3

1 IntroduoA pesquisa operacional surgiu no perodo da segunda guerra mundial, por meio de uma equipe de cientistas britnicos que buscaram estabelecer decises com bases cientficas para o melhor uso dos equipamentos militares. Aps a guerra, as idias propostas para operaes militares foram adaptadas para melhorar a eficincia e a produtividade no setor civil (TAHA, 2008).Desde ento se aprofundou os conhecimentos nesta rea e por meio da modelagem matemtica passou-se a utilizar em diversas aplicaes como: aviao civil, bancos, logstica, automobilismo etc. Uma vez construdo o modelo matemtico parte-se para a obteno de uma soluo. Diversos so os mtodos matemticos utilizados em PO, associados s vrias reas que compe a PO, entre estas se pode citar: a Programao Linear, a Programao em Redes e a Teoria dos Grafos (MARINS, 2011)Estes mtodos matemticos encontram-se em crescente evoluo e alm da descoberta de novas tcnicas, foram desenvolvidos diversos softwares, que disponibilizam alguns mtodos importantes da Pesquisa Operacional tornando vivel e eficiente a soluo de problemas complexos (MARINS, 2011).De acordo com Taha (2008) dentre os casos clssicos de modelagem est o caso de modelo de poltica de emprstimo, que analisa as oportunidades de investimento disponveis, onde a programao linear pode ser usada para selecionar o mix timo de oportunidades que maximizar o retorno, atendendo s condies estabelecidas pelo investidor.

2 Modelo de poltica de emprstimo2.1 DefinioO modelo de poltica de emprstimo tem como objetivo bsico o estudo das carteiras de ativos e selecionar a carteira definida como tima com base nos seguintes critrios: a que oferecer o maior retorno possvel para um determinado grau de risco ou a que oferecer o menor risco possvel para um determinado nvel de retorno esperado.

2.2 AplicaesOs principais problemas de investimento em que se utiliza a pesquisa operacional so:a) Oramentos de capital para projetos;b) Estratgia de investimentos em ttulos;c) Seleo de carteira de aes;d) Determinao da poltica de emprstimos bancrios.

2.3 Exerccio 01De acordo com o exemplo do Taha (2008) o Thriften Bank est em processo de elaborao de uma poltica de emprstimo que envolve um mximo de R$ 12 milhes. A tabela a seguir apresenta os dados pertinentes aos tipos de emprstimos disponveis.

Tabela 1 Categorias de emprstimosTipo de emprstimoTaxa de jurosTaxa de inadimplncia

Pessoal14%10%

Automvel13%0,07%

Habitacional12%0,03%

Agrcola12,5%0,05%

Comercial10%0,02%

A inadimplncia so dbitos incobrveis e no geram receita de juros.

A concorrncia com outras instituies financeiras requer que o banco destine no mnimo 40% dos fundos a crditos agrcola e comercial. Para auxiliar o setor de construo de residncias da regio, a quantia destinada ao crdito habitacional deve ser igual a no mnimo 50% dos emprstimos pessoais para aquisio de automveis e aquisio habitacional. O banco tambm estabeleceu uma poltica de no permitir que a taxa global de inadimplncia sobre todos os emprstimos exceda 4%.MODELO MATEMTICO: primeiramente iremos definir as variveis de emprstimo com que iremos trabalhar, de acordo com cada categoria:X1 = emprstimos pessoais (em milhes)X2 = emprstimos para compra de automveisX3 = emprstimos habitacionaisX4 = emprstimos agrcolasX5 = emprstimos comerciais

Depois de definida as variveis, iremos desenvolver a funo objetivo, onde est ser gerada pela diferena entre a receita dos juros e os crditos inadimplentes. Todavia devemos observar que os juros que sero calculados sero em cima do valor dos crditos adimplentes, ou seja, ser o valor de 100% menos o valor de crditos inadimplentes para cada categoria. De acordo com esse raciocnio, acharemos a seguinte equao:Juros = 0,14(1 0,1)x1 + 0,13(1 0,07)x2 + 0,12(1 0,03)x3 + 0,125(1 0,05)x4 + 0,1(1 0,02)x5Juros = 0,126x1 + 0,1209x2 + 0,1164x3 + 0,11875x4 + 0,098x5

Aps calcularmos a receita total devido os juros, iremos calcular o valor perdido devido os crditos inadimplentes, ou seja, as quantias de dinheiro que foram fornecidas pelo banco mas que no sero pagas pelos devedores, se tornando assim uma perda de dinheiro para o banco.

Crditos inadimplentes = 0,1x1 + 0,07x2 + 0,03x3 + 0,05x4 + 0,02x5

A funo objetivo ento ser formada por:Max Z = Juros Crditos inadimplentesMax Z = (0,126x1 + 0,1209x2 + 0,1164x3 + 0,11875x4 + 0,098x5) (0,1x1 + 0,07x2 + 0,03x3 + 0,05x4 + 0,02x5)

Max Z = 0,026x1 + 0,0509x2 + 0,0864x3 + 0,06875x4 + 0,078x5Agora iremos definir as restries do sistema, de acordo com o enunciado:1. O total do valor emprestado no deve exceder R$ 12 (milhes).x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0,4 (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)

3. O crdito habitacional deve ser igual a no mnimo 50% dos emprstimos pessoais, para compra de automveis e habitacional.x3 >= 0,5 (x1 + x2 + x3)

4. Crditos inadimplentes no devem exceder 4% de todos os emprstimos.0,1x1 + 0,07x2 + 0,03x3 + 0,05x4 + 0,02x5 = 0

Para solucionarmos a questo iremos utilizar o software Lindo devido a complexidade do problema. Na linguagem do Lindo o problema ficar configurado da seguinte maneira:

max 0.026x1+0.0509x2+0.0864x3+0.06875x4+0.078x5subject tox1+x2+x3+x4+x5 = 0,50 (X1 + X2)X1 >= 0,5 (X2)X1 + X2 = 0Para que possamos colocar na forma cannica de maximizao devemos fazer algumas modificaes nas restries, para que todas fiquem com o sinal de