Planejamento de Experimentos

7 Blocagem e Confundimento(Superposicao)

nos Planos 2k

7.1 Introducao

Em muitas situacoes e impossıvel rodar todas

as combinacoes de tratamento num plano 2k

sob condicoes homogeneas.

Ja vimos que uma tecnica usada para con-

tornar o problema da variabilidade extra e a

blocagem.

Neste capıtulo veremos duas situacoes de blo-

cagem num plano 2k:

- com replicacao e

- sem replicacao.

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7.2 Blocagem num plano fatorial 2k quando se

tem replicacoes.

Se existem n replicacoes do plano 2k pode-

mos rodar cada replicacao em um bloco ca-

racterizado por um conjunto de condicoes ho-

mogeneas.

A ordem na qual cada combinacao de trata-

mento e observada em cada bloco e aleatoria

→ EBCA.

Exemplo 7.1: Considere o processo quımico

descrito em exemplo do capıtulo 6 sobre o

efeito de dois fatores: concentracao de re-

gaente e catalisador sobre a producao. Supo-

nha que somente quatro observacoes experi-

mentais podem ser realizadas para cada lote

de materia-prima. Neste caso, cada replicacao

e olhada como um bloco e os dados sao

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trat. Bl. I Bl. II Bl. III total(1) 28 25 27 80a 36 32 32 100b 18 19 23 60ab 31 30 29 90total 113 106 111 330

FV g.l. SQ QM F p-valorA 1 208,33 208, 33 50,32 0,0004B 1 75,00 75,00 18,12 0,0053AB 1 8,33 8,33 2,01 0,2060Bloco 2 6,50 3,25Erro 6 24,84 4,14Total 11 321,00

Observe que as conclusoes sao as mesmas obti-

das no exemplo anterior.

Vimos nesta secao o caso em que as replicacoes

sao tratadas como blocos. Observe que nao ha

nada de diferente com a situacao descrita na

secao 5.6 sobre blocagem experimentos fato-

riais.3

7.3 Confundimento no Plano Fatorial 2k

Ha situacoes em que a blocagem e necessaria,

porem dispoe-se de apenas uma replicacao com-

pleta do plano. Como tratar esta situacao?

Uma solucao e usar uma tecnica que faz com

que certos efeitos de tratamento, geralmente

efeitos de interacoes de ordens maiores, sejam

indistiguıveis ou “confundidos” com os blocos.

Confundimento (Superposicao)

Veremos aqui sistemas de confundimento nos

planos 2k.

Apesar dos planos apresentados aqui serem pla-

nos em blocos incompletos, pois cada bloco

nao contem todos os tratamentos, a estrutura

especial dos planos 2k permite um metodo de

analise mais simples.

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Consideraremos a construcao e analise de pla-

nos 2k em 2p blocos incompletos, p < k. Con-

sequentemente, estes planos poderao ser ro-

dados em dois blocos (se p = 1), 4 blocos (se

p = 2), 8 blocos (se p = 3), etc.

7.4 Confundimento do plano 2k em dois blocos

(p = 1).

Suponha um plano 22 do qual se dispoe de

recursos para realizar apenas 4 observacoes.

Cada observacao requer uma materia-prima cu-

jo lote e apenas suficiente para a realizacao de

duas observacoes. Logo, o experimento requer

dois blocos (lotes).

A figura a seguir ilustra um plano possıvel para

este experimento.

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Geometricamente, os blocos sao formados pe-los vertices das diagonais do quadrado.

Bloco I: (1) e ab

Bloco II: a e b

A ordem na qual os tratamentos sao observa-dos em cada bloco e aleatoria. A ordem deobservacao dos blocos tambem e aleatoria.

Lembre que os efeitos principais A e B saodados por

A = 12[ab− b+ a− (1)], B = 1

2[ab− a+ b− (1)],pois n = 1.

Observe que A e B nao sao afetados pela blo-cagem, pois em cada bloco e possıvel avaliaro efeito principal de A e de B.

Porem, nao sera possıvel avaliar a interacaoAB usando os blocos.

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Considere o efeito de interacao

AB = 12[ab+ (1)− a− b].

As combinacoes dos dois tratamentos com sinal

“+” estao no bloco I e as combinacoes com

sinal “-” estao no bloco II, nao sendo possıvel

usar os blocos para avaliar AB.

Tabela de Sinais do Plano 22

trat. I A B AB Bloco(1) + - - + IIa + + - - Ib + - + - Iab + + + + II

→ Nao e possıvel separar o efeito de bloco do

efeito de interacao.

Por esta razao, dizemos que AB e confundido

com blocos.9

Por exemplo, se os blocos tivessem sido definidos

por

Bloco I: (1) e b

Bloco II: a e ab

o confundimento ocorreria com o efeito prin-

cipal relativo ao fator A. Por que?

A pratica usual e confundir as interacoes de

maior ordem com blocos.

Este esquema pode ser usado para confundir

qualquer efeito de interacao de um plano 2k

sem replicacao em dois blocos.

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Observe que neste caso, com apenas 4 ob-

servacoes, nao podemos fazer inferencias, pois

nao sobram graus de liberdade para o erro

experimental: 1 grau para A, 1 para B e 1

para bloco ou AB dos tres graus de liberdade

disponıveis.

Como um segundo exemplo, considere um pla-

no 23 a ser realizado em dois blocos (sem

replicacao). Suponha tambem que o mesmo

sera construıdo tal que o efeito de interacao

ABC seja confundido com blocos.

A partir da tabela de sinais, e muito simples

identificar os blocos correspondentes.

trat. I A B C AB AC BC ABC Bloco(1) + - - - + + + - Ia + + - - - - + + IIb + - + - - + - + IIab + + + - + - - - Ic + - - + + - - + IIac + + - + - + - - Ibc + - + + - - + - Iabc + + + + + + + + II

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As observacoes dentro de cada bloco sao re-

alizadas em ordem aleatoria, ou seja, as com-

binacoes de tratamento dentro de cada bloco

sao sorteadas para entao realizar a observacao.

A ordem dos blocos tambem e aleatoria.

A seguir um resumo da tabela ANOVA deste

caso.

FV glA 1B 1C 1AB 1AC 1BC 1Bloco ou ABC ou erro 1total 7

Novamente, bloco, efeito confundido e erro

nao podem ser separados.

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Outras formas de construcao dos blocos.

Considere a combinacao linear

L = α1x1 + α2x2 + ...+ αkxk (1)

xi representa o nıvel do i-esimo fator, i =

1,2, ..., k

αi representa o coeficiente do i-esimo fator no

efeito confundido (0 ou 1).

Nos planos 2k, xi =

{0, nıvel baixo1, nıvel alto

e

αi =

{0, se efeito nao esta presente no efeito confundido1, se efeito esta presente efeito confundido

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Considere novamente um plano 23 em dois blo-

cos com ABC confundido.

Neste caso L = x1 + x2 + x3, pois α1 = α2 =

α3 = 1.

tratamento (x1, x2, x3) L(mod 2) Bloco(1) (0,0,0) 0 Ia (1,0,0) 1 IIb (0,1,0) 1 IIc (0,0,1) 1 IIab (1,1,0) 0 Iac (1,0,1) 0 Ibc (0,1,1) 0 Iabc (1,1,1) 1 II

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Observacao: A equacao (1) e chamada equa-

cao de definicao de contraste. Combinacoes

de tratamento que produzem o mesmo valor

de L(mod2) serao alocadas ao mesmo bloco.

Um outro metodo pode ser usado para cons-

truir estes planos. O bloco contendo a com-

binacao (1) e chamado bloco principal.

As combinacoes de tratamento no bloco prin-

cipal tem uma propriedade de grupo, a saber,

→ formam um grupo com respeito a multi-

plicacao modulo 2.

→ qualquer elemento, exceto o (1), no bloco

principal pode ser gerado pela multiplicacao

modulo 2 de outros dois elementos no bloco

principal.

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Por exemplo, considere o plano 23 em 2 blocos

com ABC confundido. Neste caso, o bloco

principal e composto pelas combinacoes: (1),

ab, ac e bc.

Observe que

ab.ac = a2bc = bc

ab.bc = ab2c = ac

ac.bc = abc2 = ab

As combinacoes de tratamento no outro bloco

(nos outros blocos) podem ser geradas multi-

plicando-se modulo 2 um elemento do novo

bloco por cada elemento no bloco principal.

b.(1) = bb.ab = ab.ac = abcb.bc = c

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Usando este metodo num plano 24 com ABCD

confundido tem-se

L = x1 + x2 + x3 + x4

tratamento (x1, x2, x3, x4) L(mod 2) Bloco(1) (0,0,0,0) 0 Ia (1,0,0,0) 1 IIb (0,1,0,0) 1 IIab (1,1,0,0) 0 Ic (0,0,1,0) 1 IIac (1,0,1,0) 0 Ibc (0,1,1,0) 0 Iabc (1,1,1,0) 1 IId (0,0,0,1) 1 IIad (1,0,0,1) 0 Ibd (0,1,0,1) 0 Icd (0,0,1,1) 0 Iabd (1,1,0,1) 1 IIacd (1,0,1,1) 1 IIbcd (0,1,1,1) 1 IIabcd (1,1,1,1) 0 I

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Assim temos

Bloco Principal: (1), ab, ac, ad, bc, bd, cd, abcd

Outro bloco: a, b, c, d, abc, abd, acd, bcd.

Novamente, bloco, efeito confundido e erro

nao podem ser separados.

Para poder estimar o erro, se k for pequeno, 2

ou 3, sera necessario replicar o experimento.

Suponha um plano 23 em dois blocos com

ABC confundido e 4 replicacoes como mostra

a figura a seguir.

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Como existem 8 blocos, 7 graus de liberdade

devem estar associados com estes blocos.

Uma particao destes 7 graus de liberdade e

mostrada na tabela a seguir.

FV glReplicacoes 3Blocos (ABC) 1Replicacoes:ABC 3A 1B 1C 1AB 1AC 1BC 1Erro 18Total 31

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Sao 32 observacoes e 31 graus de liberdade. Asoma de quadrados dos erros consiste, de fato,das interacoes de dois fatores entre replicacoese cada um dos efeitos (A, B, C, AB, AC e BC).

Geralmente e seguro considerar interacoes demaior ordem desprezıveis e tratar o quadradomedio resultante como uma estimativa da va-riacao amostral.

Efeitos principais e de interacao de ordem 2sao testados contra QMRes

Se ha recursos suficientes para permitir a repli-cacao de planos confundidos e melhor usar ummetodo ligeiramente diferente para designar osblocos em cada replicacao. Esta abordagemconsiste em confundir um efeito diferente emcada replicacao tal que alguma informacao detodos os efeitos seja obtida.

→ confundimento parcial ←22

Se k ≥ 4, frequentemente pode-se bancar ape-

nas uma replicacao do experimento. Neste

caso, costuma-se assumir que interacoes de

maior ordem sao desprezıveis e combina-se suas

somas de quadrados com o erro. O grafico

de probabilidade normal dos efeitos dos fatores

pode ser util neste contexto.

Exemplo 7.2: Considere novamente a situacao

descrita no exemplo 6.2 (processo quımico) na

qual investiga-se o efeito de 4 fatores sobre a

taxa de filtragem do produto. Os fatores sao A

- temperatura, B - pressao, C - concentracao

de formaldeıdo, D - taxa de mistura.

Este experimento sera usado para ilustrar a

nocao de blocagem e confundimento em ex-

perimentos nao replicados.

Serao feitas duas modificacoes no experimento

original.

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Primeiro, suponha que as 24 = 16 combinacoes

de tratamento nao podem ser realizadas to-

das no mesmo lote de materia-prima. O ex-

perimentador pode realizar 8 observacoes para

cada lote, tal que um plano 24 confundido em

dois blocos parece ser apropriado neste caso.

E natural confundir a interacao de maior ordem

ABCD com blocos. Neste caso, o contraste de

definicao e dado por L = x1 + x2 + x3 + x4. O

plano resultante deste constraste de definicao

e mostrado na figura a seguir.

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A segunda modificacao feita foi introduzir um

efeito de bloco tal que a utilidade da blocagem

possa ser verificada. Suponha que quando se-

lecionamos os dois lotes de materia-prima, um

deles e de qualidade inferior e, como resultado,

todas as respostas serao 20 unidades menores

neste lote de material em relacao ao outro.

(bloco I - qualidade inferior, bloco II - qualidade

ok.) Agora todas as observacoes no bloco I sao

feitas em ordem aleatoria das combinacoes de

tratamento, mas as respostas sao 20 unidades

menores. Na figura a seguir os valores obser-

vados, com a introducao do efeito de bloco,

sao apresentados.

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A seguir apresentamos as estimativas dos efei-

tos desta versao modificada do experimento.

Observe que as estimativas sao identicas aque-

las obtidas no exemplo 6.2 (aula 17) no qual

nao havia efeito de bloco.

Um grafico de probabilidade normal dos efeitos

indica que os efeitos importantes sao A, C, D,

AC e AD, exatamente como tınhamos con-

cluıdo anteriormente.

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E o efeito ABCD?

A estimativa deste efeito no experimento ori-

ginal foi 1.375.

No presente exemplo, a estimativa do efeito de

interacao ABCD e -18.625.

Como ABCD e confundido com blocos, a es-

timativa original do efeito de ABCD (1.375)

mais a estimativa do efeito de bloco (-20) re-

sulta em -18.625.

O efeito de bloco tambem pode ser calculado

diretamente pela diferenca entre as medias a-

mostrais em cada bloco, resultando em -18.625.

Claro que este efeito de fato estima

Bloco + ABCD.

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A tabela a seguir resume a ANOVA deste ex-

perimento considerando apenas os efeitos sig-

nificativos.

Observe que, se o experimento nao tivesse sido

rodado em blocos, com um efeito de magni-

tude -20 afetando as 8 primeiras observacoes

(bloco I), os resultados poderiam ter sido muito

diferentes.