Agrupamento de Escolas António Correia de Oliveira

PLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA

9.º ANO – ANO LETIVO 2017/18

RelaçõesdeordememIR.Inequações 1.ºPeríodo

Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos

Números eoperaçõesNO9

Relaçãodeordemem�Propriedadesdarelaçãodeordem

-Monotoniadaadição.–Monotoniaparcialdamultiplicação.–Adiçãoeprodutodeinequaçõesmembroamembro.–Monotoniadoquadradoedocubo.–Inequaçõesepassagemaoinverso.–Simplificaçãoeordenaçãodeexpressõesnuméricasreaisenvolvendofrações,dízimasouradicais,utilizandoaspropriedadesdarelaçãodeordemem�.-Monotoniadoquadradoedocubo-Quadradoperfeitoecuboperfeito-Raizquadradadequadradoperfeitoeraizcúbicadecuboperfeito-Produtoequocientederaízesquadradasecúbicas.-Representaçõesdecimaisderaízesquadradasecúbicas.

Relaçãodeordem1.Reconhecerpropriedadesdarelaçãodeordemem�1.Reconhecer,dadostrêsnúmerosracionaisq,resrepresentadosemformadefraçãocomq<r,quesetemq+s<r+scomparandoasfraçõesresultantesesaberqueestapropriedadeseestendeatodososnúmerosreais.2.Reconhecer,dadostrêsnúmerosracionaisq,resrepresentadosemformadefraçãocomq<res>0,quesetemqs<rscomparandoasfraçõesresultantesesaberqueestapropriedadeseestendeatodososnúmerosreais.3.Reconhecer,dadostrêsnúmerosracionaisq,resrepresentadosemformadefraçãocomq<res<0,quesetemqs>rscomparandoasfraçõesresultantesesaberqueestapropriedadeseestendeatodososnúmerosreais.4.Provarqueparaa,b,cednúmerosreaiscoma<bec<dsetema+c<b+de,nocasodea,b,cedserempositivos,ac<bd.5.Justificar,dadosdoisnúmerosreaispositivosaeb,quesea<bentãoa2<b2ea3<b3,observandoqueestaúltimapropriedadeseestendeaquaisquerdoisnúmerosreais.6.Justificar,dadosdoisnúmerosreaispositivosaeb,quesea<bentão1

�>1

�.

7.Simplificareordenarexpressõesnuméricasreaisqueenvolvamfrações,dízimaseradicaisutilizandoaspropriedadesdarelaçãodeordem.

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Númeroseoperações

NO9

Álgebra

ALG9

IntervalosdenúmerosreaisInequações

–Intervalosdenúmerosreais.– Representação de intervalos de números reais na retanumérica.–Interseçãoereuniãodeintervalos.-Resoluçãodeinequaçõesdo1ºgrau.- Conjunção e disjunção de inequações. Resolução deproblemas

2.Definirintervalosdenúmerosreais1.Identificar,dadosdoisnúmerosreaisaeb(coma<b),os“intervalosnãodegenerados”,ousimplesmente“intervalos”,[a,b],]a,b[,[a,b[e]a,b]comoosconjuntosconstituídospelosnúmerosreaisxtaisque,respetivamente,a²x²b,a<x<b,a²x<bea<x²b,designandopor“extremos”destesintervalososnúmeroseeutilizarcorretamenteostermos“intervalofechado”,“intervaloaberto”e“amplitudedeumintervalo”.2.Identificar,dadoumnúmeroreala,osintervalos[a,+°[,]a,+°[,]–°,a[e]–°,a]comoosconjuntosconstituídospelosnúmerosreaisxtaisque,respetivamente,x³a,x>a,x<aex²aedesignarossímbolos“–°”e“+°”por,respetivamente,“menosinfinito”e“maisinfinito”.3.Identificaroconjuntodosnúmerosreaiscomointervalo,representando-opor]–°,+°[.4.Representarintervalosnaretanumérica.5.Determinarinterseçõesereuniõesdeintervalosdenúmerosreais,representando-as,quandopossível,sobaformadeumintervaloou,casocontrário,deumauniãodeintervalosdisjuntos1Identificar,dadasduasfunçõesnuméricasfeg,umainequaçãocomumaincógnitaxcomoumaexpressãodaforma,designar,nestecontexto,porprimeiromembrodainequação,porsegundomembrodainequação,qualqueratalqueporsoluçãodainequaçãoeoconjuntodassoluçõesporconjunto-solução.2.Designarumainequaçãoporimpossívelquandooconjunto-soluçãoévazioeporpossívelnocasocontrário.3.Identificarduasinequaçõescomoequivalentesquandotiveremomesmoconjunto-solução.4.Reconhecerqueseobtémumainequaçãoequivalenteaumadadainequaçãoadicionandoousubtraindoummesmonúmeroaambososmembros,multiplicando-osoudividindo-osporummesmonúmeropositivooumultiplicando-osoudividindo-osporummesmonúmeronegativo,invertendoosentidodadesigualdadeedesignarestaspropriedadesporprincípiosdeequivalência.

Númeroseoperações

NO9

Valoresaproximados

–Aproximaçõesdasomaedoprodutodenúmerosreais.–Aproximaçõesderaízesquadradasecúbicas.– Problemas envolvendo aproximações de medidas degrandezas.

5.Designarporinequaçãodo1.ºgraucomumaincógnitaousimplesmenteinequaçãodo1.ºgrauqualquerinequaçãotalquefegsãofunçõesafinsdecoeficientesdistintosesimplificarinequaçõesdo1.ºgraurepresentandofegnaformacanónica.6.Simplificarosmembrosdeumainequaçãodo1.ºgraueaplicarosprincípiosdeequivalênciaparamostrarqueumadadainequaçãodo1.ºgrauéequivalenteaumainequaçãoemqueoprimeiromembroédadoporumafunçãolineardecoeficientenãonuloeosegundomembroéconstante(ax<b).7.Resolverinequaçõesdo1.ºgrauapresentandooconjunto-soluçãonaformadeumintervalo.8.Resolverconjunçõesedisjunçõesdeinequaçõesdo1.ºgraueapresentaroconjunto-soluçãonaformadeumintervalooucomoreuniãodeintervalosdisjuntos.9.Resolverproblemasenvolvendoinequaçõesdo1.ºgrau.3.Operarcomvaloresaproximadosdenúmerosreais1.Identificar,dadoumnúmeroxeumnúmeropositivor,umnúmerox’comouma“aproximaçãodexcomerroinferiorar”quandox’�]x–r,x+r[.2.Reconhecer,dadosdoisnúmerosreaisxeyeaproximaçõesx’ey’respetivamentedexeycomerroinferiorar,quex’+y’éumaaproximaçãodex+ycomerroinferiora2r.3.Aproximaroprodutodedoisnúmerosreaispeloprodutodeaproximaçõesdosfatores,majorandoporenquadramentosoerrocometido.4.Aproximarraízesquadradas(respetivamentecúbicas)comerroinferioraumdadovalorpositivor,determinandonúmerosracionaiscujadistânciasejainferiorarecujosquadrados(respetivamentecubos)enquadremosnúmerosdados.4.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoaproximaçõesdemedidasdegrandezasemcontextosdiversos.

Funções

1.ºPeríodo

Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos

Funções,sequênciaseSucessões

FSS9

FunçõesalgébricasProporcionalidadeinversa

–Funçõesdeproporcionalidadeinversa;referênciaàhipérbole.

–Problemasenvolvendofunçõesdeproporcionalidadeinversa.

–Funçõesdafamíliaf(x)=ax2,coma≠0.–Grandezasinversamenteproporcionais;critériodeproporcionalidadeinversa.–Constantedeproporcionalidadeinversa.–Problemasenvolvendograndezasinversamenteediretamenteproporcionais.

Funçõesalgébricas1.Definirfunçõesdeproporcionalidadeinversa1.Reconhecer,dadaumagrandezainversamenteproporcionalaoutra,que,fixadasunidades,a“funçãodeproporcionalidadeinversaf”queassociaàmedidamdasegundaacorrespondentemediday=f(m)daprimeirasatisfaz,paratodoonúmerorealpositivox,f(xm)=1

�f(m)

(aomultiplicaravariávelindependentemporumdadonúmeropositivo,avariáveldependentey=f(m)ficamultiplicadapeloinversodessenúmero)e,considerandom=1,queéumafunçãodadaporumaexpressãodaformaf(x)=�

�,ondea=f(1)econcluirqueéaconstante

deproporcionalidadeinversa.2.Saber,fixadoumreferencialcartesianonoplano,queográficodeumafunçãodeproporcionalidadeinversaéumacurvadesignadapor“ramodehipérbole”cujareuniãocomarespetivaimagempelareflexãocentralrelativaàorigempertenceaumconjuntomaisgeraldecurvasdoplanodesignadaspor“hipérboles”.2.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendofunçõesdeproporcionalidadeinversaemdiversoscontextos.Proporcionalidadeinversa5.Relacionargrandezasinversamenteproporcionais1.Identificarumagrandezacomo“inversamenteproporcional”aoutraquandodeladependedetalformaque,fixadasunidades,aomultiplicaramedidadasegundaporumdadonúmeropositivo,amedidadaprimeiraficamultiplicadapeloinversodessenúmero.

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2.Reconhecerqueumagrandezaéinversamenteproporcionalaoutradaqualdependequando,fixadasunidades,oprodutodamedidadaprimeirapelamedidadasegundaéconstanteeutilizarcorretamenteotermo“constantedeproporcionalidadeinversa”.3.Reconhecerqueseumagrandezaéinversamenteproporcionalaoutraentãoasegundaéinversamenteproporcionalàprimeiraeasconstantesdeproporcionalidadeinversasãoiguais.6.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendograndezasinversamenteediretamenteproporcionaisemcontextosvariados.

Equações 1.ºPeríodo

Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos

ÁlgebraALG9

Funçõesalgébricas

–Problemasenvolvendofunçõesdeproporcionalidade

inversa.

–Funçõesdafamíliaf(x)=ax2,coma≠0.

–Conjunto-soluçãodaequaçãode2.ºgrauax2+bx+c=0

comointerseçãodaparáboladeequaçãoy=ax2coma

retadeequaçãoy=–bx–c.

Funçõesalgébricas

3.Interpretargraficamentesoluçõesdeequaçõesdo

segundograu

1.Saber,fixadoumreferencialcartesianonoplano,queo

gráficodeumafunçãodadaporumaexpressãodaforma

f(x)=ax(númerorealnãonulo)éumacurvadesignada

por“paráboladeeixoverticalevérticenaorigem”.

2.Reconhecerqueoconjunto-soluçãodaequaçãode2.º

grauax2+bx+c=0éoconjuntodasabcissasdospontos

deinterseçãodaparáboladeequaçãoy=ax2,comareta

deequaçãoy=–bx–c.

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Equaçõesdo2.ºgrau

–Equaçõesde2.ºgraucompletas;completamentodoquadrado.

–Fórmularesolvente.

–Problemasgeométricosealgébricosenvolvendoequaçõesde2.ºgrau.

Equaçõesdo2.ºgrau3.Completarquadradoseresolverequaçõesdo2.ºgrau1.Determinar,dadoumpolinómiodo2.ºgraunavariávelx,ax2+bx+c,umaexpressãoequivalentedaformaa(x+d)2+e,ondedeesãonúmerosreaisedesignaresteprocedimentopor“completaroquadrado”.2.Resolverequaçõesdo2.ºgraucomeçandoporcompletaroquadradoeutilizandooscasosnotáveisdamultiplicação.3.Reconhecerqueumaequaçãodosegundograunavariávelx,ax2+bx+c=0,éequivalenteàequação

(� + �2�)2=�

2$4��4�2

edesignaraexpressãoÄ=b2–4acpor“binómiodiscriminante”ousimplesmente“discriminante”daequação.4.Reconhecerqueumaequaçãodo2.ºgraunãotemsoluçõesseorespetivodiscriminanteénegativo,temuma

únicasolução(� = −�

2�)seodiscriminanteénuloetem

duassoluções(� =−�± �2−4��

2�)seodiscriminantefor

positivo,edesignaresteresultadopor“fórmularesolvente”.5.Saberdememóriaafórmularesolventeeaplicá-laàresoluçãodeequaçõescompletasdo2.ºgrau.4.Resolverproblemas1.Resolverproblemasgeométricosealgébricosenvolvendoequaçõesdo2.ºgrau.

Geometria 2.ºPeríodo

Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos

GeometriaeMedidaGM9

AxiomatizaçãodasteoriasMatemáticasVocabuláriodométodoaxiomático

–Teorias;objetoserelaçõesprimitivas;axiomas.–Axiomáticadeumateoria;definições,teoremasedemonstrações.–Teoriasaxiomatizadascomomodelosdarealidade.–Condiçõesnecessáriasesuficientes;hipóteseetesedeumteorema;osímbolo“⇒”.–Lemasecorolários.

1.Utilizarcorretamenteovocabulárioprópriodométodo

axiomático

1.Identificaruma“teoria”comoumdadoconjuntode

proposiçõesconsideradasverdadeiras,incluindo-setambém

nateoriatodasasproposiçõesquedelasforemdedutíveis

logicamente.

2.Reconhecer,noâmbitodeumateoria,queparanãose

incorreremraciocíniocircularounumacadeiadededuções

semfim,énecessáriofixaralgunsobjetos(“objetos

primitivos”),algumasrelaçõesentreobjetosquenãose

definemapartirdeoutras(“relaçõesprimitivas”),ealgumas

proposiçõesqueseconsideramverdadeirassemasdeduzirde

outras(“axiomas”).

3.Designarpor“axiomáticadeumateoria”umconjuntode

objetosprimitivos,relaçõesprimitivaseaxiomasapartirdos

quaistodososobjetoserelaçõesdateoriapossamser

definidosetodasasproposiçõesverdadeirasdemonstradase

utilizarcorretamenteostermos“definição”,“teorema”e

“demonstração”deumteorema.

4.Saberqueosobjetosprimitivos,relaçõesprimitivase

axiomasdealgumasteoriaspodemterinterpretações

intuitivasquepermitemaplicarosteoremasàresoluçãode

problemasdavidareale,emconsequência,testaravalidade

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AxiomatizaçãodaGeometria

–ReferênciaàsaxiomáticasparaaGeometriaEuclidiana;axiomáticasequivalentes;exemplosdeobjetoserelaçõesprimitivas.–AxiomáticadeEuclides;referênciaaos“Elementos”eaosaxiomasepostuladosdeEuclides;confrontocomanoçãoatualdeaxioma.–Lugaresgeométricos.

dateoriacomomodelodarealidadeemdeterminado

contexto.

5.Distinguir“condiçãonecessária”de“condiçãosuficiente”e

utilizarcorretamenteostermos“hipótese”e“tese”deum

teoremaeosímbolo“⇒”.

6.Saberquealgunsteoremaspodemserdesignadospor

“lemas”,quandosãoconsideradosresultadosauxiliaresparaa

demonstraçãodeumteoremaconsideradomaisrelevantee

outrospor“corolários”quandonodesenvolvimentodeuma

teoriasurgemcomoconsequênciasestreitamente

relacionadascomumteoremaconsideradomaisrelevante.

2.IdentificarfactosessenciaisdaaxiomatizaçãodaGeometria

1.SaberqueparaaGeometriaEuclidianaforamapresentadas

historicamentediversasaxiomáticasqueforamsendo

aperfeiçoadas,eque,dadasduasdelasnumaformarigorosa,é

possíveldefinirostermoserelaçõesprimitivasdeumaatravés

dostermoserelaçõesprimitivasdaoutraedemonstraros

axiomasdeumaapartirdosaxiomasdaoutra,designando-se,

poressemotivo,por“axiomáticasequivalentes”econduzindo

aosmesmosteoremas.

2.Saberque,entreoutraspossibilidades,existemaxiomáticas

daGeometriaquetomamcomoobjetosprimitivosospontos,

asretaseosplanoseoutrasapenasospontos,equearelação

“BestásituadoentreAeC”estabelecidaentrepontosdeum

trioordenado(A,B,C),assimcomoarelação“osparesde

pontos(A,B)e(C,D)sãoequidistantes”,entreparesde

ParalelismoeperpendicularidadederetaseplanosAGeometriaeuclidianaeo

–5.ºPostuladodeEuclideseaxiomaeuclidianodeparalelismo.–ReferênciaàsGeometriasnão--euclidianas;GeometriahiperbólicaoudeLobachewski.

pontospodemsertomadascomorelaçõesprimitivasda

Geometria.

3.SaberquenaformahistóricaoriginaldaAxiomáticade

Euclidessedistinguiam“postulados”de“axiomas”,deacordo

comoquesesupunhaserorespetivograudeevidênciae

domíniodeaplicabilidade,equenasaxiomáticasatuaisessa

distinçãonãoéfeita,tomando-seotermo“postulado”como

sinónimode“axioma”,eenunciarexemplosdepostuladose

axiomasdos“ElementosdeEuclides”.

4.Identificar“lugargeométrico”comooconjuntodetodosos

pontosquesatisfazemumadadapropriedade.

Paralelismoeperpendicularidadederetaseplanos

3.CaracterizaraGeometriaEuclidianaatravésdoaxiomadas

paralelas.

1.Saberqueo“5.ºpostuladodeEuclides”,naforma

enunciadanos“ElementosdeEuclides”,estabelecequese

duasretasnumplano,intersetadasporumaterceira,

determinamcomestaângulosinternosdomesmoladoda

secantecujasomaéinferioraumângulorasoentãoasduas

retasintersetam-senosemiplanodeterminadopelasecante

quecontémessesdoisângulos.

2.Saberqueo“axiomaeuclidianodeparalelismo”estabelece

queporumpontoforadeumaretanãopassamaisqueuma

retaaelaparalelaequeéequivalenteao“5.ºpostuladode

Euclides”nosentidoemquesubstituindoumpelooutrose

obtêmaxiomáticasequivalentes.

axiomadasparalelasParalelismoderetaseplanosnoespaçoeuclidiano

–Demonstraçõesdepropriedadessimplesdeposiçõesrelativasderetasnumplano,envolvendooaxiomaeuclidianodeparalelismo.–Planosconcorrentes;propriedades.–Retasparalelasesecantesaplanos;propriedades.–Paralelismoderetasnoespaço;transitividade.–Paralelismodeplanos:caracterizaçãodoparalelismodeplanosatravésdoparalelismoderetas;transitividade;

3.Saberqueépossívelconstruirteoriasmodificando

determinadasaxiomáticasdaGeometriaEuclidianaque

incluamo5.ºpostuladodeEuclidesesubstituindo-opela

respetivanegação,designaressasteoriaspor“Geometrias

não-Euclidianas”e,nocasodenãohaveroutrasalteraçõesà

axiomáticaoriginalparaalémdestasubstituição,saberquese

designaateoriaresultantepor“GeometriaHiperbólica”ou

“deLobachewski”.

5.Identificarplanosparalelos,retasparalelaseretasparalelas

aplanosnoespaçoeuclidiano

1.Saberqueainterseçãodedoisplanosnãoparaleloséuma

retae,nessecaso,designá-lospor“planosconcorrentes”.

2.Identificarumaretacomo“paralelaaumplano”quandonão

ointersetar.

3.Saberqueumaretaquenãoéparalelaaumplanonemestá

nelecontidainterseta-oexatamentenumponto,e,nessecaso,

designá-lapor“retasecanteaoplano”.

4.Saberqueseumaretaésecanteaumdedoisplanos

paralelosentãoétambémsecanteaooutro.

5.Saberqueseumplanoéconcorrentecomumdedoisplanos

paralelosentãoétambémconcorrentecomooutroe

reconhecerqueasretasinterseçãodoprimeirocomcadaum

dosoutrosdoissãoparalelas.

Perpendicularidadederetaseplanosnoespaçoeuclidiano

existênciaeunicidadedoplanoparaleloaumdadoplanocontendoumpontoexterioraesseplano.–Ângulodedoissemiplanoscomfronteiracomum.–Semiplanoseplanosperpendiculares.–Retasperpendicularesaplanos;resultadosdeexistênciaeunicidade;projeçãoortogonaldeumpontonumplano;retanormalaumplanoepédaperpendicular;planonormalaumareta.–Paralelismodeplanoseperpendicularidadeentreretaeplano.–Critériodeperpendicularidadedeplanos.

6.Saberqueduasretasparalelasaumaterceira(astrêsnão

necessariamentecomplanares)sãoparalelasentresi.

7.Saberqueécondiçãonecessáriaesuficienteparaquedois

planos(distintos)sejamparalelosqueexistaumparderetas

concorrentesemcadaplano,duasaduasparalelas.

8.Provarquedoisplanosparalelosaumterceirosãoparalelos

entresi,saberqueporumpontoforadeumplanopassaum

planoparaleloaoprimeiroeprovarqueéúnico.

6.Identificarplanosperpendiculareseretasperpendicularesa

planosnoespaçoeuclidiano

1.Reconhecer,dadosdoisplanosequeseintersetamnuma

retar,quesãoiguaisdoisquaisquerângulosconvexosA1O1B1

eA2O2B2devérticesemreladosperpendicularesarde

formaqueosladosO1A1eO2A2estãonummesmo

semiplanodeterminadoporremeosladosO1B1eO2B2

estãonummesmosemiplanodeterminadoporrem,e

designarqualquerdosângulosearespetivaamplitudecomum

por“ângulodosdoissemiplanos”.

2.Designarpor“semiplanosperpendiculares”doissemiplanos

queformamumânguloretoepor“planosperpendiculares”os

respetivosplanossuporte.

3.Saberqueseumaretaréperpendicularaduasretasset

nummesmopontoP,éigualmenteperpendicularatodasas

retascomplanaresasetquepassamporPequequalquer

Problemas–Problemasenvolvendoposiçõesrelativasderetaseplanos.

–Planomediadordeumsegmentodereta.

retaperpendiculararquepassaporPestácontidanoplano

determinadopelasretasset.

4.Identificarumaretacomo“perpendicularaumplano”num

pontoPquandoéperpendicularemPaumparderetas

distintasdesseplanoejustificarqueumaretaperpendiculara

umplanonumpontoPéperpendicularatodasasretasdo

planoquepassamporP.

5.Provarqueécondiçãonecessáriaesuficienteparaquedois

planossejamperpendicularesqueumdelescontenhauma

retaperpendicularaooutro.

6.Saberqueexisteumaretaperpendicularaumplano

passandoporumdadoponto,provarqueéúnicaedesignara

interseçãodaretacomoplanopor“pédaperpendicular”e

por“projeçãoortogonaldopontonoplano”e,nocasoemque

opontopertenceaoplano,aretapor“retanormalaoplano

emA”.

7.Saber,dadaumaretareumpontoP,queexisteumúnico

planoperpendiculararpassandoporP,reconhecerqueéo

lugargeométricodospontosdoespaçoquedeterminamcom

P,sepertencerar,oucomopédaperpendiculartraçadadeP

parar,nocasocontrário,umaretaperpendicularare

designaresseplanopor“planoperpendicular(ounormal)ar

passandoporP”e,nocasodePpertenceràreta,por“plano

normalaremP”.

8.Reconhecerqueseumaretaéperpendicularaumdedois

planosparalelosentãoéperpendicularaooutroequedois

planosperpendicularesaumamesmaretasãoparalelos.

MedidaDistânciasaumplanodepontos,retas

–Distânciadeumpontoaumplano.–Projeçãoortogonalnumplanodeumaretaparalelaaoplanoedistânciaentrearetaeoplano.–Distânciaentreplanosparalelos.

9.Designarpor“planomediador”deumsegmentodereta

[AB]oplanonormalàretasuportedosegmentoderetano

respetivopontomédioereconhecerqueéolugargeométrico

dospontosdoespaçoequidistantesdeAeB.

7.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoasposiçõesrelativasderetaseplanos.Medida8.Definirdistânciasentrepontoseplanos,retaseplanoseentreplanosparalelos1.Identificar,dadoumpontoPeumplano,a“distânciaentreopontoeoplano”comoadistânciadePàrespetivaprojeçãoortogonalemeprovarqueéinferioràdistânciadePaqualqueroutropontodoplano.2.Reconhecer,dadaumaretarparalelaaumplano,queoplanodefinidopelaretarepelopédaperpendiculartraçadadeumpontoderparaéperpendicularaoplano,queospontosdaretapinterseçãodosplanosesãoospésdasperpendicularestraçadasdospontosdaretarparaoplano,designarpor“projeçãoortogonaldaretarnoplano”eadistânciaentreasretasparalelasreppor“distânciaentrearetareoplano”,justificandoqueémenordoqueadistânciadequalquerpontoderaumpontodoplanodistintodarespetivaprojeçãoortogonal.3.Reconhecer,dadosdoisplanosparalelose,quesãoiguaisasdistânciasentrequalquerpontodeumearespetivaprojeçãoortogonalnooutro,designarestadistânciacomumpor“distânciaentreosplanose”ejustificarqueémenorqueadistânciaentrequalquerpardepontos,umemcadaumdosplanos,quenãosejamprojeçãoortogonalumdooutro.4.Identificaraalturadeumapirâmideoudeumconecomoadistânciadovérticeaoplanoquecontémabaseeaalturadeumprisma,relativamenteaumpardebases,comoadistânciaentreosplanosquecontêmasbases.

paralelaseplanosparalelosVolumeseáreasdesuperfíciesdesólidos

–Alturadapirâmide,doconeedoprisma.–Volumedapirâmide,coneeesfera.–Áreadasuperfíciedepoliedros,dasuperfícielateraldeconesretosedasuperfícieesférica.–Problemasenvolvendoocálculodeáreasevolumesdesólidos.

9.Compararecalcularáreasevolumes1.Saberqueadecomposiçãodeumprismatriangularretoemtrêspirâmidescomomesmovolumepermitemostrarqueamedida,emunidadescúbicas,dovolumedequalquerpirâmidetriangularéigualaumterçodoprodutodamedida,emunidadesquadradas,daáreadeumabasepelamedidadaalturacorrespondente.2.Reconhecer,pordecomposiçãoempirâmidestriangulares,queamedida,emunidadescúbicas,dovolumedequalquerpirâmideéigualaumterçodoprodutodamedida,emunidadesquadradas,daáreadabasepelamedidadaaltura.3.Saberqueamedida,emunidadescúbicas,dovolumedeumconeéigualaumterçodoprodutodamedida,emunidadesquadradas,daáreadabasepelamedidadaaltura,porsepoderaproximarporvolumesdepirâmidesdebasesinscritasecircunscritasàbasedoconeeomesmovértice.4.Saberqueamedida,emunidadescúbicas,dovolumedeumaesferaéiguala4

3�R3,ondeRéoraiodaesfera.

5.Saberque,numadadacircunferênciaouemcircunferênciasiguais,ocomprimentodeumarcodecircunferênciaeaáreadeumsetorcircularsãodiretamenteproporcionaisàamplitudedorespetivoânguloaocentro.6.Saberque,numadadacircunferênciaouemcircunferênciasiguais,arcos(respetivamentesetorescirculares)comcomprimentos(respetivamenteáreas)iguaissãogeometricamenteiguais.7.Identificaraáreadasuperfíciedeumpoliedrocomoasomadasáreasdasrespetivasfaces.8.Reconhecer,fixadaumaunidadedecomprimento,queamedida,emunidadesquadradas,daárea(dasuperfície)lateraldeumconeretoéigualaoprodutodamedidadocomprimentodageratrizpeloraiodabasemultiplicadopor�,sabendoquepodeseraproximadapelasáreas(dassuperfícies)lateraisdepirâmidescomomesmovérticeebasesinscritasoucircunscritasàbasedocone,ou,emalternativa,observandoqueaplanificaçãodasuperfícielateralcorrespondeaumsetorcircularderaioigualàgeratriz.

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Lugaresgeométricosenvolvendo

–Abissetrizdeumângulocomolugargeométrico.

9.Saberqueamedida,emunidadesquadradas,daáreadeumasuperfícieesféricaéiguala4�R2,ondeRéoraiodaesfera.10.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoocálculodeáreasevolumesdesólidos.Lugaresgeométricosenvolvendopontosnotáveisdetriângulos13.Identificarlugaresgeométricos1.Provarqueasmediatrizesdosladosdeumtriânguloseintersetamnumponto,designá-lopor“circuncentrodotriângulo”eprovarqueocircuncentroéocentrodaúnicacircunferênciacircunscritaaotriângulo.2.Provarqueabissetrizdeumânguloconvexoéolugargeométricodospontosdoânguloquesãoequidistantesdasretassuportesdosladosdoângulo.3.Provarqueasbissetrizesdosângulosinternosdeumtriânguloseintersetamnumponto,designá-lopor“incentrodotriângulo”eprovarqueoincentroéocentrodacircunferênciainscritaaotriângulo.4.Saberqueasretassuportedastrêsalturasdeumtriângulosãoconcorrentesedesignaropontodeinterseçãopor“ortocentro”dotriângulo.5.Justificarquearetaquebissetadoisdosladosdeumtriânguloéparalelaaoterceiroeutilizarsemelhançadetriângulosparamostrarqueduasmedianasseintersetamnumpontoquedistadovértice2

3docomprimentodarespetiva

medianaeconcluirqueastrêsmedianasdeumtriângulosãoconcorrentes,designando-seopontodeinterseçãopor“baricentro”,“centrodemassa”ou“centroide”dotriângulo.6.Determinar,porconstrução,oincentro,circuncentro,ortocentroebaricentrodeumtriângulo.14.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendolugaresgeométricosnoplano.

pontosnotáveisdetriângulosPropriedadesdeângulos,cordasearcosdefinidosnumacircunferência

–Circuncentro,incentro,ortocentroebaricentrodeumtriângulo;propriedadeseconstrução.–Problemasenvolvendolugaresgeométricosnoplano.–Arcosdecircunferência;extremosdeumarco;arcomenoremaior.–Cordas;arcossubtensosporumacorda;arcocorrespondenteaumacorda;propriedades.

Circunferência15.Conhecerpropriedadesdeângulos,cordasearcosdefinidosnumacircunferência1.Identificar“arcodecircunferência”comoainterseçãodeumadadacircunferênciacomumânguloaocentroeutilizarcorretamenteotermo“extremosdeumarco”.2.Designar,dadosdoispontosAeBdeumacircunferênciadecentroO,nãodiametralmenteopostos,por“arcomenorAB”,ousimplesmente“arcoAB”,oarcodeterminadonacircunferênciapeloânguloaocentroconvexoAOB.3.Designar,dadosdoispontosAeBdeumacircunferênciadecentroO,nãodiametralmenteopostos,por“arcomaiorAB”,oarcodeterminadonacircunferênciapeloânguloaocentrocôncavoAOB.4.Representar,dadostrêspontosA,BePdeumadadacircunferência,porarcoAPBoarcodeextremosAeBquecontémopontoP.5.Designar,dadosdoispontosAeBdeumacircunferência,por“cordaAB”osegmentodereta[AB],osarcosdeextremosAeBpor“arcossubtensospelacordaAB”,equandosetratardeumarcomenor,designá-lopor“arcocorrespondenteàcordaAB”.6.Reconhecer,numacircunferênciaouemcircunferênciasiguais,quecordasearcosdeterminadosporângulosaocentroiguaistambémsãoiguaisevice-versa.7.Identificara“amplitudedeumarcodecircunferênciaAPB”,comoaamplitudedoânguloaocentrocorrespondenteerepresentá-lapor���,ousimplesmente��porquandosetratardeumarcomenor.8.Reconhecerquesãoiguaisarcos(respetivamentecordas)determinadosporduasretasparalelaseentreelascompreendidos.9.Demonstrarquequalquerretaquepassapelocentrodeumacircunferênciaeéperpendicularaumacordaabisseta,assimcomoaosarcossubtensoseaosângulosaocentrocorrespondentes.10.Designarpor“ânguloinscrito”numarcodecircunferênciaqualquerângulodevérticenoarcoedistintodosextremosecomladospassandoporeles,oarcopor“arcocapazdoânguloinscrito”eutilizarcorretamenteaexpressão“arcocompreendidoentreoslados”deumânguloinscrito.

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–Amplitudedeumarco.–Ânguloinscritonumarco;arcocapaz;arcocompreendidoentreosladosdeumânguloinscrito;propriedades.–Segmentodecírculomaioremenor.–Ângulodosegmento;ânguloex-inscrito;propriedades.–Ângulosdevérticenoexteriorounointeriordeumcírculoeladosintersetandoarespetivacircunferência;propriedades.–Demonstraçãodasfórmulasparaasomadosângulosinternosede ângulosexternoscomvérticesdistintosdeumpolígonoconvexo;aplicações:demonstraçãodafórmulaparaasomadosângulosopostosdeumquadriláteroinscritonumacircunferência;construçãoaproximadadeumpolígonoregularde ladosinscritonumacircunferênciautilizandotransferidor.–Problemasenvolvendoângulosearcosdefinidosnumacircunferênciaeângulosinternoseexternosdepolígonosregulares.

11.Demonstrarqueaamplitudedeumânguloinscritoéigualametadedaamplitudedoarcocompreendidoentreosrespetivosladose,comocorolários,queângulosinscritosnomesmoarcotêmamesmaamplitudeequeumânguloinscritonumasemicircunferênciaéumânguloreto.12.Designarpor“segmentodecírculo”aregiãodocírculocompreendidaentreumacordaeumarcoporelasubtenso,dito“maior”quandooarcoformaiore“menor”quandooarcoformenor.13.Provarqueumângulodevérticenumdosextremosdeumacorda,umdosladoscontendoacordaeooutrotangenteàcircunferência(“ângulodosegmento”),temamplitudeigualametadedaamplitudedoarcocompreendidoentreosseuslados.14.Designarporângulo«ex-inscritonumarcodecircunferência»umânguloadjacenteaumânguloinscritoeaelesuplementar,eprovarqueaamplitudedeumânguloex-inscritoéigualàsemissomadasamplitudesdosarcoscorrespondentesàscordasqueasretassuportedosladoscontêm.15.Provarqueaamplitudedeumânguloconvexodevérticenointeriordeumcírculoéigualàsemissomadasamplitudesdosarcoscompreendidosentreosladosdoânguloeosladosdoânguloverticalmenteoposto.16.Provarqueaamplitudedeumângulodevérticeexterioraumcírculoecujosladosointersetaméigualàsemidiferençaentreamaioreamenordasamplitudesdosarcoscompreendidosentreosrespetivoslados.17.Provarqueasomadasmedidasdasamplitudes,emgraus,dosângulosinternosdeumpolígonoconvexocomnladoséiguala(n–2)180ededuzirqueasomadenângulosexternoscomvérticesdistintoséigualaumângulogiro.18.Provarqueasomadosângulosopostosdeumquadriláteroinscritonumacircunferênciaéigualaumânguloraso.

Trigonometria

3.ºPeríodo

Domínio Subdomínio Conteúdos MetasTemposLetivos

GeometriaeMedida

GM9

Trigonometria

–Seno,cossenoetangentedeumânguloagudo.–Fórmulafundamentaldatrigonometria.–Relaçãoentreatangentedeumânguloagudoeosenoecossenodomesmoângulo.– Relação entre o seno e o cosseno de ânguloscomplementares.– Dedução dos valores das razões trigonométricas dosângulosde45∘,30∘e60∘.– Utilização de tabelas e de uma calculadora para adeterminaçãodevaloresaproximadosdaamplitudedeumânguloconhecidaumarazãotrigonométricadesseângulo.– Problemas envolvendo distâncias e razõestrigonométricas.

Trigonometria11.Definireutilizarrazõestrigonométricasdeângulosagudos1.Construir,dadoumânguloagudoθ,triângulosretângulosdosquaisθéumdosângulosinternos,traçandoperpendicularesdeumpontoqualquer,distintodovértice,deumdosladosdeθparaooutrolado,provarquetodosostriângulosqueassimsepodemconstruirsãosemelhantesetambémsemelhantesaqualquertriânguloretânguloquetenhaumângulointernoigualaθ.2.Designar,dadoumânguloagudoθinternoaumtriânguloretânguloeumaunidadedecomprimento,por“senodeθ”oquocienteentreasmedidasdocomprimentodocatetoopostoaθedahipotenusaerepresentá-loporsin(θ),sinθ,sen(θ)ousenθ.3.Designar,dadoumânguloagudoθinternoaumtriânguloretânguloeumaunidadedecomprimento,por“cossenodeθ”oquocienteentreasmedidasdocomprimentodocatetoadjacenteaθedahipotenusaerepresentá-loporcos(θ)oucosθ.4.Designar,dadoumânguloagudoθinternoaumtriânguloretânguloeumaunidadedecomprimento,por“tangentedeθ”oquocienteentreasmedidasdocomprimentodocatetoopostoaθedocatetoadjacenteaθerepresentá-loportan(θ),tanθ,tg(θ)outgθ.5.Designarsenodeθ,cossenodeθetangentedeθpor“razõestrigonométricas”deθ.6.Reconhecer,fixadaumaunidadedecomprimentoedadosdoisângulosθeθ’comamesmaamplitude =’,queoseno,cossenoetangentedeθsãorespetivamenteiguaisaoseno,cossenoetangentedeθ’edesigná-lostambémrespetivamenteporseno,cossenoetangentede .7.Justificarqueovalordecadaumadasrazõestrigonométricasdeumânguloagudoθ(edarespetivaamplitude)éindependentedaunidadedecomprimentofixada.

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8.Reconhecerqueosenoeocossenodeumânguloagudosãonúmerospositivosmenoresdoque1.9.Provarqueasomadosquadradosdosenoedocossenodeumânguloagudoéiguala1edesignaresteresultadopor“fórmulafundamentaldatrigonometria”.10.Provarqueatangentedeumânguloagudoéigualàrazãoentreosrespetivossenoecosseno.11.Provarquesenodeumânguloagudoéigualaocossenodeumângulocomplementar.12.Determinar,utilizandoargumentosgeométricos,asrazõestrigonométricasdosângulosde45o,30oe60o.13.Utilizarumatabelaouumacalculadoraparadeterminarovalor(exatoouaproximado)daamplitudedeumânguloagudoapartirdeumadassuasrazõestrigonométricas.12.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoadeterminaçãodedistânciasutilizandoasrazõestrigonométricasdosângulosde45o,30oe60o.2.Resolverproblemasenvolvendoadeterminaçãodedistânciasutilizandoângulosagudosdadoseasrespetivasrazõestrigonométricasdadasporumamáquinadecalcularouporumatabela.3.Resolverproblemasenvolvendoadeterminaçãodedistânciasapontosinacessíveisutilizandoângulosagudoseasrespetivasrazõestrigonométricas.

Histograma.Probabilidade

3.ºPeríodo

Domínio Subdomínio Conteúdos MetasTemposLetivos

OrganizaçãoeTratamentodeDados

OTD9

Histogramas

– Variáveis estatísticas discretas e contínuas; classesdeterminadas por intervalos numéricos; agrupamento dedadosemclassesdamesmaamplitude.–Histogramas;propriedades.– Problemas envolvendo a representação de dados emtabelasdefrequênciaehistogramas.

Histogramas1.Organizarerepresentardadosemhistogramas1.Estenderanoçãodevariávelestatísticaquantitativaaocasoemquecadaclasseficadeterminadaporumintervalodenúmeros,fechadoàesquerdaeabertoàdireita,sendoessesintervalosdisjuntosdoisadoisedeuniãoigualaumintervalo(eestendertambémaocasoemqueseintersetacadaumdessesintervaloscomumconjuntofinitopré-determinadodenúmeros),designandotambémcadaintervalopor“classe”.2.Identificarumavariávelestatísticaquantitativacomo“discreta”quandocadaclasseficadeterminadaporumnúmeroouumconjuntofinitodenúmerosecomo“contínua”quandoseassociaacadaclasseumintervalo.3.Reagruparasunidadesdeumapopulaçãoemclassescombasenumconjuntodedadosnuméricosdemodoqueasclassestenhamumamesmaamplitudepré-fixadaedesignaresteprocessopor“agruparosdadosemclassesdamesmaamplitude”.4.Identificar,consideradoumconjuntodedadosagrupadosemclasses,“histograma”comoumgráficodebarrasretangularesjustapostasetaisqueaáreadosretângulosédiretamenteproporcionalàfrequênciaabsoluta(eportantotambémàfrequênciarelativa)decadaclasse.5.Reconhecerquenumhistogramaformadoporretângulosdebasesiguais,arespetivaalturaédiretamenteproporcionalàfrequênciaabsolutaeàfrequênciarelativadecadaclasse.6.Representar,emhistogramas,conjuntosdedadosagrupadosemclassesdamesmaamplitude.2.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoarepresentaçãodedadosemtabelasdefrequência,diagramasdecaule-e-folhasehistogramas.

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-Experiências deterministas e aleatórias. Universo deresultados.- Acontecimentos e casos favoráveis. Classificação deacontecimentos.-RegradeLaplace.-Propriedadesdaprobabilidade.-Probabilidadeemexperiênciascompostas.-Frequênciasrelativaseprobabilidade.

Probabilidade3.Utilizarcorretamentealinguagemdaprobabilidade1.Identificaruma“experiência”comoumprocessoqueconduzaumresultadopertencenteaumconjuntopreviamentefixadodesignadopor“universodosresultados”ou“espaçoamostral”,nãosedispondodeinformaçãoquepermitaexcluirapossibilidadedeocorrênciadequalquerdessesresultados,designaroselementosdoespaçoamostralpor“casospossíveis”eaexperiênciapor“determinista”quandoexisteumúnicocasopossívele“aleatória”emcasocontrário.2.Designarpor“acontecimento”qualquersubconjuntodouniversodosresultadosdeumaexperiênciaaleatóriaeoselementosdeumacontecimentopor“casosfavoráveis”aesseacontecimentoeutilizaraexpressão“oacontecimentoAocorre”parasignificarqueoresultadodaexperiênciaaleatóriapertenceaoconjuntoA.3.Designar,dadaumaexperiênciaaleatória,oconjuntovazioporacontecimento“impossível”,ouniversodosresultadosporacontecimento“certo”,umacontecimentopor“elementar”seexistirapenasumcasoquelhesejafavorávelepor“composto”seexistirmaisdoqueumcasoquelhesejafavorável.4.Designardoisacontecimentospor“incompatíveis”ou“disjuntos”quandoarespetivainterseçãoforvaziaepor“complementares”quandoforemdisjuntosearespetivareuniãoforigualaoespaçoamostral.5.Descreverexperiênciasaleatóriasquepossamserrepetidasmantendoummesmouniversoderesultadoseconstruídasdemodoaqueseespere,numnúmerosignificativoderepetições,quecadaumdoscasospossíveisocorraaproximadamentecomamesmafrequênciaedesignarosacontecimentoselementaresdessasexperiênciaspor“equiprováveis”.6.Designar,dadaumaexperiênciaaleatóriacujoscasospossíveissejamemnúmerofinitoeequiprováveis,a“probabilidade”deumacontecimentocomooquocienteentreonúmerodecasosfavoráveisaesseacontecimentoeonúmerodecasospossíveis,designarestadefiniçãopor“regra

deLaplace”ou“definiçãodeLaplacedeprobabilidade”eutilizarcorretamenteostermos“maisprovável”,“igualmenteprovável”,“possível”,“impossível”e“certo”aplicados,nestecontexto,aacontecimentos.7.Reconhecerqueaprobabilidadedeumacontecimento,deentreosqueestãoassociadosaumaexperiênciaaleatóriacujoscasospossíveissejamemnúmerofinitoeequiprováveis,éumnúmeroentre0e1e,nessecontexto,queéiguala1asomadasprobabilidadesdeacontecimentoscomplementares.8.JustificarqueseeforemacontecimentosdisjuntossetemP(A∪B)==P(A)+P(B).9.Identificaredarexemplosdeacontecimentospossíveis,impossíveis,elementares,compostos,complementares,incompatíveiseassociadosaumadadaexperiênciaaleatória.10.Utilizartabelasdeduplaentradaediagramasemárvorenaresoluçãodeproblemasenvolvendoanoçãodeprobabilidadeeacomparaçãodasprobabilidadesdediferentesacontecimentoscompostos.11.Realizarexperiênciasenvolvendoacomparaçãodasfrequênciasrelativascomasrespetivasprobabilidadesdeacontecimentosemexperiênciasrepetíveis(aleatórias),emcasosemquesepresumeequiprobabilidadedoscasospossíveis

Período 1º 2º 3ºTotaldeAulas 63 54 40Nºdeaulasdestinadasàlecionaçãodeconteúdos 51 46 30Nºdeaulasdestinadasàapresentação;avaliaçãodeconhecimentos;correçãoeanálisederesultados;autoavaliação. 12 8 10