Plano cartesiano, Retas e Circunferência · Plano cartesiano, Retas e Circunferência Alex...
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Plano cartesiano, Retas e
Circunferência
Alex Oliveira
Sistema cartesiano ortogonal
O sistema cartesiano ortogonal é formado
por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A
intersecção dos eixos x e y é o ponto O.
chamado de origem do sistema. Há uma
relação entre os pontos de um plano e o
conjunto de pares ordenados, isto é, a cada
ponto corresponde um único par
ordenado(x, y).
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Sistema cartesiano ortogonal
Exemplo:
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B
A
C
D
Sistema cartesiano ortogonal
Os pares ordenados são:
(3, 2) está associado o ponto A;
(-1, -4) está associado o ponto B;
(-2, -3) está associado o ponto C;
(2, -1) está associado o ponto D.
Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que onúmero 3 é a coordenada x ou a abscissa doponto A, e o número 2 é a coordenada y ou aordenada do ponto A.
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Sistema cartesiano ortogonal
Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiõeschamadas quadrantes. O sinal positivo ou negativoda abscissa e da ordenada varia de acordo com oquadrante.
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x
y
1º quadrante(+, +)
2º quadrante(-, +)
3º quadrante(-, -)
4º quadrante(+, -)
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos, A e B, a distância entreeles, que será indicada por d(A, B), é a medidado segmento de extremidades A e B.
• Exemplo:
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Como em ambos ospontos, o valor daordenada é o mesmo(y = 1) a distânciaserá a diferençaentre as ordenadas.d(A, B) = 3 – 1 = 2
A(1, 1) B(3, 1)
Distância entre dois pontos
• Exemplo:
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Nesse caso, como nem aordenada e nem aabscissa dos pontos sãoiguais, usamos a relaçãode Pitágoras para obtera distância entre ospontos.[d(C, D)]2 = 32 + 22
d(C, D) = 13
2
3
C(1, 3)
D(4, 1)
Distância entre dois pontos
Temos uma fórmula que representa a
distância entre dois pontos independente da
localização deles. Para dois pontos
quaisquer, A e B, tal que A(x1, y1) e B(x2,
y2), teremos:
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d(A, B) = x2− x12+ y2− y1
2
Ponto médio de um segmento
Dado um segmento de reta AB tal que A e B sãodistintos, vamos determinar as coordenadas de M, pontomédio de AB. Considere:
• Um segmente com extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2);
• O ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB.
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y
xx1 x2
y1
y2
A
M
B
Ponto médio de um segmento
Podemos concluir que, dado um segmento deextremidades A e B:
• A abscissa do ponto médio do segmento é amédia aritmética das abscissas dasextremidades:
• A ordenada do ponto médio do segmento é amédia aritmética das ordenadas dasextremidades:
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x = x2+ x12
y = y2+ y12
Ponto médio de um segmento
Assim, o ponto médio M do segmento AB,
pode ser obtido independente da
localização das extremidades usando as
fórmulas anteriores:
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M =x2+ x12
,y2+ y12
Coeficiente angular de uma reta
Consideremos uma reta r de inclinação
em relação ao eixo x.
O coeficiente angular ou a declividade
dessa reta r é o número real m que
expressa a tangente trigonométrica de sua
inclinação , ou seja:
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m = tg()
Coeficiente angular de uma reta
Vamos observar casos, considerando:
• 0º 180º
1º -
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x
y
r
Para = 0°, temos m = tg = tg 0° = 0,nesse caso temos uma reta horizontal.
Coeficiente angular de uma reta
2º -
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x
y
r
Para 0° < < 90°, temos tg > 0 m > 0
Coeficiente angular de uma reta
3º -
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x
y
r
Para 90° < < 180°, temos tg < 0 m < 0
Coeficiente angular de uma reta
4º -
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x
y
r
Para = 90°, a tg não é definida, nessecaso é uma reta vertical, ela não temdeclividade
Coeficiente angular de uma reta
Agora vamos ver como calcular o coeficiente angularde uma reta a partir das coordenadas de dois de seuspontos.
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x
y r
A
B
Cy
x
x1x2
y2
y1
No triângulo ABC, temos:
tg = d(C, B)d(A, C)
yx
y2− y1x2 − x1
Então:
m = yx
= y2− y1x2− x1
Equação da reta
Vimos antes que dois pontos distintos
determinam uma reta, ou seja, existe uma
única reta que passa pelos dois pontos.
Da mesma forma, um ponto P(x0, y0) e a
declividade m determinam uma reta r.
Considerando ponto P(x, y) dessa reta,
veremos que se pode chegar a uma
equação, de incógnitas x e y.
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Equação da reta
Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta e tg = m, temos:
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x
y r
P0
P
C
x0x
y
y0
tg = d(C, P)d(P0, C)
m = y− y0x − x0
y – y0 = m(x – x0)
Vamos praticar...
Uma reta passa pelo ponto P(-1, -5) e tem
coeficiente angular m =1
2. Escreva a
equação da reta.
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Vamos praticar...
Tendo o ponto e o coeficiente angular,usaremos esses valores no modelo daequação.
y – y0 = m(x – x0)
y – (-5) =1
2[x – (-1)]
y + 5 =𝑥
2+
1
2
𝑥
2- y +
1
2- 5 = 0
x – 2y +1 – 10 = 0
x – 2y – 9 = 0
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Vamos praticar...
Na figura dada, o ponto O é a origem dosistema de coordenadas ortogonais e OABC éum retângulo. Nessas condições, escreva aequação da reta-suporte da diagonal AC.
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x
y
C B(8, 4)
AO
Vamos praticar...
Pela figura podemos as coordenadas do pontos A e Csão:
A(8, 0)
C(0, 4)
Usando os dois pontos podemos encontrar a coeficiente angular.
m = y2− y1x2− x1
m = 4 − 0
0 − 8 m = -
4
8 m = -
𝟏
𝟐Agora vamos usar um dos pontos junto com o coeficiente para encontrar a equação.
y – 4 = -1
2(x - 0) y – 4 = -
𝑥
2
𝑥
2+ y - 4 = 0 x + 2y – 8 = 0
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Vamos praticar...
(Vunesp) Num sistema de eixos cartesianos
ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x – 5y – 2 = 0
são, respectivamente, as equações das
retas r e s. Determine as coordenadas do
ponto de intersecção de r em s.
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Vamos praticar...
O ponto de interseção (x, y) deve satisfazer ao mesmotempo ambas as equações. Assim, devemos resolver osistema:
x + 3y + 4 = 0
2x – 5y – 2 = 0
Isolamos x na primeira equação:
x = -3y – 4
Agora aplicamos o x na segunda equação:
2(-3y - 4) – 5y – 2 = 0 -6y – 8 – 5y – 2 = 0
-11y – 10 = 0 y = -10
11
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Vamos praticar...
Aplicamos o valor de y na primeira equação
para encontrar a coordenada x:
x = -3 −10
11– 4 x =
30
11- 4 x =
30 − 44
11
x =−𝟏𝟒
𝟏𝟏
Assim, o ponto de intersecção das retas r e
s é−𝟏𝟒
𝟏𝟏,−𝟏𝟎
𝟏𝟏.
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Duas retas no plano
Duas retas r e s, contidas no mesmo plano
são paralelas ou concorrentes.
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Retas Paralelas
Sendo 1 a inclinação da reta r e 2 a
inclinação da reta s, temos:
m1 = m2 tg 1 = tg 2 1 = 2
Se as inclinações são iguais, as retas são
paralelas (r // s).
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Retas Paralelas
Veja as imagens a seguir, que mostram
duas retas distintas e não-verticais, que são
paralelas:
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x
y
1
r s
2
Observamos que:2 = 1 tg 2 = tg 1
m2 = m1 r // s
Retas Paralelas
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x
y
1
r s
2
Observamos que:2 = 1 tg 2 = tg 1
m2 = m1 r // s
Retas Paralelas
Podemos concluir que, dadas duas retas
distintas e não-verticais r e s são paralelas
se, e somente se, seus coeficientes
angulares são iguais (m1 = m2).
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Retas Concorrentes
Duas retas do mesmo plano com coeficientesangulares diferentes não são paralelas, logo,são concorrentes.
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x
y
1
rs
2
Observamos que:2 1 tg 2 tg 1
m2 m1 r e s: sãoconcorrentes
Retas Concorrentes
Portanto, duas retas distintas e não-verticais
r e s são concorrentes se, e somente se,
seus coeficientes angulares são
diferentes (m1 m2).
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Intersecção de duas retas
A figura mostra duas retas, r e s, do mesmo plano, quese intersectam no ponto P(a, b).
Como P pertence às duas retas, suas coordenadasdevem satisfazer simultaneamente às equações dessasduas retas.
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x
y rs
P(a, b)
Intersecção de duas retas
Logo, para determiná-las, basta resolver o sistemaformado pelas equações das duas retas.
Observação: Pela resolução de sistemas verificar aposição relativa de duas retas. Assim temos:
• Sistema possível e determinado – um único pontocomum: retas concorrentes;
• Sistema possível e indeterminado – infinitospontos comuns: retas coincidentes;
• Sistema impossível – nenhum ponto comum: retasparalelas distintas.
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Intersecção de duas retas
Vamos determinar as coordenadas do ponto
P de intersecção das retas r e s, de
equações 3x + 2y – 7 = 0 e x – 2y – 9 = 0,
respectivamente.
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Intersecção de duas retas
Nosso problema consiste em resolver o sistema formadopelas equações das duas retas:
3x + 2y – 7 = 0
x – 2y – 9 = 0
4x – 16 = 0 4x = 16 x = 4
Encontramos a coordenada x do ponto de intersecção,agora substituímos seu valor na segunda equação:
4 – 2y – 9 = 0 -2y = 5 y = -5
2Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são:
P 4,−5
2
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Perpendicularidade de duas retas
A figura mostra a reta r, de inclinação 1 e areta s, de inclinação 2, tal que r e s sãoperpendiculares.
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x
y
1
rs
2
P
A
B
Perpendicularidade de duas retas
Dadas as retas r e s, de coeficientes
angulares m1 e m2, temos:
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r s m2m1 = -1
Vamos praticar...
(FEI-SP) A reta s é perpendicular à reta r e
a reta t é paralela à reta s. Determine a
equação da reta s e a equação da reta t.
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x
y
P(0, 3)
Q(4, 0)
O M(1, 0) r
st
Vamos praticar...
Vamos determinar coeficiente angular da reta r,usando os dois pontos:
mr =0 − 3
4 − 0 mr =
− 3
4Como a reta r é perpendicular a reta s, temos:
mr ms = -1 − 3
4. ms = -1 ms =
𝟒
𝟑Agora podemos obter a equação da reta s:
y – 0 =4
3(x - 4) y =
4𝑥
3-16
3
4𝑥
3- y -
16
3= 0
4x – 3y – 16 = 0
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Vamos praticar...
Como a reta t e paralela a reta s, os
coeficientes angulares são iguais, ou seja,
mt =𝟒
𝟑. Com isso, já podemos determinar a
equação da reta t.
y – 0 =𝟒
𝟑(x - 1) y =
𝟒𝒙
𝟑-𝟒
𝟑
𝟒𝒙
𝟑- y -
𝟒
𝟑= 0
4x – 3y – 4 = 0
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Circunferência
Vamos estudar sobre a circunferência,
assim vamos associar cada circunferência a
uma equação, e a partir daí, estudar suas
propriedades geométricas.
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Circunferência
Uma circunferência com centro O(a, b) e raio r é oconjunto de todos os pontos no plano equidistantesde O, ou seja: d(O, P) = 𝒙 − 𝒂 𝟐+ 𝒚 − 𝒃 𝟐 = r
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x
y
a
bO(a, b)
P(x, y)
Circunferência
Se elevarmos ambos os membros ao
quadrado, teremos a equação normal da
circunferência:
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(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Problemas de tangência
Para resolver problemas envolvendo retas
tangentes á circunferência devemos lembrar
de dois detalhes:
• Quando a reta é tangente à
circunferência, a distanciado centro da
circunferência à reta tangente é o raio.
• A reta tangente é sempre perpendicular ao
raio no ponto de tangência.
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Problemas de tangência
O ponto P(5, 2) pertence a circunferência deequação x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0. Vamosdeterminar a equação da reta t tangente a essacircunferência em P.
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P(5, 2)
C
Problemas de tangência
Se uma reta t tangencia uma circunferência decentro C e raio r em P, então t é perpendicularà reta-suporte de CP.
Vamos encontrar o centro e raio dacircunferência.
x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0
x2 + 2x + y2 – 6y = 27
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 27 + 1 + 9
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 37
Então, C(-1, 3) e r = 37
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Problemas de tangência
Agora, vamos determinar o coeficiente angular
m1 da reta-suporte que passa pelo pontos C(-
1, 3) e P(5, 2):
m1 =2 − 3
5 + 1= -
𝟏
𝟔
Vamos determinar o coeficiente angular m2 da
reta tangente perpendicular à reta-suporte.
m2 m1 = -1 m2 −1
6= -1 m2 = -
1
−1
6
= 6
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Problemas de tangência
Agora podemos calcular a equação da reta t
que passa pelo ponto P(5, 2) e tem
coeficiente angular 6:
y – 2 = 6(x – 5) y – 2 = 6x – 30 6x – y
– 28 = 0
A equação pedida é 6x – y – 28 = 0.
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