Ministrio da Educao

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

Cmpus Curitiba

PLANO DE ENSINO

CURSO Licenciatura em Matemtica MATRIZ 674

FUNDAMENTAO LEGAL Resoluo n. 117/10-COEPP

DISCIPLINA/UNIDADE CURRICULAR CDIGO PERODO CARGA HORRIA (aulas)

Fundamentos de Matemtica 2 MA72F 2 AT AP APS AD APCC Total

85 0 6 0 17 108

AT: Atividades Tericas, AP: Atividades Prticas, APS: Atividades Prticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distncia, APCC: Atividades Prticas como Componente Curricular.

PR-REQUISITO MA71F-Fundamentos de Matemtica 1

EQUIVALNCIA No existem disciplinas equivalentes.

OBJETIVOS

Complementar os conceitos bsicos da teoria elementar dos nmeros desenvolvidas na disciplina de Fundamentos I e

desenvolver aplicaes. Criar condies para o aluno dominar os contedos clssicos de ensino fundamental e mdio com

rigor matemtico.

EMENTA

Teorema Chins de Restos; Aritmtica mdulo m; Trigonometria; Nmeros complexos; Polinmios; Anlise combinatria;

Binmio de Newton.

CONTEDO PROGRAMTICO

ITEM EMENTA CONTEDO

1 Teorema Chins de Restos

1.1 Reviso sobre divisibilidade em Z e congruncia mdulo m. 1.2 Teorema de Euler e Teorema de Wilson: enunciado, demonstrao

e aplicaes. 1.3 Sistema completo de restos: definio e aplicaes. 1.4 Teorema Chins de Restos: enunciado, demonstrao e

aplicaes.

2 Aritmtica mdulo m

2.1 Conceitos de relao de equivalncia, classe de equivalncia e conjunto quociente.

2.2 Propriedades da relao de congruncia mdulo m: reflexiva, simtrica e transitiva.

2.3 Classes de equivalncia de inteiros produzidas pela relao de congruncia mdulo m.

2.4 O conjunto quociente Zm das classes de equivalncia mdulo m. 2.5 Aritmtica modular: definio das operaes adio e

multiplicao de classes e suas propriedades. 2.6 Tabelas das operaes adio e multiplicao de classes de

equivalncias. 2.7 Elementos caractersticos: elemento neutro, elemento oposto,

elemento unidade, inverso multiplicativo (diviso modular), divisores de zero.

2.8 Critrios de divisibilidade utilizando congruncias e classes de equivalncia.

2.9 Potenciao de classes: definio, ordem de um classe. 2.10 Razes primitivas: definio e aplicao na resoluo de uma

congruncia linear. 2.11 Representao de inteiros como soma de quadrados. 2.12 Aplicao da aritmtica modular: dgito de controle nos sistemas

de identificao (ISBN, cdigo de barras, documentos pessoais), criptografia.

2.13 Deteco de erros na transposio de dgitos.

3 Trigonometria 3.1 Reviso do conceito de ngulo e das relaes no tringulo

retngulo. 3.2 Trigonometria na circunferncia: arcos de circunferncia; medida

de arcos; medida de ngulos; ciclo trigonomtrico. 3.3 Razes trigonomtricas na circunferncia: noes gerais; seno;

cosseno; tangente; cotangente; secante; cossecante. 3.4 Relaes trigonomtricas fundamentais. 3.5 Arcos notveis; 3.6 Reduo ao primeiro quadrante. 3.7 Transformaes trigonomtricas: frmulas de adio, subtrao,

multiplicao e diviso. 3.8 Transformao em produto. 3.9 Identidades no ciclo trigonomtrico. 3.10 Resoluo de equaes trigonomtricas. 3.11 Resoluo de inequaes trigonomtricas.

4 Nmeros complexos.

4.1 Desenvolvimento histrico dos Nmeros Complexos. 4.2 Definio de Nmero Complexo. 4.3 Igualdade, soma, produto e diviso de nmeros complexos. 4.4 Forma algbrica de um nmero complexo: Imerso do conjunto

R em C, unidade imaginria, representao algbrica de nmeros complexos (forma a + bi), parte real e parte imaginria, operaes na forma algbrica.

4.5 Conjugado de um nmero complexo e suas propriedades. 4.6 Forma Trigonomtrica: mdulo e suas propriedades, argumento,

Plano de Argand-Gauss e a forma polar de um nmero complexo.

4.7 Potenciao e Primeira Frmula de De Moivre. 4.8 Radiciao, razes n-simas, razes primitivas e Segunda

Frmula de De Moivre. 4.9 Equaes binomiais e trinomiais.

5 Polinmios.

5.1 Definio de polinmio. Igualdade de polinmios. 5.2 Operaes de soma, subtrao e produto de polinmios.

Propriedades das operaes. 5.3 Grau de um polinmio. Grau da soma e do produto. 5.4 Diviso de polinmios. Algoritmo de Euclides. 5.5 Diviso por binmios do primeiro grau. Teorema do resto e

Teorema DAlembert. Mtodo de Briot-Ruffini. 5.6 Equaes polinomiais: definio, conjunto soluo, resoluo,

equaes equivalentes. 5.7 Existncia de razes de polinmios. Teorema Fundamental da

lgebra (sem demonstrao). 5.8 Teorema da Decomposio de um polinmio em fatores

lineares. 5.9 Multiplicidade de uma raz. 5.10 Relaes entre coeficientes e razes (relao de Girard). 5.11 Razes reais e razes complexas. 5.12 Frmulas para resoluo de equaes polinomiais de grau 2, 3 e

4. 5.13 Equao primitiva e equao transformada.

6 Anlise combinatria.

6.1 Princpio Fundamental da Contagem: Princpio aditivo e Multiplicativo.

6.2 Arranjos e arranjos com repetio. 6.3 Permutaes simples e circulares. 6.4 Fatorial. 6.5 Combinaes simples, complementares e com repetio. 6.6 Permutaes com elementos repetidos. 6.7 Teorema sobre o nmero de solues inteiras e no negativas

de uma equao linear com coeficientes unitrios. 6.8 Outros mtodos de contagem.

7 Binmio de Newton.

7.1 Tringulo aritmtico de Pascal (ou de Tartaglia): construo, propriedades.

7.2 Relao de Stifel. 7.3 Teorema das linhas, das colunas e das diagonais. 7.4 Relao das relaes complementares. 7.5 Binmio de Newton e coeficientes binomiais. 7.6 Expanso multinomial (Polinmio de Leibniz).

PROCEDIMENTOS DE ENSINO

Aes que possibilitem ao licenciando adquirir conhecimentos matemticos especficos, estudar e experimentar modelos didticos e de pesquisa vivenciando situaes que o capacitem para a sua futura prtica profissional.

AULAS TERICAS

Aulas expositivas e/ou dialogadas, realizadas com a presena de docentes e discentes, com utilizao de recursos didticos variados.

O professor deve apresentar uma descrio detalhada de como vai efetivar a aprendizagem.

AULAS PRTICAS

No h.

O professor deve apresentar uma descrio detalhada de como vai efetivar a aprendizagem.

ATIVIDADES PRTICAS SUPERVISIONADAS

So as atividades desenvolvidas sob a orientao e superviso de docentes e realizadas pelos discentes, em horrios diferentes daqueles destinados s atividades presenciais. As atividades devem ser planejadas pelo docente, observando a carga horria prevista.

O professor deve apresentar uma descrio detalhada de como vai efetivar a aprendizagem.

ATIVIDADES A DISTNCIA

No h.

O professor deve apresentar uma descrio detalhada de como vai efetivar a aprendizagem.

ATIVIDADES PRTICAS COMO COMPONENTE CURRICULAR

So as atividades desenvolvidas sob a orientao e superviso de docentes e realizadas pelos discentes, com nfase na reflexo sobre a atividade profissional, de modo a contribuir na formao da identidade do professor como professor-educador, professor crtico-reflexivo, professor pesquisador e professor gestor. As atividades devem ser planejadas pelo docente, observando a carga horria prevista, articulando teoria e prtica, tendo como horizonte a transversalidade dos saberes que envolvem os conhecimentos para a formao bsica comum das Cincias e em particular no da Matemtica.

O professor deve apresentar uma descrio detalhada de como vai efetivar a aprendizagem.

PROCEDIMENTOS DE AVALIAO

O rendimento escolar ser apurado atravs de: I. verificao da frequncia, quando couber; II. avaliao do aproveitamento acadmico.

A aprovao nas disciplinas presenciais dar-se- por Nota Final, proveniente de avaliaes realizadas ao longo do semestre letivo, e por frequncia. A avaliao de desempenho acadmico pode ser realizada por intermdio de diversos mecanismos, dentre eles: avaliaes objetivas, avaliaes dissertativas, avaliaes prticas, palestras, seminrios, projetos, relatrios, trabalhos individuais e em grupo, exerccios. Considerar-se- aprovado na disciplina, o aluno que tiver frequncia igual ou superior a 75% (setenta e cinco por cento) e Nota Final igual ou superior a 6,0 (seis), consideradas todas as avaliaes previstas no Plano de Aula do Professor da Disciplina.

O professor deve apresentar uma descrio detalhada das formas de avaliao da disciplina/unidade curricular. Devem ser explicitados o nmero de avaliaes, suas modalidades, critrios e as datas de realizao.

REFERNCIAS

Referncias Bsicas: DOMINGUES, H. H., Fundamentos de Aritmtica, 1 ed., Florianpolis: EDUFSC, 2009. SANTOS, J. P. O., Introduo Teoria dos Nmeros, 3 ed., Rio de Janeiro: CMU-IMPA, 2003. HAZZAN, S., Fundamentos de Matemtica Elementar: Combinatria/Probabilidade, 7 ed., So Paulo: Atual Editora,

2004, v. 5. IEZZI, G., Fundamentos de Matemtica Elementar: Trigonometria, 8 ed., So Paulo: Atual Editora, 2004, v. 3.

IEZZI, G., Fundamentos de Matemtica Elementar: Complexos/Polinmios/Equaes, 7 ed., So Paulo: Atual Editora,

2004, v. 6.

Referncias Complementares: LANDAU, E., Teoria Elementar dos Nmeros, 1 ed., Rio de Janeiro: Editora Cincia Moderna, 2002. HEFEZ, A., Elementos de Aritmtica, 2 ed., Rio de Janeiro: SBM, 2011. ALENCAR, F. E., Teoria Elementar dos Nmeros, 1 ed., So Jos dos Campos: Nobel,1981. LIMA, E. L. et al., A Matemtica do Ensino Mdio, 9 ed., Rio de Janeiro: CPM-SBM, 2006, v. 1. LIMA, E. L. et al., A Matemtica do Ensino Mdio, 6 ed., Rio de Janeiro: CPM-SBM, 2006, v. 2. LIMA, E. L. et al., A Matemtica do Ensino Mdio, 6 ed., Rio de Janeiro: CPM-SBM, 2001, v. 3. MORGADO, A. O. et al., Anlise Combinatria e Probabilidade com solues de exerccios, 9 ed., Rio de Janeiro: COM-

IMPA, 2006. GARBI, G. G., O Romance das Equaes Algbricas, 2 ed., So Paulo: Editora Livraria