PIRÂMIDES

Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V e um ponto da região S.

Pirâmides

Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S contida em e um ponto V fora de .

Elementos de uma pirâmide

Considerando a pirâmide desenhada ao lado, temos: base: a região poligonal S; vértice da pirâmide: o ponto V; faces laterais: as superfícies triangulares AVB, BVC, ..., NVA; arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e o plano

Classificação das pirâmidesConsideramos o número de arestas da base: 

se a base tem 5 arestas pirâmide pentagonal,

e assim por diante.

se a base tem 3 arestas pirâmide triangular

se a base tem 4 arestas pirâmide quadrangular

Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular. 

Pirâmide regular

Observações:

O centro de um polígono regular coincide com o centro da circunferência circunscrita a esse polígono.

As faces de uma pirâmide regular são determinadas por triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.

Pirâmide regular

Elementos das pirâmides regulares

Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular

Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular

Base Figura Relação

Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares

Triângulo equilátero ou

Base Figura Relação

Quadrado

Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares

ou

Base Figura Relação

Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares

Hexágono regular ou

1.Um tetraedro regular tem arestas medindo 10 cm. Calcular a medida do apótema da pirâmide (g), a medida do apótema da base (m) e a altura da pirâmide (h).

Exercícios

Resolução

No ΔDMA, temos: Como a base é uma superfície triangular equilátera, vem: 

Agora, no ΔDMO, temos:

Portanto, as medidas são: 

cm, cm e cm

Atotal = Alateral + Abase

Área da superfície de uma pirâmide

Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma a base;

Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares);Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base, ou seja: 

Atotal =

Área da superfície de uma pirâmideObservação:Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em função da medida ℓ da aresta, será dada por:

Vpirâmide = área da base x altura

Volume de uma pirâmide qualquer

2. A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 5 cm. Sabendo-se que a pirâmide tem altura de 30 cm, calcular o volume dessa pirâmide.

Exercícios

Exercícios3. (ITA - SP) Quanto mede a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular

de altura 4 m e de área da base 64 m²?

Resolução:Na questão, como a pirâmide é quadrangular, sua base é um quadrado, com área 64 m², já que a área do quadrado é L², e o lado será 8. Perceba que a altura que a questão fornece na pergunta é a altura da pirâmide, para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a apótema da pirâmide. Fazendo o teorema de Pitágoras entre a altura do triângulo, a apótema da base e a apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa face:

Exercícios4. (FUVEST – SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:a) 90b) 100c) 110d) 120e) 130

Resolução:

Propriedades das pirâmides

1a propriedade: A razão entre a área S’ de uma secção transversal de uma pirâmide feita a uma altura h’ em relação ao vértice e a área S da base dessa pirâmide de altura h é:

2a propriedade: Se duas pirâmides têm mesma altura e mesma área de base, elas são equivalente, portanto têm o mesmo volume. 

5. Determinar o volume de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral mede 20 cm.

Exercícios

Resolução

Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide.

Agora, vamos determinar a medida m do apótema da base. Como a base é um hexágono regular, temos:

Cálculo da altura h da pirâmide:

Cálculo da área da base:Abase = Abase =

Cálculo do volume da pirâmide:Vpirâmide = Vpirâmide = Vpirâmide =

Exercícios6. (VUNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será:a)    36b)   27c)    18d)   12e)    4

Resolução:

7. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm.  O volume, em cm3, é:

Exercícios

Resolução:

Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida em um plano .

Tronco de pirâmide

Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a , essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base contida no plano , e o que contém a base da pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide, de bases paralelas.

Tronco de pirâmide

Considerando o tronco de pirâmide da figura ao lado, temos: base maior: superfície poligonal ABCDEF; base menor: superfície poligonal A’B’C’D’E’F’; faces laterais: superfícies trapezoidais AA’B’B, BB’C’C etc.;altura do tronco (ht): distância entre a base

maior e a base menor (ht = H – h).

Elementos de um tronco de pirâmide

Tronco de pirâmide regular

No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que: as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes; as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e congruentes; a altura de uma face lateral é o apótema do tronco (de medida p).

Atotal = Alateral + Ab + AB

Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das bases menor e maior, ou seja:

Área da superfície de um tronco de pirâmide

Vtronco =

Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’

Volume de um tronco de pirâmide

ou

Razão de semelhança

Observação:Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de semelhança entre dois segmentos.

= ... =

8. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas das bases e o volume do tronco. Resolução

AB = 102 = 100Logo: AB = 100 cm2 Ab = 42 = 16Logo: Ab = 16 cm2 Vtronco = Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312 Logo, o volume do tronco é 312 cm3.

Exercícios

9. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de volume. Calcular

o volume v da pirâmide obtida pela secção feita por um plano paralelo à

base e à altura de 2 cm.Resolução

Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k, então a razão entre seus volumes é: 

Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3. 

Exercícios

10. Um tronco de pirâmide regular tem a aresta lateral medindo dm e bases quadradas cujos lados medem 4 dm e 10 dm. Calcular a área de cada base, a área lateral e o volume do tronco.

Exercícios

Cálculo da área lateral:Para calcular a área lateral, precisamos da medida de M’M indicada na figura. Vamos destacar a face lateral BB’C’C.Pela figura ao lado, temos:A área de cada face lateral (trapézio BB’C’C) é: ABB’C’C =

Resolução

Cálculo da área de cada base: Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2

AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2 

A área lateral do tronco de pirâmide é: Alateral = 4 ⋅ 35 Alateral = 140; logo: Alateral = 140 dm2   Cálculo do volume do tronco:Para calcular o volume, precisamos determinar a altura do tronco de pirâmide. Observe o trapézio O’M’MO destacado: Pela figura, temos:ht + 32 = 52 ht = 4 2

Portanto: Vtronco =

Vtronco = 208Logo, o volume do tronco é 208 dm3.

Resolução