Pitagoras

25
Pitágoras Turma/Ano :9ª ano “A” Professora: Edmildo duarte

description

História de Pitagoras

Transcript of Pitagoras

Page 1: Pitagoras

Pitágoras

Turma/Ano :9ª ano “A”Professora: Edmildo duarte

Page 2: Pitagoras

Quem foi PitágorasBibliografia de PitágorasAs suas principais descobertas•Números figurados•Números perfeito•Teorema de Pitágoras1. A formula Reitor primeira universidadeA escola de PitágorasPensamentos de Pitágoras

Sumário

Page 3: Pitagoras

Quem foi Pitágoras

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto

(região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados

e informações importantes sobre sua vida.

Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de

estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e suspenso no Espaço (idéia pouco conhecida na época). Encontrou uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim

como a Terra, girava ao redor do Sol.

Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.

Page 4: Pitagoras

Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides,

desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com

este teorema é possível calcular o lado de um triângulo

retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele

conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é

igual ao quadrado da hipotenusa.

Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de

multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas.

Sua influência nos estudos futuros da matemática foram

enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos

conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que

temos atualmente.

Page 6: Pitagoras

Bibliografia de PitágorasDa vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi

objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o

filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.

Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia

matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham

assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se

encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a

base da teoria da harmonia das esferas.29

Page 7: Pitagoras

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A

observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo.

Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no

movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser

chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de

correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram

que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor

de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação

da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus

discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao

caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e

se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta

foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde

morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..

Page 8: Pitagoras

Suas principais descobertasAlém de grandes místicos, os

pitagóricos eram grandes

matemáticos. Eles descobriram

propriedades interessantes e

curiosas sobre os números.

1.Números figurados

2.Números perfeitos

3.Teorema de

Pitágoras

Page 9: Pitagoras

Números figurados Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias

propriedades dos números figurados. Entre estes o

mais importante era o número triangular 10,

chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em

português. Este número era visto como um número

místico uma vez que continha os quatro elementos

fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de

representação para a completude do todo.

α

α α

α α α

α α α α

Page 10: Pitagoras

A tétrada, que os pitagóricos desenhavam

com um α em cima, dois abaixo deste,

depois três e por fim quatro na base, era

um dos símbolos principais do seu

conhecimento avançado das realidades

teóricas. Representação toda perfeita em

si de qualquer um dos lados que se

observe.

Page 11: Pitagoras

Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado

número com exceção dele mesmo, é o

próprio número. Exemplos:

1. Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então,

1 + 2 + 3 = 6.

2. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28.

Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Page 12: Pitagoras

Teorema de PitágorasUm problema não solucionado na época de

Pitágoras era determinar as relações entre os

lados de um triângulo retângulo. Pitágoras

provou que a soma dos quadrados dos

catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

O primeiro número irracional a ser descoberto

foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu

exatamente da aplicação do teorema de

Pitágoras em um triângulo de catetos valendo

1:

1²+1²= x²=» x²=2 =» x=±√2

Page 13: Pitagoras

Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam

simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".

A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos

outros números irracionais.

O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados

construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado

construído sobre a hipotenusa (c).

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três

lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o

teorema afirma que:

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os

catetos são os dois lados que o formam.

O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema

também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

Page 14: Pitagoras

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a

e b representam os comprimentos dos outros dois

lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático

grego Pitágoras, que tradicionalmente é creditado

pela sua descoberta e demonstração,[1][2] embora

seja frequentemente argumentado que o

conhecimento do teorema seja anterior a ele (há

muitas evidências de que matemáticos babilônicos

conheciam algoritmos para calcular os lados em

casos específicos, mas não se sabe se conheciam

um algoritmo tão geral quanto o teorema de

Pitágoras).

Page 16: Pitagoras

Em formulaSendo c o comprimento da hipotenusa e a e b

os comprimentos dos outros dois lados, o

teorema pode ser expresso como a equação:

c²=b²+ a²

ou, isolando c:

c=√a²+ b²

Um corolário de c² = b² + a² é que a hipotenusa

(c) será sempre o maior lado, pois todos os

comprimentos são necessariamente números

positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c

> a.

Um triângulo retângulo

Page 17: Pitagoras

Se c já é conhecido, e precise-se encontrar o comprimento de um dos catetos,

as seguintes equações (que são corolários da primeira) podem ser usadas:

b²= c²- a²

Ou

a²= c²- b²

Essa equação fornece uma relação simples entre os três lados de um triângulo

retângulo de modo que se os comprimentos de quaisquer dois lados são

conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado. Uma

generalização desse teorema é a lei dos cossenos, que permite o cálculo do

comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dado os comprimentos

dos dois lados e a medida do ângulo entre eles. Se o ângulo entre os lados é

um ângulo reto, reduz-se ao teorema de Pitágoras.

Page 18: Pitagoras

Reitor da primeira universidadeA palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras,

que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento,

fulcrado em provas dedutivas.

Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras

(c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo

empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida

do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º,

360º).

Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e

talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos:

astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi

contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.

Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano

Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de

dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede

a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".

Page 19: Pitagoras

A Escola Pitagórica e as atividades se viram desde então envoltas por um véu de

lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que

compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que

defendiam, destacam-se:

prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na

transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto,

advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;

lealdade entre os membros e distribuição comunitária dos bens materiais;

austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola;

proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que os

discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do

denominado Teorema de Pitágoras);

purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;

classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis;

"criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o

qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de

afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso"

(George Simmons);

Page 20: Pitagoras

grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da

irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não

aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números

racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que,

quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse,

os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;

na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é

esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades nas várias órbitas

ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia

de que há uma ordem que domina o Universo;

aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro,

octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";

na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam

de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas.

Pitágoras - assim como outros filósofos gregos pré-socráticos - também

descreveu o poder do som e seus efeitos sobre a psique humana. Essa

experiência musicoterápica possivelmente foi utilizada mais tarde por

Aristóteles como base teórica para sua definição de música, que, segundo ele,

era uma "arte medicinal".

Page 21: Pitagoras

Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o

histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura

imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à

tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o

mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras.

Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel

primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina

racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma

frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a

Geometria".

Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia

repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos

números”.

A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de

Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média,

na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.

Page 22: Pitagoras

A escola de PitágorasSegundo o pitagorismo, a essência, que é o

princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.

Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.

O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágonoregular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.

Page 23: Pitagoras

Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais no início, sem

altura definida, sendo uma tomada como fundamental (pensemos numa longa corda presa a duas extremidades

que, quando tangida, nos dará o som mais grave - e a partir dela, gerar-se-á a quinta e terça através da reverberação

harmônica. Os sons harmônicos. Prendendo-se a metade da corda, depois a terça parte e depois a quinta parte

conseguiremos os intervalos de quinta e terça em relação à fundamental. A chamada SÉRIE HARMÔNICA. À medida que subdividimos a corda obtemos sons mais altos e os interevalos serão diferentes. E assim sucessivamente.

Descobriu ainda que frações simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis.

Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis.

O nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados

dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que

explicavam a alternância de dias e noites. A filosofia baseou uma doutrina chamada Filosofia explanatória Cristo-

Pitagorica.

Page 24: Pitagoras

A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e

defendia a metempsicose.

Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos

fatores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir o papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos estimulavam a

expansão de cultos populares ou estrangeiros.

Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma,

ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar a purificação. Dioniso guiaria

este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.

Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação

resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade

harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim,

portanto, uma coisa manifestaria externamente a estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor.

Page 25: Pitagoras

Os pensamentos de Pitágoras1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens.

2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si.

3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.

4. O que fala semeia; o que escuta recolhe.

5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.

6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.

7. Todas as coisas são números.

8. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.

9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.

10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.

11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.

Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las