Pesquisa Operacional II

download

of 25

  • date post

    08-Jan-2017
  • Category

    Documents
  • view

    214
  • download

    0

Embed Size (px)

transcript

  • Pesquisa Operacional II

    Professor Joo Soares de Mello

    http://www.uff.br/decisao/notas.htm

  • Ementa

    Teoria dos grafos (pr-requisitos: PO I, lgebra Linear)

    Programao no linear (pr-requisitos: PO I, Clculo Diferencial com vrias variveis)

  • Bibliografia BsicaBOAVENTURA NETTO, P. O. ; JURKIEWICZ, S. Grafos: introduo e prtica. 1. ed. So Paulo - SP: Editora Edgard Blucher Ltda., 2009.

    PIZZOLATO, N. D. ; GANDOLPHO, A.A.. Tcnicas de Otimizao. 1. ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos LTC, 2009.

    HILLIER, F.S.; LIEBERMAN, G.J. H. J. Pesquisa Operacional. McGraw-Hill 8Ed, 2010

  • Bibliografia Complementar

    BORTOLOSSI, H. J. Clculo Diferencial a Vrias Variveis: Uma Introduo Teoria de Otimizao. So Paulo: Editora PUC-Rio/Edies Loyola, 2002.

    NOVAES, A. G. N. Mtodos de otimizao: Aplicaes aos transportes. So Paulo: Edgard Blucher, 1978.

    ARENALES, M. N. ; ARMENTANO, V. A. ; MORABITO, R. ; YANASSE, H.

    H. Pesquisa Operacional. 1. ed. Rio de Janeiro: Campus/Elsevier, 2007.

  • Calendrio

    Provas 30/1/2013 e 20/3/2013. VS dia 27/3/2013..

    No haver aula nos dias 10, 12 e 17/12 por motivo de viagem oficial para participao em bancas (afastamento publicado no Dirio Oficial da Unio n 213 de 05/11/2012, Seo 2, pginas 23).

  • Avaliao

    Duas provas com igual peso. Uma sobre grafos a outra sobre programao no linear

    Uma das questes da segunda prova poder, eventualmente, ser um trabalho computacional para casa e defendido em sala.

  • Teoria dos grafos

    Problemas estudados em Grafos O Problema do Caixeiro Viajante O Problema do Carteiro Chins O Problema do labirinto O Problema de Caminho Mnimo Os Problemas do transporte e da alocao O Problema de Fluxo Mximo O Problema de Fluxo Mximo a custo mnimo rvore Geradora Mnima (AGM) Colorao em Grafos Roteamento de veculos Centralidades em grafos Etc.

  • Teoria dos Grafos

    Teoria dos Grafos Pontes de Knigsbergna Prssia (atualKalinigrad, na Russia):seria possvel percorrertodas as quatro sees evoltar ao local departida cruzando cadaponte uma nica vez? Resolvido por LeonhardEuler XVIII

  • Teoria dos Grafos: Outros exemplos

    Cadeias de carbono

    Circuitos eltricos

    Sociogramas

    Fluxogramas

    Organogramas

    Relaes de preferncia (caso particular: resultados de jogos)

  • Teoria dos Grafos: Definies bsicas Um grafo uma noo simples e abstratautilizada para representar a idia de relao entreelementos" Matematicamente: G = (V,A), onde V oconjunto de vrtices e A o conjunto de ligaesentre vrtices. Grafo no orientado: ligaes representadas ospares de vrtices no possuem uma ordem (i,j) =(j,i) = {i,j}, aresta Grafo orientado (dgrafo): ligaes (arcos)representadas por partes ordenados (i,j) (j,i)

  • Representaes de grafos

    Rotular vrtices, valorar ligaes (eventualmente o contrrio)

    Topolgica (desenho) Listas de adjacncias armazena o relacionamentoentre os vrtices em uma estrutura de listas.Representao econmica do ponto de vista computacional. Grafos orientados: duas listas origem - destinos edestino - origens Grafo no orientados: uma lista

  • Representaes de grafos

    Matriz de adjacncias: dois vrtices so adjacentes se esto unidos por uma aresta ou arco. Matriz Mnxn (n total de vrtices).

    Observar simetria das matrizes de grafos no orientados

  • Representaes de grafos

    Matriz de incidncia: linhas so vrtices e colunas so ligaes.

    Em cada coluna (ligao) so indicados quais os vrtice que ela liga.

  • Alguns conceitos

    Ordem de um grafo= nmero de vrtices

    Tamanho de um grafo= nmero de ligaes (observar multigrafos)

    Grafo complementar: Grafo que possui apenas as ligaes que no existem no grafo completo (com todas as ligaes)

    Grafo completo no orientado chamado clique Kn

  • Alguns conceitos

    Subgrafo: um sub conjunto do grafo original, isto , tanto o conjunto de vrtices quanto o conjunto de ligaes so subconjuntos dos originais

    Subgrafo abrangente (spanning subgraph): contm todos os vrtices mas no todas as ligaes

    Subgrafo induzido: uma vez determinado o conjunto de vrtices, so mantidas as ligaes entre eles

    Vizinhana: y vizinho de x se existe a ligao (x,y)N(x)={y: (x,y)}

    Conjunto de sucessores N+(x)={y: (x,y)} Conjunto de antecessores N-(x)={y: (y,x)} Tanto a vizinhana como estes conjuntos so ditos abertos.

    Para fechar inclui-se o vrtice centro

  • Alguns conceitos Grau de um vrtice: Em um grafo no orientado o nmero de arestas

    adjacentes ao vrtice. Num grafo simples igual ao nmero de vizinhos g(x)=#N(x)

    Para grafos orientados define-se o semigrau exterior (nmero de sucessores) e o semigrau interior (nmero de antecessores. Alguns autores definem grau como sendo a soma dos semigraus, mas isso apresenta problemas.

    Se g(x)=1 diz-se que o vrtice pendente.

    Se em grafo no orientado, g(x)=g(y)=k, x,y V, o grafo dito k-regular

    Percurso: conjunto de vrtice (ou ligaes) sequencialmente adjancentes

    Caminho: um caminho possvel de percorrer. Todas as ligaes esto no sentido incio-fim

    Percurso simples no repete ligaes, elementar no repete vrtices

    Ciclo um percurso elementar fechado, circuito um caminho elementar fechado. Todo circuito. um ciclo.

  • Alguns conceitos Fecho transitivo: R+(v) o conjunto de todos os vrtices w para os

    quais existe um caminho de v para w.

    Fecho transitivo: R-(v) o conjunto de todos os vrtices w para os quais existe um caminho de w para v.

    O nome transitivo est relacionado propriedade da transitividade de relaes binrias: se existe um par (a,b) e (b,c) existe um (a,c). Exemplo: Clculo I pr-requisito transitivo de PO II ou, em linguagem de grafos, PO II est no fecho transitivo de Clculo I.

    Exerccio: Identificar, at o quinto perodo, o fecho transitivo positivo de todas as matrias do primeiro perodo e o fecho transitivo negativo de todas as do quinto perodo.

    Observao: Qualquer vrtice est includo no seu fecho transitivo, seja positivo ou negativo.

    Isomorfismo: Dois grafos so isomorfos se e s se existir uma funo bijetiva entre seus conjuntos de vrtices que preserve suas relaes de adjacncia. As representaes topolgica, e outras podem ser diferentes.

  • Conexidade Um grafo conexo se existir um percurso entre dois quaisquer par de

    vrtices.

    Em grafos no orientados isto equivalente a dizer que qualquer vrtice w est no fecho transitivo (positivo e negativo) de qualquer vrtice v (provar por reduo ao absurdo).

    A conexidade mais complicada em grafos orientados. Existem grafos que no desenho parecem conexos, mas no respeitam a ligao total.

    Existem 4 tipos de conexidade: desconexo, simplesmente conexo, semi-fortemente conexo e fortemente conexo.

    Desconexo: existem vrtices sem nenhum percurso para outros.

    Fortemente conexo (f-conexo): todo o vrtice est no fecho transitivo de outro.

    Simplesmente conexo: existem percursos (mas no necessariamente caminhos) entre qualquer par de vrtices.

    Semi-fortemente conexo: entre dois pares de vrtices um deles estar no fecho transitivo positivo do outro.

  • Conexidade Um subgrafo fortemente conexo que que no esteja contido em

    outro f-conexo chamado componente f-conexa.

    Grafo reduzido: aquele em que um vrtice substitudo pela componente f-conexa a que pertence. O grafo reduzido tem a mesma conexidade do grafo original.

    Determinao de componente f-conexas: Algoritmo de Malgrange. Faz os fecho transitivos positivo e negativo de cada vrtice e a sua interseo.

    Dois grafos conexos podem ter a sua conexidade mais ou menos ameaada. Esse o conceito de conectividade, aplicado apenas a grafos no orientados.

    Conectividade vrtice (aresta) de um grafo conexo o menor nmero de vrtices (arestas) que preciso tirar desse grafo para ele deixar de ser conexo (ou o rediz a nico vrtice, caso das cliques).

    A conectividade menor ou igual ao nmero de vrtice menos 2 (para grafos no completos).

  • Problemas com caminhos Hamiltonianos: percurso que visita cada vrtice uma nica vez.

    Problema do Caixeiro Viajante: O Caixeiro Viajante deve sair da sua cidade (origem), visitar cada uma das outras (n-1) cidades uma nica vez e retornar cidade de origem, de forma tal a percorrer uma nica distncia possvel

    Eulerianos: percurso que usa cada ligao exatamente uma vez. Problema do Carteiro Chins.: o carteiro deseja percorrer todas asruas da sua rota um nmero mnimo de vezes.

  • Determinao de caminhos

    Caminho de menor custo (menor distncia, comparar com distncia matemtica). Algortimos de Dijkstra e Floyd. Programao linear binria

    Maior caminho: programao linear binria, algoritmo de folgas. Aplicao em COM (Gesto de Projetos)

    Existncia de caminho

  • Existncia de caminho

    S temos informao local do grafo (estamos dentro do grafo).

    Situao prtica: labirinto.

    Temos que ser capazes de marcar caminhos j percorridos.

    Seguir sempre pela direita, a menos que o caminho j tenha sido feito.

    Ir o mais direita possvel. Se todos tiverem sido feitos, voltar para trs.

  • Algoritmo de Dijkstra

    Para cada vrtices usamos a notao: [c,j] X,chamada de rtuloc custo at o momento, j vrtice precedente, X pode

    ser T (temporrio) ou P (permanente) Incio no vrtice origem: [0,-]PAnalisar os vrtices adjacentes e colocamos rtulos

    temporrios, calculamos a distncia at esse ponto,caso esteja rotulado escolhemos o de menor distnciaTodos os vrtices rotulados, pare, caso contrrio,

    escolha o de menor custo rotule como P e repetir opasso anterior

    PORQUE FUNCIONA?