PLANO DE AULA DA REGÊNCIA 1...

Ministério da EducaçãoSecretaria de Educação Profissional e Tecnológica

Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado SombrioCurso de Licenciatura em Matemática

PLANO DE AULA DA REGÊNCIA

1 IDENTIFICAÇÃO

Escola: IFC – Campus Avançado Sombrio.

Município: Sombrio.

Disciplina: Matemática.

Série: 2º Ano H.

Nível: Ensino Médio.

Professor: Marcelo Bereta Lopes.

Tempo estimado: 10 horas (13 aulas de 47 minutos).

2 TEMA: Função Exponencial e Logarítmica.

2.1 Sub-tema: Potenciação e radiciação; A função exponencial; Equação exponencial;

inequação exponencial; Os fundamentos da teoria dos logaritmos; O conceito de

logaritmo; Função Logarítmica; Equações logarítmicas; Inequações Logarítmicas.

3 JUSTIFICATIVA:

De acordo com Filho (2014, p. 10)

Muitos acontecimentos naturais e sociais como o crescimento populacional, ameia-vida de uma substância, a medida da pressão atmosférica, o cálculo domontante em um sistema de juros compostos e o resfriamento de um corposão exemplos de assuntos que trazem problemas modelados por funçõesexponenciais. Esse fato torna ainda mais relevante o estudo dessas funções noEnsino Médio e ressalta seu papel na interdisciplinaridade da Matemáticacom outras matérias.

É importante para o aluno que a aprendizagem esteja baseada em algo real e

com aplicação, para que o aluno entenda a importância do conteúdo a ser trabalhado, o

que faz com que a contextualização seja uma importante ferramenta de ensino para

esclarecer problemas reais.



4 OBJETIVOS:

a) Identificar o comportamento no gráfico da função exponencial e da

função logarítmica;

b) Calcular funções exponenciais e funções logarítmicas;

c) Aplicar as propriedades básicas que envolver as funções exponenciais e

funções logarítmicas.

5 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS:

Função do Segundo Grau, Função do Primeiro Grau,

6 ESTRATÉGIAS:

6.1 Recursos: Quadro e pincel.

6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada e lista de exercícios.

7 PROCEDIMENTOS:

1º Aula – 12/09/2017 – 1 aula: (Introdução, Potenciação e radiciação e A função

exponencial)

1º Momento: Introdução (Matemática Paiva, p. 206)

Várias situações do nosso cotidiano ou do universo científico, tais como juros

em aplicações financeiras ou empréstimos, crescimento populacional, depreciação de

um bem, decaimento radioativo etc., podem ser estudadas com o auxílio das funções

exponenciais.

Para apresentar a função exponencial, vamos partir da situação a seguir,

mostrando a relação entre essa função e uma forma de crescimento de grandezas.

A maioria das bactérias reproduz-se por bipartição, processo pelo qual cada

bactéria se divide em duas.



Em uma cultura laboratorial, vamos considerar determinada bactéria, que se

dividirá em duas, dando origem à primeira geração; cada bactéria da primeira geração

sofrerá bipartição, dando origem à segunda geração, e assim por diante. O quadro

abaixo mostra o crescimento do número de bactérias, a partir de uma bactéria,

admitindo-se que todas sobrevivam a cada geração.

-Número debactérias

Inicial 1 ou 20

1ª geração 2 ou 21




... ...

Logo: y = 2x

Admitindo que essas bactérias se bipartissem a cada 20 minutos e que todas

sobrevivessem, ao final de um dia elas atingiriam a 72ª Geração. Assim, em apenas um

dia, o número de bactérias seria:

272 = 4.722.366.482.869.645.213.696

Essa situação mostra o crescimento assustador da função f(x) = 2x.

2º Momento: Potenciação e Radiciação (Matemática Paiva, p. 206)

Sendo a um número real e n um número inteiro, definimos:

a0 = 1, se a ≠ 0

a1 = a

an = a⋅a⋅a⋅...⋅a , se n > 1

a(−n )= 1

a(n ) , se a ≠ 0

Na potência an, o número a é chamado de base da potência e o número n é chamado de

expoente.

https://answers.microsoft.com/pt-br/windows/forum/windows_7-desktop/como-digitar-o-sinal-de-diferen%C3%A7a/4abc8bf5-ec19-4799-a08e-02e7314ea412




3º Momento: Exemplos (Matemática Paiva, p. 207)

a) (−2)3=(−2)⋅ (−2)⋅ (−2)=−8

b) (−2)4=(−2)⋅ (−2)⋅ (−2)⋅ (−2)=16

c) (52)3

=(52)⋅(52)⋅(52)=1258d) 81=8

e) 70=1

f) (−5)0=1

g) 4−2= 1

42= 116

h) (73)− 2

= 1

(73)−2=

1

( 499 )= 949

4º Momento: Propriedades das potências de expoente inteiro (Matemática

Paiva, p. 207)

Dados os números reais a e b e os números inteiros m e n, e obedecidas as

condições para que existam as potências, temos:

P1. am⋅an=a(m+n )

P2. am÷an=a(m−n )

P3. (am)n=amn

P4. (ab)n=an⋅bn

P5. (ab)n

=an

bn

5º Momento: Exemplos (Matemática Paiva, p. 207)

a) 72⋅73=7(2+3 )=75=7⋅7⋅7⋅7⋅7=16807

b) 25÷23=2(5−3 )=22=2⋅2=4

c) 34÷36=3( 4−6 )=3− 2= 1

32=19

d) (54)3=5(4⋅3 )=512=244140625

e) (2 x )3=23⋅ x3=8 x3



6º Momento: Propriedades doa radicais com radicandos não negativos

(Matemática Paiva, p. 211)

Sendo a e b números reais não negativo e n, k e p números naturais não nulos,

temos:

P1. n√a⋅ n√b=n√a⋅b

P2. n√an√b

= n√ ab , com b ≠ 0.

P3. nk√akp= n√a p

P4. ( n√a)q=n√aq , com q∈ ℝ .

P5. n√ k√a=nk√a

7º Momento: Aplicar Exemplos de aplicação das Aplicações (Matemática

Paiva, p. 211).

a) 3√7⋅ 3√2= 3√7⋅2=3√14

b) 4√154√3

= 4√ 153 =4√5

c) 15√56=5√52

d) 3√85=( 3√8)5=25=32e) 3√❑√5= 6√5

2º Aula – 14/09/2017 – 2 aulas: (Função Exponencial e exercícios)

1º Momento: Notação Científica (Matemática Paiva, p. 208)

Os números que fazem parte do dia a dia expressam grandezas como o preço de

um produto, o tempo de duração de um filme, o custo de um carro etc. Por serem

representados com poucos algarismos, esses números não apresentam grande

dificuldade de entendimento. Porém, no âmbito científico, convive-se com números

“gigantescos” ou “minúsculos” em relação àqueles a que estamos habituados. Por

exemplo:

A massa da Lu é estimada em:



73.400.000.000.000.000.000.000 kg

O vírus da poliomielite, que pode infectar o ser humano, mede cerca de:

0,00000002 m

A dificuldade de interpretação de números como estes levou os cientistas a

estabelecerem uma notação simplificada para representá-los: a notação científica.

Como exemplo a massa estimada da lua é o produto:

log3 (8 x+1)=log3 (x −1)2

Assim, a massa da Lua expressa em notação científica é 7,34⋅1022kg .

Assim como:

0,00000002= 2100000000

= 210⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10

= 2

108

Podemos representar o comprimento do vírus da poliomielite, em notação

científica, por 2⋅10− 8 m.

Todo número real não nulo, com expressão decimal finita, pode ser representado

sob a forma:

k ⋅10m ,

em que m é um número inteiro e k é um número real com módulo menor de 10 e maior

ou igual a 1.

Essa forma de representação é denominada notação científica.

2º Momento: Equação ExponencialDefinição:

São todas as equações em que a incógnita aparece nos expoentes, estas são

chamadas de equações exponenciais.

Redução a potências de mesma base:

a) 2x = 64

2x = 26

x = 6

b) (√3)x=2√81

(31 /2 )x=811/2



3x /2=(34)1/2

x /2=4 /2

x=8

c) (PUC – SP) Se 3x2−3 . x =

19

, calcule os valores de x.

a) 1 e 2

b) 1 e 3

c) –1 e 3

d) –1 e – 2

Resposta: D

3º Momento: Exemplos de Equação Exponencial.

(Paiva, p. 220) Resolva, em IR, as equações.

a) 64x = 256 S = {4/3}b) 25x + 2 = 125x + 5 S = {- 11}

c) ( 8125)

2x +1

=(254 )2x

S = {3/10}

d) 52x – 1 = 1 S = {1/2}e) 7x = 8x S = {0}

f) 3√25x = √5 S = {3/4}

4º Momento: Função Exponencial:

A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência esua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra noexpoente.

f: R→R tal que y = b.ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Exemplos para reconhecimento:a) f(x) = 2x

b) g(x) = 5x

c) h (x )=(14)x

5º Momento: Propriedades da Função exponencial (Matemática Paiva, p. 216).



P1. Sendo a > 0 e a ≠ 0, tem-se: ax = ay tal que x = yP2. A função exponencial f(x) = ax é crescente em todo o seu domínio se, e

somente se, a > 1.

P3. A função exponencial f(x) = ax é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1.

6º Momento: Exemplos de gráfico.

a) (Matemática Paiva, p. 215) Gráfico da função f(x) = 2x.

x f(x)

– 3 1/8

– 2 1/4

– 1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

D ( f )=ℝ I m=ℝ *

+




f é crescente em todo o seu domínio.

b) (Mack) Na figura temos o esboço do gráfico de y = ax + 1. O valor de 23a – 2 é:

a) 16

b) 8

c) 2

d) 32

e) 64

7º Momento: Lista de Exercícios:

1) ([GIOVANNI; BONJORNO, 2005, p. 236] – Adaptado) Esboce o gráfico das

seguintes funções, e justifique se é crescente ou decrescente:

a) f ( x)=3x R: Crescente.

b) f ( x)=2( x+1) R: Crescente.

c) f ( x)=(13)x

R: Decrescente.

d) f ( x)=2x+1 R: Crescente.

e) f ( x)=ex R: Crescente.

f) f ( x)=e2 x+3 R: Crescente.

g) f ( x)=−(5x ) R: Decrescente.

h) f ( x)=−[(12)x] R: Crescente.

2) (GIOVANNI; BONJORNO, 2005, P. 236) Identifique como crescente ou decrescente

as seguintes funções exponenciais:

a) f ( x)=5x R: Crescente.

b) f ( x)=(16)x

R: Decrescente.



c) f ( x)=2−x R: Decrescente.

d) f ( x)=(√2)x R: Crescente.

e) f ( x)=(0,1)x R: Decrescente.

f) f ( x)=3x2 R: Crescente.

3) (GIOVANNI; BONJORNO, 2005, P. 236) Para quais valores de k a função

exponencial f ( x)=(k −3) x é decrescente?

Resposta:

0 < a < 1

0 < k – 3 < 1

{3 < k < 4, ∀ k IR}∈

4) (FGV – SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que

constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de

treinamento ou experiência possuída por esse indivíduo. Um exemplo de Curva de

Aprendizagem é dado pela expressão Q ( x )=700−400⋅e−0,5 t , em que:

Q = Quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário;

t = meses de experiência.

a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de

experiência deverá cumprir mensalmente?

b) Quantas peças um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir

mensalmente?

Resposta:

a) Q ( x )=700−400⋅e−0,5 t

t=2

Q (2)=700−400⋅e−0,5⋅2

Q (2)=553 peças aproximadamente.

b) Q ( x )=700−400⋅e−0,5 t

t=2

Q (2)=700−400⋅e−0,5⋅0



Q (0)=300 peças.

5) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 3x-5 = 271-x b) 101-x = 110

c) 9x-2 = √27

d) 52x-1 = 1 e) (25)x−1

= 1258

f) (12)x

= 3√4

g) 101-4x = 0,001 h) 6 . 7-x+2 = 294 i) 2 . (14)2x −3

= 4

j) 4x = 3√32 l) (0,2)x-2 = 1 m) (32)x+1

= (94)1+2 x

n) (13)− 4+ x

= 9x+3 o) 52-x = 1125

p) 162x = 8x+2

q) (0,5)2x = 21-3x r) 82-x = (0,25)x+1 s) (13)−x+2

= 4√9

6) Considere as seguintes funções:

I) f(x) = x5 II) f(x) = 5x III) f(x) = 1

2x IV) f(x) =

Assinale a alternativa correta:a) Somente I não é função exponencial.b) I e III não são funções exponenciais.c) Somente II é uma função exponencial.d) I e IV não são funções exponenciais.e) Todas são funções exponenciais

7) Dadas as funções:

I) f(x) = 3x II) f(x) = 0,7x + 2 III) f(x) = (√5−2)x

Assinale a alternativa corretaa) II é função exponencial de base 0,72 × 0,7.b) Somente I é função exponencial.c) Somente III não é função exponencial.d) III é função exponencial de base √5 - 2.

e) Somente II não é função exponencial.

3º Aula – 21/09/2017 – 2 aulas: (Inequação exponencial e Exercícios)

1º Momento: Correção da Lista 1 de Funções Exponenciais e Equações

Exponenciais.



2º Momento: Inequação Exponencial (Paiva, p. 221).

Inequação Exponencial é toda inequação que apresenta a variável no expoente

de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1.

Exemplos:

a) 2x > 8

b) 5x + 5x – 2 < 26

c) 27x + 2 > 9x + 5

d) (0,5)4x + 3 < (0,25)x + 5

3º Momento: Exercícios Resolvidos (Paiva, p. 221).

1) Resolver em IR a inequação 27x + 2 > 9x + 5.

Resolução:

27x + 2 > 9x + 5

(33)x + 2 > (32)x + 5

33x + 6 > 32x + 10

Como a base (3) das potências é maior que 1, pela propriedade P2 da Função

exponencial sabemos que o “sentido” da desigualdade (>) se mantém para os

expoentes, isto é:

33x + 6 > 32x + 10

3x + 6 > 2x + 10

x > 4

Logo, o conjunto solução da inequação é:

S = {x ∈ IR / x > 4}2) Resolver em IR a inequação (0,5)4x + 3 < (0,25)x + 5.

Resolução:

(0,5)4x + 3 < (0,25)x + 5

(0,5)4x + 3 < [(0,5)2]x + 5

(0,5)4x + 3 < (0,5)2x + 10



Como a base (0,5) das potências é um número entre 0 e 1, pela propriedade

P3 da Função exponencial sabemos que o “sentido” da desigualdade (<) é

invertido para os expoentes, isto é:

(0,5)4x + 3 < (0,5)2x + 10

4x + 3 > 2x + 10

2x > 7

x > 7/2

Logo, o conjunto solução da inequação é:

S = {x ∈ IR / x > 7/2}

4º Momento: Exercícios Propostos (Paiva, p. 222).

1) Resolva, em IR, as inequações.

a) 163x – 1 > 82x + 5 S = {x ∈ IR / x > 196

}b) (19)

3 x− 1

≤(13)2x

S = {x ∈ IR / x > 12

}c) (0,3)4x – 5 > (0,3)2x + 1 S = {x ∈ IR / x < 3}d) (√2)3 x− 1≤ 4√8 S = {x ∈ IR / x < 5

6 }

e) (13)2 x− 1

>3x+2 S = {x ∈ IR / x < −13

}f) 3x + 1 + 2 3x – 1 > 11 S = {x ∈ IR / x > 1}

4º Aula – 26/09/2017 – 1 aula: (Paiva, p. 230)

1º Momento: Os fundamentos da teoria de logaritmos.

Breve Histórico:

Até o século XVII, cálculos envolvendo multiplicações ou divisões eram

bastante incômodos, não só na Astronomia mas em toda ciência que tratava de medidas.

O escocês john Napier (1550-1617), também conhecido como Neper, preocupou-se

seriamente em simplificar esses cálculos e, após vinte anos de pesquisa, publicou, em

1614, o resultado de seus estudos, apresentando ao mundo a Teoria dos Logaritmos. O

princípio básico dos logaritmos é: Transformar uma multiplicação em adição ou



uma divisão em subtração, pois adicionar ou subtrair números é normalmente mais

rápido que multiplicá-los ou dividi-los.

A ideia de Neper é relativamente simples: representam-se os números positivos

como potências de um mesmo número. Por exemplo, podemos escrever os seguintes

números na base 10:

a) 1,78090 = 100,25064

b) 1,82881 = 100,26217

c) 3,25694 = 100,51281

d) 5,80029 = 100,76345

Assim, no seguinte cálculo temos:

3,25694⋅1,78090=100,51281⋅100,25064=100,51281+0,25064=100,76345=5,80029

Em caso de divisão temos:

3,25694÷1,78090=100,51281÷100,25064=100,51281−0,25064=100,26217=1,82881

Nota:

O vocabulário logarithmus foi criado por Neper usando as palavras gregas:

logos, que significa “razão” ou “cálculo”, e arithmós, que significa “número”.

2º Momento: O conceito de logaritmo (Paiva, p. 230).

Considerando uma potência qualquer de base positiva e diferente de 1, por

exemplo:

34 = 81

Ao expoente dessa potência (4) damos o nome de logaritmo. Dizendo que “o

logaritmo de 81 na base 3 é igual a 4”. Em símbolos, escrevemos:

34 = 81 ↔ log3 81= 4

3º Momento: Exemplos (Paiva, p. 231).

a) 24 = 16 ↔ log2 16 = 4

b) 3-2 = 1/9 ↔ log3 1/9 = - 2

c) (1/5)3 = 1/125 ↔ log1/5 (1/125) = 3

Definimos: Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ 1, chama-se logaritmo

de a na base b o expoente x tal que bx = a



Então:

a é o logaritmando;

b é a base do logaritmo;

x é o logaritmo de a na base b.

4º Momento: Exemplo (Paiva, p. 231).

a) log5 25 é o expoente x da potência de base 5 tal que 5x = 25.

R: x = log5 25 = 2

b) log2132

é o expoente x da potência de base 2 tal que 2x = 132

.

R: x = log2132

= - 5

c) log3 1 é o expoente x da potência de base 3 tal que 3x = 1.

R: x = log3 1 = 0

d) log75√72 é o expoente x da potência de base 7 tal que 7x = 5√72 .

R: log75√72=x=2

5

5º Aula – -03/10/2017 – 1 aula:

1º Momento: Logaritmo Decimal (Paiva, p232).

Chama-se logaritmo decimal aquele cuja base é 10.

Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base

10 fica subentendida)

Exemplos:

log 100 é o expoente x da potência de base 10 tal que 10x = 100.

Temos:

10x = 100 ↔ 10x = 102

x = 2



Assim: log 100 = 2

2º Momento: Propriedades dos logaritmos (Paiva, p. 232)

Para quaisquer números reais e positivos a e b, com b≠1 :

P1. logbb=1

De fato, indicando logbb por x, temos:

logbb=x ↔ bx = b

x = 1

Assim: logbb=1

Ex: log22=x

x=1

P2. logb1=0

De fato, indicamos logb1 por x, temos:

logb1 = x ↔ bx = 1

bx = b0 ↔ x = 0

Assim: logb1=0

Ex: log21=x

2x=1

2x=20

x=0

P3. logbay= y⋅ logba , y∈ ℝ

De fato, indicamos logba por x, temos:

logba = x ↔ bx = a

Elevando ao expoente y ambos os membros da última igualdade, temos:

(bx)y = ay ↔ bxy = ay

E, pela definição de logaritmo:

bxy = ay ↔ yx = logb ay

Como x representa o logb a, concluímos:

y⋅ logba=logbay



Ex:

log5252=2⋅ log525

log5252=2⋅ log525

log5252= log5625 2⋅ log525

5x=54 5x=52

x=4 x=2 vezes 2

x=2⋅2=4

P4. logbbx=x (para qualquer número real x).

De fato, pelas propriedades P3 e P1, temos:

logbbx=x⋅ logbb=x⋅1=x

Ex:

log555=x

5x=55

x=5

3º Momento: Propriedades Operatórias (Paiva, p. 235)

P1. logb ac = logb a + logb c

Ex: log3 (9⋅3)=log39+ log33

log3 (9⋅3)=log327 x=log39+ log33=m+n

m=log39 m=log33

3x=27 3m=9 3n=3

3x=33 m=2 n=1

x=3 x=m+n=2+1=3

P2. logbac=logba− logb c

Ex: log5255

=log525− log55

log5255

=log55 x=log525−log55

5x=51 m=log525 n=log55



x=1 m=2 n=1

x=m−n

x=2−1=1

4º Momento: Exercícios (Paiva, p. 233)

1) Calcular os logaritmos.

a) log32 64 S = {6/5}

b) log251125

S = { - 3/2}

c) log 3√10000 S = {4/3}

d) log 73

949 S = { - 2}

6º Aula – 10/10/2017 – 1 aula: (Equação Logarítmica)

1º Momento: Passar a P3 das propriedades operatórias.

P3. Mudança de base: logba=logk a

logkb, para qualquer valor de k, positivo e

diferente de 1.

Ex: log27 81=log381

log327

log2781=x x=log381

log327

27x=81 m=log381 n=log327

33x=34 m=4 n=3

3 x=4 x=mn

=43

x=43

2º Momento: Antes de começar a ensinar Equação Logarítmica, ensinar a

seguinte propriedade:



P1. logb x = logb y ↔ x = y, para quaisquer números reais positivos x, y e b,

com b≠1 .

3º Momento: Equação Logarítmica (Paiva, p. 243)

É toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um

logaritmo.

Exemplos:

a) log6 (3x – 1) = log6 (x + 7)

b) log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = 3

A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na propriedade P1 das

funções logarítmicas, ou seja:

logb x = logb y ↔ x = y, para quaisquer números reais e positivos x, y e b, com

b≠1 .

4º Momento: Resolução dos Exemplos.

a) log6 (3x – 1) = log6 (x + 7)

Resolução:

Condição de existência:

3x – 1 > 0 ↔ x > 1/3 (I)

x + 7 > 0 ↔ x > -7 (II)

Logo, a condição de existência se resume a: x > 1/3

Resolução da equação:

Pela propriedade P1 das funções logarítmicas, temos:

log6(3x – 1) = log6 (x + 7) → 3x – 1 = x + 7

x = 4

Observamos que x = 4 satisfaz a condição de existência, concluímos que o

conjunto solução da equação é: S = {4}



7º Aula – 17/10/2017 – 1 aula: (Exercícios)

1º Momento: b) log2(x + 1) + log2(x – 1) = 3 (deixar que eles tentem resolver)

Resolução:

Condição de existência:

x + 1 > 0 → x > –1

x – 1 > 0 → x > 1

Logo, a condição de existência se resume a: x > 1

Preparação da equação: Transformamos os dois membros da igualdade em

logaritmos de mesma base. O número 3 pode ser representado como logaritmo de base 2

do seguinte modo:

3=3⋅ log22= log223

Assim: log2 ( x+1)+ log2 ( x−1)=3

log2 ( x+1)+ log2 ( x−1)= log223

log2 ( x+1)+ log2 ( x−1)=log28

Aplicamos a propriedade P6 dos logaritmos, temos:

log2 ( x+1)+ log2 ( x−1)=log28

log2 ( x+1) ( x−1)=log28

log2(x2−1)= log28

Resolvendo a equação:

Pela P1 das funções logarítmicas, temos:

log2(x2−1)=log28

x2−1=8



x=8ou x=−3

Observando que apenas x = 3 satisfaz a condição de existência, concluímos que

o conjunto solução da equação é: S = {3}

4º Momento: Lista 2: Função e Equação Logarítmica

1) Calcule o valor dos logaritmos:a) log636=¿ d) log50 ,000064=¿

b) log 14

2√2=¿ e) log493√7=¿

e) log23√64=¿ f) log20 ,25=¿

2) Determine o conjunto solução da equação log12 (x2− x)=1 .

3) Resolva as equações:a) log x16=−2 b) log3 x=4

c) log 13

( x−1)=−2 d) log x19=2



GABARITO

1) a) 2 b) −34

c) 2 d) -6 e)16

f) -2 2) {-3; 4} 3) a)

{14 } b){81} c){10} d) {13}

8º Aula – 17/10/2017 – 2 aulas:

1º Momento: Função Logarítmica (Paiva, p. 239)

Chama-se função logarítmica toda função f: IR*+ → IR tal que f(x) = logb x, em

que b pertence aos reais, é positivo e diferente de 1.

Exemplos:

a) f(x) = log2 x é uma função logarítmica. Por meio de uma tabela, podemos

obter alguns pontos dessa função e, a partir deles, esboçar o gráfico de f:

x log2 x

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

D(f) = IR*+

Im(f) = R

f(x) = log2 x é uma função crescente em todo o seu domínio.

b) g(x) = log1/2 x é uma função logarítmica. Esboçando o gráfico, temos:

x log1/2 x

1/4 3

1 0



2 -1

4 -2

8 -3

D(g) = R*+

Im(g) = IR

g(x) = log1/2 x é uma função decrescente em todo o seu domínio.

2º Momento: Propriedades da Função Logarítmica (Paiva, p. 240)

P1. logb x = logb y ↔ x = y, para quaisquer números reais positivos x, y e b, com

b≠1 .

P2. A função logarítmica f(x) = logb x é crescente em todo o seu domínio sem e

somente se, b > 1.

P3. A função logarítmica f(x) = logb x é decrescente em todo o seu domínio se,

e somente se, o < b < 1.



3º Momento: Exercícios (Paiva, p. 245)

1) Resolva em IR as equações.

a) log3 (5 x−6)=2

b) log7 (9x −1)=log7 (4−2x )

c) log3 (8 x+1)− log3 ( x−1)=2

d) log2 ( x −2)+2 log4 ( x )=3 log8 (2 x)

Respostas:

a) log3 (5 x−6)=2

32=5 x−6

9+6=5 x

155

=5 x5

x=3 S = {3}

b) log7 (9x −1)=log7 (4−2x )

7(4− 2x )=7(9x −1 )

4−2 x=9 x −1

4+1=9 x+2x

11 x=5

x= 511

S=( 511)

c) log3 (8 x+1)− log3 ( x−1)=2

log3 (8 x+1)log3 (x −1)

=2

log3 (8 x+1)=2⋅ log3 ( x−1)

log3 (8 x+1)=log3 (x −1)2

(8x+1)=( x−1)2

8 x+1=x2−2 x+1



x2−10 x=0

x ( x−10 )=0

x=0 x=10 S = {10}

x = 0 não faz parte.

d) log2 ( x −2)+2 log4 ( x )=3 log8 (2 x)

log2 ( x −2)+ log4 (x2)=log8(8x3)

log2 ( x −2)+log2(x2)log24

=log2(8x3 )log28

log24=x x=2 log28= y y=3

Substituindo:

log2 ( x −2)+log2(x2)2

=log2(8x3 )

3

22log2 ( x−2)+

log2( x2)2

=log2(8 x3)

3

6 log2 ( x −2)+3 log2(x2)=2 log2(8 x3)

log2 ( x −2)6+ log2(x6 )=log2(8 x

3)2

log2 ( x −2)6+ log2(x6 )=log2(64 x6)

log2 ( x −2)6⋅ (x6)=log2(64 x6)

(x −2)6⋅ x6=64 x6

(x −2)6⋅ x6=(2 x)6

Expoentes iguais são anulados:

(x −2)⋅ x=2 x

x2−2 x=2 x

x2−4 x=0

x ( x−4)=0

x=0 e x=4 S = {4}



2) (Fuvest-SP) O número real x que satisfaz a equação log2(12−2x )=2 x é:

a) log25

b) log2√3c) 2

d) log2√5

e) log23

Resposta:

log2(12−2x )=2 x 2x=2x⋅ log22

log2(12−2x )=2 x⋅ log22

log2(12−2x )=log222x

(12−2x )=22 x

Considerando y = 2x

22x+2x−12=0

y2+ y−12=0

y '=[−1+√1+48 ] /2=3 e y ' '=[−1−√1+48] /2=−4Se y=3 , temos:

y=3 e y=2 x

3=2 x

log23=log22 x

log23=x log22

x=log23

Se y=−4 , temos:

y=−4 e y=2 x

−4=2x

Não existe x possível em IR.

Resposta: E

9º Aula – 17/10/2017 – 1 aula



1º Momento: Esta aula será destinada para correção da avaliação e sanar

possíveis dúvidas.

8 AVALIAÇÃO:

8.1 Critérios

Compreensão dos assuntos abordados, interesse e participação nas

atividades propostas, assiduidade e resolução da lista de exercícios.

8.2 Instrumentos

Avaliação aplicada na aula do dia 19 de outubro.

8.3 Avaliação

Turma: 2º Ano de HospedagemSupervisor: Giovani Marcelo Schmidt.Estagiário: Marcelo Bereta Lopes.

Nome: Data:

1) Construa o gráfico e determine se a função é crescente ou decrescente.

a) f ( x)=(54 )x

Crescente

b) f ( x)=(45 )x

Decrescente

2) Resolva as Equações Exponenciais.

a) 2x +1+2x −1=20 S = {3}

b) 4√625x=√5 S = {½}

3) Resolva as seguintes Inequações Exponenciais.

a) (19)3 x− 1

=(9)2x S = {1/5}

b) 3x+1+2⋅3x− 1≥11 S = {x > 1}



4) (ENEM, 2016) O governo de uma cidade está preocupado com a possível

epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que

medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências

laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a

fórmula para a população:

p(t) = 40 • 23t em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de

bactérias.

Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será:

a) reduzida a um terço.

b) reduzida à metade.

c) reduzida a dois terços.

d) duplicada.

e) triplicada.

Resposta: Como é dado em horas, convertemos os 20 minutos em horas.

1h ———- 60min

x ———- 20 min

60 x = 20 → x = 20 / 60 = 1 / 3.

Basta fazer Q(1/3) = 40⋅23⋅13=40⋅21=80 .

Resposta: d)

5) Calcular os logaritmos.

a) log 32

1681 S ={-4}

b) log256128 S ={7/8}

c) log 5√100 S ={2/5}

6) Calcule os logaritmos a seguir adotando log32=0,63 .

a) log38 S ={1,89}

b) log33√4 S ={0,42}



7) Identificar se as funções logarítmas a seguir são Crescentes ou Decrescentes.

a)

Crescente

b) log 13

x Decrescente

8) Resolva em IR a equação log4 ( x−1)+log 4 (3 x−1)=2 .

S = { x∈ℝ/x=3 }

9 REFERÊNCIAS

Paiva, Manoel. Matemática: Paiva / Manoel Paiva. 2. ed. São Paulo: Moderna, 2013. Obra em 3 v.

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