PESQUISA OPERACIONAL Resolução Gráfica

Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil

2 Prof. Volmir - UFPR

Objetivo: produzir um par de x1 e x2 que (i) satisfaça todas as restrições e (ii) tenha o maior valor da função objetivo. Um par de valores específicos (x1, x2) é considerado uma solução viável se satisfizer todas as restrições. (x1, x2) = (0, 0) e (x1, x2) = (1; 1) são viáveis. (x1, x2) = (1, -1) e (x1, x2) = (1, 2) não são viáveis. https://www.utdallas.edu/~metin/Or6201/simplex_s.pdf O valor da função objetivo em (0; 0) é 0 e em (1; 1) é 7.

Problema Considere o seguinte programa linear-pl

Determinação do gradiente

3

(x1, x2) é um ponto no sistema de coordenadas. Vamos transformar desigualdades em igualdades e desenhar linhas no sistema de coordenadas. Observe que cada linha (1) divide o plano em dois semi-planos: porção viável e porção inviável. Indicamos a porção viável com setas. Desenhe outras linhas (2), (3) e (4) e indique a porção viável para todas as linhas. A região que está no lado correto de todas as linhas: região viável ou viável? Observe que a restrição (3) é redundante (inativa).

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Representação gráfica do gradiente

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• Curva de nível representada no domínio • Gradiente representado no domínio • Gradiente perpendicular a tangente da curva de nível

O gradiente é um vetor que indica a direção na qual a função cresce “mais rapidamente”. No ponto onde a função é mínima/máxima, o vetor gradiente é nulo.

5

2010 ,, f

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86

86 21

,Z

xxZ

Função - plano

Gradiente e curvas de nível Equação de um plano

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86

86 21

,Z

xxZ

0

113105

3102030

21

21

21

x,x

xx

xx

Função - Plano

Domínio - Região em R2

Gradiente e curvas de nível Equação de um plano - pl

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0,

113105

3102030.

86 max

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxZ

0,,,0113105

0,,,03102030

5113

10113

21

331

231

21

DCxx

BAxx

A

B

C

D

Solução gráfica – exemplo 1

8 8 Prof. Volmir - UFPR

0,

113105

3102030.

86 max

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxZ

113105

3102030

21

21

xx

xx

Solução gráfica – exemplo 1

9 Prof. Volmir - UFPR

8,6

4886 2148

Z

xxZ

8,6Z

48Z

9,2 46/5

4,2 21/5

98,8 494/5 Z

*

2

*

1

*

x

x

0,

113105

3102030.

86 max

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxZ

113105

3102030

21

21

xx

xx

Solução única

Solução gráfica – exemplo 1

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B

A

C

D

E

F

05020445

05301553

6

5

02202

94

21

21

2

1

21

,,,

,,,

,,,

FExx

DCxx

x

x

BAxx

0

20445

1553

6

5

2

106

21

21

21

2

1

21

21

xx

xx

xx

x

x

xxas

xxZ

,

.

min

Solução gráfica – exemplo 2

11 Prof. Volmir - UFPR

0

20445

1553

6

5

2

106

21

21

21

2

1

21

21

xx

xx

xx

x

x

xxas

xxZ

,

.

min

20445

1553

6

5

2

21

21

2

1

21

xx

xx

x

x

xx

Solução gráfica – exemplo 2

12 Prof. Volmir - UFPR

20445

1553

6

5

2

21

21

2

1

21

xx

xx

x

x

xx

0

20445

1553

6

5

2

106

21

21

21

2

1

21

21

xx

xx

xx

x

x

xxas

xxZ

,

.

min

10,6

60106 2160

Z

xxZ2,625 21/8

6250 5/8

03 Z

*2

*1

*

x

x ,

0 5 03 Z

1,15 15/13 3,08 40/13 03 Z

*

2

*

1

*

*

2

*

1

*

xx

xx

Solução múltipla

Solução gráfica – exemplo 2

13 Prof. Volmir - UFPR

05505

06301863

21

21

,,,

,,,

DCxx

BAxx

0,

5

1863.

124 max

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxZ

Solução gráfica – exemplo 3

14 Prof. Volmir - UFPR

0,

5

1863.

124 max

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxZ

5

1863

21

21

xx

xx

Solução gráfica – exemplo 3

15 Prof. Volmir - UFPR

0,

5

1863.

124 max

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxZ

5

1863

21

21

xx

xx

12,4

48124 2148

Z

xxZ

3

0

63 Z

*

2

*

1

*

x

x

Solução degenerada

Solução gráfica – exemplo 3

16 Prof. Volmir - UFPR

0,4,5,02045

0,5,3,01553

6

0,2,2,02

21

21

2

21

FExx

DCxx

x

BAxx

0,

2045

1553

6

2.

106 max

21

21

21

2

21

21

xx

xx

xx

x

xxas

xxZ

A

B

C

D

E

F

Solução gráfica – exemplo 4

17 Prof. Volmir - UFPR

2045

1553

6

2

21

21

2

21

xx

xx

x

xx

0,

2045

1553

6

2.

106 max

21

21

21

2

21

21

xx

xx

xx

x

xxas

xxZ

Solução gráfica – exemplo 4

18 Prof. Volmir - UFPR

0,

2045

1553

6

2.

106 max

21

21

21

2

21

21

xx

xx

xx

x

xxas

xxZ

10,6

60106 2160

Z

xxZ

2045

1553

6

2

21

21

2

21

xx

xx

x

xx

Solução ilimitada

Solução gráfica – exemplo 4

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0,

20

12.

max

21

21

21

21

xx

xx

xxas

xxZ

Solução inviável

Solução gráfica – exemplo 5

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Solução gráfica – Procedimento

21

I. Desenhe a reta de cada restrição no gráfico.

II. Identifique a região de soluções viáveis, isto é, a área do gráfico que simultanea-mente satisfaz a todas as restrições.

III. Encontre a solução ótima pelo seguinte método:

a. Desenhe uma ou mais curvas de nível da função objetivo e determine a direção na qual curvas paralelas resultam em aumentos no valor da função objetivo;

b. Desenhe curvas paralelas na direção do crescimento (indicada pelo gradiente de Z) até que a curva toque a região de soluções viáveis em um único ponto (ou em um segmento).

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