Pesquisa Operacional II

Professor: Roberto César

Modelo de Filas

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A Notação de Kendall

Um modelo de fila pode ser descrito pela notação:

A/B/c/K/m/Z em que:

A = distribuição dos intervalos entre chegadas;

B = distribuição do tempo de serviço;

c = quantidade de atendentes;

K = capacidade máxima do sistema

(número máximo de clientes no sistema)

m = tamanho da população que fornece clientes;

Z = disciplina da fila

A Notação de Kendall: A/B/c/K/m/Z

Os valores de A e B dependem do tipo de distribuição

a que elas se referem:

M = Exponencial Negativa (ou Marcoviana ou Poisson)

Em = Erlang de estágio m

Hm = Hiper-exponencial

Determinística

Geral

A Notação de Kendall: A/B/c/K/m/Z

Exemplo:

M/E2/5/20//Randômico

Significa chegadas Marcoviana (ou Poisson),

atendimento erlang de segundo grau, 5 atendentes,

capacidade máxima de 20 clientes, população infinita e

atendimento randômico.

A notação condensada A/B/c é muito utilizada e

pressupõe tamanho de fila e população infinita e disciplina

da fila é FIFO.

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Modelos de Filas O Processo de Vida e Morte:

A maioria dos modelos de fila elementares supõe que as chegadas (clientes chegando) e saídas (clientes saindo)

do sistema de fila ocorrem de acordo com o processo de vida e morte. Onde:

vida - é o termo que se refere a chegada de um novo cliente morte - é o termo que se refere a partida de um cliente já

servido estado - é o número de clientes no sistema no tempo (instante)

t(t>0).

Este processo diz que vidas e mortes individuais ocorrem aleatoriamente, onde suas taxas médias de ocorrência

dependem somente do estado atual do sistema.

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Modelos de Filas O Processo de Vida e Morte:

Mais precisamente, as suposições do processo de vida e morte são as seguintes:

1. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do tempo restante até à vida (chegada) seguinte é

exponencial com parâmetro n(n=0,1,2,...)

2. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do tempo restante até à morte (conclusão do serviço)

seguinte é exponencial com parâmetro n(n=0,1,2,...)

Somente uma vida ou morte pode ocorrer de cada vez

Modelos de Filas O Modelo M/M/1:

Este modelo representa chegadas e atendimentos marcovianos com um único atendente.

Este estudo considera os casos de população infinita e finita.

Representação do modelo de fila M/M/1

Nome

Descrição Fórmula

NF

Número médio de clientes

na Fila

NF =

NS Número médio de clientes

no sistema

NS =

TF Tempo médio de clientes na

Fila

TF =

TS Tempo médio de clientes no

sistema

TS =

Pn Probabilidade de existirem

n Clientes no sistema

Pn =

2 .

(-)

-

-

(-)

n

1

.

.

1 .

Modelo M/M/1

Taxa de Utilização: É a relação entre o ritmo médio de chegada e o ritmo de atendimento:

= Sistemas estáveis exigem menor que ou < 1.

NF = =

2

(-)

Modelo M/M/1

2

1-

NF versus

NF cresce exponencialmente quando 1

0,5 0,6 0,8

NF12

10

2

1

0

Modelo M/M/1

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População finita: M/M/1/K

Um caso particular e bastante encontrado na vida prática.

Exemplo: Uma mineração com 1 escavadeira e a alguns caminhões. Considerando =8 e =10, temos a seguinte variação de NF

Se a população fosse infinita teríamos NF = 3,2

4

3

2

1

0

0 5 10 15 20 25 30

Nome Descrição Fórmula

NF

Número médio de

clientes na Fila

NS Número médio de

clientes no sistema

TF Tempo médio de

clientes na Fila

TS Tempo médio de

clientes no sistema

Pn Probabilidade de

existirem n Clientes

no sistema

Modelo M/M/1/K

)1( 0PKNF

)1( 0PKNS

2

0 )1()(

PxKTF

2

0 )1()( PxKTS

K

j

j

nK

n

jxnK

P

0 !

)(

)(

)(

O Modelo M/M/c

Apresenta uma única fila e diversos servidores com

chegadas e atendimentos marcovianos.

Supõe-se aqui que a capacidade de atendimento de

cada um dos servidores é a mesma (ou seja ).

Casos de população infinita e finita

População Infinita:

Geralmente são utilizados gráficos para se obter o

número médio de clientes na fila (NF) em função do fator

de utilização e tendo como parâmetro a quantidade de

servidores M a taxa de utilização é:

Após o uso dos gráficos, as outras variáveis podem ser

obtidas pelas fórmulas de Little:

TF=NF/

TS=NS/

M/

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População finita: M/M/c/K

Um caso particular e bastante encontrado na vida prática.

Exemplo: Uma mineração com 4 escavadeiras e a alguns

caminhões.

Considerando =26 e =8, temos a seguinte variação de

NF

Se a população fosse infinita teríamos NF = 3

4

3

2

1

0

0 5 10 15 20 25 30

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O Modelo Erlang

O modelo M/Em/c, representa:

• chegadas seguem Poisson

• atendimento segue a Distribuição Erlang de grau m

O dimensionamento de equipamentos leva em conta os

seguintes indicadores:

• Fornecer ao cliente o menor tempo em fila

• Um sistema de menor custo e máxima capacidade

de produção

Para um dado TF desejado, o modelo M/Em/n necessita de

uma menor quantidade de servidores que o modelo M/M/c.

O Modelo Erlang

O Modelo M/Em/1

Distribuição Densidade Erlang

• Para m=1, possui o mesmo formato que a Função

Exponencial Negativa

• À medida que m cresce, a distribuição tende para a

normal

• Se m tende para infinito. A distribuição tende para uma

constante (TA), ou seja, quanto maior m mais constante

se torna o tempo de atendimento.

Distribuição Erlang

TA 2TA 3TA

Referência Bibliográfica

Prado, Darci; Teoria das filas e simulação; INDG, 2009