada variavel de decisao.

Dessa maneira, problemas envolvendo duas variaveis de decisao necessitam de um graficocom duas dimensoes, ja os problemas com tres variaveis sao resolvidos em tres dimensoes,dificultando por vezes a visualizacao.

Considerando isso, a resolucao grafica fica inviabilizada para problemas com mais de tresvariaveis de decisao, nesses casos deve-se usar algum metodo analıtico.

2.3.1 Procedimentos

O grafico e feito usando-se um eixo para cada variavel de decisao. Todas as restricoes devemser representadas graficamente.

Cada inequacao vai dividir o espaco em duas regioes. A Regiao de Aceitacao e o espaco derespostas para todas as restricoes simultaneamente. Quando nao existe regiao de aceitacao,o problema nao tem resposta.

Na Programacao Linear, onde a funcao objetivo e um plano, os pontos que maximizamou minimizam estao na fronteira da regiao de aceitacao. Portanto a busca pelo Ponto Otimo,aquele que maximiza ou minimiza a funcao objetivo, e feita pesquisando-se os vertices daregiao de aceitacao.

Definido o ponto otimo, podemos definir as Folgas, o quanto sobra de recurso escasso emcada restricao quando o nıvel de producao (ponto otimo) e utilizado.

2.3.2 Exemplo

Max. Z= 30.xa + 50.xb

Sujeito A 2xa + xb ≤ 16 (para o cobre)xa + 2.xb ≤ 11 (para o zinco)xa + 3.xb ≤ 15 (para o chumbo)xa ≥ 0xb ≥ 0

A solucao grafica indica uma regiao de aceitacao com cinco vertices. O vertice que produzo maximo valor (ponto otimo) e aquele formado pela intersecao da fronteira da restricao parao cobre e para o zinco (conforme a Fig. 3).

Com a

2.3.3 Exercıcios

1) Resolva graficamente, mostrando a regiao de pontos viaveis (regiao de aceitacao), in-dicando o ponto otimo.

Max. Z= −10.x+ 15.ySujeito A x+ y ≤ 12

2.x+ 5.y ≤ 40x ≥ 2x ≤ 8y ≥ 1

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Figura 3: Resolucao grafica configurada com o ponto otimo e a regiao de aceitacao

0

5

10

15

0 5 10 15 xb

xa

chumbo

cobre

zinco

ponto otimo

regiao de aceitacao

2) Resolva graficamente o problema de Programacao Linear.Max. Z= 2.x1 + x2

Sujeito A x1 + 4.x2 ≤ 24x1 + 2.x2 ≤ 142.x1 − x2 ≤ 8x1 − x2 ≤ 3x1 ≥ 0x2 ≥ 0

3) Resolva graficamenteMin. Z= −x1 + 2.x2

Sujeito A −x1 + x2 ≤ 16.x1 + 4.x2 ≤ 24x1 ≥ 0x2 ≥ 2

4) Resolva graficamenteMin. Z= 2.x1 + x2

Sujeito A 4.x1 − 5.x2 ≤ 405.x1 + 8.x2 ≤ 409.x1 − 6.x2 ≥ 0x1 ≥ 0x2 ≥ 2

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2.4 Exercıcios Complementares

1) Resolva graficamente

Max. Z = x+ 2yS.A.

x+ y ≥ 72x+ y ≤ 20x+ 2y ≤ 20x− y ≤ 9x ≥ 0y ≥ 0

2) Resolva graficamente

Max. Z = x1 + 2x2

S.A.x1 ≤ 13x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 16−x1 + x2 ≤ 8x1 − x2 ≤ 11x1 ≥ 0x2 ≥ 0

3) Resolva graficamente

Max. Z = 2x1 + x2

S.A.x1 ≤ 8x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 12x1 ≥ 3x2 ≥ 2x1 ≥ 0x2 ≥ 0

4) Concurso Petrobras (2008) - Engenheiro de Producao Junior

Considere o seguinte problema de Programacao Linear:

Max. z = 3x1 + x2

s.a.6x1 + 3x2 ≥ 124x1 + 8x2 ≥ 166x1 + 5x2 ≤ 306x1 + 7x2 ≤ 36x1,x2 ≥ 0

Qual e a solucao otima?

(A) x1 = 0 e x2 = 2

(B) x1 = 0 e x2 = 4

(C) x1 = 0 e x2 = 5

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(D) x1 = 4 e x2 = 0

(E) x1 = 5 e x2 = 0

5) Concurso Petrobras (2008) - Engenheiro de Producao Junior

Uma pequena loja de moveis produz tres tipos diferentes de mesa: A, B e C. Cada umarequer um determinado tempo para o corte das pecas componentes, para a montageme para a pintura. Alternativamente, a mesa do tipo C tambem pode ser vendida sema pintura. A disponibilidade de funcionarios e a pratica do servico vem permitindoque os tempos de execucao tenham comportamento bastante regular. Assim, a tabelaabaixo apresenta:

� os tempos de execucao de cada servico para cada produto, em horas.homem;

� o lucro de cada tipo de mesa produzida, em reais;

� a capacidade maxima de producao de cada servico, em horas.homem.

Mesa Corte Montagem Pintura Lucro(h.h) (h.h) (h.h) (R$)

A 3 4 5 50,00B 1 2 5 40,00C 4 5 4 80,00

C sem pintura 4 5 0 60,00Capacidade 150 250 350

Desejando-se maximizar o lucro, qual e a solucao otima?

(A) A = 0, B = 50, C = 25 e Csem = 0

(B) A = 25, B = 25, C = 25 e Csem = 0

(C) A = 0, B = 25, C = 50 e Csem = 0

(D) A = 0, B = 50, C = 50 e Csem = 0

(E) A = 25, B = 50, C = 50 e Csem = 0

2.5 O problema de Programacao linear

A representacao grafica se aplica nos casos bem mais simples de apenas duas variaveis dedecisao (x1, x2), em geral o numero de variaveis e muito maior, o que impossibilita visuali-zacoes graficas.

Ao estruturarmos um problema sob a forma de um modelo matematico, o intuito e o denos ajudar no processo de decisao: que atividade empreender e o quanto de cada uma, a fimde satisfazer de um dado objetivo.

Programacao Linear e uma ferramenta de planejamento que nos ajuda a selecionar queatividades (variaveis de decisao) empreender, dado que essas atividades (diversas alternati-vas) competem entre si pela utilizacao de recursos escassos (restricoes) ou entao precisamsatisfazer certos requisitos mınimos. O objetivo sera maximizar (ou minimizar) uma funcaodas atividades, geralmente lucros (perdas).

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2.5.1 Formulacao Generica

Funcao ObjetivoMaximizar Z= c1.x1 + c2.x2 + . . .+ cn.xn

Restricoes Principais

Sujeito A a11.x1 + a12.x2 + . . .+ a1n.xn

{≤≥ b1

a21.x1 + a22.x2 + . . .+ a2n.xn

{≤≥ b2

. . . . . . . . .

am1.x1 + am2.x2 + . . .+ amn.xn

{≤≥ bm

onde bi ≥ 0 para i=1,. . ., m

Restricoes de nao Negatividadex1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . . . . , xn ≥ 0

O problema resume-se na maximizacao (ou minimizacao) de uma funcao objetivo, sujeita arestricoes tambem lineares.

2.5.2 Interpretacao Economica

n sao as atividades que competem sendo x1, . . . . . . , xn seus nıveis de atividade.

cj e o aumento de Z por unidade de atividade j.

m sao os recursos escassos cujos nıveis sao b1, . . . . . . , bm.

aij e o quanto de recurso i e consumido pela atividade j.

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3 O Metodo do Simplexo

O Metodo do simplexo e um algoritmo iterativo convergente, que pesquisa os vertices dopoliedro de restricoes, passando, em cada iteracao f de um vertice para outro vertice comvalor associada nao pior que o anterior. Em um numero finito de iteracoes, o algoritmofornece.- A solucao otima- A indicacao da inexistencia da solucaoO Metodo do Simplexo explora o fato de o maximo, ou o mınimo da funcao objetiva, ocorrernum vertice do poliedro convexo de restricoes.

3.1 Algoritmo Simplexo - Exemplo

Max. Z= 30.x1 + 50.x2

Sujeito A 2x1 + x2 ≤ 16x1 + 2.x2 ≤ 11x1 + 3.x2 ≤ 15x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Forma padrao para escrever os dados

Atividades x Variavel de Folgas b

A (coeficientes das restricoes) I(matriz b(coeficientes)

identidade) independentes)

-c (coeficientes da funcao objetiva) 0 0

1o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

2 1 1 0 0 16

1 2 0 1 0 11

1 3 0 0 1 15

-30 -50 0 0 0 0

� ��

mais negativo@@I

161

112

153

menor relacao

6

Procedimento:

1) Selecionar a coluna j com o valor mais negativo;

2) Ache, para todas as linha i, a menor relacao biaij

com aij > 0: O valor de aij assim

escolhido sera o pivo.

3) Agora proceda a operacao-pivo, que torna o coeficiente da xij igual a 1 e todos osoutros coeficientes da coluna j nulos.

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(a) divida a linha i por aij.

(b) em todas as outras linhas de r, para cada elemento da coluna k, calcular ark =ark − aij

aik.arj.

(c) fazer o calculo do item b tambem para a lilha c.

4) Repita as etapas 1,2,3 ate que nao haja mais valores negativos na ultima linha c.

2o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

5/3 0 1 0 −1/3 11

1/3 0 0 1 −2/3 1

1/3 1 0 0 1/3 5

−40/3 0 0 0 50/3 250

����

3o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

0 0 1 -5 3 6

1 0 0 3 −2 3

0 1 0 -1 1 4

0 0 0 40 −10 290

� ��

4o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

0 0 1/3 -5/3 1 2

1 0 2/3 -1/3 0 7

0 1 -1/3 2/3 0 2

0 0 10/3 70/3 0 310

ResultadosZ = 310x1 = 7x2 = 2x3 = 0y1 = 0y2 = 0y3 = 2

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3.2 Exercıcios

1) Resolva pelo Simplexo:Max. Z= 2.x1 + x2

Sujeito A x1 + x2 ≤ 5x1 + 2.x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Resultados: Zmax.= 9; x1 = 4; x2 = 1; x3 = 0; x4 = 2; x5 = 0

2) Resolva pelo Simplexo:Max. Z = 7.x1 + 3.x2 + 2.x3

Sujeito A 5.x1 + 2.x2 + 2.x3 ≤ 192.x1 + x2 + 2.x3 ≤ 8

x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0

Resultados: Zmax.= 27; x1 = 3; x2 = 2; x3 = 0; x4 = 0; x5 = 0

3) Resolva pelo Simplexo:Max. Z = 2.x1 + 5.x2 + 7.x3

Sujeito A x1 + 3.x2 + 6.x3 ≤ 122.x1 + 3.x2 ≤ 9

x3 ≤ 2x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0

Resultados: Zmax.= 37/2; x1 = 0; x2 = 3; x3 = 1/2; x4 = 0; x5 = 0; x6 = 3/2

4) Resolva pelo Simplexo:Min. Z = x1 + 2x2 − x3

Sujeito A −x1 + x2 − 4x3 ≤ 302x1 − x2 + 2x3 ≤ 10

x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0

Resultados: Zmın.= −5; x1 = 0; x2 = 0; x3 = 5; x4 = 50; x5 = 0

3.3 Exercıcios Complementares

1) Resolver pelo metodo Simplexo

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Max. Z = 3x1 + x2

S.A.x1 − x2 ≤ 4

x1 ≤ 7x1 + x2 ≤ 12

x2 ≤ 10−5x1 + x2 ≤ 5

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Resultados: Zmax.= 26; x1 = 7; x2 = 5; x3 = 2; x4 = 0; x5 = 0; x6 = 5; x7 = 35

2) Resolver pelo metodo Simplexo

Max. Z = 3x1 + x2

S.A.x1 − x2 ≤ 5

x1 ≤ 7x1 + x2 ≤ 11

x2 ≤ 9

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Resultados: Zmax.= 25; x1 = 7; x2 = 4; x3 = 2; x4 = 0; x5 = 0; x6 = 5

3) Resolver pelo metodo Simplexo

Max. Z = x1 + 2x2

S.A.x1 ≤ 8x2 ≤ 7

x1 + x2 ≤ 10−x1 + x2 ≤ 5

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Resultados: Zmax.= 17; x1 = 3; x2 = 7; x3 = 5; x4 = 0; x5 = 0; x6 = 1

3.4 Problemas Especiais de Formulacao

3.4.1 Formulacao

1) Conversao de Mınimizar para Maximizar na Funcao Objetivo:O Simplexo, resolve apenas problemas de maximizacao. Devemos converter os proble-mas de minimizacao, fazendo: Max(Z′) = Min(Z), onde Z′ = −Z

2) xj livre:Uma variavel e livre quando nao tem condicoes de nao negatividade.

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Resolve-se introduzindo as variaveis xj′ e xj′′.Com

xj = xj′ − xj′′xj′ ≥ 0xj′′ ≥ 0 (1)

E resolvendo o problema nas novas variaveis.Exemplo

Max. Z= 4.x1 + x2 + 3.x3

Sujeito A x1 − 2.x2 + x3 = 20x1 + 5.x2 − 2.x3 ≤ 50

x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 livre

3.4.2 Dificuldades Durante a Solucao pelo Metodo do Simplexo

1) Empate para decidir qual a variavel que deve entrar na base, isto e −cj = −ck.Escolha arbitrariamente qualquer um dos dois. De qualquer modo, o otimo sera atin-gido. Nao podemos, entretanto, garantir, a priori, qual a melhor escolha do ponto devista de terminar o problema em um menor numero de iteracoes.

2) Empate para sair da BaseA degenerescencia vai resultar em que uma variavel basica sera nula no Tableau se-guinte. Do ponto de vista geometrico, isto corresponde a ativar duas restricoes simul-taneamente.Decida arbitrariamente. O Tableau seguinte tera a outra variavel candidata a baseigual a zero. Se a variavel escolhida for a seguinte a deixar a base, o valor da funcaoobjetiva nao mudara nesta iteracao. Pode resultar em circuito vicioso.

Exemplo: Caso de degenerescencia

Primeiro Tableau

x1 x2 x3 x4 x5 b

1 0 1 0 0 4

0 1 0 1 0 6

3 2 0 0 1 12

-3 -5 0 0 0 0

No empate para sair da base, escolha a segunda linha

3.5 Metodo do Simplexo - Fase I/Fase II

O Metodo do Simplexo requer uma solucao basica ja no primeiro Tableau.Quando existem restricoes do tipo = ou ≥, nao teremos uma solucao inicial.

A resolucao pelo Simplexo e feita entao em duas fases.

A Fase I encontrara (se possıvel) a solucao inicial e a Fase II termina de otimizar o va-lor da funcao objetiva.

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Se a Fase I nao encontrar uma solucao inicial, poderemos concluir que nao existe solucao.

A Fase II e exatamente aquela que nos ja estudamos.

3.5.1 Procedimento para a Fase I

1) Alem das variaveis de folga, serao introduzidas variaveis artificiais, da seguinte maneira:

sinal variavel de folga variavel artificial

≤ +

≥ − +

= +

2) Escreva o tableau inicial incluindo a linha Z.

3) Adicione mais uma linha no tableau inicial, a linha W.Preencha a linha Z, somando os coeficientes das linhas superiores que tenham variavelartificial e trocando o sinal do resultado. Faca isto nas colunas das variaveis normais,de folga e na coluna b. Nas colunas das variaveis artificiais inclua zero.

4) Aplique o algoritmo simplexo, tomando como base de decisao para quem deve entrarna base a linha W.

5) Quando a Fase I terminar, ou seja, quando na linha W nao mais tiver numeros nega-tivos, e a coluna b estiver zerada, a Fase I teve sucesso.

6) Para a Fase II, elimine a linha W, e as colunas das variaveis artificiais.

7) O primeiro Tableau da Fase II, podera ja ser o Tableau Final.

3.5.2 Exemplo

Max. Z= −x1 − 6.x2 + 7.x3 − x4 − 5.x5

Sujeito A 5.x1 − 4.x2 + 13.x3 − 2.x4 + x5 ≥ 20x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 82.x1 + x2 − x3 + 4.x4 ≤ 15

x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0x4 ≥ 0x5 ≥ 0

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Primeiro Tableau - Fase I

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y1 y2 b

5 -4 +13 -2 1 -1 0 1 0 20

1 -1 1 -1 1 0 0 0 1 8

2 1 -1 4 0 0 1 0 0 15

1 6 -7 1 5 0 0 0 0 0

-6 5 -14 3 -2 1 0 0 0 -28

3.5.3 Exercıcios

1) Resolva pelo Simplexo Fase I/Fase II:

Max. Z= 2.x1 + x2 + x3

Sujeito A 3.x1 + 4.x2 + x3 = 5

x1 + x2 + 2.x3 = 3

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

x3 ≥ 0

3.5.4 Exercıcios complementares

1) Resolva pelo Simplexo Fase I/Fase II:

Max. Z = x1 + 2x2

S.A. x1 + x2 ≥ 6

x1 + 3x2 ≥ 12

x2 ≥ 2

x1 ≤ 16

x2 ≤ 10

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

2) Resolva pelo Simplexo Fase I/Fase II:

Max. Z = 2x1 + x2

S.A. x2 ≥ 1

x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + x2 ≥ 4

x1 − x2 ≤ 8

x1 + x2 ≤ 12

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

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4 Analise de Sensibilidade

4.1 Introducao

A resposta final de um problema de Programacao Linear, muitas vezes, tem valor limitada.

Alem da simples resposta do valor das variaveis, devemos saber o que acontece com elas,se existir variacoes nos coeficientes dados no problema original.

Muitas vezes queremos saber, quanto podemos variar nos coeficientes da funcao objetivae na quantidade de recursos escassos de maneira que aquela resposta final otimizada (asalternativas que devemos usar) nao sera modificada.

A analise de sensibilidade e feita de maneira muito facil, analisando os dados do primeiro eultimo Tableau.

4.2 Exemplo

Primeiro Tableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b

1 1 1 1 1 0 0 35

1 4 2 2 0 1 0 80

2 3 6 1 0 0 1 90

-5 -4 -6 8 0 0 0 0

Ultimo Tableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b

1 3/4 0 5/4 3/2 0 -1/4 30

0 11/4 0 5/4 -1/2 1 -1/4 40

0 1/4 1 -1/4 -1/2 0 1/4 5

0 5/4 0 51/4 9/2 0 1/4 180

4.2.1 Variacao na Funcao Objetivo

a) Decrescimo em cj para xj nao basico

Se a variavel xj nao e basica, diminuir o coeficiente da funcao objetiva cj torna aatividade menos atrativa ainda. Entao nao temos limite para este decrescimo.

Decrescimo em cj para xj nao basico ⇒ sem limite

No exemplo dado, o decrescimo nao tem limite em 4, coeficiente de x2 e em 8, coeficientede x4.

b) Acrescimo em cj para xj nao basico

No ultimo Tableau, na linha de custo reduzido, podemos notar valores positivos paraas variaveis nao basicas (x2 e x4). Se estes valores fossem negativos, o processo deotimizacao continuaria, e estas variaveis seriam candidatas a entrar na base.

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Para que isto aconteca, basta aumentar o valor inicial do coeficiente cj, exatamente novalor encontrado no ultimo Tableau.

Acrescimo em cj para xj nao basico ⇒ limite no ultimo Tableau

No exemplo dado, o limite para acrescimo de 4, coeficiente de x2 e 5/4, e para o 8,coeficiente de x4 e 51/4.

c) Acrescimo e Decrescimo cm cj para xj basico

Para conhecer estes limites, vamos acrescer o coeficiente da funcao objetiva de umvalor generico γ. A partir disso vamos simular a ultima linha de custo reduzido doultimo Tableau, fazendo:

Z′ = Z + γ.x1

Da ultima linha do ultimo Tableau

Z = 180− 5/4.x2 − 51/4.x4 − 9/2.x5 − 1/4.x7

Da primeira linha do ultimo Tableau

x1 = 30− 3/4.x2 − 5/4.x4 − 3/2.x5 + 1/4.x7

Z′ = (180 + 30.γ)− (5/4 + 3/4.γ).x2 − (51/4 + 5/4.γ).x4

− (9/2 + 3/2.γ).x5 − (1/4− 1/4.γ).x7

Os coeficientes que acompanham as variaveis na funcao Z’ devem permanecer positivos.Portanto o limite da variacao do coeficiente que acompanham as variaveis e zero. Entaofazemos:

5/4 + 3/4.γ ≥ 0 ⇒ γ ≥ −5/3

51/4 + 5/4.γ ≥ 0 ⇒ γ ≥ −51/5

9/2 + 3/2.γ ≥ 0 ⇒ γ ≥ −3

1/4− 1/4.γ ≥ 0 ⇒ γ ≤ 1

Os limites, para acrescimo e decrescimo sao os mais ”apertados”. Portanto:

Limite para acrescimo em c1 ⇒ 1

Limite para decrescimo em c1 ⇒ 5/3

Para obter os limites para c3 procedemos de maneira similar.

4.2.2 Variacao na Quantidade de Recursos Escassos

a) Acrescimo em bi para restricao com folga

Se o recurso escasso tem folga, um aumento na sua quantidade so vai aumentar ovalor final da folga. Portanto, nao existe limite para acrescimo.

Acrescimo em bi para restricao com folga ⇒ sem limite

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No exemplo, nao existe limite para acrescimo para b2.

b) Decrescimo em bi para restricao com folga

Se o recurso escasso tem folga, o limite para decrescimo na sua quantidade e a propriafolga.

Decrescimo em bi para restricao com folga ⇒ o limite e o valor da folga

No exemplo, o limite para decrescimo para b2 e 40.

c) Acrescimo e decrescimo em bi para restricao sem folga

Vamos simular um acrescimo generico γ no valor de bi estudado.No exemplo vamos simular b1 igual a 35+γ.Entao temos a coluna b como sendo: 35 + γ

80

90

Que pode ser reescrita como: 35

80

90

+

1

0

0

No ultimo Tableau as colunas se transformam em: 30

40

5

+

3/2

−1/2

−1/2

Os valores das variaveis basicas passam a ser:x1 = 30 +

3

2.γ

x6 = 40− 1

2.γ

x3 = 5− 1

2.γ

Como os valores da coluna b nunca podem assumir valores negativos, temos os limitespara γ sendo impostos desta maneira:

30 +3

2.γ ≥ 0

40− 1

2.γ ≥ 0

5− 1

2.γ ≥ 0

γ ≥ −20

γ ≤ 80

γ ≤ 10

Os limites, para acrescimo e decrescimo sao os mais ”apertados”. Portanto:

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Limite para acrescimo em b1 ⇒ 10

Limite para decrescimo em b1 ⇒ 20

Para obter os limites para b3 procedemos de maneira similar.

4.2.3 Preco Sombra

Quanto efetuamos um acrescimo de uma unidade numa quantidade de Recurso Escasso quenao tenha folga, vamos ter um acrescimo correspondente no valor do Z maximo. Este valore chamado de preco Sombra ou benefıcio marginal deste recurso escasso.Podemos identificar o preco sombra para cada quantidade de recurso escasso diretamente noultimo Tableau, na linha linha de custo reduzido, na coluna da variavel de folga correspon-dente.

Preco Sombra para bi ⇒ ultimo Tableau

No exemplo temos, o preco sombra para b1 igual a 9/2, o preco sombra para b3 igual a 1/4e o preco sombra para b2 igual a 0 pois o recurso escasso tem folga e nao obtemos nenhumbenefıcio aumentando a sua quantidade.

4.3 Exercıcio - Problema - Alocacao de Recursos

Dados Iniciais

Itens em ProducaoConjunto ALFA Conjunto BETA Conjunto GAMA

Disponibilidade de Recursosmao-de-obra: 3520 H.h. por mesestoque de madeira: 10.000 m2 por mes

Processo de Fabricacaoe Alocacao Inicial de Mao-De-Obra

a) Corte ⇒ 704 H.h.

b) Preparacao ⇒ 1232 H.h.

c) Montagem ⇒ 704 H.h.

d) Pintura ⇒ 528 H.h.

e) Embalagem ⇒ 352 H.h.

Utilizacao Unitaria dos Recursos

Recursos Conjunto Conjunto Conjunto Alocacao Inicial Realocacao

Alfa Beta Gama Recurso/Secao de Recurso

Corte 0,4 0,3 0,3 704 H.h. 704 H.h.

Preparacao 0,8 0,4 0,6 1.232 H.h. 1.364 H.h.

Montagem 0,25 0,4 0,4 704 H.h. 704 H.h.

Pintura 0,2 0,2 0,2 528 H.h. 484 H.h.

Embalagem 0,06 0,1 0,05 352 H.h. 264 H.h.

Madeira 3 4,5 6 10.000 m2

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Contribuicao Unitaria

Conjunto Contribuicao Unitaria (R$ )

Alfa 21,00

Beta 19,50

Gama 22,00

Modelagem

Variaveis de Decisaox1 = numero de conjuntos ALFAx2 = numero de conjuntos BETAx3 = numero de conjuntos GAMA

Funcao Objetivo (maximizar o lucro)Max. Z = 21.x1 + 19,5.x2 + 22.x3

Restricoes (condicoes devido aos recursos escassos)

0,4.x1 +0,3.x2 +0,3.x3 ≤ 704 (corte)

0,8.x1 +0,4.x2 +0,6.x3 ≤ 1.232 (preparacao)

0,25.x1 +0,4.x2 +0,4.x3 ≤ 704 (montagem)

0,2.x1 +0,2.x2 +0,2.x3 ≤ 528 (pintura)

0,06.x1 +0,1.x2 +0,05.x3 ≤ 352 (embalagem)

3.x1 +4,5.x2 +6.x3 ≤ 10.000 (madeira)

x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0

Primeiro Tableau

1 0,350 0,400 0,300 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 704,000

2 0,450 0,300 0,400 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1232,000

3 0,350 0,350 0,400 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 704,000

4 0,350 0,450 0,200 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 528,000

5 0,070 0,110 0,040 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 352,000

6 3,000 4,500 6,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 10000,000

Z -19,000 -20,000 -23,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Ultimo Tableau

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1 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 -0,500 -0,500 0,000 -0,000 88,000

2 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 -2,308 0,385 0,000 0,074 554,051

3 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 9,231 -1,539 0,000 -0,564 45,129

4 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 -7,692 4,615 0,000 0,359 611,282

5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,154 -0,292 1,000 -0,007 234,174

6 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 1,154 -2,692 0,000 0,179 1185,641

Z 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 48,077 1,154 0,000 0,590 40352,820

4.4 Exercıcios complementares

1) Dado o primeiro e o ultimo tableau, verificar a sensibilidade de todos os coeficientesda funcao objetiva bem como de todas quantidades de recursos escassos,

Primeiro Tableau

1 1,0 1,0 2,0 2,0 1,0 0,0 0,0 0,0 360,0

2 4,0 2,0 1,0 1,0 0,0 1,0 0,0 0,0 380,0

3 2,0 1,0 1,0 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 400,0

4 1,0 2,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 1,0 260,0

Z -4,0 -6,0 -4,0 -8,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Ultimo Tableau

1 1/3 0,0 4/3 1,0 2/3 0,0 0,0 -1/3 460/3

2 3,0 0,0 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 -1,0 120,0

3 4/3 0,0 1/3 0,0 -1/3 0,0 1,0 -1/3 580/3

4 1/3 1,0 -2/3 0,0 -1/3 0,0 0,0 2/3 160/3

Z 2/3 0,0 8/3 0,0 10/3 0,0 0,0 4/3 4640/3

2) Dado o primeiro e o ultimo tableau, verificar a sensibilidade de todos os coeficientesda funcao objetiva bem como de todas quantidades de recursos escassos,

Primeiro Tableau

1 2,0 2,0 1,0 1,0 1,0 0,0 0,0 0,0 380,0

2 2,0 1,0 2,0 1,0 0,0 1,0 0,0 0,0 320,0

3 4,0 2,0 2,0 2,0 0,0 0,0 1,0 0,0 300,0

4 4,0 4,0 6,0 2,0 0,0 0,0 0,0 1,0 360,0

Z -9,0 -7,0 -5,0 -6,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Ultimo Tableau

1 0,0 0,0 -2,0 0,0 1,0 0,0 0,0 -0,5 200,0

2 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 1,0 -0,5 0,0 170,0

3 2,0 0,0 -1,0 1,0 0,0 0,0 1,0 -0,5 120,0

4 0,0 1,0 2,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 30,0

Z 3,0 0,0 3,0 0,0 0,0 0,0 2,5 0,5 930,0

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5 Solver

5.1 Introducao

O Solver e um modulo do Excel que permite-nos de uma forma muito simples e rapidaobter solucoes para problemas de programacao linear.

5.2 Exemplo

Como exemplo, vamos resolver o exercıcio envolvendo a companhia ALT-M que produzmoveis de escritorio que, por questoes de marketing, agrupou em tres conjuntos basicoscujos modelos sao: ALFA, BETA E GAMA. Exercıcio resolvido e analisado em sala.

Em geral o modulo Solver nao esta disponıvel no arranque do Excel. Devemos ativa-lono menu Ferramentas - Suplementos. Para rodar o modulo Solver selecione a funcaoSolver no menu Ferramentas.

Organize as informacoes pertinentes da melhor forma possıvel em uma planilha.(Exemplo: ultima folha).

� reserve uma celula para a formula do calculo de Z (E17)(=B18*B5+C18*C5+D18*D5)

� calcule os recursos escassos consumidos (coluna E linhas 9 a 14)(E9 ⇐ =B9*B5+C9*C5+D9*D5)(E10 ⇐ =B10*B5+C10*C5+D10*D5)(E11 ⇐ =B11*B5+C11*C5+D11*D5)(E12 ⇐ =B12*B5+C12*C5+D12*D5)(E13 ⇐ =B13*B5+C13*C5+D13*D5)(E14 ⇐ =B14*B5+C14*C5+D14*D5)

� rode o Solver

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� no parametro Definir celula destino (conforme figura acima) coloque a celula reser-vada para o Z ($E$18).

� no parametroCelulas variaveis coloque as celulas das variaveis de decisao ($B$5:$D$5)

� no parametro Submeter as restricoes coloque as restricoes usando Adicionar.

� no parametro Opcoes marque conforme Figura abaixo.

� aplique Resolver

� aplique Continuar ate

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� marque Resposta, Sensibilidade, Limites e OK.

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6 O problema Dual

6.1 Caracterizacao

Os problemas de programacao linear postos na forma padrao (Primal) admitem um pro-blema paralelo chamado Dual.

As condicoes para o ponto otimo sao as mesmas, tanto para o problema Primal quantopara o Dual. Ou seja, os dois problemas tem a mesma solucao.

Se o Primal e de maximizacao o Dual e de minimizacao, ou vice-versa. Cada variavel noPrimal e equivalente a uma restricao no problema Dual e vice-versa.

6.2 Explicacao economica

Dado um problema onde existem duas ou mais maquinas (alternativas) que consomem re-cursos escassos produzindo lucro.

O Primal pode ser representado como:

Primal

Max. Z =

n∑j=1

cj xj

Sujeito A∑

aijxj ≤ bi (i = 1, . . . ,m)

xj ≥ 0 ∀ iOnde o objetivo e maximizar o lucro (Z) considerando as variaveis de decisao (xj) como

sendo a quantidade de cada tipo de maquina considerando seu lucro unitario (cj).

O problema Dual representaria a opcao de venda das maquinas:

Dual

Min. L =

m∑i=1

bi yi

Sujeito A∑

aijyj ≥ cj (j = 1, . . . , n)

yj ≥ 0 ∀ iL e o preco mınimo de venda das maquinas, igual ao lucro maximo (Z) obtido na producao

com elas.

Notar a inversao dos coeficientes da funcao objetivo (cj) com as quantidades de recursosescassos (bj) entre Primal e Dual, e a manutencao dos coeficientes tecnologicos (aij) nos doisproblemas.

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6.3 Exemplos

Primal

Max. Z = 4x1 + x2

Sujeito A 9x1 + x2 ≤ 18

3x1 + x2 ≤ 12

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Dual

Min. L = 18y1 + 12y2

Sujeito A 9y1 + 3y2 ≥ 4

y1 + y2 ≥ 1

y1 ≥ 0

y2 ≥ 0

Solucao:

Primal

Primeito tableau

9,0 1,0 1,0 0,0 18,0

3,0 1,0 0,0 1,0 12,0

-4,0 -1,0 0,0 0,0 0,0

Ultimo tableau

1,0 0,0 1/6 -1/6 1,0

0,0 1,0 -1/2 3/2 9,0

0,0 0,0 1/6 5/6 13,0

Dual

Primeito tableau

9,0 3,0 -1,0 0,0 1,0 0,0 4,0

1,0 1,0 0,0 -1,0 0,0 1,0 1,0

18,0 12,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

-10,0 -4,0 1,0 1,0 0,0 0,0 -5,0

Ultimo tableau

1,0 0,0 -1/6 1/2 1/6

0,0 1,0 1/6 -3/2 5/6

0,0 0,0 1,0 9,0 -13,0

Nos detalhes:

� resultado igual a 13,0, tanto no Primal quanto no Dual;

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� valor das variaveis do Primal sao iguais aos valores dos precos sombras para as variaveiscorrespondentes no Dual e vice-versa.

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7 Pert - Redes de Precedencia

7.1 Caracterizacao

As redes de precedencia sao uma maneira de representar graficamente a sequencia de ativida-des de um projeto, obedecendo sua ordem temporal e as restricoes de precedencia. Existemdiversas tecnicas para elaboracao dessas redes. As mais conhecidas sao PERT (ProgramEvaluatiom and Review Technique) e CPM (Critical Path Method), entre outras tais comoP-PERT, PERT-Custo, GERT, PDM e Corrente Crıtica.

7.2 Redes

As redes sao graficadas a partir de dois elementos: as atividades, representadas por setas,que consomem tempo; e os eventos, representados por cırculos, marcando o inıcio ou terminode uma ou mais atividades.

� Atividade = tarefa que consome tempo

� Evento = termino de uma ou mais atividades

&%'$

&%'$

1 2A

4 h

-

evento eventoatividade

? ? ?

tempo

6

7.3 Caminho Crıtico

O caminho crıtico de uma rede de precedencia e a sequencia de atividades, entre o primeiroe o ultimo evento, que consome maior tempo. Ou seja, e o mınimo tempo que o projeto vaidemandar, se nao houver atrasos na execucao dessas atividades crıticas.

Exemplo: Num projeto de lancamento de um novo produto foi programado, com basena rede PERT acima, o tempo necessario para a sua execucao. Na qualidade de gestordo projeto, a qual sequencia de atividades voce dispensaria maior atencao, ojetivando naoatrasas o lancamento do produto (caminho crıtico)(MEC - Provao 1999).

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����

��������

����

����

1 3

2

4

5������������*

A5

-B3HHHHHHHHHHHHj

D2

@@@@@@R

F4

-G2

�������

H3

��

����E

3

@@

@@@R

C6

Para determinar o caminho crıtico basta verificar todas possibilidades de “rotas”entre o pri-meiro e o ultimo evento, aquela sequencia que somar o tempo maximo e o caminho crıtico.Dessa maneira:

� A+ F = 9

� B + E + F = 10

� B +G = 5

� B + C +H = 12

� D +H = 5

Assim a sequencia crıtica de atividades e BCH.

7.4 Modelagem das Redes de Precedencia

As redes de precedencia podem ser modeladas matematicamente usando-se a ProgramacaoLinear. Nesse caso, as variaveis de decisao irao controlar os tempos de cada evento, sendo afuncao objetivo minimizar o tempo do ultimo evento. O conjunto de restricoes sera deter-minado pelas atividades.

Exemplo:Como exemplo vamos modelar a seguinte rede de precedencia:

����

��������

����

����

1 3

2

4

5������������*

A5

-B3HHHHHHHHHHHHj

D2

@@@@@@R

F4

-G2

�������

H3

��

����E

3

@@

@@@R

C6

As variaveis de decisao sao:

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� x1 = tempo do evento 1

� x2 = tempo do evento 2

� x3 = tempo do evento 3

� x4 = tempo do evento 4

� x5 = tempo do evento 5

A funcao objetivo fica:

Min.Z = x5

E o conjunto de restricoes:

� x2 − x1 ≥ 5 (Atividade A)

� x3 − x1 ≥ 3 (Atividade B)

� x4 − x3 ≥ 6 (Atividade C)

� x4 − x1 ≥ 2 (Atividade D)

� x2 − x3 ≥ 3 (Atividade E)

� x5 − x2 ≥ 4 (Atividade F)

� x5 − x3 ≥ 2 (Atividade G)

� x5 − x4 ≥ 3 (Atividade H)

Alem das restricoes de nao negatividade:

� x1 ≥ 0

� x2 ≥ 0

� x3 ≥ 0

� x4 ≥ 0

� x5 ≥ 0

7.5 Formacao das Redes de Precedencia

O passo inicial para a montagem das redes de precedencia e a organizacao das atividades doprojeto em ordem indicando o sequenciamento, ou seja indicando qual(is) atividade(s) saoantecessoras imediatas.

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Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional - 2015 40

����

����

-AtividadeAtividadesantecessoras

imediatas

@@@

@@R

���

���

���

���

@@@

@@R

Exemplo: Uma empresa de consultoria pretende reorganizar uma industria de maneiraa diminuir o tempo de fabricacao de um dos seus produtos, ou seja, cadeira de espaldaralto. Como vai utilizar a tecnica de PERT/CPM, fez um levantamento de todas as tarefasnecessarias para a producao da cadeira. Este levantamento e apresentado na tabela e graficoseguintes (MEC - Provao 2000):

Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A - Compra e entrega de materia-prima -.- 2

B - Corte e preparacao de madeira A 1

C - Preparacao da estrutura metalica da base A 3

D - Acabamento da madeira B 4

E - Pintura da base C 4

F - Controle de qualidade da madeira D 5

G - Controle de qualidade da base metalica E 2

H - Montagem e embalagem F e G 5

As atividades declaradas na tabela podem entao, obedecendo as restricoes quanto ativi-dades antecessoras imediatas, serem desenhadas na forma de rede de precedencia:

������������

����

����

����

����

����

1 2

3

4

5

6

7 8-A2

@@@@@R

F5

-E4

-D4

������G

2

-H5

������B

1

@@@@@R

C3

As “rotas”possıveis entre o primeiro e o ultimo evento sao:

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� A+B +D + F +H = 17

� A+ C + E +G+H = 16

Dessa maneira, as atividades A-B-D-F-H formam o caminho crıtico.

7.6 Detalhamento das Redes de Precedencia

As redes de precedencia podem ser detalhadas atraves da indicacao das datas dos eventos edas folgas das atividades.

As atividades do caminho crıtico ser caracterizam por nao terem folga, isso quer dizerque qualquer atraso na execucao dessas atividades, havera atraso no tempo do projeto total.Mas, as outras atividades que compoem o projeto e nao sao do caminho crıtico podem, poralgum motivo, sofrerem atrasos, sem prejuıso do termino do projeto. Esse tempo de atrasoe a folga da atividade.

Os eventos ocorrem em datas adequadas de acordo com o desenvolvimento do projeto.A data adequada dos eventos que fazem parte do caminho crıtico e uma so. Quer dizer,teremos uma data fixada para ocorrer determinado evento. Mas, os outros eventos que naofazem parte do caminho crıtico nao tem uma data fixa para ocorrer, e sim podem variarentre duas datas: a data mais cedo e a data mais tarde do evento.

Tanto a folga nas atividades (fA), quanto a data mais cedo (dmc) e a data mais tarde(dmt) dos eventos sao determinados atraves do detalhamento da rede de precedencia:

..............................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............. ............. ............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ..............

..............................................................................................................

..............................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............. ............. ............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ..............

..............................................................................................................

i jAk

tk ; fk

-dmci dmti dmcj dmtj

Sendo que a folga de cada atividade e igual a data mais tarde do evento posterior menosa data mais cedo do evento anterior menos o tempo da atividade:

fA = dmtj − dmci − tA (2)

Primeiro determina-se a data mais cedo de cada evento calculando do primeiro ao ultimoevento somando-se os tempos de cada atividade. Adota-se o maior tempo no caso de duasatividades chegarem no mesmo evento. O data mais cedo do evento 1 pode ser uma datade calendario ou como no exemplo igual a zero (unidade de tempo). Dessa maneira, a datamais cedo do evento 3 e calculada: dmc3 = dmc1 + tB = 0 + 3 = 3. Note que o evento 3 eprecedente ao evento 2.

A data mais cedo do evento 2 e calculada considerando o maior tempo, entre: dmc2 =dmc1 + tA e dmc2 = dmc3 + tE, ou seja: dmc2 = dmc3 + tE = 3 + 3 = 6.

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"!#

"!#

"!#

"!#

"!#

1 3

2

4

5������������������*

A

5

-B

3HHHHHHHHHHHHHHHHHHj

D

2

@@@@

@@@@@R

F

4

-G

2

����

������

H

3

����

����

E

3

@@@@

@@@R

C

6

0 3

6

9

12

A data mais cedo do ultimo evento e o tempo crıtico da rede de precedencia, no exemplo:dmc5 =12.

A determinacao da data mais tarde de cada evento e feita do ultimo para o primeiroevento. Inicialmente repete-se a data mais tarde igual a data mais cedo no ultimo evento ediminui-se os tempos das atividades.

Dessa maneira, a data mais tarde do evento 2 e calculada: dmt2 = dmt5−tF = 12−4 = 8.Considera-se a menor resposta obtida. Assim a data mais tarde do evento 3 e calculadaconsiderando-se os valores: dmt3 = dmt2 − tE ou dmt3 = dmt5 − tG ou dmt3 = dmt4 − tC ,resultado em dmt3 = dmt4 − tC = 9− 6 = 3, o menor valor.

"!#

"!#

"!#

"!#

"!#

1 3

2

4

5������������������*

A

5

-B

3HHHHHHHHHHHHHHHHHHj

D

2

@@@@

@@@@@R

F

4

-G

2

����

������

H

3

����

����

E

3

@@@@

@@@R

C

6

0 0 3 3

6 8

9 9

12 12

Agora podemos calcular a folga de cada atividade utilizando 2.

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"!#

"!#

"!#

"!#

"!#

1 3

2

4

5������������������*

A

5; 3

-B

3; 0HHHHHHHHHHHHHHHHHHj

D

2; 7

@@@@

@@@@@R

F

4; 2

-G

2; 7

����

������

H

3; 0

����

����

E

3; 2

@@@@

@@@R

C

6

0 0 3 3

6 8

9 9

12 12

7.7 Exercıcios

Detalhar as redes de precedencia:

1)

Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A -.- 3

B A 2

C B 2

D C 2

2)

Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A -.- 3

B -.- 2

C A e B 2

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3)

Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A -.- 3

B A 2

C A 2

D B 2

E C 1

F D e E 2

4)

Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A -.- 3

B A 2

C A 2

D B 2

E B 1

F D 2

G E 2

H C 2

I H e G 2

J I e F 2

7.8 Atividades fantasmas

As restricoes de precedencia conter ambiguidades ou restricoes adicionais. Algumas vezes ,a solucao e adotar atividades extras para poder exprimir a rede de precedencia, chamadascomumente de atividades fantasmas.

Considerando a seguinte condicao de tarefas:

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Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A − 3

B − 2

C A 2

D B 2

E C 2

F C, D 2

. . . . . . . . .

A

B

C

D

E

F

A atividades E depende do termino da atividade C, e nao tambem da atividade D. Paracorrigir essa ambiguidade usamos uma atividade fantasma:

A

B

C

D

E

F

fantasma

Nesse caso a atividade fantasma nao demanda tempo e o detalhamento da rede de pre-cedencia e feito da mesma maneira.

Este proximo exemplo tambem pode ser corrigido com a adicao de uma atividade fan-tasma:

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Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A − 3

B A 2

C A 2

D B, C 2

B

C

A D

Aplicando a atividade fantasma:

B

C

A D

fantasma

7.9 Restricoes adicionais

Podem ocorrer que a rede de precedencia seja sujeita a restricoes adicionais que podem serrepresentadas com a ajuda de atividades fantasmas.

1) Se uma atividade so deve comecar quanto outra tiver terminada, ou apos a consecucaode um dado evento, ou apos um prazo mınimo decorrido desde o inıcio do projeto.

a

b

τ

Xaτ

τ = tempo

τ a

Nesses casos a atividade fantasma e caracterizada com um determinado perıodo detempo.

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2) No caso de restricoes disjuntivas, quando duas atividades nao poderem ser executadasao mesmo tempo (ambas usando o mesmo recurso, por exemplo)

No exemplo abaixo a atividade A e B utilizam o mesmo recurso e nao podem seremfeitas ao mesmo tempo, teremos duas opcoes sequenciando as atividades em serie, Adepois B, ou B depois A. A melhor alternativa e aquela que resulta o melhor tempocrıtico, por exemplo.

a

b

a

b

a

b

ou

7.10 Exercıcios

1) As tarefas E e H possuem restricoes adicionais conforme a tabela seguinte. Montar edetalhar a rede de precedencia.

AtividadeAtividadesantecessorasimediatas

Duracao datarefa - (Dias)

Restricao

A − 2

B A 3

C A 2

D A 2

E B 3Apos 6 dias do inıcio do

projeto

F B 2

G C, E 3

H D, F, G 2Apos 6 dias do termino da

atividade C

2) As tarefas D e G utilizam o mesmo recurso M1, da mesma forma as tarefas B e Cutilizam o mesmo recurso M2, conforme a tabela seguinte. Montar e detalhar a rede

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de precedencia considerando as tarefas que utilizam o mesmo recurso sendo realizadasem serie. Verificar qual e a melhor situacao.

AtividadeAtividadesantecessorasimediatas

Duracao datarefa - (Dias)

Restricao

A − 2

B A 3 Recurso M2

C A 2 Recurso M2

D B 3 Recurso M1

E B 2

F C 3

G C 2 Recurso M1

H D 3

I E, F 2

J G 3

K H, I, J 2

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7.11 Metodo Frances - diagrama de blocos

A representacao da rede de precedencia pode ser feita alternativamente usando-se blocos naforma de um diagrama, onde cada atividade e representada por um bloco e a precedencia econsiderada aplicando-se setas entre os blocos.

O detalhamento nos blocos pode abranger, alem do tempo da atividades e a folga, asdatas de inıcio da atividade, primeira e ultima, e as datas de termino das atividades, tambemprimeira e ultima (Figura 4).

Figura 4: Representacao com diagrama, detalhando: duracao, folga, primeira e ultima data deinınicio e primeira e ultima data de termino.

Atividade

Duracao Folga

PDI PDT

UDI UDT

7.11.1 Exemplo

Para exemplificar vamos utilizar um exemplo ja feito com o metodo americano (Figura 5).

Figura 5: Exemplo representado pelo metodo americano

"!#

"!#

"!#

"!#

"!#

1 3

2

4

5������������������*

A

5

-B

3HHHHHHHHHHHHHHHHHHj

D

2

@@

@@@@

@@@R

F

4

-G

2

���

���

����

H

3

��

������

E

3

@@

@@@@@R

C

6

Omesmo exemplo agora representado com diagrama de blocos (metodo frances)(Figura 6)

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Figura 6: Exemplo representado pelo metodo frances

A

5

B

3

D

2

E

3

C

6

F

4

G

2

H

3

A Primeira Data de Inıcio e considerada igual a 0 para as atividades iniciais, para as de-mais atividades e igual a Primeira Data de Termino das atividades antecessoras considerando-se o maior valor.

Por seu turno, a Primeira Data de Termino e igual a Primeira Data de Inıcio da atividademais duracao menos, conforme Figura 7.

Figura 7: Indicacao e calculo das Primeira Data de Inıcio e Primeira Data de Termino

A

5

0 5

B

3

0 3

D

2

0 2

E

3

3 6

C

6

3 9

F

4

6 10

G

2

3 5

H

3

9 12

A maior Primeira Data de Termino das atividades (tempo crıtico) torna-se a Ultima Data

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de Termino das ultimas atividades do projeto. Para as demais atividades a Ultima Data deTermino e igual a menor Ultima Data de Inıcio dos eventos precedentes.

O Ultima Data de Inicio e calculada subtraindo-se a duracao da Ultima Data de Termino,conforme Figura 8.

Figura 8: Indicacao e calculo das Ultima Data de Inıcio e Ultima Data de Termino

A

5

0 5

3 8

B

3

0 3

0 3

D

2

0 2

7 9

E

3

3 6

5 8

C

6

3 9

3 9

F

4

6 10

8 12

G

2

3 5

10 12

H

3

7 12

9 12

Finalmente o calculo da folga e feito a partir da diferenca entre a Ultima Data de Terminomenos a Primeira Data de Inıcio ou, Ultima Data de Termino menos a Primeira Data deTermino, conforme Figura 9.

Figura 9: Calculo das folgas

A

5 3

0 5

3 8

B

3 0

0 3

0 3

D

2 7

0 2

7 9

E

3 2

3 6

5 8

C

6 0

3 9

3 9

F

4 2

6 10

8 12

G

2 7

3 5

10 12

H

3 0

9 12

9 12

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A descricao das Primeira Data de Inıcio, Ultima Data de Inıcio, Primeira Data de Ter-mino e Ultima Data de Termino facilitam o posicionamento de cada atividade dentro dafaixa de tempo possıvel. Por exemplo, em problemas envolvendo nivelamento de recurso, oconhecimento das datas de inıcio e termino facilitam encontrar a melhor possibilidade.

7.12 Programacao e nivelamento de recursos

O metodo frances indicando as datas de inıcio, primeira e ultima, e as datas de termino,primeira e ultima, facilita o posicionamento das atividades em graficos de tempo versus oconsumo de recurso quando se busca o nivelamento.

A questao do nivelamento de recursos evita“picos”indesejaveis, melhorando a necessidadeao longo do projeto, ou possibilitando respeitar a disponibilidade maxima do recurso. ATabela 5 apresenta um exemplo de rede de precedencia indicando a necessidade de mao-de-obra de cada atividade.

Tabela 5: Dados de um projeto com necessidade de mao-de-obra

Atividade Duracao DependenciaNecessidade de

mao-de-obra (H.h.)

A 2 - 5

B 2 A 3

C 4 A 7

D 8 B e C 2

E 3 C 3

F 5 B e C 5

G 6 D e E 6

H 3 C 2

O resultado da rede de precedencia pode ser visualizado na Figura 10.

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Figura 10: Rede de precedencia do exemplo da Tabela 5

A

2 0

0 2

0 2

B

2 2

2 4

4 6

C

4 0

2 6

2 6

D

8 0

6 14

6 14

E

3 5

6 9

11 14

F

5 9

6 11

15 20

G

6 0

14 20

14 20

H

3 11

6 9

17 20

De posse do detalhamento da rede de precedencia com as datas das atividades pode-serepresentar o grafico de recursos, buscando a melhor situacao de nivelamento. As atividadesdo caminho crıtico, A, C, D e G, vao aparecer na parte inferior, elas nao possuem flexibilidadede deslocamento. As outras atividades nao crıticas sao posicionadas dentro da faixa de dataspossıveis, obedecendo a precedencia e configurando a melhor situacao de nivelamento.

Na Figura 11 uma programacao inicial, mas que pode ser melhorada com o deslocamentodas atividades H e E.

Figura 11: Programacao dos recursos buscando nivelamento

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 211

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

AC

D

G

B

F

E

H

Tanto a atividade H quanto E podem ser deslocadas buscando o nivelamento, a UltimaData de Termino da atividade H e 20, e a Ultima Data de Termino da atividade E e 14, ver

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Figura 10. Dessa maneira, precisa-se de no maximo 10 horas de mao-de-obra no ponto demaxima utilizacao (Figura 12).

Figura 12: Programacao dos recursos com melhor situacao

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 211

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

AC

D

G

B

FE

H

7.13 Exercıcios

1) Resolver a rede de precedencia (metodo frances) e fazer o grafico da necessidade derecurso com a mellhor situacao de nivelamento.

Atividade Dependencia Imediata Tempo (dias) Recurso

A – 3 15

B – 3 6

C – 3 11

D A 3 11

E A 4 10

F B 3 11

G B 3 4

H D 2 5

I D 3 4

J C,F e H 3 5

K E 3 3

2) Resolver e detalhar a rede de precedencia (metodo frances) considerando todas asalternativas no uso em serie do recurso M1 (restricao adicional) fazendo o grafico danecessidade de mao-de-obra com a melhor situacao de nivelamento.

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Atividade Dependencia Imediata Tempo (dias) Restricao Mao-de-obra (H.h)

A – 2 5

B – 3 4

C – 3 3

D A 2 recurso M1 3

E A 3 recurso M1 6

F B 3 4

G B 3 4

H D, E 2 2

I F, G 3 4

J C, H 3 5

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8 Programacao Inteira

8.1 Tipos de problemas de programacao inteira (PI)

Basicamente podemos dividir os problemas de PI em tres tipos:

� Puros - todas as variaveis de decisao sao inteiras

� Mistos - algumas variaveis de decisao sao inteiras

� Booleanos - variaveis de decisao so apresentam valores inteiros no intervalo [0, 1]

8.2 Programacao Inteira e Programacao Linear (PL)

� A todo o problema de PI existe um problema de problema de PL correspondente noqual as restricoes de nao-fracionariedade sao removidas (ou relaxadas)

� Alguns resultados se seguem:

– Espaco de solucoes viaveis do PI ⊆ Espaco de solucoes viaveis do PI relaxado

– Valor otimo de Z do PI e no maximo tao bom quanto o valor otimo do PI relaxado

8.3 Abordagem para solucao de problemas de PI

� Resolver seus problemas correspondentes relaxados e arredondar as variaveis de decisaop/ o maior ou menor inteiro mais proximo

� Dois problemas podem resultar:

– Valores arredondados podem resultar inviaveis no PI

– Solucoes resultantes sao altamente sub-otimas

8.4 Metodo Branch-and-Bound para solucao de problemas PIspuros

Considere o problema de PI:

Max Z = 8 x1 + 5 x2

s.a

x1 + x2 ≤ 6

9 x1 + 5 x2 ≤ 45

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

x1, x2 inteiros

O metodo Branch-and-bound e operacionalizado em 5 passos

� Passo 1: Comece resolvendo o PI relaxado.

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– Se a solucao otima for inteira, esta e a solucao do PI

– Caso contrario, solucao otima do PIR (problema deProgramacao InteiraRelaxado)e o limite superior da solucao otima do PI

Solucao otima do PIR dado anteriormente e:

Z∗ = 165/4

x1 = 15/4

x2 = 9/4

� Passo 2

– Escolha uma variavel de decisao fracionaria em Z∗ do PIR:

* por exemplo, x1 = 15/4.

– PI admite valores de x1 ≤ 3 ou x1 ≥ 4, mas nao em 3 < x1 < 4

Crie dois subproblemas a partir de x1

– SP2: SP1 + restricao x1 ≥ 4

– SP3: SP1 + Restricao x1 ≤ 3

– SP = subproblema

– Problema designado por SP1 e o proprio problema de PI em estudo, relaxado dasrestricoes de nao-fracionariedade

� Passo 3

– Escolha qualquer SP listado no passo anterior e resolva como se fosse um problemade PL:

* Por ex., SP2, com solucao otima Z∗ = 41, x1 = 4 e x2 = 9/5

– Resultados obtidos ate agora podem ser apresentados na forma de uma arvorehierarquica

Arvore hierarquica de solucao do problema

SP1: Z∗ = 165/4, x1 = 15/4, x2 = 9/4

SP2: Z∗ = 41, x1 =4, x2 = 9/5

x1 ≥ 4

nodo

arco

SP3: Z∗ =?

x1 ≤ 3

� Passo 4

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– Repita o procedimento no Passo 3 usando o SP2 e a variavel de decisao fracionariax2 = 9/5

– Subproblemas resultantes:

* SP4: SP1 +x1 ≥ 4 + x2 ≥ 2 ou SP2 +x2 ≥ 2

* SP5: SP1 +x1 ≥ 4 + x2 ≤ 1 ou SP2 +x2 ≤ 1

– Tem-se tres problemas que podem ser resolvidos: SP3, SP4 e SP5

Escolha um para resolucao. Por exemplo: SP4

– SP4 nao apresenta solucoes viaveis, nao podendo, assim, gerar uma solucao otimapara o problema de PI:

* Assim, diz-se que este nodo da arvore foi terminado

– Dentre os SPs nao resolvidos, escolhe-se o mais recente, SP5:

* Solucao vem apresentada na arvore do problema, a seguir

Arvore hierarquica de solucao do problema

SP1: Z∗ = 165/4, x1 = 15/4, x2 = 9/4

SP2: Z∗ = 41, x1 =4, x2 = 9/5

x1 ≥ 4

SP4: inviavel

x2 ≥ 2

SP5: Z∗ = 365/9, x1 =40/9, x2 = 1

x2 ≤ 1

SP3: Z∗ =?

x1 ≤ 3

Repita procedimento em (3) usando SP5 e var. fracionaria x1

– Subproblemas resultantes sao:

* SP6: SP5 +x1 ≤ 5

* SP7: SP5 +x1 ≥ 4

– Tres SPs podem ser resolvidos: SP3, SP6 e SP7.

– Escolhe-se, aleatoriamente, um dos mais recentes:

* SP7, por exemplo

– Solucao otima p/ SP7 vem dada na arvore a seguir

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SP7 gera a primeira solucao candidata para PI

– Solucao so possui valores inteiros p/ a variavel de decisao:

* Pode ser interpretada como solucao candidata ou um limite inferior no valorotimo do problema de PI

SP1: Z∗ = 165/4, x1 = 15/4, x2 = 9/4

SP2: Z∗ = 41, x1 =4, x2 = 9/5

x1 ≥ 4

SP4: inviavel

x2 ≥ 2

SP5: Z∗ = 365/9, x1 =40/9, x2 = 1

x2 ≤ 1

SP6: Z∗ =?

x1 ≥ 5

SP7:Z∗ = 37, x1 = 4, x2 = 1

Solucao candidata

x1 ≤ 4

SP3: Z∗ =?

x1 ≤ 3

Problemas SP3 e SP6 ainda nao foram resolvidos

– Escolhe-se SP6 (+ recente), com solucao dada na arvore a seguir:

* Solucao de SP6 e inteira e melhor do que aquela obtida para SP7

* Assim, termina-se nodo da arvore em SP7 (identifica-se o nodo terminado porum x ou escrevendo solucao excluıda) e atualiza-se o limite inferior da arvore;

* novo LI = 40

Arvore hierarquica de solucao do problema

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SP1: Z∗ = 165/4, x1 = 15/4, x2 = 9/4

SP2: Z∗ = 41, x1 =4, x2 = 9/5

x1 ≥ 4

SP4: inviavel

x2 ≥ 2

SP5: Z∗ = 365/9, x1 =40/9, x2 = 1

x2 ≤ 1

SP6:Z∗ = 40, x1 = 5, x2 = 0Limite Inferior = 37Solucao candidata

x1 ≥ 5

SP7:Z∗ = 37, x1 = 4, x2 = 1

Solucao excluıda

x1 ≤ 4

SP3: Z∗ =?

x1 ≤ 3

Ultimo SP a ser resolvido e SP3

– Solucao de SP3 e Z∗ = 39, x1 = x2 = 3:

* Trata-se de uma solucao candidata com Z∗ < LI

– Assim, nodo SP3 e terminado e SP6 e identificado como a solucao otima para oproblema de PI

8.5 Aspectos importantes do Branch-and-bound p/ PIs puros

� Sempre que nao for necessario desdobrar um subproblema, ele deve ser terminado

� Criterios utilizados para terminacao sao:

– SP nao possui solucoes viaveis

– SP gera uma solucao otima contendo somente valores inteiros

– SP apresenta um valor de Z∗ menor (em problemas de PI do tipo Maximizacao)que o limite inferior atual

� Um SP e eliminado (passa a ser desconsiderado do problema) sempre que:

– SP nao possui solucoes viaveis

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– LI (limite inferior) atual e pelo menos tao grande quanto o valor Z∗ do SP emquestao

� A regra ultimo a entrar, primeiro a sair, que indica qual SP deve ser trabalhado dentrevarios candidatos forca o analista a trabalhar um mesmo da ramo da arvore de solucoesate o final:

– Existem outras regras possıveis

� Quando um SP apresenta solucao otima com duas ou mais variaveis de decisao fracio-narias, trabalhe com aquela que representar maior ganho na funcao objetivo

8.6 Metodo Branch-and-Bound para solucao de PIs mistos

Modifique o algoritmo anterior da seguinte maneira:

� Desdobre somente variaveis de decisao restritas a nao-fracionarias

� Considere a solucao otima de um SP como sendo uma solucao candidata a solucaootima do problema de PI quando esta atender as restricoes de naofracionariedade

8.7 Exercıcios

1) Exercıcio 1

PI puro

Min Z = 4 x1 + 5 x2

s.a:

x1 + 4 x2 ≥ 5

3 x1 + 2 x2 ≥ 7

x1, x2 ≥ 0 e inteiros

2) Exercıcio 2

PI misto

Max Z = 2 x1 + x2

s.a:

5 x1 + 2 x2 ≤ 8

x1 + x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0; x1 inteiro

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8.8 Exemplo Branch-and-Bound em problemas de sequenciamentode trabalhos em maquinas

Apresentacao do problema

� Suponha 4 trabalhos a serem processados numa mesma maquina.

� Tempo necessario p/ processamento de cada trabalho e datas de entrega:

Tempo necessario (dias) Data de entrega

Trabalho 1 6 Final do dia 8

Trabalho 2 4 Final do dia 4

Trabalho 3 5 Final do dia 12

Trabalho 4 8 Final do dia 16

� Atraso do trabalho e medido pelo numero de dias apos a data de entrega em que otrabalho e completado:

– Trabalhos finalizados na data de entrega ou antes tem atraso zero

� Determine a ordem de processamento dos trabalhos que minimize o atraso total

Variaveis de decisao xij =

{1, quando o trabalho i for processado na posicao j

0, caso contrario

� Considere o ultimo trabalho a ser processado:

– Qualquer que seja a sequencia, ela tera x14 = 1, x24 = 1, x34 = 1 ou x44 = 1.Assim, cria-se uma arvore com quatro nodos e calcula-se o limite inferior no atrasototal associado a cada nodo

– Calculo do atraso para o quarto trabalho e: x44 = 1, ou seja, o trabalho 4 seriacompletado com atraso total de 23− 16 dias. Os 23 dias foram obtidos somando(6 + 4 + 5 + 8)

Aplicar mesmo raciocıcio p/demais trabalhos na posicao 4

� Resultados na arvore de solucao a seguir:

Melhor sequenciamento

NODO 1:D ≥ 15

x14 = 1

NODO 2:D ≥ 19

x24 = 1

NODO 3:D ≥ 11

x34 = 1

NODO 4:D ≥ 7

x44 = 1

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� Limite inferior no atraso total e D ≥ 7:

– ou seja, posicionando-se o trabalho 4 na quarta posicao, obtem-se o menor atrasototal

Escolhe-se nodo c/ menor atraso D (nodo 4) p/ continuar o metodo

� Qualquer sequencia associada ao nodo 4 deve ter x13 = 1, x23 = 1 ou x33 = 1

� Calculo do limite inferior LI de atraso e similar aquele visto anteriormente:

– x33 = 1, ou seja, trabalho 3 seria completado com atraso total de 15−12 dias. Os15 dias foram obtidos somando (6 + 4 + 5). O atraso total sera de pelo menos 3+ 7 dias (D ≥ 10)

Continuando a desdobrar pelo mesmo ramo

� Escolhe-se nodo 7 (menor valor de D) para desdobrar

� Qualquer sequencia associada a este nodo deve ter x12 = 1 ou x22 = 1. Os atrasostotais sao:

– Nodo 9: sequencia 1-2-3-4. Atraso total: 7(tr.4) + 3(tr.3) + (6+4-4)(tr.2) +0(tr.1) = 16 dias

– Nodo 8: sequencia 2-1-3-4. Atraso total: 7(tr.4) + 3(tr.3) + (4+6-8)(tr.1) +0(tr.2) = 12 dias 31

Qualquer solucao com D > 12 pode desconsiderada

� Com isto, termina-se os nodos 1, 2, 5, 6, e 9.

� Arvore de resultados parciais e dada na sequencia

Arvore parcial de resultados

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Melhor sequenciamento

NODO 1:D ≥ 15

x14 = 1

NODO 2:D ≥ 19

x24 = 1

NODO 3:D ≥ 11

x34 = 1

NODO 4:D ≥ 7

x44 = 1

NODO 5:D ≥ 7

x13 = 1

NODO 6:D ≥ 7

x23 = 1

NODO 7:D ≥ 7

x33 = 1

NODO 8:D = 12

x12 = 1

NODO 9:D = 16

x32 = 1

Desdobra-se o nodo 3

� Qualquer sequencia deve ter x13 = 1, x23 = 1 ou x43 = 1.

� Calculo do limite inferior de atraso e:

– x13 = trabalho 1 completo no final do dia (8 + 4 + 6) = 18− 8 = 10 + 11 = 21

– x23 = trabalho 2 completo no final do dia (8 + 4 + 6) = 18− 4 = 14 + 11 = 25

– x43 = trabalho 4 completo no final do dia (8 + 4 + 6) = 18− 16 = 2 + 11 = 13

� Sequencia otima e 2− 1− 3− 4. Atraso total e de 12 dias

Arvore final de resultados

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Melhor sequenciamento

NODO 1:D ≥ 15

x14 = 1

NODO 2:D ≥ 19

x24 = 1

NODO 3:D ≥ 11

x34 = 1

NODO 10:D ≥ 21

x13 = 1

NODO 11:D ≥ 25

x23 = 1

NODO 12:D ≥ 13

x43 = 1

NODO 4:D ≥ 7

x44 = 1

NODO 5:D ≥ 7

x13 = 1

NODO 6:D ≥ 7

x23 = 1

NODO 7:D ≥ 7

x33 = 1

NODO 8:D = 12

x12 = 1

NODO 9:D = 16

x32 = 1