Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB
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Pesquisa Operacional
Notas de Aula
20/02/2013
Prof. Washington Lemos, MSc.
Razão de ser
Estas notas de aula tem como função unicamente assessorar o processo
de aprendizado. Ou seja, pretende-se com estas anotações disponibilizar
ao aluno um guia de estudo, uma espécie de “sub-caderno”.
Longe de condensar todas as informações da disciplina ou todos os
assuntos debatidos em sala de aula, estas notas são um material
complementar e auxiliar às aulas além de sempre dinâmico
(frequentemente alterado, portanto cuide de ter sempre a última versão).
Elas serão disponibilizadas antes de cada aula no WEBCAF.
Ler estas notas antes da aula fará com que sua compreensão da disciplina
aumente, contudo mesmo sem lê-la anteriormente é fundamental que
sejam levadas para sala de aula juntamente com seu caderno de modo
que possam esclarecer suas dúvidas e que você as utilize para colocar
observações, comentários ou marcar pontos importantes.
Espero que seja útil. Além disso, qualquer crítica, comentário ou indicação
de erro serão bem-vindos.
Prof. Washington Lemos, MSc.
2
Bibliografia
Básica
Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução
à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010.
Lachtermacher, Gerson. Pesquisa Operacional na
Tomada de Decisões , 3ª Edição, Editora Elsevier,
2007.
Complementar
Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação
Linear como instrumento de Pesquisa Operacional,
Ed. Atlas, 2008.
Slack, Nigel; Chambers, Stuart;
Johnston, Robert. Administração da Produção, 2ª
Edição, Editora Atlas, 2010
3
Andrade, Eduardo Leopoldino. Introdução à
Pesquisa Operacional - Métodos e Modelos para
Análise de Decisões; 4ª Edição, Editora LTC, 2012.
Colin, Emerson. Pesquisa Operacional – 170
aplicações em Estratégia, Finanças, Logística,
Produção, Marketing e Vendas. Editora LTC,
2011.
Taha, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8º Edição.
Editora Pearson, 2008.
Pizzolato, Nélio D., Gandolpho, André Alves. Técnicas
de Otimização. Editora LTC, 2012.
4
menta
1 – Introdução
2 – Modelagem
3 – Solução Gráfica
4 – Método Simplex
5 – Dualidade e Dual-Simplex
6 – Problemas de transporte
7 – Problemas de designação
8 – Modelos em rede (grafos) – Fluxo
Máximo, Árvore Mínima, Menor Caminho.
9 – Gestão de Projetos (Pert/CPM)
10 – Teoria das Filas *
11 – Teoria dos Jogos *
*Assuntos extra curriculares, cujo conteúdo é pertinente a um curso mais avançado.
Sua presença é desejável porém não imprescindível. Dependendo do tempo
disponível, do ritmo da turma e do interesse dos alunos poderão ser apresentados de
forma menos ou mais aprofundada, ou até mesmo suprimidos.
5
1. Introdução
A Pesquisa Operacional 1 tem origem na necessidade de se resolver e
controlar problemas complexos de logística, controle de recursos e
projetos. Ela é intrinsecamente multidisciplinar reunindo conceitos de
estatística, psicologia e economia, sempre matematicamente orientada
para que seja capaz de resolver os problemas de maneira quantitativa.
A Pesquisa Operacional é uma das maiores conquistas científicas do século
XX fruto dos desafios bélicos da Segunda Grande Guerra (1939 – 1945)
que nos tempos posteriores ao conflito difundiu-se pelos grupos de
estudiosos e empresários que buscavam métodos mais eficientes e
eficazes de organizar suas atividades.
O desafio quase sempre é distribuir recursos limitados entre atividades
que disputam por tais recursos. De forma geral busca-se sempre um
planejamento de atividades objetivando tornar o resultado ótimo (o
melhor resultado possível frente às variáveis consideradas).
Percebam que a maior qualidade da Pesquisa Operacional também
determina seus limites. Ao tentar seguir um “método científico”, a 1 Pesquisa Operacional (PO) é também chamada de “Ciência da Administração”ou ainda “Management Sciences” (MS). É importante ficar atento, pois alguns livros utilizam esta notação, especialmente os estrangeiros.
6
Pesquisa Operacional investiga o problema, observa os fatos, formula a
problemática indicando os dados relevantes. Em seguida o problema real
será reduzido a um modelo matemático que representa a essência do
problema real. Neste ponto fica implícita a premissa de que acreditamos
que a solução do problema matemático também será válida para o
problema real. Para sustentar esta premissa buscamos validar o modelo
verificando alguma hipótese.
Fica claro então que a Pesquisa Operacional tem o compromisso de ser
uma ferramenta de gestão, fornecendo soluções práticas a problemas
reais, auxiliando a tomada de decisão. Por isso é fundamental analisar os
resultados advindos do modelo matemático observando a subjetividade
inerente e as questões práticas das atividades.
A figura a seguir2 retrata esta necessidade de interpretar as informações
provenientes do modelo matemático, utilizando os conhecimentos do
gestor que tomará as decisões.
2 Adaptada de Lachtermacher, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões , 3ª Edição, Editora Elsevier.
7
Mundo Simbólico
Situação Gerencial (problema
real)
Modelo Matemáti
co
Resultadodo modelo
Tomada de decisão
Mundo Real Mundo Real
Como consequência do que debatemos, as etapas de um estudo de
Pesquisa Operacional serão:
a) Definir o problema de interesse e coletar os dados referentes às
variáveis consideradas relevantes.
b) Formular um modelo matemático para representar o problema,
indicando a as relações quantitativas e qualitativas das variáveis.
c) Desenvolver um procedimento computacional para derivar as
soluções do modelo.
d) Testar as soluções do modelos, verificando as hipóteses do
problema real.
e) Implementar a solução obtida do modelo e analisada pelos
gestores.
A definição do problema real é uma atividade exclusivamente gerencial,
para a qual a Pesquisa Operacional tem pouco a contribuir. Uma vez
definido, precisamos construir um modelo matemático que represente e
interprete o problema real. Trataremos disso agora.
2. Modelagem
8
Um modelo é a representação de um sistema real. As diferenças entre a
solução real e a solução proposta pelo modelo depende da precisão do
modelo em descrever o comportamento original do sistema.
Em Pesquisa Operacional utilizamos modelos matemáticos. Nestes
modelos as grandezas são representadas por variáveis e as relações entre
as mesmas por sistemas de equações ou inequações. Por esta razão
precisamos sempre de informações quantificáveis ao modelar um
problema de Pesquisa Operacional.3
Os modelos matemáticos apresentam três elementos principais:
a) Variáveis de decisão e parâmetros - As variáveis de decisão são as
incógnitas a serem determinadas na solução do modelo. Os
parâmetros são constantes presentes nas restrições e na função
objetivo (F.O.).
b) Restrições – Expressões que representam os limites físicos do
problema, definindo o universo de soluções viáveis (possíveis).
c) Função Objetivo – É a medida de desempenho apropriada do
problema e é expressa através das variáveis de decisão.3 É conveniente falar um pouco das “bases matemáticas”. A Pesquisa Operacional utiliza conceitos básicos de matemática e estatística. Se você tiver qualquer dificuldade em entender alguma passagem matemática aqui tratada, não se acanhe e pergunte, pois é fundamental saber o que está acontecendo. Para auxiliar há como “anexo” a este material uma revisão de álgebra (para resolver equações e inequações e interpretá-las graficamente) e Estatística (que utilizaremos na parte de Gestão de Projetos). Não deixe de consultar estes materiais caso não esteja entendendo os procedimentos matemáticos envolvidos. Insisto, usamos apenas a matemática mínima necessária. É mais que hora de perder este medo dos números.
9
Em linguagem matemática fica assim:
Se a função objetivo juntamente com todas as restrições forem
representadas por funções lineares, então dizemos que temos um modelo
de Programação Linear. Caso ao menos uma das restrições ou a função
objetivo forem equações/inequações não-lineares, dizemos que o modelo
é de Programação não-linear.
Neste curso vamos dar ênfase especial à Programação Linear, visto sua
aplicabilidade aos problemas reais e seus métodos mais simples de
resolução.
A premissa de que o problema pode ser representado por relações
lineares emerge as seguintes propriedades:
10
a) Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade ao valor da
função objetivo Z é proporcional ao nível da atividade representado
pela variável de decisão.
b) Aditividade: a contribuição total de todas as atividades da função
objetivo e das restrições é a soma direta das contribuições
individuais.
c) Divisibilidade: as variáveis de decisão podem assumir qualquer
valor não inteiro.4
d) Certeza: os coeficientes da função objetivo e das restrições devem
ser bem conhecidos. Como no mundo real isso nem sempre é
viável, é preciso garantir que tenham ao menos um baixo desvio
padrão, pois caso contrário o modelo é pouco representativo.
Veremos então ver alguns exemplos de como transformar um problema
real em um modelo matemático.
Não há forma padronizada de se elaborar um modelo. É preciso, antes de
tudo, conhecer (ou buscar conhecer) o assunto e ter alguma experiência.
Entretanto alguns pontos podem ser destacados:
4 Modelos que representem a necessidade de valores inteiros serão tratados no tópico de “programação linear inteira” mais adiante.
11
Ou seja, não está prevista economia de escala!
As variáveis não se influenciam.
a) Deve-se escolher as variáveis de decisão e mantê-las até o final da
modelagem, tomando cuidado para não trocar as variáveis no meio
da modelagem.
b) Monte a função objetivo de modo que represente o que o problema
deseja alcançar e entende como ótimo, ou seja: trata-se de
maximizar ou de minimizar a função objetivo?
c) Verifique todas as grandezas que possam limitar o problema,
classificando-os por padrões (p.e.: mão-de-obra, horas, matéria-
prima etc.).
Vejamos um exemplo.
Exemplo I
5Uma pequena fábrica de calçados produz sapatos e sandálias. As
sandálias são vendidas no mercado por R$22,00 e os sapatos por R$48,00.
Para a fabricação de um par de sandálias gastam-se 0,30 m2 de couro,
5 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. – pág. 16
12
levam-se três horas no corte e costura e uma pessoa é utilizada no
acabamento, detalhes finais e embalagem. Na confecção de um sapato
gasta-se 0,50 m2 de couro, quatro horas no corte e costura e duas pessoas
no acabamento, detalhes finais e embalagem. A empresa conta,
diariamente, com 15 m2 de couro, 120 horas de trabalho e 15 pessoas
atuando na produção. Determine o modelo de programação linear (PL)
que maximiza a receita diária desta fábrica de calçados.
Resolução:
Precisamos saber a quantidade a ser produzida de sapatos e sandálias que
tornem a receita diária a maior possível, sendo assim, nossas variáveis de
decisão serão as quantidades vendidas de sapatos e sandálias.
Com estas variáveis de decisão precisamos de uma função que descreva o
objetivo a ser alcançado: aumentar ao máximo possível a receita diária.
Ora, como receita é o resultado do preço de um produto pela quantidade
de vendas do mesmo, podemos entender que a receita total da empresa
estudada será dada por:
13
É o resultado desta expressão que desejamos otimizar (neste exercício
representado pelo valor máximo, ou seja, maximizado). Logo, a função
objetivo (representada por Z) pode ser escrita como sendo:
Uma vez que já identificamos as variáveis de decisão e elaboramos uma
função objetivo que sintetize a problemática, precisamos saber quais são
as condições que devem ser obedecidas para alcançar nosso objetivo.
Vamos definir nossas restrições.
Não temos recursos infinitos, não dispomos de couro, mão-de-obra ou
horas ilimitadas para alcançar nosso objetivo. Então vamos ver nossos
limites.
Para o couro temos um limite diário de 15 m2. Como para produzir
sandálias gastam-se 0,30 m2 e na confecção de um sapato gasta-se 0,50
m2 concluímos que a quantidade total de couro consumida diariamente
será e este valor não pode em hipótese alguma ser superior
a 15 m2 (limite diário), ele pode ser menor, ou seja, eu posso não consumir
todo o recurso disponível, mas nunca consumir mais do que existe.
Matematicamente podemos escrever esta restrição na forma da seguinte
inequação:
14
Outro ponto que deve ser obedecido é o limite de horas de trabalho
disponíveis (120h). Analogamente ao que fizemos para o couro, a
quantidade total de horas consumidas na produção será dada por
(sandálias necessitam de 3 horas no corte e costura e sapatos precisam de
4 horas para as mesmas atividades). Como temos um limite de 120 horas
para serem distribuídas, então a restrição pode ser expressa por:
O problema ainda limita a quantidade de pessoas envolvidas na produção
em 15. Como precisamos de 1 pessoa na produção de sandálias e 2 na
produção de sapatos, podemos escrever que:
Se não há mais restrições, podemos seguir. Aqui cabe uma dica. Muitas
vezes fazer uma tabela com todas as informações do problema ajuda a
compreendê-lo melhor e não esquecer nenhum dado.
Bem, descrevemos então todas as restrições relativas ao consumo de
recursos, contudo uma outra restrição (implícita no problema) ainda não
foi descrita e é fundamental do ponto de vista matemático. Pensem nos
valores que as variáveis de decisão podem assumir. Podemos produzir
15
qualquer quantidade de sandálias e sapatos, podemos até mesmo não
produzir nada, mas não podemos de qualquer ponto de vista produzir
quantidade negativa de sapatos ou sandálias! As variáveis de decisão não
podem assumir valores negativos!
Matematicamente dizemos que:
Feito isso esgotamos as possíveis restrições e podemos apresentar o
modelo completo:
Vamos exercitar
Exercício 1
6Uma empresa produz dois produtos (I e II) em uma de suas fábricas. Na
fabricação deles ela utiliza três insumos críticos que restringem u número
de unidades que podem ser produzidos. São estes insumos: as
quantidades de matéria-prima (tipos A e B disponíveis) e a mão-de-obra. O 6 Santos, Maurício Pereira. Apostila de Programação Linear do Instituto de Matemática e Estatística da UERJ. Disponível em http://www.mpsantos.com.br . Tem muito material de qualidade. Pág. 01
16
São denominados coeficientes da função objetivo.
São denominados coeficientes tecnológicos (ou de restrição).
São denominadas constantes do lado direito.
departamento de suprimentos já informou que para o próximo mês a
fábrica terá disponível, para a fabricação dos dois produtos, um valor total
de 4900kg de matéria-prima do tipo A e 4500kg de matéria-prima do tipo
B.
Cada unidade do produto I necessita para ser produzida de 70 kg da
matéria-prima A e 90kg da matéria-prima B. Por sua vez o produto II
necessita de 70 kg da matéria-prima A e 50kg da matéria-prima B.
Como a produção destes dois produtos utiliza processos deferentes, a
mão-de-obra é especializada e diferente para cada um deles, o que
impede a utilização de operadores que produzem um produto na
confecção do outro. Por isso o produto I terá disponível no próximo mês
80 Homens-hora enquanto o produto II terá 180 Homens-hora. Para cada
unidade do produto I consome-se 2 homens-hora ao passo que para o
produto II este valor é de 3 homens-hora. O lucro unitário é de R$ 20 para
o produto I e de R$ 60 para o produto II.
Dada a grande procura estima-se que todas as unidades produzidas serão
vendidas. Desta maneira a gestão da empresa deseja saber qual é o
melhor mix de produção, ou seja, aquele que proporcionará o maior lucro
possível nestas condições.
17
Resposta
Para a resolução deste problema podemos conveniente tabelar todos os
dados encontrados no enunciado. Veja a tabela a seguir.
Com base nesta tabela podemos escrever o modelo, partindo da função
objetivo e chegando às restrições.
Exercício 2
7Em uma fazenda deseja-se fazer 10.000kg de ração com o menor custo
possível. De acordo com as recomendações do veterinário a ração deve
7 Santos, Maurício Pereira. Apostila de Programação Linear do Instituto de Matemática e Estatística da UERJ . Pág. 18
18
conter 15% de proteína, um mínimo de 8% de fibra, nunca menos do que
1.100 calorias por kg e no máximo 2.250 calorias por kg.
Outra exigência é que a ração final tenha no mínimo 20% de milho e no
máximo 12% de soja.
Para elaboração desta ração deve-se utilizar os ingredientes abaixo, cujas
características estão tabeladas.
Determine o modelo de programação linear para este problema.
Resposta:
19
Exercício 3
8O órgão regulamentador do Meio Ambiente determinou restrições de
pesca para as empresas que atuam em um determinado local, com o
objetivo de evitar a pesca predatória e indiscriminada. Desta maneira,
uma empresa recebeu a autorização para capturar, mensalmente, no
máximo 3000 ton de badejo, 1200 ton de vermelho e 900 ton de cação.
Estes são os limites por espécie, porém existe o limite total de 4600 ton,
que é o valor máximo a ser pescado mensalmente independente do tipo
de pesca. Sabendo-se que por uma questão na câmara fria, a quantidade a
ser pescada de badejo não pode ser maior do que o dobro da quantidade
de vermelho, determine o modelo de programação linear adequando para
se obter a quantidade a ser pescada de cada espécie de peixe para que a
receita desta empresa seja o máximo. Faça isso sabendo que o preço do
pescado é: badejo – R$ 8,5/kg; vermelho – R$9,00/kg; cação – R$9,6/kg.
Resposta:
8 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. Pág. 35
20
Exercício 4
9Uma empresa produz dois tipos de reboque: luxo (utilizado nos carros de
passeio) e comercial (usado em camionetes). Na produção dos reboques
são utilizados os departamentos de montagem e pintura, os quais tem a
seguinte distribuição:
A empresa tem 15 funcionários no departamento de montagem e 8 no
departamento de pintura, sendo que ambos departamentos trabalham 8
horas por dia. Sabendo-se que um reboque de luxo proporciona um lucro
unitário de R$360 e o comercial um lucro de R$ 285, qual é o modelo de
9 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. Pág. 37
21
Programação Linear (PL) para se determinar a configuração de maior lucro
possível?
Resposta:
Exercício 5
10Um paciente foi diagnosticado com tumor maligno na bexiga (lesão
integral de bexiga) em estado avançado. Devido a este diagnóstico o
paciente precisa ser submetido a um tratamento que incluirá radioterapia.
A radioterapia consiste em fluxos de raios de radiação capazes de matar as
células tumorais, contudo é inevitável que durante o procedimento células
saudáveis vizinhas do tumor também sejam atingidas, o que pode causar
complicações ainda mais sérias que o câncer em si.
Por tudo isso as sessões de radioterapia são processos delicados nos quais
o objetivo é atingir o tumor com níveis de radiação suficientemente altos
para que sejam eliminados, porém utilizando o mínimo possível de
10 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 43 (adaptado)
22
radiação para que as células saudáveis sofram a menor agressão possível.
Outro ponto é que existem tecidos críticos, que independente do tumor
não podem receber radiação além de um determinado valor, pois isso
causaria falência dos mesmos.
O tumor precisa receber radiação do modo que maximize sua exposição,
por isso é indicado usar dois ângulos para o fluxo (de um lado e do outro
do tumor como na figura).
A equipe médica estimou os dados referentes à
absorção de radiação e precisa definir a quantidade
de radiação a ser emitida de cada fluxo de modo que
o núcleo do tumor receba ao menos seis kilorad
(unidade de radiação), a região do tumor precisa
receber 6 kilorad e os tecidos críticos não podem recebem em hipótese
alguma mais do que 2,7 kilorad.
Desta forma, determine o modelo de programação Linear (PL) para que as
chances de sobrevivência do paciente sejam as maiores possíveis.
23
Resposta:
Exercício 6
11Uma empresa possui 3 fazendas nas quais produz beterraba, algodão e
milho. A produção de cada uma delas é limitada tanto pela quantidade de
área irrigável bem como pela quantidade de água disponível para
irrigação, do seguinte modo:
Por questão de exaustão do solo, existe um limite do terreno que pode ser
utilizado para cada uma das culturas.
11 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 45 – foi corrigida tabela 3.9 do livro que estava errada e trocado Sorgo por Milho.
24
Como há limitada disponibilidade de água este ano, ficou claro que não
será possível utilizar toda a área irrigável disponível nas 3 fazendas. Para
garantir o equilíbrio de mão-de-obra em cada uma das fazendas, decidiu-
se que todas elas terão a mesma proporção de área irrigável plantada,
mesmo sem a obrigação de todas as fazendas possuírem todas as culturas.
Desta maneira, defina o modelo de PL (programação linear) que descreva
o problema de se maximizar o retorno líquido total para a empresa dona
das 3 fazendas.
Resposta:
Sendo a quantidade produzida de cada cultura em cada fazenda:
25
Exercício 7
12Uma determinada siderúrgica sempre foi o fator de emprego e geração
de renda de certa cidade. Contudo, a cidade cresceu e o pensamento “o
que é bom para a siderúrgica é bom para a cidade” começa a mudar,
devido aos danos ambientais e de saúde causados pela siderúrgica.
Para encarar estes novos desafios uma mudança de cultura e mentalidade
foi fundamental na direção da empresa que, reformulada pelos acionistas,
12 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 48.
26
Terra utilizável por fazenda
Alocação de água por fazenda
Área máxima para cada plantação
Proporção igual para o cultivo das terras
agora procura minimizar os impactos de sua atividade na cidade que
cresce em seus arredores.
Para isso uma série de estudos foi feita juntamente com os órgãos
governamentais de meio-ambiente e a sociedade organizada, o que
resultou em novos índices rigorosos de emissão de poluentes resumido na
seguinte tabela:
Para solucionar este problema a direção reuniu um grupo de trabalho cujo
objetivo é encontrar uma solução técnica para atingir estes valores do
modo mais econômico possível.
As siderúrgicas possuem duas fontes principais de poluição: os altos-
fornos (utilizados para fabricar lingotes de gusa) e fornos elétricos
(transformam lingotes em aço). Os estudos do grupo técnico indicaram
algumas possibilidades para reduzir a emissão. São elas:
1) Aumentar a altura das chaminés13
2) Usar dispositivos filtrantes nas chaminés
13 Estão solução é sempre ilusória. Ou seja, reduz a concentração de poluição nas imediações da fábrica porém continua emitindo a mesma quantidade de poluentes, que podem entre outras coisas piorarem a situação, pois agora ficarão mais tempo em suspensão podendo causar chuva ácida. Mas aqui fica valendo.
27
3) Incluir materiais limpadores entre os combustíveis usados nos
fornos
Cada um destes métodos de solução possui uma limitação tecnológica na
intensidade que podem ser usados. A quantidade de emissão máxima que
cada um destes métodos pode proporcionar varia em função do tipo de
forno e a poluição analisada. Veja esta tabela:
Analisando a tabela a equipe concluiu que nenhum método
individualmente seria capaz de reduzir a emissão aos níveis exigidos, em
contrapartida , utilizar os três métodos simultaneamente com todo o seu
potencial certamente representaria um custo desnecessário, podendo ser
proibitivo, podendo tirar toda a competitividade dos produtos.
Por isso ficou claro que será preciso encontrar a melhor distribuição de
uso de cada um destes métodos de redução de emissão, para cada um dos
tipos de fornos, utilizando-os não necessariamente me sua “carga
máxima” mas sim em frações de seu uso máximo.
28
Ao descrever os custos, chegou-se à tabela na qual os valores de
investimento, manutenção e operação de cada um dos métodos foi
amortizada pelo tempo de uso, equalizada na tabela com valor anual.
A premissa existente é que estes custos são lineares em relação ao uso, ou
seja, se usamos 100% da capacidade de um determinado método
(aumentar o máximo possível a chaminé do alto-forno, por exemplo)
obrigatoriamente pagaremos 100% de seus custos (no caso da chaminé do
alto-forno, um valor de 8 milhões). Contudo, se reduzirmos o uso à
metade, o custo igualmente será reduzido à metade.14
Uma vez apresentado o problema, como você, que coordena a equipe que
busca a solução, descreveria o modelo em Programação Linear para se
encontrar o quanto de cada solução será implementado buscando reduzir
as emissões ao menor custo possível?
Resposta
14 Nem sempre esta premissa é válida. Normalmente isso acontece quando os custos de investimentos são muito baixos quando comparados ao de manutenção e operação, e isso pode ocorrer quando o tempo de uso do equipamento é muito grande. Mas no exercício consideremos esta simplificação.
29
As variáveis de decisão escolhidas estão abaixo e representam a fração a
ser utilizada de cada uma das soluções.
Exercício 8
15Uma empresa de aviação comercial está em processo de reformulação
de seu quadro e deseja reduzir custos sem que isso se reflita na satisfação
dos clientes.
O ponto central é programar as escalas dos agentes responsáveis para
atender os clientes no aeroporto de modo que tenha a menor quantidade
15 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 54.
30
possível de agentes e alocados nos turnos de menor custo. A tabela a
seguir resume o estudo:
A coluna “Nº mínimo de agentes” indica o mínimo necessário para se
garantir o nível de atendimento ao cliente, em cada horário. Os sinais √
indicam o acordo coletivo feito com o sindicato da categoria que indica os
horários autorizados de trabalho em cada turno. Atente que os salários
diário (incluindo benefícios) indicado na última linha difere em cada turno,
isso acontece porque alguns turnos são menos desejados que outros,
além de encargos relativos ao horário de trabalho.
Com base nestas informações, determine o modelo de programa linear
que indique quantos agentes devem ser alocados em quais turnos com o
objetivo de minimizar os custos totais, porém de modo que ao menos o
nível mínimo de atendimento ao cliente seja preservado.
31
Resposta:
Sendo a variável de decisão a quantidade de agentes alocados em cada
turno:
Exercício 9
16Uma empresa de Investimento e Capital tem um orçamento de R$ 200
milhões para este ano, R$ 250 milhões para o próximo ano e R$ 150
milhões para o ano seguinte. Desta forma esta empresa precisa decidir
onde investirá este montante. Para isso ela tem algumas opções
referentes à participação em algumas empresas listadas na tabela a 16 Colin, Emerson C.; Pesquisa Operacional - 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção, marketing e vendas.; LTC, 2011. Pág. 14
32
seguir. Ela pode comprar qualquer fração de qualquer empresa, porém é
fundamental manter a percentual de participação nos próximos anos, ou
seja, se ela comprou um percentual desta empresa neste ano, no próximo
ano isso também deverá ser feito. As possibilidades de investimento que
cada empresa disponibilizou bem como o Valor Presente Líquido de cada
investimento é o seguinte:
Com estas informações elabore o modelo de PL (programação lineal) que
descreva qual é o aporte que a empresa deve fazer para maximizar seu
VPL.
Resposta:
33
Exercício 10
17Uma seção de manutenção opera 24 horas por dia sem interrupção. A
escala de plantão segue a demanda esperada de serviços, que varia de
acordo com o horário do dia. Para permitir um melhor ajuste entre
demanda de serviços e o número de funcionários de plantão foi
estabelecido que o turno de trabalho seria de 4 horas e que cada
funcionário atuaria em 2 turnos totalizando 8 horas de jornada
consecutivas. O histórico mostra que um número mínimo de funcionários
é necessário para atender a demanda, conforme tabela a seguir:
Desta forma, monte um modelo de PL que permita obter o número de
empregados que devem começar cada turno de modo que a equipe total
do setor seja a menor possível.
Resposta:
17 Andrade, Eduardo Leopoldino. Introdução à Pesquisa Operacional – Métodos de modelos para análise de decisões. 4ª Edição. LTC. 2012. Pág. 59
34
3. Solução gráfica
Até aqui estudamos e exercitamos a formulação de modelos, ou seja,
somos capazes de transformar um problema real em uma série de
formulações matemáticas. O passo seguinte é a resolução destes modelos
matemáticos de modo encontrar os valores das variáveis de decisão que
35
X1
X2
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
proporcionem o valor ótimo da função objetivo. O primeiro modo de
solução que abordaremos é o Método Gráfico.
A solução gráfica tem um significado muito mais didático do que
funcional, visto que normalmente os problemas do cotidiano possuem
dezenas ou centenas de variáveis de decisão o que torna o método gráfico
extremamente complexo e pouco eficiente.
Entretanto se abordamos um problema com no máximo duas variáveis de
decisão, a solução gráfica é um caminho simples e fácil para encontrar o
ponto de otimização do modelo.
Vamos então ver como obter a solução graficamente. Este método
consiste em traçar um gráfico bidimensional em um plano cartesiano que
tenha X1 e X2 como abscissa e ordenada respectivamente. Veja a figura:
36
Neste plano cartesiano representaremos a região de soluções viáveis, que
são todas aquelas soluções (conjuntos de valores de X1 e X2) que atendem
as restrições, mesmo que não sejam os valores para os quais a função
objetivo (Z) assuma os valores ótimos. Para encontrar esta região de
soluções viáveis precisamos plotar neste plano cartesiano as retas que
representam cada uma das restrições.18
Vamos usar o Exemplo I da fábrica de calçados (pág.12). Neste exemplo o
modelo que descrevemos foi:
Verificaremos inicialmente se existem as restrições de não negatividade.
Neste caso elas existem e são: . Sendo assim verificamos que
a região de soluções viáveis. Como obrigatoriamente (devido às restrições
18 Neste momento utilizaremos conceitos básicos de álgebra, nível ginasial. Como material de apoio, o anexo 1 revisa alguns destes conceitos, não hesite em consultá-lo.
37
X2
X1
de não negatividade) X1 e X2 só podem assumir valores positivos,
concluímos que a região de soluções viáveis estará necessariamente no 1º
quadrante. Vamos então destacar a região de soluções viáveis:
Sabemos que a solução ótima estará necessariamente na região de
soluções viáveis, portanto no nosso exemplo no 1º quadrante. Vamos
então prosseguir colocando no plano cartesiano as retas referentes às
restrições. Vejamos como fica a restrição 1) .
38
Como até agora consideramos apenas as restrições de não
negatividade ( ), qualquer valor que esteja no 1º quadrante nos atende, pois nele X1 e X2 são positivos.
X2
Para encontrarmos a região do plano na qual os pontos nela atendam a
esta restrição, precisamos antes de tudo traçar a reta da equação limite,
ou seja: qual é a reta da equação ?
Para encontrarmos esta reta precisamos obrigatoriamente de dois pontos
(X1;X2) desta equação. Para encontrar estes dois pontos vamos atribuir,
alternadamente, valores a X1 e X2.
Se X1 = 0 então Se X2 = 0 então:
Sendo assim podemos traçar o reta equivalente à equação
pois sabemos que ela passa pelos dois pontos (0;30) e
(50;0).
39
Reta da equação referente à restrição
1)
Reta da equação referente à restrição
1) 30Ponto X1 = 0 e X2=30, ou seja, (0;30).
Ponto X1 = 50 e X2=0, ou seja, (50;0).
1 20,30 0,50 15x x ①
30
X2
Observe que esta reta é formada pelo conjunto de pontos que fazem com
que a igualdade seja atendida, ou seja, para qualquer valor de X1 e X2 ao
longo da reta . Mas voltemos ao nosso
problema, nele temos uma inequação ( ), ou seja, no
interessa qualquer conjunto de valores para X1 e X2 que façam com que
. Logo, não apenas qualquer
ponto que integre a reta atende esta restrição, mas também qualquer
valor “abaixo” dela!
Sendo assim, a região de soluções viáveis agora será constituída por
qualquer ponto que atenda a esta restrição ( ) bem como
à restrição de não negatividade ( ).
40
A região de soluções viáveis agora assume este formato, pois somente um ponto aqui atende às restrições de não negatividade bem como à restrição 1) e a restrição 2) simultaneamente.
30
②
① X2
Vejamos agora como fica a restrição 2) . Vamos encontrar
dois pontos para traçar a reta da equação .
Traçando a reta que passe por estes dois pontos e
destacando a nova região de soluções viáveis, que agora precisa atender,
além das restrições de não negatividade ( ) e da restrição 1
( ), também à restrição 2 ( ).
4130
7,5
15
③
40 50
30
②
①
X1
X2
Fazendo o mesmo procedimento para a restrição 3) teremos a
equação que pode ser traçada ao encontrarmos os dois pontos:
42
Observe que agora a região de soluções viáveis resume-se a este espaço, pois é o único no qual todos os pontos atendem a TODAS as restrições.
Uma vez que traçamos no plano cartesiano todas as restrições, a região de
soluções viáveis final será aquela que atenda a todas as restrições
simultaneamente. Nesta região qualquer ponto é uma solução para o
nosso problema, mas não necessariamente proporcionará a solução
ótima. Desta maneira nosso objetivo agora é descobrir, nesta região de
soluções viáveis, qual é aquele(s) ponto(s) para o(s) qual(is) a função
objetivo (Z) assume o melhor valor possível.
Para isso precisamos traçar no plano cartesiano a família de retas
representada pela função objetivo: .
Para isso vamos escolher um ponto qualquer (que esteja na região de
soluções viáveis). Por exemplo, ponto (0;5), ou seja, .
Para este ponto teremos um valor de Z:
. Observe que chamamos de Z e não de Zmax, pois
não sabemos se ele é o máximo, isto é, o valor ótimo. Para definir a reta,
precisamos de outro ponto que pertença a ela. Desta forma, já que
sabemos que Z=240, podemos fazer: esta reta cruza a
abscissa quando , neste ponto . Desta forma
43
10,9
5
7,5
15
③
40 50
30
②
①
X1
X2
Z=240
sabemos que quando Z=240 a reta passa pelos pontos: (0 ; 5) e (10,9 ; 0).
Agora podemos colocar esta reta no plano cartesiano.
Observe a reta Z=240. Atente que possivelmente haverá outra paralela a
ela cujo valor de Z seja maior, ou seja, outra reta da mesma família que
proporcione um valor “melhor” para Z (note que estamos desejando
maximizar Z, por isso dizemos que “melhor”, se o objetivo fosse
minimizar, um valor maior de Z seria “pior”). Vejamos então qual seria o
valor de Z de uma reta (pertencente a esta família) que passasse pelo
ponto (15 ; 0).
44
10,9
5
7,5
15
③
40 50
30
②
①
X1
X2
Z=240
Z=330
Atente que o valor de Z aumentou! Ou seja, “melhorou” . Para traçar a
reta equivalente a este novo valor de Z podemos proceder como fizemos.
Já que temos um ponto da reta, que neste caso é o ponto (15 ; 0) e o valor
de Z (330), podemos obter o segundo ponto (0 ; 6,875). Há, contudo,
outro caminho. Como temos a reta anterior (Z=240), sabemos um ponto,
no caso (15 ; 0), da NOVA reta e sabemos que a nova reta será PARALELA
à anterior, basta traçar a paralela que passe por este ponto (15 ; 0).
Qualquer uma doa maneiras resultará no plano cartesiano a seguir:
45
10,9
5
7,5
15
③
40 50
30
②
①
X1
X2
Z=240
Z=330Z*
Vamos pensar um pouco sobre o resultado. Nós encontramos um valor
maior de Z sempre que avançamos para cima com uma nova paralela à
equação inicial, ou seja, cada vez que traçamos uma reta da mesma
família “acima” da anterior, o valor de Z aumenta. Podemos então deduzir
que o valor ótimo de Z será encontrado naquele ponto além do qual não
existem outras soluções viáveis, ou seja, um ponto limite da região de
soluções viáveis destacado em azul no triângulo. Vamos então verificar
que esta reta limite, ou seja, aquela que proporciona o valor máximo Z*,
será:
46
O ponto limite é o (0 ; 7,5), pois além dele, qualquer ponto pelo qual passe
a reta da família Z estará fora da região de soluções viáveis.
Então fica claro que o ponto ótimo, ou seja, aquele que proporcionará o
valor ótimo de Z (Z*) será (0 ; 7,5). Neste ponto o valor de Z assume:
Ou seja, a empresa vai ter o faturamento máximo de R$360/dia e não
deve sapatos (x1), apenas sandálias (x2), sendo 7,5 unidades/dia.19
Este exemplo poderia também ser resolvido utilizando alguns softwares
simples que existem. Para fins didáticos apresentaremos o “IRO tutorial”
(Interactive Operations Research Tutorial) que é um software gratuito
19 Este é um exemplo super simplificado que cujo resultado vale mais pela forma de encontrá-lo do que por seu valor em sim. Atente que nem sempre é possível, do ponto de vista de mercado, deixar de fornecer um produto. Mas de toda forma esta informação é válida e a gestão precisa saber que a produção daquele produto deve ter outras justificativas que não seja a de aumentar o faturamento. Outro aspecto é a produção de sete unidades e meia de sandália. Podemos cair no equívoco de arredondar o valor para 8, pensando que assim estaremos razoavelmente próximos do valor ótimo. Isso nem sempre é verdade! Quando lidamos com itens que não podem ter sua produção fracionada, então precisamos resolver o problema utilizando conceitos de Programação Linear Inteira, que estudaremos ao longo do curso. Por agora apenas precisamos que um conceito fique claro: arredondar não garante que estejamos próximo do valor ótimo!
47
disponibilizado no site da editora Mc Graw Hill, editora que publica um de
nossos livros textos20.
O aplicativo pode ser baixado diretamente no endereço
http://www.mhhe.com/engcs/industrial/hillier/iortutorial/install/setup.exe ou no
http://goo.gl/NA3rY. Depois de instalá-lo, abra-o e vá em Procedure e em
seguida em Graphical Method and Sensitivity Analysis como indicado na
figura a seguir:
.
Após usar poucos conhecimento de inglês e alguma intuição, você
adicionará a função objetivo e as restrições. Fazendo isso
20 Trata-se do Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010, apresentado na Bibliografia
48
click em Solve e a resolução gráfica será indicada assim:
Agora que já sabemos encontrar a solução ótima pelo método gráfico,
façamos alguns exercícios.
49
Valor ótimo de Z, ou seja Z*.
Valores de X1 e X2 que proporcionam a solução ótima.
Vamos exercitar
Exercício 11
Como o
Exercício 1 (pág.16) possui apenas duas variáveis de decisão em seu
modelo, resolva-o por meio do método gráfico.21
Resposta
O exercício 1 resultou no modelo:
Traçando estas retas no plano cartesiano teremos:
21 Resolva pelo método gráfico e depois utilize o IOR Tutorial para verificar o resultado.
50
Observe que o ponto ótimo está na interseção entre a restrição 1) e 4).
Para se encontrar o ponto ótimo de modo numérico precisamos resolver
este sistema:
Resolvendo teremos: resultando em
.
51
Ou seja, o melhor mix de produção, ou seja, aquele que proporcionará o
maior lucro possível nas condições do problema será fabricar 10 unidades
de produto I e 60 do produto II, resultando no lucro de R$ R$3.800.
Exercício 12
Como o
Exercício 4 (pág.21) possui apenas duas variáveis de decisão em seu
modelo, resolva-o por meio do método gráfico.
Resposta
O exercício 4 resultou no modelo:
Que resulta no plano cartesiano:
52
Percebemos que o ponto ótimo é: que resulta em:
O maior lucro possível será de R$ 17.100 e acontece quando se produz
apenas reboque comercial.
Exercício 13
Como o
53
Exercício 5 (pág.22) possui apenas duas variáveis de decisão em seu
modelo, resolva-o por meio do método gráfico.
Resposta
O exercício 5 resultou no modelo:
Que resulta no plano cartesiano:
54
Percebemos que agora a região de soluções viáveis resume-se ao ponto
ótimo que é: que resulta em:
As chances de sobrevivência do paciente são maiores possíveis quando
emitimos 6 kilorad apenas pelo fluxo 1 e 6 pelo fluxo 2.
Exercício 14
55
22Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico.
Resposta:
22 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 34
56
Observe que agora não temos apenas um ponto ótimo, mas sim infinitos
pontos que pertençam ao segmento de reta entre os pontos destacados,
isto é, qualquer ponto entre (2 ; 6) e (4 ; 3) resulta no valor ótimo de
Z*=18.
57
Exercício 15
23Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico.
Resposta:
O ponto ótimo é o ( 14,67 ; 0) resultando em Z*=29,33.
23 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 89
58
Exercício 16
24Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico.
Resposta:
24 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. – pág. 49
59
Observe que agora não existe região de soluções viáveis. O problema não
possui solução, ou seja, não há nenhum ponto que satisfaça todas as
restrições.25
Exercício 17
26Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico
25 Se resolver este problema pelo IOR Tutorial perceberá que este software tem um “bug” pois ao solicitar que resolva ele indica como solução um ponto que não atende todas as restrições.26 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. – pág. 52
60
Resposta:
Observe que os valores de Z podem crescer indefinidamente, pois não há
restrição que os delimite. Assim dizemos que não há solução ótima para o
problema.
61
Exercício 18
27Resolva utilizando o método gráfico.
Resposta:
27 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 93
62
Exercício 19
28Resolva utilizando o método gráfico.
Resposta:
28 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 92
63
Ponto ótimo (2 ; 4) e Z* = -110
Exercício 20
29Considere o modelo a seguir, no qual C1 ainda não foi definido.
29 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 92
64
Use a análise gráfica30 para se determinar as soluções ótimas para todos
os valores possíveis de C1.
Resposta:
Primeiro tracemos as restrições no plano cartesiano:
Coloquemos as inequações na forma de equações e encontremos X2 em
função de X1 para evidenciar o coeficiente angular da reta 31 .
Assim:
30 Para resolver este exercício você precisará fazer várias soluções gráficas. Para ganhar tempo e em capacidade de análise, recomendamos utilizar o IOR tutorial para ganhar tempo.31 Da álgebra linear sabemos que, se uma função é , então “ ” é o coeficiente angular da reta, ou seja, o ângulo de inclinação da referida reta em relação à abscissa. Consulte o anexo sobre a revisão de álgebra se achar necessário.
65
①
②
Desta forma nossa análise fica mais fácil de ser feita.
Vamos pensar o que acontecerá quando a função objetivo tiver coeficiente
angular igual ao coeficiente da restrição ① , isto é, quando . Para
isso acontecer . Ao traçarmos a função objetivo desta forma,
perceberemos que esta reta referente ao Z* coincide com a própria
restrição ①. Assim o Z* será 24 e pode ser obtido por qualquer valor de
que estejam no segmento de reta entre os pontos
[interseção entre as retas ① e ②] e .
Agora vamos verificar o que acontece quando . Para que isso
aconteça é preciso que . Percebemos que à medida que reduzimos o
valor de C1 a reta referente à função objetivo gira em torno do ponto
ótimo . Isso acontecerá até que a rotação seja suficiente para
que esta reta coincida com a restrição ②, ou seja, quando ,isto é,
.
66
Estes são os coeficientes angulares de cada uma das retas.
Quando a função de Z*coincide com a restrição ② e qualquer
ponto no seguimento de reta entre e resultará no valor
ótimo. Se diminuirmos o valor de C1 fazendo o ponto ótimo desloca-
se para e permanece aí indefinidamente, por menor que seja C1.
Então até agora sabemos que, se:
Percebemos que faltou a análise quando . Quando isso acontece a
função Z* fica com um coeficiente angular maior do que o da restrição ①,
fazendo com que o ponto ótimo seja e o Z*=27.
Assim podemos organizar a resposta final da seguinte forma:
67
4. Solução algébrica
Após analisarmos os resultados obtidos pelo método gráfico podemos
fazer algumas considerações.
A primeira consideração é que a solução ótima será obrigatoriamente um
ponto extremo da região de soluções viáveis. Se o problema tiver apenas
um ponto ótimo, então este ponto ótimo será obrigatoriamente um
vértice do polígono (ou poliedro) que delimita o espaço de soluções
viáveis.
Caso dois vértices do espaço de soluções viáveis resultem no mesmo valor
ótimo da função objetivo (Z) então teremos certeza de que há INFINITAS
soluções ótimas, sendo que TODAS elas estão no segmento de reta
delimitado por estes dois vértices em questão.
Desta maneira, uma forma algébrica de resolver problemas de
Programação Linear - e que estará na base de todos os algoritmos que
veremos - é encontrar os vértices definidos por cada par de restrições e
testá-los, verificando qual deles proporciona o valor ótimo.
Voltemos então ao nosso Exemplo I da fábrica de calçados (pág.12). Nós já
obtivemos uma solução gráfica para este problema, vamos agora verificar
se o método algébrico indicará a mesma solução.
68
O modelo que encontramos para o Exemplo I foi:
Vamos agora, tal como fizemos para encontrar a solução gráfica, tratar
das restrições em seus limites representados pelas igualdades:
Umas vez que temos todas as restrições, basta agora encontrarmos cada
uma das interseções entre todos os pares de restrições, verificar se este
ponto faz parte do espaço solução e depois se é o ponto ótimo.
Vamos começar entoa pelas restrições 1) e 2)
. Para encontrar o ponto de interseção destas duas retas
basta encontrar o ponto que satisfaça ambas, ou seja, a solução do
sistema de equações definido por elas:
69
Resolvendo o sistema:
Ou seja, e para isso ser verdade . Assim, o ponto de
interseção entre as restrições 1) e 2) é o ponto .
Uma vez encontrado o ponto de interseção precisamos descobrir se
ele faz parte do espaço solução. Para isso basta saber se ele atende
TODAS as demais restrições32.
Ou seja, quando X1 =0 e X2=30 as restrições 1) e 2) serão automaticamente
atendidas pois foram elas que originaram este ponto. Como X1 e X2 são
positivos, podemos ver facilmente que as restrições de não-negatividade
32 Não precisamos verificar nas restrições 1) e 2) pois foram justamente elas que deram origem a este ponto e portanto obrigatoriamente o mesmo as atenderá. Neste nosso exemplo temos mais 3 restrições: a restrição 3) e as duas outras restrições de não-negatividade. Basta que o ponto não atenda a qualquer uma delas para que ele seja descartado de estar na região de soluções viáveis.
70
( ) foram atendidas, resta-nos então saber como ficará a
restrição 3).
Atente que 60 NÃO é a 15, logo este ponto NÃO atende à restrição 3) o
que significa que ele não pertence ao espaço de soluções viáveis33.
Vamos seguir agora com o mesmo procedimento para o par de restrições
1) e 3).
Resolvendo o sistema termos encontraremos X2 = -105 o que resultará em
X1=225.
Logo, o ponto de interseção entre as restrições 1) e 3) é o ponto
(225; -105). Rapidamente podemos deduzir que ele não pertence à região
de soluções viáveis pois as condições de não-negatividade não foram
atendidas.
33 Veja na solução gráfica que realmente este ponto não pertence ao polígono que descreve o espaço de soluções viáveis destacado em azul na figura da Pág. 42.
71
Por razões didáticas seguiremos para verificar se este ponto atende a
restrição 2).
Como 225 NÃO é que 120, então este ponto NÃO pertence à região de
soluções viáveis.
Tratemos agora o par de restrições 2) e 3).
Resolvendo o sistema termos encontraremos X1 = 90 o que resultará em
X2= -37,5.
Verificando este ponto na restrição 1) teremos:
Ou seja, o ponto (90;-37,5) atende a restrição 1) pois 8,25 15. Contudo
atente que X2= -37,5 não atende a restrição de não-negatividade, portanto
o ponto NÃO pertence à região de soluções viáveis.
72
Seguiremos agora para as restrições 1) e 4).
Que resulta em X1 =0 e X2=30. Por coincidência é o mesmo ponto
resultante das restrições 1) e 2). Portanto já verificamos que ele NÃO
pertence à região de soluções viáveis.
Vamos então para as restrições 1) e 5).
Resolvendo teremos: X1=50 e X2=0.
Este ponto atende às condições de não-negatividade.
Veremos agora se atendem às demais restrições.
Quanto à restrição 2) temos:
Ou seja, não atende, pois 150 não é 120 como exige a restrição dois.
Vamos então para as restrições 2) e 4).
73
A solução é X1 = 0 e X2 = 30. Este ponto também por coincidência já foi
verificado que não pertence à região de soluções viáveis.
Vamos então para as restrições 2) e 5).
A solução é X1 = 40 e X2 = 0.
Veremos agora se atendem às demais restrições 1) 3) e 4).
Como 12 15 então a restrição 2) é atendida. Veremos a restrição 3).
Observe que 40 não é 15, ou seja, este ponto não atende a restrição 3) e
portanto não pertence à região de soluções viáveis.
Vamos então para as restrições 3) e 4).
74
A solução é X1 = 0 e X2 = 7,5. Vejamos se este ponto atende as restrições
1) 2) e 5).
Rapidamente podemos verificar que, como X2 0, então a restrição 5 é
atendida.
Vejamos agora a restrição 1).
O que atende a esta restrição pois 3,75 15.
Vejamos se a restrição 2) é também atendida.
Como 30 15, então a restrição 2) também é atendida e podemos deduzir
que o ponto (0;7,5) faz parte da região de soluções viáveis pois atende a
TODAS as restrições.
Vamos então para as restrições 3) e 5).
75
A solução é X1 = 15 e X2 = 0. Vejamos se este ponto atende as restrições 1)
2) e 4).
Rapidamente podemos verificar que, como X1 0, então a restrição 4 é
atendida.
Vejamos agora a restrição 1).
O que atende a esta restrição pois 4,5 15.
Vejamos se a restrição 2) é também atendida.
Como 45 15, então a restrição 2) também é atendida e podemos deduzir
que o ponto (15;0) faz parte da região de soluções viáveis pois atende a
TODAS as restrições.
Resta-nos agora apenas um par de restrições, as que representam a
condição de não-negatividade: 4) e 5)
76
O ponto de interseção destas retas é obviamente o (0;0). Precisamos
verificar se este ponto atende às demais restrições:
Verifique que o ponto (0;0) atende a TODAS as demais restrições,
portanto ele está contido no espaço de soluções viáveis.
Sendo assim, listemos o resumo de todos os pontos encontrados
indicando se pertence ou não à região de soluções viáveis.
Restrições 1) e 2) – Ponto (0;30) – Não pertence à região de soluções
viáveis.
Restrições 1) e 3) – Ponto (225;-105) – Não pertence à região de soluções
viáveis.
Restrições 2) e 3) – Ponto (90;-37,5) – Não pertence à região de soluções
viáveis.
77
Restrições 1) e 4) – Ponto (0;30) – Não pertence à região de soluções
viáveis.
Restrições 1) e 5) – Ponto (50;0) – Não pertence à região de soluções
viáveis.
Restrições 2) e 4) – Ponto (0;30) – Não pertence à região de soluções
viáveis.
Restrições 2) e 5) – Ponto (40;0) – Não pertence à região de soluções
viáveis.
Restrições 3) e 4) – Ponto (0;7,5) – Pertence à região de soluções viáveis.
Restrições 3) e 5) – Ponto (15;0) – Pertence à região de soluções viáveis.
Restrições 4) e 5) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis.
Vemos que apenas 3 pontos pertencem à região de soluções viáveis.
Sabemos que necessariamente o ponto ótimo será um destes pontos.
Então, para descobrirmos qual deles é o ponto ótimo basta submeter a
função objetivo do modelo ( ) a estes pontos verificando o
valor encontrado. Aquele que proporcionar o melhor valor, será o ponto
ótimo.
78
Ponto (0;7,5)
Ponto (15;0)
Ponto (0;0)
Como neste exemplo a função objetivo se refere à maximizar, o ponto que
proporciona o melhor valor é justamente o que proporciona o maior valor
de Z, ou seja, o ponto (0;7,5). Então a solução final do problema é que a
solução ótima é de uma receita de R$ 360 obtida da produção diária de
79
7,5 sapatos (X2) e nenhuma sandália (X1). Observe que é exatamente a
mesma resposta encontrada via solução gráfica (pág .47)
Vamos exercitar
Exercício 21
Resolva o
Exercício 1 (pág.16) pelo método algébrico e verifique se o resultado
encontrado confere com o encontrado pela Solução Gráfica.
O modelo do exercício 1 é:
Precisamos agora resolver TODOS os possíveis sistemas tomando par a
par as restrições. Ao fazer isso encontraremos os seguintes pontos de
interseção:
80
Restrições 1) e 2) – Ponto (25;45) –Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Restrições 1) e 3) – Ponto (40;30) – Não pertence à região de soluções
viáveis pois não atende a restrição 2).
Restrições 1) e 4) – Ponto (10;60) – Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Restrições 1) e 5) – Ponto (0;70) – Não pertence à região de soluções
viáveis pois não atende a restrição 4).
Restrições 1) e 6) – Ponto (70;0) – Não pertence à região de soluções
viáveis pois não atende as restrições 2) e 3).
Restrições 2) e 3) – Ponto (40;18) – Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Restrições 2) e 4) – Ponto (16,67;60) – Não pertence à região de soluções
viáveis pois não atende a restrição 1).
Restrições 2) e 5) – Ponto (0;90) – Não pertence à região de soluções
viáveis pois não atende às restrições 1) e 4).
Restrições 2) e 6) – Ponto (50;0) – Não pertence à região de soluções
viáveis pois não atende a restrição 3).
81
Restrições 3) e 4) – Ponto (40;60) – Não pertence à região de soluções
viáveis pois não atende a restrição 1).
Restrições 3) e 5) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Restrições 3) e 6) – Ponto (40;0) – Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Restrições 4) e 5) – Ponto (0;60) – Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Restrições 4) e 6) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Restrições 5) e 6) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis
pois atende às demais restrições.
Verificando o valor da função objetivo com cada um dos
pontos que pertencem ao espaço de soluções viáveis teremos:
Ponto (25;45) - 3200
82
Ponto (10;60) - 3800
Ponto (40;18) - 1880
Ponto (0;0) - zero
Ponto (40;0) - 800
Ponto (0;60) - 3600
Desta forma verificamos que o maior valor é 3800 obtido com o ponto
(10;60) que é, então, nosso ponto ótimo. Ou seja, tal como encontramos
pela solução gráfica, o melhor mix de produção (aquele que proporcionará
o maior lucro possível nas condições do problema) será fabricar 10
unidades de produto I e 60 do produto II, resultando no lucro de R$3.800.
Exercício 22
Resolva o exercício 3 pelo método algébrico. Observe que ele possui 3
variáveis de decisão o que invalida a solução gráfica, por isso não a
fizemos. Isso também torna a solução algébrica mais complexa, como
pode ser observado a seguir.
O modelo do exercício 3 é:
83
Vamos montar o sistema agora com 3 equações cada um, pois caso
contrário não encontraremos solução algébrica.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 3). A interseção destes
3 planos é no ponto: (3000 ; 1200 ; 400). Este ponto não pertence à região
de soluções viáveis pois não atende as restrições 4) e 5).
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Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 4). A interseção destes
3 planos é no ponto: (3000 ; 1400 ; 200). Este ponto não pertence à região
de soluções viáveis, pois não atende às restrições 3) e 5).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 5). A interseção destes
3 planos é no ponto: (3000 ; 1500 ; 100). Este ponto não pertence à região
de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 6). Observe que este
sistema possui duas retas paralelas (X1=3000 e X1=0) que nunca se cruzam.
Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de convergência no qual
se cruzem34, não possuindo desta forma um ponto de interseção.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 7). A interseção destes
3 planos é no ponto: (3000 ; 0 ; 1600). Este ponto não pertence à região
de soluções viáveis, pois não atende às restrições 3), 4) e 5).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 8). A interseção destes
3 planos é no ponto: (3000 ; 1600; 0). Este ponto não pertence à região de
soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).
34 N geometria dizemos que são retas reversas.
85
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 4). A interseção destes
3 planos é no ponto: (3200 ; 1200; 200). Este ponto não pertence à região
de soluções viáveis, pois não atende às restrições 2) e 5).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 5). A interseção destes
3 planos é no ponto: (2400 ; 1200; 1000). Este ponto não pertence à
região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 6). A interseção destes
3 planos é no ponto: (0 ; 1200; 3400). Este ponto não pertence à região de
soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 7). Observe que este
sistema também possui duas retas paralelas (X2=1200 e X2=0) que nunca
se cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de
convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de
interseção.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 8). A interseção destes
3 planos é no ponto: (3400 ; 1200; 0). Este ponto não pertence à região de
soluções viáveis, pois não atende às restrições 2) e 5).
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Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 5). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (2933,33 ;1466,67 ; 200). Este ponto não
pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 6). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (0 ;4400 ; 200). Este ponto não pertence à
região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 7). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (4400 ; 0; 200). Este ponto não pertence à
região de soluções viáveis, pois não atende às restrições 2) e 5).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 8). Observe que este
sistema também possui duas retas paralelas (X3=200 e X3=0) que nunca se
cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de
convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de
interseção.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 5) e 6). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (0 ; 0; 4600). Este ponto não pertence à região
de soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).
87
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 5) e 7). A interseção
destes 3 planos é também no ponto: (0 ; 0; 4600). Este ponto não
pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 5) e 8). A interseção
destes 3 planos é também no ponto: (3066,67 ; 1533,33; 0). Este ponto
não pertence à região de soluções viáveis, pois não atende às restrições 2)
e 3).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 3) e 4). A interseção
destes 3 planos é também no ponto: (3000 ; 1200; 200). Este ponto não
pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 5).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 3) e 5). Estas retas
também não se cruzam. As equações 2) e 3) não são compatíveis com a 5),
representando que as 3 retas não se cruzam. O mesmo acontecendo com
as 2) 3) e 6). Bem como com as 2) 3) e 7).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 3) e 8). A interseção
destes 3 planos é também no ponto: (3000; 1200; 0). Este ponto não
pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 5).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 5). A interseção
destes 3 planos é também no ponto: (3000; 1500; 200). Este ponto não
88
pertence à região de soluções viáveis, pois não atende às restrições 1) e
3).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 6). Observe que este
sistema possui duas retas paralelas (X1=3000 e X1=0) que nunca se cruzam.
Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de convergência no qual
se cruzem35, não possuindo desta forma um ponto de interseção
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 7). A interseção
destes 3 planos é também no ponto: (3000; 0; 200). Este ponto não
pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 5).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 8). Observe que este
sistema também possui duas retas paralelas (X3=200 e X3=0) que nunca se
cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de
convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de
interseção.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 5) e 6). Observe que este
sistema possui duas retas paralelas (X1=3000 e X1=0) que nunca se cruzam.
Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de convergência no qual
se cruzem36, não possuindo desta forma um ponto de interseção
35 Na geometria dizemos que são retas reversas.36 Na geometria dizemos que são retas reversas.
89
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 5) e 7). Estas retas
também não se cruzam. As equações 2) e 7) não são compatíveis com a 5),
representando que as 3 retas não se cruzam.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 5) e 8). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (3000; 1500; 0). Este ponto não pertence à
região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 6) e 7). Estas retas
também não se cruzam, pois as equações 2) e 6) são paralelas. Portanto o
mesmo acontece com o sistema formado pelas restrições 2) 6) e 8).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 4) e 5). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (2400; 1200; 200). Este ponto pertence à
região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 4) e 6). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (0; 1200; 200). Este ponto pertence à região
de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 4) e 7). Observe que este
sistema também possui duas retas paralelas (X2=1200 e X2=0) que nunca
se cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de
convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de
90
interseção. O mesmo acontece com o sistema formado pelas restrições 3)
4) e 8).
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 5) e 6). A reta 3) e 6) são
incompatíveis com a 6) e nunca se cruzam.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 5) e 7). As retas 3) e 7)
nunca se cruzam.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 5) e 8). A interseção destes
3 planos é no ponto: (2400; 1200; 0). Este ponto pertence à região de
soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 6) e 7). As retas 3) e 7)
nunca se cruzam.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 6) e 8). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (0; 1200; 0). Este ponto pertence à região de
soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 7) e 8). As retas 3) e 7)
nunca se cruzam.
91
Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 5) e 6). A interseção
destes 3 planos é no ponto: (0; 0; 200). Este ponto pertence à região de
soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 5) e 7). A interseção
destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 200). Este ponto pertence à
região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 5) e 8). As retas 4) e 8)
nunca se cruzam.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 6) e 7). A interseção
destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 200). Este ponto pertence à
região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 6) e 8). As retas 4) e 8)
nunca se cruzam.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 7) e 8). As retas 4) e 8)
nunca se cruzam.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 5) 6) e 7). A interseção
destes 3 planos também é toda o eixo de X3 o que não atende a todas as
restrições.
92
Vejamos o sistema formado pelas restrições 5) 6) e 8). A interseção
destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 0). Este ponto pertence à
região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
Vejamos o sistema formado pelas restrições 6) 7) e 8). A interseção
destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 0). Este ponto pertence à
região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.
5. Método Simplex
George Dantzig (1914-2005) apresentou os fundamentos do Algoritmo
Simplex em 1947. Seu desenvolvimento deveu-se ao esforço de guerra
impetrado pelos EUA durante a Segunda Guerra Mundial. George Dantzig
trabalhou durante a guerra no Pentágono, órgão de defesa americano,
como especialista em planejamento e programação de atividades militares
e ao final da guerra publicou as ferramentas matemáticas que
desenvolveu para otimizar recursos e auxiliar na tomada de decisão, era o
Simplex37.
37 O nome Simplex deve-se ao conceito de simplex na geometria que é uma generalização do conceito de triângulo a outras dimensões. É o invólucro convexo de (n+1) pontos independentes no Rn. Ele é chamado assim por ser sempre o polígono mais simples de sua dimensão, isto é, um triângulo (R 2) é o poligono que possui menos vértices e arestas, o tetraedro (R3) é o que possui menos vértices e arestas e faces. E assim por diante.
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O método simplex é uma poderosa ferramenta normalmente
implementada em casos reais com auxílio de programas de computador.
Vamos neste tópico verificar os princípios deste algoritmo para em
seguida verificarmos como implementar via computadores.
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