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PME 2556 – Dinâmica dos Fluidos Computacional
Aula 1 – Princípios Fundamentais e Equação de Navier-Stokes
1.1 Introdução
O escoamento de um fluido é estudado através de equações de conservação para:
. Massa
. Quantidade de Movimento
. Energia
1.2 Notação indicial
A maioria dos livros de graduação sobre mecânica dos fluidos usa a notação simbólica ou vetorial. Assim, a velocidade é dada por:
kwjiuurrrr
++= υ
1.2 Notação indicial
A aceleração é dada por:
( ) uz
wyx
ut
uuu
t
ua
rr
rrr
r
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅+
∂∂= υ
Que resulta:
z
uw
y
u
x
uu
t
ua
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
rrrrr υ
1.2 Notação indicial
As acelerações para as três direções do sistema de coordenadas são:
z
uw
y
u
x
uu
t
uax ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
zw
yxu
tay ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υυυυυ
z
ww
y
w
x
wu
t
waz ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
1.2 Notação indicial
Na notação indicial, a velocidade é dada por:
iuu =r
Onde o índice “i” pode representar qualquer uma das três direções do sistema de coordenadas x,y,z.
1.2 Notação indicial
Note que, na expressão da aceleração, cada termo aditivo tem um índice isolado (“i”), chamado “índice livre”, indicando a direção da componente, e um dos termos, em que há uma somatória, tem um índice que se repete (“j”) numa operação de multiplicação.
1.2 Notação indicial
Na notação indicial, usa-se a regra de que o índice repetido na multiplicação dentro da somatória já indica a necessidade de somatória. Assim, o sinal de somatória pode ser evitado:
j
ij
i
j
i
jj
ii x
uu
t
u
x
uu
t
ua
∂∂
+∂
∂=
∂∂
+∂
∂= ∑
=
3
1
1.2 Notação indicialVantagem óbvia - ao invés de escrever:
z
uw
y
u
x
uu
t
uax ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
zw
yxu
tay ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υυυυυ
z
ww
y
w
x
wu
t
waz ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
Escreve-se apenas:
j
ij
ii x
uu
t
ua
∂∂
+∂
∂=
1.2 Notação indicial
A notação indicial é particularmente útil para escrever equações grandes, e se relaciona diretamente com o hábito de fazer programação usando operações com índices.
1.2 Notação indicial
Ex: Equação de Navier-Stokes para escoamento incompressível:
( ) gupuut
u rrrrr
+∇+∇−=∇⋅+∂∂ 21 ν
ρ
1.2 Notação indicial
Isso resulta:
xgz
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
u
x
uu
t
u +
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21 νρ
υ
ygzyxy
p
zw
yxu
t+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21 υυυνρ
υυυυυ
zgz
w
y
w
x
w
z
p
z
ww
y
w
x
wu
t
w +
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21 νρ
υ
1.2 Notação indicial
As três equações são substituídas por:
ijj
i
ij
ij
i gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
1.2 Notação indicial
Cada termo aditivo tem um índice livre (“i”) e dois termos tem multiplicações com a repetição de “j” indicando somatória.
1.2 Notação indicialDetalhe: a letra “i” para o índice livre e “j”para o repetido podem ser substituídas por qualquer outra letra. Assim, as três equações baixo são equivalentes:
ijj
i
ij
ij
i gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
kjj
k
kj
kj
k gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
kqq
k
km
km
k gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
1.2 Notação indicialTeoremas do Gradiente e Divergente
∫∫∫∫∀∀
∀∂∂=→∀∇= dx
pdApndpdApn
jA
j
A
r
∫∫∫∫∀∀
∀∂∂
=→∀⋅∇=⋅ dx
udAundudAun
j
j
A
jj
A
rrr
Tensor de 2ª ordem
∫∫∫∫∀∀
∀∂∂
=→∀⋅∇=⋅ dx
dAnddAnj
ji
A
jij
A
σσσσ ttr
1.3 Derivada Material
Seja φ uma propriedade de uma partícula material ( velocidade, temperatura, massa específica, etc.). A taxa de variação da propriedade φ da partícula é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )txut
tx
t
ttt
tD
D partpart
t
partícula ,,
lim0
rrr
φφφφφ∇⋅+
∂∂=
∆−∆+
=→∆
jj x
uttD
D
∂∂+
∂∂= φφφ
1.5 Equação da ContinuidadeA massa de uma partícula material elementar é dada por:
∀= ddmpart ρ
A variação da massa dessa partícula material édada por:
( )0
)(=∀+∀=
Dt
dDd
Dt
D
Dt
dmD part ρρ
1.5 Equação da ContinuidadeAplicando a expressão da taxa de variação do volume elementar:
0=∀∂∂
+∀ dx
ud
Dt
D
j
jρρ
Isso resulta uma forma menos conhecida da equação da continuidade:
0=∂∂
+j
j
x
u
Dt
D ρρ
1.5 Equação da Continuidade
Usualmente, a forma mais conhecida éobtida substituindo a derivada material da massa específica:
0=∂∂
+∂∂+
∂∂
j
j
jj x
u
xu
tρρρ
Que, pela regra da cadeia, resulta:
( )0=
∂∂
+∂∂
j
j
x
u
t
ρρ
1.5 Equação da ContinuidadeEmbora a 2ª forma seja mais conhecida que a 1ª , esta tem uma utilidade maior para conceituar um escoamento incompressível. Num escoamento incompressível, uma partícula material mantém massa específica constante, logo:
0=Dt
Dρ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
F: propriedade de uma certa quantidade de massa de fluido(ex: quantidade de movimentoφ: propriedade F por unidade de massa do fluido (ex: velocidade)
∫∀
∀=)(t
dF ρφ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
A variação de F é dada por:
( )∫∫
∀∀
∀=
∀+∀=
)()(0
tt
dDt
D
Dt
dDd
Dt
D
Dt
DF ρφρφρφ
43421
Por outro lado, podemos escrever:
( ) ( )∫
∀
∀+∀=)(t Dt
dDd
Dt
D
Dt
DF ρφρφ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
Isso resulta:
( ) ( )∫
∀
∀
∂∂
+∀∂
∂+∀∂
∂=)(t j
j
jj d
x
ud
xud
tDt
DF ρφρφρφ
Que também resulta:
( ) ( )∫
∀
∀
∂∂
+∂
∂=)(t j
j dx
u
tDt
DF ρφρφ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
Logo:
( ) ( )∫∫
∀∀
∀
∂∂
+∂
∂=∀=)()( t j
j
t
dx
u
td
Dt
D
Dt
DF ρφρφφρ
Fazendo :∀→∀ d
( ) ( )j
j
jj x
u
txu
tDt
D
∂∂
+∂
∂=
∂∂+
∂∂=
ρφρφφφρφρ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
Supondo que o volume móvel ocupa instantaneamente um volume de controle fixo com superfície de controle Sc, e aplicando o teorema de Gauss:
( ) ( )∫∫∫
∀∀∀
∀∂
∂+∀
∂∂=∀=
C j
j
Ct
dx
ud
td
Dt
D
Dt
DF ρφρφφρ)(
( )∫∫∫ +∀
∂∂=∀=
∀∀ SC
jj
Ct
dAnudt
dDt
D
Dt
DF ρφρφφρ)(
1.7 Forças sobre uma superfície
zzxyyxxxxx dAdAdAdF σσσ ++=
zzyyyyxxyy dAdAdAdF σσσ ++=
zzzyyzxxzz dAdAdAdF σσσ ++=
1.8 Equação da Quantidade de Movimento
Aplicando a segunda lei de newtonao volume móvel:
∑∑∫ +=∀∀
campocontato
t
FFdarrr
)(
ρ
∫∫∫∀∀
∀+=∀)()()( t
i
tS
jij
t
i dgdAndDt
Du ρσρ
∫∫∫∀∀∀
∀+∀∂∂
=∀)()()( t
i
t j
ji
t
i dgdx
dDt
Du ρσ
ρ
Pelo teorema de Gauss:
Isso resulta:
1.8 Equação da Quantidade de Movimento
Fazendo o volume de partícula tender ao volume elementar:
∀→∀ d
Obtemos a equação diferencial:
ij
jii gxDt
Du ρσ
ρ +∂∂
=
Que pode ser escrita:
( ) ( )i
j
ji
j
iji gxx
uu
t
u ρσρρ
+∂∂
=∂
∂+
∂∂
1.9 Tensor das Tensões para Fluido Newtoniano
k
kijijijij x
uSp
∂∂
−+−= δµµδσ3
22
Onde o tensor taxa de deformação é dado por:
∂∂
+∂∂
=i
j
j
iij x
u
x
uS
2
1
E o tensor “delta” de Kronecker é dado por:
=≠
=jise
jiseij 1
0δ
1.10 Equação de Navier-Stokes
Substituindo o tensor das tensões para um fluido newtoniano na equação da quantidade de movimento:
( ) ( )i
k
k
jij
i
j
j
i
jjij
j
iji gx
u
xx
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u ρµδµδρρ
+
∂∂
∂∂−
∂∂
+∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂3
2
ijij xx ∂
∂=∂∂δ
Porém, temos que:
( ) ( )i
k
k
ii
j
j
i
jij
iji gx
u
xx
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u ρµµρρ
+
∂∂
∂∂−
∂∂
+∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂3
2
Logo:
1.10 Equação de Navier-Stokes
Se o escoamento for incompressível:
( ) ( )i
i
j
j
i
jij
iji gx
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u ρµρρ
+
∂∂
+∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂
1.10 Equação de Navier-Stokes
Se além do escoamento ser incompressível, a viscosidade dinâmica for uniforme:
( ) ( )i
i
j
jjj
i
ij
iji gx
u
xxx
u
x
p
x
uu
t
u ρµµρρ
+
∂∂
∂∂+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 2
Como podemos inverter a ordem de derivação no penúltimo termo:
( ) ( )i
jj
i
ij
iji gxx
u
x
p
x
uu
t
u ρµρρ
+∂∂
∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 2