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1 Pesquisa Operacional Prof.Emerson José de Paiva No.2 PESQUISA OPERACIONAL FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 1 Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $14 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional é de $10 para cada trem. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2h para acabamento e 1h de carpintaria. Um trem necessita de 1h para acabamento e 1h de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem à disposição até 100h de acabamento e 80h de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de, no máximo, 40 por semana. Formular o modelo matemático para se maximizar o lucro semanal de Giapetto.

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PESQUISA OPERACIONALFORMULAÇÃO DO PROBLEMA 1

�Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens.

�Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que éfabricado tem um custo adicional de $14 relativo à mão de obra.

�Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão deobra adicional é de $10 para cada trem.

�A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria eacabamento.

�Um soldado necessita de 2h para acabamento e 1h de carpintaria. Um tremnecessita de 1h para acabamento e 1h de carpintaria.

�Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mastem à disposição até 100h de acabamento e 80h de carpintaria.

�A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de, no máximo, 40por semana.

Formular o modelo matemático para se maximizar o lucro semanal de Giapetto.

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TABELA DE FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 1

Produção Semanal de Giapetto

Soldados Trens Disponib.

Valor de Venda

$

27 21 -

Matéria-prima 10 9 -

Mão-de-obra 14 10 -

Acabamentoh

2 1 100

Carpintaria 1 1 80

Demanda un 40 ilimitado -

Maximizar lucro semanal

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MODELO MATEMÁTICO DE UM PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

� Um modelo matemático de um Problema de Otimização é

definido por:

• um número N de decisões a ser tomadas, denominadas

variáveis de decisão,

• uma função matemática, que representa a medida da

vantagem (desvantagem) da tomada de decisão

denominada função objetivo,

• um conjunto de restrições associadas às variáveis de

decisão denominadas restrições do modelo,� Em alguns casos, existem restrições que não estão explícitas no

problema denominadas restrições adicionais.

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PASSOS PARA FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO - I

� Variáveis de decisão;

� X1 = qtde.soldados produzidos/semana;

� X2 = qtde.trens produzidos/semana;

� Função Objetivo;

� Maximizar (Receitas - Despesas).

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Receita da semana = 27*X1 + 21*X2

Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2

Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2

Então Giapetto quer maximizar:

(27X1 + 21X2) – (10X1 + 9X2) – (14X1 + 10X2) = 3X1 + 2X2

Assim, o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para

maximizar 3X1 + 2X2 ou max Z = 3X1 + 2X2

PASSOS PARA FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO - II

� Restrições:

� Não mais que 100h de acabamento

� 2X1 + X2 ≤ 100

� Não mais que 80h de carpintaria

� X1 + X2 ≤ 80

� Venda máxima de soldados

� X1 ≤ 40

� Restrições adicionais:

� Não faz sentido que a produção seja negativa. Portanto:

{X1, X2} ≥ 0

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PESQUISA OPERACIONALFORMULAÇÃO DO PROBLEMA 2

�Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta.

�A tabela abaixo ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtençãodas ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em Reais/Tonelada.Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade dematéria-prima.

�Formular o modelo de Programação Matemática.

Liga especial de baixa resistência

Liga especial de alta resistência

Disponibilidade de matéria-prima

Cobre 0,5 0,2 16 Ton

Zinco 0,25 0,3 11 Ton

Chumbo 0,25 0,5 15 Ton

$ de Venda $3.000 $5.000

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PESQUISA OPERACIONALFORMULAÇÃO DO PROBLEMA 3

�Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250m de tábuas, 600m depranchas e 500m de painéis de conglomerado.

�A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo deescrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. A escrivaninhaconsome 1m de tábua e 3m de painéis; a mesa consome 1m de tábua, 1m deprancha e 2m de painéis; o armário consome 1m de tábua, 1m de prancha e 4mde painéis; a prateleira consome 4m de tábuas e 2m de pranchas.

�São vendidos por $100, $80, $120 e $20, respectivamente.

�Monte a tabela resumo para o problema.

�Construa o modelo de PL para maximizar a receita com a venda dos móveis.

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PESQUISA OPERACIONALFORMULAÇÃO DO PROBLEMA 4

Uma cidade está estudando a viabilidade de introduzir um sistema de ônibus paratransporte de massa. O estudo procura o número mínimo de ônibus que possa darconta das necessidades de transporte. Após colher as informações necessárias, oengenheiro percebeu que o número mínimo de ônibus necessários variava deacordo com a hora do dia e que o número de ônibus requeridos poderia seraproximado para valores constantes em intervalos sucessivos de quatro horas.

Devido à manutenção diária obrigatória, cada ônibus pode circular apenas oitohoras sucessivas por dia.

Formule o problema que poderá determinar o número de ônibus emfuncionamento em cada turno, que atenderá à demanda mínima e, ao mesmotempo, minimizará o número total de ônibus em funcionamento.

0h 0h 0h 0h –––– 4h4h4h4h 4h 4h 4h 4h –––– 8h8h8h8h 8h 8h 8h 8h –––– 12h12h12h12h 12h 12h 12h 12h –––– 16h16h16h16h 16h 16h 16h 16h –––– 20h20h20h20h 20h 20h 20h 20h –––– 0h0h0h0h

4 12 8 10 12 4

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PESQUISA OPERACIONALFORMULAÇÃO DO PROBLEMA 4 - CONTINUAÇÃO

0h 0h 0h 0h –––– 4h4h4h4h 4h 4h 4h 4h –––– 8h8h8h8h 8h 8h 8h 8h –––– 12h12h12h12h 12h 12h 12h 12h –––– 16h16h16h16h 16h 16h 16h 16h –––– 20h20h20h20h 20h 20h 20h 20h –––– 0h0h0h0h

(X1) 4 4

(X2) 12 (8) 8

(X3) 8 (0) 0

(X4) 10 (10) 10

(X5) 12 (2) 2

(X6) 4 (2)

VariávelVariávelVariávelVariável DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição

X1 Nº de ônibus que começam a circular à 0h

X2 Nº de ônibus que começam a circular às 4h

X3 Nº de ônibus que começam a circular às 8h

X4 Nº de ônibus que começam a circular às 12h

X5 Nº de ônibus que começam a circular às 16h

X6 Nº de ônibus que começam a circular às 20h

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PESQUISA OPERACIONALFORMULAÇÃO DO PROBLEMA 4 - CONTINUAÇÃO

Função Objetivo:

Minimizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

Sujeito a:

X1 + X2 ≥ 12X2 + X3 ≥ 8X3 + X4 ≥ 10X4 + X5 ≥ 12X5 + X6 ≥ 4X6 + X1 ≥ 4

Restrições adicionais:

xi ≥ 0, i = 1,2,...,6