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PIRÂMIDES

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DEFINIÇÃO Consideremos uma região poligonal convexa A1A2...An contida num plano e um ponto V fora desse plano. Chamamos de PIRÂMIDE a reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da região poligonal.

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ELEMENTOS

.V

base

vértice

A B

D C

ARESTAS DA BASE

AB, BC, CD, ...

ARESTAS LATERAIS

AV, BV, CV, ...

face lateral

h

A ALTURA(h) da pirâmide é a distância do vértice ao plano da base.

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NOMENCLATURA A nomenclatura das pirâmides é dada em função do polígono situado na base.

pirâmide quadrangular

pirâmide hexagonal

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CLASSIFICAÇÃO Uma pirâmide pode ser reta ou oblíqua, a depender da posição da projeção ortogonal do seu vértice sobre o plano da base.

V’

VV

V’=O

pirâmide reta projeção do vértice coincide

com o centro da base

pirâmide oblíqua projeção do vértice não coincide

com o centro da base

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*PROPRIEDADE.: As pirâmides retas possuem todas as arestas laterais congruentes.

*OBS.: As pirâmides retas cujas bases são polígonos regulares são chamadas de pirâmides REGULARES.

pirâmide hexagonal

regular

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APÓTEMA DE UMA PIRÂMIDE REGULAR

É a distância do vértice da pirâmide às arestas da base.

A

.

Apótema da pirâmide

*OBS.: O apótema da pirâmide intercepta o ponto médio da aresta da base.

l/2

l/2

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l/2

h

a

AL

R

L

ah A

A

l/2

L

R

h L

222 ahA

222

2

l

AL

222 RhL

RELAÇÕES IMPORTANTES

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FORMULÁRIO1. ÁREA DA BASE (Sb)

É a área do polígono que está na base.

2. ÁREA LATERAL (SL)

É a soma das áreas dos triângulos das faces laterais.

SL = p . A

3. ÁREA TOTAL (St)É a soma da área da base com a área lateral.

St = Sb + SL

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4. VOLUME (V)

É um terço do produto da área da base pela altura.

Sb . hV =3

Exemplo1: Uma pirâmide triangular regular tem apótema com medida 5 cm e aresta da base cm. Calcule a área lateral e o volume dessa pirâmide.

32

Exemplo2: Uma pirâmide quadrangular regular tem aresta da base 8 cm e as faces laterais formam 60° com a base. Calcular a área lateral dessa pirâmide.

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SÓLIDOS ESPECIAISI. TETRAEDRO REGULAR

Poliedro formado por 4 faces constituídas por triângulos equiláteros. Como consequência, todas as suas arestas são congruentes.

a a

aaa

a

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II. OCTAEDRO REGULAR Poliedro formado por 8 faces constituídas por triângulos equiláteros. Como consequência, todas as suas arestas são congruentes.

a

a

a

a

a

a a

a*OBS.: O octaedro regular é a “união” de duas pirâmides quadrangulares regulares congruentes.

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A área total de um octaedro regular é cm. Seu volume é:

36

n.r.a. e)

cm 6 d)

cm 32 c)

cm 6 b)

cm 23 a)

3

3

3

3

2

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Um cubo tem área total de 150 m . O volume da pirâmide quadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse cubo e como base a face oposta a esse vértice é:

2

3

3

3

3

3

m 225 e)

m 150 d)

m 125 c)

m6

125b)

m3

125 a)

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Uma pirâmide e um prisma, ambos de bases quadradas, têm o mesmo volume. Sabendo-se que o lado do quadrado da base da pirâmide tem medida 2m e que o lado do quadrado da base do prisma tem medida m, a razão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nesta ordem, é igual a:

4

1e)

2

3d)

4

3c)

3

mb)

3m a)

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Sugestão de exercícios:

LIVRO 3 - CAPÍTULO 4

Questões: 121, 127, 132, 141, 148 e 158.