Pesquisa Operacional II – Pesquisa Operacional II ... · A matriz Hessiana para essa função é...

Pesquisa Operacional I I Pesquisa Operacional I I Pesquisa Operacional I I Pesquisa Operacional I I –––– Ot imização Não LinearOtimização Não LinearOtimização Não LinearOtimização Não Linear

L i s ta de Exercíc iosLi sta de Exercíc iosLi sta de Exercíc iosLi sta de Exercíc ios de Rev isãode Revisãode Revisãode Revisão

P r o f e s s o r e s : F e r n a n d o L e m o s & L o r i V i a l i

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-3-1135

-80,0

-70,0

-60,0

-50,0

-40,0

-30,0

-20,0

-10,0

0,0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-2

2

5

-150,0

-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

01. Para cada uma das seguintes funções, verifique se ele é côncava, convexa ou nenhuma das duas,

justificando em cada caso.

(a) f(x, y) = 10x + 20y (b) f(x) = 10x – x2 (c) f(x, y) = xy – x2 – y2

Solução

(a) xf

∂

∂ = 10 ⇒

=∂∂

∂

=∂

∂

0yxf

0xf

2

2

2

e yf

∂

∂ = 20 ⇒

=∂∂

∂

=

∂

∂

0xyf

0yf

2

2

2

Portanto o Hessiano é: H(x, y) =

0000

. Os menores

principais são: H1(x, y) = 0 e H2(x, y) = 0.

Nesse caso a função é tanto côncava quanto convexa, isto é, ela é um plano.

(b) f’(x) = 10 + 2x e f”(x) = 2. H(x) = [2] é sempre positiva então a função é convexa.

(c) xf

∂

∂ = y – 2x ⇒

=∂∂

∂

−=∂

∂

1yxf

2xf

2

2

2

e yf

∂

∂ = x – 2y ⇒

=∂∂

∂

−=∂

∂

1 xy

f

2y

f

2

2

2

Portanto a Hessiana é: H(x, y) =

−

−

21

12. Os menores

principais são: H1(x, y) = -2 < 0 e H2(x, y) = 3 > 0. Assim, os

menores principais apresentam o sinal de (-1)k, onde k = 1, 2.

Portanto a função é côncava.

-25

-15

-5

5

15

25

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0




-140,0

-120,0

-100,0

-80,0

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

0,0 1,0 2,0 3,0

02. Considere a função f(x) = ax3 + 3bx2, onde a > 0 e b > 0. Determine em que condições a função será

convexa (côncava).

Solução

f’(x) = 3ax2 + 6bx e f"(x) = 6ax + 6b.

H(x) = [6ax + 6b]. Para que ela seja

convexa H(x) ≥ 0. Assim ela será

convexa para os valores “x” tais que:

6ax + 6b ≥ 0 ou x ≥ -b/a. A função será

côncava para todos os valores “x” tais que para x ≤ -b/a. O ponto -b/a é o ponto de sela da curva, isto

é, o ponto onde a curva passa de côncava para convexa ou vice-versa. Se for considerado todo o

intervalo de números reais então ela não será nem côncava e nem convexa. No exemplo acima a = 4 e b

= 2, O ponto de sela (onde a curva muda o côncava para convexa) é –b/a = -2/4 = -0,5.

03. Encontre e classifique os pontos críticos das seguintes funções:

(a) f(x) = -6x + 3x2 – 2x3 com x ≥ 0

(b) f(x) = x2(x2 – 1)

(c) f(x, y) = x2 – 6x + y3 – 3y

Solução

(a) f’(x) = -6 + 6x - 6x2 ⇒ f'(x) = x2 - x

+ 1 = 0 ⇒ A derivada não se anula, pois essa equação não tem solução. Assim o único ponto crítico é

o de fronteira x = 0. Nesse caso, se f’(a) < 0, que é o caso, pois f'(0) = -6, o ponto é um máximo

local. Assim, x = 0 é um máximo local e também global, pois a função é côncava.

(b) A derivada da função é: f’(x) = 4x3 – 2x.

Igualando a zero segue: 4x3 – 2x = 0. Então

os pontos estacionários são: x1 = 0, x2 =

22

e x3 = -22

.

A derivada segunda da f é f”(x) = 12x2 – 2.

No ponto x1 ela é negativa, logo x1 é um -1,0

1,0

3,0

5,0

7,0

9,0

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-2 -1 0 1 2




1234

5

6

73

5

70,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

-4-3

-2-1

01

23

45

-4

-2

0

2

4

-80-60-40-20

020

40

60

80

100

máximo local. Ela é positiva em x2 e x3 e assim x2 e x3 são mínimos locais. Como +∞=

∞→

)x(flimx

, a

função f possui dois mínimos globais, mas não um máximo

global.

(c) xf

∂

∂ = 2x - 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

yf

∂

∂ = 3y2 - 3 ⇒ 3y2 = 3 ⇒ y = -1 ou y = 1

Assim os pontos críticos são (3, 1) e (3, -1)

Determinando a matriz Hessiana para classificar os

pontos críticos segue que:

=∂∂

∂

=∂

∂

0yxf

2xf

2

2

2

e ⇒

=∂∂

∂

=

∂

∂

y6xyf

0yf

2

2

2

. Portanto a matriz Hessiana é H(x, y) =

y6002

. No ponto (3, 1) a

matriz Hessiana vale: H(3, 1) =

60

02. Os menores principais são: H1(3, 1) = 2 e H2(3, 1) = 12. Como

os dois menores principais são positivos, esse ponto é um mínimo local. No ponto (3, -1) a matriz

Hessiana vale: H(3, -1) =

−60

02. Como o primeiro menor principal H1(3, -1) = 2 é positivo e o

segundo H2(3, -1) = 2.(-6) = -12 é negativo, o ponto (3, -1) é de sela. Repare que essa função não é

nem côncava e nem convexa. Assim o mínimo é apenas local e não global.

04. Resolva os seguintes PPNLs:

(a) Min xyy

20x

50z ++= s. a x ≥ 1, y ≥ 1

(b) Se uma empresa cobra p por um produto e investe a em

publicidade ela pode vender 10000 + 5a1/2 – 100p

unidades do produto. Se o produto custa R$ 10,00 a

unidade para produzir, como a empresa pode maximizar

o lucro?




Solução

(a) Min xyy

20x

50z ++= s. a x ≥ 1, y ≥ 1

Z = 50x-1 + 20y-1 + xy

yx

y

fx

yx

f

2

2

20

50

−=∂

∂

−=∂

∂

⇒ 0

20

050

2

2

=−

=−

yx

xy

⇒

yx

xy

2

2

20

50

=

=

⇒ 8y

400y50

y20

50y44

2

2

==

= ⇒ y4 - 8y = 0 ⇒ y3 = 8 ⇒

y = 2. Como Y = 50/x2 ⇒ x2 = 50/y = 50/2 = 25 ⇒ x = 5.

A matriz Hessiana para essa função é dada por: H(x, y) =

−

−

y

x3

3

401

1100. A matriz Hessiana

aplicada no ponto H(5, 2) vale

8

401

1125

100

. Assim os menores principais são 100/125 = 4/5 e

(100/125).(40/8) – 1 = (4/5).5 – 1 = 3. Como ambos são positivos, tem-se que o ponto (5, 2) é de

mínimo. Como essa função é convexa para x e y positivos, o ponto é um mínimo global.

(b) f(p, a) = pv – 10v – a, onde v = 10000+ 5a1/2 – 100p.

Assim f(p, a) = 10000p +5pa1/2 -100p2 – 10(10000 + 5a1/2 -100p) – a = (p – 10)(10000+ 5a1/2 – 100p) – a,

Utilizando o solver, encontramos que:

Investindo a = R$ 14400,00 em publicidade e cobrando p = R$ 58,00 pelo produto as vendas serão de

4800 unidades, com um custo de $48000 e um lucro de R$ 216000,00.

05. Utilize o método da seção áurea, com como critério de parada ε = 10-6, para:

(a) Determinar o número de iterações necessárias para maximizar a função 3x – x2 em [0, 5];

(b) O ponto de máximo da função 3x – x2 no intervalo [0; 5];

(c) O valor da função no ponto ótimo.


L i s ta de Exercíc iosLi s ta de Exercíc iosLi s ta de Exercíc iosLi s ta de Exercíc ios de Rev i sãode Rev i sãode Rev i sãode Rev i são


Solução

k = 33 e o ponto de máximo é x = 1,5000 e o valor da função no ponto é f(1,5) = 2,2500.

Método de otimização pela secção áurea r ε k

f(x) = 3x - x² 0,61803 0,000001 33

pei pdi pe pd f(pe) f(pd) LK

Iteração 0 5,0000 1,9098 3,09017 2,0820 -0,2786 5,000000

1 0,0000 3,0902 1,1803 1,9098 2,1478 2,0820 3,090170

2 0,0000 1,9098 0,7295 1,1803 1,6563 2,1478 1,909830

3 0,7295 1,9098 1,1803 1,4590 2,1478 2,2483 1,180340

... ... ... ... ... ... ... ...

32 1,5000 1,5000 1,5000 1,5000 2,2500 2,2500 0,000001 33 1,5000 1,5000 1,5000 1,5000 2,2500 2,2500 FIM

06. Mostre que para todo x, ex ≥ x + 1 (Dica: faça f(x) = ex – x – 1 e minimize essa função).

Solução

Min f(x) = ex – x – 1 s. a x ∈ ℜ

f´(x) = ex – 1 = 0 → ex = 1 → x = 0. Assim o mínimo de ex – x – 1 é zero e portanto ex - x – 1 ≥ 0

ou ex ≥ x + 1.

07. (a) Maximizar f(x, y) = 2xy + y – x2 – 2y2 iniciando com o ponto (1, 1) e aplicando o método do

Gradiente com ε = 10-6. Apresente o ponto máximo, o valor máximo da função e o número de

iterações necessárias.

(b) Aplique o método Gradiente para minimizar f(x, y) =

3x2 + y2 + 2y - 12x. Inicie com o ponto (4, 4) e utilize

como critério de parada o valor ε = 10-6. Apresente o

ponto de mínimo, o valor mínimo da função e o número

de iterações necessárias.

Solução

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

0 1 2 3 4




(a) Método do Gradiente

f(x, y) = 2xy + y – x2 - 2y2 Parada 1E-06

df/dx = 2y - 2x x0 y0

df/dy = 2x - 4y + 1 1,00 1,00

Ponto xi Gradiente Ponto xi+1

Iter. xi yi x y xi+1 yi+1 f(vi) t f(vi+1) f(vi+1) - f(vi)

1 1,0000 1,0000 0,0000 -1,0000 1,0000 0,7500 0,0000 0,2500 0,1250 0,12500

2 1,0000 0,7500 -0,5000 0,0000 0,7500 0,7500 0,1250 0,5000 0,1875 0,06250

3 0,7500 0,7500 0,0000 -0,5000 0,7500 0,6250 0,1875 0,2500 0,2187 0,03125

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

17 0,5020 0,5020 0,0000 -0,0039 0,5020 0,5010 0,2500 0,2500 0,2500 0,00000

18 0,5020 0,5010 -0,0020 0,0000 0,5010 0,5010 0,2500 0,5000 0,2500 PARE

Assim o ponto crítico, isto é máximo, local é (x, y) = (1/2; 1/2), O valor da função nesse ponto é 0,2500

= 1/4. Como essa função é côncava (ver figura), então esse máximo é global. Total de iterações

necessárias: 18.

(b) Devemos minimizar a função: (Lembrar que o método só maximiza, para minimizar troca-se o sinal

da função e maximiza-se).

f(x, y) = 3x2 + y2 + 2y - 12x x0 y0 df/dx = 6x - 12

4,0 4,0

Parada 1E-06

df/dy = 2y + 2

Ponto xi Gradiente Ponto xi+1

Iter. xi yi x y xi+1 yi+1 f(vi) t f(vi+1) f(vi+1) - f(vi)

1 4,0000 4,0000 -12,0000 -10,0000 1,2481 1,7068 -24,0000 0,2293 3,9774 27,977444

2 1,2481 1,7068 4,5113 -5,4135 2,4877 0,2193 3,9774 0,2748 10,7998 6,822380

3 2,4877 0,2193 -2,9262 -2,4385 1,8167 -0,3399 10,7998 0,2293 12,4635 1,663657

4 1,8167 -0,3399 1,1001 -1,3201 2,1189 -0,7027 12,4635 0,2748 12,8692 0,405688

5 2,1189 -0,7027 -0,7136 -0,5946 1,9553 -0,8390 12,8692 0,2293 12,9681 0,098928

6 1,9553 -0,8390 0,2683 -0,3219 2,0290 -0,9275 12,9681 0,2748 12,9922 0,024124

7 2,0290 -0,9275 -0,1740 -0,1450 1,9891 -0,9608 12,9922 0,2293 12,9981 0,005883

8 1,9891 -0,9608 0,0654 -0,0785 2,0071 -0,9823 12,9981 0,2748 12,9995 0,001435

9 2,0071 -0,9823 -0,0424 -0,0354 1,9973 -0,9904 12,9995 0,2293 12,9999 0,000350

10 1,9973 -0,9904 0,0160 -0,0191 2,0017 -0,9957 12,9999 0,2748 13,0000 0,000085

11 2,0017 -0,9957 -0,0103 -0,0086 1,9994 -0,9977 13,0000 0,2293 13,0000 0,000021

12 1,9994 -0,9977 0,0039 -0,0047 2,0004 -0,9989 13,0000 0,2748 13,0000 0,000005

13 2,0004 -0,9989 -0,0025 -0,0021 1,9998 -0,9994 13,0000 0,2293 13,0000 0,000001

14 1,9998 -0,9994 0,0009 -0,0011 2,0001 -0,9997 13,0000 0,2748 13,0000 PARE

Assim o ponto crítico, isto é mínimo, local é (x, y) =

(2; -1), O valor da função nesse ponto é -13,0000. Como

essa função é convexa (ver figura), então esse mínimo é

global. Total de iterações necessárias: 14.




08. Suponha que uma lata cilíndrica de refrigerante deve ter um volume de 350 ml. Se a companhia quer

minimizar a área da lata, qual deve ser a razão entre a altura da lata e o raio da mesma?

(Dica: O volume de um cilindro circular é πr2h e a área da lata é 2πr2 + 2πrh, onde r = raio do cilindro e

h = a altura do cilindro.)

Solução

Minimizar 2πr2 + 2πrh sujeito a πr2h = 350. Utilizando o Solver, temos:

Minimizar 2πr2 + 2πrh sujeito a πr2h = 350

Variáveis r h Restrição 350 350

3,82 7,64 h/r = 2,00

Área 274,93

Assim, a altura deverá ser o dobro do raio da base. Faça o teste com outros valores. Por exemplo,

verifique que para uma lata de 500 ml novamente a área mínima será obtida quando a altura for o

dobro da base. Veja nas latas de ceva que você entorta se essa relação se verifica!

09. Utilize o método de Newton para minimizar a função f(x) = x2 – 3x. Aponte o ponto de mínimo e o valor

mínimo da função. Inicie com o ponto x = 4. Verifique se o ponto é global.

Solução

f(x) = x2 – 3x

f’(x) = 2x -3 e f”(x) = 2. H(x) = [2] que é sempre positiva, então a função é convexa.

O ponto inicial é x0 = 4. Assim o ponto x1 = x0 – f’(x0)/f”(x0). Temos que: f’(x) = 2x – 3 e f”(x) = 2.

Assim: x1 = x0 – f’(x0)/f”(x0) = 4 - f’(4)/f”(4) = = 4 – (2.4 – 3)/2 = 4 – 5/2 = 1,5. Logo x1 = 1,5. Como

f’(1,5) = 2.1,5 – 3 = 0, isto significa que x = 1,5 é um ponto ótimo local (mínimo). Como a função é

convexa ele é também global. O valor da função no ponto é f(x) = x2 – 3x = 1,52 – 3.1,5 = -2,25.

10. Considere a função f(x, y) = 4x2 + y2 – 2xy. Utilize o método de Newton a partir do ponto inicial (x0, y0)

= (1, 1) para determinar o mínimo da função. Verifique se ele é global?

Solução

f(x, y) = 4x2 + y2 – 2xy

xf

∂

∂ = 8x – 2y

yf

∂

∂ = 2y – 2x. Assim o gradiente será ∇f(x, y) = (8x – 2y, 2y – 2x).




Determinando a matriz Hessiana para classificar os pontos críticos segue que:

−=∂∂

∂

=∂

∂

2yxf

8xf

2

2

2

e

=∂

∂

−=∂∂

∂

2yf

2xyf

2

2

2

. Portanto a matriz Hessiana é H(x, y) =

−

−

2228 .

A matriz Hessiana Inversa é H-1(x, y) =

32

61

61

61

.

Tem-se que: x1 = x0 – H-1(x0) ∇f(x0) = (1, 1) -

32

61

61

61

.[6, 0)T = (1, 1) – (1, 1) = (0, 0).

Como ∇f(0, 0) = (0, 0). Esse ponto é um ótimo local (mínimo). Como a função é convexa, pois os menores

principais são ambos positivos, segue que ele é, também, global.

11. Um crocodilo está a espreita de uma presa localizada a 20 no lado oposto de um rio. O crocodilo anda

em diferentes velocidades na terra e na água. O tempo para que o crocodilo alcance a presa pode ser

minimizada se ele nadar até um ponto P, x metros rio acima, conforme o diagrama.

O tempo gasto pelo crocodilo, medido em segundos, é dado por: T(x) = )x20(4x365 2 −++ . Determine:

(i) O tempo gasto pelo crocodilo se ele apenas nadar.

(ii) Calcule o tempo gasto se ele nadar a menor distância possível.

(iii) Entre os dois extremos existe um valor de x que minimiza o tempo gasto. Encontre esse valor e

determine qual é o menor tempo possível.

Solução

(i) Para x = 20, tem-se: )2020(420365 2 −++ = 104,40 s.

(ii) Para x = 0, tem-se: )020(40365 2 −++ = 110,00 s.

(iii) Min T(x) = )x20(4x365 2 −++ . Nesse caso x = 8 e T(x) = 98 s = tempo mínimo.

Como a função é convexa essa solução é Global.




12. Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3. O material da tampa e da base

vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os lados R$ 1,50 por centímetro

quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mínimo.

Solução pelo solver

A função objetivo é: min C(x, y) = 3(x2 + x2) + 4.1,5.xy = 6x2 + 6xy = 6(x2 + xy) com a

restrição de V(x, y) = x2y = 2000 cm3

A solução é x = 10 cm, y = 20 cm.

Solução por cálculo

Volume da caixa V(x, y) = x2y = 2000 cm3, assim y = 2000/x2. Área da caixa A(x, y)

= 6(x2 + xy). Substituindo o valor de y na área da caixa vem: A(x) = 6(x2 + x.2000/x2) = 6(x2 + 2000/x).

Derivando essa função e igualando a derivada a zero, segue: A’(x) = 6(2x – 2000/x2) = 12(x3 – 1000)/x3

= 0. Assim x3 – 1000 = 0 e então x = 10. Como y = 2000/x2 = 2000/102 = 20. Assim as dimensões da

caixa devem ser 10 cmx10cmx20cm.

Solução pelo Lagrangiano

O Lagrangiano para esse problema será:

L(x, y) = 6x2 + 6xy – λ(x2y – 2000)

Derivando parcialmente essa expressão, tem-se:

xL

∂

∂ = 12x + 6y - 2λxy.

yL

∂

∂ = 6x - λx2.

λ∂

∂L = x2y – 2000.

Igualando as derivadas parciais a zero, tem-se:

12x + 6y - 2λxy = 0 ou 6x + 3y - λxy = 0.

6x - λx2 = 0 ou 6 - λx = 0 ou ainda λ = 6/x.

x2y – 2000 = 0 ou x2y = 2000 ou ainda y = 2000/x2.

Substituindo esses dois últimos resultados na primeira equação, segue:

6x + 3y - λxy = 0⇒ 6x + 3(2000/x2) – (6/x)x(2000/x2) = 0.

Simplificando e somando (eliminando o valor de x2 do denominador) tem-se, então:

6x3 + 6000 – 12000 = 0 ⇒ 6x3 = 6000 ⇒ x3 = 1000 ⇒ x = 10. Portanto y = 2000/x2 = 2000/100 = 20

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