PirâmidesFrancisco Ferreira Paulo

Hálisson Barreto Vieira

Luiz Vicente Ferreira Neto

Carlos Henrique de Sousa

1. Definição

Dados um polígono R, contido em um plano , e um

ponto V (vértice) fora de , chamamos de pirâmide o

conjunto de pontos de todos os segmentos .

,VP P R

2. A pirâmide e seus elementosRegião espacial dada pela união dos vértices de um polígono com um ponto qualquer fora deste polígono.

1

2

3

(1) O vértice é o ponto mais distante da base.

(2) As faces laterais são as regiões triangulares formadas por dois vértices consecutivos do polígono e o vértice fora desse.

(3) A base é o polígono sobre o qual a pirâmide se apóia.

(4) O apótema da pirâmide é a altura de cada face lateral.

(5) A altura é a distância do vértice até o centro da base.

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3. Classificação das pirâmides Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.

Toda pirâmide triangular recebe o nome de tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos equiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e arestas são congruentes).

Lembrete!

4. Relações entre os elementos de uma pirâmide regularToda pirâmide triangular recebe o nome de tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos equiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e arestas são congruentes).

Em uma pirâmide regular como, por exemplo, a da figura acima, temos que:

▪ as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes.▪ as arestas laterais também são congruentes e sua medida será indicada por a.▪ o segmento que une o vértice com o ponto médio de qualquer lado da base é chamado de apótema da pirâmide e sua medida será indicada por m.▪ o segmento que une o centro O da base com o ponto médio de qualquer lado dessa base é chamado de apótema da base e sua medida será indicada por b.▪ o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide regular é chamado de raio da base e sua medida será indicada por R.

Como os triângulos OMB, VOM e VM são retângulos, podemos escrever as seguintes relações, a partir do uso do teorema de Pitágoras:

22 2

2

lR b

2 2 2m h b

22 2

2

la m

5. ÁreasEm uma pirâmide, identificamos as seguintes áreas:

▪ A área lateral é a reunião de todas as áreas das faces laterais. ▪ A área da base é a área do polígono convexo (base da pirâmide). ▪ A área total é a união da área lateral com a área da base.

LA

BA

TA

Sendo assim, considere as seguintes relações:

..2.

LT L B

B P

a gA n

A A AA p a

Para tanto, siga a nomenclatura:

▪ a é a aresta da base.▪ g é o apótema da pirâmide.▪ n é o número de arestas laterais.▪ p é o semiperímetro da base.▪ aP é o apótema do polígono da base.

5. Secção transversalConsideremos, como exemplo, a pirâmide VABCD, cuja base está contida num plano , o plano , tal que interseccione a pirâmide e .

/ / V

A intersecção A’B’C’D’ de com a pirâmide é chamada de secção da mesma.Nesses termos, são válidas as seguintes propriedades:

▪ P1: A secção A’B’C’D’ é semelhante à base ABCD.▪ P2: As arestas laterais ficam divididas, pelo plano ,

em partes proporcionais e na razão .

▪ P3: A área da secção e a área da base são proporcionais aos quadrados das respectivas distâncias ao vértice.

'h

h

6. Volume Consideremos um prisma triangular com altura h e área da base . Esse prisma pode ser dividido em três pirâmides triangulares de mesmo volume V, como mostram as figuras a seguir:

BA

Sendo VPRISMA o volume do prisma, temos:

. 13. . 3. .

3 3B

PRISMA B BPIRÂMIDE PIRÂMIDE PIRÂMIDE PIRÂMIDE

A hV V A h V V V A h

7. Tronco de pirâmide Consideremos uma pirâmide qualquer e uma secção paralela à sua base.

Chamamos de tronco de pirâmide de bases paralelas o sólido constituído pela base da pirâmide, pela secção e por todos os pontos da pirâmide compreendidos entre a base e a secção.

Assim, a base da pirâmide e a secção chamam-sebases do tronco.As faces laterais do tronco são trapézios e a distânciaentre as bases é a altura do tronco.Se a pirâmide for regular, ela originará um troncode pirâmide regular.Nele, as faces laterais são trapézios isóscelescongruentes; a altura de qualquer desses trapézios échamada de apótema do tronco, onde nesses asarestas laterais são congruentes entre si.As bases de um tronco de pirâmide qualquer sãopolígonos semelhantes.

8. Área lateral e área total de um tronco Não existe fórmula para o cálculo da área lateral de umtronco de pirâmide. Ela é calculada somando-se as áreas das faces laterais.A área total pode ser calculada pela fórmula

na qual é a área da base menor e , a área da basemaior.

T L B bA A A A

bA BA

9. Volume de um tronco de pirâmide Consideremos um tronco de pirâmide de bases paralelase de altura h; sejam e as áreas, respectivamente, dabase menor e da base maior.

bA BA

O volume V desse tronco é a diferença V2 – V1, na qual V2 é

o volume da pirâmide e V1 é o volume da pirâmide menor.

Ele pode ser calculado pela fórmula . .3 B b B b

hV A A A A