Petry - Transferencia de Calor e Massa Em Meios Granulares

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE MATEMTICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA APLICADA

DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO

PARA A TRANSFERNCIA DE CALOR E

MASSA EM MEIOS GRANULARES

por

Vitor Jos Petry

Tese submetida ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada

do Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,

como requisito parcial para a obteno do ttulo de Doutor em Matemtica

Aplicada.

Prof. Dr. lvaro L. De Bortoli

Orientador

Prof. Dr. Oleg Khatchatourian

Co-Orientador

Porto Alegre, maio de 2007.

CIP - CATALOGACO NA PUBLICACO

Petry, Vitor Jos

Desenvolvimento de um modelo para a transferncia de calor emassa em meios granulares / Vitor Jos Petry, Porto Alegre:PPGMAp/UFRGS, 2007

93 p.: il.

Tese (doutorado) Universidade Federal do Rio Grande do Sul,Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada, PortoAlegre, 2007.Orientador: Dr. lvaro L. De BortoliCo-Orientador: Dr. Oleg A. Khatchatourian

Tese: Matemtica AplicadaModelo matemtico, tranferncia de calor e massa, meios granu-lares

i

DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO

PARA A TRANSFERNCIA DE CALOR E

MASSA EM MEIOS GRANULARES

por

Vitor Jos Petry

Tese submetida ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada

do Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,

como requisito parcial para a obteno do ttulo de

Doutor em Matemtica Aplicada.

Linha de Pesquisa: Anlise Numrica

Orientador: Prof. Dr. lvaro L. De Bortoli

Co-Orientador Prof Dr. Oleg A. Khatchatourian

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Antnio Jos da Silva Neto - IPRJ/UERJ

Profa. Dra. Lgia D. F. Marczak - PPGEQ/UFRGS

Prof. Dr. Leonardo Fernandes Guidi - PPGMAp/UFRGS

Tese apresentada e aprovada em 23 de maio de 2007.

Profa. Dra. Maria Cristina Varrialle - Coordenadora

Porto Alegre, maio de 2007

ii

Sumrio

1 Introduo 1

1.1 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 O problema fsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Alguns modelos de transferncia de calor e massa para secagem . . . 6

1.4 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Objetivos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Objetivos especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Roteiro do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Equaes Governantes 18

2.1 Deduo das equaes governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Equao de conservao de massa para o ar . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Equao de conservao de massa para as esferas . . . . . . . 22

2.1.3 Equao de conservao de energia para o ar . . . . . . . . . . 22

2.1.4 Equao de conservao de energia para as esferas . . . . . . . 23

2.1.5 Equaes para o fluxo do ar no meio granular . . . . . . . . . 25

2.2 Adimensionalizao das equaes governantes . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Condies iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Procedimento de soluo 30

3.1 Esquema numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1 Algumas definies e teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.2 Aproximaes em diferenas finitas . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.3 Anlise da consistncia, estabilidade e convergncia . . . . . . 35

3.2 Soluo analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iii

3.2.1 Algumas solues analticas para problemas de transporte na

literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2 Definies e teoremas teis na resoluo . . . . . . . . . . . . 44

3.2.3 Obteno da soluo analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Resultados 59

4.1 Comparao entre valores numricos e dados experimentais de secagem

em leito profundo para o caso 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Comparao entre valores numricos e dados experimentais de secagem

em camada fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Comparao entre valores numricos e dados experimentais para a

secagem intermitente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Simulaes numricas de secagem para o caso 2-D . . . . . . . . . . . 74

4.5 Avaliao da influncia de parmetros adimensionais . . . . . . . . . . 79

5 Concluses e contribuies 82

5.1 Contribuies do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Referncias Bibliogrficas 85

iv

Lista de Figuras

1.1 Esquema de um secador de leito fixo em forma de silo (corte vertical) 3

2.1 Esquema da cmara de Secagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Esquema da extrapolao em x = 0 e x = 1 . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Esquema de aproximaes em diferenas finitas para o tempo e o

espao no caso 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Regio de estabilidade para a = 1/4, b = 1, c = 1/2 e x = 1/20 . 393.3 Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/40 393.4 Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/100 403.5 Representao grfica dos autovalores para a = 1/4, b = 1 e c = 1/2 523.6 Solues analtica e numrica de como funo do tempo (adimen-

sional) para 0 = 1 = 1, a = 1/4, b = 1, c = 1/2, f(x, t) dadapela equao (3.62) com k1 = 0.03 e k2 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . 55

3.7 Valor do erro relativo entre as solues analtica e numrica de

como funo do tempo (adimensional) para 0 = 1 = 1, a = 1/4,

b = 1, c = 1/2, f(x, t) dada pela equao (3.62) com k1 = 0.03e k2 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Solues analtica e numrica de como funo do tempo (adimen-

sional) para 0 = 0, 1 = 1, a = 1/4, b = 1, c = 1/2, f(x, t) dadapela equao (3.63) e k1 = 0.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9 Valor do erro relativo entre as solues analtica e numrica de como

funo do tempo (adimensional) para para 0 = 0, 1 = 1, a = 1/4,

b = 1, c = 1/2, f(x, t) dada pela equao (3.63) e k1 = 0.03 . . . 57

v

4.1 Esquema do equipamento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Distribuio da temperatura dos gros de soja no interior da cmara

para Tar = 65oC, Tamb = 18oC, X0 = 0, 31, U0 = 4, 75ms1 e UR =

85% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Distribuio do teor de umidade dos gros de soja no interior da

cmara para Tar = 65oC, Tamb = 18oC, X0 = 0, 31, U0 = 4, 75ms1 e

UR = 85% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


para Tar = 55oC, Tamb = 16oC, X0 = 0, 21, U0 = 4, 61ms1 e UR =

80% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


cmara para Tar = 55oC, Tamb = 16oC, X0 = 0, 21, U0 = 4, 61ms1 e

UR = 80% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


cmara para Tar = 80oC, Tamb = 22oC, X0 = 0, 24 e UR = 68% . . . 66


cmara para Tar = 110oC, Tamb = 20oC, X0 = 0, 24 e UR = 68% . . . 66

4.8 Distribuio da temperatura do ar no interior da cmara para Tamb =

23oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 214 e U0 = 1, 25ms1 com 3 horas de

secagem seguidas de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . . . . . . 68


cmara para Tamb = 23oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 214 e U0 = 1, 25ms1

com 3 horas de secagem seguidas de 50 minutos de aerao . . . . . . 69


para Tamb = 23oC, Tar = 70oC, X0 = 0, 214 e U0 = 1, 25ms1 com 45

minutos de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . 69



secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . . . . . . 70

vi



com 3 horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . 71



horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . 72



secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . . . . . . 73



com 3 horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . 73



horas de secagem seguidos de 50 minutos de aerao . . . . . . . . . . 74

4.17 Malha para a simulao numrica no caso 2-D . . . . . . . . . . . . . 75

4.18 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 0, 5h 75

4.19 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 1h . 76

4.20 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 1, 5h 76

4.21 Distribuio da temperatura (adimensional) dos gros para t = 2h . 77

4.22 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 0, 5h . . 77

4.23 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 1h . . . . 78

4.24 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 1, 5h . . 78

4.25 Distribuio da umidade (adimensional) dos gros para t = 2h . . . . 79

4.26 Influncia do nmero de Reynolds na distribuio da umidade dos

gros ao longo do tempo, Re = 200 a 2000. . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.27 Influncia do nmero de Eckert na distribuio da temperatura dos

gros ao longo do tempo, Ec = 105 a 5x105. . . . . . . . . . . . . . 81

4.28 Influncia do nmero de Schmidt na distribuio do teor de umidade

dos gros ao longo do tempo, Sc = 0.7 a 2.0 . . . . . . . . . . . . . . 81

vii

Lista de Tabelas

1.1 Composio mdia dos gros de soja em condies ideais para a es-

tocagem [72] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Domnios e condies de contorno em que foram obtidas solues para

a equao (3.29) em [69] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Autovalores do problema (3.47) para os dez primeiros valores de n,

com a = 1/4, b = 1 e c = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

viii

Lista de Smbolos

a razo entre a rea e o volume de um gro

a, b, c coeficientes

A coeficiente

An coeficiente de normalizao das autofunes

As rea da superfcie de um gro

bn(t) coeficientes de Fourier com dependncia do tempo

C concentrao de gua em massa

C0 espao das funes contnuas

Ci concentrao mssica da espcie i

Cp calor especfico a presso constante

D coeficiente de difuso de massa de vapor de gua no ar

D(L) domnio do operador L

ER erro relativo

Ec nmero de Eckert

h coeficiente convectivo de tranferncia de calor entre o ar e o gro

H espao de Hilberthm coeficiente convectivo de tranferncia de massa entre o gro e o ar

jx,i, jy,i fluxo de difuso da espcie i na direo x e na direo y

k1, k2 parmetros

L operador diferencial

L operador adjunto

l2 espao das seqncias cuja soma dos quadrados de seus termos converge

L2 espao das funes de quadrado integrvel

Lc comprimento caracterstico

Lv calor latente de vaporizao da gua

ix

m taxa de gerao de massa por unidade de volume

m massan vetor normalO(x, t) ordem de aproximao no espao e no tempo

P presso

Pr nmero de Prandtl

q quantidade de calor gerada por unidade de volume

q taxa de gerao de energia por unidade de volume

Re nmero de Reynolds

Sc nmero de Schmidt

S() smbolo de Fouriert tempo

T temperatura

u componente da velocidade na direo xu vetor velocidadeU0 velocidade do ar na entrada da cmara de secagem

UR umidade relativa do ar

v componente da velocidade na direo y

V volume

x, y, z coordenadas cartesianas

X teor de umidade dos gros em base seca

Xe teor de umidade de equilbrio entre o ar e o gro

Y teor de umidade do ar em base seca

w componente da velocidade na direo z

x

Lista de Smbolos Especiais

difusividade trmica

n(t) coeficientes de Fourier com dependncia do tempo

C variao de concentrao de massa

, n autovalores

, parmetros

viscosidade cintica

massa especfica

porosidade da massa granular

(L) espectro de L

tempo de relaxao trmica

n(x) autofunes normalizadas

transformada discreta de Fourier para a seqncia {k}0, 1 constantes

(x, t) funo

, produto internoL(H) espao dos operadores lineares contnuos de H em H norma euclidiana H norma no espao de Hilbert H L(H) norma no espao L(H)

Sobrescritos

varivel adimensionaln ndice de discretizao temporal

xi

Subscritos

0 valor inicial

amb ambiente

ar ar de secagem

atm atmosfrica

c referente ao volume de controle

g gs (ar)

i referente espcie i

i, j, k ndices de discretizao espacial

l lquido (gua)

s slido (gro)

v vapor

xii

Resumo

Problemas de transferncia de calor e de massa em meios granulares so

encontrados em inmeras situaes de interesse tecnolgico. Particularmente, o

processo de secagem de gros envolve esses dois fenmenos. Nesta tese desenvolvido

um modelo matemtico que descreve os balanos de energia e de massa para o ar

e os gros baseado nas equaes de Navier-Stokes. O coeficiente convectivo de

transferncia de massa entre o gro e o ar obtido a partir de dados experimentais

para a secagem de gros de soja.

As equaes governantes do modelo so resolvidas numericamente por um es-

quema em diferenas finitas. A anlise de consistncia, estabilidade e convergncia

tambm realizada para o caso unidimensional. Uma soluo analtica da equao

diferencial parcial com a forma das equaes de balano da energia e da massa para

o ar (caso unidimensional) obtida, fazendo-se comparaes entre dados numricos

e a soluo analtica, para funes testes no termo fonte, com o objetivo de avaliar

o esquema numrico utilizado.

Resultados so apresentados fazendo comparaes dos valores numricos calcula-

dos atravs do modelo com dados experimentais encontrados na literatura. Avalia-se

tambm a influncia de parmetros adimensionais envolvidos nos processos de trans-

ferncia de calor e massa.

Estes resultados contribuem para obter um melhor entendimento da transferncia

de calor e massa em meios granulares, cujas aplicaes so encontradas em muitas

situaes de interesse prtico.

xiii

Abstract

Problems of heat and mass transfer in granular media are found in count-

less situations of technical interest. Particularly, the grain drying process involve

those two phenomena. In the present work we develop a mathematical model that

describes the energy and the mass balance for the air and the grain based on the

Navier-Stokes equations. The convective mass transfer coefficient between the grain

and the air is obtained from experimental data for the soy grain drying process.

The governing equations of the model are approximated by means of a finite

differences scheme. The analysis of consistency, stability and convergence is also

made for the unidimensional case. An analytical solution for a partial differential

equation with the form similar to the energy and mass balance equations for the

air (in the unidimensional case) is obtained; comparisons are realized between the

numerical data and the analytical solution for chosen test functions in the source

term, with the objective of evaluating the numerical scheme used.

Numerical results are presented and compared with the experimental data found

in the literature. We evaluate the influence of dimensionless parameters involved in

the heat and mass transfer processes as well.

These results contribute to obtain a better understanding of the heat and mass

transfer in a granular medium, whose applications are found in many situations of

technical interest.

xiv

Captulo 1

Introduo

Neste captulo apresentamos a motivao para a realizao da presente tese e

fazemos uma descrio do problema fsico a ser abordado, seguido de uma rpida

reviso bibliogrfica, que ir recordar alguns dos principais modelos matemticos

desenvolvidos para descrever os processos de transferncia de calor e massa. Aps

indicamos os principais objetivos traados para a realizao do trabalho. Para encer-

rar o captulo apresentamos um roteiro que foi seguido na organizao e elaborao

da presente tese.

1.1 Motivao

Em inmeras situaes de interesse tecnolgico nos deparamos com problemas

de transferncia de calor e massa em meios granulares. Dentre esses problemas

destacamos o da secagem de gros, dentre eles os gros de soja. Neste casos, torna-

se necessrio o conhecimento de modelos matemticos capazes de prever a evoluo

da temperatura e da umidade, tanto do ar que envolve o meio granular, como dos

prprios gros.

Atualmente o Brasil, especialmente nas regies Sul e Centro Oeste, um dos

grandes produtores de gros, principalmente de soja, que destinada na sua maioria

para as indstrias de produo de leos e de alimentao humana e animal, tanto

no mercado interno como no exterior. J se verifica tambm o desenvolvimento de

tecnologias para a reduo do consumo de petrleo, tentando utilizar leos de origem

1

2

vegetal.

Para se ter maior segurana na secagem, garantindo a conservao da qualidade

dos gros e para evitar desperdcios, importante que se tenha, no momento da

secagem, controle das temperaturas do ar e dos gros, das trocas de calor e massa

entre os gros e o ar, bem como dos teores de umidade no interior de todo o secador

[72]. Tais necessidades, associadas aos elevados custos da construo de prottipos

baseados em modelos tericos, tm aumentado a importncia do desenvolvimento

de pesquisas de modelos matemticos, com simulaes das condies de secagem e

armazenamento, baseadas em dados experimentais.

Muitos trabalhos sobre processos de transferncia de calor e massa so apresen-

tados na literatura. Dos trabalhos encontrados nesta linha de pesquisa, a maioria se

refere a processos de secagem. Na seqncia, faremos uma exposio do problema

fsico de secagem artificial (objetivo desta pesquisa) a ser resolvido, seguido de um

breve apanhado dos principais trabalhos encontrados na literatura sobre esse tema.

1.2 O problema fsico

Os gros de cereais em geral, entre eles os de soja, so formados por um composto

de matria seca e mida. De acordo com Puzzi [72], a composio qumica de um

gro varia com vrios fatores, tais como as condies ambientais, a variedade do

produto e o prprio teor de umidade. Uma composio mdia de um gro de soja

em condies ideais para a estocagem e/ou comercializao, segundo este autor,

dada na tabela 1.1.

Quando a quantidade de gua est muito acima dos 10% (base mida), necessrio

que os gros passem por um processo de secagem antes do armazenamento com o

objetivo de retirar a gua excedente.

Para uma boa conservao dos gros estocados, evitando oscilaes muito brus-

cas nos preos de mercado, devem ser tomados alguns cuidados de forma que sua

composio qumica seja conservada em seu estado natural. Segundo Puzzy [72],

os principais fatores que alteram as caractersticas dos gros, comprometendo o seu

3

Tabela 1.1: Composio mdia dos gros de soja em condies ideais para a es-

tocagem [72]

Componente % em massa (base mida)

matrias proteicas 35%

carboidratos 26%

matrias graxas 19%

gua 10%

celulose 5%

cinzas 5%

valor comercial e nutritivo, so de ordem fsica e biolgica. Os principais fatores

fsicos so a temperatura elevada e a umidade da massa de gros armazenados. J

como fatores biolgicos destacam-se a ao de microorganismos, insetos e caros.

Evidentemente, o desenvolvimento dos fatores biolgicos depende em grande parte

dos fatores fsicos. Da a necessidade de manuteno de temperaturas no muito

elevadas e, principalmente, da secagem dos gros antes de seu armazenamento.

Figura 1.1: Esquema de um secador de leito fixo em forma de silo (corte vertical)

4

Existem no mercado inmeros tipos de secadores, dentre os quais os de leito fixo

(figura 1.1), no interior do qual uma grande massa de gros midos depositada

para iniciar a secagem. A secagem artificial dos gros ocorre devido a um fluxo de ar,

geralmente quente, que forado atravs de um sistema de ventilao a passar pelo

meio granular, absorvendo a umidade contida na superfcie do gro e provocando um

gradiente de umidade no interior do mesmo, alm do gradiente de energia (no caso

do fluxo de ar quente); este provoca um fluxo de gua do centro para a superfcie do

gro. Essa massa de gua que aparece na superfcie novamente removida pelo ar

quente que passa por entre os gros. Assim, quanto maior a temperatura do ar de

secagem, maior ser o gradiente de temperatura provocado, o que tende a acelerar

o processo de secagem, podendo gerar trincas devido s tenses que provocam a

rachadura da casca dos gros [72].

A gua no interior do gro pode estar na forma de molculas de gua ligadas a

grupos moleculares de matria biolgica ou, ento, na forma de grupos moleculares

de gua lquida ou na forma de vapor no interior de pequenos poros existentes nos

gros [72]. A gua na forma de molculas ligadas matria biolgica muito difcil

de ser removida. J a forma de grupos moleculares de gua lquida ou a forma

de vapor permite uma remoo mais fcil, e acredita-se que seja essa gua que

retirada dos gros durante os processos de secagem.

Quando a distribuio de gua no interior do gro no uniforme, formam-

se gradientes de concentrao, fazendo com que a gua se desloque dos pontos de

maior concentrao para os de menor concentrao. Nos processos de secagem com

ar aquecido, o calor transferido para o gro e provoca a mudana de fase da gua,

alm do aquecimento de toda a massa do gro. Formam-se, assim, gradientes de

presso de vapor que tambm so responsveis pelo deslocamento de gua no interior

dos gros. Assim, quando a presso de vapor parcial na superfcie do gro maior

que a presso parcial do vapor no ar, ocorre a transferncia de vapor de gua do

gro para o ar, o que caracteriza a secagem. Quando as presses parciais de vapor

no ar e na superfcie do gro so iguais, ocorre o equilbrio e o teor de umidade do

gro, neste caso, chamado de teor de umidade de equilbrio [36].

A secagem de produtos agrcolas pode ser definida como um processo simultneo

5

de transferncia de calor e massa entre o produto e o ar de secagem. De fato, quando

ocorre o fluxo de ar quente por entre a massa de gros contidos no interior da cmara

de secagem, ocorre a transferncia de energia do ar para os gros pelo processo de

conveco. Essa energia rapidamente distribuda para o interior do gro, aque-

cendo toda a matria e vaporizando parte da gua contida no gro, aumentando a

presso parcial de vapor no interior do mesmo e provocando, conseqentemente, um

gradiente de presso entre o gro e o ar.

Por outro lado, o ar aquecido possui maior poder de absoro de vapor de gua.

Devido ao gradiente de presso parcial de vapor e a diferena de concentrao de

vapor de gua entre a superfcie do gro e o ar, ocorre a transferncia de vapor

de gua entre o gro e o ar. Na seqncia, o vapor levado juntamente com o ar

para fora da cmara. Uma vez retirada a umidade da superfcie do gro, acentua-

se novamente o gradiente de presso e de concentrao de vapor entre o interior

e a superfcie do gro, provocando nova migrao da umidade do centro para a

superfcie, dando continuidade ao processo.

No incio do processo de secagem a quantidade de calor e massa transferida mais

acentuada, diminuindo ao longo do tempo. A transferncia de calor diminui medida

que a temperatura dos gros se aproxima da temperatura do ar de secagem na

entrada da cmara, tornando o gradiente de temperatura pequeno. J a diminuio

do teor de umidade dos gros ao longo do tempo, faz com que o gradiente de umidade

e de presso de vapor entre os gros e o ar tambm diminua, de forma que quando

o teor de umidade se aproxima da umidade de equilbrio, a transferncia de massa

se torna praticamente desprezvel.

Nos experimentos realizados e apresentados em Khatchatourian et al. [34] verificou-

se que na abertura da cmara de secagem, imediatamente aps cessado o processo

de secagem, a superfcie dos gros encontrava-se sem gua lquida e, aps um curto

intervalo de tempo, apareceram gotas de gua ao redor dos gros. Isso refora a idia

de que a gua sai do gro na forma de vapor e que ela condensou posteriormente,

uma vez que neste momento no havia mais o fluxo de ar quente que a transportasse.

O processo de secagem intermitente consiste em submeter os gros a um fluxo

de ar aquecido por um determinado perodo de tempo, seguido de outro perodo de

6

tempo de secagem com ar no aquecido (temperatura ambiente), que pode ter sua

passagem forada por entre a massa de gros por um sistema de ventilao, ou ento

pela conveo natural, uma vez que ao fim do perodo de secagem com ar quente,

os gros encontram-se a uma temperatura superior temperatura do ar ambiente

que est sobre o secador. A vantagem desse tipo de secagem, est na reduo do

consumo de energia.

Apesar do modelo apresentado poder ser til em outras aplicaes, o presente tra-

balho se deter nos processos de secagem de gros de soja, uma vez que a literatura

(Borges [9], Katchatourian [34] e Weber [92]) fornece mais dados experimentais, o

que facilita a comparao e a conseqente validao do modelo usado.

Compreendido o problema fsico, na seo que segue sero enumerados alguns

modelos que descrevem o processo de secagem de diversos produtos encontrados na

literatura.

1.3 Alguns modelos de transferncia de calor e massa

para secagem

A secagem artificial de gros ocorre pela passagem de um fluxo de ar por entre

a massa de gros. De acordo com Parry [61], os modelos matemticos dos proces-

sos de secagem podem ser classificados como modelos logartmicos e exponenciais,

modelos simplificados de balano de calor e massa e modelos baseados em equaes

diferenciais parciais.

Os modelos logartmicos e exponenciais foram os primeiros a serem desenvolvidos

devido a simplicidade na obteno de solues. Na seqncia foram desenvolvidos di-

versos modelos empricos e semi-empricos baseados em balanos de massa e de calor,

porm com grandes simplificaes com o objetivo de facilitar a obteno de solues

com recursos computacionais ainda no muito avanados. J com a evoluo da

computao cientfica, os modelos de secagem baseados em equaes diferenciais

parciais com menor nmero de restries tem ganho fora [61].

Existem vrios tipos de modelos dos processos de secagem, sendo a maioria de-

les em regime permanente. Segundo Borges [9], os modelos que no consideram a

7

alterao das propriedades fsicas nas variveis espaciais so conhecidos por mode-

los de camada fina, sendo as grandezas envolvidas, como temperatura e umidade,

consideradas uniformes em todas as posies do secador a cada instante. J os que

consideram essas variaes so chamados de modelos de leito profundo. Alm disso,

os modelos tambm podem ser classificados em empricos, semi-empricos e tericos

[61]. Os primeiros so resultado do ajuste de curvas a partir de valores experimen-

tais, os tericos so baseados unicamente nas equaes de transporte de calor e de

massa e os semi-empricos so uma mescla dos outros dois.

Diversos modelos empricos e semi-empricos tm surgido nos ltimos anos ten-

tando explicar os fenmenos de transporte de massa e de calor envolvidos na secagem

[63]. Uma das limitaes de vrios desses modelos que eles geralmente so aplicveis

somente a pequenas faixas das grandezas envolvidas, como a temperatura do ar de

secagem dentro das quais foram obtidos.

Brooker et al. [12] afirmaram que a secagem de produtos agrcolas em camadas

finas apresenta duas fases distintas: uma com taxa constante de secagem e outra

com taxa decrescente de secagem. A fase de taxa constante pode ser observada na

secagem de produtos biolgicos com umidade inicial acima de 70% em base mida.

Normalmente, acima dessa faixa de umidade, a resistncia interna ao transporte de

gua muito menor que a resistncia externa remoo de umidade da superfcie.

A fase de taxa decrescente, por outro lado, caracteriza-se pela descontinuidade do

fluxo de gua na superfcie de evaporao. A resistncia interna ao transporte de

umidade torna-se maior que a resistncia externa. O segundo caso teria maior

interesse prtico, visto que praticamente todos os produtos chegam aos secadores

com percentuais de umidade bem abaixo dos 70% [12].

Uma classificao das abordagens da modelagem dos fenmenos de transporte

em meios porosos encontrada no trabalho de Laurindo e Prat [38], segundo a qual

temos abordagens contnuas e discretas. As primeiras consideram o meio como uma

massa contnua. Segundo esses autores, algumas situaes ainda so impossveis de

serem simuladas usando essa hiptese, mas admitem a razovel concordncia dos

resultados desses mtodos com os dados experimentais. As abordagens discretas

usam a teoria de fractais e mtodos da fsica estatstica. Ainda, segundo esses

8

autores, essas abordagens, apesar de detalharem mais os fenmenos que ocorrem na

transferncia de calor e massa, ainda esto em desenvolvimento e no so adequadas

para o uso em softwares de controle ou em projetos de secadores industriais.

Simmonds et al., em 1953, conforme Borges [9], propuseram um modelo para

descrever o teor de umidade do gro onde este teor dado por uma funo expo-

nencial, ou seja, consideram que a variao da umidade do gro proporcional

diferena entre a umidade no momento atual e o teor de umidade de equilbrio.

O teor de umidade de equilbrio definido como sendo o limite admitido por um

material sujeito a um meio ambiente estvel [36]. Em outras palavras, a umidade

final que o gro atingiria caso ficasse tempo suficiente em contato com o ar a uma

determinada temperatura e umidade. Assim, seu valor determinado como funo

dessas duas grandezas.

Boyce, em 1965 [10] [11], considerou o aquecimento dos gros durante a secagem

apresentando um modelo semi-emprico estacionrio de leito profundo subdividido

em vrias camadas finas, no interior das quais as propriedades como temperatura e

umidade eram calculadas.

Em 1966 Luikov [44] apresentou um modelo baseado nas equaes de trans-

porte de calor e massa e da quantidade de movimento. Devido complexidade

de sua soluo, na poca foi sugerido por vrios autores o desprezo dos gradientes

de presso, gradientes de difuso trmica e a evaporao interna, tornando-o um

modelo bem simples com apenas duas equaes diferenciais parciais autnomas.

Em 1973 Morey e Cloud [55] apresentaram um modelo matemtico para avaliar

o desempenho de secadores de fluxo cruzado com mltiplas colunas de secagem.

Neste tipo de secador o ar forado perpendicularmente em todas as colunas, sendo

que os gros entram midos na terceira coluna e so recirculados na segunda e na

primeira coluna simultaneamente.

Nellist em 1987 [56] desenvolveu um modelo matemtico para secadores de fluxo

cruzado com o objetivo de analisar o teor de umidade dos gros, a temperatura do ar

e dos gros e o consumo de energia no processo de secagem, levando em considerao

as condies para a germinao das sementes.

Em 1991 Courtois et al. [19] propuseram um modelo unidimensional em leito

9

profundo baseado nas equaes de balano de massa e de energia para a secagem de

gros de milho. Para descrever a variao da umidade o gro foi dividido em trs

partes: a primeira formada pelo ncleo, a segunda a parte intermediria e a terceira

a parte perifrica do gro, sendo a transferncia de massa de uma parte para outra

por difuso, com coeficientes obtidos empiricamente. J para a transferncia de

calor foi considerada uma camada uniforme. Negligencia-se, nesse modelo, o termo

difusivo nas equaes de energia e de massa para o ar.

Ahrens e Villela, em 1996 [2], usaram dois modelos de secadores comerciais, um

intermitente lento, com a temperatura do ar de secagem a 60oC e a 65oC e outro

rpido a 50oC, para avaliar a reduo do grau de umidade de 20 para 13% e sua

influncia na qualidade fisiolgica das sementes de tremoo azul. Foram realizados

testes de germinao e envelhecimento artificial, aps a secagem, aos trs e seis meses

de armazenamento. Segundo os autores desse trabalho, os testes de germinao e

envelhecimento artificial no detectaram diferenas significativas entre a qualidade

das sementes secadas nos secadores artificiais e daquelas secadas sombra, sendo

que a qualidade fisiolgica das sementes de tremoo no afetada pela secagem nos

diferentes secadores.

Em trabalho mais recente, Ahrens et al. [3] avaliaram a qualidade fsica e fisi-

olgica das sementes de trigo em funo da utilizao de gs liquefeito de petrleo

(GLP) na secagem estacionria e determinaram a curva de secagem em comparao

secagem estacionria em estufa. Sementes de trigo, com teor de gua inicial de

15, 3%, foram secas at 12, 6% em um secador. De acordo com a concluso dos

autores, os resultados dos testes de germinao e vigor mostram a possibilidade de

utilizao do gs liquefeito de petrleo como combustvel na secagem estacionria

de sementes de trigo.

Liu et al., em 1997 [41] [42] [43], apresentaram um modelo estocstico para

secagem de gros em fluxo cruzado para avaliar a distribuio da umidade, a tem-

peratura do ar e a taxa do fluxo de ar em uma amostra de milho. Em trabalho

posterior, os mesmos autores apresentam um controlador automtico do processo de

secagem [40].

Oliveira e Haghighi em 1998 [57] [58] usaram um modelo baseado nas equaes

10

propostas por Luikov para descrever a transferncia de calor e massa dentro do gro

e as equaes de Navier-Stokes para o escoamento externo. Resolveram o sistema de

equaes obtido, usando elementos finitos, considerando o fluxo convectivo externo

laminar, escala de comprimento caracterstico da secagem mdia muito menor que

a do fluxo externo, a interface entre os dois domnios sem espessura e com equi-

lbrio instantneo em toda a interface para cada espao de tempo. Nas simulaes

apresentadas nestes trabalhos, os autores consideraram duas situaes, a de um e

de dois gros esfricos sujeitos a um escoamento de ar, analisando a influncia da

velocidade do ar sobre a variao do teor de umidade do gro.

Marinos-Kouris et al. [48] abordam a secagem de gros como um sistema com-

plexo, considerando o planejamento e o projeto de sistemas de secagem. Em seu

trabalho utilizam modelos matemticos com a finalidade de obter o controle da tem-

peratura e da umidade do ar, anlise do dimensionamento da estrutura, condies

de operao, custos de operao e o desempenho dos equipamentos. Um software

foi desenvolvido para fornecer informaes sobre cada bloco do sistema, isto , sobre

o funcionamento do secador, dimensionamento e custos, avaliao econmica, etc,

na tentativa de otimizar cada solicitao do projetista.

Reis e Carroci [75] fizeram uma anlise do consumo de energia para diferentes

tipos de secadores. Fizeram tambm comparaes de resultados obtidos atravs de

modelos matemticos com dados experimentais medidos em secadores de laboratrio

para secagem de amido de mandioca.

Mhimid et al., em 1999 [51] [52], analisaram a secagem em leito profundo em

uma dimenso com fluxo vertical de ar quente, estando as paredes do secador su-

jeitas s condies de Neumann e de Dirichlet. Consideraram, ainda, dois modelos

matemticos para a transferncia de calor: o modelo de equilbrio local, onde o ar

e o gro so considerados ter a mesma temperatura para um mesmo volume de

controle, e o modelo de no equilbrio local, onde considerada a variao entre a

temperatura do ar e do gro. As equaes so resolvidas com o mtodo de volumes

finitos.

Zhihuai e Chongwen [97] fizeram simulaes buscando otimizar secadores de

gros com fluxo cruzado. Um sistema de equaes diferenciais parciais foi usado

11

para simular a variao da temperatura e da umidade do gro e a otimizao da

funo de consumo de energia. Em seu trabalho os autores concluram que nas

condies de operao, pequenas mudanas na estrutura e nas dimenses do secador

resultam em efeitos significativos na performance do equipamento.

Cavalcanti et al. [15] desenvolveram um programa computacional para a simu-

lao de secagem de vrios produtos em secadores de camada estacionria. Segundo

os autores, o programa desenvolvido apresentou uma simulao satisfatria do pro-

cesso de secagem no intervalo de temperatura entre 40 e 80oC, em secador de camada

estacionria para arroz, caf, feijo, milho, milho branco, soja e trigo.

Rumsey e Rovedo, em 2001 [79], usaram um modelo dinmico bidimensional

para secagem de arroz em secador de fluxo cruzado para avaliar as contribuies de

mudanas na umidade inicial do produto, da temperatura do ar de secagem e do

fluxo dos gros. O modelo matemtico foi resolvido usando um mtodo preditor-

corretor. Analisaram tambm o efeito que a variao da umidade do produto no

incio da cmara de secagem provoca nos valores da umidade no final da cmara ao

longo do tempo.

Khatchatourian et al. [33] [34] adaptaram o modelo de Courtois et al. [19]

para o problema de secagem de gros de soja em leito profundo, considerando o

gro como uma massa homognea. Esse modelo constitudo de um conjunto de

quatro equaes diferenciais parciais, onde o termo de transferncia de massa

obtido a partir de dados experimentais. Consideraram, neste modelo, que a taxa

de variao do teor de umidade ao longo do tempo proporcional a um termo

definido pelo fluxo de massa, calculado com funo da temperatura a partir de

dados experimentais com aproximaes por polinmios de segundo grau. Ainda

neste trabalho foram feitas simulaes com vrios esquemas numricos em diferenas

finitas e os resultados foram comparados com dados experimentais de secagem em

secadores de leito profundo, obtendo uma aproximao razovel para a faixa de

temperaturas avaliada, ou seja, at 65oC, faixa para a qual foi obtida a expresso

de m.

Weber et al. [92] [93] apresentam uma srie de dados experimentais para a

secagem intermitente de gros de soja, comparando-os com simulaes feitas pelo

12

modelo apresentado por Khatchatourian et al. [33] [34].

Borges, em 2002 [9], fez novas simulaes usando o mesmo modelo sugerido em

[33]. Alm disso apresenta dados experimentais, com temperaturas do ar de secagem

chegando at 110oC com secagem em camadas finas. O modelo usado apresenta boa

concordncia com os dados experimentais para temperaturas baixas, porm para

temperaturas elevadas surgem diferenas significativas entre os valores calculados e

os experimentais.

Srivastava e John, em 2002 [86], adaptaram as equaes de um modelo de

secagem em camadas finas para obter os valores da umidade do ar e a temperatura

do ar e dos gros em leito profundo considerando variaes da altura do secador. Um

esquema numrico implcito e o mtodo de Runge-Kutta foram usados na soluo

das equaes envolvidas.

Em 2003, Hao e Tao [29] apresentaram um modelo matemtico tridimensional

para descrever a transferncia de calor devido a um fluxo de ar em um meio granular.

Eles consideraram a conveco forada na direo horizontal. Simulaes numricas

tambm foram apresentadas para a soluo das equaes governantes. O modelo

prev transferncia de calor em duas fases (lquido e slido) e caractersticas de

mudana de fase. A soluo das equaes do modelo foi feita por um esquema em

diferenas finitas.

Tirawanichakul et al. [89] usaram um modelo baseado no balano de energia e

massa, com uma equao emprica exponencial para descrever o teor de umidade

dos gros de arroz. O modelo foi aplicado para temperaturas do ar de secagem em

torno de 30oC. Neste trabalho tambm foram realizados testes experimentais para

verificar a influncia da temperatura de secagem e da umidade na manuteno da

qualidade do produto.

Cunha et al. [22] [49] estudaram a viabilidade de secar caf cereja descascado

pela aplicao de microondas para auxiliar na secagem convencional a ar quente, a

fim de reduzir o tempo de processamento, com o aumento do rendimento industrial e

da qualidade do produto perante os mtodos tradicionais de secagem. Dois ciclos de

secagem foram testados: o processo em secador rotativo convencional a ar quente,

com umidade do produto reduzida de 45 50 a 11 13% (base mida) e o processo

13

subdividido em uma primeira etapa de pr-secagem convencional a ar quente de

45 50 a 30%, seguida de etapa de secagem final por ar quente e microondas,com reduo de 30 para 11 13% de umidade do produto. Segundo os autores dotrabalho, o tempo global do primeiro para o segundo ciclo de secagem foi reduzido

significativamente.

Aguerre e Suarez [1], em 2004, afirmaram que a secagem de slidos midos en-

volve processos simultneos de transferncia de calor e massa bastante complicados e

que uma srie de simplificaes normalmente so usadas para reduzir a complexidade

dos modelos que envolvem esses fenmenos. Eles usaram um modelo unidimensional

isotrmico baseado na equao de difuso de gua em gros e outros produtos com

amido. A variao do teor de umidade foi dada pela Lei de Fick, onde o coeficiente

de difuso de massa era calculado como funo do teor de umidade.

Resio et al. [76] tambm usaram um modelo de secagem onde a variao do

teor de umidade era dado pela Lei de Fick. Eles apresentaram uma outra expresso

para o coeficiente efetivo de difuso. Segundo os autores, este coeficiente funo

da temperatura e da energia de ativao para a difuso, que calculada a partir da

equao de Clausius-Clapeyron. Os resultados apresentados por eles referem-se a

temperaturas de secagem na faixa de 40oC at 70oC.

Gastn et al. [27] fizeram simulaes com o modelo baseado na equao de

difuso de massa como nos trabalhos citados de Aguerre e Suarez [1] e Resio et

al. [76] para os casos de secagem de gros de trigo a temperaturas constantes e

variveis. Avaliaram tambm a influncia da geometria considerada para o gro

(esferas e elipsides) e a influncia de variaes nas condies de contorno. As

equaes do modelo foram resolvidas numericamente pelo esquema em diferenas

finitas por Crank-Nicolson. Propuseram uma expresso para o clculo do coeficiente

efetivo de difuso como funo da temperatura e do teor de umidade inicial dos gros

para temperaturas na faixa de 35oC at 70oC.

Fregolente et al. [26] apresentaram um estudo com a finalidade de estimar a

condutividade trmica efetiva radial e o coeficiente efetivo de transferncia de calor

entre a parede e o leito de secagem de vrios gros. Para evitar a interferncia do

transporte de massa, os autores estimaram os parmetros trmicos efetivos no final

14

da secagem, quando o teor de umidade dos gros que compem o leito alcana valores

de equilbrio, deixando de existir a transferncia de massa, persistindo apenas a

transferncia de calor em regime permanente. Em seu trabalho, os autores afirmam

que dentre os gros estudados - soja, feijo, milho e trigo - a soja apresenta os

menores valores de condutividade efetiva radial, enquanto o trigo apresenta o maior

valor do coeficiente de transferncia de calor parede-leito.

Meng e Hu, em 2005 [50], propuseram um modelo para avaliar o resfriamento

natural de uma camada de um meio poroso e mido depositado num telhado, bem

como o processo de vaporizao envolvido.

Prachayawarakorn et al. [71], num trabalho em que discutem a manuteno

da qualidade na secagem a altas temperaturas, tambm apresentam uma expresso

para o coeficiente efetivo de difuso como funo apenas da temperatura.

Sarat e Sakamon [80] investigaram experimentalmente os efeitos de parmetros

envolvidos no processo de secagem de gros de soja, tais como a velocidade e a

temperatura do ar na entrada do leito de secagem, altura do leito, durao do aque-

cimento, no processo de secagem e na manuteno das caractersticas do produto.

Marini et al. [47] avaliaram os efeitos imediatos resultantes da combinao da

temperatura do ar na secagem intermitente e da relao de intermitncia sobre

a estabilidade de gros de aveia armazenados pelo sistema convencional por doze

meses. As avaliaes foram realizadas periodicamente a partir da instalao dos ex-

perimentos sendo determinados o teor de lipdios, o ndice de acidez, a composio

em cidos graxos, a atividade residual das enzimas lipase e peroxidase. Os autores

concluram que a secagem intermitente com temperaturas do ar de at 105oC no

provoca inativao enzimtica em gros de aveia. Ainda de acordo com este tra-

balho, a diminuio do teor de lipdios e o aumento do ndice de acidez durante o

armazenamento so maiores em gros secos em condies mais drsticas.

Ribeiro et al. [77] avaliaram o efeito da secagem nas propriedades fsicas dos

gros de soja, tais como a massa especfica real e aparente e a contrao volumtrica

dos gros durante o processo de secagem. Com base em dados experimentais, os

autores afirmaram que a reduo do teor de gua na faixa entre 0, 31 e 0, 15 (base

seca) provoca diminuio linear da porosidade e aumento das massas especficas

15

aparente e real.

Petry et al. apresentam, em seus trabalhos [62] a [68], um modelo para descrever

os processos de transferncia de calor e massa em meios granulares baseado nas

equaes de Navier-Stokes. Os termos fonte foram obtidos a partir do balano de

massa e de energia para o ar e para os gros. Para o termo fonte da equao de

transporte de massa considerou-se um coeficiente de difuso de massa entre o gro e

o ar e obteve-se uma expresso para o clculo desse coeficiente de difuso a partir de

dados experimentais. O coeficiente de difuso de massa entre o gro e o ar proposto

calculado como funo da velocidade do ar, da temperatura e da diferena entre

o teor de umidade do gro e o teor de umidade de equilbrio. Estes trabalhos esto

relacionados ao estudo apresentado nesta tese.

Uma boa parte dos trabalhos encontrados na literatura sobre transferncia de

calor e massa usam modelos baseados em um conjunto de equaes diferenciais

parciais. Muitas simplificaes ou modelos semi-empricos so utilizados no intuito

de facilitar a soluo dos sistemas.

Para resolver numericamente um conjunto de equaes diferenciais parciais, es-

tas podem ser discretizadas por inmeros mtodos, dentre eles: diferenas finitas,

volumes finitos e elementos finitos. Nesta tese, a soluo numrica do problema ser

feita em diferenas finitas.

Feita uma breve reviso bibliogrfica sobre os processos de transferncia de calor

e massa, apresentamos, na prxima seo, os objetivos para o desenvolvimento da

presente tese.

1.4 Objetivos do trabalho

Nesta seo apresentamos os principais objetivos norteadores do trabalho. Eles

foram subdivididos em objetivos gerais e especficos.

1.4.1 Objetivos gerais

Como objetivos gerais para o desenvolvimento desta tese destacamos:

apresentar um modelo matemtico para descrever os processos de transferncia

16

de calor e massa em meios granulares;

fazer um comparativo entre solues analticas e numricas para um problemafsico to prximo quanto possvel do problema real;

validar o modelo atravs de comparaes com dados experimentais;

verificar a influncia de alguns parmetros adimensionais nos processos detransferncia de calor e massa.

Esses objetivos gerais sero alcanados atravs da realizao de outros objetivos

mais especficos, que so apresentados na seqncia.

1.4.2 Objetivos especficos

Como objetivos especficos para a realizao do trabalho nos propomos a:

obter um sistema de equaes governantes para o modelo;

obter uma expresso para calcular o coeficiente convectivo de transferncia demassa entre o ar e os gros;

desenvolver cdigos computacionais em FORTRAN 90 para a obteno dassolues numricas;

encontrar uma soluo analtica para o problema de transferncia de calor e/oumassa no homogneo com os termos convectivo e difusivo e condies iniciais

e de contorno no homogneas;

comparar valores numricos com dados experimentais para temperaturas doar de secagem na faixa de 55oC a 110oC e velocidade do ar de secagem na

faixa de 0, 5ms1 a 4, 75ms1;

comparar valores numricos com dados experimentais para o processo de secagemintermitente;

fazer simulaes numricas para vrios valores dos parmetros adimensionaisenvolvidos no problema;

17

fazer simulaes do problema de secagem para o caso bi-dimensional com afinalidade de verificar a influncia da posio horizontal dos gros nos valores

da temperatura e do teor de umidade dos gros.

1.5 Roteiro do trabalho

Apresentamos nesta seo um roteiro do que ser discutido nos prximos cap-

tulos.

No captulo 2 define-se o problema a ser abordado e as principais hipteses ou

simplificaes usadas. Obtm-se as equaes governantes do modelo atravs de um

balano de massa e de energia para o ar e as esferas slidas. Uma equao proposta

para o clculo do coeficiente de difuso de massa entre o ar e os gros. Faz-se tambm

a adimensionalizao das equaes governantes e as condies iniciais e de contorno

do problema so apresentadas.

Formulado o problema, no captulo 3 apresenta-se o esquema a ser usado para

a obteno da soluo numrica. Faz-se um estudo da consistncia e da ordem no

tempo e no espao do esquema usado para as equaes de balano de energia e umi-

dade do ar para o caso unidimensional. Usando a transformada discreta de Fourier,

as condies de estabilidade e de convergncia do esquema so estabelecidas. Ainda,

neste captulo, apresenta-se uma soluo analtica para essa equao comparando-a

com a soluo numrica para uma funo teste no termo fonte.

No captulo 4 so apresentados os resultados numricos. Comparaes com dados

experimentais de secagem de gros de soja para amplas faixas de variao da tem-

peratura, da velocidade do ar de secagem e da umidade inicial dos gros tambm so

realizadas. Simulaes do processo intermitente de secagem de gros de soja tam-

bm so realizadas neste captulo, comparando-se os valores resultantes do modelo

com dados experimentais encontrados na literatura. Na seqncia, apresentamos

simulaes para o processo de secagem, considerando o caso em duas dimenses.

Faz-se ainda uma avaliao da influncia de parmetros adimensionais envolvidos

nos processos de transferncia de calor e massa, como os nmeros adimensionais de

Reynolds e de Eckert.

Captulo 2

Equaes Governantes

Neste captulo apresentado o conjunto de equaes governantes do modelo de-

senvolvido, juntamente com suas respectivas demonstraes. Na seqncia, so

introduzidas as variveis adimensionais que permitem a adimensionalizao das

equaes governantes. Por fim, so estabelecidas as condies iniciais e de contorno

para o problema.

A cmara de leito fixo considerada nesta tese consiste de um prisma reto de

base retangular dentro do qual esto depositadas esferas porosas, conforme mostra

a figura 2.1. Considera-se que o processo de transferncia de calor e massa inicia

quando comea a passagem de ar, geralmente quente, no sentido vertical entre as

esferas. Nesta situao, ocorre transferncia de calor do ar para os gros (no caso

dos processos de secagem de gros) e transferncia de massa (de gua na forma de

vapor) das esferas para o ar.

O modelo matemtico aqui apresentado consiste de num conjunto de equaes

diferenciais parciais que descrevem a distribuio de temperatura e da umidade do

ar e das esferas no interior da cmara. Para a formulao matemtica algumas

hipteses so adotadas, conforme segue:

a porosidade no interior da cmara uniforme;

no h equilbrio trmico entre as esferas e o ar no interior da cmara;

a temperatura no interior de cada esfera uniforme;

a transferncia de calor do ar para as esferas ocorre por conveco;

18

19

Figura 2.1: Esquema da cmara de Secagem

a transferncia de massa das esferas para o ar acontece por conveco na formade vapor;

a transferncia de calor no ar ocorre pelos processos de conduo e de adveco;

a transferncia de massa de vapor no ar ocorre por difuso e por adveco;

as paredes da cmara esto termicamente isoladas;

a velocidade e a temperatura do ar so constantes na entrada da cmara.

Com base nas hipteses acima expostas, as equaes governantes do problema

proposto so apresentadas na seo que segue.

2.1 Deduo das equaes governantes

Para descrever os processos de transferncia de calor e massa num meio granular

importante lembrar alguns conceitos referentes s variveis envolvidas no problema.

Esses conceitos so apresentados nas definies que seguem.

20

Definio 2.1 Define-se por teor de umidade da esfera em base seca (X) a razo

entre a massa de gua presente na esfera e a massa de matria seca da esfera, isto

:

X =mlms

(2.1)

Definio 2.2 Define-se por teor de umidade do ar em base seca (Y ) a razo entre

a massa de gua presente no ar e a massa de gs (ar) seco, isto :

Y =mlmg

(2.2)

Por motivo de simplificao das notaes, faremos a demonstrao das equaes

para o caso bidimensional; elas podem ser estendidas para o caso tridimensional.

Para a deduo do modelo matemtico cosidera-se um volume de controle conforme

mostra a figura 2.2.

Figura 2.2: Volume de controle

O conjunto de equaes governantes do presente modelo inclui a conservao de

massa, para o ar e o slido, e a conservao de energia para o ar e esferas contidas no

interior da cmara. Alm disso, o fluxo do ar descrito pela equao da continuiade,

pelas equaes da quantidadedo movimento e pela equao de Poisson.

21

2.1.1 Equao de conservao de massa para o ar

A equao de conservao de massa segue do balano de massa no interior do

volume de controle (Figura 2.2). Consideremos u = ui + vj . Assim resulta paraa espcie i:

it

= (uii)x

(vii)y

+ mi (2.3)

o que equivale a:

it

= (jx,i + iu)x

(jy,i + iv)y

+ mi (2.4)

onde mi representa a taxa de gerao de massa da espcie i e (uiu) a velocidadede difuso de espcie i na direo x. O produto i(ui u) o fluxo mssico porunidade de volume da espcie i na direo x relativo ao movimento da mistura.

Denominando essa quantidade por fluxo de difuso [7] podemos escrever:

jx,i = i(ui u) e jy,i = i(vi v) (2.5)

Fazendo ji = jx,ii + jy,ij temos:it

= i .u u .i .ji + mi (2.6)

Substituindo a equao (2.2) em (2.6) podemos escrever:

(gY )

t= gY .u u .(gY ) .ji + mi (2.7)

ou

gY

t+ Y

gt

= gY .u gu .(Y ) Yu .(g) .ji + mi (2.8)

o que pode ser escrito na forma:

gY

t+ Y

[gt

+ g .u +u .(g)

]= gu .(Y ) .ji + mi (2.9)

Considerando a equao de conservao de massa a equao (2.9) resulta em:

gY

t= gu .Y .ji + mi (2.10)

Da Lei de Fick segue que ji = Di [7], onde D a difusividade mssica e ia concentrao mssica da espcie i. Segue, portanto, que jl = D(gY ) e assima equao (2.10) toma a forma:

Y

t= u .Y + D2Y + m

g(2.11)

22

para D e g considerados constantes.

Do princpio da conservao de massa, temos que a massa de gua transferida

ao ar igual massa que sai das esferas. Portanto, a taxa de gerao de massa por

unidade de volume dada por:

m = 1Vc

mlt

(2.12)

o que equivale a:

m = ahm(1 )

C (2.13)

onde a a razo entre a rea e o volume de uma esfera, hm o coeficiente convectivo

de transferncia de massa entre o gro e o ar, a porosidade do meio granular, Vc

o volume e C = (sX gY ) a variao de concentrao mssica entre as esferase o ar.

Finalmente, a equao de balano da umidade do ar, para D, hm e g constantes,

toma a forma:

Y

t= u .Y + D2Y + a(1 )

ghm(sX gY ) (2.14)

2.1.2 Equao de conservao de massa para as esferas

Das equaes (2.12) e (2.13) segue que:

mlt

= Vcahm (1 ) C (2.15)

Substituindo (2.1) na equao (2.15) resulta a equao de balano de massa para

as esferas:X

t= a

shm(sX gY ) (2.16)

onde os subscritos s, l e g representam o slido, o lquido e o gs (ar), respectiva-

mente.

2.1.3 Equao de conservao de energia para o ar

De forma semelhante ao que foi feito para a obteno da equao de conservao

de massa para o ar, o balano de energia para o volume de controle da figura 2.2

23

resulta em:Tgt

= u .Tg + 2Tg + qgCpg

(2.17)

onde Tg a temperatura do ar, a difusividade trmica e Cpg o calor especfico do

ar presso constante. A taxa de gerao de energia por unidade de volume, no

interior do volume de controle, q, dada por:

q =1

Vc

dq

dt(2.18)

Supondo que toda energia na forma de calor que deixa o ar contido no interior do

volume de controle seja transferida para as esferas atravs do processo de conduo

trmica, segue da lei de resfriamento de Newton que:

dq

dt= hAs(Ts Tg)Vc

Vs(1 ) (2.19)

onde h o coeficiente convectivo de transferncia de calor entre o ar e as esferas,

As a rea da superfcie de uma esfera, Ts a temperatura das esferas e VcVs (1 ) onmero de esferas contidas no interior do volume de controle. Assim, temos:

q = a1

h(Ts Tg) (2.20)

Substituindo (2.20) na equao (2.17) resulta a equao de balano de energia

para o ar, na forma:

Tgt

= u .Tg + 2Tg + agCpg

1

h(Ts Tg) (2.21)

2.1.4 Equao de conservao de energia para as esferas

Uma vez que o calor que entra na esfera usado para vaporizar a gua que deixa

o gro na forma de vapor e para o aquecimento da esfera (massa seca + gua),

podemos escrever: [34]:

hAs(Ts Tg) = mlCpldTsdt

+ msCpsdTsdt

+ hmCAsLv (2.22)

onde o termo hmCAs representa a massa de gua que est saindo pela superfcie

do gro e Lv o calor latente de vaporizao.

Note que ml = msX e ms = sVs, o que implica em:

dTsdt

=Ash(Ts Tg) AsLvhmC

sVs(XCpl + Cps)(2.23)

24

Considerando que as esferas encontram-se estticas no interior da cmara, temosdTsdt

= Tst

e, como conseqncia, a equao (2.23) toma a forma:

Tst

=ah(Ts Tg) aLvhm(sX gY )

s(XCpl + Cps)(2.24)

Os valores da difusividade mssica D, do coeficiente convectivo de transferncia

de massa entre o gro e o ar hm e do coeficiente convectivo de transferncia de calor

entre o ar e o gro h foram considerados constantes na deduo das equaes; porm,

eles so recalculados a cada iterao quando da aplicao do esquema numrico,

considerando D T 1.5g [31].Para o coeficiente convectivo de transferncia de massa entre as esferas e o ar

desenvolvemos a expresso:

hm =A

|u | T 1.5s X(X Xe)n

H(2.25)

onde A e n foram calculados a partir de dados experimentais. Para obter esses

termos foram feitas simulaes e seus valores ajustados at conseguir a aproximao

desejada. Xe o teor de umidade de equilbrio dos gros, sendo calculado como

funo da temperatura e da umidade relativa do ar e H a altura do leito.

Para desenvolver a equao (2.25) considerou-se, inicialmente, a proporcionali-

dade do coeficiente de difuso com o termo T 1.5, conforme sugerido em [31]. O fato

da transferncia de massa ser maior no incio do processo, quando o teor de umidade

dos gros mais elevado, associado com a definio do teor de umidade de equilbrio,

segundo a qual o processo de transferncia de massa cessa quando o gro atinge a

umidade de equilbrio, sugere uma proporcionalidade do coeficiente de difuso com

o termo (X Xe)n, ficando o expoente n (n 1) para ser obtido a partir de dadosexperimentais.

Para o termo de dependncia da velocidade usa-se a analogia de Chilton-Colburn

[18] [17], uma generalizao da analogia de Reynolds, segundo a qual em processos

convectivos de transferncia simultnea de calor e de massa temos:

h

Cp00U0Pr2/3 = jH = jM =

hmU0

Sc2/3

sendo esta expresso vlida para 0, 6 < Sc < 2500 e 0, 6 < Pr < 100, faixas nas

quais nosso problema se encaixa. Na expresso anterior jH e jM so os fatores de

Colburn para a transferncia de calor e massa, respectivamente.

25

Alm disso, segundo Sissom e Pitts [83] , o fator de Colburn em um meio granular

proporcional a Re, com 0, 41 0, 51. Assim, como Pr e Sc independemda velocidade e Re proporcional velocidade do ar, segue que o coeficiente de

transferncia de massa proporcional a | u |(1). As comparaes dos valoresobtidos numericamente com dados experimentais mostraram que = 0, 5 aproxima

bem essa expresso. J a constante de proporcionalidade A tambm definida

experimentalmente.

Analogamente ao coeficiente convectivo de transferncia de massa, o coeficiente

convectivo de transferncia de calor entre o ar e os gros tambm considerado

proporcional a| u |.

2.1.5 Equaes para o fluxo do ar no meio granular

Para descrever o fluxo do ar entre as esferas consideramos o conjunto de equaes

de movimento conforme segue:

Equao de continuidade: .u = 0 (2.26)

Equao da quantidade de movimento na direo x:

u

t= u .u 1

g

P

x+ 2u (2.27)

Equao da quantidade de movimento na direo y:

v

t= u .v 1

g

P

y+ 2v (2.28)

Equao da quantidade de movimento na direo z:

w

t= u .w 1

g

P

z+ 2w (2.29)

Uma vez obtido o conjunto de equaes que compe o modelo ser feita, na prx-

ima seo, a adimensionalizao dessas equaes. As foras de campo nas equaes

acima so desconsideradas, devido a pouca influncia das mesmas nos processos

estudados.

26

2.2 Adimensionalizao das equaes governantes

Com o objetivo de obter os parmetros adimensionais envolvidos nos problemas

de transferncia de calor e de massa, bem como de reduzir o domnio do problema

para o intervalo [0, 1] ser feito, na seqncia, a adimensionalizao das equaes

governantes do modelo. Para tal procedimento usa-se as seguintes variveis adimen-

sionais:

u = uU0, v = v

U0, w = w

U0, x = x

Lc, y = y

Lc, z = z

Lc, T = TTamb

TarTamb , t = tU0

Lc,

X = XX0

, Y = YY0, g =

g0, s =

s0, D = D

D0, hm =

hmLcD0

, = 0, Cpw =

CpwCp0

,

Cps =CpsCp0

, h = hLcK0

, Lv =LvU20

, a = aLc e P = PPatm0onde Lc o comprimento caracterstico, Tamb a temperatura do ar ambiente, Tar a

temperatura do ar na entrada da cmara, X0 o teor de umidade inicial das esferas,

Y0 o teor de umidade inicial do ar, 0 a massa especfica do ar seco e U0 a velocidade

do ar na entrada da cmara.

Dessa forma, as equaes (2.14), (2.16), (2.21), (2.24), (2.26), (2.27), (2.28) e

(2.29) podem ser escritas, respectivamente, conforme segue:

Y

t= uY + D

ReSc2Y + a

(1 )gY0ReSc

hm(sX0X

gY0Y )

(2.30)

X

t= a

sX0ReSchm

(sX0X

gY0Y )

(2.31)

T gt

= uT g +

RePr2T g +

a(1 )gCpgRePr

h(T s T g

)(2.32)

T st

= EcReSc

aLvs(X0XCpw + Cps

)hm

(sX0X

gY0Y )

1RePr

a

s(X0XCpw + Cps)

h(T s T g

)(2.33)

.u = 0 (2.34)

u

t= u.u P

x+

1

Re2u (2.35)

27

v

t= u.v P

y+

1

Re2v (2.36)

w

t= u.w P

z+

1

Re2w (2.37)

Para avaliar a presso no interior da cmara usa-se a equao de Poisson:

2P = t

(u

x+

v

y+

w

z

)

x

(u.u

)

y(u.v

)

z(u.w

)

+1

Re

[

x(2u

)+

y(2v

)+

z(2w

)](2.38)

onde temos os seguintes parmetros adimensionais ou nmeros de:

Reynolds:

Re =U0Lc

Schmidt:

Sc =

D0

Prandtl:

Pr =

0

Eckert:

Ec =U20

Cp0(Tar Tamb)As faixas para as quais esses parmetros so considerados nesta tese so: Re =

200 a 2000, Sc = 0.7 a 2, Pr = 0.7 a 2 e Ec = 105 a 5x105. Essas faixas

correspondem aos valores referentes s variaes da temperatura do ambiente e

do ar de secagem, da velocidade do ar na entrada da cmara, do comprimento

caracterstico adotado (dimetro mdio de um gro) e das propriedades fsicas do ar

obtidas na literatura [31].

Note que nas equaes (2.30-2.38) foram usadas as notaes que seguem:

u = u

i + v

j + w

k

. =

x+

y+

z

28

2 = 2

x2+

2

y2+

2

z2

Para a soluo das equaes diferenciais anteriormente obtidas necessrio esta-

belecer as condies iniciais e de contorno para as variveis envolvidas, o que feito

na prxima seo.

2.3 Condies iniciais e de contorno

A implementao apropriada de condies iniciais e de contorno de suma im-

portncia para resolver um conjunto de equaes diferenciais. Neste trabalho algu-

mas hipteses so adotadas para a obteno dessas condies.

No incio das simulaes a temperatura do ar e das esferas, o teor de umidade

do ar e das esferas, as componentes do vetor velocidade e a presso so consideradas

conforme segue:

T s (x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]

T g (x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) (0, 1] [0, 1] [0, 1]

X(x, y, z, 0) = 1 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]

Y (x, y, z, 0) = 1 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]

u(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) (0, 1] [0, 1] [0, 1]

v(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]

w(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) [0, 1] [0, 1] [0, 1]

P (x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) (0, 1] [0, 1] [0, 1]

Para as condies de contorno na direo x considera-se:

T g (0, y, z, t) = 1 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0

T gx

(1, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0

Y (0, y, z, t) = 1 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0Y

x(1, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0

29

u(0, y, z, t) = 1 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0v(0, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0w(0, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0P (1, y, z, t) = 0 para (y, z) (0, 1) (0, 1) e t > 0

Nas paredes da cmara, isto , para y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1, as variveis

T g , Y e P satisfazem as condies de contorno do tipo Neumann, ou seja:

n = 0

onde n o vetor normal superfcie em questo; ainda nas paredes as componentesdo vetor velocidade so:

u = v = w = 0

A presso P em x = 0 obtida por extrapolao usando a aproximao que

segue:

P n+10,j,k = 0.75Pn+11,j,k + 0.25P

n+12,j,k

conforme mostra a figura 2.3.

Figura 2.3: Esquema da extrapolao em x = 0 e x = 1

J as componentes do vetor velocidade u, v e w em x = 1 so obtidas por

extrapolao usando a expresso:

n+1I,j,k = 0.75n+1I1,j,k + 0.25

n+1I2,j,k

Esta extrapolao feita de forma que as distribuies da presso e da velocidade

vo se ajustando por toda a cmara, uma vez que seus valores no eram conhecidos

nestes pontos.

Uma vez obtido o modelo, a adimensionalizao das equaes governantes e o

estabelecimento das condies iniciais e de contorno, passa-se para o procedimento

de soluo, o que feito no prximo captulo.

Captulo 3

Procedimento de soluo

Neste captulo ser apresentado um esquema numrico para a soluo das equaes

que compem o modelo apresentado no captulo anterior, acompanhado da verifi-

cao da ordem de convergncia do mesmo na discretizao do tempo e do espao.

Discute-se ainda a consistncia, a estabilidade e a convergncia do esquema apresen-

tado para o caso unidimensional. Por fim, obtm-se uma soluo analtica para as

equaes de balano de energia e de massa no ar. Usando funes teste para o termo

fonte, faz-se comparaes entre a soluo exata e a soluo numrica dessas equaes

com o objetivo de aumentar a confiabilidade ao esquema numrico utilizado.

3.1 Esquema numrico

Para resolver numericamente as equaes do modelo matemtico apresentado,

optou-se pelo mtodo de diferenas finitas, que um dos mtodos mais antigos apli-

cados soluo numrica de equaes diferenciais, tendo assim literatura bastante

ampla, onde destacamos as obras de Batchelor [6], Hirsch [30], Ozisik [59], Richtmyer

[78], Sod [84] [85], Strikwerda [87], Thomas [88], Zeidler [96] e De Bortoli [24]. Para

avaliar melhor o esquema numrico usado apresentaremos, inicialmente, algumas

definies clssicas da literatura.

30

31

3.1.1 Algumas definies e teoremas

Seja H um espao de Hilbert e seja o problema de evoluo da forma:

encontrar u C0 ([0, T ] ; H ) satisfazendo no sentido fraco (ou forte, se u D(A)):du(t)

dt+ Au(t) = f(t) (3.1)

com condio inicial u(0) = u0, onde u0 H, f L2 ([0; T ] H), por exemplo, e A um operador diferencial com D(A) H [39].

A obteno de um esquema numrico para o problema (3.1) consiste em aproxim-

lo no espao e no tempo. De um lado, quando H um espao de dimenso infinita

devemos substituir A por operadores Ah em um espao de dimenso finita Vh H,onde h > 0 representa o passo de discretizao no espao, tal que dim(Vh) quando h 0.

Por outro lado, devemos discretizar o tempo, isto , escolher uma seqncia

de instantes tn com tn = nt, onde calcularemos a aproximao da soluo. O

problema (3.1) semi-discretizado (no espao) fica ento da forma:

encontrar Uh C0 ([0, T ] ; Vh ) tal que:dUh(t)

dt+ AhUh(t) = fh(t) (3.2)

com condio inicial Uh(0) = u0,h.

Neste trabalho, opta-se pelo operador Ah do mtodo de diferenas finitas, como

j mencionado. Um esquema capaz de calcular Uh Vh como aproximao de Uh(tn)de nvel dois pode ser escrito como:

Un+1h = Ch(t)Unh + tf

nh (3.3)

com condio inicial U0h = U0,h, onde o operador Ch(t) pertence ao espao dos

operadores lineares contnuos em Vh e fnh aproxima fh(tn).

Definio 3.1 O problema (3.1) dito bem posto se sua soluo satisfaz:

suptu(t)H C

[u(0)2H +

t0f(s)2H ds

] 12

(3.4)

e se existe uma projeo Rh de H sobre Vh tal que

limh0

Rhu uH = 0, para todo u H (3.5)

32

Na aplicao de um esquema numrico tambm muito importante a verificao

de sua convergncia quando h e t tendem a zero, isto , se a seqncia {Umh }de solues de (3.3) tende soluo u(t) de (3.1). As definies e resultados a

respeito desse tema, encontrados na literatura [39] e [96], referem-se praticamente

aos casos homogneos, isto , para f(t) 0 o que implica em fnh 0. As definiesapresentadas a seguir consideram essa situao.

Definio 3.2 O esquema (3.1) dito convergente se a condio U0,h u0 quandoh 0; implica em Unh u(t) quando t 0 e n com nt t para todot (0, T ) onde Unh definido em (3.3) e u(t) a soluo de (3.1) para u0 arbitrrio.

O estudo da convergncia de um esquema numrico envolve tambm o estudo da

estabilidade e da consistncia, que so definidos no que segue.

Definio 3.3 O esquema definido em (3.3) dito estvel se existe uma constante

K 1 independente de h e de t tal que :

(Ch(t))n RhL(H) K (3.6)

para todo n e t satisfazendo nt T .

Sendo Rh uma projeo do espao de Hilbert H sobre Vh segue que:

(Ch(t))n Rh = [Ch(t)Rh]

n

Quando um esquema satisfaz as condies de estabilidade independentemente

de h e t dizemos que ele incondicionalmente estvel. Quando a condio de

estabilidade satisfeita apenas mediante algumas condies para h e t, o esquema

dito condicionalmente estvel. Caso contrrio, o esquema considerado incondi-

cionalmente instvel.

Definio 3.4 O esquema (3.3) dito consistente com o problema se existe um

subespao Y H, com Y denso em H tal que para toda u(t), que soluo de(3.1), com u0 Y temos:

limh0

t0sup

t

1

t[u(t + t) Ch(t)Rhu(t)]

H

= 0 (3.7)

33

A expresso (3.7) conhecida como sendo o erro de truncamento. Quando o

operador Ch(t) dado em termos de diferenas finitas, como ser o nosso caso,

podemos verificar o erro de truncamento a partir da expanso em sries de Taylor.

Observao 3.1 Se a soluo u(t) de (3.1) regular ela satisfaz:

limh0

u(t + t) u(t)

t+ Au(t)

H

= 0 (3.8)

Assim, a condio de consistncia pode ser definida por:

limh0

t0

Ch(t)Rhu(t) u(t)

t+ Au(t)

H

= 0 (3.9)

Definio 3.5 O esquema definido por (3.3) de ordem q1 em relao a h e de

ordem q2 em relao a t, se q1 e q2 so os maiores inteiros tais que podemos

encontrar um subespao Y H com Y denso em H com:

supt

u(t + t) Ch(t)Rhu(t)

t

H

= O (hq1 + tq2) (3.10)

para toda u(t) soluo de (3.1) com u0 Y .

Teorema 3.1 (Teorema de Equivalncia de Lax) Suponha que o problema (3.1)

bem posto e aproximado pelo esquema (3.3) que assumimos ser consistente. En-

to o esquema convergente se e somente se ele estvel.

A demonstrao do Teorema de Equivalncia de Lax encontra-se nas referncias

Lions [39] e Zeidler [96]. Para analisar a estabilidade do esquema usado para a

soluo numrica do modelo matemtico usamos o mtodo de anlise de Fourier.

Para tanto usaremos a transformada discreta de Fourier, definida conforme segue

[88]:

Definio 3.6 A transformada discreta de Fourier de uma seqncia {uk} l2 afuno u L2([, ]) definida por:

u() =12

k=eikuk (3.11)

onde l2 e L2([, ]) so os espaos de Hilbert definidos por:

l2 = {{uk} :(

k

|uk|2) 1

2

< }

34

e

L2([, ]) ={

u :(

u2 dx

) 12

< }

Lema 3.1 A sequncia {unk} estvel em l2 se e somente se a sequncia {un} estvel em L2([, ]).

A demonstrao desse lema encontrada em Thomas [88].

Os esquemas que sero usados na soluo numrica do problema so baseados em

discretizaes em diferenas finitas. As aproximaes usadas para essas discretiza-

es so apresentadas na seo que segue.

3.1.2 Aproximaes em diferenas finitas

Para fazer a discretizao temporal usaremos diferenas upwind, isto , a derivada

parcial de em relao ao tempo aproximada usando o valor de nos instantes

tn e tn+1, conforme mostra a figura 3.1:

Figura 3.1: Esquema de aproximaes em diferenas finitas para o tempo e o espao

no caso 1-D

Assim, a aproximao da derivada em relao ao tempo fica, de acordo com

Anderson et al. [4] e Mitchell [54]:

t

n+1i,j,k ni,j,k

t

J para a discretizao espacial usamos diferenas centradas, isto , a derivada

parcial de em relao x, por exemplo, aproximada usando o valor de nas

35

posies xi1 e xi+1. Assim temos para as derivadas de primeira ordem:

x

ni+1,j,k ni1,j,k

2x

y

ni,j+1,k ni,j1,k

2y

z

ni,j,k+1 ni,j,k1

2z

e para as derivadas de segunda ordem:

2

x2

ni+1,j,k 2ni,j,k + ni1,j,k

(x)2

2

y2

ni,j+1,k 2ni,j,k + ni,j1,k

(y)2

2

z2

ni,j,k+1 2ni,j,k + ni,j,k1

(z)2

Dessa forma, a equao (2.30) para o caso unidimensional, por exemplo, pode

ser aproximada conforme:

Y n+1i = Yni

ut2x

(Y ni+1 Y ni1

)

+Dt

(x)2ReSc

(Y ni+1 2Y ni + Y ni1

)

+at(1 )gY0ReSc

Ds(sX0X

ni gY0Y ni

)(3.12)

Embora alguns autores afirmem que para problemas hiperblicos no se deva

usar diferenas centradas, neste trabalho estas foram usadas obtendo sucesso na

convergncia, conforme ser mostrado na prxima seo.

3.1.3 Anlise da consistncia, estabilidade e convergncia

Nesta seco apresenta-se um estudo do comportamento do esquema obtido

ao substituir as diferenas finitas definidas na seco anterior. Com o objetivo de

simplificar as notaes considera-se o caso unidimensional no momento dessa anlise.

Note que, assim, as equaes (2.30) e (2.32) podem ser escritas na forma:

t= a

2

x2+ b

x+ c + f(x, t) (3.13)

com = (x, t), onde temos que a > 0, b < 0 e c < 0.

36

J as equaes (2.31) e (2.33) tomam a forma:

t= c1 + f1(x, t) (3.14)

com c1 < 0.

Substituindo as aproximaes da seco anterior na equao (3.13) temos o es-

quema que segue:

n+1i nit

=a

(x)2[ni+1 2ni + ni1]

+b

2x[ni+1 ni1] + cni + f(xi, tn) (3.15)

onde ni representa a aproximao de (xi, tn) para xi = ix e tn = nt. Expandindo

n+1i em uma srie de Taylor em torno do ponto (xi, tn) temos:

n+1i = ni + t

nit

+t2

2!

2nit2

+ ...

Isso implica em:

n+1i nit

=1

t

[t

nit

+ O(t2

)]=

nit

+ O (t) (3.16)

A expanso de ni+1 em torno do ponto (xi, tn) toma a forma:

ni+1 = ni + x

nix

+x2

2!

2nix2

+x3

3!

3nix3

+x4

4!

4nix4

+ ...

enquanto que ni1 em torno do ponto (xi, tn) fica:

ni1 = ni x

nix

+x2

2!

2nix2

x3

3!

3nix3

+x4

4!

4nix4

...

Das duas ltimas expanses segue que:

ni+1 ni12x

=1

2x

[2x

nix

+2x3

3!

3nix3

+ O(x5

)]

=nix

+ O(x2

)(3.17)

eni+1 2ni + ni1

x2=

1

x2

[x2

2nix2

+ O(x4

)]

=2nix2

+ O(x2

)(3.18)

37

Substituindo as equaes (3.16), (3.17) e (3.18) em (3.15), temos:

nit

+ O (t) a[2nix2

+ O(x2

)] b

[nix

+ O(x2

)]

cni f(xi, tn) = O(x2, t

)

uma vez que ni soluo de (3.15), de onde segue pela definio (3.4) e pela

observao (3.1) que o esquema consistente. Pela definio (3.5) segue que o

esquema de primeira ordem no tempo e de segunda ordem no espao.

Para fazer a anlise de estabilidade do esquema numrico sugerido usaremos o

mtodo de Fourier. Esse mtodo consiste na aplicao da transformada discreta de

Fourier em ambos os lados da equao (3.15), que define o esquema, com o objetivo

de encontrar o Smbolo de Fourier S() do problema e, em seguida, requerer a

condio |S()| 1. Consideramos aqui o caso homogneo (f(x, t) 0); assim oesquema (3.15) pode ser escrito da forma:

n+1i =

[t

(x)2+

bt

2x

]ni+1 +

[1 + ct 2 at

(x)2

]ni

+

[at

(x)2 bt

2x

]ni1 (3.19)

Para evitar possveis confuses entre a unidade imaginria, quando da aplicao

da transformada discreta de Fourier, com o ndice de discretizao da varivel x,

trocamos momentaneamente esse ndice pela letra l. Aplicando a transformada

discreta de Fourier (3.11) em ambos os lados da equao (3.19), segue que:

12

k=eikn+1l =

[at

(x)2+

bt

2x

]12

k=eiknl+1

+

[1 + ct 2 at

(x)2

]12

k=eiknl

+

[at

(x)2 bt

2x

]12

k=eiknl1

Fazendo um ajuste dos ndices nos somatrios e rearranjando os termos podemos

escrever:

n+1 =

[(at

(x)2+

bt

2x

)ei +

(1 + ct 2 at

(x)2

)]n

38

+

[(at

(x)2 bt

2x

)ei

]n (3.20)

Assim, o smbolo de Fourier dado pela equao:

S () =

(at

(x)2+

bt

2x

)ei +

(1 + ct 2 at

(x)2

)

+

(at

(x)2 bt

2x

)ei

= (1 + ct) 2at(x)2

[1 cos()] + ibtx

sen() (3.21)

Usando a condio de estabilidade do esquema numrico, |S ()| 1, para todo [, ] e o lema 3.1 segue que o esquema usado estvel se e somente se t ex satisfazem a condio (3.22) para todo [, ], ou seja:

2ct + (ct)2 4(1 + ct) at(x)2

[1 cos()]

+4

(at

(x)2

)2[1 cos()]2 +

(bt

x

)2sen2() 0 (3.22)

Para ilustrar a regio de estabilidade, denotamos inicialmente = x, t = y e

assumimos a, b, c e x fixos. Assim, seja a funo:

F (x, y) = 2cy + (cy)2 4(1 + cy) ay(x)2

[1 cos(x)]

+4

(ay

(x)2

)2[1 cos(x)]2 +

(b

y

x

)2sen2(x)

A regio de estabilidade corresponde aos valores de y para os quais temos

F (x, y) 0, x [, ]

Para o caso particular em que a = 1/4, b = 1, c = 1/2 e x = 1/20 temosgarantia de estabilidade para t 0, 005, como mostra a figura 3.2. J para o casoem que a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/40, o valor do passo de integraotemporal a fim de temos garantia de estabilidade diminui para t 0, 0015. Isto ilustrado na figura 3.3.

Mais uma simulao mostrada na figura 3.4 que indica a regio de estabilidade

para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/100. Neste caso, o esquema passa aser estvel para t 0, 0005.

39

Figura 3.2: Regio de estabilidade para a = 1/4, b = 1, c = 1/2 e x = 1/20

Figura 3.3: Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/40

Note que essas simulaes foram realizadas com a inteno de ilustrar a variao

da regio de estabilidade como consequncia dos parmetros envolvidos. Assim,

antes de realizar as simulaes numricas do problema proposto neste trabalho,

foram avaliadas as possveis variaes dos parmetros a, b, c e fixado o valor de x,

permitindo, dessa forma, a escolha adequada do passo de integrao temporal. Evi-

tamos, assim, disperdcio de tempo computacional (no caso de t muito pequeno),

mantendo a garantia da estabilidade do esquema.

Sendo o problema (3.13) bem posto e o esquema estvel, segue do Teorema de

40

Figura 3.4: Regio de estabilidade para a = 1/10000, b = 1, c = 1 e x = 1/100

Equivalncia de Lax que o esquema convergente quando t e x satisfazem (3.22)

para todo [, ].Uma soluo analtica para as equaes de transporte de massa e de calor no ar

apresentada na prxima seo.

3.2 Soluo analtica

Com o objetivo de obter maior confiabilidade no esquema numrico, quando se

trabalha com sistemas de equaes complexos como os problemas de transferncia

de calor e de massa, comum procurar uma soluo analtica de uma situao que

se aproxima o suficiente do problema fsico em questo. Isso torna possvel uma

comparao entre os dados calculados pelo esquema numrico usado e uma soluo

analtica de um problema fisicamente to prximo quanto possvel ao que se pretende

resolver. Se para uma situao fisicamente prxima original o esquema numrico

funcionar bem, provvel que ele funcione tambm para a situao real. Neste

intuito, buscamos uma soluo analtica para a equao diferencial parcial

t= a

2

x2+ b

x+ c + f(x, t), x (0, 1) e t > 0 (3.23)

41

com a > 0, sujeita condio inicial

(x, 0) = 0 para x [0, 1] (3.24)

e as condies de contorno

(0, t) = 1 e

x(1, t) = 0 para t 0 (3.25)

Buscamos solues analticas para problemas de transferncias de calor e/ou de

massa na literatura. Vrias solues para problemas de calor foram encontradas,

porm nenhuma com as condies do problema aqui exposto. Na seo que segue,

apresentamos algumas dessas solues que mais se assemelham ao nosso problema

ou que trazem alguma idia que possa ser aproveitada neste trabaho.

3.2.1 Algumas solues analticas para problemas de trans-

porte na literatura

Solues analticas para muitas formas de equaes diferenciais so encontradas

na literatura, algumas das quais para equaes de transferncia de energia, que sero

enumeradas na seqncia. Em todas as solues encontradas para essa equao

temos algumas simplificaes na equao propriamente dita e/ou nos domnios para

os quais as solues so obtidas, de forma que estas no representam fielmente o

problema real. Apesar disso, algumas idias e conceitos utilizados foram teis para

a obteno de uma soluo analtica para o nosso problema.

As equaes apresentadas, na seqncia, referem-se ao problema de transferncia

de calor, porm no modelo apresentado nesta tese, as equaes diferenciais parciais

que descrevem os fenmenos de transferncia de calor e de massa possuem a mesma

forma (veja as equaes (3.13) e (3.23)). Assim, encontrando uma soluo analtica

para a equao do calor tambm a teremos para a equao de transferncia de massa.

Cherniha [16] apresenta algumas solues analticas para a equao

u

t=

x

(A(u)

u

x

)+ B(u)

u

x+ C(u) (3.26)

em casos particulares onde A(u), B(u) e C(u) so funes especialmente escolhidas

de forma a permitir a obteno das solues, usando o mtodo de reduo de ordem

42

e trans

Petry - Transferencia de Calor e Massa Em Meios Granulares

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