PLANO DE AULA

1-IDENTIFICAÇÃO

Instituto Federal Catarinense-Campus Avançado Sombrio

Município: Sombrio, SC.

Disciplina: Matemática

Série: 2º ano Nível: Ensino Médio

Professora: Nébia Mara de Souza Tempo previsto: 3,5 horas/aula

2-TEMA: Funções Trigonométricas

Subtemas: Função Seno, Função Cosseno, Função Tangente, Função Cossecante, Função

Secante, Função Cotangente, Domínio, Imagem e Período das Funções.

3) JUSTIFICATIVA

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática

responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos

retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis,

30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e

tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca

pela relação entre os ângulos e os lados. Mas a Trigonometria não se limita a estudar somente

triângulo retângulo, agora a Trigonometria toma proporções ampliadas podendo ser utilizada

em varias outras áreas como os fenômenos periódicos, aqueles que se repetem em intervalos

regulares, e são encontrados na Música, na Acústica, Eletricidade, Mecânica e nessas áreas as

funções trigonométricas são de grande aplicação.

4) OBJETIVOS:

Identificar as Funções Seno, Cosseno, Tangente, Cossecante, Secante e Cotangente;

Analisar os gráficos das diferentes funções;

Determinar o domínio a imagem e o período das funções;

Analisar a influência dos parâmetros em cada função;

Aplicar os conceitos de função trigonométrica na resolução de problemas;

Utilizar os recursos computacionais para analisar o comportamento das funções;

5) CONTEÚDOS ENVOLVIDOS (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da

aula).

Funções trigonométricas;

Trigonometria;

Domínio e imagem

Periodicidade das funções.

6) ESTRATÉGIAS:

6.1- recursos: quadro, data show, material impresso.

6.2- técnicas: Aula expositiva e dialogada, utilização de softwares matemáticos e atividades

em sala de aula.

7) PROCEDIMENTOS:

7.1- Problematização:

Em uma região, em determinado dia, a diferença entre os níveis da maré alta e da maré

baixa é 1,4 m, e o intervalo de tempo entre duas marés alta consecutivas, (ou entre duas marés

baixas consecutivas) é 12 horas. Em um plano vertical, pode-se imaginar uma circunferência

acima do nível do mar e uma haste rígida ligando um ponto P da circunferência a um ponto do

nível do mar, no prolongamento de Oy, tal que o movimento de sobe e desce da superfície do

mar faça com que o ponto P gire sobre a circunferência, conforme mostra a figura.

Como você descreveria o movimento das marés nessa região em função do horário t, em hora,

nesse dia?

Resolução

Imaginemos, em um plano vertical, uma circunferência acima do nível do mar e uma haste

aguda ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento

do eixo Oy, conforme mostra a figura.

O subir e descer da maré, que lembra o movimento de um imenso pistão, provoca um

movimento circular do ponto P. Supondo esse movimento com velocidade constante no

sentido anti-horário, vamos calcular a medida ά do arco AP, em função do tempo t, em hora,

em que t = 0 corresponda a um instante em que P passou pelo ponto A (0.7; 0):

Medida do arco (rad) Tempo (h)

2π ______________ 12

ά ______________ t Logo, ά = πt/6 rad

Assim, podemos descrever o movimento da maré nesse dia, em função do tempo t, em hora,

(0 ≤ t ≤ 24):

- pela ordenada do ponto P; f (t) = 0,7 sen πt/6 rad ou

- pela abscissa do ponto P: g (t) = 0,7 cos πt/6 rad

Notas:

1º O período p da função f (t) = 0,7 sen πt/6 ou da função g (t) = 0,7 cos πt/6 é dado por p =

2π / π/6 = 12. Esse período, no contexto do problema, chamado de período das marés, é o

tempo, em hora, transcorrido entre duas marés altas (ou duas marés baixas) consecutivas.

2º O gráfico da função f (t) = 0,7 sen πt/6, para 0 ≤ t ≤ 24 é:

Interpretando esse gráfico no contexto do problema, concluímos, por exemplo:

- A zero hora, a maré estava em seu nível médio.

- Às 3 h e às 15 h, a maré estava em nível máximo, 0,7 m acima do nível médio.

- Às 9 h e às 21 h, a maré estava em seu nível mínimo, 0,7 m abaixo do nível médio.

7.2- Historicização

De acordo com relatos de historiadores, em tempos muito distantes, anteriores à era

cristã, o interesse do homem pelo movimento dos astros deu origem à Trigonometria, e por

séculos esse vínculos permaneceu.

Em meados do século XVI, François Viète, advogado frânces dedicado à pesquisa

matemática, destacou-se por recorrer sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a

trigonometria na resolução de problemas algébricos, contribuindo, assim com o

desenvolvimento da Matemática. Todo esse processo culmina com introdução do conceito de

seno, cosseno e tangente como números reais, feita por Leonhard Euler (século XVIII),

quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário. Leonhard Euler (1707 – 1783),

matemático mais produtivo de todos os tempos. Foi primeiro a tratar seno e cosseno como

funções. Devemos a ele a notação f(x) para uma função.

A representação das relações trigonométricas no círculo de raio unitário levou os

matemáticos a estudarem seu comportamento, esboçando-as graficamente. Assim, foram

identificadas funções, sendo Gilles Roberval (matemático francês do século XVIII) o primeiro

a esboçar a curva do seno. O estudo das funções trigonométricas teve seu ápice com Joseph

Fourier, no século XIX, no campo dos movimentos periódicos.

7.3- Operacionalizações da aula

Começaremos a aula apresentando a problematização. Logo faremos a historicização.

Após começar a explicar o conteúdo das Funções trigonométricas, Seno, Cosseno, Tangente,

Secante, Cossecante e Cotangente. Analisar as características da função, domínio, imagem, o

período e o gráfico, com o auxilio de um software matemático GeoGebra. Após aplicar uma

prova referente o conteúdo trabalhado.

GENERALIZAÇÃO

De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:

f(x) = a + b . trig (cx – d)

Em que a, b, c, d são constantes (b ≠ 0 e c ≠ 0) e trig indica uma das seis funções

trigonométricas que serão estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e

cotangente).

Função Seno

Chamamos de função seno a função f(x) = sen x

Gráfico da função seno

Para construir o gráfico da função seno vamos construir uma tabela com valores de x da 1ª

volta positiva. O seno, em alguns casos, será usado com valores aproximados

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 72.

Veja o gráfico inicialmente para x € [0, 2π] e depois para x € IR.

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 72.

Como a função f(x) = sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é

IR, a curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2π.

Assim, o gráfico da função f: IR → IR, definida por f(x) = sen x, é a curva chamada senóide,

que tem o seguinte aspecto:

Fonte:

Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 73.

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [-1,1] ; visto que, na circunferência

trigonométrica o raio é unitário, ou seja:

Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.

Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .

Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1

f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)

f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.

Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.

Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.

Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.

Periodicidade da função seno

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 73.

Observando o gráfico da função seno, vemos que a função repete periodicamente seus valores

nos intervalos.....[-2π, 0], [0, 2π], [2π, 4π],....Daí dizemos que a função seno é periódica.

Observe no gráfico que sen x = sen (x = 2π) = sen (x + 4π) = ....para todo x € IR.

Dizemos então que o período da função seno é 2π e indicamos assim: p = 2π.

Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal para que ele

comece a se repetir.

Exemplo 1:

Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 + sen x.

Resolução

x sen x y

0 0 2 + 0 = 2

π/2 1 2 + 1 = 3

π 0 2 + 0 = 2

3π/2 -1 2 – 1 = 1

2π 0 2 + 0 = 2

D(f) = IR; Im (f) = [ y € IR/ 1 ≤ y ≤ 3 ]; p = 2π

Analisando o que cada parâmetro interfere na função

Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2 + sen x, veremos que ele sofreu

um deslocamento de duas unidades para cima.

f(x) = sen x

De modo geral, ao considerarmos a função do tipo f(x) = a + sen x, o gráfico de f(x) = sen x

será transladado para cima (a ˃ 0) ou para baixo sendo ( a ˂ 0 ) em a unidades.

Exemplo 2:

Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 sen x.

Resolução

x 2 sen x y

0 0 0

π/2 1 2

π 0 0

3π/2 -1 -2

2π 0 0

D(fx) = IR; Im (fx) = [ y € IR / -2 ≤ y ≤ 2 ]; p = 2π

Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2. sen x, veremos que ele sofreu

uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.

Considerando a função do tipo f(x) = b . sen x, o gráfico de f(x) = sen x será dilatado se │b│

˃ 1, ou comprimido se 0 ˂ │b│ ˂ 1 um número b de vezes.

Caso b ˂ 0, o gráfico sofre uma rotação em relação ao eixo x, ficando simétrico ao gráfico

com b ˃ 0.

Exemplo 3:

Esboçar o gráfico da função f(x) = sen 2x

Queremos que os ângulos sejam 0, π/2, π, 3π/2 e 2π; para isso devemos atribuir a x metade

desses valores: segue abaixo a tabela.

Resolução

x sen 2x y

0 2 . 0 0

π/4 2 . π/4 = π/2 1

π/2 2 . π/2 = π 0

3π/4 2 . 3π/4 = 3π/2 -1

π 2 . π = 2π 0

D(fx) = IR; Im (fx) = [ y € IR / -1 ≤ y ≤ 1 ]; p = π

Ao comparar o gráfico de f(x) = sen x com o gráfico de f(x) = sen 2x, vemos que ele sofreu

uma compressão horizontal de duas unidades, enquanto o período foi alterado para π.

Considerando o gráfico do tipo f(x) = sen c . x, concluímos que o gráfico de f(x) = sem x será

comprimido horizontalmente em c unidades se │c│ ˃ 1, porém sofrerá dilatação horizontal se

0 ˂ │c│ ˂ 1. Além disso, temos que o período é igual a 2π/│c│.

Função Cosseno

Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x

Gráfico da função cosseno

Vamos construir o gráfico da função f(x) = cos x, inicialmente para x € [0, 2π] e depois para x

€ IR. Alguns valores de cos x serão aproximados.

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76.

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76.

Como a função f(x) = cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é

IR, a curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que 2π. Assim,

o gráfico da função f: IR → IR definida por f(x) = cos x é a curva chamada cossenóide, que

tem o seguinte aspecto:

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 76.

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.

Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .

Período de f(x) = cos x; p = 2π

Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrantes (abscissa positiva)

f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrantes (abscissa negativa)

Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.

Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.

Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.

Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

Exemplo1:

Esboçar o gráfico da função f(x) = 2cos x.

Resolução:

x y

0 2

π/2 0

π -2

3π/2 0

2π 2

D(f) = IR; Im (f) = [y € IR / -2 ≤ y ≤ 2]; p = 2π

Se compararmos com o gráfico da função f(x) = cos x com f(x) = 2 . cos , veremos que ele

sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.

f(x) = cos x

Exemplo 2:

Esboçar o gráfico da função f(x) = 3 + 2 . cos x.

x 3 + 2 . cos x y

0 3 + 2 .1 = 5

π/2 3 + 2 . 0 = 3

π 3 + 2 . (-1) = 1

3π/2 3 + 2 . 0 = 3

2π 3 + 2 . 1 = 5

D(f) = IR; Im = [ y € IR / 1 ≤ y ≤ 5 ]; p =2π

Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cos x, podemos observar que ele foi

deslocado 3 unidades para cima (a = 3) e dilatado verticalmente 2 vezes (b = 2).

Período das funções seno e cosseno

Obtemos o período da função f(x) = a + b . sen (cx - d) ou da função f(x) = a + b . cos (cx –d),

em que a, b, c e d são números reais, com b ≠ 0 e c ≠ 0, fazendo a medida (cx - d) assumir

todo os valores reais associados a uma volta completa da circunferência trigonométrica.

Para isso adotamos a fórmula p= 2π / │c│.

Exemplos:

Determinar o período das funções.

a)y = 3 sen 2x

Resolução

P = 2π / │2│= π

b) y = 2 + 6cos (-4x)

Resolução

P = 2π / │-4│= 2π / 4 = π/2

Papel das constantes a, b, c e d

As funções do tipo f(x) = a + b . trig (cx – d) têm características que podem ser

relacionadas com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões, estudados

anteriormente.

As constantes a e b alteram a imagem da função (valores de y), e as constantes c e d

alteram as características relacionadas aos valores de x da seguinte forma:

→ A constante a translada o gráfico padrão em a unidades verticais. Se a ˃ 0, então o gráfico

“sobe” a unidades, e, se a ˂ 0, então o gráfico “desce” │a│ unidades.

→ A constante b comprime ou dilata o gráfico verticalmente. Se │b│˃ 1, então o gráfico

dilata, e, se 0 ˂ │b│ ˂1, o gráfico comprime.

→ A constante c altera o período padrão da função trig, ou seja, comprime ou dilata o gráfico

padrão na horizontal. Se │c│ ˃1, f(x) será comprimido horizontalmente em │c│ unidades.

Se 0 ˂ │c│ ˂ 1, f (x) será dilatado horizontalmente em │c│ unidades.

→ A constante d translada o gráfico padrão │d/c│ unidades horizontais. Se d ˃ 0, o gráfico

translada │d/c│ unidades para a direita, e, se d ˂ 0 o gráfico translada │d/c│ unidades para a

esquerda.

Função Tangente

Definimos função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número

real x o valor tg x, desde que x não seja π/2 nem 3π/2 e nenhum de seus respectivos arcos

côngruos, isto é: f(x): D → IR x → f(x) = tg x é a curva chamada tangentóide.

Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o

cosseno pois não existe cos x = 0

Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = R ou .

Período de f(x) = π

Essas retas verticais tracejadas nesses valores são chamadas de assíntotas, ou seja, retas cujo

ponto de intersecção com o gráfico tende ao infinito.

(

) ( ) ( )

Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa

pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo

das tangentes então:

f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).

f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa) .

As Funções Cossecantes, Secantes e Cotangentes

A partir das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante,

secante e cotangente de x, assim:

→ cossec x = 1/ sen x, para sen x ≠ 0

→ sec x = 1 / cos x, para cos x ≠ 0

→ cotg x = cox / sen x , para sen x ≠ 0. Quando sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0, podemos ainda escrever

cotg x = 1 / tg x.

Exemplo:

Sabemos que sem π / 6 = 1 / 2, cos π / 6 = √3 / 2 e tg π / 6 = √3 / 3. Podemos então calcular:

a) Cossec π / 6 = 1 / ½= 2 / 1 = 2

b) Sec π / 6 = 1 / √3/2 = 2 / √3= 2√3 / 3

c) Cotg π/6 = √3 / 2 / ½ = 2√3 / 2 = √3 ou cotg π / 6 = 1 / √3 / 3 = 3 / √3 = 3√3 / 3 = √3

Funções Cossecantes

Denomina-se função cossecante a função definida por f(x) = cossec x ou f(x) = 1/sen x, para

todo x € IR tal que sen x ≠ 0.

Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da

função cossecante são os mesmos da função seno.

Definição: .

Logo, o domínio da função cossecante é

Im (f) = [ y € IR │y ≤ -1 ou y ≥ 1 ].

O período = 2π

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 81.

Função Secante

Denomina-se função secante a função definida por f(x) = sec x ou f(x) = 1/cos x, para todo x €

IR tal que cos x ≠ 0.

Sinal da função: Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da

função secante são os mesmos da função cosseno.

Definição: .

Logo, o domínio da função secante é .

Im (f) = [ y € IR │y ≤ -1 ou y ≥ 1 ].

Período = 2π

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2010, pg. 81.

Função Cotangente

Denomina-se função cotangente a função definida por f(x) = cotg x ou f(x) = cos x / sen x,

para todo x € IR tal que sen x ≠ 0.

Sinal da função: Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da

função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno.

Logo o domínio da função: D(f) = [ x € IR │ x ≠ kπ, com k € Z]

Im (f) = IR Período = π

Exercícios de fixação do conteúdo estudado

Construa e analise os gráficos das funções abaixo dando o seu domínio, sua imagem e seu

período.

a) f(x) = 3. sen x

Resolução

x sen x 3. sen x y = f(x)

0 0 3 . 0 = 0 0

π / 2 1 3 . 1 = 3 3

π 0 3 . 0 = 0 0

3π / 2 -1 3 (-1) = -3 -3

2π 0 3 . 0 = 0 0

Gráfico

Podemos verificar a função f(x) = 3 . sen x na linha azul

D = IR, Im = [-3 , 3], P = 2π

Na linha vermelha temos a função sen = x, podemos verificar:

D = IR, Im = [-1, 1], P = 2π

b) f(x) = 1 + cos x

Resolução

x cos x 1 + cos x y = f(x)

0 1 1 + 1 = 2 2

π / 2 0 1 + 0 = 1 1

π -1 1 + (-1) = 0 0

3π / 2 0 1 + 0 = 1 1

2π 1 1 + 1 = 2 2

Gráfico

Analisando a linha azul que é a f(x) = 1 + cos x

D = IR, Im = [ 0, 2 ], P = 2π

Analisando a linha vermelha temos f(x) = cos x

D = IR, Im = [ 1, -1 ], P = 2π

7.4- Conclusões da aula (atividades e sugestão de atividade).

A aula será concluída com a aplicação de uma avaliação.

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA

NOME:______________________________________, DATA ____/___/____

1-Construa o gráfico da função y= 2 sen x, dando o domínio, a imagem e o período.

Resolução: Observando o gráfico, temos D = IR, Im = [-2, 2] e p = 2π

x sen x 2 sen x y

0 0 2 . 0 0

π/2 1 2 . 1 2

π 0 2 . 0 0

3π/2 -1 2 . (-1) -2

2π 0 2 . 0 0

2-Analise as afirmações abaixo, colocando V para as afirmações verdadeira e F para as

afirmações falsas, justificando as falsas.

( V ) Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal para que

ele comece a se repetir.

( V ) Na circunferência trigonométrica o raio é sempre unitário.

( F ) x → f(x) = tg x é a curva chamada tangenóide.

É Tangentóide

( F ) Como a função cossecante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função

cossecante são os mesmos da função cosseno.

Correto é inversa da função seno e os mesmo sinais da função seno.

3-Encontre a soma das proposições corretas:

01. A introdução do conceito de seno, cosseno e tangente como números reais, foi feita por

Leonhard Euler, quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário. Foi o matemático

mais produtivo de todos os tempos e primeiro a tratar seno e cosseno como funções

02. A tg x é positiva no 1° e 4° quadrantes e negativa no 2° e 3° quadrantes .

04. Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função

cotangente é a razão entre o cosseno e o seno.

08. O período da função y = sen 4x = π/2.

Soma

01 + 04 + 08 = 13

4.Identifique os sinais das funções abaixo conforme o quadrante:

Seno no 1º, cosseno no 2º, tangente no 3º e 4º

8- Avaliação

A avaliação permite ao professor acompanhar se os alunos compreenderam os conteúdos, a

partir da capacidade de aplicação dos mesmos na resolução de problemas, assim como as

habilidades complementares adquiridas pelo aluno, considerada necessária para sua formação

acadêmica e de cidadão.

8.1 Instrumentos de avaliação

A avaliação será realizada através de uma avaliação (prova).

Será analisado na prova cinco questões onde cada uma terá um peso totalizando 10,0 pontos.

9- Referências bibliográficas

http://pongueaqui.no.comunidades.net/index.php?pagina=1636859495, Acessado em

21/08/2014.

GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto, Matemática completa. 2º ano Ensino

Médio.2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, 2005.

XAVIER, Cláudio & BARRETO, Benigno. Matemática Aula por Aula. 2º ano Ensino

Médio. 2ª Edição renovada, São Paulo: editora FTD, 2005.

PAIVA, Manoel. Componente Curricular: Matemática, 2º ano Ensino Médio, 1ª Edição,

São Paulo: Editora Moderna, 2004.